Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Tổ hợp xác suất

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT TỔ HỢP Vấn đề Quy tắc đếm Phương pháp Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét công việc H Giả sử H có k phương án H 1,H , ,H k thực cơng việc H Nếu có m1 cách thực phương án H , có m2 cách thực phương án H , , có mk cách thực phương án H k cách thực phương án H i không trùng với cách thực phương án H j ( i ≠ j;i,j ∈ { 1,2, ,k} ) có m1 + m2 + + mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng Nếu tập A 1,A , ,A n đôi rời Khi đó: A ∪ A ∪ ∪ A n = A + A + + A n Quy tắc nhân a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H 1,H , ,H k Cơng đoạn H có m1 cách thực hiện, cơng đoạn H có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk cách thực Khi cơng việc H thực theo m1.m2 mk cách b) Công thức quy tắc nhân Nếu tập A 1,A , ,A n đôi rời Khi đó: A ∩ A ∩ ∩ A n = A A A n Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng Để đếm số cách thực cơng việc H theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng việc H có phương án thực hiện? Mỗi phương án có cách chọn? Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc H chia làm giai đoạn H 1,H , ,H n đếm số cách thực giai đoạn H i ( i = 1,2, ,n ) Nhận xét: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 51 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta thường gặp toán đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải tốn ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp • Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm • Đếm số phương án thực trường hợp • Kết tốn tổng số phương án đếm cách trường hợp Chú ý: * Để đếm số phương án thực trường hợp ta phải chia hành động trường hợp thành phương án hành động nhỏ liên tiếp Và sử dụng quy tắc nhân, khái niệm hốn ví, chỉnh hợp tổ hợp để đếm số phương án thực hành hành động nhỏ * Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là: +) Tất n phần tử phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất lần +) Có thứ tự phần tử * Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) k phần tử cho xếp thứ tự * Ta sử dụng khái niệm tổ hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù tốn sau: • Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án • Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a − b Ta thường gặp ba toán đếm Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x = a1 an ta cần lưu ý: * ∈ { 0,1,2, ,9} a1 ≠ * x số chẵn ⇔ an số chẵn * x số lẻ ⇔ an số lẻ * x chia hết cho ⇔ a1 + a2 + + an chia hết cho * x chia hết cho ⇔ an−1an chia hết cho * x chia hết cho ⇔ an ∈ { 0,5} 52 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * x chia hết cho ⇔ x số chẵn chia hết cho * x chia hết cho ⇔ an−2an−1an chia hết cho * x chia hết cho ⇔ a1 + a2 + + an chia hết cho * x chia hết cho 11 ⇔ tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 * x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận 00,25,50,75 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Các ví dụ Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Có cách từ thành phố A đến thành phố C, biết phải qua thành phố B Lời giải Để từ thành phố A đến thành phố B ta có đường để Với cách từ thành phố A đến thành phố B ta có cách từ thành phố B đến thành phố C Vậy có 6.7 = 42 cách từ thành phố A đến B Ví dụ Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 3? Lời giải Đặt y = 23 , xét số x = abcde a,b,c,d,e đơi khác thuộc tập { 0,1,y,4,5} Có P5 − P4 = 96 số Khi ta hoán vị 2,3 y ta hai số khác Nên có 96.2 = 192 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Có học sinh nữ hs nam Ta muốn xếp vào bàn dài có ghế ngồi Hỏi có cách xếp để : học sinh nữ ngồi kề 2 học sinh nam ngồi kề Lời giải Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 3!.3! = 36 Số cách xếp thỏa yêu cầu tốn: 2!.4! = 48 Ví dụ Xếp người A, B, C, D, E, F vào ghế dài Hỏi có cách xếp cho: A F ngồi hai đầu ghế A F ngồi cạnh A F không ngồi cạnh Lời giải Số cách xếp A, F: 2! = Số cách xếp B,C,D,E : 4! = 24 Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 2.24 = 48 Xem AF phần tử X , ta có: 5! = 120 số cách xếp X,B,C,D,E Khi hốn vị A ,F ta có thêm cách xếp Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 53 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 6!− 240 = 480 cách Ví dụ Có chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 Lời giải Lời giải Gọi x = abcd; a,b,c,d ∈ { 0,1,2,4,5,6,8} Cách 1: Tính trực tiếp Vì x số chẵn nên d ∈ { 0,2,4,6,8} TH 1: d = ⇒ có cách chọn d Với cách chọn d ta có cách chọn a ∈ { 1,2,4,5,6,8} Với cách chọn a,d ta có cách chọn b ∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a} Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn c ∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a,b} Suy trường hợp có 1.6.5.4 = 120 số TH 2: d ≠ ⇒ d ∈ { 2,4,6,8} ⇒ có cách chọn d Với cách chọn d , a ≠ nên ta có cách chọn a ∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { d} Với cách chọn a,d ta có cách chọn b ∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a} Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn c ∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a,b} Suy trường hợp có 4.5.5.4 = 400 số Vậy có tất 120 + 400 = 520 số cần lập Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù) Gọi A = { số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } B = { số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } C = { số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } Ta có: C = A − B Dễ dàng tính được: A = 6.6.5.4 = 720 Ta tính B ? x = abcd số lẻ ⇒ d ∈ { 1,5} ⇒ d có cách chọn Với cách chọn d ta có cách chọn a (vì a ≠ 0,a ≠ d ) Với cách chọn a,d ta có cách chọn b Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn c Suy B = 2.5.5.4 = 200 Vậy C = 520 54 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ Cho tập A = { 1,2,3,4,5,6,7,8} Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác số lẻ không chia hết cho Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ Lời giải Gọi x = a1 a8 số cần tìm Vì x lẻ khơng chia hết d ∈ { 1,3,7} ⇒ d có cách chọn Số chọn chữ số lại là: 7.6.5.4.3.2.1 Vậy 15120 số thỏa yêu cầu tốn Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a1 có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên a8 có cách chọn Các số cịn lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn Vậy có 42.6.5.4.3.2.1 = 11520 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Cho tập A = { 0,1,2,3,4,5,6} Từ tập A ta lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho Lời giải Gọi số cần lập x = abcd , a,b,c,d ∈ { 0,1,2,3,4,5,6} ;a ≠ Chọn a: có cách; chọn b,c,d có 6.5.4 Vậy có 720 số Gọi x = abcde số cần lập, e∈ { 0,5} ,a ≠ • e = ⇒ e có cách chọn, cách chọn a,b,c,d : 6.5.4.3 Trường hợp có 360 số e = ⇒ e có cách chọn, số cách chọn a,b,c,d : 5.5.4.3 = 300 Trường hợp có 300 số Vậy có 660 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Cho tập hợp số : A = { 0,1,2,3,4,5,6} Hỏi thành lập số có chữ số khác chia hết cho Lời giải Ta có số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Trong tập A có tập chữ số chia hết cho {0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, { 1,3,5,6} Vậy số số cần lập là: 4(4!− 3!) + 3.4! = 144 số Ví dụ Từ số tập A = { 0,1,2,3,4,5,6} lập số chẵn gồm chữ số đơi khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 55 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Lời giải Vì có số lẻ 1,3,5, nên ta tạo cặp số kép: 13,31,15,51,35,53 Gọi A tập số gồm chữ số lập từ X = { 0,13,2,4,6} Gọi A 1,A ,A tương ứng số số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lập từ chữ số tập X = { 0,13,2,4,6} 13 đứng vị trí thứ nhất, thứ hai thứ ba Ta có: A = A 43 = 24; A = A = 3.3.2 = 18 nên A = 24 + 2.18 = 60 Vậy số số cần lập là: 6.60 = 360 số Ví dụ 10 Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên ,mỗi số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng số sau đơn vị Lời giải Cách 1: Gọi x = a1a2 a6 , ∈ { 1,2,3,4,5,6} số cần lập Theo ta có: a1 + a2 + a3 + = a4 + a5 + a6 (1) Mà a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ∈ { 1,2,3,4,5,6} đôi khác nên a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 1+ + + + + = 21 (2) Từ (1), (2) suy ra: a1 + a2 + a3 = 10 Phương trình có nghiệm là: (a1,a2 ,a3) = (1,3,6); (1,4,5); (2,3,5) Với ta có 3!.3! = 36 số Vậy có thảy 3.36 = 108 số cần lập Cách 2: Gọi x = abcdef số cần lập a + b + c + d + e + f = 1+ + + + + = 21 Ta có:  a + b + c = d + e + f + ⇒ a + b + c = 11 Do a,b,c ∈ { 1,2,3,4,5,6} Suy ta có cặp sau: (a,b,c) = (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5) Với ta có 3! cách chọn a,b,c 3! cách chọn d,e,f Do có: 3.3!.3! = 108 số thỏa yêu cầu tốn Ví dụ 11.Từ số 1,2,3 lập bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau Trong số, chữ số có mặt lần Trong số, hai chữ số giống không đứng cạnh Lời giải 56 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đặt A = {1,2,3} Gọi S tập số thỏa yêu cầu thứ toán 6! = 90 (vì 23 số có dạng aabbcc hốn vị hai số a,a ta số khơng đổi) Gọi S1,S2 ,S3 tập số thuộc S mà có 1,2,3 cặp chữ số giống đứng cạnh • Số phần tử S3 số hốn vị cặp 11,22,33 nên Ta có số số thỏa điều kiện thứ toán S3 = • Số phần tử S2 số hốn vị phần tử có dạng 4! a,a,bb,cc a,a khơng đứng cạnh Nên S2 = − = phần tử • Số phần tử S1 số hốn vị phần tử có dạng a,a,b,b,cc a,a b,b không đứng cạnh nên 5! S1 = − − 12 = 12 Vậy số số thỏa yêu cầu toán là: 90 − (6 + + 12) = 76 Ví dụ 12 Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số 2011 chữ số có hai chữ số Lời giải Đặt X số tự nhiên thỏa yêu cầu toán A = { số tự nhiên không vượt 2011 chữ số chia hết cho 9} Với số thuộc A có m chữ số (m ≤ 2008) ta bổ sung thêm 2011− m số vào phía trước số có khơng đổi chia cho Do ta xét số thuộc A có dạng a1a2 a2011; ∈ { 0,1,2,3, ,9} A = { a ∈ A | mà a khơng có chữ số 9} A = { a∈ A | mà a có chữ số 9} 2011 • Ta thấy tập A có 1+ 9 −1 phần tử • Tính số phần tử A Với x ∈ A ⇒ x = a1 a2011;ai ∈ { 0,1,2, ,8} i = 1,2010 a2011 = − r với r ∈ 1;9 ,r ≡ 2010 ∑ Từ ta suy i =1 A có 92010 phần tử • Tính số phần tử A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 57 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Để lập số thuộc tập A ta thực liên tiếp hai bước sau Bước 1: Lập dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập { 0,1,2 ,8} tổng chữ số chia hết cho Số dãy 92009 Bước 2: Với dãy vừa lập trên, ta bổ sung số vào vị trí dãy trên, ta có 2010 bổ sung số Do A có 2010.92009 phần tử Vậy số số cần lập là: 1+ 92011 − 2010 92011 − 2019.92010 + −9 − 2010.92009 = 9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Bạn cần mua áo sơ mi cỡ 30 32 Áo cỡ 30 có màu khác nhau, áo cỡ 32 có màu khác Hỏi bạn có cách lựa chọn ? Có 10 sách Toán khác nhau, 11 sách Văn khác sách anh văn khác Một học sinh chọn sách sách Hỏi có cách lựa chọn Có cách xếp sách Tốn, sách Lý sách Hóa lên kệ sách cho sách mơn học xếp cạnh nhau, biết sách đơi khác Bài Có cách xếp người A,B,C,D lên toa tàu, biết toa chứa người Trong giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn Cứ hai đội gặp lần Hỏi có tất trận đấu xảy Từ thành phố A có 10 đường đến thành phố B, từ thành phố A có đường đến thành phố C, từ B đến D có đường, từ C đến D có 11 đường khơng có đường nối B với C Hỏi có cách từ A đến D Hội đồng quản trị công ty X gồm 10 người Hỏi có cách bầu ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch thư kí, biết khả người Bài Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh 58 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường Bài Cho chữ số 1, 2, 3, , Từ số lập số a) Có chữ số đơi khác b) Số chẵn gồm chữ số khác khơng vượt q 2011 Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Tính tổng chữ số gồm chữ số lập từ số 1, 2, 3, 4, 5? Bài Từ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên gồm chữ số khác là: Số chẵn Số lẻ Số chia hết cho Tổng hai chữ số đầu tổng hai chữ số cuối Bài Cho tập A = { 1,2,3,4,5,6,7,8} Có tập A chứa số mà không chứa số Tức chữ số thuộc tập A, lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số không bắt đầu 123 Vấn đề Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp Phương pháp Giai thừa a) Định nghĩa: Với số tự nhiên dương n , tích 1.2.3 n gọi n - giai thừa kí hiệu n! Vậy n! = 1.2.3 n Ta quy ước 0! = b) Tính chất: * n! = n(n - 1)! * n! = n(n − 1)(n − 2) (n − k − 1).k! Hoán vị a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ ) Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập A Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn b) Số hốn vị tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn = n! Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 59 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả b) Số chỉnh hợp Kí hiệu A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử k Định lí: Ta có A n = n! (n − k)! Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A b) Số tổ hợp Kí hiệu C kn số tổ hợp chập k n phần tử n! (n − k)!k! Bài tốn 01: Giải phương trình – Bất phương trình Phương pháp: Dựa vào cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp hốn vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Các ví dụ Ví dụ k Định lí: Ta có: C n = Cho C nn− = 1140 Tính A = Tính B = Tính M = A2 + A3 + + A 4n+1 + 3A n3 ( n + 1) ! An A 6n + A 5n A 4n , biết C1n +2 Cn Cn n + + n Cn n−1 Cn = 45 , biết C 2n+1 + 2C n2+ + 2C n2+ + C n2+ = 149 Lời giải n ∈ ¥ ĐK:  n ≥ n− Ta có: C n = 1140 ⇔ Khi đó: A = n! = 1140 ⇔ n = 20 3!(n − 3)! n(n − 1) (n − 5) + n(n − 1) (n − 4) = n − + (n − 4)(n − 5) = 256 n(n − 1) (n − 3) n! Ta có: C1n = n ; Cn Cn = 2!.(n − 2)! n! 1!.(n − 1)! 60 n = n − 1; ; n Cn n −1 Cn = n! 1!.(n − 1)! =1 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Các ví dụ Ví dụ Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính số phần tử của: Không gian mẫu Các biến cố: A: “ viên bi lấy có hai viên bi màu trắng” B: “ viên bi lấy có viên bi màu đỏ” C: “ viên bi lấy có đủ màu” Lời giải Ta có: n(Ω) = C 424 = 10626 Số cách chọn viên bi có hai viên bị màu trắng là: 2 C10 C14 = 4095 Suy ra: n(A ) = 4095 Số cách lấy viên bi mà viên bi màu đỏ chọn là: C18 Suy : n(B) = C 424 − C18 = 7566 Số cách lấy viên bi có màu là: C64 + C84 + C10 Số cách lấy viên bi có hai màu là: 4 4 C14 + C18 + C14 − 2(C64 + C 84 + C10 ) Số cách lấy viên bị có đủ ba màu là: 4 4 C 424 − (C14 + C18 + C14 ) + (C64 + C84 + C10 ) = 5859 Suy n(C) = 5859 Ví dụ Một xạ thủ bắn liên tục phát đạn vào bia Gọi A k biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ k ” với k = 1,2,3,4 Hãy biểu diễn biến cố sau qua biến cố A 1,A ,A ,A A: “Lần thứ tư bắn trúng bia’’ B: “Bắn trúng bia lần’’ c: “ Chỉ bắn trúng bia hai lần’’ Lời giải Ta có: A k biến cố lần thứ k ( k = 1,2,3,4 ) bắn khơng trúng bia Do đó: A = A1 ∩ A2 ∩ A ∩ A4 B = A1 ∪ A2 ∪ A ∪ A C = A i ∩ A j ∩ A k ∩ A m với i,j,k,m ∈ { 1,2,3,4} đôi khác CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Xét phép thử tung súc sắc mặt hai lần Tính số phần tử của: Xác định không gian mẫu 90 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Các biến cố: A:“ số chấm xuất hai lần tung giống nhau” B:“ Tổng số chấm xuất hai lần tung chia hết cho 3” C: “ Số chấm xuất lần lớn số chấm xuất lần hai” Bài 2: Gieo đồng tiền lần Xác định tính số phần tử Không gian mẫu Các biến cố: A: “ Lần xuất mặt ngửa” B: “ Mặt sấp xuất lần” C: “ Số lần mặt sấp xuất nhiều mặt ngửa” Bài 3: Có 100 thẻ đánh số từ đến 100 Lấy ngẫu nhiên thẻ Tính số phần tử của: Không gian mẫu Các biến cố: A: “ Số ghi thẻ chọn số chẵn” B: “ Có số ghi thẻ chọn chia hết cho 3” Vấn đề Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Phương pháp: • Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng cơng thức: Sốlầ n xuấ t hiệ n củ a biế n cốA P(A ) = N • Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức : n(A ) P(A ) = n(Ω) Các ví dụ Ví dụ Bộ tú - lơ khơ có 52 quân Rút ngẫu nhiên quân Tìm xác suất biến cố: A: “Rút tứ quý K ‘’ B: “4 quân rút có Át” C: “4 quân lấy có hai qn bích’’ Lời giải Ta có số cách chọn ngẫu nhiên quân là: C 452 = 270725 Suy n(Ω) = 270725 Vì có tứ quý K nên ta có n(A ) = 1 Vậy P(A ) = 270725 Vì có C 448 cách rút qn mà khơng có Át nào, suy N(b) = C 452 − C 448 ⇒ P(B) = 15229 54145 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 91 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vì có 13 qn bích, số cách rút bốn quân mà số qn bích khơng là: C13 C 239 + C13 C 39 + C13 C039 = 69667 5359 20825 Ví dụ Trong hộp có 20 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh viên bi màu vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để: viên bi lấy màu đỏ viên bi lấy có khơng q hai màu Lời giải Gọi biến cố A :“ viên bi lấy màu đỏ” B : “3 viên bi lấy có khơng q hai màu” Suy n(C) = 69667 ⇒ P(C) = Số lấy viên bi từ 20 viên bi là: C 320 nên ta có: Ω = C 320 = 1140 Số cách lấy viên bi màu đỏ là: C83 = 56 nên ΩA = 56 Do đó: P(A ) = ΩA Ω = 56 14 = 1140 285 Ta có: • Số cách lấy viên bi có màu: C83 + C73 + C 35 = 101 • Số lấy viên bi có hai màu ( −(C ) +C ) 3 Đỏ xanh: C15 − C8 + C7 Đỏ vàng: C13 ( 3 Vàng xanh: C12 − C + C7 ) Nên số cách lấy viên bi có hai màu: ( ) 3 C15 + C13 + C12 − C83 + C73 + C 35 = 759 Do đó: Ω B = 860 Vậy P(B) = ΩB Ω = 43 57 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên số 80 số tự nhiên 1,2,3, ,80 Tính xác suất biến cố A : “trong số có có số bội số 5” Tính xác suất biến cố B : “trong số có số phương” Lời giải Số cách chọn số từ 80 số là: n(Ω) = C80 = 82160 92 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  80 Từ đến 80 có   = 16 số chia hết cho có 80 − 16 = 64 số  5 không chia hết cho Do đó: n(A ) = C64.C16 ⇒ P(A ) = C164.C16 C80 = 96 1027 Từ đến 80 có số phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64 Số cách chọn số khơng có số phương chọn là: C72 3 Suy n(B) = C80 − C72 ⇒ P(B) = 3 C80 − C72 C80 = 563 2054 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Gieo súc sắc 100 lần, kết thu ghi bảng sau Số chấm Số lần xuất 14 18 30 12 14 12 Hãy tìm xác suất biến cố A: “mặt sáu chấm xuất hiện” B: “ mặt hai chấm xuất hiện” C: “ mặt lẻ xuất hiện” Bài Tung đồng tiền hai lần Tìm xác suất để hai lần tung Đều mặt S Một S N Bài Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất biến cố : A: “Lấy viên đỏ “ B: “ Lấy ba viên bi khơng có bi đỏ” C: “ Lấy bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ” Lấy ngẫu nhiên viên bi Tình xác suất biến cố X: “Lấy viên bi trắng” Y: “ Lấy viên bi trắng” Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất biến cố D: “lấy viên bi trắng , bi đen, bi đỏ” Bài Tung đồng tiền ba lần Mô tả không gian mẫu Xác định biến cố sau tính xác suất biến cố A: “ Có lần xuất mặt S” B: “ Mặt N xuất hai lần” C: “ Lần thứ hai xuất mặt S” http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 93 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Bài Trong hộp có viên bi trắng, viên bi đỏ 10 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính số phần tử khơng gian mẫu Tính xác suất biến cố sau A: “ viên bi lấy màu” B: “ có viên bi màu vàng” C: “ viên bi lấy có đủ ba màu” Bài Chọn ngẫu nhiên quân cỗ tú lơ khơ Tính xác suất để sấp chứa hai đôi ( hai thuộc ,hai thuộc thứ 2,con thứ thuộc khác Bài Chọn ngẫu nhiên quân Tính xác suất để sấp có quân lập thành liên tiếp tức (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 – J-Q-K-A) Quân A vừa quân bé vừa quân lớn Bài Một hộp đựng thẻ đánh từ 1,2,3…9 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để Các thẻ ghi số 1,2,3 Có ba thẻ ghi 1,2,3 rút Khơng có thẻ ba thẻ rút Bài Chon ngẫu nhiên số từ tập { 1,2, ,10,11} Tính xác suất để tổng ba số chọn 12 Tính xác suất để tổng ba số đực chọn số lẻ Bài 10 Một người du lịch mang hộp thịt, hộp quả, hộp sữa Do trời mưa hộp bị nhãn Người chọn ngẫu nhiên hộp Tính xác suất để có hộp thịt, hộp sữa hộp Bài 11 Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, đề thi có câu Một học sinh học thuộc 80 câu Tính xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc Bài 12 Một đồn tàu có toa sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn toa cách ngẫu nhiên Tìm xác suất biến cố sau A: “ Một toa người, toa người, toa có người lên bốn toa khơng có người cả” B: “ Mỗi toa có người lên” Bài 13 Một người bỏ ngẫu nhiên bốn thư vào bì thư ghi địa Tính xác suất biến cố sau: A: “ Có thư bỏ phong bì nó” Bài 14 Gieo xúc sắc đồng chất cân đối ba lần liên tiếp Tìm xác suất biến cố sau: A: “ Tổng số chấm xuất ba lần 10” B: “Có mặt chẵn xuất hiện” Vấn đề Các quy tắt tính xác suất Phương pháp 94 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A B xung khắc P(A ∪ B) = P(A ) + P(B) • Mở rộng quy tắc cộng xác suất Cho k biến cố A 1,A , ,A k đôi xung khắc Khi đó: P(A ∪ A ∪ ∪ A k ) = P(A 1) + P(A 2) + + P(A k ) • P(A ) = 1− P(A ) • Giải sử A B hai biến cố tùy ý liên quan đến phép thử Lúc đó: P(A ∪ B) = P ( A ) + P ( B) − P ( AB) Quy tắc nhân xác suất • Ta nói hai biến cố A B độc lập xảy (hay không xảy ra) A không làm ảnh hưởng đến xác suất B • Hai biến cố A B độc lập P ( AB) = P ( A ) P ( B) Bài tốn 01: Tính xác suất quy tắc cộng Phương pháp: Sử dụng quy tắc đếm công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp • P(A ∪ B) = P(A ) + P(B) với A B hai biến cố xung khắc • P(A ) = 1− P(A ) Các ví dụ Ví dụ Một súc sắc không đồng chất cho mặt bốn chấm xuất nhiều gấp lần mặt khác, mặt lại đồng khả Tìm xác suất để xuất mặt chẵn Lời giải Gọi A i biến cố xuất mặt i chấm (i = 1,2,3,4,5,6) Ta có P(A 1) = P(A 2) = P(A 3) = P(A 5) = P(A 6) = P(A 4) = x Do ∑ P(A k ) = 1⇒ 5x + 3x = 1⇒ x = k =1 Gọi A biến cố xuất mặt chẵn, suy A = A ∪ A ∪ A Vì cá biến cố A i xung khắc nên: + + = 8 8 Ví dụ Gieo xúc sắc lần Tìm xác suất biến cố A: “ Mặt chấm xuất lần” B: “ Mặt chấm xuất lần” Lời giải Gọi A i biến cố “ mặt chấm xuất lần thứ i ” với i = 1,2,3,4 P(A ) = P(A 2) + P(A 4) + P(A 6) = Khi đó: A i biến cố “ Mặt chấm không xuất lần thứ i ” ( ) Và P A i = 1− P(A i ) = 1− = 6 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 95 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có: A biến cố: “ khơng có mặt chấm xuất lần gieo” Và A = A 1.A 2.A 3.A Vì A i độc lập với nên ta có ( ) ( ) ( ) ( )  5 P(A ) = P A P A P A P A =  ÷  6 ( )  5 Vậy P ( A ) = 1− P A = 1−  ÷  6 Gọi Bi biến cố “ mặt chấm xuất lần thứ i ” với i = 1,2,3,4 Khi đó: Bi biến cố “ Mặt chấm khơng xuất lần thứ i ” Ta có: A = B1.B2.B3.B4 ∪ B1.B2.B3.B4 ∪ B1.B2.B3.B4 ∪ B1.B2.B3.B4 ( ) ( ) Suy P ( A ) = P B1 P ( B2 ) P ( B3 ) P ( B4 ) + P ( B1 ) P B2 P ( B3 ) P ( B4 ) ( ) ( ) + P ( B1) P ( B2 ) P B3 P ( B4 ) + P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) P B4 Mà P ( Bi ) = ( ) , P Bi = 6  1 5 Do đó: P ( A ) = 4. ÷ =   324 Ví dụ Một hộp đựng viên bi xanh,3 viên bi đỏ viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên viên bi: Tính xác suất để chọn viên bi màu Tính xác suất để chọn viên bi khác màu Lời giải Gọi A biến cố "Chọn viên bi xanh"; B biến cố "Chọn viên bi đỏ", C biến cố "Chọn viên bi vàng" X biến cố "Chọn viên bi màu" Ta có X = A ∪ B ∪ C biến cố A ,B,C đôi xung khắc Do đó, ta có: P(X) = P(A ) + P(B) + P(C) Mà: P(A ) = C2 C2 1 = ;P(B) = = ;P(C) = = C92 C92 12 C92 36 C 24 1 + + = 12 36 18 Biến cố "Chọn viên bi khác màu" biến cố X 13 Vậy P(X) = 1− P(X) = 18 Bài toán 02: Tính xác suất quy tắc nhân Phưng pháp: Vậy P(X) = 96 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Để áp dụng quy tắc nhân ta cần: • Chứng tỏ A B độc lập • Áp dụng cơng thức: P(AB) = P(A ).P(B) Các ví dụ Ví dụ Xác suất sinh trai lần sinh 0,51 Tìm suất cho lần sinh có trai Lời giải Gọi A biến cố ba lần sinh có trai, suy A xác suất lần sinh toàn gái Gọi Bi biến cố lần thứ i sinh gái ( i = 1,2,3 ) Suy P(B1) = P(B2) = P(B3) = 0,49 Ta có: A = B1 ∩ B2 ∩ B3 ( ) ⇒ P ( A ) = 1− P A = 1− P ( B1) P ( B2 ) P ( B3 ) = 1− ( 0,49) ≈ 0,88 Ví dụ Hai cầu thủ sút phạt đền Mỗi nười đá lần với xác suất làm bàm tương ứng 0,8 0,7.Tính xác suất để có cầu thủ làm bàn Lời giải Gọi A biến cố cầu thủ thứ làm bàn B biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn X biến cố hai cầu thủ làm bàn ( ) Ta có: X = (A ∩ B) ∪ A ∩ B ∪ ( A ∩ B) ⇒ P ( X ) = P(A ).P(B) + P(B).P(A ) + P(A ).P(B) = 0,94 Ví dụ Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, câu có đáp án có đáp án Bạn An làm 12 câu, câu bạn An đánh hú họa vào đáp án mà An cho Mỗi câu 0,5 điểm Hỏi Anh có khả điểm? Lời giải An làm 12 câu nên có số điểm 12.0,5 = Xác suất đánh hú họa câu , xác suất để An  1 đánh câu lại là:  ÷ =   48 Vì câu có số điểm 8.0,5 = 1 Nên số điểm An là: + = + 4 Ví dụ Một hộp đựng 40 viên bi có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, viên bi vàng,4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi, tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi màu” http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 97 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Lời giải Ta có: Ω = C 240 = 190; Gọi biến cố: D: “lấy bi viên đỏ” ta có: Ω D = C 20 = 45; X: “lấy bi viên xanh” ta có: ΩX = C10 V: “lấy bi viên vàng” ta có: ΩV = C62 = 15; T: “ lấy bi màu trắng” ta có: ΩT = C 24 = Ta có D, X, V, T biến cố đôi xung khắc A = D ∪ X ∪ V ∪ T 256 64 P ( A ) = P ( D) + P ( X) + P ( V ) + P ( T ) = = 195 C2 40 Ví dụ Một cặp vợ chồng mong muốn sinh đựơc sinh trai ( Sinh trai khơng sinh nữa, chưa sinh sinh ) Xác suất sinh trai lần sinh 0,51 Tìm xác suất cho cặp vợ chồng mong muốn sinh trai lần sinh thứ Lời giải Gọi A biến cố : “ Sinh gái lần thứ nhất”, ta có: P(A ) = 1− 0,51 = 0,49 Gọi B biến cố: “ Sinh trai lần thứ hai”, ta có: P(B) = 0,51 Gọi C biến cố: “Sinh gái lần thứ sinh trai lần thứ hai” Ta có: C = AB, mà A ,B độc lập nên ta có: P(C) = P(AB) = P(A ).P(B) = 0,2499 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Một hộp đựng 10 viên bi có viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi màu” Bài Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số lập từ chữ số từ đến Tính xác suất biến cố X: “lấy vé khơng có chữ số chữ số 7” Bài 3: Cho ba hộp giống nhau, hộp bút khác màu sắc Hộp thứ : Có bút màu đỏ, bút màu xanh , bút màu đen Hộp thứ hai : Có bút màu đỏ, màu xanh, màu đen Hộp thứ ba : Có bút màu đỏ, bút màu xanh, bút màu đen Lấy ngẫu nhiên hộp, rút hú họa từ hộp bút Tính xác suất biến cố A: “Lấy hai bút màu xanh” Tính xác suất xác suất B: “Lấy hai bút khơng có màu đen” Bài 4: Cả hai xạ thủ bắn vào bia Xác suất người thứ bắn trúng bia 0,8; người thứ hai bắn trúng bia 0,7 Hãy tính xác suất để : 98 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Cả hai người bắn trúng ; Cả hai người khơng bắn trúng; Có người bắn trúng Bài Một máy có hai động I II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động I động II chạy tốt 0,8 0,7 Hãy tính xác suất để Cả hai động chạy tốt ; Cả hai động không chạy tốt; Có động chạy tốt Bài Có hai xạ thủ I xạ tám xạ thủ II Xác suất bắn trúng I 0,9 ; xác suất II 0,8 lấy ngẫu nhiên hai xạ thủ, bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn bắn trúng đích Bài Bốn pháo cao xạ A,B,C,D bắn độc lập vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng pháo tương ứng P ( A ) = P ( B) − ,P ( C ) = ,P ( D ) = Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng Bài Một hộp đựng 10 viên bi có viên bi đỏ ,3 viên bi xanh, viên bi vàng,1 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi tính xác suất biến cố viên lấy màu đỏ 2 viên bi đỏ ,1 vàng viên bi màu Bài Gieo ngẫu nhiên xúc xắc lần Tính xác suất để số lớn hay xuất lần lần gieo Bài 10 Một người bắn liên tiếp vào mục tiêu viên đạn trúng mục tiêu thơi (các phát súng độc lập ) Biết xác suất trúng mục tiêu lần bắn 0,6 Tính xác suất để bắn đến viên thứ ngừng bắn Bài 11 Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số lập từ chữ số từ đến Tính xác suất biến cố X: “lấy vé khơng có chữ số chữ số 2” Bài 12 Một máy có động gồm động bên cánh trái hai động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng 0,09 , động bên cánh trái có xác suất bị hỏng 0,04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an toàn có hai động làm việc Tìm xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn Bài 13 Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng x , y 0,6 (với x > y ) Biết xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,976 xác suất để ba cầu thủ ghi ban 0,336 Tính xác suất để có hai cầu thủ ghi bàn Bài 14 Một trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có đáp án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh 99 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả không học nên đánh hú họa câu trả lời Tìm xác suất để học sinh nhận điểm Vấn đề Biến cố ngẫu nhiên Phương pháp Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên quy tắc cho ứng kết phép thử với số thực: Giả sử X biến ngẫu nhiên a giá trị biến cố “X nhận giá trị a” kí hiệu  X = a hay ( X = a) Giải sử X có tập giá trị {x1, x2,…,xn} Đặt: p1 = P ( X = x1 ) ,… , pn = P ( X = xn ) Ta có bảng sau gọi bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X … … X x1 x2 xn P p1 … p2 … pn Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Giả sử X biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1) Kì vọng X, kí hiệu E (X), số cho công thức: n E ( X ) = x1p1 + … + xn pn = ∑ xi pi (2) i =1 Phương sai biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X) , số cho công thức: n n V(X) = ∑ ( xi − E(X)) pi = ∑ xi2pi − ( E(X)) i =1 2 i =1 Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: σ(X) , số cho công thức: σ(X) = V(X) Kì vọng X số đặc trưng cho giá trị trung bình X Phương sai độ lệch chuẩn số đặc trung cho độ phân tán X so với kì vọng X Bài tốn 01: Lập bảng phân bố xác suất Phương pháp: Để lập bảng phân bố xác suất biến ngãu nhiên X ta làm sau • Tìm tập giá trị X Để tìm tập giá trị X ta tiến hành theo hai cách sau Cách 1: Dựa vào cách mơ tả X ta liệt kê giá trị cảu X nhận, không cần mô tả không gian mẫu Cách 2: Liệt kê kết không gian mẫu Ω ; với kết a , tính giá trị X(a) biến cố X a Từ ta có tập giá trị X(Ω) 100 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt • Giả sử X(Ω) = { x1,x2 , ,xn } , tính pi = P(X = xi ) = (X = xi ) Ω • Lập bảng phân bố xác suất Ví dụ Ta có hai hộp bi: hộp có bi trắng bi đỏ; hộp có bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi bỏ vào hộp Sau đó, lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bỏ vào hộp Gọi X số bi trắng hộp sau hai lần chuyển bi Lập bảng phân phối xác suất X Lời giải • Lấy viên từ hộp Có thể có trường hợp sau: TH 1: đỏ, trắng, suy hộp có trắng, hộp có đỏ, trắng TH 2: trắng, suy hộp có trắng, 1đỏ, hộp có trắng, đỏ • Lấy viên từ hộp Với TH1 ta có khả Khả 1: đỏ, trắng suy hộp có đỏ, trắng, hộp có trắng, đỏ Khả 2: đỏ, suy hộp có đỏ, trắng; hộp có đỏ, trắng Khả 3: trắng, suy hộp có đỏ, trắng; hộp có trắng Với TH2 ta có khả sau Khả 1: đỏ, trắng, suy hộp có đỏ, trắng, hộp có trắng, đỏ Khả 2: đỏ, suy hộp có trắng; hộp có đỏ, trắng Khả 3: trắng suy hộp có đỏ, trắng; hộp có trắng, đỏ Vậy sau chuyển qua, chuyển hộp có X = 1, 2, 3, hộp có Y = 1, 2, 3, Ta có: P(X=1)= P(lần đầu chọn trắng lần sau chọn đỏ) Suy : P(X = 1) = C 23 C 22 = C 24 C62 30 Tương tự: P ( X = 2) = C11C13 C 23 C 23 C14C12 11 + = 30 C 24 C62 C 42 C62 P ( X = 3) = C11C13 C13C13 C 23 C 24 + = C 24 C62 C 24 C62 C11C13 C 23 = C 24 C62 10 Bảng phân bố xác suất X 11 P 30 30 Bài tốn 02: Tính kỳ vọng phương sai P(X = 4) = 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 101 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Phương pháp: Để tính kỳ vọng phương sai biến cố ngẫu nhiên X ta làm sau: • Tìm tập giá trị X(Ω) = { x1,x2 , ,xn } • Lập bảng phân bố xác suất X x1 x2 … … xn P p1 p2 … … pn n • Tính kì vọng theo cơng thức: E(X) = ∑ xi pi • Tính phương sai theo công thức: n i =1 n V(X) = ∑ ( xi − E(X)) pi = ∑ xi2pi − ( E(X)) i =1 i =1 Các ví dụ Ví dụ Ta có hai hộp bi: hộp có bi trắng bi đỏ; hộp có bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi bỏ vào hộp Sau đó, lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bỏ vào hộp Gọi X số bi trắng hộp sau hai lần chuyển bi Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X Lời giải Ta có bảng phân bố xác suất X 11 1 P 30 30 10 11 1 Kì vọng X là: E(X) = + + + = 30 30 10 Phương sai X là: 2 2  8   11  8   22 V(X) =  1− ÷ +  − ÷ +  − ÷ +  − ÷ =  30   30  3   10 45  Độ lệch chuẩn X: σ(X) = V(X) ≈ 0,699 Ví dụ Số vị vi phạm an tồn giao thơng đoạn đường vào cao điểm làm biến ngẫu nhiên rời rạc cho biết X ∈ { 0,1,2,3,4,5} : P(X = 0) = 0,2 , P(X = 1) = 0,15 , P(X = 2) = 0,15, P(X = 3) = 0,4 , P(X = 4) = 0,05 , P(X = 6) = 0,05 Lập bảng phân bố xác suất tính xác suất để đoạn đường vào cao điểm có khơng q vụ tai nạn giao thơng; Tính kì vọng phương sai X Lời giải Ta có bảng phân bố sau 102 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt X 0,4 0,15 0,15 P P(X ≤ 3) = 0,4 + 0,15 + 0,15 + 0,2 = 0,9 0,2 0,05 0,05 Ta có: E(X) = ∑ xi pi = 0.0,4 + 1.0,15 + 2.0,15 + 3.0,2 + 4.0,05 + 5.0,05 i =1 Suy E(X) = 1,95 n Phương sai: V(X) = ∑ xi pi − ( E(X)) = 2,5975 i =1 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Xét phép thử gieo đồng tiền lần Xác định không gian mẫu Gọi X số lần xuất mặt gấp S, liệt kê giá trị mà X nhận Tính xác suất để X nhận giá trị Lập bảng phân phối xác suất X Bài Từ hộp có bi xanh bi đỏ, chọn ngẫu nhiên bi Gọi X số bi xanh bi chọn Lập bảng phân phối xác suất X Tính xác suất cho bi chọn có bi xanh Tính xác suất cho bi chọn có nhiều bi đỏ, Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Bài Trong hộp kín có cầu trắng cầu đen có kích thước Lấy ngẫu nhiên cầu khỏi hộp Gọi X số cầu đen cầu lấy Lập bảng phân bố xác xuất X Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Bài Gieo đồng thời hai súc sắc đồng chất Gọi X tổng số chấm xuất hai súc sắc Lập bảng phân bố xác suất X Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Bài Một túi chứa cầu trắng cầu đen Hai người chơi A B rút cầu túi (rút xong không trả lại vào túi).Trị chơi kết thúc có người rút cầu đen Người xem thua phải trả cho người số tiền X (X số cầu rút nhân với 5USD) Giả sử A người rút trước X số tiền A thu Lập bảng phân bố xác suất X Tính E(X) Nếu chơi 150 ván trung bình A Bài Trong hộp có thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên thẻ cộng số ghi thẻ với Gọi X kết Lập bảng phân bố xác suất X tính E(X) Bài Trong hộp có bóng đèn có bóng đèn tốt, bóng hỏng Ta chọn ngẫu nhiên bóng để thử (thử xong khơng trả http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 103 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả lại) thu bón đèn tốt Gọi X số lần thử Lập bảng phân phối xác suất X, tính E(X) Bài Trong hộp có bóng đèn, có bóng tốt bóng bị hỏng Ta chọn ngẫu nhiên bóng đèn để thử (khi thử xong không trả lại) tìm hai bóng bị hỏng Gọi X số cần thử cần thiết: Lập bảng phân bố đại lượng ngẫu nhiên X Trung bình cần lần thử Bài Có khối lập phương tạo thành từ 729 hình lập phương nhỏ giống hệt Ở mặt, khoét dãy khối lập phương nhỏ xuyên từ tâm mặt sang tâm mặt đối diện (có ba dãy, dãy chín khối) Lấy sơn bơi lên tồn bề mặt ngồi hình lập phương lớn Lấy ngẫu nhiên khối lập phương nhỏ Tính xác suất để Khối có mặt bị bơi đen Khối có hai mặt bị bơi đen Khối có ba mặt bị bơi đen Khối khơng có mặt bị bơi đen Bài 10 Cho cân trọng lượng 1kg, kg, …, 7kg, kg Chọn ngẫu nhiên nhiên cân Tính xác suất để tổng trọng lượng cân chọn không vượt kg Bài 11 Có xe ơtơ màu đỏ, ôtô màu vàng, ôtô màu xanh đỗ bên đường.Tìm xác suất để khơng có xe màu đỗ cạnh Bài 12 Một máy có động gồm động bên cánh trái hai động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng 0,09 , động bên cánh trái có xác suất bị hỏng 0,04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an tồn cánh có động làm việc Tìm xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn 104 ... Một đồn tàu có toa sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn toa cách ngẫu nhiên Tìm xác suất biến cố sau A: “ Một toa người, toa người, toa có người lên bốn toa khơng có người... đề Nhị thức Newton Phương pháp Nhị thức Newton n Định lí: (a + b) = n ∑ Cknan−k bk k= = C0nan + C1nan−1b + C 2nan− 2b2 + + C nn−1abn−1 + C nn bn Nhận xét Trong khai triển Newton (a + b)n có... hạng khai triển ( 3+ 32 ) số nguyên Bài 6: n Bài to? ?n 2: Bài to? ?n liên quan đến tổng ∑ akCnk bk k= Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a + b)n = C0nan + an−1bC1n + an−2b2C 2n +