Hệ đối xứng loại (kiểu) I

Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu Hệ đối xứng loại (kiểu) I: ì ìï f(x, y) = f(y, x) ïí ïï g(x, y) = g(y, x) ỵ ï f(x, y) = a Là hệ có dạng : ïíï g(x, y) = , ïỵ b Phương pháp giải chung: - Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) - Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S2 ³ 4P - Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Sau tìm S, P x, y nghiệm phương trình t2 – St + P = c Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P: x2 + y2 = (x + y) – 2xy = S2 – 2P x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P x4 + y4 = (x2 + y 2) – 2x y = (S2 – 2P) – 2P d Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta sử dụng phương pháp khác như: - Phương pháp - Phương pháp hàm số - Phương pháp điều kiện cần đủ - Phương pháp đánh giá e Các ví dụ: ìï x2y + xy2 = 30 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ïíï x3 + y3 = 35 (1) ïỵ GIẢI ìï S = x + y Đặt ïíï P = xy điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình (1) trở thành: ïỵ ïìï SP = 30 Û í ïï S - 3PS) = 35 ỵ ìï ïï P = 30 ï S Û í ïï 30 ïï S - S = 35 ỵ S ïìï S = í ïï P = ỵ ét = => x, y nghiệm phương trình t2 – 5t + = Û ê êt = ê ë Vậy hệ (1) có nghiệm (2;3); (3;2) * Lưu ý số trường hợp đặc biệt: i) Có hệ phương trình trở thành loại I sau đặt ẩn phụ: Giáo viên: Phạm Thị Cảnh Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu ìï x2 + xy + y2 = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ïíï x - y - xy = (2) ïỵ GIẢI Nhận xét: Hệ vốn khơng đối xứng ìï x2 - tx + t2 = Đặt t= - y ta hệ đối xứng: ïíï x + t + tx = ïỵ ì ïìï S - 3P = Û S2 + 3S - 10 = í ïï S + P = ỵ ï S= x+t Đặt ïíï P = xt , điều kiện S2 ³ 4P ta được: ïỵ éìï S = - êïí êï P = (loai khơng thoa mãn S ³ 4P) ïìï S = - ïỵ Û í Û ê ê ì ïï S = êïï S = ỵ êíï P = ê ëỵï ì ïS=2 Với ïíï P = ta có: ïỵ ïìï x + t = í ïï x.t = ỵ => x, t nghiệm phương trình u2 – 2u + = => u = Vậy x= t =1 t = => y = -1 Vậy hệ (1) có nghiệm (1; -1) ii) Trong số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) sau đặt ìï S = u + v ïí ta hệ phương trình đơn giản so với việc đặt ïï P = uv ỵ ìï S = x + y ïí ïï P = xy ỵ ì ï xy + x + y = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ïíï (x + 1)3 + (y + 1)3 = 35 (3) ïỵ GIẢI ìï u = x + Đặt ïíï v = y + (3) trở thành ïỵ ì ìï uv = ïí ïï u3 + v3 = 35 (3’) ỵ ï S= u+v Đặt ïíï P = uv , hệ (3’) trở thành ïỵ ïìï P = Û í ïï S - 3PS = 35 ỵ ì ïíï S = ïï P = ỵ ìï t = ïí Û => u, v nghiệm phương trình t – 5t + = ïï t = ỵ => (3’) có nghiệm (2;3) (3;2) => Hệ phương trình (2) có nghiệm (1;2); (2;1) ìï x + y + x2 + y2 = Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ïíï xy(x + 1)(y + 1) = 12 (4) ïỵ Giáo viên: Phạm Thị Cảnh Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu GIẢI ïì S = x + y Nhận xét: Nếu đặt ïíï P = xy ta thu hệ ïỵ ìï u = x(x + 1) Đặt ïíï v = y(y + 1) (4) trở thành ïỵ ìï S2 + S - 2P = ïí ïï P(P + S + 1) = 12 (-> phức tạp) ỵ ìï u + v = ïí ïï uv = 12 ỵ é t=6 => u, v nghiệm phương trình t2 – 8t + 12 = ê êt = ê ë éìï u = êïí êï v = ỵï Vậy ê êïì u = Do ta có êï êíï v = ê ëỵï ìï x2 + x - = ìï x2 + x - = ïí ïí ïï y2 + y - = ïï y2 + y - = ỵ î Vậy (4) có nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2) ìï ïï x + y + + = ï x y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ïíï (5) ïï x2 + y2 + + = ïïỵ x2 y2 GIẢI ïì S = x + y Nhận xét: Nếu đặt ïíï P = xy ïỵ thơng thường dẫn tới hệ phương trình phức tạp Điều kiện: x ¹ 0,y ¹ ìï ïï u = x + ï x Đặt íï (5) trở thành ïï v = y + ïïỵ y Đặt ìï S = u + v ïí ïï P = uv ỵ ìï S = ïí Û ïï S2 - 2P = ỵ điều kiện ìï u + v = ïí ïï u2 + v2 = (5’) ỵ S2 ³ 4P Hệ phương ì ïíï S = ïï P = î => u, v nghiệm phương trình t2 – 4t + = Û t = ìï u = Vậy ïíï v = Û ïỵ ìï ïï x + = ï x Û í ïï ïï y + = y ïỵ ì ïíï x = ïï y = ỵ Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm (1;1) Giáo viên: Phạm Thị Cảnh trình (5’) trở thành: Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu iii) Có hệ phương trình đối xứng loại I khơng giải theo cách giải quen thuộc Ta phải dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng giải theo phương pháp quen thuộc ìï x y + y x = 30 ï Ví dụ 6: Giải hệ phương trình íï (6) ïïỵ x x + y y = 35 GIẢI Điều kiện x, y ³ Nhận xét: Đây hệ đối xứng loại I không giải theo phương pháp quen thuộc Đặt u = ìï u2v + uv2 = 30 ï y hệ (6) trở thành íï (6’) ïỵ u + v = 35 x; v = Giải ví dụ ta kết nghiệm (6’) (2;3) ; (3;2) => (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4) ìï ï Ví dụ 7: Giải hệ phương trình íï ïïỵ x+ y=9 (7) x+3y=5 GIẢI Điều kiện x, y ³ ìï u = ï Đặt íï ïïỵ v = 6 ìï u3 + v3 = hệ (7) trở thành ïíï u2 + v2 = (7’) y ïỵ x Giải theo phương pháp thông thường ta kết nghiệm (7’) (2;1) ; (1;2) => nghiệm hệ (7): (64; 1); (1; 64) ìï 2x2 + 2y2 = Ví dụ 8: Giải hệ phương trình ïíï x - y + x + y + x2 - y2 = 35(8) ïỵ GIẢI Nhận xét: Đây hệ phương trình đối xứng loại I ẩn x, y không giải theo cách giải quen thuộc ìï u2 + v2 = x + y x y Dùng ẩn phụ đặt u = ;v= đưa hệ (8) dạng ïíï u + v + uv = (8’) ïỵ Hệ (8’) giải theo phương pháp quen thuộc Ta thu kết nghiệm (8) ỉ1 3ư ỉ3 1ư ; ÷ ÷; ç ÷ ççç ; ÷ ÷; ÷ç ç2 2ø ố2 2ứ ố ổ 3ử ỗ - ;- ữ ữ ỗ ữ; ỗ ố 2ứ Giỏo viờn: Phm Th Cnh ổ 1ử ỗ - ;- ữ ữ ç ÷; ç è 2ø ỉ3 1ư ỉ 3ữ ỗ ỗ ;- ữ ; ữ ữ ỗ ç ; ; ÷è ç2 2ø ç 2÷ è ứ ổ 1ử ỗ - ; ữ ữ ç ÷; ç è 2ø ỉ1 3ư ç ;- ữ ữ ỗ ữ ỗ2 2ứ ố Phng phỏp gii hệ đối xứng loại I số tập mẫu * Nhiều hệ dang ban đầu chưa thấy xuất ẩn phụ, trường hợp ta cần sử dụng vài phép biến đổi phù hợp ìï ï Ví dụ 9: Giải hệ phương trình íï ïïỵ x+ y=4 x +5+ y+5 = (9) GIẢI Điều kiện x, y >0 ìï ï Û í (9) ïï ïỵ x + + x + y + + y = 10 x + 5- x + y + 5- y =2 ìï ïï Û ïí ïï ïïỵ x + + x + y + + y = 10 5 + =2 x + 5+ x y+5 + y ìï ( x + + x) + ( y + + y) = 10 Û ïí ïï ( x + + x).( y + + y) = 25 ïỵ ìï u = x + + x ï (u, v > 0) Khi ta có hệ Đặt íï ïïỵ v = => u, v ìï ìï u = ï ïí hay í ïï v = ïï ỵ ïỵ y+5+ y ìï u + v = 10 ïí ïï u + v = 25 ỵ nghiệm phương trình t – 10t + 25 = Û t = x +5+ x = y+5+ y = (9’) Giải hệ (9’) ta nghiệm (4;4) => Vậy hệ (9) có nghiệm (4;4) iv) Trong số trường hợp gặp hệ phương trình dối xứng loại I ta khơng thể giải theo cách giải quen thuộc không chọn ẩn phụ thích hợp để đưa cách giải “quen thuộc” ta dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải ìï x - y = ( 3y - ï Ví dụ 10: Giải hệ phương trình íï 3 ïỵ x + y = 16 3x - 1)(x2 + y2 + 2) GIẢI Điều kiện x, y > 13 ìï 3y - - 3x - 1 ïï =- y- x x + y2 + (10’) Nếu x ¹ y (10) Û íï 3 ïï x + y = 16 ïỵ Giáo viên: Phạm Thị Cảnh (10) Phương pháp giải hệ đối xứng loại I số tập mẫu Ta nhận thấy 3y - - 3x - 3y - - 3x + = = y- x (y - x)( 3y - + 3x - 1) - < suy (x; y) : x= y không thỏa hệ x + y2 + 2 ìï x = y Với x = y (10) Û ïíï x3 + y3 = 16 Û ïỵ ì ïíï x = ïï y = ỵ Vậy hệ phương trình (10) có nghiệm (2; 2) Giáo viên: Phạm Thị Cảnh 3y - + 3x - >0 ... ỵ Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm (1;1) Giáo viên: Phạm Thị Cảnh trình (5’) trở thành: Phương pháp gi? ?i hệ đ? ?i xứng lo? ?i I số tập mẫu iii) Có hệ phương trình đ? ?i xứng lo? ?i I không gi? ?i theo... pháp gi? ?i hệ đ? ?i xứng lo? ?i I số tập mẫu ìï x2 + xy + y2 = Ví dụ 2: Gi? ?i hệ phương trình ïíï x - y - xy = (2) ïỵ GI? ?I Nhận xét: Hệ vốn khơng đ? ?i xứng ìï x2 - tx + t2 = Đặt t= - y ta hệ đ? ?i xứng: ... dụ 4: Gi? ?i hệ phương trình ïíï xy(x + 1)(y + 1) = 12 (4) ïỵ Giáo viên: Phạm Thị Cảnh Phương pháp gi? ?i hệ đ? ?i xứng lo? ?i I số tập mẫu GI? ?I ïì S = x + y Nhận xét: Nếu đặt ïíï P = xy ta thu hệ ïỵ