Tài liệu CHƯƠNG III: Vuông góc docx

BẢNG TỔNG KẾT LÝ THUYẾT CHƯƠNG STT KHÁI NIỆM Vec tơ đoạn thẳng định hướng,một điểm đầu,điểm điểm cuối QUY TẮC,TÍNH CHẤT,CÁCH CHỨNG MINH uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r • Qui tắc ba điểm: AB + BC = AC , OA − OB = BA uuu uuu uuu r r r • Qui tắc hình bình hành ABCD: AB + AD = AC uu uu r r r • I trung điểm AB: IA + IB = • AM trung tuyến tam giác ABC: uuuu uuu uuu r r r AM = AB + AC ( ) uuu uuu uuu r r r r • G trọng tâm tam giác ABC: GA + GB + GC = • G r trọnguuu uuu diện ABCD: r tâm tứr r uuu uuu r GA + GB + GC + GD = Ba vec tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Hai đường thẳng vng góc góc chúng 900 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Liên hệ quan hệ song song vng góc đường thẳng mặt phẳng rrr rr • Cho a, b, c a, b khơng phương rrr a, b, c đồng phẳng ⇔ có số (m,n) r r r cho: c = ma + nb r rr • Nếu a, b, c khơng đồng phẳng với vec u r tơ d ta tìmr r bộrsố (m,n,p) u r cho : d = ma + nb + pc ã ả ả ( a, b ) = ( c¶, d ) ; ( c¶, d ) = 90 ⇒ ( a, b ) = 90 0 • a ⊥ ( P), b P( P) ⇒ a ⊥ b • a Pc, c ⊥ b ⇒ a ⊥ b b • a ⊂ ( P), b′ = hc( P ) a ⊥ b′ ⇔ a ⊥ b uuu uuu r r • AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = • Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau,cùng nằm mặt phẳng (P) d vng góc với (P) • Hai mặt phẳng song song ,một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng • Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với • Hai đường thẳng song song ,một mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng • Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với • Cho a//(P),đường thẳng vng góc với a vng góc với (P) • Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó)cùng vng góc với đường thẳng chúng song song với BÀI TẬP LÀM THEO CHỦ ĐỀ CHỦ ĐỀ 1: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A.PHƯƠNG PHÁP: Để biểu diễn véc tơ qua véc tơ khác ,chứng minh đẳng thức véc tơ,chứng minh hai véc tơ vuông góc hay ba véc tơ đồng phẳng …,ta sử dụng quy tắc :ba điểm,hình bình hành,trung tuyến,trung điểm,trọng tâm tam giác,trọng tâm tứ diện,đường chéo hình hộp B.Ví dụ: Ví dụ 1:Cho hìnhrchóp S.ABCD uuu đáy hình bình hành tâm O.Chứng minh rằng: uuu uuu r uuu uur có r r i ) AB + AD − AS = SB + SD uuu uur r u uuu r ii )2 SO − BA − SC = DB uuu uuu uuu uur uuu r r r r iii ) SO + DC − AD = SB − SD r uuu uuu uuu uuu u uuu 2r r r r r Tìm điểm G cho GS + GA + GB + GC + GD = O Vír r uuu hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có tâm hai đáy lần r uuur uuuu uuu/u lượt r Các véc tơ r uuudụ 2:Cho r uuu r r r uuur uuuu u O O r u rr ′ = c Hãy biểu diễn vec tơ BD′, A′C , B′D, DO′, C ′O theo a, b, c AB = a, AD = b, AA Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD,G trọng tâm tam giác BCD,I trung điểm AG,M điểm bất uuu uuur minh rằng: u kỳ.Chứng uuur uuur r u a) MB + MC + MD = 3MG uu uu uu uu u r r r r r b)3IA + IB + IC + ID = O ′ ′ Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.r ′uuu ′Dr có r rhai đáy O O/.M trung uuu A B C r r uuutâm điểm BC,các vec tơ AB = a, AD = b, AA′ = c Hãy biểu diễn vec tơ rrr uuu uuuu uuur uuu uuuu uuuur r r u r r AD, O′O, CC ′, BA′, C ′D′, O′M theo a, b, c ,rồi suy ba vec tơ đồng phẳng : ( uuuu uuuu uuu r r r ) uuu uuuu uuuur r r ( AD′, O′O, CB′) ; ( BA′, C′D′, O′M ) C.BÀI TẬP: uuu r uuu r uuu r r r r Bài 1: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ AB = a, AC = b, AA′ = c Gọi I trung điểm uu uuu uuur r r rrr B/C/,K giao điểm A/I B/D/.Hãy biểu diễn vec tơ AI , AK , DK theo a, b, c Bài 2:Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC.Kẻ tia phân giác OM,ON,OP góc AOB,BOC,COA.Chứng minh rằng:Nếu ba tia OM,ON,OP có hai tia vng góc cặp tia cịn lại vng góc đơi Bài 3:Cho tứ diện ABCD.Chứng minh rằng: uuu uuu r r a) AB.CD = ( AD + BC − AC − BD ) 1) uuu uuu uuu uuu uuu uuu u r r r r r r r b) AB.CD + AC.DB + AD.BC = O 2)Nếu AB vng góc với CD AC vng góc với DB AD vng góc với BC Bài 4: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Một mặt phẳng cắt bốn cạnh hình hộp AA/,BB/,CC/,DD/ theo thứ tự M,N,P,Q.Gọi E,F trung điểm AC MP.Gọi G G/ trọng tâm tam giác ABC MNP.Chứng minh rằng: uuu uuuu uuu uuuu uuu uuu uuu r r r r r r r a) EF = AM + CP = AM + BN + CP + DQ uuuu uuuu uuu uuu r r r r b)GG′ = AM + BN + CP rrr Bài 5:Trong không gian cho ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng r r ru r r rr r r ru r r a)Gọi x = a − 2b, y = 3b − c, z = 2c − 3a Chứng minh ba vec tơ x, y, z đồng phẳng r r r r r r b)Chứng minh ba vec tơ la − mb, nb − lc, mc − na đồng phẳng Bài 6: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi G G/ trọng tâm tam giác A/BD B/CD a)Chứng minh A,G,G/ thẳng hàng AG=GG/=G/C · · · b)Tính AC/ theo AA/=a,AB=b,AC=c, BAD = α , DAA′ = β , BAA′ = γ CHỦ ĐỀ TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A.PHƯƠNG PHÁP: Để tính góc hai đường thẳng a,b chéo khơng gian ta áp dụng hai cách sau: • Tìm góc hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng a,b;đưa vào tam giác,sử dụng hệ thức tam giác (đặc biệt định lý cosin) r r rr • Lấy vec tơ u; v phương với a,b ,biểu diễn u; v qua vec tơ biết,tính rr cos(u, v) suy góc (a,b) B.Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh a, · · · BAD = 600 , BAA/ = DAA′ = 1200 Gọi O,O/ tâm hai đáy hình hộp.Tính: · ′B′, AC , · ′, BC , B′O, DC , DO′, AC · · A AC ( ) ( ( ( ) ) )( )( )( ) Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB =AC=AD=a;BC=CD=DB= a AC a)Tính · , BD ( ) b)Chứng minh AB ⊥ CD,AD ⊥ BC C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vng cân đỉnh B,AB=a,tam giác ADC AB AD vuông cân đỉnh A,BD= a Tính · , DC , · , BC ( )( )( ) ) · · Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ đáy tam giác cạnh a , BAA′ = CAA′ = 600 cạnh bên AA/=a.Gọi I tâm mặt bên AA/B/B.Tính góc IC/ với AB BC Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a;SAB,SAC,SAD tam giác vuông cân đỉnh A · · · AB a)Tính SA, BC , SB, DC , · , SD , SC , AD ( )( )( b)Gọi E điểm thuộc cạnh AD cho AE=b (0