Số học trong đề thi các nước 2021

SỐ HỌC QUA ĐỀ THI CÁC NƯỚC TRÊN THẾ GIỚI - NĂM 2021 TEAM SỐ HỌC DANH SÁCH TEAM SỐ HỌC ◦ Nguyễn Tuấn Ngọc ◦ Dương Thái Bảo ◦ Trần Quang ◦ Phạm Hữu Hiệp ◦ Vũ Nguyễn Hoàng Anh ◦ Nguyễn Thành Nhân ◦ Đỗ Lê Hải Thụy ◦ Nguyễn Khánh Hòa Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập APMO 2021 Tìm tất hàm số f : Z → Z cho f (f (a) − b) + bf (2a) số phương với số nguyên a b Bài tập APMO 2021 Với đa thức P số nguyên dương n, gọi Pn số cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn a < b ≤ n |P (a)| − |P (b)| chia hết cho n Tìm tất đa thức P với hệ số nguyên cho Pn ≤ 2021 với số nguyên dương n Bài tập All-Russian 2021 Tìm tất tập hợp số nguyên dương {x1 , x2 , · · ·, x20 } cho x2i+2 = lcm(xi+1 , xi ) + lcm(xi , xi−1 ), với i = 1, 2, , 20, x0 = x20 , x1 = x21 x2 = x22 Bài tập All-Russian 2021 Với số nguyên dương m, n thỏa mãn n > m Biết n biểu diễn thành tổng 2021 lũy thừa bậc không âm m, đồng thời n biểu diễn dạng tổng 2021 lũy thừa bậc khơng âm m + Tìm giá trị lớn m Bài tập All-Russian 2021 Cho đa thức P (x) có bậc n lớn với hệ số thực Phương trình P (P (P (x))) = P (x) có n3 nghiệm thực phân biệt Chứng minh nghiệm lập thành nhóm có trung bình cộng Bài tập All-Russian 2021 Tìm tất hốn vị (a1 , a2 , , a2021 ) (1, 2, , 2021), cho với cặp số nguyên m n thỏa |m − n| > 2021 , ta có: gcd(m + 1, n + a1 ) + gcd(m + 2, n + a2 ) + + gcd(m + 2021, n + a2021 ) < 2|m − n| Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập Mathematical Contest Aleksandar Blazhevski-Cane 2021 Cho p số nguyên tố tập hợp F = {0, 1, 2, , p − 1} Giả sử A tập thực F thỏa mãn tính chất: a, b ∈ A ab + (mod p) ∈ A Hỏi tập hợp A có phần tử? Bài tập Memorial Mathematical Contest Aleksandar Blazhevski-Cane 2021 √ Tìm tất số nguyên dương n cho có n + số ước tự nhiên (Bài phát biểu đơn giản lại sau: tìm tất số nguyên dương n √ cho τ (n) = n + 1.) Bài tập Bangladeshi National Mathematical Olympiad 2021 Cho x y số nguyên dương thỏa mãn 2(x + y) = gcd(x, y) + lcm(x, y) Tìm lcm(x, y) gcd(x, y) Bài tập 10 Benelux Mathematical Olympiad 2021 Cho dãy số nguyên a1 , a2 , a3 , thỏa mãn a1 > an+1 = + + · · · + an với số nguyên dương n Xác định tất số nguyên tố p cho a1 giá trị dãy chứa số hạng bội p Bài tập 11 Brazil EGMO TST 2021 Cho S tập hợp thỏa mãn với số ngun dương n ln có |S ∩ T | = 1, T = {n, 2n, 3n} Chứng minh ∈ S 13824 ∈ S Bài tập 12 Brazil EGMO TST 2021 Cho a, b, k số nguyên dương thỏa mãn gcd(a, b)2 + lcm(a, b)2 + a2 b2 = 2020k Chứng minh k số chẵn Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập 13 Brazil EGMO TST 2021 Cho n số nguyên dưỡng thỏa mãn 125n + 22 lũy thừa Chứng minh 125n + 29 có ước nguyên tố lớn 100 Bài tập 14 Bulgaria National Olympiad 2021 Cho cấp số cộng (an ), (bn ) dãy số nguyên dương < a1 < a2 < a3 < ; < b1 < b2 < b3 < Biết có vơ hạn cặp số ngun dương (n, j) với n ≤ j ≤ n + 2021 an | bj Chứng minh rằng, với số nguyên dương n, tồn số nguyên dương j cho an | bj Bài tập 15 Bundeswettbewerb Mathematik 2021 Phân số viết dạng tổng hai nghịch đảo hai cách 10 1 1 = + = + 10 10 20 a) Có cách viết thành tổng hai nghịch đảo? 2021 b) Tồn hay không số nguyên dương n không chia hết cho cho viết n dạng tổng hai nghịch đảo 2021 cách? Bài tập 16 Canada National Olympiad 2021 Một hàm f : Z+ → Z+ gọi Canadian nêu thỏa mãn gcd f (f (x)), f (x + y) = gcd(x, y) với cặp số nguyên dương x, y Tìm tất số nguyên dương m cho f (m) = m với hàm Canadian f Bài tập 17 Canadian Junior Mathematical Olympiad 2021 Có hốn vị gồm n số nguyên dương đầu tiên, cho với k ≤ n, k phần tử hốn vị nhận số dư đơi phân biệt chia cho k Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập 18 Caucasus Mathematical Olympiad 2021 Cho số nguyên dương n > Xét n số nguyên không âm x1 , x2 , , xn cho S − xi | xi , ∀i = 1, n, n S = xi Chứng minh S = i=1 Bài tập 19 China National Olympiad 2021 Cho m > số nguyên Tìm số nguyên dương n bé cho với hai dãy số nguyên a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn tồn dãy số nguyên x1 , x2 , , xn thỏa mãn hai điều kiện sau i) tồn i ∈ {1, 2, , n} để xi m nguyên tố với nhau, n n x i ≡ ii) i=1 bi xi ≡ (mod m) i=1 Bài tập 20 China National Olympiad 2021 Cho n số nguyên dương có 36 ước nguyên tố Với k = 1, 2, 3, 4, ta gọi ck số số nguyên thuộc đoạn (k−1)n kn ; 5 mà nguyên tố với n Các số c1 , c2 , c3 , c4 , c5 đôi phân biệt Chứng minh (ci − cj )2 ≥ 236 1≤i 1, gọi pa11 pa22 pas s phân tích thừa số nguyên tố n, đặt σ(n) = a1 + a2 + + as Chứng minh rằng, tồn 2020 số nguyên dương liên tiếp, cho có 1975 số nguyên n thỏa mãn σ(n) < 11 Bài tập 24 Hong Kong Team Selection Tests for IMO 2021 Có tồn hay khơng đa thức P (x) khác đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: P (x) khơng có nghiệm hữu tỉ; Mỗi số ngun dương n, tồn số nguyên m cho n | P (m)? Bài tập 25 Hong Kong Team Selection Tests for IMO 2021 Cho n số nguyên dương Có thể biểu diễn n2 + 3n + dạng ab với a, b √ số nguyên dương khoảng cách a b nhỏ n + hay không? Bài tập 26 Cyprus 2021 Junior TST Tìm tất cặp số tự nhiên (α, β) biết d ước chung lớn α, β ∆ bội chung nhỏ α, β thoả d + ∆ = 4(α + β) + 2021 Bài tập 27 Cyprus 2021 Junior TST Tìm tất số nguyên dương n cho số n2021 + 101 n2 + n + số nguyên Bài tập 28 Czech And Slovak Mathematical Olympiad 2021 Tìm tất số tự nhiên n với n + d(n) + d(d(n) + · · · = 2021, với d(0) = d(1) = với k > 1, d(k) là ước nguyên dương lớn k khác k Bài tập 29 EGMO 2021 Theo Anna, số 2021 số đẹp Cô cho tất phần tử tập {m, 2m+1,3m} số đẹp với số nguyên dương m Hỏi số 20212021 có phải số đẹp? Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập 30 Math olympiad for the French Speaking 2021 Cho a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b2 , số nguyên dương cho an+2 = an+1 + an bn+2 = bn+1 + bn , với n ≥ Giả sử an ước bn với vô số giá trị n Chứng minh tồn số nguyên c cho bn = can với n ≥ Bài tập 31 Math olympiad for the French Speaking 2021 Cho N∗ tập số nguyên dương Tìm tất hàm số f : N∗ → N∗ cho với số nguyên dương m n, ta có gcd f (m), n + lcm m, f (n) = gcd m, f (n) + lcm f (m), n Bài tập 32 German National Olympiad 2021 Chứng minh tồn vô số ba số nguyên dương (u, v, w) cho chúng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng đồng thời uv + 1, vw + wu + số phương Bài tập 33 International Zhautykov Olympiad 2021 Let n be a positive integer Is it possible to express n2 + 3n + into the form ab with a and b being positive integers, and such that the difference between a and b √ is smaller than n + 1? Bài tập 34 Iran 2nd round mathematical Olympiad 2021 Có hay xếp 1400 số nguyên dương (không thiết phân biệt), số 2021, đường trịn cho số đường tròn tổng ước chung lớn hai số liền trước ước chung lớn hai số liền sau? Ví dụ, a, b, c, d, e năm số liên tiếp đường trịn nói c = gcd(a, b) + gcd(d, e) Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập 35 Iran Team Selection Test 2021 Giả sử Ω(n), ω(n) ước nguyên tố lớn bé số nguyên n Alireza Amin định chơi trò chơi theo nguyên tắc sau: Alireza chọn 1400 đa thức có hệ số nguyên, sau Amin chọn 700 số 1400 đa thức Alireza Lúc Alireza lại 700 đa thức, gọi tập hợp đa thức Alireza Amin F, E Amin thắng với n ta có max{Ω(P (n))} ≥ min{ω(P (n))} P ∈E P ∈F Hỏi người có chiến thuật thắng? Qui ước Ω(1) = ω(1) = Ω(0) = ∞ Bài tập 36 Japan MO Finals 2021 Tìm tất hàm số f : Z+ → Z+ thoả mãn n | m ⇔ f (n) | f (m) − n, ∀m, n ∈ Z+ Bài tập 37 Turkey JBMO TST 2021 Với giá trị ngun dương n ta tìm số hữu tỉ không nguyên x cho xn + (x + 1)n số nguyên? Bài tập 38 Turkey JBMO TST 2021 Gọi d(n) số ước nguyên dương số nguyên dương n Tìm số nguyên dương n cho không tồn số nguyên dương k thoả d( d(d(n) ) k lần số phương Bài tập 39 Junior Macedonian Mathematical Olympiad 2021 Tìm tất số nguyên dương n số nguyên tố p cho 2 +3 17n · 2n − p = (2n Number theory 2021 + 2n − 1) · n2 TEAM SỐ HỌC Bài tập 40 Korea Winter Program Practice Test 2021 Có tồn hay khơng tập hợp vô hạn số nguyên dương S thỏa mãn điều kiện: với a, b ∈ S tồn số nguyên dương lẻ k cho a | bk + Bài tập 41 Korea Winter Program Practice Test 2021 Cho P đa thức monic hệ số ngun bậc n khơng có nghiệm ngun Đặt A= v2 P (m) | m ∈ Z, v2 P (m) ≥ Biết |A| = n, chứng minh tất phần tử A nhỏ 23 n2 Bài tập 42 Kosovo National Mathematical Olympiad 2021 Cho P (x) đa thức với hệ số nguyên Ta kí hiệu tập tất số nguyên tố P Chứng minh tập S = p ∈ P | ∃n : p | P (n) tập hữu hạn P (x) đa thức khác Bài tập 43 Latvian TST 2021 Tìm tất số nguyên dương n, k thoả mãn n3 − 5n + 10 = 2k Bài tập 44 Macedonian Mathematical Olympiad 2021 Cho (xn ) dãy số xác định    x1 =   xn+1 = xn (xn − 2), ∀n ≥ a , a, b ∈ N, (a, b) = Chứng minh p ước b nguyên tố a p = | p − Giả sử x2021 = Bài tập 45 Macedonian Team Selection Test 2021 Xác định tất hàm f : N∗ → N∗ cho với a, b ∈ N∗ , hai điều kiện sau đồng thời thỏa i) f (f (a) + b) | ba − 1, ii) f (f (a)) ≥ f (a) − Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập 46 NICE MO 2021 Cho dãy fibboican {ai } định nghĩa sau     a1 = a2 =    ak = ak−1 + ak−2 , k lẻ k    1   = + , k chẵn k  ak ak−1 ak−2 Chứng minh với số nguyên dương n tử số an (viết dạng thu gọn) luỹ thừa Bài tập 47 NICE MO 2021 Với số nguyên tố p, đặt Sp = {1, 2, · · · , p − 1} Tìm tất số nguyên tố p cho tồn hàm số f : Sp → Sp thỏa mãn p | nf (n) · f (f (n)) − với n ∈ Sp Bài tập 48 Nigeria mathematics Olympiad 2021 Tìm tất số nguyên tố (p, q, r) thỏa mãn pq = 2021 + r3 Bài tập 49 Nordic 2021 Cho n số nguyên dương Alice Bob chơi trò chơi sau ◦ Trước tiên, Alice chọn n + tập A1 , , An+1 {1, , 2n } cho tập có 2n−1 phần tử ◦ Sau đó, Bob chọn n + số nguyên a1 , , an+1 ◦ Cuối cùng, Alice chọn số nguyên t Bob giành chiến thắng tồn ≤ i ≤ n + s ∈ Ai cho s + ≡ t (mod 2n ) Ngược lại Alice giành chiến thắng Tìm tất giá trị n để Alice có chiến thuật thắng Number theory 2021 10 TEAM SỐ HỌC Bài tập 50 Pan-African Mathematics Olympiad 2021 Cho (ai )i∈N (pi )i∈N hai dãy nguyên dương thỏa mãn điều kiện sau (i) a1 ≥ (ii) pn ước nguyên tố nhỏ an với n ≥ (iii) an+1 = an + an với n ≥ pn Chứng minh tồn số nguyên dương N cho an+3 = 3an với số nguyên n > N Bài tập 51 Pan-African Mathematics Olympiad 2021 m2 + n n2 + m Tìm tất số nguyên m n cho số nguyên n −m m −n Bài tập 52 Philippine MO 2021 Một số nguyên dương gọi số may mắn chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Với số nguyên dương n cho trước Chứng minh tồn số may mắn l cho |n − l| ≤ 70 Bài tập 53 Polish Math Olympiad 2021 Cho số nguyên dương a, b, z thỏa mãn đẳng thức ab = z + Chứng minh rằng, tồn số nguyên dương x, y cho x2 + a = b y +1 Bài tập 54 Polish Math Olympiad 2021 Cho a, b n thỏa mãn a a2 + n = b b + n2 Chứng minh √ ab số nguyên Number theory 2021 11 TEAM SỐ HỌC Bài tập 55 Polish Math Olympiad 2021 Cho số tự nhiên a b hệ thập phân cho dãy gồm chữ số a hoán vị lặp dãy chữ số b Chứng minh rằng, a + b = 101000 a b chia hết cho 10 Bài tập 56 Polish Math Olympiad 2021 Lấy {pi } dãy số nguyên tố theo thứ tự tăng k số nguyên dương Gọi N = p1 · p2 · · · pk Chứng minh tập M = {1, 2, , n} có N số chia hết cho số lẻ số nguyên tố pi với i k Bài tập 57 Romania NMO 2021 Cho số nguyên dương a > a) Chứng minh ∃n ∈ Z+ , n = cho an ≡ (mod n) b) Chứng minh p số nguyên dương nhỏ nhất, khác 1, cho ap ≡ (mod p) p số nguyên tố c) Chứng minh không tồn số nguyên dương n, khác 1, cho 2n ≡ (mod n) Bài tập 58 Romania TST 2021 Cho n > số nguyên dương, gọi p(n) ước nguyên tố lớn n Tìm tất ba số nguyên dương phân biệt (x; y; z) cho i) x; y; z lập thành cấp số cộng, ii) p(xyz) Bài tập 59 Serbian Mathematical Olympiad 2021 Cho a > c số tự nhiên, b số nguyên khác Chứng minh tồn số tự nhiên n cho an + b có ước có dạng cx + 1, x ∈ N Number theory 2021 12 TEAM SỐ HỌC Bài tập 60 Spain Mathematical Olympiad 2021 Cho n số nguyên dương, gọi λ(n) số nghiệm nguyên dương phương trình x2 − y = n Chúng ta gọi n olympic λ(n) = 2021 Tìm số olympic bé nhất? Số olympic lẻ nhỏ số nào? Bài tập 61 Switzerland - Final Round 2021 Tìm tất tập hữu hạn số nguyên dương S có hai phần tử thỏa n2 mãn m > n hai phần tử S phần tử S m−n Bài tập 62 Switzerland - Final Round 2021 Với số nguyên n ≥ xếp số 1, 2, , n thành hàng cho với ≤ k ≤ n, tổng k số hàng chia hết cho k? Bài tập 63 Taiwan APMO Preliminary First Round 2021 Cho n số nguyên dương cho với số nguyên m nguyên tố với n m6 ≡ (mod n) Tìm giá trị lớn n Bài tập 64 Taiwan Mathematics Olympiad 2021 Tìm tất số nguyên n = 2k + > cho tồn hoán vị a0 , a1 , , ak 0, 1, , k cho a21 − a20 ≡ a22 − a21 ≡ · · · ≡ a2k − a2k−1 (mod n) Bài tập 65 Taiwan TST Round 2021 Tìm hết tất ba số nguyên dương (x, y, z) cho x2 + 4y = 5z Bài tập 66 Taiwan TST Round 2021 Gọi S tập số nguyên dương cho với a, b ∈ S tồn c ∈ S cho c2 ước a(a + b) Chứng minh tồn a ∈ S cho a ước phần tử thuộ S Number theory 2021 13 TEAM SỐ HỌC Bài tập 67 Taiwan TST Round 2021 Cho n số nguyên dương Chúng ta gọi số nguyên dương m n-tốt có tối đa 2n số nguyên tố phân biệt p cho p2 | m a) Chứng minh a, b hai số nguyên dương nguyên tố với tồn hai số nguyên dương x, y cho axn + by n số n-tốt b) Chứng minh với k số nguyên dương a1 , , ak thỏa gcd(a1 , , ak ) = tồn số nguyên dương x1 , , xk cho a1 xn1 + a2 xn2 + · · · + ak xnk số n-tốt Chú ý rằng: a1 , , ak không thiết phân biệt Bài tập 68 Thailand Online MO 2021 Tìm tất số nguyên n > thỏa mãn điều kiện: với x ∈ Z+ , gcd(x, n) = gcd(x + 101, n) = Bài tập 69 Thailand Online MO 2021 Cho a1 , a2 , dãy vô hạn số nguyên dương cho a1 = 2021 an+1 = (a1 + a2 + · · · + an )2 − với số nguyên dương n Chứng minh với n ≥ 2, an tích 2n số nguyên tố (không thiết phân biệt) Bài tập 70 Thailand Online MO 2021 Cho k số nguyên dương, gọi τ (k) số ước nguyên dương k Giả sử a b hai số nguyên dương thoả τ (τ (an)) = τ (τ (bn)) với số nguyên dương n Chứng minh a = b Bài tập 71 Turkey TST 2021 Tìm cặp số nguyên dương (k, n) để   # a ∈ Z : ≤ a ≤ (nk)! gcd  Number theory 2021 a ,n k   (nk)! =1 =  14 TEAM SỐ HỌC Bài tập 72 Turkey TST 2021 Chứng minh với số nguyên dương n, 20 · 5n − ∈ / Z 3n + 47 Bài tập 73 Ukraine NMO 2021 Gọi P (n) tập tất đa thức bậc n cho hệ số hoán vị {20 , 21 , , 2n } Tìm tất cặp số nguyên dương (k, d) cho tồn số nguyên dương n cho với đa thức P ∈ P (n) P (k) chia hết cho d Bài tập 74 Ukraine NMO 2021 Chứng minh với số nguyên dương n, ta chọn ϕ(n) + ước n (không thiết phân biệt) mà tổng chúng n Bài tập 75 Ukraine NMO 2021 Có tồn hay không ba số tự nhiên (m, n, k) thỏa mãn phương trình mm + nn = k k ? Bài tập 76 Ukraine NMO 2021 Cho số nguyên (a2021 , a2020 , , a1 , a0 ) thoả a2021 n2021 + a2020 n2020 + · · · + a1 n + a0 chia hết cho 2021 với số nguyên n Có thể chứng minh tất số a2021 , a2020 , , a1 , a0 chia hết cho 2021 không? Bài tập 77 USA JMO 2021 Cho S tập hợp gồm số nguyên dương thoả với s ∈ S, ước nguyên dương d s tồn phần tử t ∈ S cho gcd(s, t) = d Tìm tất giá trị có số phần tử S Bài tập 78 USA Team Selection Test for IMO 2021 Tìm tất số nguyên s cho tồn bốn số nguyên dương a, b, c, d thoả s = a + b + c + d s ước abc + abd + acd + bcd Number theory 2021 15 TEAM SỐ HỌC Bài tập 79 International Zhautykov Olympiad in Mathematics 2021 Chứng minh tồn số nguyên dương n cho số dư 3n chia cho 2n lớn 102021 Number theory 2021 16 ... 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập APMO 2021 Tìm tất hàm số f : Z → Z cho f (f (a) − b) + bf (2a) số phương với số nguyên a b Bài tập APMO 2021 Với đa thức P số nguyên dương n, gọi Pn số cặp số nguyên... a2021 ) (1, 2, , 2021) , cho với cặp số nguyên m n thỏa |m − n| > 2021 , ta ln có: gcd(m + 1, n + a1 ) + gcd(m + 2, n + a2 ) + + gcd(m + 2021, n + a2021 ) < 2|m − n| Number theory 2021 TEAM SỐ... EGMO TST 2021 Cho a, b, k số nguyên dương thỏa mãn gcd(a, b)2 + lcm(a, b)2 + a2 b2 = 2020k Chứng minh k số chẵn Number theory 2021 TEAM SỐ HỌC Bài tập 13 Brazil EGMO TST 2021 Cho n số nguyên