Tuyển tập đề thi chọn hsg, đội tuyển toán THPT năm 2020 2021

Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 ĐỀ HSG HÀ NỘI NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [id6034]Cho hàm số y = x3 − mx2 + m3 có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABO có diện tích 32 (với O gốc tọa độ) Bài [id6035] Giải phương trình x3 + = Giải hệ phương trình √ 4x − + √ 2x − y + y = x2 + 8y − 3y = 2x2 − 2x2 + y + + Bài [id6036]Cho đa giác 30 đỉnh A1 , A2 , , A30 Hỏi có tam giác có đỉnh điểm 30 điểm A1 , A2 , , A30 , đồng thời khơng có cạnh cạnh đa giác Bài [id6037]Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh Gọi M, N hai điểm thay đổi cạnh AB, A D cho đường thẳng M N tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60◦ Tinh độ dài đoạn thẳng M N Tìm giá trị lớn khoảng cách hai đường thẳng M N CC Bài [id6038]Cho dãy số (un ) xác định u1 = 6, un+1 = (u − 4un + 9) , n = 1, 2, 3, n Chứng minh dãy số (un ) dãy tăng Chứng minh 1 1 + + ··· + < u1 − u2 − u2020 − Bài [id6039]Với a, b, c số thỏa mãn a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (a − b) (b − c) (c − a) —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 ĐỀ HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn 12 √ √ Bài [id6019]Giải phương trình x + x + + − 2x = 11   xyz + z = a (1)   Bài [id6020]Cho hệ phương trình xyz + z = b (2) với a, b ∈ R Tìm tất giá trị    x2 + y + z = (3) a, b để hệ phương trình có nghiệm Bài [id6021] Cho phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 1] Tìm giá trị lớn (a − b) (2a − b) biểu thức P = a (a − b + c) √ a b c abc Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: + + + ≥ b c a a+b+c Bài 10 [id6022] Cho điểm M tùy ý nằm bên tam giác ABC Gọi Sa , Sb , Sc diện tích # » # » # » #» tam giác M BC, M AC, M AB Chứng minh : Sa · M A + Sb · M B + Sc · M C = Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P ) : y = x2 + px + q, (q = 0) Biết (P ) cắt trục Ox hai điểm phân biệt A, B cắt trục Oy C Chứng minh p q thay đổi, đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ln qua điểm cố định    u1 = Bài 11 [id6023]Cho dãy số (un ) xác định u2n   un+1 = , (n ∈ N∗ ) 2un − 1 Chứng minh dãy số (un ) giảm bị chặn Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) Bài 12 [id6024]Tìm tất hàm số f : R+ → R thỏa mãn điều kiện f x+y 2020 = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R+ 2019 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 ĐỀ HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút Tìm tất điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số y = cos x − sin x Tìm m để phương trình |2x4 − 4x2 + 1| − 2m = có nghiệm phân biệt Bài 14 [id6028] 1010 Chứng minh C2020 + 2C2020 + · · · + 1010C2020 = 1010 · 22019 Tìm tất cặp số thực (x ; y) thỏa mãn |xy| ≤ (x − y)2 + 20 = (x + y) (xy − 8) Bài 15 [id6029] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a Cho tam giác ABCngoại tiếp đường tròn (I) Gọi M, D, E trung điểm của BC, IB, IC;Hai điểm F, G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACE Chứng minh AM vng góc F G √ √ Bài 16 [id6030]Cho dãy số (xn ) xác định x1 = xn+1 = − xn , ∀n ≥ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài 17 [id6031]Xét số thực dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2b + c 2c + a 2a + b 18abc + + + a b c ab + bc + ca —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 13 [id6027] Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QG TỈNH BẮC GIANG 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [[hsg301]]Cho số thực a, b, c thỏa mãn ≤ a ≤ b ≤ c a + b + c = ab + bc + ca Chứng minh √ bc(a + 1) ≥ Bài [[hsg302]]Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, trực tâm H Đường tròn đường kính AH cắt (O) điểm Q khác A Đường trịn đường kính HQ cắt (O) điểm K khác O Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua H vng góc với M H cắt BC X Chứng minh XK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM Đường thẳng KQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM N khác K Chứng minh M N chia đôi AQ Bài [[hsg303]]Cho số thực a dãy số (un ) (n ≥ 1) xác định u1 = a, un+1 = u2n + un + a3 (n ≥ 1) 1 Chứng minh rằng, với a ∈ − ; , dãy số hội tụ tìm giới hạn 2 Cho a = 2020 Chứng minh u2n + 20203 ln có n + ước số nguyên tố khác Bài [[hsg304]] Tìm tất số tự nhiên k cho 2k + 4k + số phương Với số tự nhiên k thỏa mãn đề bài, chứng minh 35 | (k − 12k) Bài [[hsg305]]Sắp đến ngày Tết Trung thu, tổ chức Smile Foundation trường THPT Chuyên Bắc Giang làm bánh gây quỹ từ thiện thường niên Sản phẩm năm cặp bánh dẻo, bánh nướng có tổng giá cặp bánh 50000 đồng Do số lượng có hạn nên bạn mua cặp Để mua bánh bạn học sinh trường chuyên phải xếp hàng Biết hàng có m + n bạn, m bạn cầm tờ 50000 đồng n bạn cầm tờ 100000 đồng (m, n ∈ N, m ≥ n) Hỏi có cách xếp hàng để không bạn phải chờ tiền trả lại, giả thiết ban đầu ban tổ chức không cầm theo đồng tiền —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QQ TỈNH BẮC NINH 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút x1 = x2 = 1, x3 = 0, xn+3 = x2n+2 + x2n+1 + x2n + a, ∀n ∈ N∗ Chứng minh với a = dãy (xn ) hội tụ Tìm số thực a lớn cho dãy (xn ) hội tụ Bài [[hsg307]]Cho tập S = {p1 , p2 , , p2021 } gồm 2021 số nguyên tố phân biệt P (x) đa thức với hệ số nguyên cho với số nguyên dương n tồn pi tập S ước P (n) Chứng minh tồn pk tập S cho pk ước P (n) với n nguyên dương Bài [[hsg308]]Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O), có đường cao AD Trên cạnh AC, AB lấy điểm E, F cho AD, BE, CF đồng quy H Giả sử tứ giác EF BC nội tiếp Chứng minh H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng vuông góc với OD D cắt AB K Chứng minh HDK + AHC = 180◦ Bài [[hsg309]]Tìm tất hàm số f : R → R thoả mãn f (x2020 + f (y)) = y+(f (x))2020 , ∀x, y ∈ R —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [[hsg306]]Cho số thực a xét dãy số (xn ) thoả mãn Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Long An năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút x2 + y + x + y − = (x, y ∈ R) Bài [hsg311]Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m + (m tham số thực) có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị m để (Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn AB = BC = CD Bài [hsg312] Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác này, O không nằm cạnh tam giác Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, AB M , N , P Hai M B QB đường thẳng BC N P cắt Q Hãy tính U = + MC QC Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F , P giao điểm AD BC, AB CD, AC BD; O chân đường vuông góc hạ từ P xuống EF Bài [hsg313]Một ngơi làng có 20 ngơi nhà Biết ngơi nhà có đường đến 10 ngơi nhà khác; có đường từ nhà A đến nhà B, từ nhà B đến nhà C có đường từ nhà A đến nhà C tất đường đường hai chiều Khẳng định: hai ngơi nhà ln có đường đến hay sai? Tại sao? Bài [hsg314] √ 2+ √ nghiệm √ √ Tìm đa thức với hệ số hữu tỷ có bậc nhỏ nhận + nghiệm Tìm đa thức với hệ số hữu tỷ nhận Bài [hsg315]Cho a > dãy số (xn ) xác định x1 = a xn+1 = ax2n + 3xn + 2020, ∀n ≥ Xét tính tăng giảm dãy số xn+1 Tìm tất giá trị a để lim = 2020 xn Bài [hsg316] Cho đường tròn (O) có dây cung AB Một đường trịn (I) tiếp xúc với (O) điểm C tiếp xúc với dây cung AB điểm D Với cung AB khơng chứa điểm C, gọi E điểm cung Các điểm C, D điểm E có thẳng hàng khơng? Tại sao? Cho tam giác ABC không tam giác cân Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn I Với cung AB có chứa điểm A, gọi K điểm cung Đường thẳng KI cắt BC G cắt (O) điểm thứ hai E, E khác K Đường tròn J tiếp xúc với dây cung BC G tiếp xúc với (O) F , F E nằm khác phía đường thẳng BC Các đường thẳng EF , JK BC có đồng quy khơng? Tại sao? —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg310]Giải hệ phương trình 2x2 + xy − y − 5x + y + = Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Bắc Ninh năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 2an+1 − pan với số tự nhiên n Biết p số nguyên tố dãy có số hạng −1 Tìm tất giá trị p Bài [hsg318]Cho đường trịn (O) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng d điểm T cho trước Một điểm M di dộng (O), tiếp tuyến (O) M cắt d P Gọi (C) đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với d P I điểm đối xứng với P qua J a) Chứng minh OI = IP (C) tiếp xúc với đường trịn cố định b) Tìm quỹ tích tâm J đường trịn (C) M di động (O) Bài [hsg319]Một thành phố phát động phong trào cho người dân Thống kê điều tra cho thấy, tháng dương lịch, ngày có 84% tổng số người dân Trong ngày, ta gọi hai người dân “cặp chăm chỉ” ngày có hai người Chứng tỏ rằng, ln tìm hai người “cặp chăm chỉ” tất ngày tháng (Giả sử rằng, số người dân số nguyên lớn 2) —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg317]Cho dãy số (an )+∞ n=0 xác định sau: Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG thành phố Cần Thơ năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút Chứng minh u2 + 2n   un+1 = n , n ∈ N∗ 3un √ √ n − ≤ un ≤ n, ∀n ∈ N∗ un Tìm lim √ n→+∞ n Bài [hsg321]Cho x1 , x2 , , x2020 số thực dương Chứng minh + x22 + x22020 + x21 + + ··· + ≥ 2020 + x1 x + x2 x3 + x2020 x1 Bài [hsg322]Cho hàm số f xác định tập số thực R thỏa mãn f (xy) = xf (y) + yf (x) f (x + y) = f (x2021 ) + f (y 2021 ), ∀x, y ∈ R Chứng minh f hàm cộng tính R √ Tính f 2020 Bài [hsg323]Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi K, M , N giao điểm EF , F D, DE với BC, CA, AB Đường trịn đường kính KD, EM , F N cắt (I) A1 , B1 , C1 Chứng minh đường trịn đường kính KD, EM , F N đồng trục Chứng minh DA1 , EB1 , F C1 đồng quy điểm J Gọi T trung điểm EF Chứng minh tiếp tuyến B C đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt điểm thuộc JT Bài [hsg324]Cho n số ngun dương, n khơng có ước số phương khác Tồn hay khơng hai số nguyên dương nguyên tố x, y để xn + y n chia hết cho (x + y)3 ? Bài [hsg325]Một tàu du lịch có 100 khoang với sức chứa khoang 101, 102, .,200 người Hiện tàu có tổng cộng n người Bây giờ, có khách VIP đến người thuyền trưởng muốn cấp cho khoang cá nhân Với mục đích đó, người thuyền trưởng muốn chọn hai khoang A B, sau chuyển tất khách từ khoang A sang khoang B mà không vượt khả chứa khoang B Xác định n lớn mà người thuyền trưởng chắn đạt mục tiêu cho dù lúc đầu n người phân bố khoang tàu —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg320]Cho dãy số (un ) xác định    u1 = Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Đồng Tháp năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [hsg326]Với số ngun dương n ≥ 2, xét số thực un > cho phương trình [un x] = x có n nghiệm nguyên (theo ẩn x [un x] phần nguyên un x) Chứng minh [un ] = 1, ∀n ∈ N, n ≥ 2 Với cách xác định dãy (un ) thỏa điều kiện Chứng minh dãy (un ) ln có giới hạn tìm giới hạn Bài [hsg327]Giải hệ phương trình (x + 1)(y + 1)(z + 1) = √ √ √ ( x + y + z)2 = x + Bài [hsg328]Xét số T = 3n − 2n , n số nguyên dương, n ≥ Chứng minh Không tồn n để T bình phương số nguyên tố Nếu T lập phương số nguyên tố n số nguyên tố Bài [hsg329]Với m ∈ N∗ , ta kí hiệu α(2m) = (m!)2 , α(2m + 1) = (m!) · ((m + 1)!) Cho đa thức p(x) hệ số nguyên, có bậc lớn k (k ∈ N∗ ) có k nghiệm ngun phân biệt Xét số nguyên n (n = 0) cho đa thức q(x) = p(x) − n có nghiệm nguyên Chứng minh |n| ≥ α(k) Bài [hsg330]Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi S giao điểm EF với BC Chứng minh SI vng góc với AD Đường thẳng d thay đổi, qua S cắt đường tròn (I) hai điểm phân biệt M, N Các tiếp tuyến M , N (I) cắt T Chứng minh T thuộc đường thẳng cố định Gọi K giao điểm M E N F , G giao điểm M C N B Chứng minh K G thuộc đường thẳng AD Bài [hsg331]Viết n số thực có tổng n − 1, (n ≥ 1) quanh đường tròn Chứng minh ta gắn nhãn cho số theo chiều kim đồng hồ x1 , x2 , , xn cho x1 + x2 + + xk ≥ k − 1, ∀ ≤ k ≤ n —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG Tỉnh Quảng Bình năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút Cho dãy số thực xác (xn ) định   x1 = x n+1 = 6+ √ 2xn + 3, ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn Tìm (xn ) Cho dãy số thực (un ) xác định    u1 = 2, u2 =   un+2 = 6+ 3un+1 + 5un + 12, ∀n ∈ N∗ Tìm lim un Bài [hsg333] Trên cạnh AB, AC tam giác ABC lấy hai điểm C1 , B1 Hai đoạn thẳng BB1 CC1 cắt X hai đoạn thẳng B1 C1 AX cắt P Đường tròn ngoại tiếp tam giác BXC1 , CXB1 cắt điểm thứ hai Y cắt cạnh BC D E Giả sử B1 C1 BC gọi H, K hình chiếu vng góc Y lên AB AC Chứng YH YK minh rằng: = AB AC Giả sử B1 E C1 D cắt Q đường thẳng B1 D cắt đường thẳng C1 E R Chứng minh ba điểm P , Q R thẳng hàng Bài [hsg334] Cho tập hợp X có 2020 phần tử Bạn An chia tập X thành tập hợp A B thỏa mãn |A| = |B|, A ∩ B = φ, k cách khác Tìm giá trị nhỏ k cho với phần tử X, ln có cách k cách chia mà bạn An chia chúng vào tập hợp khác Bài [hsg335] Gọi n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2n − 5|3 (n! + 1) Giả sử tồn n > thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: 2n − số nguyên tố Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện —HẾT— 10 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg332] Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Quảng Ngãi năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút √ 2x + + 2x + y + 2xy + = 2y + 3 3y + + = 4x2 y    x1 = a (a > 2) Bài [hsg373]Cho dãy số (xn ) xác định x3 + 12xn  ,  xn+1 = n 3xn + y+1+1 ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Đặt yn = xn xn−1 x1 + + · · · + n , ∀n ∈ N∗ Tính lim yn 2 Bài [hsg374]Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn Ω tâm O Các tiếp tuyến với Ω B C cắt T Gọi M trung điểm BC Chứng minh ∠BAT = ∠CAM Đoạn thẳng OT cắt đường tròn Ω X Đoạn thẳng AX cắt đường tròn tâm T bán kính T B I Gọi E, F hình chiếu vng góc I lên cạnh AC, AB Các đoạn thẳng BE, CF cắt Z Chứng minh đường thẳng AZ, BC, OI đồng quy Bài [hsg375]Trong lễ khai mạc kỳ thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia, để chuẩn bị cho việc thả bóng bay lên trời thể tâm khát vọng học sinh, ban tổ chức chọn bạn đại diện cho môn: Tốn, Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, Sử, Địa xếp thành hàng dọc Sau đó, ban tổ chức phát bóng bay gồm hai màu xanh hồng cho học sinh (mỗi bạn bóng) cho thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Học sinh đứng cuối hàng nhận bóng bay màu xanh Nếu học sinh thứ i thứ j nhận bóng bay khác màu học sinh thứ i + j nhận bóng bay màu hồng (1 ≤ i < j ≤ 9, i + j ≤ 9) Tìm tất cách phát bóng bay có ban tổ chức —HẾT— 19 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg372]Giải hệ phương trình 2x + Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Phú Thọ năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [hsg376]Cho a, b ∈ R, a = b Giải hệ phương trình   3x + z = 2y + (a + b)   3x2 + 3xz = y + (a + b) y + ab    x3 + 3x2 z = y (a + b) + 2yab Bài [hsg377]Cho dãy số thực dương (an )n≥1 thỏa mãn điều kiện a1 + a2 + · · · + an + an+1 + an+2 < 4an+1 , ∀n ∈ N∗ Chứng minh a1 + a2 + · · · + an ≤ an+1 , ∀n ∈ N∗ Bài [hsg378]Giả sử O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC với bán kính R, r tương ứng Gọi P điểm cung BAC, QP đường kính (O), D giao điểm P I BC, F giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID với đường thẳng P A Lấy E tia DP cho DE = DQ Chứng minh IDF = 90◦ Giả sử AEF = AP E, chứng minh sin2 BAC = 2r R Bài [hsg379]Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho S tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: x, y ∈ N; ≤ y ≤ x ≤ 2020 Tính số phần tử S Hỏi có tập A gồm 2020 phần tử S cho A không chứa hai điểm (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ) thỏa mãn: (x1 − x2 ) (y1 − y2 ) = ? —HẾT— 20 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Phú Thọ - ngày năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [hsg380]Cho đường tròn tâm O với hai điểm B, C cố định nằm đường trịn Điểm A thay đổi đường tròn (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi D điểm đối xứng với A qua O tiếp tuyến với đường tròn (O) D cắt đường thẳng BC điểm K Đường thẳng KO cắt AB, AC E F Chứng minh DF song song với AB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AI qua điểm cố định A thay đổi Bài [hsg381]Xét a, b, c ∈ N, ≤ a < b < c thỏa mãn hệ phương trình đồng dư   (b + 1)(c + 1) ≡ b (mod a)   (c + 1)(a + 1) ≡ b (mod b)    (a + 1)(b + 1) ≡ b (mod c) Chứng minh hệ phương trình có vơ hạn nghiệm (a; b; c) Giả sử gcd(a, b) = Tìm tất nghiệm hệ phương trình Bài [hsg382]Cho hàm số f : R → [0; +∞) thỏa mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), ∀x, y ∈ R Chứng minh f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (ở f (x) = (f (x))2 ) —HẾT— 21 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Quãng Nghĩa, ngày năm học 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [hsg383]Một số ngun dương n gọi “số tạo cấp số ” thỏa mãnđồng thời hai điều kiện sau • n có ước nguyên dương d1 , d2 , , dk (k ≥ 4) với d1 < d2 < < dk • Các số d2 − d1 , d3 − d2 , , dk − dk−1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm tất số nguyên dương chẵn “số tạo cấp số ” Tìm tất số nguyên dương “số tạo cấp số ” Bài [hsg384]Cho đa thức hệ số nguyên P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0) P (x) gọi đa thức “đặc biệt”nếu hệ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện (a) Nếu ≤ i ≤ n, i (b) 6, tổng tất hệ số mà i Chứng minh với Q(x) đa thức hệ số nguyên [Q(x)]3 đa thức “đặc biệt” P (x) gọi đa thức ”tổng lập phương ”nếu tồn m số nguyên b1 , b2 , , bm m đa thức hệ số nguyên P1 (x), , Pm (x) cho P (x) = b1 [P1 (x)]3 + · · · + bm [Pm (x)]3 với m ∈ N∗ Chứng minh đa thức “đặc biệt” đa thức “tổng lập phương ” Bài [hsg385]Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O), BC khơng đường kính Một điểm A thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn, không cân Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AID, BIE, CIF có hai điểm chung Gọi G giao điểm CI DE, H điểm đường thẳng EF cho IH ⊥ IC Các đường thẳng GH ID cắt K, BK CK cắt đường thẳng EF M L Gọi N trung điểm LM Chứng minh đường thẳng IN qua điểm cố định —HẾT— 22 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG trường Phổ thông Năng Khiếu năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 n k=1 + x2k n xk  n  + ≥ Mn    k=1 xk k=1 n xk      k=1 Bài [hsg387]Cho 2021 số nguyên khác Biết tổng số chúng với tích tất 2020 số cịn lại ln âm a) Chứng minh với cách chia 2021 số thành hai nhóm nhân số nhóm lại với tổng hai tích ln âm b) Một số thỏa mãn đề có nhiều số âm? Bài [hsg388]Cho hai hàm số f : R → R g : R → R thỏa mãn g(2020) > f (x − g(y)) = f (−x + 2g(y)) + xg(y) − g(y) = g(2f (x) − y) với x, y ∈ R a) Chứng minh g hàm b) Chứng minh đồ thị hàm số h(x) = f (x) − x nhận x = trục đối xứng Bài [hsg389]Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H AH, BH, CH cắt cạnh đối diện D, E, F Gọi I, M , N trung điểm cạnh BC, HB, HC BH, CH cắt lại (O) theo thứ tự điểm L, K Giả sử KL cắt M N G a) Trên EF , lấy điểm T cho AT vng góc với HI Chứng minh GT vng góc với OH b) Gọi P , Q giao điểm DE, DF M N Gọi S giao điểm BQ, CP Chứng minh HS qua trung điểm EF n đa thức P (x) có bậc 2n − thỏa mãn điều kiện P (0) = P (1) = 0, tồn số thực x1 , x2 thuộc [0; 1] cho P (x1 ) = P (x2 ) x2 − x1 = a Bài [hsg390]Cho số nguyên dương n > Chứng minh với số thực a ∈ 0; 23 Bài Bài [hsg386]Với số nguyên dương n, tìm số thực Mn lớn cho với số thực dương x1 , x2 , , xn ta có 2  Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Bài [hsg391]Giải phương trình sau tập số nguyên dương x2 + 3x+1 x2 + 3x+1 + + x2 + y = x2 y a) Chứng minh tồn tập hợp B ⊂ X cho |B| < 3k |B ∩ F | ≥ t + với F ∈ F k−t−1 b) Chứng minh |F| < Ct+1 3k · Cn Bài [hsg393]Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với B, C cố định A thay đổi cung lớn BC Dựng hình bình hành ABDC AD cắt lại (BCD) K a) Gọi R1 , R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp (KAB), (KAC) Chứng minh tích R1 R2 khơng đổi b) Ký hiệu (T ), (T ) đường tròn qua K, tiếp xúc với BD B tiếp xúc với CD C Giả sử (T ), (T ) cắt L = K Chứng minh AL qua điểm cố định —HẾT— 24 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu [hsg392]Cho số nguyên n > k > t > X = {1,2, , n} Gọi F họ tập có k phần tử tập hợp X cho với F, F ∈ F |F ∩ F | ≥ t Giả sử khơng có tập có t phần tử chứa tất tập F ∈ F Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Ninh Bình năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút √ √ √ Giải phương trình: (2x − 4) 3x − + x + = 5x − + 3x2 + 7x − Cho số thực dương x, y Chứng minh rằng: √ √ x+ y 1 √ +√ x + 3y y + 3x ≤ 22n+1 + n2 + n + , với n ∈ N 2n+1 + (ta kí hiệu [x] số nguyên lớn không vượt x {x} = x − [x]) Bài [hsg395] Cho dãy số (un ) xác định công thức: un = Tính sáu số hạng đầu dãy số (un ) Tính giới hạn dãy số (un ) Có số hạng dãy số (un ) với n ≤ 86 thỏa mãn: 2526 · 2n−99 23 ≤ un ≤ ? n +1 65 Bài [hsg396] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC có tâm S, cắt đường thẳng AB điểm X khác B cắt đường tròn Euler tam giác ABC hai điểm D, E Gọi K, L theo thứ tự điểm đối xứng S qua AB, AC Chứng minh rằng: XO ⊥ AC Đường thẳng KL qua tâm đường tròn Euler tam giác ABC hai đường thẳng AD, AE đối xứng qua đường phân giác góc BAC Bài [hsg397] Cho số nguyên tố p số nguyên dương a thỏa mãn < a < p + 1, q ước nguyên tố A = + a + · · · + ap−1 Chứng minh q − chia hết cho p Cho số nguyên dương n Có số tự nhiên chia hết cho 3, có n chữ số chữ số thuộc tập A = {3; 4; 5; 6; 9}? —HẾT— 25 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg394] Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Quảng Ninh năm 2020-2021-Ngày Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút 1 + + a b c ≤ 10 Bài [hsg399]Với số nguyên dương n, xét đa thức Pn (x) = xn + (x − 1)n − (x + 1)n a) Chứng minh với n nguyên dương, đa thức Pn (x) có nghiệm dương, ký hiệu rn , rn < rn+1 , ∀n ∈ N∗ b) Tính lim rn n Bài [hsg400]Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) có AB > BC Các điểm M, N nằm cạnh AB, BC cho AM = CN Gọi K giao điểm đường thẳng M N AC, P Q tâm đường tròn nội tiếp tam giác AM K tâm đường trịn bàng tiếp góc K tam giác CN K Gọi S điểm cung ABC (C) Chứng minh SP = SQ Bài [hsg401] a) Cho số nguyên dương a, k với a ≥ Chứng minh k | ϕ ak − , ϕ phi hàm Euler b) Cho số nguyên m ≥ p số nguyên tố không ước m p ước ϕ(m) Chứng minh tồn số nguyên tố q cho q ≡ (mod p) c) Cho p số nguyên tố Chứng minh có vơ hạn số ngun tố dạng pk + —HẾT— 26 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg398]Cho số thực a, b, c ∈ [1; 2], chứng minh ≤ (a + b + c) Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn HSG tỉnh Quảng Ninh Ngày 2, năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút f (x + y) − f (x)f (y) = f (xy) − 2xy − 1, ∀x, y ∈ R Bài [hsg403]Cho P (x) đa thức bậc với hệ số thực, có nghiệm dương phân biệt Chứng minh phương trình sau có nghiệm dương phân biệt − 3x − 3x · P (x) + − x x4 · P (x) − P (x) = Bài [hsg404]Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm D cố định cung BC không chứa A điểm cung Điểm P di động đoạn AD P không trùng A, D Điểm Q đẳng giác với P tam giác ABC Gọi G giao điểm DQ BC Chứng minh P G AQ Kẻ dây cung DE đường trịn (O) vng góc với BC, K trung điểm DE, R hình chiếu vng góc Q BC Chứng minh đường thẳng qua R vng góc với P K ln qua điểm cố định P di động AD Bài [hsg405]Tìm tất số nguyên dương n < 60 cho tập hợp M = {n; n+1; n+2; ; 60} viết thành hợp tập đôi rời thỏa mãn tính chất: tập có phần tử tổng tất phần tử cịn lại tập —HẾT— 27 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg402]Tìm tất hàm số f : R −→ R thỏa mãn Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Tây Ninh năm học 2020-2021 (ngày 1) Mơn: Tốn 12 Bài [hsg406]Cho x, y, z ba số thực dương x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau A = B = y2 z2 x2 + + x+y y+z z+x x2 1 + + +1 y +1 z +1 Bài [hsg407]Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (yf (x + y) + f (x)) = 4x + 2yf (x + y), ∀x, y ∈ R Bài [hsg408]Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D, E chân đường cao hạ từ đỉnh A, B tam giác ABC Các đường thẳng OD BE cắt K Các đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K, L, M thẳng hàng bốn điểm C, D, O, H nằm đường tròn Bài [hsg409]Bạn Dung bạn Lan tham gia giải cờ vua nữ cấp trường (cùng số bạn khác) Biết rằng, số bạn tham gia, bạn đấu với lần, người thắng điểm, hòa 0,5 điểm, thua điểm Sau giải đấu kết thúc, người ta thấy tổng số điểm hai bạn Dung Lan điểm, tất bạn lại có số điểm Hơn nữa, điểm bạn Dung Lan ln điểm bạn khác Hỏi có bạn tham gia giải cờ vua nữ cấp trường này? Hãy nêu mơ hình thi đấu cụ thể thỏa mãn đề (với đáp số tìm câu trên) —HẾT— 28 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Quảng Nam năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút √ 2x2 − x − + x x2 + = (y + 1) y + 2y + x2 + y = x − 2y + Bài [hsg411]Cho dãy số {un } xác định u1 = un+1 = u2n + 2un + − u2n − 2un + 3, ∀n ∈ N Chứng minh dãy {un } có giới hạn hữa hạn tìm giới hạn Bài [hsg412]Cho tam giác ABC không cân (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm O ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường thẳng qua I vng góc với AI cắt đường thẳng BC S Gọi M trung điểm BC, D điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) J điểm đối xứng với I qua O a) Chứng minh tam giác DBI cân tam giác DSJ vuông b) Gọi X hình chiếu điểm S đường thẳng OI Y giao điểm thứ hai M I đường tròn ngoại tiếp tam giác OM S Chứng minh ba điểm A, X, Y thẳng hàng Bài [hsg413]Cho α, β nghiệm phương trình x2 − ax + a = 0, với a số nguyên lớn Chứng minh với số nguyên dương m, n [mα] = [nβ] với [x] ký hiệu số nguyên lớn không vượt x Bài [hsg414]Cho dãy đa thức hệ số thực {fn (x)} xác định f0 (x) = 2; f1 (x) = 2x; fn+2 (x) = 2xfn+1 (x) + (1 − x2 )fn (x), ∀n ∈ N Tìm tất số tự nhiên n để fn (x) chia hết cho x2 + Bài [hsg415]Một số tự nhiên gọi số “thân thiện” phân tích thành tích số số nguyên dương mà tổng chúng 2020 Hãy tìm số “thân thiện” lớn Bài [hsg416]Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) —HẾT— 29 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg410]Giải hệ phương trình Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Hà Tĩnh ngày năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [hsg417]Cho phương trình xn = x + Chứng minh với n ∈ N∗ , n ≥ 2, phương trình có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Tính giới hạn dãy số (un ) với un = n(xn − 1) Tìm số thực k cho dãy số = nk (xn+1 − xn ) có giới hạn khác Bài [hsg418]Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (y − f (x)) = f (f (x)) − 2yf (x) + f (y) ∀x, y ∈ R (1) Bài [hsg419]Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC nội tiếp đường tròn (O; R) Đường thẳng d thay đổi ln vng góc với đoạn thẳng OA cắt cạnh AB, AC M , N Gọi K giao điểm đường thẳng BN CM ; P giao điểm đường thẳng AK BC; I trung điểm BC Chứng minh tứ giác M N IP nội tiếp đường tròn Gọi H trực tâm tam giác AM N Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định đường thẳng d thay đổi 7m + 7n số nguyên Bài [hsg420]Tìm tất số nguyên tố m, n cho mn —HẾT— 30 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Tây Ninh, ngày thi thứ hai, năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12    2x = y(1 − x ) (1)  Bài [hsg421]Giải hệ phương trình tập số thực 2y = z(1 − y ) (2)    2z = x(1 − z ) (3)    u1 = Bài [hsg422]Cho dãy số (un ) thoả mãn 2u2 + 5un + , n ≥ 1, n ∈ N Chứng minh   un+1 = 2n un + un + dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài [hsg423]Tìm tất số nguyên tố p, q cho pq | (2p + 2q ) Bài [hsg424]Trong tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Một đường tròn (w) qua A tiếp xúc với BC D cắt đường thẳng BF , CE tương ứng K L Đường thẳng qua E song song với DL cắt đường thẳng qua F song song với DK P Đặt R1 , R2 , R3 , R4 độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AF D, AED, F P D, EP D Chứng minh R1 · R4 = R2 · R3 —HẾT— 31 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Đắk Lắk năm 2020-2021 Mơn: Tốn 12 Bài [hsg425]Tìm tất cặp số thực (x; y) thỏa mãn điều kiện:   y + y + 2x2 = xy − x2 y  4xy + y + ≥ 2x2 + + (2x − y)2 Bài [hsg426] Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (xy) = f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R f (x2020 + yf (x)) = 2021xf (y) + f (f (x)) , ∀x, y ∈ R Bài [hsg427] Trên hai cạnh AB AC ABC lấy hai điểm D E Hai điểm M N chia đoạn thẳng DE thành ba phần Các đường thẳng AM AN cắt cạnh BC I K Chứng minh IK ≤ BC a1 a2 a3 a4 Bài [hsg428] Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} M = + + + |ai ∈ A, i = 1, 9 9 Sắp xếp phần tử tập hợp M thành dãy số theo thứ tự giảm dần Hãy tìm số đứng thứ 2020 dãy số —HẾT— 32 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020-2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Bình Phước vịng năm 2020-2021 Mơn: Toán 12 Thời gian làm 180 phút √ π Giải phương trình cos 3x · cos x − cos 4x + sin 2x + = 2 sin x +  x   x + x + = (y + 2) (x + 1)(y + 1) Giải hệ phương trình √ x2  √ (x + 1)(y + 1) + x + = x2 + 4x + y+1 Cho tập T = {1; 2; 3; 4; 5} Gọi H tập hợp tất số tự nhiên có ba chữ số đơi khác thuộc T Chọn ngẫu nhiên số thuộc H Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số 10 Bài [hsg430] Cho hình vng ABCD có A(−1; 2) Gọi M , N trung điểm BC CD Gọi H giao điểm BN AM Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác HDN biết phương trình đường thẳng BN : 2x + y − = điểm B có hồnh độ lớn Bài [hsg431] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Gọi H trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD tan (SH, (SCD)) Bài [hsg432] Cho hai đa thức P (x) = ax3 + bx2 − cx − b Q(x) = x3 + cx2 − bx − a với a, b, c ∈ R, a = Chứng minh G(x) = P (x) − Q(x) ≥ 0, ∀x ∈ R a ≥ b ≥ c Bài [hsg433] Giả sử phương trình x3 − 3x2 + ax − b = (với a, b ∈ R) có nghiệm thực dương, xn + xn2 + xn3 gọi nghiệm x1 , x2 , x3 Đặt un = n+11 n+1 , ∀n ∈ N∗ x1 + x2 + xn+1 √ 1 + + ··· + < n2 + 2021 Tìm a, b để u1 u2 un —HẾT— 33 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài [hsg429] ... họ tập có k phần tử tập hợp X cho với F, F ∈ F |F ∩ F | ≥ t Giả sử khơng có tập có t phần tử chứa tất tập F ∈ F Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020- 2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Ninh Bình năm 2020- 2021. .. Lai Châu Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020- 2021 Đề chọn đội tuyển HSG quốc gia Hưng Yên (ngày 1) năm 2020 - 2021 Mơn: Tốn 12    a0 = 2020 Bài [hsg349]Cho dãy số (an... Thời gian làm 180 phút Tuyển tập đề thi hsg năm học 2020- 2021 Đề chọn ĐTQG tỉnh Hưng Yên năm 2020- 2021 Mơn: Tốn 12 Thời gian làm 180 phút f (x + 2020f (xy)) = f (x) + 2020xf (y) với x, y ∈ R