Câu hỏi và đáp án môn hết môn Lý thuyết đồ thị và Toán rời rạc

Bài tập Chương (Lý thuyết đồ thị) Bài 2.1: Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,5), (4,5), (5,6)} a) Vẽ đồ thị G b) Tìm ma trận kề biểu diễn đồ thị G c) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G d) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G Giải: a) Vẽ đồ thị G b) Tìm ma trận kề biểu diễn đồ thị G c) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G Đầu Cuối 3 5 d) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G Ke(1) = {2, 3}, Ke(2) = {1, 3, 5}, Ke(3) = {1, 2}, Ke(4) = {5}, Ke(5) = {2, 4, 6}, Ke(6) = {5} Bài 2.3: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {(1,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4), (3,5), (4,6), (6,5)} a) Vẽ đồ thị G b) Tìm ma trận kề biểu diễn đồ thị G c) Tìm ma trận liên thuộc đỉnh – cạnh biểu diễn đồ thị G d) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G e) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G Giải: a) Vẽ đồ thị G b) Tìm ma trận kề biểu diễn đồ thị G c) Tìm ma trận liên thuộc đỉnh – cạnh biểu diễn đồ thị G d) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G Đầu Cuối 2 3 6 e) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G Ke(1) = {2}, Ke(2) = {3, 4}, Ke(3) = {1, 4, 5}, Ke(4) = {6}, Ke(5) = {}, Ke(6) = {5} Bài 2.4: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {(1,2), (1,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,5), (4,6), (5,6)} cạnh trọng số tương ứng {18, 12, 6, 5, 10, 17, 20, 25} a) Vẽ đồ thị G b) Tìm ma trận trọng số biểu diễn đồ thị G c) Tìm danh sách cung biểu diễn đồ thị G Giải: a) Vẽ đồ thị G b) Tìm ma trận trọng số biểu diễn đồ thị G c) Tìm danh sách cung biểu diễn đồ thị G Đầu 1 3 4 Cuối 5 6 Trọng số 18 12 10 17 20 25 Bài tập Chương (Lý thuyết đồ thị) Bài 5.1: Cho đồ thị G có ma trận trọng số đây: a) Vẽ đồ thị G b) Áp dụng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh lại đồ thị Chỉ đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh Giải: a) Vẽ đồ thị G b) Áp dụng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh lại đồ thị Chỉ đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh Bướ c lặp Đỉn h1 Đỉnh Đỉnh Đỉnh Đỉnh Đỉnh Khởi tạo [0,1] [18,1]* [21,1] [∞,1] [∞,1] [∞,1] - - [21,1] * [24,2] [∞,1] [∞,1] - - - [24,2] * [37,3] [∞,1] - - - - [37,3] * [38,4] - - - - - [38,4] * Ghi - Đỉnh đến đỉnh Lấy trọng số cạnh 1,2 cạnh 1,3 - Đỉnh khơng đến đỉnh cịn lại nên trọng số vô - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 2) - Từ đỉnh đến đỉnh đỉnh Các đỉnh lại giữ nguyên giá trị trước - Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 18+5 = 23 Tuy nhiên, 23 >21 (là đoạn từ đỉnh đến 3) nên cập nhật giá trị nhỏ 21, giá trị [21,1] - Đỉnh đến đỉnh tổng trọng số 18+6 = 24 nên có giá trị [24,2] - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 3) - Từ đỉnh đến đỉnh đỉnh Các đỉnh lại giữ nguyên giá trị trước - Đỉnh đến đỉnh tổng trọng số 21+10 = 31 Tuy nhiên, 31 >24 (là đoạn từ đỉnh đến 4) nên cập nhật giá trị nhỏ 24, giá trị [24,2] - Đỉnh từ 5, tổng trọng số 21+16 = 37 nên có giá trị [37,3] - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 4) - Từ đỉnh đến đỉnh đỉnh - Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 24+17 = 41 Tuy nhiên, 41 >37 (là đoạn từ đỉnh đến 4) nên cập nhật giá trị nhỏ 37, giá trị [37,3] - Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 24+14 = 38 nên có giá trị [38,4] - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 5) '- Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 37+33 = 70 Tuy nhiên, 70 >38 (là đoạn từ đỉnh đến 6) nên cập nhật giá trị nhỏ 38, giá trị [38,4] Kết luận: a) Đường ngắn qua đỉnh lại đồ thị: 1-1: 1-2: 18 1-2-3: 23 1-2-4: 24 1-3-5: 37 1-2-4-6: 38 b) Đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh có độ dài 38 Cụ thể: - – - Bài 5.2: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {(1,2), (1,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,5), (4,6), (5,6)} Trong đó, cạnh có trọng số tương ứng {18, 2, 6, 5, 10, 17, 20, 15} a) Vẽ đồ thị G b) Áp dụng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh lại đồ thị Chỉ đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh Giải: a) Vẽ đồ thị G b) Áp dụng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh lại đồ thị Chỉ đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh Bước lặp Đỉnh Đỉnh Đỉnh Đỉnh Đỉnh Đỉnh Khởi tạo [0,1] [18,1 ] [2,1] * [∞,1] [∞,1] [∞,1] - [7,3] * - [12,3] [∞,1] [∞,1] - - - [12,3] * [13,2] [∞,1] - - - - [13,2] * [32,4] - - - - - [28,5] * Kết luận: Ghi - Đỉnh đến đỉnh Lấy trọng số cạnh 1,2 cạnh 1,3 - Đỉnh không đến đỉnh cịn lại nên trọng số vơ - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 3) - Từ đỉnh đến đỉnh đỉnh Các đỉnh cịn lại giữ ngun giá trị trước - Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 5+2 = nên giá trị [7,3] - Đỉnh đến đỉnh tổng trọng số 10+2 = 12 nên có giá trị [12,3] - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 2) - Từ đỉnh đến đỉnh Các đỉnh lại giữ nguyên giá trị trước - Đỉnh đến đỉnh tổng trọng số 7+6 = 13 nên có giá trị [13,2] - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 4) - Từ đỉnh đến đỉnh đỉnh - Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 12+17 = 29 Tuy nhiên, 29 >13 (là đoạn từ đỉnh đến 5) nên cập nhật giá trị nhỏ 13, giá trị [13,2] - Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 12+20 = 32 nên có giá trị [32,4] - Chọn đỉnh nhỏ để tiếp (là đỉnh 5) - Từ đỉnh đến đỉnh - Đỉnh đến đỉnh có tổng trọng số 13+15 = 28 nên có giá trị [28,5] a) Đường ngắn qua đỉnh lại đồ thị: 1-1: 1-3-2: 1-3: 1-3-4: 12 1-3-2-5: 13 1-3-2-5-6: 28 b) Đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh có độ dài 28 Cụ thể: - – - - Bài tập Chương (Toán rời rạc) Bài 2.1: Trong giải bóng đá có 20 đội bóng thi đấu vịng trịn có lượt lượt (2 đội đá với trận) Hỏi phải tổ chức trận đấu? Giải: Xét trường hợp thi đấu lượt, đội có trận Ngồi ra, đội khơng thi đấu với đội Theo tổ hợp chập từ 20 phần tử, suy số trận đấu cách chọn đội từ 20 đội, nghĩa là: C(20,2) = 20(20-1)/2 = 190 Do có lượt nên có tổng cộng: 190 * = 380 trận Vậy, đáp án là: 380 Bài 2.2: Có sách Tốn, sách Văn Tin học Hỏi có cách chọn sách khác từ sách trên? Giải: Gọi C1 tập sách Toán Gọi C2 tập sách Văn Gọi C3 tập sách Tin học Khi đó, cách chọn khác từ sách là: N(C1 x C2) = N(C1) x N(C2) = x =12 N(C2 x C3) = N(C2) x N(C3) = x = N(C3 x C1) = N(C3) x N(C1) = x = Vậy, đáp án là: 12 + + = 26 cách Bài 2.3: Mỗi ghế đánh số XX-NNN, X chữ tiếng Anh từ A đến Z N chữ số từ đến Hỏi đánh số khác cho nhiều ghế? Giải: - Bảng chữ tiếng Anh từ A đến Z có 26 ký tự Mỗi ghế có ký tự X (gọi X1 X2), X có 26 ký tự Do vậy, đánh số XX 26 x 26 = 676 trường hợp - Mỗi ghế có ký tự N (gọi N1 , N2 N3), N có 10 ký tự Do vậy, đánh số NNN 10 x 10 x 10 = 1.000 trường hợp Vậy, đáp án là: 676 x 1.000 = 676.000 cách Bài 2.4: Cô dâu rể mời bạn đứng thành hàng để chụp ảnh Hỏi có cách xếp hàng nếu: a) Cô dâu đứng cạnh rể b) Cô dâu không đứng cạnh rể c) Cô dâu đứng phía bên phải rể Giải: a) Do cô dâu rể đứng cạnh nên coi người Như vậy, có cách xếp hàng (4 người bạn cặp dâu rể) Tuy nhiên, vị trí dâu rể đổi cho nên số cách xếp là: x = 10 cách Việc xếp bạn cịn lại áp dụng quy tắc nhân: x x x = 24 Vậy, đáp án là: 10 x 24 = 240 cách b) Xét trường hợp tổng quát, có tất 6! cách xếp, tức x x x x x = 720 cách Trừ trường hợp cô dâu đứng cạnh rể (chính trường hợp a), cịn: 720 240 = 480 cách Vậy, đáp án là: 480 cách c) Xét trường hợp tổng quát, có tất 6! cách xếp, tức x x x x x = 720 cách Số trường hợp dâu đứng phía bên phải rể = Số trường hợp dâu đứng phía bên trái rể Vậy, đáp án là: 720 : = 360 cách Bài 2.15: Có xâu nhị phân độ dài bắt đầu 000 kết thúc 111? Giải: Gọi A xâu nhị phân bắt đầu 000 (độ dài lại = – = 5) Gọi B xâu nhị phân kết thúc 1111 (độ dài lại = – = 4) Như vậy: N(A) = 25 = 32; N(B) = 24 = 16; N(AՈB) = 21 = Theo nguyên lý bù trừ, ta có: N(AUB) = N(A) + N(B) - N(AՈB) = 32 + 16 – = 46 Vậy, đáp án là: 46 xâu Bài 2.16: Hỏi tập X = {1, 2, … , 1000} có số chia hết cho chia hết cho không chia hết cho 12? Giải: Gọi A tập số tập X chia hết cho Gọi B tập số tập X chia hết cho Khi đó, tập số chia hết cho chia hết cho N(AUB) Theo nguyên lý bù trừ, ta có: N(AUB) = N(A) + N(B) - N(AՈB) = [1000/3] + [1000/4] – [1000/(3.4)] = 333 + 250 – 83 = 500 Tập số chia hết cho 12 là: 1000/12 = 83 Vậy, số lượng số chia hết cho chia hết cho không chia hết cho 12 là: 500 – 83 = 417 số Bài 2.17: Mỗi sinh viên lớp giỏi toán giỏi tin học giỏi mơn Hỏi lớp có sinh viên 38 người giỏi tin (kể người giỏi mơn), 23 người giỏi tốn (kể người giỏi môn) người giỏi môn? Giải: Gọi A tập sinh viên giỏi toán Gọi B tập sinh viên giỏi tin học Khi đó, AՈB tập sinh viên giỏi mơn Vì sinh viên lớp gỏi toán, giỏi tin học, giỏi mơn nên ta có tổng số sinh viên lớp N(AUB) Theo nguyên lý bù trừ, ta có: N(AUB) = N(A) + N(B) - N(AՈB) = 38 + 23 – = 54 Vậy, đáp án là: 54 sinh viên Bài 2.23: Giải công thức đệ quy sau: a) an = 5an-1 – 6an-2 với n ≥ a0 = 1, a1 = b) an = an-1 + 6an-2 với n ≥ a0 = 3, a1 = Giải: a) Phương trình đặc trưng: r2 - 5r + =0 Giải phương trình đặc trưng: Δ = b2-4ac = 25-4*6=1 r1 = (-b+)/2a = (5+1)/2 = r2 = (-b-)/2a = (5-1)/2 = Dãy {an} nghiệm công thức đệ quy an = α1.3n + α2.2n với α1, α2 số Từ điều kiện đầu, suy ra: a0 = = α1.30 + α2.20 = α1 + α2 a1 = = α1.31 + α2.21 = 3α1 + 2α2 Giải hệ phương trình ta được: α1 = -2, α2 = Vậy, nghiệm công thức đệ quy là: an = -2.3n + 3.2n b) Phương trình đặc trưng: r2 - r - =0 Giải phương trình đặc trưng: Δ = b2-4ac = 1-4*(-6)= 25 r1 = (-b+)/2a = (1+5)/2 = r2 = (-b-)/2a = (1-5)/2 = -2 Dãy {an} nghiệm công thức đệ quy a n = α1.3n + α2.(-2)n với α1, α2 số Từ điều kiện đầu, suy ra: a0 = = α1.30 + α2.(-2)0 = α1 + α2 a1 = = α1.31 + α2.(-2)1 = 3α1 - 2α2 Giải hệ phương trình ta được: α1 = 2, α1 = Vậy, nghiệm công thức đệ quy là: an = 2.3n + (-2)n Bài 2.24: Giải công thức đệ quy sau: a) an = 4an-1 – 4an-2 với n ≥ a0 = 6, a1 = b) an = 4an-2 với n ≥ a0 = 0, a1 = Giải: a) Phương trình đặc trưng: r2 - 4r + =0 Giải phương trình đặc trưng: Δ = b2-4ac = 16 - 4*4 = r1 = r2 = -b/2a = 4/2 = Dãy {an} nghiệm công thức đệ quy an = α1.2n + α2.n.2n với α1, α2 số Từ điều kiện đầu, suy ra: a0 = = α1 a1 = = α1.21 + α2.21 = 2α1 + 2α2 Giải hệ phương trình ta được: α1 = 6, α2 = -2 Vậy, nghiệm công thức đệ quy là: an = 6.2n + (-2)n.2n = (6 - 2n)2n b) Phương trình đặc trưng: r2 - =0 có nghiệm r1 = 2; r2 = -2 Dãy {an} nghiệm công thức đệ quy an = α1.2n + α2.(-2)n với α1, α2 số Từ điều kiện đầu, suy ra: a0 = = α1.20 + α2.(-2)0 = α1 + α2 a1 = = α1.21 + α2.(-2)1 = 2α1 - 2α2 Giải hệ phương trình ta được: α1 = 1, α2 = -1 Vậy, nghiệm công thức đệ quy là: an = 1.2n + (-1).(-2n) = 2n - (-2)n Bài tập Chương (Toán rời rạc) Bài 5.1: Hãy sử dụng thuật toán nhánh cận giải toán túi sau (mơ tả q trình tính tốn tìm kiếm): f(x) = 9x1 + 5x2 + 3x3 + x4  max 7x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 10 xj ≥ 0, nguyên, j = 1, 2, 3, Giải: Q trình giải tốn mơ tả tìm kiếm hình Thông tin phương án phận ghi hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: Các thành phần phương án σ : giá trị đồ vật chất túi; w : trọng lượng lại túi; g : cận Phương pháp: + Tính số nhánh (x): Lần 1: b/ai, Lần 2: wtrước đó/ai (trong b = 10, a1 = 7, c1 = 9) + Lần 1: σ = c i * xi ; Lần 2: σ = σtrước + ci * xi + Lần 1: w = b – a i * xi ; Lần 2: w = wtrước - * xi + g = σ + w*(ci+1/ai+1) Gốc: = - x1 = Lấy nhánh gmax để tiếp w trước chia cho a = 3/4=0,75 (lấy số nguyên x2= 0) (1): σ = c1 * x1 = 9*1=9; w= 10-7*1=3 g = + 3*(5/4)=12,75 x2 = (1,0): σ = 9+5*0=9; w = 10-7*1 + 4*0 = g = + 3*(3/3) = 12 x1 = (0): σ = * = 0; w= 10-7*0=10 g = + 10*(5/4) = 12,5 x3 = w trước chia cho a = 3/3=1 (lấy số nguyên x3= 1) (1,0,1): σ = 9+3*1=12; w = 3-3*1= g = 12 + 0*(1/2) = 12 x3 = 12>10,5 nên theo nhánh 12 (1,0,0): σ = 9+3*0=9; w = 3-3*0 = g = + 3*(1/2) = 10,5 x4 = w trước chia cho a = 0/2=0 (lấy số nguyên x4= 0) Các nhánh bị loại cận ≤ kỷ lục (1,0,1,0): σ = 12+0*2=12; w = 0-3*0= g = 12 + 0*(1/2) = 12 P/án (1,0,1,0); f=12 Đặt kỷ lục: : = 12; = (1,0,1,0) Kết thúc thuật toán, ta thu được: - Phương án tối ưu: x* = (1,0,1,0); Giá trị tối ưu: f* = 12 Bài 5.2: Hãy sử dụng thuật toán nhánh cận giải toán túi sau (mơ tả q trình tính tốn tìm kiếm): f(x) = 16x1 + 5x2 + 7x3 + 9x4  max 6x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 10 xj ≥ 0, nguyên, j = 1, 2, 3, Giải: Q trình giải tốn mơ tả tìm kiếm hình Thông tin phương án phận ghi hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: Các thành phần phương án σ : giá trị đồ vật chất túi; w : trọng lượng lại túi; g : cận Phương pháp: + Tính số nhánh (x): Lần 1: b/ai, Lần 2: wtrước đó/ai (trong b= 10, a1 = 6, c1 = 16) + Lần 1: σ = ci * xi ; Lần 2: σ = σtrước + ci * xi + Lần 1: w = b – * xi; Lần 2: w = wtrước - * xi + g = σ + w*(ci+1/ai+1) Gốc: = - x1 = Lấy nhánh gmax để tiếp (1): σ = c1 * x1 = 16*1=16; w= 10 - 6*1=4 g = 16 + 4*(5/2)=26 x2 = w trước chia cho a = 4/2=2 (lấy số nguyên x2 = 2) x1 = (1,2): σ = 16 + 5*2=26; w = - 2*2 = g = 26 + 0*(7/3) = 26 x2 = (1,1): σ = 16 + 5*1=21; w = - 2*1 = g = 21 + 2*(7/3) = 25,6 (0): σ = 16 * = 0; w= 10 - 6*0=10 g = + 10*(5/2) = 25 x2 = (1,0): σ = 16 + 5*0=16; w = - 2*0 = g = 16 + 4*(7/3) = 25,3 x3 = w trước chia cho a = 0/3=0 (lấy số nguyên x3 = 0) (1,2,0): σ = 26+7*0=26; w = - 3*0= g = 26 + 0*(9/6) = 26 x4 = w trước chia cho a = (1,2,0,0): σ = 26+9*0=26; w = - 6*0= g = 26 Các nhánh bị loại cận ≤ kỷ lục 26>25 nên theo nhánh 26 26 lớn nên theo nhánh 26 0/6=0 (lấy số nguyên x4 = 0) P/án (1,2,0,0); f=26 Đặt kỷ lục: : = 26; = (1,2,0,0) Kết thúc thuật toán, ta thu được: Phương án tối ưu: x* = (1,2,0,0), Giá trị tối ưu: f* = 26 Bài 5.3: Hãy sử dụng thuật toán nhánh cận giải tốn túi sau (mơ tả q trình tính tốn tìm kiếm): f(x) = 15x1 + 6x2 + 3x3 + x4  max 10x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 15 xj ≥ 0, nguyên, j = 1, 2, 3, Giải: Quá trình giải tốn mơ tả tìm kiếm hình Thông tin phương án phận ghi hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: Các thành phần phương án σ : giá trị đồ vật chất túi; w : trọng lượng lại túi; g : cận Phương pháp: + Tính số nhánh (x): Lần 1: b/ai, Lần 2: wtrước đó/ai tại.(trong b= 15, a1= 10, c1 = 15) + Lần 1: σ = ci * xi ; Lần 2: σ = σtrước + ci * xi + Lần 1: w = b – * xi; Lần 2: w = wtrước - * xi + g = σ + w*(ci+1/ai+1) Gốc: = - x1 = Lấy nhánh gmax để tiếp (1): σ = c1 * x1 = 15*1=15; w= 15 - 10*1=5 g = 15 + 5*(6/4)=22,5 x2 = w trước chia cho a = 5/4=1,25 (lấy số nguyên = 0) w trước chia cho a = 1/3=0,3 (lấy số nguyên = 0) x1 = (1,1): σ = 15 + 6*1=21; w = - 4*1 = g = 21 + 1*(3/3) = 22 x3 = x2 = (1,0): σ = 15 + 6*0=15; w = - 4*0 = g = 15 + 5*(3/3) = 20 nhánh (0): σ = 15 * = 0; w= 15 - 10*0=15 g = + 15*(6/4) = 25,5 x2 = (0,1): σ = + 6*1=6; w = 15 - 4*1 = 11 g = 11 + 6*(3/3) = 17 x2 = (0,0): σ = + 6*0=0; w = 15 - 4*0 = 15 g = 15 + 0*(3/3) = 15 (1,1,0): σ = 21+3*0=21; w = - 3*0= g = 21 + 1*(1/2) = 21,5 x4 = w trước chia cho a = 0/2=0 (lấy số nguyên = 0) (1,1,0,0): σ = 21 + 1*0=21; w = - 2*0= g = 21 + 1*(0/0)=21 P/án (1,1,0,0); f=21 Đặt kỷ lục: : = 21; = (1,1,0,0) Các nhánh bị loại cận ≤ kỷ lục Kết thúc thuật toán, ta thu được: - Phương án tối ưu: x* = (1,1,0,0) - Giá trị tối ưu: f* = 21 Bài 5.4: Hãy sử dụng thuật toán nhánh cận giải tốn túi sau (mơ tả q trình tính tốn tìm kiếm): f(x) = 16x1 + 7x2 + 5x3 + 9x4  max 6x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 ≤ 11 xj ≥ 0, nguyên, j = 1, 2, 3, Giải: Kiểm tra đầu bài: 16/6 > 7/3 9/6 Không thỏa mãn điều kiện ci/ai ≥ ci+1/ai+1 ≥ ci+2/ai+2… Do vậy, thực xếp lại đầu theo chiều giảm dần sau: f(x) = 16x1 + 5x2 + 7x3 + 9x4  max 6x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 11 Q trình giải tốn mơ tả tìm kiếm hình Thơng tin phương án phận ghi hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: Các thành phần phương án σ : giá trị đồ vật chất túi; w : trọng lượng lại túi; g : cận Phương pháp: + Tính số nhánh (x): Lần 1: b/ai, Lần 2: wtrước đó/ai tại.(trong b = 11, a1 = 6, c1 = 16) + Lần 1: σ = ci * xi ; Lần 2: σ = σtrước + ci * xi + Lần 1: w = b – * xi; Lần 2: w = wtrước - * xi + g = σ + w*(ci+1/ai+1) Gốc: = - x1 = Lấy nhánh gmax để tiếp (1): σ = c1 * x1 = 16*1=16; w= 11 - 6*1=5 g = 16 + 5*(5/2)=28,5 x2 = w trước chia cho a = 5/2=2,5 (lấy số nguyên = 2) w trước chia cho a = 1/3=0,3 (lấy số nguyên = 0) x1 = (1,2): σ = 16 + 5*2=26; w = - 2*2 = g = 26 + 1*(7/3) = 28,3 x3 = x2 = (1,1): σ = 16 + 5*1=21; w = - 2*1 = g = 21 + 3*(7/3) = 28 (0): σ = 16 * = 0; w= 11 - 6*0=11 g = + 11*(5/2) = 27,5 x2 = Lấy nhánh 28,5 (1,0): σ = 16 + 5*0=16; w = - 2*0 = g = 16 + 5*(7/3) = 27,6 (1,2,0): σ = 26+7*0=26; w = - 3*0= g = 26 + 1*(9/6) = 27,5 x4 = w trước chia cho a = 1/6=0,16 (lấy số nguyên = 0) (1,2,0,0): σ = 26 + 9*0=26; w = - 6*0= g = 26 + 1*(0/0)=26 P/án (1,2,0,0); f=26 Đặt kỷ lục: : = 26; = (1,2,0,0) Các nhánh bị loại cận ≤ kỷ lục Kết thúc thuật toán, ta thu được: - Phương án tối ưu: x* = (1,2,0,0) - Giá trị tối ưu: f* = 26 Bài 5.5: Sử dụng thuật toán nhánh cận giải toán người du lịch với ma trận chi phí sau thành phố xuất phát thành phố (mô tả trình thực tìm kiếm) Ma trận chi phí: Giải: Q trình giải tốn mơ tả tìm kiếm theo hình Thơng tin phận ghi ô hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: Các thành phần phương án: + σ : chi phí theo hành trình phận + g : cận + Chi phí nhỏ ma trận: Gốc: = + ∞ 4x4 chặng = 16 (2): σ = g = 16 + = 21 (3): σ = 23 g = 16 + 23 = 39 (4): σ = 22 g = 16 + 22 = 38 (2,3): σ = 5+9=14 g = 14 + 12 = 26 (2,4): σ = 5+20=25 g = 25 + 12 = 37 (2,5): σ = 5+27=32 g = 32 + 12 = 44 4x2=8 (2,3,4): σ = 14+8=22 g = 22 + = 30 (2,3,5): σ = 14+35=49 g = 49 + = 57 4x1=4 (2,3,4,5): σ = 22+10=32 g = 32 + = 36 4x3 chặng = 12 4x0=0 (5): σ = 30 g = 16 + 30 = 46 Các nhánh bị loại cận ≥ kỷ lục = 36 Hành trình (1,2,3,4,5,1) Chi phí: 32+4=36 Cập nhật kỷ lục: = 36 Kết thúc thuật toán ta thu được: + Phương án tối ưu hành trình: T1  T2  T3  T4  T5  T1 + Tổng chi phí nhỏ nhất: 36 Bài 5.6: Sử dụng thuật toán nhánh cận giải toán người du lịch với ma trận chi phí sau thành phố xuất phát thành phố (mơ tả q trình thực tìm kiếm) Ma trận chi phí: Giải: Q trình giải tốn mơ tả tìm kiếm theo hình Thơng tin phận ghi hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: Các thành phần phương án: + σ : chi phí theo hành trình phận + g : cận + Chi phí nhỏ ma trận: Gốc: = + ∞ 2x4 chặng = (2): σ = g = + = 11 2x3=6 (2,3): σ = 3+4=7 g = + = 13 2x2=4 (2,3,4): σ = 16+7=23 g = 23 + = 27 (2,3,5): σ = 4+7=11 g = 11 + = 15 2x1=2 (2,3,4,5): σ = 12+23=35 g = 35 + = 37 (2,3,5,4): σ = 5+11=16 g = 16 + = 18 Hành trình (1,2,3,4,5,1) Chi phí: 35+9=44 Cập nhật kỷ lục: = 44 Hành trình (1,2,3,5,4,1) Chi phí: 16+6=22 Cập nhật kỷ lục: = 22 2x0=0 (3): σ = 14 g = + 14 = 22 (4): σ = 18 g = + 18 = 26 (2,4): σ = 3+22=25 g = 25 + = 31 (2,5): σ = 3+20=23 g = 23 + = 29 (5): σ = 15 g = + 15 = 23 Các nhánh bị loại cận ≥ kỷ lục = 22 Kết thúc thuật toán ta thu được: + Phương án tối ưu hành trình: T1  T2  T3  T5  T4  T1 + Tổng chi phí nhỏ nhất: 22 Bài 5.7: Sử dụng thuật toán nhánh cận giải toán người du lịch với ma trận chi phí sau thành phố xuất phát thành phố (mô tả trình thực tìm kiếm) Ma trận chi phí: Giải: Q trình giải tốn mơ tả tìm kiếm theo hình Thông tin phận ghi hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: Các thành phần phương án: + σ : chi phí theo hành trình phận + g : cận + Chi phí nhỏ ma trận: Gốc: = + ∞ 1x4 chặng (2): σ = g=4+2=6 (3): σ = 14 g = + 14 = 18 (4): σ = g=4+3=7 (5): σ = + ∞ g=4+∞=∞ (4,3): (4,5,2): σ= σ= 5+8=13 3+ ∞=∞ 13 ++ 32 == ∞ 15 gg == ∞ (4,5,3): (4,5): σ σ== 5+15=20 3+2=5 gg == 20 ++32==8 22 =4 x =3 x =2 (2,3): σ = 2+1=3 g=3+3=6 (2,4): σ = 2+10=12 g = 12 + = 15 (2,3,4): σ = 3+∞=∞ g=∞+2=∞ (2,3,5): σ = 3+5=8 g = + = 10 x =1 (2,3,5,4): σ = 8+2=10 g = 10 + = 11 x =0 Hành trình (1,2,3,5,4,1) Chi phí: 10+3=13 Cập nhật kỷ lục: = 13 (2,5): σ = 2+8=10 g = 10 + = 13 (4,2): σ = 3+10=13 g = 13 + = 16 Các nhánh bị loại cận ≥ kỷ lục = 13 Kết thúc thuật toán ta thu được: + Phương án tối ưu hành trình: T1  T2  T3  T5  T4  T1 + Tổng chi phí nhỏ nhất: 13 ... trận trọng số biểu diễn đồ thị G c) Tìm danh sách cung biểu diễn đồ thị G Giải: a) Vẽ đồ thị G b) Tìm ma trận trọng số biểu diễn đồ thị G c) Tìm danh sách cung biểu diễn đồ thị G Đầu 1 3 4 Cuối... 20 25 Bài tập Chương (Lý thuyết đồ thị) Bài 5.1: Cho đồ thị G có ma trận trọng số đây: a) Vẽ đồ thị G b) Áp dụng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh lại đồ thị Chỉ đường ngắn từ... thức đệ quy là: an = 1.2n + (-1).(-2n) = 2n - (-2)n Bài tập Chương (Toán rời rạc) Bài 5.1: Hãy sử dụng thuật toán nhánh cận giải toán túi sau (mơ tả q trình tính tốn tìm kiếm): f(x) = 9x1 + 5x2 +