Chuyên đề : Rút gọn biểu thức

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Chuyên đề : Rút gọn biểu thức NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần ý: Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) Các công thức biến đổi thức: A có nghĩa A≥0 A2  A AB  A B A A  B B A B  A ( Với A 0 ; B > ) B A B = A B A B = - A2 B A  B B ( Với A 0 ; B 0 ) AB Trịnh Thị Thúy Hạnh ( Với B 0 ) ( Với A 0 ; B 0 ) ( Với A < ; B 0 ) ( Với AB 0 B 0 ) Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức A A B B B C C ( A mB )  A  B2 A �B 10 ( Với B > )  C A� B  (ví i A �0, A �B ) C( A m B ) A B (ví i A �0, B �0, A �B) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức Các tính chất phân thức Sử dụng tính chất ta có thể nhân với biểu thức liên hợp tử ( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn * Các dạng tập: - Rút gọn biểu thức số - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến; + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến * DẠNG1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ 20  45  18  72 b/ ( 28   )  84 c/     120 � 1 d/ �  � 2 � Trịnh Thị Thúy Hạnh 2 �1 200 � : � �2 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Giải: a/ 20  45  18  72 = 2.5  32.5  32.2  2.2 =  9 6 =   3  (9  6) 15   b/ 28     84 = 2.7    2.21 = 2.7  21   21 = 14      21 21 c/     120 =  30   2.30 =   30  30 11 � d /� � �  2 �  � � 2 2 �1 � 200 � : � �8 � � �  22 2 �1 10 2.2 � : �8 � � 8 2�  2  12  64  54 � + Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a/ A 1  5 5 b/ B 42 6 c/ C 2   2 3 Giải: a/ A 1   5 5 Trịnh Thị Thúy Hạnh      3 3   3 5  5 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức    2   53  b/ 42 6 B  3   c/ C   1    1 1   1   2 1  1   1  1   2 2 1   2 3     3 1     1       1      2 34     1      1      1   1   1       1   1 3   1   1      1   3 + Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: a/ 2 b/ c/      1 2   2 9 2  2  2    2 Giải: a/ 2       BĐVT ta có : 2      1 2   8  2 9          VP Vậy đẳng thức chứng minh b/ 2  2  Trịnh Thị Thúy Hạnh Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức BĐVT ta có : 2  2  1  1   2  2  42  42    1    1    VP 2  Vậy đẳng thức chứng minh c/  2    2  8 BĐVT ta có :   5   2     5 2   22   5  52  22   5   2    2  52   2   2 2 42 4   VP 54 Vậy đẳng thức chứng minh + Ví dụ 4: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/  10 b/ 2003  2005 2004 c/ Giải: a/  10 Ta có:           24 Và  10   10     25 Vì 24 < 25 => 24 < 25 =>  24   Hay      b/ 2003  2005 Ta có:  10  �   10 2004 2003  2005 Trịnh Thị Thúy Hạnh 25   2003  2005  2003.2005 Giaovienvietnam.com   1 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức  2004  1  2004  1  4008  Và 2 2004   4008  20042   4.2004  2.2004  2004 20042   20042  20042   20042 Vì  4008  20042   4008  20042   2003  2005  2 2004 c/ Ta có:  52.3  75 Và  32.5  45 Vì 75 > 45 => 75  45    2003  2005  2004 75  45   *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo + Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai A  A đưa đẳng thức + Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… II Bài tập: Thực phép tính: a/  12  75  27  : 15 ; b/ 252  700  1008  448 ; c/      72  20  2  Rút gọn biểu thức sau: Trịnh Thị Thúy Hạnh Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a/  1  ; 2 b/ 3 2  6 2; c/ 2 � 2 2 :�   � 2 � � � � � 3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/  2  ; b/ c/ ; 21 14  13  11 4.Cho A  11  96 B 2 1  Khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, so sánh A B Chứng minh đẳng thức sau: a/     5       20  33 ; b/ c/  10    10    10 ; 1    9 1 2 99  100 *DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I Các ví dụ: � 1 � a 1  * Ví dụ 1: Cho biểu thức M  � với a >0 a �1 �: a  �a  a  �a  a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 a �1 Trịnh Thị Thúy Hạnh Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức � a   �  �: a  �a  a  �a  a a/ M  �  1 a a    a1  a1 a 1 a1 b/ Ta có M  a   a a1 1  a  a  1   a  a  1 a  1 1  a  a1 : a 1   a1 a1 a , a > => a  => a  nên  a 1 Vậy M < * Ví dụ 2: Cho biểu thức    x     x  P   x  x   x 2  x  x  x a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P c/ Tính giá trị P với x 3  2 Giải:    a/ Biểu thức P có nghĩa chỉ :     x 0 x  0 2 x 0 x 1 0 x 0  x 1  x 1       x 2  x 2  x 3   x 3 b/ Đkxđ : x 1; x 2; x 3  P      x  x  x x  x 1 x  x x   x  x        2 x  x  3 x 1  x 2  x  x       x     x x 1   x  x 2   x    x  x   x  3 x    x  x      x  1  x 2 x  x   x  1  Trịnh Thị Thúy Hạnh   Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức        x  x   x  3 x      x    x 2 x x  x 1 x    x  x 1    x 1  x x      1 x   2 x x c/ Thay x 3  2   vào biểu thức P  P 2    21  21 2  2 21 21 2  1 21 2 x x  , ta có: 21  1 * Nhận xét phương pháp giải: Theo thứ tự thực phép tính ta phải làm phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ khơng Tại vậy? Bởi quy đờng mẫu tính tốn phức tạp Ta trục thức mỗi mẫu, kết nhanh chóng * Ví dụ 3: Cho biểu thức 2x x   11x A   với x  3 x  3  x x2  a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: x  3 A 2x x   11 x 2x x 1  11 x      x  3  x x  x  x   x  3 x  3 x x  3   x  1 x  3    11 x  x  x  x  x  x    11 x    x  3 x  3  x  3 x  3  3x  x x  x  3 3x    x  3 x  3  x  3 x  3 x  Trịnh Thị Thúy Hạnh Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 3x , A < tức x 3x 3x 3x  2 x  3 2  20 0 x x x 3x  x  x 6  0  0(*) x x b/ Ta có A  x6 0 Dễ thấy x + > x – Bất phương trình (*) có nghiệm  x 30   6 x 3 Vậy với   x  A < 3x 9 3       x   U (9) c/ Ta có A  x x x Mà U (9)  1;3;9 nên ta có:  x – = - x = ( tm đkxđ )  x – = < => x = ( tm đkxđ )  x – = - x = ( tm đkxđ )  x – = < = > x = ( tm đkxđ )  x – = - x = - ( tm đkxđ )  x – = x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 A nhận giá trị ngun * Ví dụ 4: Cho biểu thức  2x 1    x3 x . B     1 x  x  x   x 1   x   với x 0 x 1 a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = Giải: Đkxđ : x 0 x 1  2x 1    x3 x  .   a/ B    x  x  x 1   x Trịnh Thị Thúy Hạnh  x   10 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức   x  1 x  x  1     x 1 2x 1  x  x   x  1 x  x  1 1  x  x  x  x 1      x  1  x    x1   x  x  x 1  2x 1  x  x  x  x  x 1 b/ Ta có B  x  B = 3, tức Vậy với x = 16 B = x 4  x 16 ( t/m đkxđ) x  3  * Ví dụ 5: Cho biểu thức 3  1  1 x  y x  x y  y  A     : với x > , y > y  x  y x y   x x y  xy a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y >  1  1  A     :  a/ y  x  y x y   x  x y x  y    :   xy xy x  y    x  y     :  xy  xy     x y xy b/ Ta có     A  x  y x   xy  y  xy x  y  xy x  y    xy  x  y  x y  x y xy y  0   x x y x xy Trịnh Thị Thúy Hạnh y  xy xy  xy 0 x  y 2  Do đó x y  xy y  x  y x xy  x3  y x  x y  y3 16 16 1 11 xy ( xy = 16 ) Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Vậy A = � �x  y � x  y  � xy  16 � *MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN (Đây dạng tốn có tính tổng hợp cao) Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… tốn chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán + Tuân thủ nghiêm ngặt phép biến đổi phương trình, bất phương trình + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận II Bài tập: �1 �� x � A   :  � � � Bài1: Cho biểu thức �3 x  3x ��27  3x x  � � � �� � 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1 �x �x  x x  x � �  � � Bµi 2: Cho biĨu thøc A = � �2 x � � x   x 1 � � � � � a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị x để A > - Trnh Th Thúy Hạnh 12 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức � x �� 10  x �   : x   � � � x 2� x 2� �x   x �� Bµi 3: Cho biĨu thøc B = � � a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị x để A > Bài 4: Cho biểu thức C =   x 1 x x 1 x  x  a) Rót gän biểu thức C; b) Tìm giá trị x để C < Bµi 5: Rót gän biĨu thøc : Trịnh Thị Thúy Hạnh 13 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a) D= ; b) x   x2  x   x2   x   x2  x   x2  � x x � � x x � P=�  1 � � � � � � � x  x  � � � � ; c) x 1 Q= : x  x x x x x ; d) H= x 1  x  x  1 Trịnh Thị Thúy Hạnh 14 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 2x  x  Bài 7: Cho biểu thức P = Q = x 2 x  x  2x  x 2 a) Rót gän biĨu thøc P Q; b) Tìm giá trị x để P = Q Bài 8: Cho biểu thức B 1   x x   9 x x3 :   x    x  x   x x  2  x   a) Rót gän biĨu thøc B b) Tìm x để B > c) Với x > ; x 9 , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1) �3x  9x  1 �   : Bµi 9: Cho biĨu thøc P = � � �x  x  � x  x x a) Tìm điều kiƯn ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P; số tự nhiên; P c) Tính giá trị cđa P víi x = – b) Tìm số tự nhiên x để Bài 10: Cho biÓu thøc : � x 2 x 3 x  �� x � P=�   :  �� � �x  x   x �� � x  x  � �� � a) Rót gän biĨu thøc P; b) Tìm x để P Bài 11: Cho A  2x x 1 x  10   víi x  Chøng x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 minh giá trị A không phụ thuộc vào biÕn sè x Bµi 12: Cho biĨu thøc  a 1  M =  ab   a) Rót gän M   a 1 ab  a  1 :   ab  ab     ab  a  1 ab   3 1 a  b b) Tính giá trị M a= b= c) Tìm giá trị nhỏ cña M nÕu Trịnh Thị Thúy Hạnh 15 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Trịnh Thị Thúy Hạnh 16 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh ... hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn * Các dạng tập: - Rút gọn biểu thức số - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đ? ?: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến;... sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến * DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC S? ?: I.Các ví d? ?: + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức. .. >0 a �1 ? ?: a  �a  a  �a  a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkx? ?: a >0 a �1 Trịnh Thị Thúy Hạnh Giaovienvietnam.com Chuyên đ? ?: Rút gọn biểu thức � a   �  ? ?: a  �a