ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4đ) Cho biểu thức 13 x x 13 x x x x x : x2 x 2( x 1) 1 �x �12 , x �1;3 ) (Với a) Rút gọn A b) Tìm x �Q để A có giá trị số nguyên tố A Câu 2:(4đ) Cho hệ phương trình � (2m 1) x y m � mx y � a) Tìm m để hệ có nghiệm y 3x b) Tìm m �Z để hệ có nghiệm cho y có giá trị số nguyên x Câu 3:(8đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đường cao AA1, BB1, CC1 cắt H a) Chứng minh H cách ba cạnh tam giác A1B1C1 b) Chứng minh OA vng góc với B1C1 c) Gọi O1, O2, O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC, CHA, AHB Tính diện tích tam giác O1O2O3, biết diện tích tam giác ABC 10 (đơn vị diện tích) Câu 4:(2đ) Cho a, b số thực dương thoả mãn a b Tìm giá trị nhỏ 1 8a b biểu thức M 4a 4b3 ab Câu 5: (2đ) Giải phương trình sau: 2x2 5x x x x2 …………………….Hết…………………… ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM CÂU-LỜI GIẢI ĐIỂM Câu 1: (4đ) a) (2đ) 13 x x 13 x x x x x : x2 x 2( x 1) 0,5 26 x 10 x 26 x 10 x x ( x 3) ( x 3) : 4( x 1) ( x 1)( x 3) x x ( x 1)( x 3) 4( x 1) ( x 3)( x 1) 2x 0,75 0,75 b) (2đ) 0,5 A � A.x A 2x 2A � x2 �0 � A �0 2A 0,5 0,5 Vì A số nguyên tố suy A=2 Thay A=2 vào ta tìm x=1/2; -1/2 ( Thoả mãn đk) 0,5 Câu 2: (4đ) a) (2đ) Hệ có nghiệm 0,5 2m �۹ m 2 m � (2m 1) x y m 5(1) � mx y 4(2) � Lấy (1) cộng với (2) ta có (m-1)x=m2-1 � x m Thay vào (2) ta m m y 0,5 Vì y=3x nên ta có m2 m 3(m 1) Thu gọn ta m 7m 10 0,5 Giải ta m=-2; m=-5 (Thoả mãn đk) KL: Vậy m=-2 m=-5 0,5 b) (2đ) ta có Vì 0,5 y m2 m y 2m2 2m �2 m x 2( m 1) x 2m m 1 0,5 y y � số nguyên nên số nguyên � x x m 1 Nên m+1 thuộc tập Ư(4) Ta có bảng m+1 M y x -4 -5 -1 -2 -5 -4 3 -5/2 -2 tm Tm Loại tm 0,5 y x KL Vậy m=-5; -2; Câu 3: (8đ) 0,5 A x B1 O3 O2 C1 H B A1 O I C O1 a) (3đ) Chứng minh tứ giác AC1HB1 nội tiếp � C�1 AH C�1B1H (2góc nội tiếp chắn cung C1H) �AH HB � A (2góc nội tiếp Chứng minh tứ giác BAB1A1 nội tiếp � C 1 chắn cung BA1) �B H HB � A ( C �AH ) �C 1 1 �B A � B1H tia phân giáccủa C 1 A1C1 B1 Chứng minh tương tự ta có C1H tia phân giác � � H giao điểm ba đường phân giác A1 B1C1 � H cách ba cạnh A1 B1C1 b) (3đ) Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh tứ giác BCB1C1 nội tiếp 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 � B ) �� ACB � AC1 B1 (Cùng bù với BC 1 0,5 �Ax (Góc tạo tia tiép tuyến và…) Mà � ACB B 0,5 �Ax � �B AC1 B1 Mà hai góc vị trí đồng vị � Ax//B1C1 (1) 0,5 Vì Ax tiếp tuyến (O) (Cách dựng) � Ax B1C1 (2) 0,5 Từ (1) (2) suy B1C1 OA 0,5 c) (2đ) Gọi O1 điểm đối xứng với O qua BC chứng minh tứ giác AHO1O hình bình hành � HO1=OA=R chứng minh tam giác BOO1 cân B � O1B=OB=R chứng minh tam giác BCO1 cân O1 � O1B=O1C � O1B=O1C=O1H=R � O1 tâm đường tròn ngoại tiếp BHC 0,5 Gọi O2; O3 điểm đối xứng với O qua CA, AB � O2 ; O3 0,5 tâm đường tròn ngoại tiếp CHA; AHB Chứng minh tứ giác BO1HO3 hình thoi (Tứ giác có cạnh R) � O1O3 BH Mà BH AC � O1O3//AC � ACO1O3 hình thang Mà O1C=O3A=R � AC=O1O3 Chứng minh tương tự ta có AB=O1O2; BC=O2O3 � ABC O1O2O3 (c.c.c) 0,5 � S ABC SO1O2O3 10 � đpcm 0,5 Câu 4: (2đ) Biến đổi ta có 1 8a b 1 8ab 4(1 3ab) ab 4(1 3ab) ab 1 M 4(1 3ab) 4ab 4 4(1 3ab) 4ab 4ab M 0,5 Vì a, b f 0; a b nên 1-3ab f Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta c/m *) 4(1 3ab) 4(1 3ab) �2 Dấu “=” xảy *) 4ab 0,5 ab=1/4 �2 4ab Dấu “=” xảy ab=1/4 2 2 *) a b �2ab � a b 2ab �4ab ۳ 4ab 1 4ab 4ab 0,5 Do M �2 M �3 Vậy GTNN M Dấu “=” xảy 0,5 ab ; a b; a b �ab Câu 5: (2đ) ĐKXĐ: x ≥ -3 � x x 4( x 3) x x 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số khơng âm có (2 x x 4) x x x2 x � (1) 2 0,5 ( x 3) x 4( x 3) � (2) 2 Do x2 5x x x x 4( x 3) � 2 0,5 � x x 4( x 3) �x x Dấu “=” xảy (1) (2) xảy dấu “=” � x2 5x �� �x � x 1(TMDK ) Vậy nghiệm phương trình x=1 * Lưu ý: Các lời giải khác cho điểm tương đương 0,5 ... BA1) �B H HB � A ( C �AH ) �C 1 1 �B A � B1H tia phân giáccủa C 1 A1C1 B1 Chứng minh tương tự ta có C1H tia phân giác � � H giao điểm ba đường phân giác A1 B1C1 � H cách ba cạnh A1 B1C1... x B1 O3 O2 C1 H B A1 O I C O1 a) (3đ) Chứng minh tứ giác AC1HB1 nội tiếp � C? ?1 AH C�1B1H (2góc nội tiếp chắn cung C1H) �AH HB � A (2góc nội tiếp Chứng minh tứ giác BAB1A1 nội tiếp � C 1 chắn... Ax//B1C1 (1) 0,5 Vì Ax tiếp tuyến (O) (Cách dựng) � Ax B1C1 (2) 0,5 Từ (1) (2) suy B1C1 OA 0,5 c) (2đ) Gọi O1 điểm đối xứng với O qua BC chứng minh tứ giác AHO1O hình bình hành � HO1=OA=R