Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số

Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả CHỦ ĐỀ: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho n0 số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên n �n0 Nếu (1) P(n0) (2) Nếu P(k) đúng, P(k  1) với số tự nhiên k �n0 ; mệnh đề P(n) với số tự nhiên n �n0 Khi ta bắt gặp toán: Chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n �n0 , n0 �� ta sử dụng phương pháp quy nạp sau Bước 1: Kiểm tra P(n0) có hay khơng Nếu bước ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với k �n0 , giả sử P(k) ta cần chứng minh P(k  1) Kết luận: P(n) với n �n0 Lưu ý: Bước gọi bước quy nạp, mệnh đề P(k) gọi giả thiết quy nạp Vấn đề Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức Bất đẳng thức Phương pháp Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P(n)  Q(n) ) với n �n0 , n0 �� ta thực bước sau: Bước 1: Tính P(n0), Q(n0 ) chứng minh P(n0)  Q(n0 ) Bước 2: Giả sử P(k)  Q(k); k  �,k n0 , ta cần chứng minh P(k  1)  Q(k  1) Các ví dụ Ví dụ Chứng với số tự nhiên n �1 ta ln có: n(n  1) 1    n  Lời giải Đặt P(n)  1    n : tổng n số tự nhiên : Q(n)  n(n  1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word108 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta cần chứng minh P(n)  Q(n) n  �,n 1(1 1) 1 Bước 1: Với n  ta có P(1)  1, Q(1)  � P(1)  Q(1) � (1) với n  Bước 2: Giả sử P(k)  Q(k) với k  �,k tức là: k(k  1) 1    k  (1) Ta cần chứng minh P(k  1)  Q(k  1) , tức là: (k  1)(k  2) 1    k  (k  1)  (2) Thật vậy: VT(2)  (1    k)  (k  1) k(k  1)  (k  1) (Do đẳng thức (1)) k (k  1)(k  2)  (k  1)(  1)   VP(2) 2 Vậy đẳng thức cho với n �1 Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n �1 ta ln có:  1    2n   n2 Lời giải �Với n  ta có VT  1, VP  12  Suy VT  VP � đẳng thức cho với n  �Giả sử đẳng thức cho với n  k với k  �,k tức là: 1    2k  1 k2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức là: 1    (2k  1)  (2k  1)   k  1 (2) Thật vậy: VT(2)  (1    2k  1)  (2k  1)  k2  (2k  1) (Do đẳng thức (1))  (k  1)  VP(1.2) Vậy đẳng thức cho với n �1 Ví dụ Chứng minh với n �1, ta có bất đẳng thức: 1.3.5  2n  1  2.4.6.2n 2n  Lời giải 1 �  * Với n  ta có đẳng thức cho trở thành :  109 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � đẳng thức cho với n  * Giả sử đẳng thức cho với n  k �1, tức : 1.3.5  2k  1 (1)  2.4.6 2k 2k  Ta phải chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức : 1.3.5  2k  1  2k  1  (2) 2.4.6 2k  2k  2 2k  Thật vậy, ta có : VT(2)  1.3.5 (2k  1) 2k  1 2k  2k    2.4.6 2k 2k  2k  2k 2 2k  2k  1  � (2k  1)(2k  3)  (2k  2)2 2k  2k  �  (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho với số tự nhiên n �1 Ví dụ Chứng minh với n �1,x  ta có bất đẳng thức: Ta chứng minh: 2n1 xn (xn1  1) �x  1� �� � �2 � xn  Đẳng thức xảy nào? Lời giải x  1� �Với n  ta cần chứng minh: x(x  1) �� � � � 8x(x  1) �(x  1) x1 �2 � Tức là: x4  4x3  6x2  4x  1�0 � (x  1)4 �0 (đúng) Đẳng thức xảy x  2k 1 k k 1 x  1� �Giả sử x (x  1) �� � � k x 1 �2 � , ta chứng minh 2k  xk1(xk  1) �x  1� �� � �2 � xk1  (*) Thật vậy, ta có: 2k 2k 1 �x  1� �x  1��x  1� �x  1� xk (xk 1  1) � � � �� � �� � �2 � � �� � � � xk  Nên để chứng minh (*) ta cần chứng minh �x  1� xk (xk1  1) xk1(xk  1) � � � � � xk  xk1  �x  1� k1 Hay �  1)2 �x(xk  1)(xk  1) (**) �(x �2 � Khai triển (**) , biến đổi rút gọn ta thu 110 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x2k 2(x  1)2  2xk1(x  1)2  (x  1)2 �0 � (x  1)2(xk1  1)2 �0 BĐT hiển nhiên Đẳng thức có � x  Vậy toán chứng minh Chú ý: Trong số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n ta chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) với n  n  2k Bước 2: Giả sử P(n) với n  k  1, ta chứng minh P(n) với nk Cách chứng minh gọi quy nạp theo kiểu Cauchy (Cơ si) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh với số tự nhiên n �1, ta ln có n(n  1)(2n  1) 12  22   (n  1)2  n2  n 2n     n   3 4.3n Bài Chứng minh đẳng thức sau n  n  1  n  2 1.2  2.3   n(n  1)  với n �1 1 1 n      1.5 5.9 9.13  4n  3  4n  1 4n  � n  n  1 � 13  23  33   n3  � � � � � � � � � 4� � 4� � 4�� � 1 2n 1 � 1 � 1 � 1 � � � � � 1 2n � 1� � 9� � 25 � �  2n  1 � � � 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  n(n2  1)(3n  2) , n �2 12 2n(n  1)(2n  1) 22  42   (2n)2  n(n  1)(n  2)(n  3) 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2)  Với n �� * 1.22  2.32  3.42   (n  1).n2  1.22  2.32  3.42   (n  1).n2  với n �2 111 n(n2  1)(3n  2) 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 n(n  3)     1.2.3 2.3.4 n(n  1)(n  2) 4(n  1)(n  2) Với n �� * 10 Bài Chứng minh với số tự nhiên n �1 ta có:       2cos  n (n dấu căn) Chứng minh đẳng thức sinx  sin2x  sinnx  sin nx (n  1)x sin 2 x sin với x �k2 với n �1 Bài Chứng minh với n �1 ta có bất đẳng thức: sinnx �n sinx x �� Bài n � 1� Chứng minh với số tự nhiên n �1, ta có : � 1 �  � n� 3n  3n  với số tự nhiên n �2; 2.4.6.2n  2n  với số tự nhiên n �1; 1.3.5  2n  1 Bài Cho hàm số f xác định với x �� thoả mãn điều kiện : f(x  y) �f(x).f(y), x,y �� (*) Chứng minh với số thực x 2n ��x � � số tự nhiên n ta có : f  x �� f� � n � ��2 � � Bài Chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 1      n �2 n n n  1   n �2 n tann  ntan  với     4 n  1 2n  2n  n �3 2n2  2n  5, (n ��* ) 3n1  n(n  2); (n  �* ,n 4) 2n  3n  1; (n  �* ,n 8) 112 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả    ncos �1 với n �1 n1 n 2n  1  2n  3n  (n  1)cos 10 1 1     n ;(n  �* ,n 2) n 1 Bài Cho tổng: Sn  1 1     1.3 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1) Tính S1;S2;S3;S4 Dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh phương pháp qui nạp Bài Cho hàm số f : � � �, n �2là số nguyên Chứng minh f(x)  f(x) �x  y � �f � �x,y �0 (1) ta có �2 � f(x1)  f(x2)   f(xn ) n �x  x   xn � �f � � xi �0 , i  1,n (2) n � � Vấn đề Ứng dụng phương pháp quy nạp số học hình học Các ví dụ Ví dụ Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: an  16n – 15n – 1M225 Lời giải �Với n  ta có: a1  � a1M225 �Giả sử ak  16k  15k  1M225, ta chứng minh ak1  16k1  15(k  1)  1M225   k k k Thậ vậy: ak1  16.16  15k  16  16  15k  1 15 16     ak  15 16k    k k 1 k   M15 ak M225 Vì 16   15 16  16 Nên ta suy ak1M225 Vậy tốn chứng minh Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n �1 A(n)  7n  3n  ln chia hết cho Lời giải 113 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Với n  1� A(1)  71  3.1  � A(1)M9 * Giả sử A(k)M9 k �1, ta chứng minh A(k  1)M9 Thật vậy: A(k  1)  7k1  3(k  1)   7.7k  21k   18k  � A(k  1)  7A(k)  9(2k  1) � A(k)M9 � A(k  1)M9 Vì � 9(2k  1)M9 � Vậy A(n) chia hết cho với số tự nhiên n �1 Ví dụ Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: Bn   n  1  n  2  n  3 �. 3n M3n Lời giải �Với n  1, ta có : B1  2.3M3 �Giả sử mệnh đề với n = k, tức : Bk   k  1  k  2  k  3 � 3k  M3k 3 k  1 � M3k1 Ta chứng minh : Bk1   k  2  k  3  k  4 �� � � Bk1  3 k  1  k  2  k  3 � 3k   3k  1  3k  2  3Bk  3k  1  3k  2 Mà Bk M3k nên suy Bk1M3k1 Vậy tốn chứng minh Ví dụ Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời (n > 2) tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối hai điểm điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n Lời giải Giả sử mệnh đề với n  k �3 điểm Ta chứng minh cho n  k  điểm Ta chứng minh tồn đường thẳng chứa có hai điểm Ta kí hiệu đường thẳng qua hai điểm A n A n1 A n A n1 Nếu điểm A 1,A , ,A n nằm đường thẳng số lượng đường thẳng n  1: Gồm n đường thẳng nối A n1 với điểm A 1,A , ,A n đường thẳng chúng nối chung Nếu A 1,A , ,A n không nằm đường thẳng theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác Bây ta thêm đường thẳng nối A n1 với điểm A 1,A , ,A n Vì đường thẳng A n A n1 khơng chứa điểm A 1,A , ,A n1 , nên đường thẳng khác 114 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả hoàn toàn với n đường thẳng tạo A 1,A , ,A n Như số đường thẳng tạo không nhỏ n  Ví dụ Chứng minh tổng n – giác lồi (n �3) (n  2)1800 Lời giải �Với n  ta có tổng ba góc tam giác 1800 �Giả sử công thức cho tất k-giác, với k  n , ta phải chứng minh mệnh đề cho n-giác Ta chia n-giác đường chéo thành hai đa giác Nếu số cạnh đa giác k+1, số cạnh đa giác n – k + 1, hai số nhỏ n Theo giả thiết quy nạp tổng góc hai đa giác  k  1 1800  n  k  1 1800 Tổng góc n-giác tổng góc hai đa giác trên, nghĩa  k – 1 n k – 1 1800   n  2 1800 Suy mệnh đề với n �3 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho n số nguyên dương.Chứng minh rằng: n(2n2  3n  1) chia hết cho 11n1  122n1 chia hết cho 133 n7  n chia hết cho 13n  1chia hết cho n5  n chia hết cho với n �1 16n  15n  chia hết cho 225 với n �1 4.32n1  32n  36 chia hết cho 64 với n �1 Bài Chứng minh với n �2, ta có an   n  1  n  2  n  n  chia hết cho 2n Cho a,b nghiệm phương trình x2  27x  14  Đặt S n  an  bn Chứng minh với số ngun dương n S(n) số ngun khơng chia hết cho 715 Cho hàm số f : � � � thỏa f(1)  1,f(2)  f(n  2)  2f(n  1)  f(n) Chứng minh rằng: f 2(n  1)  f(n  2)f(n)  (1)n n Cho pn số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng: 22  p n 115 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chứng minh số tự nhiên không vượt qua n! biểu diễn thành tổng khơng n ước số đôi khác n! Bài Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình : x2  6x   Đặt an  x1n  x2n Chứng minh : an  6an1  an2 n �2 an số nguyên an không chia hết cho với n �1 Bài Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n �1), ba mặt phẳng ln cắt khơng có bốn mặt phẳng có điểm chung Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền? Cho n đường thẳng nằm mặt phẳng hai đường thẳng ln cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy Chứng minh n đường thẳng chia mặt phẳng thành n2  n  miền Bài Cho a,b,c,d,m số tự nhiên cho a  d , (b  1)c , ab  a  c chia hết cho m Chứng minh xn  a.bn  cn  d chia hết cho m với số tự nhiên n Chứng minh từ n  số 2n số tự nhiên ln tìm hai số bội DÃY SỐ Dãy số tập hợp giá trị hàm số u : �* � �, n � u(n) Được xếp theo thứ tự tăng dần liên đối số tự nhiên n : u(1),u(2),u(3), ,u(n), �Ta kí hiệu u(n) un gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát dãy số, u1 gọi số hạng đầu dãy số �Ta viết dãy số dạng khai triển u1,u2 , ,un , dạng rút gọn (un ) Người ta thường cho dãy số theo cách: �Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số �Cho cơng thức truy hồi, tức là: * Cho vài số hạng đầu dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc vài số hạng) đứng trước Dãy số tăng, dãy số giảm �Dãy số (un ) gọi dãy tăng un  un1 n �� * �Dãy số (un ) gọi dãy giảm un  un1 n �� * 116 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Dãy số bị chặn �Dãy số (un ) gọi dãy bị chặn có số thực M cho un  M n �� * �Dãy số (un ) gọi dãy bị chặn có số thực m cho un  m n �� * �Dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn gọi dãy bị chặn, tức tồn số thực dương M cho un  M n �� * Vấn đề Xác định số hạng dãy số Các ví dụ Ví dụ Cho dãy số có số hạng đầu là: 1,3,19,53 Hãy tìm quy luật dãy số viết số hạng thứ 10 dãy với quy luật vừa tìm Lời giải Xét dãy (un ) có dạng: un  an3  bn2  cn  d � a  b  c  d  1 � 8a  4b  2c  d  � Ta có hệ: � 27a  9b  3c  d  19 � � 64a  16b  4c  d  53 � Giải hệ ta tìm được: a  1,b  0,c  3,d  � un  n3  3n  quy luật Số hạng thứ 10: u10  971 Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định un  n  3n  n1 Viết năm số hạng đầu dãy; Dãy số có số hạng nhận giá trị nguyên Lời giải Ta có năm số hạng đầu dãy 12  3.1 11 u  17 ,u  25 ,u  7,u  47 , u1   3 4 1 5 Ta có: un  n   , un nguyên n1 n1 nguyên hay n  ước Điều xảy n   � n  Vậy dãy số có số hạng nguyên u4  � u1  Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định bởi: � un  2un1  n �2 � 117 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Bài Xét tính bị chặn dãy số sau 1    un  1.3 2.4 n.(n  2) un  1    1.3 3.5  2n  1  2n  1 � u1  � u 2 � un  n1 , n �2 � un1  � Bài Xét tính tăng giảm dãy số sau � u1  � � un1  u3n  1, n �1 � � � u1  � � u2  u n  n � � n �1 Bài Chứng minh dãy số (un ) xác định un  2010  2010   2010 (n dấu căn) Là dãy tăng � u1  1,u2  � Cho dãy số (un ) : � Chứng minh dãy un  un1  un2 ,n �3 � (un ) tăng bị chặn an  , n �1 2n  a) Khi a  4, tìm số hạng đầu dãy b) Tìm a để dãy số cho dãy số tăng � u1  Cho dãy số (un ) : � un  3un1  2, n  2,3 � a) Viết số hạng đầu dãy Cho dãy số (un ) : un  b) Chứng minh un  3n1  1, n  1,2, Cho dãy số un  5.2n1  3n  n  2, n  1,2, a) Viết số hạng đầu dãy b) Chứng minh rằng: un  2un1  3n1  n Bài Cho dãy số (un ) : un  (1 a)n  (1 a)n ,trong a �(0;1) n số nguyên dương a)Viết công thức truy hồi dãy số b)Xét tính đơn điệu dãy số 123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Cho dãy số (un ) xác định sau: � u1  � � un  3un1   2, n �2 � 2u � n1 a) Viết số hạng đầu dãy chứng minh un  0, n b) Chứng minh dãy (un ) dãy tăng � u0  2011 � Cho dãy số (un ) xác định : � u2n u n  , n  1,2, � un  � a) Chứng minh dãy (un ) dãy giảm b) Tìm phần nguyên un với �n �1006 � u1  2,u2  Cho dãy số (un ) xác định bởi: � un  un  2un1, n  1,2, � a) Gọi a,b hai nghiệm phương trình x2  2x   Chứng minh rằng: un  an  bn b) Chứng minh rằng: u2n1  un 2un  (1)n1.8 Bài Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau n1 (un ) : un  n2 (un ) : un  n3  2n  � u 2 � u1  2,u2  �1 � (un ) : � � un  u  , n �2 un1  un  un1 , n �2 � � � n Bài � x0  � Cho dãy số (xn ) : � 2n n1 xn  �xi , n  2,3, � (n  1)2 i 1 � Xét dãy số yn  xn1  xn Chứng minh dãy (yn ) tăng bị chặn � u0  1,u1  � � � u2n1 � Cho dãy số nguyên dương (un ) thỏa : � � �, n �0 u   n  � u � � n � � � 124 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Chứng minh rằng: un 2un  un21  2n với số tự nhiên n � u0  � Cho dãy số (un ) xác định bởi: � un1  5un  24un2  1, n  0,1, � � Chứng minh dãy số (un ) dãy số nguyên 1� (2  5)n  (2  5)n � � 2� số tự nhiên chẵn u2n1 số tự nhiên lẻ Cho dãy số (un ) xác định bởi: un  Chứng minh u2n Cho hai dãy số (xn );(yn ) xác định : � xn  xn1  1 x2n1 � � x1  � � yn1 � , n �2 � �y1  �yn  1 1 y2n1 � � Chứng minh  xn yn  3, n �2 � u0  � Cho dãy số số (un ) xác định bởi: � 1� � u n  � u  � n � 2� 3un � � � � Chứng minh rằng: an  số phương 3un  CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng � u1  a , n �N * 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định � u  u  d � n n gọi cấp số cộng; d gọi công sai 2.1 Các tính chất: � Số hạng thứ n cho công thức: un  u1  (n  1)d �Ba số hạng uk ,uk 1,uk ba số hạng liên tiếp cấp số cộng  u  uk   k �Tổng n số hạng Sn xác định công thức : uk1  Sn  u1  u2   un  n n u1  un   � 2u   n  1 d�  � 2� Cấp số nhân 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � u1  a , n �N * 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định � u  u q � n n gọi cấp số cộng; q gọi công bội 2.2 Các tính chất: � Số hạng thứ n cho công thức: un  u1qn1 �Ba số hạng uk ,uk 1,uk ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u2k1  uk uk �Tổng n số hạng Sn xác định công thức : Sn  u1  u2   un  u1 qn  q1 Vấn đề Xác định cấp số xác yếu tố cấp số Phương pháp: �Dãy số (un ) cấp số cộng � un1  un  d không phụ thuộc vào n d công sai u �Dãy số (un ) cấp số nhân � n1  q không phụ thuộc vào n un q công bội �Ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng � a  c  2b �Ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân � ac  b2 �Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu cơng sai Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 d �Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu cơng bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 q Các ví dụ Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 Lời giải Giả sử bốn số hạng a  3x;a  x;a  x;a  3x với cơng sai d  2x Khi đó, ta có: �  a  3x   a  x   a  x   a  3x  20 � � �  a  3x   a  x   a  x   a  3x  120 � � 4a  20 �a  � �� �� x  �1 4a  20x  120 � � Vậy bốn số cần tìm 2,4,6,8 Chú ý: 126 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả * Cách gọi số hạng cấp số cộng giúp ta giải toán gọn * Nếu số hạng cấp số cộng lẻ gọi cơng sai d  x , chẵn gọi cơng sai d  2x viết số hạng cấp số dạng đối xứng � �a1  a2   an  p * Nếu cấp số cộng (an ) thỏa: �2 thì: a1  a22   an2  s2 �   12 ns2  p2 � n  n  1 � a1  � p d�và d  � n� � � n2 n2  �   � u2  u3  u5  10 Ví dụ Cho CSC (un ) thỏa : � � u4  u6  26 Xác định công sai công thức tổng quát cấp số; Tính S  u1  u4  u7   u2011 Lời giải Gọi d công sai CSC, ta có: � (u1  d)  (u1  2d)  (u1  4d)  10 u  3d  10 �u1  � � �1 �� � (u1  3d)  (u1  5d)  26 u1  4d  13 � d3 � � Ta có cơng sai d  số hạng tổng quát : un  u1  (n  1)d  3n  Ta có số hạng u1,u4 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC gồm 670 số hạng với công sai d'  3d , nên ta có: S  670  2u1  669d'  673015 � u5  3u3  u2  21 Ví dụ Cho cấp số cộng (un ) thỏa: � 3u7  2u4  34 � Tính số hạng thứ 100 cấp số ; Tính tổng 15 số hạng đầu cấp số ; Tính S  u4  u5   u30 Lời giải � u1  4d  3(u1  2d)  (u1  d)  21 Từ giả thiết tốn, ta có: � 3(u1  6d)  2(u1  3d)  34 � u  3d  7 u 2 � � � �1 � �1 u1  12d  34 � d  3 � Số hạng thứ 100 cấp số: u100  u1  99d  295 Tổng 15 số hạng đầu: S15  Ta có: S  u4  u5   u30  127 15 � 2u  14d� � 285 2� 27 � 2u  26d � � 2� http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  27 u1  16d   1242 Chú ý: Ta tính S theo cách sau: S  S30  S3  15 2u1  29d    2u1  2d   1242 � u2  u3  u5  10 Ví dụ Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn � � u4  u6  26 Xác định cấp số cộng Tính tổng S  u5  u7  �  u2011 Lời giải u1  d  (u1  2d)  u1  4d  10 � u  3d  10 � � �1 Ta có: � u1  3d  u1  5d  26 u1  4d  13 � � � u1  1,d  ; u5  u1  4d  1 12  13 Ta có u5 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC với cơng sai d  có 1003 số hạng nên S  1003  2u5  1002.6  3028057 Ví dụ Cho cấp số cộng (un ) có u1  tổng 100 số hạng đầu 24850 Tính S  u1u2  1   u2u3 u49u50 Lời giải Gọi d cơng sai cấp số cho Ta có: S100  50 2u1  99d   24850 � d  � 5S  5    u1u2 u2u3 u49u50    � S 497  2u1 5 99 u  u49 u2  u1 u3  u2    50 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1         u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 245     u1 u50 u1 u1  49d 246 49 246 Ví dụ Cho cấp số nhân (un) có số hạng khác khơng, tìm u1 biết: 128 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � u  u2  u3  u4  u5  11 �1 � 82 u1  u5  � � 11 � �u1  u2  u3  u4  15 � u1  u22  u23  u24  85 � Lời giải � q4  u1  15 � � u1(1 q  q  q )  15 � q1 � �� Ta có: � u1 1 q2  q4  q6  85 � q8  � � u1  85 � � q 1   q2 �q4  1��q2  1� 45 (q4  1)(q  1) 45 � � �� � �� �  � � �q  ��q8  1� 17 q (q  1)(q4  1) 17 � �� � � Từ ta tìm u1  1,u1    � 39 � u 1 q  q2  q3  q4  11 � u q(1 q  q2)  �1 �1 11 �� Ta có: � 82 82 � � u (1 q )  u (1 q )  �1 11 �1 11 � q4  q q q  82 � q  3,q  39 � u4  � Ví dụ Cho cấp số nhân (un ) thỏa: � 27 � u  243u �3 Viết năm số hạng đầu cấp số; Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số; Số số hạng thứ cấp số ? 6561 Lời giải Gọi q cơng bội cấp số Theo giả thiết ta có: � � � uq  � u q  q �1 �1 27 � � 27 � � � � � � � u1  q5  u1q2  243.u1q7 � � � 243 Năm số hạng đầu cấp số là: 2 2 u1  2,u2  ,u3  ;u4  ,u  27 81 Tổng 10 số hạng đầu cấp số 129 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 10 �1 � 10 � �3 �  10 � �1 � q 1 59048 � � � S10  u1   1 � � � q1 � �3 � � 19683 1 � � 2 � 3n1  6561 38 � n  Ta có: un  n1 � un  6561 Vậy số hạng thứ cấp số 6561 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Dãy số (un ) có phải cấp số cộng khơng ? Nếu phải xác định số công sai ? Biết: un  2n  un  3n  un  n2  n Bài Dãy số (un ) có phải cấp số nhân không ? Nếu phải xác định số công bội ? Biết: un  2n un  4.3n un  n Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số cộng hay không? Nếu phải xác định công sai 2n  un  3n  un   5n un  n n1 un  un  n un  n2  n Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải xác định công bội un  un  2n un  2n  n1 un   un  3n  un  n3 Bài Tam giác ABC có ba góc A ,B,C theo thứ tự lập thành cấp số cộng C  5A Xác định số đo góc A ,B,C Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng sinA  sinB  sinC  3 tính góc tam giác 130 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả n Bài Cho dãy số (un ) với u  321 n Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Tính tổng S  u2  u4  u6  �  u20 Số 19683 số hạng thứ dãy số Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng cịn lại CSN Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 9 tổng bình phương chúng 29 Cho bốn số nguyên dương, ba số đầu lập thành cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân Biết tổng số hạng đầu cuối 37, tổng hai số hạng 36, tìm bốn số Bài u7  u3  � Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn � Tìm u1,d ? �u2.u7  75 � u31  u34  11 � Cho cấp số cộng (un) có cơng sai d  0; � Hãy tìm số u31  u234  101 � hạng tổng quát cấp số cộng Gọi S1;S2;S3 tổng n1;n2 ;n3 số hạng đầu cấp số cộng Chứng minh rằng: S1 n1 S S  n2  n3   n2  n3  n1  n3  n1  n2   � u  u2  u3  u4  u5  11 �1 Bài Cho CSN (un ) thỏa: � 82 u1  u5  � � 11 Tìm cơng bội số hạng tổng qt cấp số Tính tổng S2011 �1 � Trên khoảng � ;1�có số hạng cấp số �2 � Bài 10 1 Cho dãy số (xn ) : xn  , n  1,2,3 Chứng minh tồn n CSC gồm 2011 số hạng mà số hạng thuộc dãy số Vấn đề Chứng minh tính chất cấp số Phương pháp: �Sử dụng công thức tổng quát cấp số, chuyển đại lượng qua số hạng đầu cơng sai, cơng bội �Sử dụng tính chất cấp số: 131 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt i) a,b,c theo thứ tự lập thành CSC � a  c  2b ii) a,b,c theo thứ tự lập thành CSN � ac  b2 Các ví dụ Ví dụ Chứng minh số: 1, 3,3 thuộc CSC; 2,3,5 thuộc CSN Lời giải Giả sử 1, 3,3 số hạng thứ m,n,p CSC (un ) Ta có: u (p  n) p  n  up  un 3    vơ lí số vơ tỉ, cịn  un  um u1(n  m) n  m p n số hữu tỉ nm Giả sử 2,3,5 ba số hạng thứ m,n,p CSN (vn ) có cơng bội q Ta có: p n m n um 2� �5� (p n)(m n)   qm n ;  qp n , suy �  �� �� p un 3 �� �� � 2pn.3m p.5nm  vơ lí Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) là: CSC un  an  b CSN n un  a.q Lời giải Giả sử (un ) CSC công sai d , : un  u1  (n  1)d  dn  u1  d  an  b Giả sử: un  an  b � un1  un  a � un1  un  a, n Suy (un ) CSC với công sai a Giả sử (un ) CSN với cơng bội q , đó: un  u1.qn u n  q � un1  q.un , n un Suy dãy (un ) CSN với công bội q Giả sử un  a.qn , suy Ví dụ Chứng minh : Nếu phương trình x3  ax2  bx  c  có ba nghiệm lập thành CSC 9ab  2a3  27c Nếu phương trình x3  ax2  bx  c  có ba nghiệm lập thành CSN c(ca3  b3)  Lời giải 132 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Giả sử phương trình có ba nghiệm x1,x2 ,x3 lập thành CSC Suy ra: x1  x3  2x2 (1) Mặt khác: x3  ax2  bx  c  (x  x1)(x  x2)(x  x3)  x3  (x1  x2  x3)x2  (x1x2  x2x3  x3x1)x  x1x2x3 Suy x1  x2  x3  a (2) Từ (1) (2), ta suy 3x2  a hay x2  a Dẫn tới phương trình cho có nghiệm x2  a , tức là: �a � �a � �a � 2a3 ba  a  b  c  �    c  � 9ab  2a3  27c �� �� �� 3 27 �� �� �� Ta có đpcm Giả sử ba nghiệm x1,x2 ,x3 lập thành CSN, suy x1x3  x22 Theo phân tích trên, ta có: x1x2x3  c � x32  c � x2  c Hay phương trình cho có nghiệm x2  c , tức là:  c 3 a  c 3  b3 c  c  � b3 c  a c2 � c(ca3  b3)  Bài toán chứng minh Ví dụ Chứng minh với cách chia tập X   1,2,3, ,9 thành hai tập rời ln có tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Lời giải Ta chứng minh toán phương pháp phản chứng Giả sử X chia thành hai tập A B đồng thời A B khơng có ba số lập thành CSC Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7) Ta thấy số 3, nằm tập hợp, hai số thuộc A 1,4,7 phải thuộc B, nhiên số 1,4,7 lại lập thành CSC Tương tự cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) ta có hai số 5,7 khơng thể nằm tập Vì cặp (3;5) (5;7) hkoogn thuộc tập nên ta suy (3;7) thuộc A, thuộc B Khi ta xét trường hợp sau � 4�A , 3,4�A � 2�A � 2�B , 1,4,7 lập thành CSC nên 1�B ; 2,5,8 lập thành CSC nên 8�A � 9�B Do 1,5,9�B lập thành CSC vơ lí � 4�B , 4,5�B � 6�A mà 6,7�A � 8�B 5,8�B � 2�A , 2,3�A � 1�B , 1,5�B � 9�A Do đó: 3,6,9�B vơ lí 133 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vậy tốn chứng minh Ví dụ Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: xn m  xm  xn  m n m,n ��* Chứng minh rằng: (xn) cấp số cộng Lời giải Đặt an  xn  nx1 , ta có a1  ,m,n �� Ở ta chứng minh m n an  0,n �� Thật vậy, ta có: | am n  am  an | ,n �� , nên lim| an1  an | hay n1 lim| an k  an | 0,k �� an1  an  an k  an  ak | nên lim| n nk Từ suy ak  0,k �� Vậy ta có điều phải chứng minh Mà an k  an  ak  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho ba số a,b,c lập thành cấp số cộng Chứng minh : a2  2bc  c2  2ab Cho a,b,c  lập thành cấp sô cộng.Chứng minh : 1   a b b c c a Cho (un) cấp số cộng Chứng minh : un   un k  un k  , 1�k �n  Bài A B Cho tam giác ABC Chứng minh tan ;tan ; 2 C tan lập thành cấp số cộng � cosA ;cosB;cosC lập thành cấp số cộng A B C Cho tam giác ABC.Chứng minh cot ;cot ;cot lập thành 2 cấp số cộng � sin A ;sin B;sinC lập thành cấp số cộng Bài Cho a,b,c lập thành cấp số nhân Chứng minh :  a  b  c  a  b  c  a2  b2  c2 134 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả    2 2 a  b b  c   ab  bc  ab  bc  ca  abc a  b  c    n n n n n n 2n 2n 2n * a  b  c a  b  c  a  b  c ; n �� Bài Cho (un) cấp số nhân Chứng minh : a1an  ak an k1, k  1;n Sn  S3n  S2n    S2n  Sn  Bài Điều cần đủ để ba số khác không a,b,c ba số hạng CSN tồn ba số nguyên khác không p,t,r cho �p  t  r  � �p t r a b c  � Cho cấp số cộng (an) với số hạng khác không công sai khác 1 n1     không.Chứng minh rằng: a1a2 a2a3 an1an a1an �1 �a a  a a  a a �1 2 3 Cho bốn số thực a1;a2 ;a3;a4 Biết : � �1    � �a1a2 a2a3 a3a4 a1a4 Chứng minh : a1;a2 ;a3;a4 lập thành cấp số cộng Cho a,b,c ba số hạng thứ m,n,p cấp số cộng Chứng minh : a. n  p  b. p  m  c. m  n   Chứng minh điều kiện cần đủ để ba số a,b,c ba số hạng CSC tồn ba số nguyên khác không p,q,r thỏa: � pa  qb  rc  � p q r  � 6.Cho CSC (un ) thỏa Sm  Sn ( m �n ) Chứng minh Sm n  Chứng minh ba cạnh tam giác lập thành CSN �  1 � ; � công bội CSN nằm khoảng � � 2 � � � Bài Chứng minh ba số a,b,c  số hạng liên tiếp cấp số cộng số a2  ab  b2;c2  ca  a2 ;b2  bc  c2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Cho (un ) cấp số nhân Kí hiệu S  u1  u2   un ; 135 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt T 1    ; P  u1u2 un Hãy tính P theo S,T n u1 u2 un Bài Cho hai số tự nhiên n,k thỏa k  �n Chứng minh tồn không hai giá trị k cho C kn , C kn1 C kn ba số hạng liên tiếp CSC Chứng minh không tồn k để C kn , C kn1 , C kn C kn bốn số hạng liên tiếp CSC Bài Cho (un ) CSC Chứng minh rằng: n uk  � k C kn  u1  un1 n  1n1 2k � 2n1 k1 k Cho k số nguyên dương cho trước Giả sử s1,s2 ,s3 , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy ss ,ss ,ss , ss  k ,ss  k ,ss k , cấp số cộng Chứng minh 3 s1,s2 ,s3 , cấp số cộng Vấn đề Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Phương pháp: � a,b,c theo thứ tự lập thành CSC � a  c  2b � a,b,c theo thứ tự lập thành CSN � ac  b2 Các ví dụ Ví dụ Tìm x biết : x2  1,x  2,1 3x lập thành cấp số cộng ; 1,x2 ,6  x2 lập thành cấp số nhân Lời giải Ta có: x2  1,x  2,1 3x lập thành cấp số cộng � x2  1 1 3x  2(x  2) � x2  5x   � x  2;x  Vậy x  2,x  giá trị cần tìm Ta có: 1,x2 ,6  x2 lập thành cấp số nhân � x4   x2 � x  � Ví dụ Cho số 5x  y, 2x  3y, x  2y lập thành cấp số cộng ; số  y  1 ,xy  1, x  1 2 lập thành cấp số nhân.Tính x,y Lời giải 136 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có số 5x  y, 2x  3y, x  2y lập thành CSC nên suy 2 2x  3y  5x  y  x  2y hay 2x  5y (1) Các số  y  1 ,xy  1, x  1 lập thành CSN suy 2  xy  1   y  1  x  1 �   2y  2x  4xy  2x  2y   (2) Thay (1) vào (2) ta :   2y  5y   10y  5y  2y   ,y   10 �10 �� 3 � ;  ;  � Vậy (x;y)   0;0 ;� ; �� �3 �� 10 � CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm x để số sau lập thành cấp số cộng � � ;4sinx 1;x;x3 1;sin �  x � �6 � Bài Tìm x,y biết: Các số x  5y,5x  2y,8x  y lập thành cấp số cộng số � y   3y   10y  3  � y  0,y   y  1 ,xy  1, x  1 lập thành cấp số nhân Các số x  6y,5x  2y,8x  y lập thành cấp số cộng số x  y,y  1,2x  3y lập thành cấp số nhân Bài Xác định a,b để phương trình x3  ax  b  có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài Tìm m để phương trình: mx4  2 m  1 x2  m   có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng x3  3mx2  4mx  m   có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Bài Xác định m để: Phương trình x3  3x2  9x  m  có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình x4  2 m  1 x2  2m   (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình x3  2x2   m  1 x  2 m  1  có ba nghiệm lập thành cấp số nhân 137 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... vài số hạng đầu dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc vài số hạng) đứng trước Dãy số tăng, dãy số giảm ? ?Dãy số (un ) gọi dãy tăng un  un1 n �� * ? ?Dãy số (un ) gọi dãy. .. BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un  2n  n2 Viết năm số hạng đầu dãy số Tìm số hạng thứ 100 200 167 Số có thuộc dãy số cho hay khơng 84 Dãy số có số hạng số nguyên... Bài Cho dãy số (un ) với u  321 n Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Tính tổng S  u2  u4  u6  �  u20 Số 19683 số hạng thứ dãy số Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng