Tài liệu Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề chung pptx

S GD-T BÌNH PHC KÌ THI TUYN SINH VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG NM HC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN ( CHUNG) Thi gian: 120 phút (không k thi gian giao ) Bài 1 (2 im) a) Tính 8 2 15 8 2 15 12= − − + +A b) Gii phng trình: 1 3 x x− − = − Bài 2 (2 im) Cho phng trình bc hai: 2 2 2 3 0x mx m− + − + = , (vi m là tham s). a) Xác nh m  phng trình có hai nghim 1 2 ,x x tho 1 1 2 2 2 10x x x x− + − = b) Xác nh m  phng trình có hai nghim âm phân bit. Bài 3 (2 im) Nhà Hng có mt khu vn trng cây bp ci. Vn c ánh thành nhiu lung, mi lung c trng cùng mt s cây bp ci. Hng tính rng: nu tng thêm 8 lung rau, nhng mi lung trng ít i 3 cây thì toàn vn s gim i 54 cây. Nu gim i 4 lung, nhng mi lung trng tng thêm 2 cây thì toàn vn s tng thêm 32 cây. Hi vn nhà Hng có bao nhiêu cây bp ci. Bài 4 (3,5 im) Cho tam giác nhn ABC ni tip trong ng tròn tâm O. Phân giác trong ca góc A ct BC ti D và ct ng tròn ti E. Gi K, M ln lt là hình chiu ca D trên AB và AC. a) Chng minh rng t giác AMDK ni tip ng tròn. b) Chng minh rng tam giác AKM cân. c) Cho  BAC α = . Chng minh rng .sinMK AD α = . d) Chng minh rng AKEM ABC S S= , vi AKEM S và ABC S ln lt là din tích ca t giác AKEM và tam giác ABC. Bài 5 (1 im) Tìm giá tr ln nht ca biu thc 2 2 3 5 1 x P x + = + Ht H và tên thí sinh: ……………………… S báo danh: ……………… H và tên giám th 1: ………………………………. Ch kí: …………. H và tên giám th 1: ………………………………. Ch kí: ………….  CHÍNH THC S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG HNG DN GII  THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUNG NM HC 2009-2010 Bài 1 (2 im) a) Tính 8 2 15 8 2 15 12= − − + +A Gii Ta có: ( ) ( ) 2 2 5 2 5. 3 3 5 2 5. 3 3 2 3 5 3 5 3 2 3A = − + − + + + = − − + + ( ) 5 3 5 3 2 3 0= − − + + = b) Gii phng trình: 1 3x x− − = − Gii +) PT 2 2 3 3 0 3 1 3 5( ) 1 ( 3) 7 10 0 2( ) x x x x x x N x x x x x L ≥  − ≥ ≥    ⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔ =     − = − − + =     =   +) KL: Phng trình ã cho có mt nghim là x = 5. Bài 2 (2 im) Cho phng trình bc hai: 2 2 2 3 0x mx m− + − + = , (vi m là tham s). a) Xác nh m  phng trình có hai nghim 1 2 ,x x tho 1 1 2 2 2 10x x x x− + − = Gii +) Phng trình có hai nghim 2 2 1 2 , ' 2 3 0 ( 1) 2 0x x m m m⇔ ∆ = − + ≥ ⇔ − + ≥ , (luôn úng vi mi m). +) Theo nh lí Viet ta có: 1 2 1 2 2 . 2 3 x x m x x m + =   = −  . Thay vào gi thit 1 1 2 2 2 . 10x x x x− + − = ta có: 2 2(2 3) 10 2 16 8m m m m− + − = ⇔ = ⇔ = +) i chiu vi iu kin có nghim ta có giá tr m tha mãn bài toán là m = 8. b) Xác nh m  phng trình có hai nghim âm phân bit. Gii +) Ph  ng trình có hai nghi  m âm phân bi  t 2 ' 0 2 3 0 0 2 0 0 0 2 3 0 3 2 m m m R S m m m P m m    ∆ > − + > ∈     ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈∅       > − >    >  . Bài 3 (2 im) Nhà Hng có mt khu vn trng cây bp ci. Vn c ánh thành nhiu lung, mi lung trng c cùng mt s cây bp ci. Hng tính rng: n u t!ng thêm 8 lung rau, nhng mi lung trng ít i 3 cây thì toàn vn s" gim i 54 cây. N u gim i 4 lung, nhng mi lung trng t!ng thêm 2 cây thì toàn vng s" t!ng thêm 32 cây. H#i vn nhà Hng có bao nhiêu cây bp ci. Gii +) Gi x là s lung rau và y là s cây trên mt lung rau, iu kin x, y là các s nguyên dng. +) Ta có s cây trên vn rau ban u là x.y. +) Nu tng thêm 8 lung rau, nhng mi lung trng ít i 3 cây thì toàn vn s gim i 54 cây  Ta có phng trình: ( 8)( 3) 54 3 8 30x y xy x y+ − = − ⇔ − + = , (1). +) Nu gim i 4 lung rau, nhng mi lung trng tng thêm 2 cây thì toàn vn s tng thêm 32 cây  Ta có phng trình: ( 4)( 2) 32 2 20x y xy x y− + = + ⇔ − = , (2). +) T (1) và (2) ta có h phng trình 3 8 30 50 . 2 20 15 − + = − =   ⇔   − = =   x y x x y y , (tho mãn iu kin). +) KL: Vn rau nhà Hng có 750 cây bp ci. Bài 4 (3,5 im) Cho tam giác nh$n ABC ni ti p trong ng tròn tâm O. Phân giác trong c%a góc A ct BC t&i D ct ng tròn t&i E. G$i K, M l'n lt là hình chi u c%a D trên AB và AC. a) Ch(ng minh rng t( giác AMDK ni ti p ng tròn. b) Ch(ng minh rng tam giác AKM cân. c) Cho  BAC α = . Ch(ng minh rng .sinMK AD α = . d) Ch(ng minh rng AKEM ABC S S= , vi AKEM S và ABC S l'n lt là din tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC. Gii a) Ch(ng minh rng t( giác AMDK ni ti p ng tròn. Xét t giác AKEM ta có   0 0 0 90 90 180AKE AME+ = + =  t giác AMDK ni tip ng tròn ng kính AD, có tâm là trung im I ca AD. b) Ch(ng minh rng tam giác AKM cân. Trong ng tròn ngoi tip t giác AMDK ta có:   =      , (vì theo gt ta có AD là phân giác ca   ) Mà AD là ng kình  ⊥    và AD i qua trung m H ca KM  ∆   cân nh A. c) Cho  BAC α = . Ch(ng minh rng .sinMK AD α = . +) Trong ng tròn ngoi tip t giác AKDM ta có   =      , (góc ni tip và góc  tâm cùng chn mt cung), mà     α =  = =       . +) Xét tam giác vuông IKH ta có: α =    , mà =      , =      .sinMK AD α  = , (  pcm) d) Ch(ng minh rng AKEM ABC S S = , vi AKEM S và ABC S l'n lt là din tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC. Cách 1 +) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên α =  =                 , (1). +) Mt khác ta có ∆ ∆ −  = ⇔ =                   . Thay kt qu này vào (1) ta có α ∆ = =             , (pcm). H I O M K E D C B A Cách 2 +) Gi B’ là im i xng vi B qua AE, vì AE là phân giác ca góc A nên ta có                ∆ = ∆ − −  =  T giác DECB’ ni tip (vì     + = +                  = + + = + +                               = =       ). +) T giác DECB’ ni tip  =        mà AB = AB’ nên ta có =        . +) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên α =  =                 α ∆ = =          , (pcm). Cách 3 +) Ta có ∆ ∆ ∆ = + = +                 +) Mt khác ta có = =       . Do ó ∆ = +            +) Mt khác ta cng có h thc + =        , (bn c t chng minh). Do ó α ∆ = = =                           , (1). +) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên α =  =                 , (2). T (1) và (2) ta có AKEM ABC S S = , (pcm). Cách 4 +) Gi AX là ng cao ca tam giác ABC, gi Y là giao im ca AX vi ng th ng qua E và song song vi BC. Gi K’ và M’ ln l!t là hình chiu ca E trên AB và AC  = =            . +) Mt khác ta có K’M’ chính là ng th ng Simson ca tam giác ABC i vi im E, do ó K’M’ i qua trung im I ca BC. Mt khác AY ⊥ BC và K’M’ ⊥ AE nên ta có =          Do ó = = = ⇔ =                               Hay AKEM ABC S S = , (pcm). B' H O M K E D C B A Y X K' M' H O M K E D C B A Cách 5 +) Gi B’, C’ ln l!t là hình chiu ca E trên AB và AC, gi F và F’ ln l!t là hình chiu ca E trên DK và DM. D" th#y EFKB’ và EF’MC’ là hai hình ch$ nh%t b&ng nhau     = . +) Ta có                     = + +   = + +  Do ó  chng minh      = ta ch cn chng minh            + = + , (*) +) Mà (*)                          ⇔ + = +       ⇔ + = (**), (Vì EF = EF’ và DK = DM). +) M t khác ta có hai tam giác vuông EB’B và EC’C b&ng nhau (vì EB’ = EC’ và         = cùng bù vi    )       = +) Ta có BK + CM = BK + CC’ + C’M = BK + BB’ + C’M = KB’+C’M = EF + EF’ = 2EF V%y (**) úng  bài toán !c chng minh. Bài 5 (1 im) Tìm giá tr ln nh)t c%a biu th(c 2 2 3 5 1 x P x + = + Gii +) K: x R ∈ +) Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 1 2 3 5 2 3 1 1 1 1 x x x P x x x x + + + + + = = = = + + + + + +) Ta có 2 2 2 2 1 2 0, 1 1, 1, 2, 1 1 x x R x x R x R x R x x ≥ ∀ ∈  + ≥ ∀ ∈  ≤ ∀ ∈  ≤ ∀ ∈ + + . Do ó 2 2 3 5, 1 P x R x = + ≤ ∀ ∈ + . +) V%y giá tr ln nh#t ca P là 5, t !c khi x = 0. H t GV: Ph&m V!n Quý, Trng THPT chuyên Quang Trung E H FF' B' C' D O M K C B A . BÌNH PHC TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG HNG DN GII  THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUNG NM HC 2009-2010 Bài 1 (2 im). S GD-T BÌNH PHC KÌ THI TUYN SINH VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG NM HC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN ( CHUNG) Thi gian: 120 phút