PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN a) LÍ THUYẾT 1a Phép chia hết phép chia có dư 1a.1) Hai số nguyên a b ( b>0) Khi chia a cho b ta có a chia hết cho b a khơng chia hết cho b + a chía hết cho b , kí hiêu a  b ta củng nói b chia hết a hay b ước a , a bội b + Định nghĩa : ab  có số nguyên q cho a = bq + a không chia hết cho b chia a cho b ta thương q số dư r ( < r < b) viết : a = bq + r với < r < b Tổng quát : + Với hai số nguyên a b ( b > ) ln có hai số ngun q r ( ≤ r < b) cho a = bq + r Nếu r = a chia hết cho b Nếu r ≠ a khơng chia hết cho b + Khi chia số nguyên a cho số nguyên b ( b >0) số dư r b số từ đến b – 1a.2) Ước chung lớn bội chung nhỏ + Định nghĩa : - Số nguyên d ước chung a b d ước a d ước b - Số nguyên dương lớn tập hợp ước chuung a b gọi ước chung lướn a b Ước chung lớn a b kí hiêu ƯCLN(a ,b) hay (a,b) - Số nguyên m bội chung a b m  a m  b - Số nguyên dương nhỏ tập hợp bội chung a, b gọi la bội chung nhỏ a b Bội chung nhỏ a b kí hiêu BCNN(a, b) hay [a , b] 1a.3) Các tính chất chia hết + Nếu (a, b) = gọi a, b hai số nguyên tố + Số nguyên tố số lớn có hai ước Định lí : Mội số nguyên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách ( không kể thứ tự thừa số) Định lí : vơi a, b, c số nguyên dương a) ( ac , bc) = c(a,b) b)  a b  ( a, b) với c ƯC(a, b)  ,  c c c Định lí : acb Định lí : ca , cb (a,b) =  c  b (a,b) =  c  Định lí 4: Nếu (a, b) =d tồn hai số nguyên x0 , y0 cho ax0 + by0 = d , x0 , y0 xác định thuật toán Ơ-clit  Thuật toán Ơ-clit : a = bq + r với ≤ r ≤ b – (a,b) = (b, r) 2a Đa thức : + Định nghĩa đơn thức : sgk lớp + Định nghĩa đa thức : sgk lớp +Các đẳng thức đáng nhớ :  (a  b)2 = a2  2ab + b2  a2 – b2 = (a + b )( a – b )  ( a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3  a3  b3 = ( a  b)( a2  ab + b2) + Phân tích đa thức thành nhân tử 3a Lũy thừa với số mũ số tự nhiên : sgk lớp + Định nghĩa + Các phép toán + Tính chất 4a Phân thức + Định nghĩa : sgk lớp 5a Các phép biến đổi phương trình + Định nghĩa phương trình nhiều biến : sgk lớp + Định nghĩa nghiệm phương trình : sgk lớp + Định nghĩa hai phương trình tương đương sgk lớp + Các phép đổi phương trình : sgk lớp  Phép chuyễn vế hạn tử  Phép nhân cố khác + Phương trình bậc hai cách giải : sgk lớp 6a Căn thức bậc hai : sgk lớp + Định nghĩa + Các phép biến đổi b) CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1b Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c (*) a,b nguyên khác Cách giải 1: + Nếu (a,b) = d ≠ c không chia hết cho d phương trình (*) vơ nghiệm + Nếu (a, b, c) = d ≠ Thì ta chia hai vế phương trình (*)cho d để phương trình đơn gian Ví dụ : 6x + 4y = 14  3x + 2y = 12x + 6y = 15  4x + 2y = + Nếu (a ,b) = phương trình (*) có nghiệm nguyên nghiệm xác định :  x  x0  bt   y  y0  at Trong t  Z (x0 ; y0) nghiệm riêng phương trình (*) Xác định nghiệm riêng theo định lí Chứng minh : Ta có (a, b) =  có hai số nguyên p , q : ap + bq =  apc +bqc = c Mà ax + by = c nên : a(x – pc ) = b( qc – y) (1) , (a, b) =  ( x – pc ) b  có số nguyên t cho : x = pc +bt hay x = x0 + bt (2) Với x0 = pc Thay (2) vào (1) : abt = b(qc – y)  y = qc – at hay y = y0 – at với y0 = qc Ví dụ : Giải phương trình 40x + 31y = Giải : Ta có (40,31) = nên phương trình có nghiệm ngun Tìm nghiệm riêng : 40 = 31.1 + 31 = 9.3 + = 4.2 +  40.7 + 31.( -9) =  x0 = , y0 = -  Phương trình có nghiệm x = + 31t , y = - – 40t với t  Z Cách giải : Dùng tính chất chia hết để xét nghiệm hệ số a, b , c Ví dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình: 11x + 18y = 120 Giải: Ta thấy 11xM6 nên xM6 Đặt x = 6k (k nguyên) Thay vào (1) rút gọn ta được: 11k + 3y = 20 Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: 20  11k y Tách riêng giá trị nguyên biểu thức này: k 1 y   4k  k 1 Lại đặt = t với t nguyên suy k = 3t + Do đó: y   4(3t  1)  t   11t x  6k  6(3t  1)  18t  Thay biểu thức x y vào (1), phương trình nghiệm Vậy nghiệm nguyên (10 biểu thị công thức: �x  18t  với t số nguyên tùy ý � �y   11t Cách giải: - Rút gọn phương trình, ý đến tính chia hết ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x - Đặt điều kiện để phân bố biểu thức x số nguyên t1 , ta phương trình bậc hai ẩn y t1 - Cứ tiếp tục ần biểu thị dạng đa thức với hệ số nguyên 2b) Phương trình bậc ba ẩn Cơng nhận tính chất : Người ta chứng minh : Một phương trình bậc n ẩn ( sau chia hai vế phương trình cho UCLN hệ số nó) có nghiệm nguyên hệ số ẩn ngun tố Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – 5y – 6z = Giải : Phương trình có nghiệm ngun (2,5,6) = Ta có ( 2, 5) = nên đưa phương trình dạng 2x – 5y = + 6z Lấy z= u với u tùy ý  Z , đặc c = + 6u Khi ta có phương trình 2x – 5y = c Phương trình có nghiệm riêng x0 = 3c , y0 = c nghiệm tổng quát x = 3c – 5t , y = c – 2t với t  Z Thay c = + 6u vào nghiệm tổng quát 2x – 5y = c ta có nghiệm tổng quát phương trình 2x – 5y – 6z =  x 12  18u  5t   y 4  6u  2t  z u  Trong u ,t  Z Ví dụ : Phương trình có hệ số 1ẩn Giải phương trình 6x + y +3z = 15 Nhận xét : x , z lấy giá trị nghuyên ta củng có giá trị y ngun tương ứng Vậy phương trình có nghiệm tổng quát :  x u   y 15  6u  3t  z t  Trong u ,t  Z 3b) Phương trình bậc hai hai ẩn Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 Giải: Biểu thị y theo x: (2x + 3)y = 5x + 11 Dễ thấy 2x + �0 ( x nguyên ) đó: x  11 x 5 y 2 2x  2x  Để y ��phải có x  5M2 x  � 2( x  5)M2 x  � x   7M2 x  � 7M2 x  Ta có: 2x + X Y -1 -1 -2 -1 -7 -5 Thử lại cặp giá trị (x , y) thỏa mãn phương trình cho Ví dụ 2:Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  x  11  y Giải: Cách 1: Đưa phương trình ước số: x  x   12  y � ( x  1)  y  12 � ( x   y )( x   y )  12 Ta có nhận xét: a) Vì (1) chùa y có số mũ chẵn nên giả thiết y �0 Thế x   y �x   y b) ( x   y )  ( x   y )  y nên x   y x   y tính chẵn lẻ Tích chúng 12 nên chúng chẵn Với nhận xét ta có hai trường hợp: x–1+y x–1-y -2 -6 Do đó: x-1 -4 y 2 x -3 Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai x: x  x  (11  y )  V'   11  y  12  y Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên: V' số phương � 12  y  k ( k ��) � k  y  12 � (k  y )(k  y )  12 Giả sử y �0 k + y �k – y k + y �0 (k + y) – (k – y) = 2y nên k + y k – y tính chẵn lẻ phải chẵn Từ nhận xét ta có: k y6 � � ky2 � Do đó: y = Thay vào (2): x  x  15  � x1  5, x2  3 Ta có bốn nghiệm: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  3xy  x  y   (1) Giải: Viết thành phương trình bậc hai x: x  (3 y  1) x  (2 y  y  3)  (2) 2 V (3 y  1)  4(2 y  y  3)  y  y  11 Điều kiện cần đủ để (2) có nghiệm nguyên V số phương � y  y  11  k ( k ��) (3) Giải (3) với nghiệm nguyên ta y1  5, y2  3 Với y = thay vào (2) x  14 x  48  Ta có: x1  8, x2  6 Với y = -3 thay vào (2) x  10 x  24  Ta có x3  6, x4  Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3) 4b) Phương trình chứa thức Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình: y  x  x 1  x  x 1 Giải: Điều kiện: x �1 y  ( x  1)   x   ( x  1)   x  | x   |  | x   |  x   1 | x   | Xét hai trương hợp: a) Với x = y =2 b) Với x �2 y  x    x    x  Do đó: y  4( x  1) Do x �2 nên đặt x – = t với t nguyên dương �x  t  Ta có: � �y  2t Kếtt luận: nghiệm phương trình là: (1 ; 2), ( t  ; 2t) với t số nguyên dương tùy ý Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: x x x x  y Giải: Ta có: x �0, y �0 Bình phương hai vế chuyển vế: x  x  x  y  x  k (k ��) Bình phương hai vế chuyển vế: x  x  k  x  m(m ��) Bình phương hai vế: x  x  m2 Ta biết với x nguyên x số ngun số vơ tỉ Do x  x  m (m ��) nên khơng số vơ tỉ Do x số nguyên số tự nhiên Ta có: x x ( x  1)  m x x  có tích số phương nên số nhỏ 0: x =0 Suy ra: x = 0; y = thỏa mãn phương trình cho Nghiệm phương trình (0 ; 0) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  1980 (1) Giải: x  1980  y (2) Với điều kiện �x, y �1980 : (2) � x  1980  y  1980 y Hai số tự nhiên liên tiếp � x  1980  y  12 55 y Do x, y nguyên nên 12 55y nguyên Ta biết với y nguyên 55y số ngun số vơ tỉ Do 55y số nguyên, tức 55y số phương: 11.5.y = k Do đó: y = 11.5.a  55a với a �� Tương tự: x = 55b với b �� Thay vào (1): a 55  b 55  55 � ab  Giả sử y �x a �b Ta có: A b x  55a y  55b 1980 55 1375 220 880 3 495 495 Có đáp số: (0 ; 1980), (1980 ; 0), (55 ; 1375), (1375 ; 55), (220 ; 880), (880 ; 220), (495 ; 495) c) Bài tập Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) 5x +3y = ; b) 32x – 40y = 38 c) 38x + 117y = 15 ; d) 21x – 17y = -3 e) 2x + 3y + 5z = 15 ; f) 23x – 53y + 80z = 101 Bài Tìm số tự nhiên chia hết cho chia cho , , 4, , cho số dư Bài Tìm năm sinh nhà thơ Nguyễn Du , biết ông sống không 86 năm năm 1786 tuổi ơng tổng chữ số năm ơng sinh Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = Hướng dẫn: Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = � x(y + 1)2 = 243y (1) Từ (1) với ý (y + 1; y) = ta suy (y + 1)2 ước 243 Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8) Bài Tìm x, y �� thỏa mãn : 2x2 – 2xy = 5x – y – 19 Tìm tất cặp nghiệm nguyên (x, y) thỏa mãn : y(x – 1) = x2 + Hướng dẫn: x2  Ta có y(x – 1) = x2 + � y   x 1 x 1 x 1 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) 15x2 – 7y2 = b) 29x2 – 28y2 = 2000 c) 1999x2 – 2000y2 = 2001 Hướng dẫn: a) Từ phương trình cho ta suy y chia hết cho Đặt y = 3y1 Ta có 5x2 – 21y12 = (1) Từ (1) suy x chia hết cho Đặt x = 3x1 Ta có 15x12 – 7y12 = (2) Từ (2) suy y1 ≡ -1 (mod 3), vô nghiệm b) Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ (mod 7) Vậy phương trình cho vơ nghiệm c) Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài Tìm x, y nguyên thỏa mãn : x2y2 – x2 – 8y2 =2xy Hướng dẫn: Viết lại phương trình cho dạng: y2(x2 – 7) = (x + y)2 (1) Phương trình cho có nghiệm x = y = Xét x, y ≠ Từ (1) suy x2 – số phương Đặt x2 – = a2, ta có (x – a)(x + a) = Từ tìm x Đáp số: (0, 0) ; (4, -1) ; (4, 2) ; (-4, 1) ; (-4, -2) Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2  y  z Hướng dẫn: Vì vai trị x, y, z nên giả sử y �z Từ phương trình cho ta suy x   y  z  yz Suy ( x  y  z )  3( x  y  z )  yz  12 (1) Vì số vô tỉ nên từ (1) ta suy : x – y – z = 4yz – 12 = � yz = � y = 3, z = x = y + z =4 Đáp số : phương trình có nghiệm (4; 3; 1) (4; 1; 3) Bài Tìm số nguyên không âm x, y cho : x2  y  y  Hướng dẫn: Nếu y = x = Nếu y �1 từ phương trình cho ta suy y < x < y + 1, vơ lí Bài 10 Tìm nghiệm x , y nguyên dương phương trình : y2 = x2 + 12x + 1995 (1) Ta có (1)  y2 = (x + 6)2 + 1959  1959  y  45 Ta có -1959 = (x + 6)2 - y2 = (x + y + 6)(x - y + 6) với x + y +  52 1959 = 653 Bài 11 Tìm số tự nhiên có chữ số biết chia cho 131 cịn dư 112 chia cho 132 dư 98 ( HSG Bến tre ) Bài 12 Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x2 + 2xy + 5y2 = 45 ( HSG Bến tre) Bài 13 Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – = ( m tham số ) (*) a) Cm phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm số nguyên m cho hai nghiệm x1, x2 (*)củng số nguyên ( HSG Gia Lai ) Bài 14 Cho phương trình x – 2ax – (a + 3) = ( a tham số ) ( 1) a) giải (1) với a = b) Tìm a nguyên cho ( 1) có nghiệm ngun ( HSG Hải Phịng ) 2 Bài 15 Tìm nghiệm nguyên phương trình 5( x + xy + y ) = ( x + 2y) ( HSG Nghệ An ) ... minh : Một phương trình bậc n ẩn ( sau chia hai vế phương trình cho UCLN hệ số nó) có nghiệm nguyên hệ số ẩn nguyên tố Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – 5y – 6z = Giải : Phương trình có nghiệm ngun... biến đổi phương trình + Định nghĩa phương trình nhiều biến : sgk lớp + Định nghĩa nghiệm phương trình : sgk lớp + Định nghĩa hai phương trình tương đương sgk lớp + Các phép đổi phương trình :... Vậy phương trình cho vơ nghiệm c) Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài Tìm x, y nguyên thỏa mãn : x2y2 – x2 – 8y2 =2xy Hướng dẫn: Viết lại phương trình