Lu ý: phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp sử dụng tính đơn điệu cña hµm sè.[r]
Một số phơng pháp giảI phơng trình vô tỉ 1.Phơng pháp đánh giá 2 Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh 3x x x 10 x 14 = – 2x – x2 Giải: Vế trái : 2 x 1 x 1 + =5 2 VÕ ph¶i : – 2x –x = – (x+1) ≤ VËy pt cã nghiƯm khi: vÕ tr¸i = vÕ ph¶i = x+ = x = -1 Ví dụ 2: Giải phơng trình x x Giải : + Điều kiÖn : x≥ -1 Ta thÊy x = nghiÖm phơng trình Với x > x > ; x >2 nªn vế trái phơng trình lớn 3 Với -1 ≤ x < th× x < ; x < nên vế trái phơng trình nhỏ Vậy x = nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình: 4x + √ x +1 =-16x2-8x+1 (1) Giải ĐK: x (*) x x 1 3 x (3 x)(1 x) x 4 (3 x)(1 x ) 4 Ta cã ⇒ √ −4 x+ √ 1+4 x ≥ (2) L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã: ⇔ −4 x+2 √(3 − x )(1+ x )+1+ x=4 16 x 2+8 x +1=0 ¿{ ⇔ x= ¿ ⇔ x=− √(3 − x)(1+4 x)=0 ⇔ x=− (tho¶ m·n(*)) −1 ¿ x= 4 ¿ x=− ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x= (1)⇔ √ 3− x + √ 1+4 x =2 − 16 x2 −8 x +1=2 ¿{ LuyÖn tËp Giải phơng trình sau: 1) x 1+ √ x2 +8 x +3=−4 x2 − x 2) √ x2 −2 x+5+ √ x −1=2 Ph¬ng pháp đặt ẩn phụ VD1:Giải phuơng trình: 1+ x + √ − x + √(1+x )(8 − x)=3 Giải C1: ĐK: x Đặt t= 1+ x + √8 − x (®k t ≥ ) ⇒t =1+ x+ − x+ √ (1+ x )(8 − x ) t 2− ⇒ √ (1+ x )(8 x)= Khi phơng trình ®· cho trë thµnh: Víi t=3, ta cã: t 2− =3 2 ⇔ t + 2t −15=0 ⇔ t=−5 ¿ t=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ t+ √ 1+ x + √ − x=3 ⇔ 1+ x +8 − x +2 √ (1+ x)(8 − x)=9 ⇔ √(1+ x )(8 − x )=0 ⇔ x=−1 ¿ x=8 (thoả mÃn (*)) Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là:x1=-1 x2=8 C2: ĐK: x Đặt u= 1+ x v =√ 8− x ¿{ ¿ ⇒ u =1+ x v 2=8− x ¿{ ( u , v ≥0 ) 2 ⇒ u +v =9 ¿ u + v 2=9 u+ v+ uv=3 ¿{ ¿ Ta cã hÖ phơng trình: ( uv uv=9 − uv u+ v= ¿{ ) ⇔ uv (uv − 20)=0 − uv u+v = ¿{ ⇔ u+v ¿ −2 uv =9 ¿ ¿ 2(u+v)+uv=6 ¿ ⇔ uv =0 ¿ uv =20 ¿ − uv ¿ u+ v= ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ uv=0 u+ v=3 ¿ ¿ ¿ uv =20 ¿ ¿ u+ v=−7 ¿ ¿ ¿ (lo¹i) Víi ¿ u+ v=3 uv =0 ¿{ ¿ ¿ u=3 +) v =0 ¿{ ¿ ¿ u=0 +): v =3 ¿{ ¿ ¿ u=0 ta cã: v =3 ¿{ ¿ ⇒ 1+ x =9 − x=0 ¿{ ⇒ 1+ x =0 − x=9 ¿{ hc ¿ u=3 v =0 ¿{ x=8 x=1 Vậy phơng trình đà cho có nghiệm: x1=1 x2=8 VD 2: Giải phơng tr×nh (4 x −1) √ x +1=2 x2 +2 x+ Giải Phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình: (4 x 1) x +1=2( x +1)+2 x (1) Đặt t= x2 +1 (đk t >1), phơng trình (1) trở thành: (4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2) Coi (2) phơng trình bậc hai ẩn t, phơng trình (2) có: x ¿2 ≥ 0, ∀ x ∈ R x −1 8(2 x 1)= = Phơng trình (2) ẩn t có nghiệm là: t1=2x-1 t2= (loại) ⇔ ⇔ x −1 ≥ x≥ ¿ Víi t1=2x-1, ta cã: √ x +1=2 x − 2 x − 1¿ 2 x − x=0 ¿ ¿{ x +1=¿ ⇔ x≥ x=0 ¿ 4 ⇔ x= x= 3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ VËy ph¬ng trình đà cho có nghiệm là: x= Lu ý : phơng trình giải theo cách đa phơng tích VD3: Giải phơng trình x+ x 1=1 Giải ĐK: x (*) u= x Đặt v = x −1 , v ≥ ¿{ ¿ ⇒ u3=2 − x ⇒ u + v =1 v =x { Khi ta có hệ phơng tr×nh: ¿ u+v =1 u3 +v =1 ¿{ ¿ 1− u ¿2=1 ⇒ u 3+¿ ⇔u +u −2 u=0 ⇔ u=0 ¿ u=1 ¿ u=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Víi u=0, ta cã: √3 2− x=0 ⇔ x=2 Víi u=1, ta cã: √3 2− x=1 ⇔ − x=1 ⇔ x=1 Víi u=-2, ta cã: √3 2− x=−2 ⇔2 − x=− ⇔ x=10 VËy phơng trình đà cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10 2x2 + 3x + x 3x = 33 (*) Ví dụ 4: Giải phơng trình: Giải: * 2x2 + 3x +9 + x x - 42 = 27 2 x 2 x 3x (y > v× 2x2 + 3x +9 = > 0) Đặt y = Ta có y2 + y – 42 = (y – ) ( y + ) = y1 = ; y2 = -7 (Lo¹i) Suy x 3x = 2x2 + 3x – 27 = (x – 3)(x + ) = x1 = ; x2 = - 2 Gi¶i phơng trình sau: 1) x 2+ x +5=5 LuyÖn tËp x+ 2) ( x − 3) x −3 =− √ (x − 3)( x+1)+4 ¿ 3) √ x2 −3 x+ 3+ √ x2 −3 x +6=3 Phơng pháp biến đổi tơng đơng Dạng phơng trình: D¹ng 1: √ f ( x )=g(x ) D¹ng 2: f ( x )= g(x ) VD1: Giải phơng trình: Giải x+ ĐK: x ≥ 1− x ≥ ¿{{ ¿ ⇔ g( x )≥ f ( x)=g 2( x ) ¿{ ⇔ g( x) ≥ f ( x)=g ( x) ¿{ √ x+ − √ − x=√ 1− x ⇔−4≤ x≤ (*) Víi ®k(*) phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình: 1− x + √ 1− x =√ x +4 ⇔ 1− x +1 − x +√(1 −2 x)(1 − x)=x+ ⇔ √(1 − x )(1− x )=2 x+1 ⇔ x+1 ≥ ¿ x +1 ¿2 ¿ (1− x)(1 −2 x)=¿ ⇔ ⇔ 2 x +7 x=0 ¿{ x≥− ⇔ x=0 x=0 ¿ x=−7 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x (thoả mÃn (*)) Vậy phơng trình có nghiệm x=0 VD2:Giải phơng trình x 1+2 x −2 − √ x − 1− √ x − 2=1 Gi¶i Ta cã: √ x −1+2 √ x −2 − √ x − 1− √ x − 2=1 ⇔ √2x −2+2 √ x −2+1 − √ x − 2− √ x −2+1=1 √ x −2+1 ¿ √ x −2 −1 ¿2 =1 ¿ ¿ ⇔ √¿ √¿ ⇔|√ x − 2+1|−|√ x − 2− 1|=1 ⇔ √ x − 2+ 1−|√ x −2 −1|=1 √ x −2 −1 ¿2 | | ⇔ √ x − 2= √ x − 2− ⇔ x − 2=¿ ⇔ x −2=x −2+1 −2 √ x −2 1 ⇔ √ x − 2= ⇔ x −2= ⇔ x= 4 Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x= Luyện tập Giải phơng trình sau: 1) √ 3+ x √ − x=3 2) √ x(x −1)+ √ x (x +2)=2 √ x 3) √ x +8 x+ 6+ √ x2 −1=2 x +2 Phơng pháp điều kiện cần đủ VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm x+ x +5=m Giải: Điều kiện cần: Nhận thấy phơng trình có nghiệm x0 (-1-x0 ) nghiệm phơng trình Do để phơng trình có nghiệm x 0=1 − x ⇔ Thay x 0=− x 0= vào phơng trình đà cho ta đợc: m=3 Điều kiện đủ: Với m=3 phơng trình đà cho trở thành: x+ √ x +5=3 √ ⇔ 4−x ≥0 ¿ x +5 ≥ √ − x+ √ x +5 ¿2=18 ¿ ¿ ⇔ x≤4 x ≥ −5 − x+ √( − x )(x +5)+ x +5=18 ¿{{ ⇔ ⇔ ⇔ −5 ≤ x ≤ −5 ≤ x ≤ − 5≤ x ≤ 4 (4 − x)( x +5)=81 √ (4 − x)(x +5)=9 x +4 x+1=0 ¿{ ¿{ ¿{ ⇔ −5 ≤ x ≤ 1 ⇔ x=− x=− 2 { Vậy với m=3 phơng trình đà cho có nghiệm Lu ý: phơng trình giải phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số ... ¿{ ( u , v ≥0 ) 2 ⇒ u +v =9 ¿ u + v 2 =9 u+ v+ uv=3 ¿{ ¿ Ta cã hÖ phơng trình: ( uv uv =9 − uv u+ v= ¿{ ) ⇔ uv (uv − 20)=0 − uv u+v = ¿{ ⇔ u+v ¿ −2 uv =9 ¿ ¿ 2(u+v)+uv=6 ¿ ⇔ uv =0 ¿ uv =20 ¿... x) =9 ⇔ √(1+ x )(8 − x )=0 ⇔ x=−1 ¿ x=8 (thoả mÃn (*)) Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là:x1=-1 x2=8 C2: ĐK: x Đặt u= 1+ x v =√ 8− x ¿{ ¿ ⇒ u =1+ x v 2=8− x ¿{ ( u , v ≥0 ) 2 ⇒ u +v =9. .. v=3 uv =0 ¿{ ¿ ¿ u=3 +) v =0 ¿{ ¿ ¿ u=0 +): v =3 ¿{ ¿ ¿ u=0 ta cã: v =3 ¿{ ¿ ⇒ 1+ x =9 − x=0 ¿{ ⇒ 1+ x =0 − x =9 ¿{ hc ¿ u=3 v =0 ¿{ x=8 x=1 Vậy phơng trình đà cho có nghiệm: x1=1 x2=8 VD 2: