Đang tải... (xem toàn văn)
tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sin[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC: 2017-2018 Môn thi: Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Nguồn sưu tầm trên mạng và ảnh chụp đề học sinh thi chuyên Quảng Ngãi 2017-2018 Bài 1(2 điểm ) 1.Giải phương trình ( x 1)( x 2) x2 x 2.Cho x,y là các số thực dương Chứng minh x y x y xy xy x y 2 Đẳng thức trên còn đúng hay không x,y là các số thực âm Tại ? Bài 2(2 điểm ) 1.Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n2 n là số nguyên tố Chứng minh n chia dư và 7n2 6n 2017 không phải số chính phương 2.Tìm tất các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình x2 y xy x 2017 Bài 3(2 điểm ) 1.Cho đa thức P( x) x3 x 15x 11 và các số thực a,b thỏa mãn P(a)=1 ,P(b)=5.Tính giá trị biểu thức a+b 2.Gỉa sử x,y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x( xy 1) y Tìm giá trị lớn biểu thức H y4 y y ( x4 x2 ) Bài 4(3 điểm ) 1.Cho hai điểm A,B phân biệt nằm góc nhọn xOy cho xOA yOB Gọi M,N là hình chiếu vuông góc A lên các tia Ox,Oy và P,Q là hình chiếu vuông góc B lên các tia Ox,Oy Gỉa sử M,N,P,Q đôi phân biệt Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn 2.Cho tam giác AB không cân ,có ba góc nhọn Một đường tròn qua B,C cắt các cạnh AC,AB D,E Gọi M,N là trung điểm BD,CE (2) a.Chứng minh các tam giác ABD ,ACE đồng dạng với và MAB NAC b.Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên AB ,K là hình chiếu vuông góc N lên AC và I là trung điểm MN Chứng minh tam giác IHK cân Bài 5(1 điểm ) Cho số nguyên dương đôi phân biệt ,các số đó chứa các ước số nguyên tố gồm 2,3,5 Chứng minh số đã cho tồn số mà tích chúng là số chính phương Bài làm Bài 1(2 điểm ) 1.Giải phương trình ( x 1)( x 2) x2 x 2.Cho x,y là các số thực dương Chứng minh x y x y xy xy x y 2 Đẳng thức trên còn đúng hay không x,y là các số thực âm Tại ? Bài làm Bài 1(2 điểm ) 1.Phương trình ( x 1)( x 2) 2 x2 x Cách 1:Đến đây ta có điều kiện: −2 ≤ x ≤1 Bình phương hai vế và thu gọn ta x0 x 1 x( x 1)( x x 8) x 1 33 1 33 x Giải so sánh với điều kiện ta nghiệm: x = ; x = −1 t 1 t 3 Cách 2: Đặt t x2 x Phương trình đã cho trở thành t 2t x0 Đối chiếu với điều kiện thì ta có t = (nhận ).Với t x x x 1 (3) Giải so sánh với điều kiện ta nghiệm: x = ; x = −1 Ta có ( x y )2 ( x y )2 ( x y )2 ( x y )2 x y x y xy xy x y x y 2 2 2 (Vì x,y là các số thực dương ) Đặt x a; y b; a; b Ta có x y x y a b a b a ab b a ab b xy xy ab ab 2 2 2 Nên ta có a ab b a ab b ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) 2 2 2 Hay ( a b )2 ( a b )2 a b a b (do a ,b dương ) 2 Vậy đẳng thức trên còn đúng x,y là các số thực âm Bài 2(2 điểm ) 1.Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n2 n là số nguyên tố Chứng minh n chia dư và 7n2 6n 2017 không phải số chính phương 2.Tìm tất các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình x2 y xy x 2017 Bài làm 1.Vì n là số nguyên dương nên n2 n >3 Gọi r là số dư chia n cho , r 0,1, 2 Nếu r r thì n2 n 3 Mâu thuẫn với giả thiết n2 n là số nguyên tố Do đó r hay n chia dư Khi đó 7n2 6n 2017 chia dư Mà số chính phương có só dư chia cho là Nên 7n2 6n 2017 không phải số chính phương 2.Ta có x2 y xy x 2017 ( x y)2 ( x 1)2 2017 92 442 x 8 x 10 TH1 : ( x 1)2 92 (4) y 18 y 26 Với x=8 thì ta có (8 y)2 (8 1)2 2017 92 442 (8 y)2 442 Với x=-10 thì ta có y 27 (10 y)2 (10 1) 2017 92 442 (10 y) 442 y 17 x 43 x 45 TH2 : ( x 1)2 442 y 17 y 26 Với x=43 thì ta có (43 y)2 (43 1) 2017 92 442 (43 y) 92 y 27 y 18 Với x=-45 thì ta có (45 y)2 (45 1)2 2017 92 442 (45 y)2 92 Vậy nghiệm nguyên phương trình là : (8;-18);(8;26);(-10;-27); (-10;17);(43;17);(43;26);(-45;-27);(-45;-18) Bài 3(2 điểm ) 1.Cho đa thức P( x) x3 x 15x 11 và các số thực a,b thỏa mãn P(a)=1 ,P(b)=5.Tính giá trị biểu thức a+b 2.Gỉa sử x,y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x( xy 1) y Tìm giá trị lớn biểu thức H y4 y y ( x4 x2 ) Bài làm Cách 1: Ta có : P(a) a3 6a2 15a 11 (1) Ta có : P(b) b3 6b2 15b 11 (2) Lấy (1) cộng (2) ta : (a b 4) (a b)2 (a 2)2 (b 2)2 6 (vì (a b)2 (a 2)2 (b 2)2 ) Lúc này ta suy a+b=4 (5) Cách 2: Ta có P(a) (a 2)3 3(a 2) 2 (1) Ta có P(b) (b 2)3 3(b 2) (2) Lấy (1) cộng (2) ta có : (a b 4) (a 2)2 (a 2)(b 2) (b 2)2 3 Vì (a 2)2 (a 2)(b 2) (b 2)2 nên suy a+b=4 Cách 1: H y4 1 2 4 y y ( x x ) x4 x2 x x y4 y2 y y Mà giả thiết ta suy x( xy 1) y Thay vào ta suy H x2 x y y y4 1 4 y y ( x x ) x4 x2 x x y4 y2 y y Vậy giá trị lớn biểu thức H là Cách 2: H y x y y4 4 y y ( x x ) x2 x4 y4 y2 z z Đặt z y x( x 1) Lúc đó ta có H xz ( x z ) z2 y4 1 4 4 y y ( x x ) x2 x4 z x z x2 y4 y2 Ta có z x z x ( x z )2 ( x z)2 2z x2 2x2 z 4 2 Vậy giá trị lớn biểu thức H là x y Cách : Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có : y y ( x4 x2 ) (1 x y ) ( y x4 y ) xy x2 y3 (6) Ma ta lại có : xy x2 y3 xy (1 xy) y Do đó H y4 1 Vậy giá trị lớn biểu thức H là 4 1 y y (x x ) x y 1 Bài 4(3 điểm ) 1.Cho hai điểm A,B phân biệt nằm góc nhọn xOy cho xOA yOB Gọi M,N là hình chiếu vuông góc A lên các tia Ox,Oy và P,Q là hình chiếu vuông góc B lên các tia Ox,Oy Gỉa sử M,N,P,Q đôi phân biệt Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn 2.Cho tam giác AB không cân ,có ba góc nhọn Một đường tròn qua B,C cắt các cạnh AC,AB D,E Gọi M,N là trung điểm BD,CE a.Chứng minh các tam giác ABD ,ACE đồng dạng với và MAB NAC b.Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên AB ,K là hình chiếu vuông góc N lên AC và I là trung điểm MN Chứng minh tam giác IHK cân Bài làm Cách : y Q B N A x O M P Ta có ΔOAM ഗ ΔOBQ (g.g) nên suy Ta có ΔOAN ഗ ΔOBP (g.g) nên suy OM OA (1) OQ OB ON OA (2) OP OB (7) Từ (1) và (2) ta suy OM OA OM OA suy OP.OM=ON.OQ OQ OB OQ OB ⇒ điểm M;N;P;Q cùng thuộc đường tròn Cách : Tứ giác OMAN nội tiếp nên ONM OAM (1) Tứ giác OPBQ nội tiếp nên OPQ OBQ (2) Mà các tam giác OAM và OBQ đồng dạng nên suy OAM OBQ (3) Từ (1) , (2) và (3) ta suy ONM OPQ ⇒ điểm M;N;P;Q cùng thuộc đường tròn 2.a/ A D E H K M I N B C Ta có xét ΔABD và ΔACE có : BAD EAC (góc chung ) và ABD ACE (tứ giác BEDC nội tiếp ) Nên suy ΔABD ഗ ΔACE (g.g) (8) Ta có M,N là trung điểm BD ,CE nên ta suy ΔMAB ഗ ΔNAC (g.g) Từ ΔMAB ഗ ΔNAC (g.g) suy MAB NAC 2.b/ A P Q D E H K M I N B C Gọi P là hình chiếu vuông góc M lên AC ,Q là hình chiếu vuông góc N lên AB Theo câu ta có bốn điểm H,K,P,Q cùng thuộc đường tròn Hơn ,tâm đường tròn đó là giao điểm các đường trung trực các đoạn thẳng PK,QH nên I là trung điểm MN Do đó ,tam giác IHK cân I Bài 5(1 điểm ) Cho số nguyên dương đôi phân biệt ,các số đó chứa các ước số nguyên tố gồm 2,3,5 Chứng minh số đã cho tồn số mà tích chúng là số chính phương Bài làm Theo đề ,tất số nguyên dương đôi phân biệt ,các số đó chứa các ước số nguyên tố gồm 2,3,5 có dạng 2x.3y.5z (với x, y, z ).Xét tính chẵn -lẻ các số (x,y,z) ,ta có tất trường hợp Theo nguyên lý Dirichlet ,phải có ít số số đã cho có số mũ phân tích nguyên tố cùng tính chẵn – lẻ Do đó ,tích số đó có dạng 22a.33b.55c (a, b,c ) Lúc này ta suy tích số đó là số chính phương (9) CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƯNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƯỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI – VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình Hà Nội ,Lại lần mình không dược vì không có tiền mua vé tàu Tại đời lại bất công với tôi Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ khó khăn Trên chuyến tàu toán học luôn thiếu mình Một lời giải mà mình giải không Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến trời Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà và tiền Kẻ tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và bị vứt đường chuyến tàu tốc hành giáo dục Việt Nam Tại người ta có thể mua kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua vé tàu Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không ,bài toán giải mãi mà chẳng xong Người bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản triệu cho đứa tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước Nho này mà có kg nào nhập là dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết giời đồng hồ Thật sốc ,trái cây Việt Nam rẻ bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán “ Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Tôi tên là :Trương Quang An (10) Vừa ngày 4-1-2016 tôi có nhận giấy mời Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi Bản thân tôi và gia đình vui và thấy đây là vinh dự hoàn cảnh gia đình quá khó khăn Tôi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi làm công nhân xa sáng 5h sáng ,chiều 8h nhà Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng triệu /tháng Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho sống ngày Tôi học toán-tin và dạy tin học Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải sống Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn Tôi đam mê toán học là học sinh cấp Tôi nghèo niềm đam mê toán học tôi lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi Hà Nội nhé Tiền tàu xe và ,ăn thân tôi lo không nên không thể dự với tạp chí Năm ngoái tôi không Đà Nẵng dự hội thảo ,năm lại thất hứa Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé Tôi xin hứa là thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi buồn Xin chân thành ghi nhận lòng tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường xin việc khắp nơi vào cuối năm 2011 xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho trường cấp Nhà Thành Phố Quảng Ngãi (11) Thành tích lúc học : Lớp : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp học Trường Cấp Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học Sau đó tôi quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi năm học đây tôi là sinh viên giỏi khoa Toán học Các Thành tích : - Giải toán lý sơ cấp năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải môn giải tích kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích -Ba năm liền đạt giải kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường -Sinh viên đầu tiên trường cao đẳng sư phạm đăng đề mục đề kỳ này tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên trường cao đẳng sư phạm đăng bài mục chuyên đề đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên đầu tiên tỉnh Quảng Ngãi đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện sáng dạy trường vì đồng lương quá thấp nên dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải sống ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo quê Quảng Ngãi -Bản thân là người đam mê môn toán từ tôi còn là học sinh lớp , tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện thân muốn học lên đại học có lẻ ước mơ đó tôi không thành thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi -Xóm tôi bình thường ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ tôi còn là học sinh lớp Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 tháng Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau cố gắng giải các bài tập chuyên mục đề kỳ này Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi tiếp xúc với các bài toán hay ,chuyên đề hay Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp đời tôi Tôi bước vào sư phạm toán với tảng kiến thức vô cùng tốt Ngay tôi (12) tạp chí đăng bài trên chuyên mục đề kỳ này tôi vui sướng ,không tả nỗi Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi là sinh viên nghèo trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng tôi viết bài cho tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi đạt ước mơ tôi Những ngày đó thật khó khăn ,tôi ghi bài giải trên giấy A4 đem thư bưu điện gởi Cách đây năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui các bạn ,thế là từ có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau hoàn thiện tôi chạy quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET Có lẽ tôi gục ngã trước sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc tôi không có niềm đam mê toán học Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài minh tôi đã vui run luôn ,tôi bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng sinh viên đạp nhanh nhanh nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua ngã tư ,chỉ biết đạp thật nhanh Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với đứa sinh viên nghèo tôi đó là số tiền tháng đề ăn sáng học ,vui các bạn ak Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình dạy kèm khắp nơi ,có phải chạy xe ôm rảnh mình thường lấy tạp chí toán học xem Tạp chí phần thể mình ,rồi sau năm chạy việc khắp nơi tôi xin hợp đồng cho trường cấp để dạy toán Nhà tôi sách toán nhiều ,16 năm qua tôi đã có tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô có Hồi xưa tới ngày 15 tháng tôi thường bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ,tới nơi mệt mua báo là tôi vui Vào năm 2014 thì làm sống đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn Qua thời gian tôi cung mua xe máy cũ đề làm Qua nhũng tâm này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí Tiền sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta thành công Tôi có ước mơ ,thứ thăm toán chí toán học tuổi trẻ lần cho biết ,năm ngoái tạp chí toán học tuổi thơ mời dự buổi hội thảo toán học Đà Nẵng công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không Thứ mong học lên đại học hệ chính quy Mặc dù quê tôi có dạy hệ chức ,nhưng tôi thích học chính quy ,ước mơ đó có thể với người đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì sống ngày Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 Không biết tạp chí toán học có tuyển cộng tác viên trình độ cao đẳng tôi không Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống nghề sư phạm , (13) Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , tạp chí toán tuổi thơ Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi Trương Quang An (14)