BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ LỜI GIẢI

www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ LỜI GIẢI ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 ab � ab a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : bc ca ab   �a  b  c b) Cho a, b, c > Chứng minh : a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) ab  ab Tìm liên hệ số a b biết : a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x | = | x |b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = x  4x  A 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a)  15 23  19 c) 27 b) 17   d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 45 nhng nhỏ 19 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  21   2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = S 21 Cho 2 1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  Hãy so sánh S 1998 1999 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y  �2 y x a) �x y � �x y � �  � �  ��0 x � �y x � �y b) �x y � �x y � �x y � �  � �  � �  ��2 c) �y x � �y x � �y x � 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 m n với m, n số hữu tỉ, n b) 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? �x y � x y2   �3 �  � �y x � 26 Cho số x y khác Chứng minh : y x x y2 z2 x y z  2 2�   y z x y z x 27 Cho số x, y, z dơng Chứng minh : 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 31 Chứng minh :  x    y  � x  y  32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A A x  6x  17 x y z   y z x với x, y, z > 33 Tìm giá trị nhỏ : 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a a) ab b số vô tỉ a b) a + b b số hữu tỉ (a + b 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) a b c d    �2 b  c c  d d  a a  b 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 39 Chứng minh  2x   x   x   40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  B C x  4x  x  2x  D 1 x2  E x  2x x G  3x   5x   x  x  42 a) Chứng minh : | A + B | | A | + | B | Dấu = ” xảy ? 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M  x  4x   x  6x  4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 c) Giải phương trình : 43 Giải phương trình : 2x  8x  x  4x   12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  E 2x   x B 1  3x C    9x x  x2 x 4 G D x  5x  H  x  2x    x 2 x  3x 0 45 Giải phương trình : x  46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x 48 So sánh : a) 1 ; b)  13  n+1  n (n số nguyên dương) a   b= 1 c) n   n  49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A    6x  9x  (3x  1) 50 Tính : a) 42 b) 11  c) d) A  m  8m  16  m  8m  16 27  10 e) B  n  n   n  n  (n > 1) M 41 45  41  45  41 51 Rút gọn biểu thức : 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x  y)  (y  2)  (x  y  z)  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 2 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  25x  20x   25x  30x  54 Giải phương trình sau : a) x  x   x   b) x    x d) x  x  2x   c) x  x  x  x   e) x  4x   x   h) x  2x   x  6x   g) x   x   5 i) x    x  x  25 k) x   x   x   x   l) 8x   3x   7x   2x  55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x  y2 �2 xy 56 Rút gọn biểu thức : a) 13  30   b) m  m   m  m  c)           2 2  57 Chứng minh 58 Rút gọn biểu thức : a) C  62  d) 227  30  123  22     62  6 3  b) D  96  59 So sánh : a)  20 1+ b) 17  12 1 c) 28  16  60 Cho biểu thức : A  x  x  4x  a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11  10 c) b)  14  11        10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 1 1 1  2    a b c a b c 63 Giải bất phương trình : x  16x  60  x  64 Tìm x cho : x   �x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  b) B  x  2x  A 16  x  x  8x  2x  x  x  2x  x  x  2x x  x  2x x  x  2x 67 Cho biểu thức : a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 2 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y | với | x | + 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : |y|=5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n  n  n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A     Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (   5)(   5)(   5)(   5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 75 Hãy so sánh hai số : a  3  b=2  ; 3 ; 2 3  1     số 2 3 6 84 Q 2 3 77 Rút gọn biểu thức : 76 So sánh 78 Cho P  14  40  56  140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 2 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x  y  y  x  80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A   x   x M 81 Tìm giá trị lớn : 82 CMR số  a b  với a, b > a + b 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số d- ương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n 86 Chứng minh :  a b  �2 2(a  b) ab (a, b 0) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (x  2)  8x B ab  b a A  x b b x 88 Rút gọn : a) b) a 2 �2 a  89 Chứng minh với số thực a, ta có : Khi có đẳng thức ? 90 Tính : A     hai cách 5 6,9 b) 91 So sánh : a) 2 2 P   2  2 92 Tính : 13  12 7 x   2x   x   2x   2 1.3.5 (2n  1) Pn   2.4.6 2n 2n  ; n  Z+ 94 Chứng minh ta có : 93 Giải phương trình : a b� 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= a2 b2  b a x  4(x  1)  x  4(x  1) � � � 1 � � x 1� x  4(x  1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : ; a b) a) � 14  15  � b) �   2 �: 1 �  � 1 a b b a : ab ab a b (a, b > � a a � � a a � c) � 1 1 � � �  a a 1 � a 1 � � � (a > 0) 98 Tính : a)   29  20 � c) �  48  � 99 So sánh : a) c)  15 18  19 d) ; b)   13  48 � 28  16 �  48 � b)  15 12  16 25 100 Cho đẳng thức : a  a2  b a  a2  b a� b  � 2 (a, b > a2 b > 0) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2  2  2  2 3 2 ; b) 17  12  3 2 17  12 2 10  30  2  : 10  2 1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : xy  x  y  1� 1� 1� 1� x � a  �, y  �b  � xy  x  y  với 2� a � 2� b� 2am a  bx  a  bx x  , m 1 b) B  b  m a  bx  a  bx với a) A  2  (a > ; b > 1)  2x  x  3x  4x  P(x)  102 Cho biểu thức a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < A x24 x2  x24 x2 4  1 x2 x 103 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a)  x e)   3x b) x  x (x  0) c)   x g) 2x  2x  d) x   h)   x  2x  i) 2x  x  105 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  , ba cách ?  48  10  106 Rút gọn biểu thức sau : a) 94  42  94  42 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a b b) a)  10    10  c)  a  b � a  b  a � a2  b  b) a  a2  b a  a2  b a� b  � 2 108 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  109 Tìm x y cho : x y2  x  y  a  b2  c2  d �  a  c    b  d  110 Chứng minh bất đẳng thức : www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com a2 b2 c2 abc   � 111 Cho a, b, c > Chứng minh : b  c c  a a  b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a   b   c   3,5 113 CM : a  c2   b2  c2   a b  bc  ca � b) a  d   b  d  �(a  b)(c  d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A  x  x A (x  a)(x  b) x 115 Tìm giá trị nhỏ : 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 117 Tìm giá trị lớn A = x + 2x 118 Giải phương trình : x   5x   3x  119 Giải phương trình : x  x 1  x  x 1  2 120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x   121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14   2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ :  ; 2 123 Chứng minh x    x �2 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a  b b  c �b(a  c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a  b)(c  d) � ac  bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác (a  b) a  b  �a b  b a 127 Chứng minh với a, b a b c   2 ac ab 128 Chứng minh b  c với a, b, c > 2 129 Cho x  y  y  x  Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A  x  x   x  x  131 Tìm GTNN, GTLN A   x   x 2 132 Tìm giá trị nhỏ A  x   x  2x  2 133 Tìm giá trị nhỏ A   x  4x  12   x  2x  134 Tìm GTNN, GTLN : a) A  2x   x  b) A  x 99  101  x  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com a b  1 x y 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn (a b số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx   z x y với x, y, z > , x + y + z = 137 Tìm GTNN x2 y2 z2 A   x  y y  z z  x biết x, y, z > , 138 Tìm GTNN xy  yz  zx  A A 139 Tìm giá trị lớn : a) b) B  a b   a c   a d  a b    với a, b > , a + b b c   b d   c d  với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = A b c  cd ab 141 Tìm GTNN 142 Giải phương trình sau : a) x  5x  3x  12  d) x   x   với b + c a + d ; b, c > ; a, d b) x  4x  x  e) x  x   x   g) x  2x   x  2x   h) x   x   x   x   i) x  x   x  k)  x  x  x  l) 2x  8x   x   2x  m) x   x  x  o) x   x   c) 4x   3x   n) x   x  10  x   x   x  1  x  3x     2x p) 2x   x   2x   x    x  q) 2x  9x   2x   2x  21x  11  A  2  3 143 Rút gọn biểu thức : 144 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta ln có : 1 1    2 n   n 1 1 145 Trục thức mẫu : 146 Tính : a)   29  20 147 Cho  a)  18  20  2 1  b)   13  48 a      10  b) c) x  x 1   29  12  Chứng minh a số tự nhiên www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 32 b  32 17  12 17  12 b có phải số tự nhiên không ? 148 Cho 149 Giải phương trình sau : a)   c)   x 1 x  x    b)  x   x  3 x  5 x  x 3 2   1 x    1 x  3 d) x  x   150 Tính giá trị biểu thức : M  12  29  25  21  12  29  25  21 1 1     1 2 3 n 1  n 151 Rút gọn : 1 1 P     2 3 4 2n  2n  152 Cho biểu thức : A a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1     1   100 99  99 100 153 Tính : 1 1     n n 154 Chứng minh : A 155 Cho a  17  Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000 156 Chứng minh : 157 Chứng minh : a  a 1  a   a  x2  x  0 (a 3) (x 0) 158 Tìm giá trị lớn S  x   y  , biết x + y = 159 Tính giá trị biểu thức sau với 160 Chứng minh đẳng thức sau :    10    15      10    d) a a)  15 c)   2a  2a : A    2a   2a b)   2  48     1   e) 17     161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5 5   10  5 5 � 1 � � 1 � c) �   � 0,  1,01  � �3 4 1  1  � � � �  1 2 3� 3 � d)    3  � � 2 6 �2   � a) e) 27   48 2 1  b) 2   1,9 g) 17  12    www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x x  2x  = y 0, phơng Vậy phơng trình xác định với giá trị x Đặt trình có dạng : � y3 � y  2 (loai y �0 y2 - y - 12 =  (y - )(y + 2 ) =  � Do x  2x  =  x2 + 2x + = 18  (x 3)(x + 5) =  x = ; x = -5 191 Ta có : 1 � � � �1 �1 �1  k  k�   � k �  � � � (k  1)k (k  1) k k 1 � k 1 � �k k  � �k �k � k � � �1 1 � �1 1  2�  � � �  � � k 1 � k 1 � �k k  � �k = � Do : (k  1) k Vậy : 1 1 � � � � �1 �1      2� 1  2�    �  � � � (n  1) n 3� n 1 � � 2� �2 �n � � 2� 1 � n  � � = (đpcm)  ab a  b 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a 0) y = b (1) a, b  Q a) Nếu b = x = y = 0, x , y  Q 193 Đặt x y = a , b) Nếu b xy a a  � x y � b x y b Q 1� a � x � b  �� Q ; 2� b� Từ (1) (2) : 199 Nhận xét :   x +  x  x2  a2 � x2  a2  x  1� a � y � b  ��Q 2� b�  x2  a2  x  a2  5a (1) � x  x  a x2  a2 (2)  Do : �  x2  a2  x 2 Do a nên : x  a  x  x  x  x  x �0 Suy : Vì : (1)  x -� a2   -x � a2 x  5x x2 a2  x2  a2  x  x2  a2 x  a  x  , x x �0 � � �x  � � � 25x �9x  9a � � www.thuvienhoclieu.com Trang 42 www.thuvienhoclieu.com x �0 � � � � 0x� a � x 207 c) Trước hết tính x theo a đợc x a  2a a(1  a) Sau tính  x a(1  a) Đáp số : B = d) Ta có a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tơng tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2 208 Gọi vế trái A > Ta có A2  2x  x Suy điều phải chứng minh 1  2 2 209 Ta có : a + b = - , ab = - nên : a + b = (a + b) 2ab = + 17   a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = -  4 17 � � 239  �  �  1   64 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) a3b3(a + b) = � 64 � 2 210 a) a  (  1)   2   a  (  1)3  2       50  49 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B  N Suy : A2 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 kiện A2 2B2 = đợc thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 kiện 2B2 A2 = đợc thỏa mãn (2) 211 Thay a = )n = A - B = )n = B - A = A  2B2 Điều 2B2  A Điều vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c)  Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 2x 2a =  x(x2 2) + a(x2 2) =  (x2 2)(x + a) = www.thuvienhoclieu.com Trang 43 www.thuvienhoclieu.com - a Các nghiệm phương trình cho là: 1    n 212 Đặt a) Chứng minh A  n  : Làm giảm số hạng A : A 2   2 k k k k 1  k     k 1  k     A  �        n  n  � � � Do  n 1   n 1  2  n 1   n    b) Chứng minh A  n  : Làm trội số hạng A :     2    k  k 1 k k k k  k 1 A  � n  n       � n  � � Do :  213 Kí hiệu   a n       có n dấu Ta có : a1   ; a   a1    ; a   a    a100   a 99    Hiển nhiên a100 > > Nh < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có  48 nên < <  13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 215 Đặt x y = a ; : a) Nếu b x y b xy a  � x y b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp x y 1� a � x  �b  � � b �là số hữu tỉ ; Ta có : b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên 216 Ta có a b số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) 1� a � y � b � � b �là số hữu tỉ x , y số hữu tỉ n � � � �1 �1 �1   n�   � n �  � � � (n  1) n n(n  1) n 1 � n 1 � �n n  � �n �n www.thuvienhoclieu.com Trang 44 www.thuvienhoclieu.com � n � � �1 � �1 � 1 � �  � �  � n 1 � � n n 1 � �n � n 1 � Từ ta giải đợc tốn 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < < a25 Suy : a1 , a2 , … a25 25 Thế : 1 1 1    �    a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2         1  25 24 25  25 24  24 2 2 2       25  24  24  23      24  24 23  23 2  2   25    1    9 a1 a2 a 25 Từ (1) (2) suy : hai số 25 số a1 , a2 , , a25 218 Điều kiện : x Đặt  (2) , trái với giả thiết Vậy tồn  x  a �0 ;  x  b �0 Ta có : ab =  x , a2 + b2 = Phương trình :  a2 - a2b + b2 + ab2 =  a2 b2   2a 2b (2 - b + a - ab) (a2 + b2 + ab) ab(a b) = 2(a b) (2 + ab) = (a b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4)  a b = (do ab + 0) Bình phơng : a2 + b2 2ab =  2ab =  ab =   x = Tìm đ-  ợc x = 219 Điều kiện : < x , a Bình phương hai vế thu gọn : 1 x2  a 1 a 1 a Với a 1, bình phương hai vế, cuối đợc : x = a  Điều kiện x thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) a Kết luận : Nghiệm x = a  Với a 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz 0, hiển nhiên x, y, z > x Từ hệ phương trình cho ta có : 2y 2y �  y 1 y y www.thuvienhoclieu.com Trang 45 www.thuvienhoclieu.com Tơng tự y � z ; z � x Suy x = y = z Xảy dấu = bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B cho < B < 10 A + B số tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : 83 7   � 83 107   107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b  N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên  B  107 A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu Do phẩy Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tơng tự nh câu a n số tự nhiên, n khác số n khơng có dạng ,5 Do ứng với 222 Ta thấy với n số phương phơng n số vơ tỉ, nên số n  N* có số nguyên an gần n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta chứng minh an lần lợt nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1  x  1 2 có hai nghiệm tự nhiên 1 2  x  2 2 có bốn nghiệm tự nhiên 1 3  x  3 2 có sáu nghiệm tự nhiên 1 k  x k 2 có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng Tổng quát : 1 thức tơng đơng với : k2 k + < x < k2 + k + Rõ ràng bất phơng trình 1 có 2k nghiệm tự nhiên : k2 k + ; k2 k + ; ; k2 + k Do : � � � � �� �1 1 1 1� �1 1 � 1� �      � �    �  �    � 2.44  88 a1 a2 a1980 � 1 2 2 44 44 44 � �1 44 4 �{ � �1 44 43 � soá 88 soá �2 soá � � � � � 223 Giải tơng tự 24 www.thuvienhoclieu.com Trang 46 www.thuvienhoclieu.com a) < an < Vậy [ an ] = b) an Vậy [ an ] = c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n 45 < an < 46 Nh với n = [ an ] = 44, với n [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B A < B + Làm giảm làm trội A để đợc hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2  4n + < < 4n + 16n2  8n   4n2 + 4n + < 4n2 + 16n  8n  < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n +  (2n + 1)2 < 4n2 + 16n  8n  < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận (2)  Ta chọn y = 3  200 Ta có <  < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) đợc chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x y   3  200   3  200   5  100   5  100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a (3) ; b2 = 10b (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 �- Sn+1 (mod 10) Do Sn+4 �- Sn+2 �Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh  3  250   5  125 226 Biến đổi Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có :         � � � � � � � � � � � � � � � A � �1�  � 3� � 4�  � 8� � 9�  �15� �16�  � 24� www.thuvienhoclieu.com Trang 47 www.thuvienhoclieu.com Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x 228 a) Xét x Viết A dới dạng : A = (3 x) Áp dụng bất đẳng x x x x thức Cauchy cho số không âm , , (3 x) ta đợc : (3 x) �x x � �2   3 x � � � � � � � Do A (1) b) Xét x > 3, A (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : �x �  3 x maxA  � �2 � x � x �0 � 229 a) Lập phơng hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đợc : x  1  x  3.3 (x  1)(7  x).2  � (x  1)(7  x)   x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x - (1) Đặt x   y ; x   z Khi x = y2 ; x + = z2 nên z2 y3 = Phương trình cho đa hệ : �y  z  (2) �2 z  y  (3) � � z �0 (4) � Rút z từ (2) : z = y Thay vào (3) : y3 y2 + 6y =  (y 1)(y2 + 6) =  y=1 Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1   2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dơng a, b mà ơng hai vế : a  b  Bình ph- a  b  ab  � ab   (a  b) Bình phơng vế : 4ab = + (a + b)2 2(a + b)  2(a + b) = + (a + b)2 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b 0), mâu thuẩn www.thuvienhoclieu.com Trang 48 www.thuvienhoclieu.com m3 m 3 231 a) Giả sử số hữu tỉ n (phân số tối giản) Suy = n Hãy m chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết n phân số tối giản m b) Giả sử  số hữu tỉ n (phân số tối giản) Suy : m3 m 6m 3     3.3   � m3  6n3  6mn2 (1) � m3 M2 � m M2 n n n   Thay m = 2k (k  Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2  4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho  n3 chia hết cho  n chia hết cho Nh m n m chia hết cho 2, trái với giả thiết n phân số tối giản 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh x3  y3  z3 a b c �xyz hay � abc 3 tơng đơng với x3 + y3 + z3 3xyz Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2] (bài tập 3 sbt) Do a, b, c nên x, y, z 0, x + y + z 3xyz Nh : a b c � abc Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm Ta có : a  b  c  d �a  b c  d �  �  ab  cd � ab cd  abcd �� 2� 2 � �a  b  c  d � a b c d � ��abcd � Trong bất đẳng thức � , đặt ta đợc :   a b c � � a  b  c  � a b c a b  c �a  b  c � �� � � abc � � abc 3 � � � � � � a b  c Chia hai vế cho số dương (trường hợp số a, b, c �a  b  c � abc � ��۳ 0, toán chứng minh) : � � a b c 3 abc a b c Xảy đẳng thức : a = b = c =  a=b=c=1 www.thuvienhoclieu.com Trang 49 www.thuvienhoclieu.com b c d a   �1  a  a  Áp dụng bất 233 Từ giả thiết suy : b  c  d  đẳng thức Cauchy cho số dương : b c d bcd �   �3.3 a b c  d  (b  1)(c  1)(d  1) Tơng tự : acd �3.3 b (a  1)(c  1)(d  1) abd �3.3 c (a  1)(b  1)(d  1) abc �3.3 d1 (a  1)(b  1)(c  1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1� 81abcd abcd 81 x2 y2 z2 A 2 2 y z x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 234 Gọi �x2 y2 z2 � �x y z � 3A  �   � (1 1 1) ��   � �y z x � �y z x � (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z x y z   �3.3  y z x y z x (2) Nhân vế (1) với (2) : �x y z � �x 3A �  ��  3� �y z x � �y y z z� � x� A x y y z z x 3 3 235 Đặt x  3 ; y  3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 a3 , ta đợc : b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n  1) n(n  1)(n  2) n(n  1) 2.1 � 1� 1 � 1 n  2   n � n 2! n 3! n n! n � n� 1� �1 1 1 �    � n! � �2! 3! < 1 1 1    �     2! 3! n! 1.2 2.3 (n  1)n Dễ dàng chứng minh : www.thuvienhoclieu.com Trang 50 www.thuvienhoclieu.com = 1 1 1 1       1  2 n1 n n (1 )n  n Do b) Với n = 2, ta chứng minh  3   2 Với n (2) �   (1) Thật vậy, (1)   32 > 22 n 3, ta chứng minh n1  n n(n1)   n n n  n1 n  n(n1) (2) Thật : n1 � (n  1)  n n (n  1)n �  n� nn n � 1� 1 � n � � n� (3) n � 1� 1 � � n� � Theo câu a ta có , mà Do (2) đợc chứng minh  n nên (3) đợc chứng minh  A  x2  1 x4  x2  �4 237 Cách : Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = với x = A �24 (x2  x  1)(x2  x  1)  24 x4  x2  �2 A = với x = 238 Với x < A (1) Với x 4, xét - A = x2(x 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : �x x �   x  2� � A x x �2x  � 2   (x  2) �� � � � �8 2 3 � � � � � � - A 32  A - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 �x2 x2 �    x2 � 2 � x x A  x4(9  x2 )  (9  x2) �4�2 � 4.27 2 � � � � � � max A = với x = 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với x < A = x(x2 6) Ta có x  x2  x2 Với x Suy x(x2 6) max A = với x = Cách : A = x(x2 9) + 3x Ta có x 0, x2 0, 3x 9, nên A max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 6x = x3 + (2 )3 6x (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) 6x - 16 www.thuvienhoclieu.com Trang 51 www.thuvienhoclieu.com = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 3 x 2.2 = 6x Suy x3 6x - A = - với x = 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dơng : 4V = 4x(3 2x)(3 2x) �4x  3 2x  3 2x � � � � �= x x x 3-2x 3-2x x x x max V =  4x = 2x  x = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ dm 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt  x  a; x  1 b Đáp số : ; ; 10 c) Lập phơng hai vế Đáp số : ; d) Đặt 2x  = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, đợc (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = 1�  x = y Đáp số : ; x  x2  e) Rút gọn vế trái đợc : Đáp số : x = 3 g) Đặt 7 x  a; x   b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, vế a3  b3 Phương trình cho trở thành : phải phương trình cho   a3  b3 a b a b = a  b a3  b3  3 Do a3 + b3 = nên a  b a  b  (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) Do a + b nên : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta đợc x = Từ ab = ta đợc x = ; x = h) Đặt x  1 a; x  1 b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 b3 = (2) Từ (1) (2) : a b = Thay b = a vào (1) ta đợc a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + 0, chia hai vế cho 3 x www.thuvienhoclieu.com x Trang 52 x www.thuvienhoclieu.com x1 x  a; b x x Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô Đặt nghiệm Cách : Đặt vế ta : x  = y Chuyển vế : y3   y3   y Lập phương hai 3 y3 + y3 + + y  (- y) = - y3  y3 = y y6  Với y = 0, có nghiệm x = - Với y 0, có y2 = y  Lập phơng : y6 = y6 Vô nghiệm Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phơng trình vơ nghiệm, xem bảng : x x < -2 x > -x x1 3 < -1 > -1 x < > < > k) Đặt + x = a , x = b Ta có : a + b = (1), m n mn � , ta có : Theo bất đẳng thức Cauchy x Vế trái < > ab  a  b = (2) a  b 1 a 1 b    2 1 a 1 b a b  a  b  1�   1  2 2 3 a b  a  b � Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a  x  m �0; b  x  n �0 m4 + n4 = a + b 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m  n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, cịn m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x a , x b để thức có nghĩa Giả sử a b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 (a b không đồng thời 0) 4 x  x y  y x  2x y  y  2x y A  3 a  x ; b  y x  xy  y x  xy  y Đặt , ta có : = x   y   (xy) 2 x  xy  y 2 x   y  xy   x  y  xy  x  y  xy 2  x  y  xy Vậy : A  a  b  ab (với a2 + b2 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 3 www.thuvienhoclieu.com Trang 53 www.thuvienhoclieu.com A  x  x   x  x  �2 x  x  x  x   (x  x  1)(x  x  1) 2 � �x  x   x  x  � x0 �4 4 x  x   � x  x  � = Đẳng thức xảy : Ta có A 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A =  x = 245 Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên 246 Ta có :3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta đợc biểu thức thu gọn : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b  Z nên p = 4a + b + 42  Z q = 2a + b + 18  Z Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = Nếu q p = - q , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = Vậy + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 4a  b  42  � � 2a  b  18  � Suy a = - 12 ; b = p p p3 3 246 Giả sử số hữu tỉ q ( q phân số tối giản ) Suy : = q Hãy p chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết q phân số tối giản 247 a) Ta có : Do : 1  1   1 2    2    2   2  2  32  2  1 b)    1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a  20  14  20  14  3 (20  14 2)(20  14 2).a � a  40  3 20  (14 2) a  a3 6a 40 =  (a 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 >  a = 249 Giải tơng tự 21 250 A = +  251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x =  Suy x3 = 12 + 3.3x  x3 9x 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A B)3 = A3 B3 3AB(A B) Tính x3 Kết M=0 253 a) x1 = - ; x2 = 25 3 www.thuvienhoclieu.com Trang 54 www.thuvienhoclieu.com � u  v3  � � 3 u = x , v = x b) Đặt , ta : �v  u   u = v = -  x = c) Đặt : x  32  y  Kết x = A x3    x3  1 254 Đa biểu thức dạng : | = | A + B | A =  -1 x 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x  y x  y P  x  a  Áp dụng | A | + | B � P  23 x   x  b = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a 258 Ta có : (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x a)(x b)  a x b Vậy P = b a  a x b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a  b  c)  (b  c  a) (a  b  c)(b  c  a) � b (b  c  a)  (c  a  b) (b  c  a)(c  a  b) � c (c  a  b)  (a  b  c) (c  a  b)(a  b  c) � a Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy a + b c = b + c a = c + a b  a = b = c (tam giác đều) x  y  (x  y)  (x  y)  4xy    2 260 261 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 Ta có : c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A =    262 Đa pt dạng : 263 Nếu x y = x   y �0 M  x    z5 3    x  1  y3 2   x 1   x 1  264 Đặt : 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 2xy Nhng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy 64 Do : max xy = 64  x = y = 266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 2ab  2c2 a2 +b2 + 2ab  2c2 (a + b)2  c a + b ab  c Dấu đẳng thức xảy a = b www.thuvienhoclieu.com Trang 55 www.thuvienhoclieu.com 267 Biến đổi ta : 268 x - ; x  a 'b  ab '    a 'c  ac'    b 'c  bc '  0 -Hết - www.thuvienhoclieu.com Trang 56 ... 2y 2 �x   1 2 max B    � � � y   2 4 � �x  � �y  1 ,b 199 7  199 6 199 8  199 7 Ta thấy 183 199 7  199 6  199 8  199 7 a Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = với x = b) B = với x... Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a <  a(a 1) <  a2 a <  a2 < a Từ a2 < a < suy a < a < 0 ,99 9 99 14 43  0 ,99 9 99 14 43 20chữs? ?9 20chữs? ?9 Vậy 69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b... Cauchy : A x   99 99  101 x2 �x (99  1) (99  101 x2)  x 10 200  x2   10 x2  200  x2  1000 www.thuvienhoclieu.com Trang 35 www.thuvienhoclieu.com � x2 �101 � 99 � 99 A  1000 � � 