Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Các cơng thức lượng giác Các đẳng thức: * sin2   cos2   với  k với  � * tan .cot   * 1 tan   * 1 cot   cos2  với  �k2 với  �k sin2  Hệ thức cung đặc biệt a.Hai cung đối nhau:   cos()  cos tan()   tan   b Hai cung phụ nhau:     cos(  )  sin   tan(  )  cot  c Hai cung bù nhau:     sin(  )  sin  tan(  )   tan  d) Hai cung  :     sin(  )   sin  tan(  )  tan  Các công thức lượng giác sin()   sin  cot( )   cot   sin(   )  cos  cot(  )  tan  cos(   )   cos cot(  )   cot  cos(   )   cos cot(  )  cot  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả a Công thức cộng cos(a �b)  cosa.cosbm sina.sin b sin(a �b)  sina.cosb �cosa.sinb tana �tanb 1m tana.tanb b) Công thức nhân sin2a  2sinacosa tan(a �b)  cos2a  cos2 a  sin2 a  1 2sin2 a  2cos2 a  sin3a  3sina  4sin3 a cos3a  4cos3 a  3cosa c Công thức hạ bậc 1 cos2a 1 cos2a sin2 a  cos2 a  2  cos2a tan2 a  1 cos2a d Cơng thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.cosb  [sin(a  b)  sin(a  b)] e Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cosa  cosb  2cos cos 2 a b a b cosa  cosb  2sin sin 2 a b a b a b a b sina  sin b  2sin cos sina- sin b  2cos sin 2 2 sin(a  b) sin(a  b) tana  tanb  tana  tan b  cosacosb cosacosb II Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f(x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T �0 cho với x �D ta có x �T �D f(x  T)  f(x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T III Các hàm số lượng giác Hàm số y  sinx �Tập xác định: D  R �Tập giác trị: [  1;1] , tức 1�sinx �1 x �R Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt �Hàm số đồng biến khoảng (    k2;  k2) , nghịch biến 2  3 khoảng (  k2;  k2) 2 �Hàm số y  sinx hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng �Hàm số y  sinx hàm số tuần hồn với chu kì T  2 �Đồ thị hàm số y  sinx Hàm số y  cosx �Tập xác định: D  R �Tập giác trị: [  1;1] , tức 1�cosx �1 x �R �Hàm số y  cosx nghịch biến khoảng (k2;   k2) , đồng biến khoảng (  k2;k2) �Hàm số y  cosx hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng �Hàm số y  cosx hàm số tuần hồn với chu kì T  2 �Đồ thị hàm số y  cosx Đồ thị hàm số y  cosx cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sinx u r  theo véc tơ v  ( ;0) Hàm số y  tan x � � �Tập xác định : D  �\ �  k , k ��� �2 �Tập giá trị: � �Là hàm số lẻ �Là hàm số tuần hoàn với chu kì T   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả �  � �Hàm đồng biến khoảng �   k;  k � �2 �  �Đồ thị nhận đường thẳng x   k, k �� làm đường tiệm cận �Đồ thị Hàm số y  cotx �Tập xác định : D  �\  k, k �� �Tập giá trị: � �Là hàm số lẻ �Là hàm số tuần hồn với chu kì T   �Hàm nghịch biến khoảng  k;   k  �Đồ thị nhận đường thẳng x  k , k �� làm đường tiệm cận �Đồ thị B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương pháp �Hàm số y  f(x) có nghĩa ۳ f(x) f(x) tồn có nghĩa ۹ f(x) f(x) tồn f(x) � sinu(x) � �0 u(x) k , k � �Hàm số y  � cosu(x) �۹ � u(x)  k , k � � 1�sinx, cosx �1 Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:  y  tan(x  )  y  cot2(  3x) Lời giải    ) 0�x۹ k x Điều kiện: cos(x �� 6 �2 � TXĐ: D  �\ �  k , k ��� �3 2 2 �� 3x) 0 �۹ 3 �2  � TXĐ: D  �\ �  k , k ��� �9 Điều kiện: sin( 3x k x Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan2x   cot(3x  ) y  sinx  tan5x y sin4x  cos3x Lời giải �  � sinx �1 x �  k2 � � � �� Điều kiện: �   k sin(3x  ) �0 � � x �  � � 18 �  n �   k2,   ;k,n ��� Vậy TXĐ: D  �\ � 18 �2 2 2 k k  � � Ta có: sin4x  cos3x  sin4x  sin �  3x � �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả �x  � �7x  �  2cos�  � sin �  � �2 � �2 � � � cos5x �0 � � � �x  � cos� �۹ Điều kiện: � �0 � �2 � � �7x  � sin �  ��0 � � �2 � �   x�  k � 10 � �  x k2 � �  k2 � x �  � 14 � � k   2m � ,  n2 ,  Vậy TXĐ: D  �\ �  � 14 �10 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm tập xác định hàm số sau: 1 sin2x 1 cos3x y  y  cos3x  1 sin4x  y  tan(2x  ) y  1 cot x 1 sin3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau: tan2x y  y  sin2x  cos3x 3sin2x  cos2x cotx   y  y  tan(x  ).cot(x  ) 2sinx  Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y  tan3x.cot5x  y  tan(2x  )  y  tan3x  cot(x  )  sinx y  tan4x tan x y  cos4x  sin3x sin3x y  sin8x  sin5x Vấn đề Tính chất hàm số đồ thị hàm số Phương pháp Cho hàm số y  f(x) tuần hồn với chu kì T * Để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn có độ dài T sau ta u r u r tịnh tiến theo véc tơ k.v (với v  (T;0), k �� ) ta toàn đồ thị hàm số 10 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Số nghiệm phương trình f(x)  k , (với k số) số giao điểm hai đồ thị y  f(x) y  k * Nghiệm bất phương trình f(x) �0 miền x mà đồ thị hàm số y  f(x) nằm trục Ox Chú ý: �Hàm số f(x)  asinux  bcosvx  c ( với u,v �� ) hàm số tuần hồn với chu kì T  2 (u,v) ( (u,v) ước chung lớn nhất) �Hàm số f(x)  a.tanux  b.cotvx  c (với u,v �� ) hàm tuần hồn với  chu kì T  (u,v) Các ví dụ Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số : 3x x f(x)  cos cos 2 Lời giải Ta có f(x)   cosx  cos2x � hàm số tuần hồn với chu kì sở T0  2 Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau f(x)  cosx  cos   f(x)  sinx2 3.x Lời giải Giả sử hàm số cho tuần hồn � có số thực dương T thỏa f(x  T)  f(x) � cos(x  T)  cos 3(x  T)  cosx  cos 3x � cosT  � Cho x  � cosT  cos 3T  � � cos 3T  � � T  2n m � m �� � 3 vơ lí, m,n �� � số hữu tỉ n 3T  2m  n � Vậy hàm số cho khơng tuần hồn Giả sử hàm số cho hàm số tuần hoàn � T  0:f(x  T)  f(x) � sin(x  T)2  sinx2 x �� Cho x  � sinT  � T  k � T  k � f(x  k )  f(x) x �� Cho x  2k ta có: f( 2k )  sin  k2   sin(k2)  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 11 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả f(x  k )  sin  k2  k     sin 3k  2k  �sin(2k 2) � f(x  k ) �0 Vậy hàm số cho khơng phải hàm số tuần hồn Ví dụ Cho a,b,c,d số thực khác Chứng minh hàm số c f(x)  asincx  bcosdx hàm số tuần hoàn số hữu d tỉ Lời giải * Giả sử f(x) hàm số tuần hoàn � T  0: f(x  T)  f(x) x � asincT  bcosdT  b � cosdT  �� Cho x  0,x   T � � asincT  bcosdT  b � sincT  � � dT  2n c m �� �  �� cT  m  d 2n � c c k 2k 2l  * Giả sử �� � k,l ��:  Đặt T  d d l c d Ta có: f(x  T)  f(x) x �� � f(x) hàm số tuần hồn với chu kì 2k 2l T  c d Ví dụ Cho hàm số y  f(x) y  g(x) hai hàm số tuần hoàn với T chu kỳ T1,T2 Chứng minh số hữu tỉ T2 hàm số f(x) �g(x); f(x).g(x) hàm số tuần hồn Lời giải T Vì số hữu tỉ nên tồn hai số nguyên m,n;n �0 cho T2 T1 T2  m � nT1  mT2  T n Khi f(x  T)  f(x  nT1)  f(x) g(x  T)  g(x  mT2)  g(x) Suy f(x  T) �g(x  T)  f(x) �g(x) f(x  T).g(x  T)  f(x).g(x) , f(x  T) f(x)  Từ ta có điều phải chứng minh g(x  T) g(x) Nhận xét: Hàm số f(x)  asinux  bcosvx  c ( với u,v �� ) hàm số tuần hồn 2 với chu kì T  ( (u,v) ước chung lớn nhất) (u,v) 12 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Hàm số f(x)  a.tanux  b.cotvx  c (với u,v �� ) hàm tuần hồn  với chu kì T  (u,v) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hồn với chu kì sở T0  Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y  sin2x  sinx y  tanx.tan3x y  sin3x  2cos2x Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y  sin2x  sinx y  tan x.tan3x y  sin3x  2cos2x y  sin x f(x)  sinx , T0  2 f(x)  tan2x, T0  Vấn đề Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Các ví dụ Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y  2sinx Lời giải Hàm số y  2sinx �TXĐ: D  � �Hàm số y  2sinx hàm số lẻ �Hàm số y  2sinx hàm tuần hồn với chu kì T  2 �  � �Hàm số đồng biến khoảng � k2;  k2 � Nghịch biến � � � � khoảng �  k2;   k2 � �2 � � � �Đồ thị hàm số quan điểm (k;0), �  k2;2� �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 13 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y  tan2x Lời giải Hàm số y  tan2x �  � �TXĐ: D  �\ �  k ,k ��� �4 �Hàm số y  tan2x hàm số lẻ �Hàm số y  tan2x hàm tuần hồn với chu kì T   �  � �Hàm số đồng biến khoảng � k;  k � � �   �Các đường tiệm cận: x   k k �Đồ thị hàm số quan điểm ( ;0) Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y  1 2cos2 x Lời giải Hàm số y  1 2cos2 x Ta có: y   cos2x �TXĐ: D  � �Hàm số y   cos2x hàm số chẵn �Hàm số y   cos2x hàm tuần hoàn với chu kì T   � � �Hàm số đồng biến khoảng �  k;   k �, nghịch biến �2 � �  � k;  k � khoảng � � � 14 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt cosx  2sinx.cosx   4 4 sin x  cos x  3sin4x   2cos x  sinx  Bài 11 Giải phương trình sau: 2sin2x   sinx  cosx   sin2x  12 sinx  cosx  12  � � x  � sin2x  2sin � � 4� cosx  sinx  2sin2x  1 tanx  2sinx cos3 x  sin3 x  cos2x cos3 x  sin3 x  2sin2x  sinx  cosx 1 10  sinx   cosx  cosx sinx Bài 12 Giải phương trình sau: 2cos2 x  6sinxcosx  6sin2 x  cos2 x  3sin2x  1 sin2 x 2  sinx  cosx cosx   2cos2 x tanx  cotx  2 sin2x  cos2x 2cos3 x  sin3x 4sin3 x  3cos3 x  3sinx  sin2 xcosx  sin2 x tanx  1  3sinx  cosx  sinx    3 5 cos x  sin x  cos x  sin x sin2 x  3tanx  cosx  4sinx  cosx  10 2cos3(x  )  3cosx  sinx  Bài 13 Giải phương trình sau: 2sin2 x  3sinx   sin2 x  cosx   2cos2x  3sinx   3cos4x  sin2 2x  cos2x   Bài 14 Giải phương trình sau: 4cosx.cos2x   16(sin8 x  cos8 x)  17cos2 2x cos4 x  cos2x  2sin6 x  Bài 15 Giải phương trình sau: cos2x  cosx   6sin2x  2sin2 2x   2cos 2x   13cosx    cos2x   0 1 tan2 x � 5 � � 7 � 2x  x sin � � 3cos� � 1 2sinx 2� � � 2� cos2x  3cosx  4cos2 x 2sin4 x  2cos4 x  2sin2x  2tan2 x   cosx 5 1 cosx   sin4 x  cos4 x 10 7cosx  4cos3 x  4sin2x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 35 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 11 cos4x  cos2 3x 13 sin6x  cos4x  cos2x 12 2cos2 3x 4x   3cos 5 �  � � � 4 x � cot �  x � sin2x 14 sin x  cos x  cot � � � �6 � Bài 16 Giải phương trình sau: 1 3tanx  2sin2x 2 cotx  tanx  4sin2x  6 sin x  cos x  sin2x sin2x   cos4 x  sin4 x  cos(x  )sin(3x  )   4 Bài 17 Giải phương trình sau: 11x 9x sin sin2 2x.cos6x  sin2 3x  sin 2 2 1 2  sin2x  cos2x   6tan2(x  ) sin4x 1+sinx  cosx  sin2x  cos2x  cos2 x(cosx  1)  2(1 sinx) 3cot2 x  2sin2 x  (2  2)cosx sinx  cosx 2sin2x  cos2x  7sinx  2cosx  Bài 18 Giải phương trình sau: sin4 x  cos4 x 1 ( A1 – 2002 )  cot2x  5sin2x 8sin2x  2cosx  1  2sinx  cosx  sin2x  sinx ( D – 2004 ) 2(sin6 x  cos6 x)  sinxcosx  2sinx  ( A – 2006 ) x cotx  sinx(1 tanxtan )  (B – 2006 ) x � x 2� tan x  cos2  ( D – 2003 ) sin �  � �2 � cotx  tanx  sinx  cosx  sinx.sin4x  2cos(  x)  3cosx.sin4x tan4 x   (2  sin2 x)sin3x cos4 x x  (2  3)cosx  2sin2(  ) 1 2cosx  x 3 10 4sin2  3cos2x  1 2cos2(x  ) 36 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 11 3sinx  2cosx   3tanx  2tan2 x  5tanx  5cotx   12 sin x 13 sin2 x  sin2 3x  3cos2 2x  �3 x � � 3x � 14 sin �  � sin �  � �10 � �10 �  (1 sinx  cos2x)sin(x  ) 15  cosx 1 tanx 16 (sin2x  cos2x)cosx  2cos2x  sinx  17 sin2x  cos2x  3sinx  cosx   (1 2sinx)cosx  18 (1 2sinx)(1 sinx) 19 sinx  cosxsin2x  3cos3x  2(cos4x  sin3 x) 20 3cos5x  2sin3xcos2x  sinx  Bài 19 Giải phương trình sau 2cosx  tanx  1 2sin2x 8 3cotx  tanx  8sin(x  ) 3 sin3x  cosx.cos2x(tan2x  tan2 x) 2(sinx  cosx)2(1 2sin2x)  1 tanx sin3x  sin5x   sin(2x  )cos2x  2sin(x  )  4 cos2 2x  cos4x(tan2x.cotx  1)   cosx  2cos3x  1 3.sinx � � � � x  � sin4x  sin � 2x  � sinx  sin � 3� � 3� � � � 1 cos 2x  2sinx   � � 2sinx sinx � � 10 (sinx  2cosx)cos2x  sinx  (cos4x  1)cosx  cos2x 2sinx �cos4x  sin2x � � � 11 � x  � �  2sin � �cos3x  sin3x � � 4� 12 sin4 x  cos4 x  3 2 3 sin2x.cos2x  cos2 2x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 37 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả 13 sin3x  2cos3x  cos2x  2sin2x  2sinx   � � 14 sinxsin4x  2cos�  x � 3cos xsinxcos2x � � 15  2cos2x  1 cosx  sinx   sinx  cosx sin3x 16 tan2 x   (1 2sinx)(tanx  2cosx) 1 cosx.cos2x   4sin2 x  sinx  sin2x cosx Bài 20 Giải phương trình sau: 17  sinx.sin4x  2cos(  x)  3cosx.sin4x cosx  2cos3x  1 3.sinx sin3 x.cos3x  cos3 xsin3x  3 4 2sin2x  (2  3)sinx  (2  3)cosx   x � 2� sin x  4sin �  � sin 3x � � sinx   sin2 x  sinx  sin2 x  sin10 x  cos10 x sin6 x  cos6 x  4cos2 2x  sin2 2x   2 cos3x   cos 3x  1 sin 2x Bài 21 Giải phương trình sau sin3 x  3cos3 x  sinxcos2 x  3sin2 xcosx sin2 x  sin2 y  sin2  x  y       2 1 sin x cosx  1 cos x sinx  1 sin2x 2sin2 2x  sin7x   sinx � x x� � sin  cos �  3cosx  2� � x 1 sin2x  cos2x  2sinxsin2x 1 cot2x sin2xcosx  sinxcosx  cos2x  sinx  cosx sin2x  2cosx  sinx  0 tanx  38 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � � sin � 3x  � 4� �  � �  2cot � x � sinx  cosx � 4� Bài 22 Giải phương trình sau 1 cosx  cosx cos2x  sin4x   4sinx  1 cosx  1 cosx cosx sinx  sinx  sin2 x  cosx  1 sinx  1 sinx  2cosx cos2 2x  sin2 4x   sin4xcos2x  sin2 x sin14 x  cos13 x  tan2 x  tan2 y  cot2  x  y   1 sin2 x  sin2 3x  sinxsin2 3x 4 � � � tanx  cotx �  sin4 x  cos4 x � � 2 � � � � 10 � cos x   sin x   12  siny � � � cos x � � sin x � � Vấn đề Tìm nghiệm phương trình lượng giác Các ví dụ Ví dụ Tìm tổng nghiệm khoảng (; ) phương trình:    sin(3x  )  cos(2x  ) sin2 2x  cos2(3x  ) Lời giải � � �3 � 3x  � sin �  2x � Phương trình � sin � 3� � �4 � �  3x   � ��  � 3x   � � 3 �  k2  2x  k2 x  � � � 12   �  2x  k2 x    k2 � � 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 39 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Do x � ;   nên ta có: 43 19  29 53  ,x   ,x  ,x  ,x  ,x   60 60 12 60 60 12  Vậy tổng nghiệm  ;   � � 6x  �  cos4x  cos   4x Phương trình � cos� 4� � x  � 5 �  x  k 6x   4x    k2 � � �� ��  3 k � � 6x   4x    k2 x   � � � 40 � Các nghiệm nằm (; ) phương trình là: 5 7 27 19 11 3  x ,x   ,x   ,x   ,x   ,x   ,x  , 8 40 40 40 40 13 21 29 37 x ,x  ,x  ,x  40 40 40 40 7 Vậy tổng nghiệm thuộc (; ) là: Ví dụ Tìm nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình sau: sin2 2x  cos2 5x  (sinx  cosx)2  2cos2 3x Lời giải 1 cos4x 1 cos10x  1 2 � k x � � 10x  4x  k2 � cos10x  cos4x � � �� 10x  4x  k2 k � � x � � Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình   là: x  ,x   7 Phương trình � 1 sin2x  1 cos6x Phương trình � �  k �  x  6x   2x  k2 � � � � � cos6x  sin2x  cos�  2x �� � � � 16   k �2 � � � 6x    2x  k2 x   � � � � 40 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình   cho là: x  ,x   16 Ví dụ Tìm số dương nhỏ phương trình : �� � 1� 2 � x  2x  �   x  1 � cos � sin x  sin � � sin x � � � � � �� �     Lời giải   (x2  2x)� sin x2 Phương trình sin � � � 2 � � x  k �� (x  2x)  x  k2 �� �� 2x  2x  2k   (1) � (x2  2x)    x2  k2 � � Từ ta tìm x  1 � 2k  � x  x2  (x  1)2  k2 � �� 2 Phương trình � � � x    (x  1)2  k2 � � x  x k  � 2k  1 ,k �� x  Nghiệm dương nhỏ phương trình x   2 Nghiệm dương nhỏ phương trình x  x  k  là: 1  2 Vậy x  nghiệm cần tìm Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình : � � cos� � 3x  9x2  160x  800 � � � � � �8 � � x Lời giải Phương trình 3x  9x2  160x  800  16k � 16k � 16k x� x� � � � � 3 �� �� 25 8k  25 � � 9x  24k  40  x � 3k 5 � 3k  � 25 �� � k � 0, 2, 10 Theo toán suy ra: 3k  Thử lại ta có nghiệm ngun phương trình : x  7( k  2), x  31 (k  10) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 41 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ Tính tổng nghiệm nằm khoảng (0;2) phương trình sau:    sinx     cosx  2sin2x Lời giải 7 6 7 6  ; cos  12 12 Nên phương trình cho tương đương với: Ta có sin 31 3 sinx  cosx  sin2x 2 2 7 7 � sinx.cos  cosx.sin  sin2x 12 12 � 7 � 7 2x  x   k2 x  k2 � � 7 12 � sin(x  )  sin2x � � � � 12 7 5 2 12 � � x k 2x    x   k2 � � � 12 � 36 Do x � 0;2  nên phương trình có nghiệm là: 7 5 29 53 ; ; ; 12 36 36 36 Vậy tổng nghiệm cần tính là: 3 Chú ý: Ta giải theo cách khác sau Phương trình � 3sinx  cosx  3cosx  sinx  2sin2x   7 � sin(x  )  cos(x  )  2sin2x � sin(x  )  sin2x 6 12 Tiếp tục giải ta kết CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm tổng nghiệm phương trình:    2cos(x  )  (; ) sin(5x  )  cos(2x  ) 3 [0; ] Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau �  � � sin � � �3x  9x  16x  80 � � 4� � � � Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: cos(3   2x  x2 )  1 0;14� Bài Tìm x �� � �nghiệm phương trình : cos3x  4cos2x  3cosx   42 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài Tìm nghiệm khoảng (; ) phương trình : 2(sinx  1)(sin2 2x  3sinx  1)  sin4x.cosx Bài Tìm nghiệm x � 0;2  phương trình : sin3x  sinx 1 cos2x  sin2x  cos2x Vấn đề Phương pháp loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện Phương pháp 1: Biểu diễn nghiệm điều kiện lên đưòng tròn lượng giác Ta loại điểm biểu diễn nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn điều kiện Với cách cần ghi nhớ �Điểm biểu diễn cung    k2 , k �� trùng 2k �Để biểu diễn cung   lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n n giá trị (thường chọn k  0,1,2, ,n  1) nên ta có n điểm phân biệt cách đường tròn tạo thành đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên k l Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm     , n m m,n�� biết, k,l �� số chạy k l  � ak  bl  c (*) Ta xét phương trình :   n m Với a,b,c số nguyên Trong trường hợp ta quy giải phương trình nghiệm nguyên ax  by  c (1) Để giải phương trình (1) ta cần ý kết sau: �Phương trình (1) có nghiệm � d  (a,b) ước c �Nếu phương trình (1) có nghiệm (x0;y0) (1) có vơ số nghiệm � b x  x0  t � � d ,t �� � �y  y  a � t Phương pháp 3: Thử trực tiếp Phương pháp ta giải phương trình tìm nghiệm thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 43 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Giả sử ta có điều kiện u(x) �0 ( u(x) �0,u(x) �0 ), ta biến đổi phương trình cho phương trình chứa u(x) giải phương trình để tìm u(x) Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: cot3x  cotx cot4x.cot7x  Lời giải  Điều kiện: x �k n ,n �� Phương trình � 3x  x  n � x  Loại nghiệm: Để loại nghiệm phương trình ta có cách sau  Cách 1: Biểu diễn điểm cuối cung k ta có điểm A 1,A ,A 3,A ,A 5,A Biểu diễn điểm cuối cung n ta có điểm B1,B2 , B3 , B4 Ta thấy A �B1, A �B3 Vậy nghiệm phương trình cho là: x    m ,m �� k  3t n k 2k �  � n �� n  2t 3 � Do ta cần loại giá trị n chẵn  Vậy nghiệm phương trình là: x   m ,m �� Cách 2: Ta có 44 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � k x� � � Điều kiện: � n � x� �  Phương trình � cot7x  tan4x  cot(  4x)    � 7x   4x  m � x  m 22 11   k k2 �Ta có: m  �  4m  11k � m  3k  22 11 4 k2  t � k  4t  � m  11t  Vì m,k �� �  m n �Ta có:   �  14m  22n � 22n  14m  22 11 Vì 22n  14m số chẵn số lẻ nên phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho là:  m x  với m �11t  , t�� 22 11 Ví dụ Giải phương trình sau: sinxcot5x 1 cos9x Lời giải � m x� � � sin5x � �� Điều kiện: � cos9x �  m � � x�  � 18 Phương trình � sinxcos5x  cos9xsin5x � sin6x  sin4x  sin14x  sin4x � sin14x  sin6x � k x � � 14x  6x  k2 � � � 14x    6x  k2   k � � x  � � 20 10 k �Nghiệm x  bị loại hai phương trình sau có nghiệm nguyên m,k � � m  5t � k m � �  �4 k  4t � 5k  4m � �� �� � k (chẵn) � k  m 9k  4m  � � k   4t � �   � � � �4 18 m   9t � � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 45 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  k  bị loại hai phương trình 20 10 sau có nghiệm nguyên m,k � k m   � � 4m  2k  20 10 �� � ta thấy hai phương trình vơ 18k  10m  �  k    m � � 20 10 18 � nghiệm  k  k  Vậy nghiệm phương trình cho là: x  , x  20 10 �Nghiệm x  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình : sinx  cos2x Bài 2: Giải phương trình : cos3xtan4x  sin5x Bài 3: Giải phương trình  sin3x  cos3x  1 2sin6x  2sin2x Bài 4: Giải phương trình : tan2xtan3xtan7x  tan2x  tan3x  tan7x Bài 5: Giải phương trình : 4cos2x �x  �  tanx  tanx.tan2 �  � sin2x  2cosx �2 �  sinx 8cosx cos2x(2cos2x  1)  cotx Bài 7: Giải phương trình : sin3x Bài Giải phương trình sau Bài 6: Giải phương trình : sinx  sin2x  sin3x  cosx  cos2x  cos3x cos2x  tan2 x  1   cosx sin2x sin4x tan4 x   cos3xtan5x  sin7x 46 cos2x  1 sin2x  sinx  cosx cos2 x (2  sin2 2x)sin3x cos4 x 2(sinx  cosx)  tanx  cot2x cotx  Bài Giải phương trình sau 1 2tanx  cot2x  2sin2x  2sin2x tan2x  tan3x  tan5x  tan2xtan3xtan5x cosx cos5x � �   8sin2 2� x  � 8cos2 x cos3x cosx � 4� cos2 x  cos3 x  Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Phương trình lượng giác chứa tham số Các ví dụ Ví dụ Giải biện luận phương trình: 2sin(x   )  2m  10 Lời giải �  � 2m  x  � Phương trình � sin � � 10 � 2m  �Nếu 1� �1 �  �m � phương trình có nghiệm 2 �  2m  x    arcsin  k2 � 10 � 9 2m  � x  arcsin  k2 � � 10 � m  � � phương trình vơ nghiệm �Nếu � � m � � Ví dụ Giải biện luận phương trình: mcos2x  m  Lời giải m1 �Nếu m ��   phương trình có nghiệm m m1 x  � arccos  k2 m �Nếu m  phương trình vơ nghiệm Ví dụ Cho phương trình : (m  1)cosx  2sinx  m  Giải phương trình m  2 Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải Với m  ta có phương trình : 3cosx  2sinx  1 1 � cosx  sinx   � cos(x  )   13 13 13 13 � � ,cos  ;  �� 0; � Với sin   13 13 � 2� � x    �arccos 1 13  k2 � x   �arccos 1 13  k2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 47 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  m  Phương trình cho có nghiệm � (m  1)2  �(m  3)2 ۣ Ví dụ Tìm m để phương trình:  m  1 cosx   m  1 sinx  2m  có nghiệm x1,x2 thoả mãn: x1  x2   Lời giải Ta có phương trình cho tương đương với m1 m 2m  cosx  sinx    2 2m  2m  2m  2m+3 �1 (*) ) � cos x     cos (với đk 1� 2m2  m 2m+3 ;cos  (Trong cos  ) � x   �  k2 2m  2m2  Do x1,x2 có dạng x1      k12; x2      k2 2 (Vì x1,x2 thuộc họ nghiệm x1  x2  l2 , l �Z )   � 2(k1k2)2  3  � cos 2(k1k2)2  cos � cos2  Mặt khác cos2  2cos2  nên ta có: Do đ ó: x1  x2  � m1 �  m  1 �  1�   2� � � 2 2m2  � 2m  � � m2  4m   � m  � (ko thoả mãn (*)) Vậy không tồn m thoả mãn yêu cầu toán CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Giải biện luận phương trình sau: 4sin2x  2m   (m  1)cos2(4x  )  2m  3 tan(2x  )  m   mcot2(2x  )  2m  Bài Giải biện luận phương trình sau: msin2 2x  m  1 (2m  1)tan2 3x  m  Bài Cho phương trình (m  1)sinx  mcosx  2m  (1)  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  , giải phương trình với giá trị m vừa tìm 48 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tìm m để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2x  cos2 x  3sinx  2m  có nghiệm �  � cos2x  (2m  1)cosx  m   có nghiệm � ;  � � � Bài 5: Giải biện luận phương trình :     3 8m  sin x  4m  sinx  2mcos x  2msinxcosx   sinx  cosx   mcot2x  cos2 x  sin2 x cos6 x  sin6 x Bài 6: Tìm m để phương trình : mcos2x  sinx  cosxcotx có nghiệm thuộc  0;2  (1 m)tan2 x   1 3m  có nhiều nghiệm thuộc cosx � � 0; � khoảng � � 2� mtan x  2tanx   cos2 x có nghiệm � � 0; � cos4x  cos2 3x  msin2 x có nghiệm x �� � 12 � Bài 7: Cho phương trình : sin4 x  cos4 x – cos2x  sin2 2x  a  Giải a  2 Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin4x  cos4x – cos2x  sin2 2x  m  Bài 9: Chứng minh phương trình cosx  mcos2x  ln có nghiệm với m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 49 ... 5;5 �� ���  t �� (t 2)2 Vì t �� Do 3 �y �46 Vậy y  3; maxy  46 49 Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau nhận giá trị dương : y  (3sinx  4cosx)2  6sinx  8cosx  2m  Lời giải... cosx � 4� cos2 x  cos3 x  Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Phương trình lượng giác chứa tham số Các ví dụ Ví dụ Giải biện luận phương trình: 2sin(x   )  2m  10 Lời giải �  � 2m  x... vừa tìm 48 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tìm m để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2x  cos2 x  3sinx  2m  có nghiệm �  � cos2x  (2m  1)cosx  m