Hướng dẫn giải toán 11 Đại số

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Bài 1 Điều kiện: cos3x − ≠ ⇔ cos3x ≠ ⇔ x ≠ k 2π , k∈¢  2π  TXĐ: D = ¡ \ k , k ∈ ¢    − cos3x ≥ ∀ x ∈ ¡ Do nên hàm số có nghĩa ⇔ 1+ sin4x ≠ π π ⇔ sin4x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k , k ∈ ¢  π π  TXĐ: D = ¡ \ − + k , k ∈ ¢    π π 3π π ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k ,k ∈ ¢  3π kπ  ,k ∈ ¢  Vậy TXĐ: D = ¡ \  + 8  Điều kiện: 2x − x ≠ kπ x ≠ kπ  ⇔ Điều kiện:  π 2π sin3x ≠ x ≠ + k   π n2π  ;k,n ∈ ¢  Vật TXĐ: D = ¡ \ kπ, +   Bài Điều kiện: sin2x − cos3x ≠ ⇔ cos 5x x sin ≠ 2  5x  5x π  π 4π cos ≠  ≠ + k2π x ≠ + k ⇔ ⇔ ⇔ 5 sin x ≠  x ≠ kπ x ≠ k2π    π 4π  TXĐ: D = ¡ \  + k , k2π; k ∈ ¢  5   π π  π x≠ +k  2x ≠ + k π   ⇔ 2 Điều kiện:   3sin2x − cos2x ≠ 2sin(2x − π ) ≠   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 231 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả  π π  π π x ≠ + k  x ≠ + k ⇔ ⇔ 2x − π ≠ kπ x ≠ π + k π  12  π π π π  TXĐ: D = ¡ \  + k , + k ; k ∈ ¢  12 4  x ≠ kπ x ≠ kπ   ⇔ Điều kiện:  π sinx − ≠ sinx − sin ≠    x ≠ kπ x ≠ kπ  π   ⇔ ⇔ x ≠ + k2π  x π x π 2cos( + )sin( − ) ≠   12 12 5π  x ≠ + k2π  π 5π  TXĐ: D = ¡ \ kπ, + k2π, + k2π; k ∈ ¢  6    π π  3π x − ≠ + kπ x ≠ + kπ ⇔ Điều kiện:  x − π ≠ kπ x ≠ π + kπ   3  3π π  TXĐ: D = ¡ \  + kπ, + kπ; k ∈ ¢    Bài π π π π +k Điều kiện: 2x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ 12 π π  TXĐ: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢   12   π π x≠ + k cos3x ≠  ⇔ Điều kiện:  sin5x ≠ n π  x ≠  π π nπ  TXĐ: D = ¡ \  + k , ;k,n ∈ ¢  6   π cosx ≠ x ≠ + kπ ⇔ Điều kiện:  sinx ≠ x ≠ nπ  232 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt π π  TXĐ: D = ¡ \  + k ;k ∈ ¢  2   π π cos3x ≠ x≠ + k   ⇔ 4) Điều kiện:   π sin  x + ÷ ≠ x ≠ − π + nπ     π π π  TXĐ: D = ¡ \  + k , − + nπ;k,n ∈ ¢  3 6  13x 3x sin ≠0 Điều kiện: sin8x − sin5x ≠ ⇔ 2cos 2  π 2π  13x π x≠ +k  ≠ + kπ  13 13 ⇔ ⇔  3x ≠ nπ x ≠ 2nπ   π 2π 2nπ  ;k,n ∈ ¢  TXĐ: D = ¡ \  + k , 13  13  π  Điều kiện: cos4x + sin3x ≠ ⇔ cos4x + cos − 3x ÷ ≠ 2   π x ≠ + k2π  π x  7x π  2cos + ÷cos − ÷≠ ⇔   2  4 x ≠ 3π + n 4π  14 π 3π 4π  TXĐ: D = ¡ \  + k2π, + n ;k,n ∈ ¢  14 2  Vấn đề Tính chất hàm số đồ thị hàm số Bài 1 Ta có f(x + 2π) = sin(x + 2π) = sinx = f(x) ∀x ∈ ¡ Giả sử có số thực dương T < 2π thỏa f(x + T) = f(x) ⇔ sin(x + T) = sinx ∀x ∈ ¡ (1) Cho x = π π  ⇒ VT(1) = sin  + T ÷ = cosT < 2  π = ⇒ (1) không xảy với x∈ ¡ Vậy hàm số cho tuần hồn với chu kì sở T0 = 2π VP(1) = sin π  π Ta có f(x + ) = tan2 x + ÷ = tan(2x + π) = tan2x = f(x) 2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 233 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả π thỏa mãn f(x + T) = f(x) ⇔ tan(2x + 2T) = tan2x ∀x ∈ ¡ (2) Cho x = ⇒ VT(2) = tan2T ≠ , VP(2) = ⇒ (2) không xảy với x∈ ¡ π Vậy hàm số cho tuần hoàn với chu kì sở T0 = Bài Hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π Hàm số tuần hồn với chu kì T = π Hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π Bài Hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π Hàm số tuần hồn với chu kì T = π Hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π Hàm số khơng tuần hồn Giả sử có số thực dương T < Vấn đề Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Bài Đồ thị hàm số: y = sin2x Bài Đồ thị hàm số: y = cosx 234 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Giá trị lớn nhỏ hàm số Bài 1 Ta có ≤ 2sinx + ≤ ⇒ 1≤ y ≤ Vậy giá trị lớn hàm số sinx = ⇔ x = , đạt π + k2π Giá trị nhỏ 1, đạt x = − π + k2π 2 Ta có ≤ 2cos2 x + ≤ ⇒ 1− ≤ y ≤ π + kπ Giá trị nhỏ hàm số 1− , đạt x = kπ  π Ta có: −1≤ sin  2x − ÷ ≤ 1⇒ −2 ≤ y ≤ 4  Vậy giá trị nhỏ hàm số 0, đạt x =  π π • y = −2 ⇔ sin  2x − ÷ = −1 ⇔ x = − + kπ ⇒ y = −2 4   π 3π • y = ⇔ sin  2x − ÷ = ⇔ x = + kπ ⇒ maxy = 4  Ta có: ≤ cos2 3x ≤ 1⇒ 1≤ y ≤ kπ ⇒ y = π kπ • y = ⇔ cos2 3x = ⇔ x = + ⇒ maxy = • y = ⇔ cos2 3x = ⇔ x = Ta có: −1≤ sin2x ≤ 1⇒ ≤ y ≤ 1+ π + kπ ⇒ y = π • y = 1+ ⇔ sin2x = ⇔ x = + kπ ⇒ maxy = 1+ 4 Ta có: ≤ sin2 x ≤ 1⇒ ≤ y ≤ 4 π • y = ⇔ sin2 x = ⇔ x = + kπ ⇒ y = 3 • y = ⇔ sin2 x = ⇔ x = kπ ⇒ maxy = • y = ⇔ sin2x = −1 ⇔ x = − Bài Đặt t = sin2 x, ≤ t ≤ 1⇒ cos2x = 1− 2t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 235 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả ⇒ y = 2t + (1− 2t)2 = 4t2 − 2t + = (2t − )2 + 1 12 Do ≤ t ≤ 1⇒ − ≤ 2t − ≤ ⇒ ≤ (2t − ) ≤ ⇒ ≤ y ≤ 2 2 4 π Vậy maxy = đạt x = + kπ y = đạt sin2 x = 4 Áp dụng BĐT (ac + bd)2 ≤ (c2 + d2)(a2 + b2) Đẳng thức xảy a b = c d Ta có: (3sinx + 4cosx)2 ≤ (32 + 42)(sin2 x + cos2 x) = 25 ⇒ −5 ≤ 3sinx + 4cosx ≤ ⇒ −4 ≤ y ≤ Vậy maxy = , đạt tanx = y = −4 , đạt tanx = − Chú ý: Với cách làm tương tự ta có kết tổng quát sau max(asinx + bcosx) = a2 + b2 , min(asinx + bcosx) = − a2 + b2 Tức là: − a2 + b2 ≤ asinx + bcosx ≤ a2 + b2  sin α =   π  Ta có : y = 5sin(x + α) − α ∈  0; ÷ thỏa    cosα =  y = − 6; maxy = Suy Ta có: y = 1− cos2x + 3sin2x − 2(1+ cos2x)  π = 3sin2x − 3cos2x − = 2sin  2x − ÷− 4  Suy y = −3 − 1; maxy = − Ta có: y = 1− cos2x 3(1+ cos2x) + 3sin2x + = 3sin2x + cos2x + 2 Mà − 10 ≤ 3sin2x + cos2x ≤ 10 ⇒ − 10 ≤ y ≤ + 10 Từ ta có được: maxy = + 10; y = − 10 y = −1,maxy = y = −1,maxy = y = 1+ 3,maxy = 1+ 236 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt y = −5,maxy = 3 ,maxy = 10 y = 1+ 1+ −5 − −5 + ,maxy = 4 Bài Do a,b không đồng thời nên 11 y = a2 + b2 ≠   a b 2 sinx + cosx ÷ Suy ra: asinx + bcosx = a + b   ÷ a2 + b2  a +b  2     a b Vì  ÷ + ÷ = nên tồn số thức α ∈ 0;2π cho   2÷ 2÷  a +b   a +b  a b = cosα; = sin α 2 a +b a + b2 Khi đó: asinx + bcosx = a2 + b2 ( sinxcosα + cosxsin α ) = a2 + b2 sin(x + α) Nhận xét: Từ kết trên, ta có • giá trị nhỏ hàm số y = asinx + bcosx − a2 + b2 • giá trị lớn hàm số y = asinx + bcosx a2 + b2 • − a2 + b2 ≤ asinx + bcosx ≤ a2 + b2 ∀x ∈ ¡ Bài 4π 2π +k Ta có: y = đạt x = π 2π maxy = đạt x = + k π π Ta có: y = đạt x = + k π maxy = + đạt x = k 2 Ta có y ≥ ∀x y = + 2sinx − sin x 2 Mà sinx − sin x ≤ sin x + − sin x = Suy ≤ y2 ≤ ⇒ ≤ y ≤ y = đạt x = − π + k2π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 237 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả maxy = đạt x = π + k2π Ta có: t = (tanx − 2)2 − y = −3 đạt tanx = Khơng tơng max Ta có: = ( tanx + cotx) + 3( tanx + cotx) − Đặt t = tanx + cotx = ⇒ t ≥2 sin2x Suy y = t2 + 3t − = f(t) Bảng biến thiên −∞ t +∞ f(t) −2 −5 Vậy y = −5 đạt x = − π + kπ Không tồn maxy Bài Hàm số xác định với x ⇔ 5sin4x − 6cos4x ≥ 1− 2m ∀x Do min(5sin4x − 6cos4x) = − 61 ⇒ − 61 ≥ 1− 2m ⇔ m ≥ 61 + Bài Ta có: −1≤ sin3x ≤ 1⇒ −1≤ y ≤ Suy ra: y = −1; maxy = Ta có: ≤ sin2 2x ≤ 1⇒ −3 ≤ y ≤ Suy ra: y = −3; maxy = Ta có: ≤ + 2sinx ≤ ⇒ ≤ y ≤ 1+ Suy ra: y = 2; maxy = 1+ Ta có: ≤ + sin2 4x ≤ ⇒ + 2 ≤ y ≤ + Suy ra: y = + 2; maxy = + Ta có: −5 ≤ 4sin3x − 3cos3x ≤ ⇒ −4 ≤ y ≤ Suy ra: miny = −4; maxy =  π Ta có: y = 2sin  x + ÷ + Suy ra: y = 2; maxy = 3  Ta có: 2sin2x − cos2x + ≥ − > ∀x ∈ ¡ sin2x + 2cos2x + y= ⇔ (2y − 1)sin2x − (y + 2)cos2x = − 4y 2sin2x − cos2x + ⇒ (2y − 1)2 + (y + 2)2 ≥ (3 − 4y)2 ⇔ 11y2 − 24y + ≤ ⇔ ≤y≤2 11 238 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Suy ra: y = ; maxy = 11 Ta có: sin6x + 4cos6x + 10 ≥ 10 − 17 > ∀x ∈ ¡ 2sin6x − cos6x + y= ⇔ (y − 2)sin6x + (4y + 1)cos6x = − 10y sin6x + 4cos6x + 10 ⇒ (y − 2)2 + (4y + 1)2 ≥ (2 − 10y)2 ⇔ 83y2 − 44y − 1≤ ⇔ 22 − 22 + ≤ y≤ 83 83 22 − 22 + ; maxy = 83 83 Xét phương trình: 3cosx + sinx = y + Suy ra: y = Phương trình có nghiệm ⇔ 32 + 12 ≥ (y + 2)2 ⇔ −2 − 10 ≤ y ≤ −2 + 10 Vậy y = −2 − 10; maxy = −2 + 10 6sin4x − cos4x + 2cos4x − 2sin4x + ( cos4x − sin4x + > ∀x ∈ ¡ ) ⇔ (6 + 2y)sin4x − (1+ 2y)cos4x = 6y − 10 Ta có y = ⇒ (6 + 2y)2 + (1+ 2y)2 ≥ (6y − 1)2 ⇔ 8y2 − 10y − ≤ ⇔ − 97 + 97 ≤ y≤ 8 − 97 + 97 , maxy = 8 11.Đặt t = 3sinx + 4cosx ⇒ t ∈ −  5;5 Vậy y = Khi đó: y = 3t2 + 4t + = f(t) với t ∈ −  5;5 Do y = f(− ) = − ;maxy = f(5) = 96 3 Bài Đặt t = 3sinx − 4cosx ⇒ −5 ≤ t ≤ Ta có: y = (3sinx − 4cosx)2 − 6sinx + 8cosx = t2 − 2t = (t − 1)2 − Do −5 ≤ t ≤ ⇒ ≤ (t − 1)2 ≤ 36 ⇒ y = −1 Suy yêu cầu toán −1≥ 2m − ⇔ m ≤ 3sin2x + cos2x Đặt y = sin2x + 2cos2x + (Do sin2x + 2cos2x + > ∀x ⇒ hàm số xác định ¡ ) ⇔ (3 − y)sin2x + (1− 2y)cos2x = 3y Suy (3 − y)2 + (1− 2y)2 ≥ 9y2 ⇔ 2y2 + 5y − ≤ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 239 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả ⇔ −5 − −5 + −5 + ≤ y≤ ⇒ maxy = 4 −5 + 5− ≤ m + 1⇔ m ≥ 4 Trước hết ta có: 3cos2x + sin2x + m + ≠ ∀x ∈ ¡  m < −1− 10 ⇔ 32 + 12 < (m + 1)2 ⇔ m2 + 2m − > ⇔  (*)  m > −1+ 10 • m > −1+ 10 ⇒ 3cos2x + sin2x + m + > 0, ∀x ∈ ¡ Yêu cầu toán ⇔ Nên 4sin2x + cos2x + 17 ≥ ⇔ 2sin2x − 5cos2x ≥ 2m − 15 3cos2x + sin2x + m + ⇔ − 29 ≥ 2m − 15 ⇔ m ≤ Suy ra: 10 − 1< m ≤ 15 − 29 15 − 29 • m < −1− 10 ⇒ 3cos2x + sin2x + m + < 0, ∀x ∈ ¡ 4sin2x + cos2x + 17 ≥ ⇔ 2sin2x − 5cos2x ≤ 2m − 15 Nên 3cos2x + sin2x + m + ⇔ 29 ≤ 2m − 15 ⇔ m ≥ Vậy 10 − 1< m ≤ 15 + 29 (loại) 15 − 29 giá trị cần tìm Bài Ta có: cos2x + cos2y + 2sin(x + y) = ⇔ sin2 x + sin2 y = sin(x + y) Suy ra: x + y = π Áp dụng bđt: a2 b2 (a + b)2 + ≥ m n m+ n sin Suy ra: P ≥ ( x + sin2 y x+ y ) = Đẳng thức xảy ⇔ x = y = π π π ksinx + ⇔ ycosx − ksinx + 2y − = Bài Ta có y = cosx + Do đó: minP = 2 ⇒ y2 + k2 ≥ (2y − 1)2 ⇔ 3y2 − 4y + 1− k2 ≤ ⇔ − 3k + ≤ y ≤ + 3k + 3 240 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3x π x π 9x π x π + ).cos( − ) = 2.cos( − ).cos( − ) 4 4  x π 3x π 9x 3π  ⇔ cos − ÷ 3cos( + ) + cos( + ) = 4    ⇔ 3.2.cos(   x π cos( − ) = x =  x π 3x π ⇔ cos( − ).cos3( + ) = ⇔  ⇔ 4 x =  cos( 3x + π ) =   3π + k2π π + k2π π π 3π Vì x ∈ (−π; π) nên suy x = − ,x = ,x = Bài Điều kiện: cos2x ≠ ⇔ 2x ≠ k2π ⇔ x ≠ kπ 2cos2xsinx  π = 2cos 2x − ÷ Phương trình ⇔ 4 sinx  Ta thấy x = π không nghiệm phương trình 2cos2xsinx  π • Nếu x ∈ ( 0; π ) phương trình ⇔ = 2cos 2x − ÷ 4 2sinx   π π π ⇔ cos2x = cos 2x − ÷ ⇔ x = + k ,k ∈ ¢ 4 16  π π 15 + k < π ,k ∈ Z ⇔ − < k < ,k ∈ Z Do x ∈ ( 0; π ) ⇒ < 16 8  π x= k =  16 ⇔ ⇒  k =  x = 9π  16 2cos2xsinx  π • Nếu x ∈ ( π;2π ) phương trình ⇔ = 2cos 2x − ÷ 4 − 2sinx   π 5π π ⇔ cos2x = − cos 2x − ÷ ⇔ x = + k ,k ∈ ¢ 4 16  5π π 11 27 + k < 2π,k ∈ Z ⇔ Với giá trị m ta có phương trình cho tương đương với π π kπ 2x − = arctan(m + 1) + kπ ⇔ x = + arctan(m + 1) + 12 2 • Nếu m = ⇒ phương trình vơ nghiệm • Nếu m ≠ phương trình ch tương đương với  π  2m + cot2  2x − ÷ = (4) 8 m  +) Nếu 2m + 1 < ⇔ − < m < phương trình (4) vơ nghiệm m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 289 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  m≤ −  +) Nếu phương trình (4) có nghiệm  m >   2m +   2m +  kπ π π = arccot  ± + arccot  ± , k ữ+ k x = ữ+ ÷  ÷ m 16 m     Bài • Nếu m = ⇒ phương trình vơ nghiệm 1− m • Nếu m ≠ ⇒ phương trình ⇔ sin2 2x = m  1− m m < > ⇔ 1− m > m ⇔  +) ⇒ phương trình vơ nghiệm m m ≠  2x −   1− m   x = arcsin  ± ÷+ kπ  m ÷    +) m ≥ ⇒ phương trình có nghiệm :   π 1− m   x = − arcsin ±  ÷+ kπ   2 m ữ ã Nếu m = ⇒ phương trình vơ nghiệm m+ • Nếu m ≠ phương trình ⇔ tan2 3x = 2m − 1 +) Nếu −2 < m < ⇒ phương trình vơ nghiệm  m ≤ −2 ⇒ phương trình có nghiệm +) Nếu  m >   m +  kπ x = arctan  ± ÷+  2m − ÷   Bài π Phương trình có nghiệm x = π π 3− (m − 1)sin + mcos = 2m − ⇔ m = 3 Bạn đọc tự giải phương trình Phương trình có nghiệm ⇔ (m − 1)2 + m2 ≥ (2m − 1)2 ⇔ m2 − m ≤ ⇔ ≤ m ≤ 290 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài Phương trình ⇔ 3sin2 x − 3sinx = 2m + 2 Đặt t = sin,t ∈ −  1;1 Ta có phương trình : 3t − 3t = 2m + Xét hàm số f(t) = 3t2 − 3t, t ∈ −  1;1 Bảng biến thiên t −1 f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình cho có nghiệm ⇔ ≤ 2m + ≤ ⇔ −1≤ m ≤ Phương trình ⇔ 2cos2x − ( 2m + 1) cosx + m =  2cosx − = ⇔ ( 2cosx − 1) ( cosx − m) = ⇔   cosx − m = π  Ta có : x ∈  ; π ÷ ⇒ −1 ≤ cosx ≤ 2  π  Suy phương trình cho có nghiệm x ∈  ; π ÷ ⇔ −1≤ m ≤ 2  Bài 5: • Nếu m = , phương trình ⇔ sin3 x − sinx = kπ • Nếu m ≠ , chia hai vế phương trình cho cos3 x ≠ ta sinxcos2 x = ⇔ sin2x = ⇔ x = ( ) (8m2 + 1)tan3 x − (4m2 + 1)tanx 1+ tan2 x + 2m = ⇔ 4m2 tan3 x − (4m2 + 1)tanx + 2m = ⇔ (2mtanx − 1)(2mtan2 x + tanx − 2m) =     x = arctan 2m + kπ tanx = tanx =   ⇔ ⇔ 2m 2m ⇔    x = 1arctan(4m) + kπ  2mtan x + tanx − 2m =  tan2x = 4m  2 kπ KL: • Nếu m = phương trình có nghiệm x = • Nếu m ≠ phương trình có nghiệm http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word 291 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả kπ 1 kπ ,x = arctan + kπ,x = arctan(4m) + 2m 2  π t2 − Đặt t = sinx + cosx = 2cos x − ÷, t ∈  − 2; 2 ⇒ sinxcosx = 4  Thay vào phương trình ta có: t = m(t2 − 1) − t + = ⇔ (t − 1)(mt + m − 1) = ⇔   mt = 1− m x=  π x = + k2π  π • t = ⇔ cos x − ÷ = ⇔  4   x = k2π • Xét phương trình : mt = 1− m (*) +) Nếu m = ⇒ (*) vô nghiệm +) Nếu ⇒ (*) ⇔ t =  m ≤ −1− m ≠ 1− m ≤ 2⇔  ⇔ m m + 2m − 1≥  m ≥ −1+  1− m  1− m  π  1− m π ⇔ cos x − ÷ = ⇔ x = ± arccos ÷+ k2π m 4 m   m 2 m ≠ 1− m ⇒ (*) ⇔ t = +)  vô nghiệm m −1− < m < −1+ KL: • Nếu −1− < m < −1+ ⇒ phương trình có nghiệm x= π + k2π, x = k2π  m < −1− • Nếu  ⇒ phương trình có nghiệm  m > −1+  1− m  π π x = + k2π , x = k2π ,x = ± arccos ÷+ k2π  m 2 Phương trình ⇔ m cos2x cos2x = sin2x 1− 3sin2 xcos2 x • Phương trình ln có nghiệm: x = π π +k m = hay 3mt2 + 4t − 4m = (*) sin2x − 3sin2 2x Với t = sin2x ∈ −  1;1 \ { 0} • Phương trình: +) m = phương trình vơ nghiệm 292 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt nên có có nhiều nghiệm thuộc −1;1 +) m ≠ ⇒ phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt t1t2 = − Nghiệm t = −2 + 1+ 3m ∈ −1;1 ⇔ 1+ 3m2 − ≤ m   3m ⇔ 3m2 + ≤ 1+ 3m2 ⇔ 9m4 − 144m2 ≤ ⇔ m ≤ 2 Nghiệm t = −2 − 1+ 3m ∈ −1;1 ⇔ 1+ 3m2 + ≤ m vô nghiệm   3m m = π π Vậy : * Nếu  phương trình cho có nghiệm x = + k  m > m ≠ π π * Nếu  phương trình cho có nghiệm x = + k m ≤  −2 + 1+ 3m2 π −2 + 1+ 3m2 x = arcsin + kπ, x = − arcsin + kπ 3m 2 3m Bài 6:  sinx ≠ (1) Phương trình ⇔  cos2x(msinx − 1) = (2) • Nếu m = ⇒ phương trình ⇔ cos2x = π 3π 5π 7π ⇔ x = ,x = ,x = ,x = ⇒ m = thỏa yêu cầu toán 4 4 • m ≠ Vì phương trình ln có nghiệm ( 0;2π ) nêu u cầu tốn ⇔ phương trình msinx − = vơ nghiệm có nghiệm m ≠  m ≠  >    m < ⇔ Điều xảy   m     m = ±  =   m m ∀x ∈ ( 1; +∞ ) cosx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 293 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có phương trình : (1− m)t2 − 2t + 4m = (*) Yêu cầu tốn ⇔ (*) có nhiều nghiệm t > ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt t1,t2 >  1− m ≠ m ≠ 1,m ≠   ∆ ' = 1+ 4m(m − 1) >  ⇔ ⇔  t1 + t2 − > (t1 − 1) + (t2 − 1) >  t t − (t + t ) + > (t − 1)(t − 1) > 12      m ≠ 1,m ≠ m ≠ 1,m ≠ m ≠ 1,m ≠ m ≠       2m ⇔ − 2> ⇔ >0 ⇔ 0 < m < ⇔ − m − m   1  < m 3   Phương trình ⇔ mtan2 x + 2tanx − = 1+ tan2 x ⇔ (m − 1)tan2 x + 2tanx − = (1) • m = 1⇒ (*) ⇔ tanx = • m ≠ Ta có (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' = 2m − 1≥ ⇔ m ≥ giá trị cần tìm 1+ cos6x m(1− cos2x) + Phương trình ⇔ 2cos2 2x − = 2 Vậy m ≥ ⇔ 4cos3 2x − 4cos2 2x − 3cos2x + + m(1− cos2x) = cos2x = ⇔ (cos2x − 1)(4cos2 2x − − m) = ⇔  cos 2x = m +     π  π ;1÷ Vì x ∈  0; ÷ ⇒ 2x ∈  0; ÷ ⇒ cos2x ∈  ÷  12   6   m+ < < 1⇔ < m < 4 1 Bài 7: Phương trình ⇔ 1− sin2 2x − cos2x + sin2 2x + a = Do phương trình cho có nghiệm ⇔ ⇔ cos2 2x − 4cos2x + 4a + = Với a = −2 ⇒ cos2 2x − 4cos2x − = ⇔ cos2x = −1 ⇔ x = Phương trình ⇔ cos2 2x − 4cos2x = −4a − 294 π + kπ Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương trình có nghiệm ⇔ −3 ≤ −4a − ≤ ⇔ −2 ≤ a ≤ Bài 8: Phương trình ⇔ 1− sin2 2x − cos2x + m = ⇔ cos2 2x − 4cos2x = −3 − 4m Đặt t = cos2x ⇒ t ∈ −  1;1 Ta có phương trình f(t) = t2 − 4t = −4m − Bảng biến thiên t −1 f(t) −3 Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm ⇔ −3 ≤ −4m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Bài 9: Phương trình ⇔ 2mcos2 x + cosx − m = Đặt t = cosx,t ∈ −  1;1 ta có phương trình 2mt2 + t − m = • m = ⇒ t = nghiệm phương trình • m ≠ ta thấy phương trình ln có hai nghiệm t1,t2 t1t2 = ⇒ hai nghiệm ln có nghiệm thuộc −  1;1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 295