Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bán kính và có tâm lần lượt là và . Gọi là một dây cung của đường tròn ( không đi qua ). Một mặt phẳng đi qua và tạo với đường thẳng một góc cắt đường tròn tại , , biết là hình thoi. Tính thể tích khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho theo .
THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC 2020 MƠN TỐN Thời gian làm bài:90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = ( − 2i ) điểm đây? A P ( 0; − ) B Q ( 0;8 ) C N ( 4; −4 ) D M ( 4; ) Câu Xét tất số thực dương a b thỏa mãn log ( a + b ) = + log ( ab ) Mệnh đề đúng? A a = b B a = b + ab C a = − b D a = − b Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) vng góc với đường thẳng d có phương trình x −1 y z +1 = = Vectơ sau vectơ pháp tuyến mặt −5 phẳng ( P ) ? r r A n = ( 2;3;5 ) B n = ( 4; 6; −10 ) r r C n = ( −2;3;5 ) D n = ( 2; −3; −5 ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) hình vẽ Tọa độ điểm cực tiểu ( C ) A ( 0; −4 ) B ( 1;0 ) C ( 0; −2 ) D ( −2; ) Câu Cho khối nón có độ dài đường sinh 10 , diện tích xung quanh 60π Thể tích khối nón cho A 360π B 288π C 120π D 96π Câu Diện tích mặt cầu đường kính 2a 4π a A B 16π a C 4π a 16π a D Câu Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm A ( −2; 7;5 ) qua mặt phẳng ( Oxz ) điểm B có tọa độ A B ( 2;7;− 5) B B ( −2;− 7;5) C B ( −2;7;− 5) D B ( 2;− 7;− ) Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có ABCD hình vng, BD = 2a AA′ = 6a Thể tích hình hộp cho A 54a B 216a 54a C 216a D Câu Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = Giá trị biểu thức P = z12 z22 + z2 z1 B P = − A P = 11 D P = C P = −4 Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ −1;3] có đồ thị hình bên Hỏi phương trình f ( x ) − = có nghiệm đoạn [ −1;3] ? A B C D Câu 11 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x + x D − cos x + x B − cos x + x3 + C A cos x + 3x3 + C C cos x + x + C Câu 12 Cho f ( x ) hàm số liên tục [ −2;5] P= −2 −2 ∫ f ( x ) dx = 8, ∫ f ( x ) dx = −3 Tính ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx A P = −5 B P = 11 B q = C P = −11 D P = Câu 13 Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = u4 = −9 Công bội cấp số nhân cho bằng: A q = C q = − D q = −3 Câu 14 Nghiệm phương trình log x + log x = log là: D x = 3 Câu 15 Cho khối chóp S ABCD tích a3 , đáy ABCD hình vng Biết chiều cao khối chóp h = 3a Cạnh hình vng ABCD a A a B C a D a A x = 3 B x = C x = Câu 16 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y = −x + x+2 B y = −x +1 x−2 C y = x+2 x−2 D y = x−2 x+2 Câu 17 Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = a , AC = 2a Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AD đường gấp khúc ABCD tạo thành hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ bằng: A 2π a B 4π a C 2π a D π a Câu 18 Hàm số f ( x ) = x +6 có đạo hàm A f ′ ( x ) = ( x + ) x +5 B f ′ ( x ) = x +6 ln 2 C f ′ ( x ) = ( x + ) x + ln D f ′ ( x ) = x7 x +6 ln Câu 19 Có số tự nhiên có hai chữ số khác mà chữ số lấy từ tập hợp X = { 1;2;3; 4;5;6;7;8} ? A C82 B 82 C A82 D 28 2 Câu 20 Cho a số thực dương Viết biểu thức P = a a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 19 −1 A P = a 15 B P = a 15 C P = a D P = a 15 Câu 21 Tìm phần ảo số phức z thỏa mãn ( + i ) z = − 7i 13 Câu 22 Số nghiệm nguyên phương trình ( x − 1) ln ( − x ) > A B C B − A 13 i C − D D Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C D Câu 24 Số phức z thỏa mãn z − = z ( z + 1) ( z − i ) số thực Giá trị z A + 2i B −1 − 2i C − i D − 2i x +1 y z − = = Viết phương trình 1 mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d song song với trục Ox Câu 25 Trong không gian Oxyz , A ( P ) : x − z − = C ( P ) : x − y + = Câu 26 Cho hàm số f ( x ) = A cho đường thẳng d : B ( P ) : y + z − = D ( P ) : y − z + = x4 + x − x + 2020 Số điểm cực trị hàm số f ( x ) B C D Câu 27 Cho số phức z = a + bi thỏa mãn z + z = + i Giá trị biểu thức 3a + b A B C D Câu 28 Đồ thị ( C ) hàm số y = x +1 đường thẳng y = x − cắt hai điểm A x −1 B độ dài AB A B 2 C D x −1 hai đường thẳng y = x+2 , y = − x + (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích S hình phẳng ( H ) Câu 29 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = A S = + 3ln B S = − 3ln C S = 3ln D S = −4 + 3ln Câu 30 Cho y = f ( x ) hàm số có đạo hàm ¡ , đặt I = ∫ xf ′ ( x ) dx Khẳng định đúng? A I = ∫ f ( x ) dx − f ( 1) B 0 I = ∫ f ( x ) dx + f ( 1) 1 C I = ∫ f ( x ) dx + f ( 1) D 0 I = ∫ f ( x ) dx − f ( 1) Câu 31 Tập nghiệm bất phương trình A S = [ 1; + ∞ ) B S = ( −∞;1] ( 5+2 ) x −1 ≤ ( 5−2 ) x −1 C S = ( −∞;1) D S = ( 1; + ∞ ) Câu 32 Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a < , b < , c < , d < B a > , b > , c > , d < C a > , b < , c < , d > D a > , b > , c < , d > Câu 33 Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a ∠SAO = 30o , ∠SAB = 60o Diện tích xung quanh hình nón bằng: A S xq = π a2 B S xq = 2π a C S xq = π a D S xq = 2π a Câu 34 Trong khơng gian Oxyz , cho hình cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Oy cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện đường trịn có chu vi băng 8π A ( α ) : x + z + = B ( α ) : 3x + z = C ( α ) : x − 3z = D ( α ) : 3x − z = Câu 35 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt 2 a phẳng đáy SA = , gọi I trung điểm BC (minh họa hình bên) Góc đường thẳng SI mặt phẳng ( ABC ) A 45o B 40o C 60o D 30o Câu 36 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm A ( −1;1; ) song song với hai x −1 y + z − x y − z +1 = = = , ∆′ : = có phương trình 2 1 x − y − z + 10 = B x + y + z − = C x − y + z − = D x + y − z + = đường thẳng ∆ : A x3 x Câu 37 Cho hàm số f ( x ) = − − x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −2;3) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −2; +∞ ) Câu 38 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −4;3) tiếp xúc với trục Ox Phương trình mặt cầu ( S ) là: 2 2 2 A ( x − ) + ( y + ) + ( z − 3) = 25 B ( x − ) + ( y + ) + ( z − 3) = C ( x + ) + ( y − ) + ( z + 3) = D ( x + ) + ( y − ) + ( z + 3) = 25 Câu 39 Cho hàm số y = ( 2m + 1) tan x + tan x + m ( m tham số thực) Có giá trị nguyên π m thuộc khoảng ( −2020; 2020 ) để hàm số cho đồng biến khoảng 0; ÷ ? A 2020 B 4037 C 2019 D 4038 Câu 40 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x log ( x + 1) = log 9 ( x + 1) 2m có hai ngiệm thực phân biệt B m ∈ [ −1;0 ) A m ∈ ( −1; ) C m ∈ ( −2; ) D m ∈ ( −1; +∞ ) Câu 41 Cho hàm số y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) có bảng biến thiên sau: Giá trị nhỏ biểu thức P = a + c + b A B − C D −3 Câu 42 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn bán kính R có tâm O O′ Gọi AB dây cung đường tròn ( O; R ) ( AB không qua O ) Một mặt phẳng qua AB tạo với đường thẳng OO′ góc 60o cắt đường trịn ( O′ ) C , D , biết ABCD hình thoi Tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho theo R π R3 2π R 2π R B π R C D 21 ( x + 5x + ) e x dx = ae − b − ln ae + c Câu 43 Biết ∫ với a, b , c số nguyên e số x + + e− x A logarit tự nhiên Tính S = 2a + b + c A S = 10 B S = C S = D S = Câu 44 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , SA ⊥ ( ABCD ) Góc SB mặt phẳng đáy 45° , E trung điểm SD , AB = 2a, AD = DC = a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACE ) A 2a B 4a C a D 3a Câu 45 Cho đa giác ( H ) có 20 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh ( H ) , tính xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vuông cho cạnh cạnh ( H ) A 114 B 38 C 114 D 57 Câu 46 Cho hai số thực x, y thỏa mãn e x + y +1 − e3 x+ y = x + y − Có giá trị nguyên m [ −25; 25] tham số thuộc để phương trình x − my + m + + x + y − y + mx + = x + y + có hai nghiệm thực phân biệt? x+2 log A 28 B 26 Câu 47 Tổng tất giá trị tham số m C 30 để hàm số D 32 1 y = m2 x5 − mx + 10 x − ( m − m − 20 ) x + đồng biến ¡ 5 A B C −2 2 D Câu 48 Biết đồ thị hàm số bậc bốn y = f ( x) cho hình vẽ sau: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( x ) − f ( x ) f '' ( x ) trục hoành A B C D Câu 49 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ tích V Gọi M điểm thuộc đoạn AB′ , N trung điểm D′C ′ , V1 thể tích khối đa diện lồi gồm đỉnh D, M , B′, N , D′ Để V1 MB′ = tỷ số bằng: V 10 MA A B C ( 2 2 D ) a + b +c − + (a − 1) + (b − 1) + (c − 1) = a+b+c Câu 50 Cho a, b, c số thực thỏa mãn 2 3a + 2b + c gọi S tập hợp gồm giá trị nguyên P Số phần a +b+c tử tập hợp S là: A Vô số B C D Đặt P = BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.B 21.C 31.B 41.B 2.A 12.B 22.B 32.C 42.D 3.B 13.D 23.A 33.C 43.B 4.A 14 24.D 34.D 44.B 5.D 15.A 25.D 35.C 45.D 6.C 16.C 26.D 36.D 46.C 7.B 17.C 27.C 37.B 47.A 8.A 18.D 28.A 38.A 48.B 9.C 19.C 29.C 39.C 49.D 10.B 20.A 30.B 40.D 50.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu [ Mức độ 1] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = ( − 2i ) điểm đây? A P ( 0; − ) B Q ( 0;8 ) C N ( 4; −4 ) D M ( 4; ) Lời giải 2 Ta có: z = ( − 2i ) = −8i Suy điểm biểu diễn số phức z = ( − 2i ) P ( 0; − ) Câu [ Mức độ 1] Xét tất số thực dương a b thỏa mãn log ( a + b ) = + log ( ab ) Mệnh đề đúng? A a = b B a = b + ab C a = − b D a = − b Lời giải Với a, b > ta có: ( a + b ) = + log ( ab ) ⇔ log ( a + b ) = log + log ( ab ) 2 ⇔ log ( a + b ) = log ( 4ab ) ⇔ ( a + b ) = 4ab ⇔ a − 2ab + b = ⇔ ( a − b ) = log ⇔a=b Câu [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) vng góc với đường thẳng d có phương trình tuyến mặt phẳng ( P ) ? r A n = ( 2;3;5 ) r C n = ( −2;3;5 ) x −1 y z + = = Vectơ sau vectơ pháp −5 r B n = ( 4; 6; −10 ) r D n = ( 2; −3; −5 ) Lời giải uu r Ta có vectơ phương đường thẳng d ud = ( 2;3; − ) Vì mặt phẳng ( P ) vng góc với đường thẳng d nên ( P ) có vectơ pháp tuyến uu r phương với ud = ( 2;3; − ) Từ đáp án cho ta thấy ( P ) có vectơ pháp r tuyến n = ( 4;6; −10 ) Câu [ Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) hình vẽ Tọa độ điểm cực tiểu ( C ) A ( 0; −4 ) B ( 1;0 ) C ( 0; −2 ) D ( −2; ) Lời giải Nhìn vào đồ thị ta thấy tọa độ điểm cực tiểu ( C ) ( 0; −4 ) Câu [ Mức độ 1] Cho khối nón có độ dài đường sinh 10 , diện tích xung quanh 60π Thể tích khối nón cho A 360π B 288π C 120π D 96π Lời giải Ta có S xq = π r.l ⇒ r = S xq π l = h = l − r = Vậy thể tích khối nón cho là: V = π r 2h = 96π Câu [ Mức độ 1] Diện tích mặt cầu đường kính 2a A 4π a B 16π a C 4π a D 16π a Lời giải Bán kính mặt cầu R = a Do diện tích mặt cầu S = 4π R = 4π a Câu [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm A ( −2;7;5 ) qua mặt phẳng ( Oxz ) điểm B có tọa độ A B ( 2;7;− 5) B B ( −2;− 7;5) C B ( −2;7;− 5) D B ( 2;− 7;− ) Lời giải Hình chiếu vng góc điểm A ( −2; 7;5) mặt phẳng ( Oxz ) điểm H ( −2;0;5 ) Điểm B điểm đối xứng với A qua mặt phẳng ( Oxz ) nên H trung điểm AB Vậy đối xứng với điểm A ( −2; 7;5) qua mặt phẳng ( Oxz ) điểm B ( −2;− 7;5) Câu [ Mức độ 1] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có ABCD hình vng, BD = 2a AA′ = 6a Thể tích hình hộp cho A 54a3 B 216a C Lời giải 54a D 216a Ta có AB = BD = 3a Thể tích hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ V = S ABCD AA′ = ( 3a ) 6a = 54a Câu [ Mức độ 1] Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = Giá trị biểu thức P = z12 z22 + z2 z1 B P = − A P = 11 C P = −4 D P = Lời giải Phương trình z − z + = có hai nghiệm z1 = + 3i z2 = − 3i ( ) ( ) 2 z2 z2 + 3i − 3i P= + = = −4 + z2 z1 − 3i + 3i Câu 10 [ Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ −1;3] có đồ thị hình bên Hỏi phương trình f ( x ) − = có nghiệm đoạn [ −1;3] ? A B C D Lời giải Ta có f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = x +1 y z − = = Viết 1 phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d song song với trục Ox Câu 25 [ Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : B ( P ) : y + z − = D ( P ) : y − z + = A ( P ) : x − z − = C ( P ) : x − y + = Lời giải r Đường thẳng d qua điểm A ( −1;0; ) có vectơ phương u = ( 2;1;1) r Trục Ox có vectơ đơn vị i = ( 1;0;0 ) Do mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d song song với trục Ox nên có vectơ r r pháp tuyến u , i = ( 0;1; − 1) Phương trình mặt phẳng ( P ) : ( x + 1) + ( y − ) − ( z − ) = ⇔ y − z + = Câu 26 [ Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) = A x4 + x − x + 2020 Số điểm cực trị hàm số f ( x ) B C D Lời giải Xét hàm số f ( x ) = x + x − x + 2020 TXĐ: D = ¡ f ′ ( x ) = x + 3x − ; f ′ ( x ) = ⇔ x + 3x − = ⇔ ( x + 1) Ta thấy phương trình f ′ ( x ) = có nghiệm đơn x = ( x − 1) = nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị Câu 27 [ Mức độ 2] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn z + z = + i Giá trị biểu thức 3a + b A B C D z = a + bi với a, b ∈ ¡ Lời giải 3a = a = z + z = + i ⇔ ( a + bi ) + a − bi = + i ⇔ ⇔ b = b = Vậy 3a + b = Câu 28 [ Mức độ 2] Đồ thị ( C ) hàm số y = x +1 đường thẳng y = x − cắt x −1 hai điểm A B độ dài AB A B 2 C Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x ≠ x ≠ x = x +1 = 2x −1 ⇔ ⇔ ⇔ x −1 x + = ( x − 1) ( x − 1) x = 2 x − x = Ta có A ( 0; −1) ; B ( 2;3) ⇒ AB = D x −1 hai x+2 đường thẳng y = , y = − x + (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích S hình phẳng ( H ) Câu 29 [ Mức độ 2] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = A S = + 3ln B S = − 3ln C S = 3ln D S = −4 + 3ln Lời giải Dựa vào đồ thị ta có −3 −1 −3 −1 x −1 S = ∫ − ÷dx + ∫ ( − x + − ) dx = ∫ −1 − ÷dx + ∫ ( − x − 1) dx x + x + −5 −3 −5 −3 −1 x2 = ( − x − 3ln x + ) + − − x ÷ = 3ln −5 −3 −3 Câu 30 [ Mức độ 2] Cho y = f ( x ) hàm số có đạo hàm ¡ , đặt I = ∫ xf ′ ( x ) dx Khẳng định đúng? A I = ∫ f ( x ) dx − f ( 1) B 0 I = ∫ f ( x ) dx + f ( 1) 1 C I = ∫ f ( x ) dx + f ( 1) D 0 I = ∫ f ( x ) dx − f ( 1) Lời giải u = x du = dx ⇒ Đặt dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 0 Ta có I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) + ∫ f ( x ) dx Câu 31 [Mức độ 1] Tập nghiệm bất phương trình A S = [ 1; + ∞ ) B S = ( −∞;1] ( 5+2 ) x −1 C S = ( −∞;1) ≤ ( 5−2 ) x −1 D S = ( 1; + ∞ ) Ta có ( + ) x −1 ≤ ( 5−2 ) x −1 ⇔ ( Lời giải 5+2 ) x −1 ≤ ( Vậy tập nghiệm bất phương trình ( 5+2 5+2 ) x −1 ) ≤ − x +1 ( ⇔ x − ≤ − x + ⇔ x ≤ 5−2 ) x −1 S = ( −∞;1] Câu 32 [Mức độ 2] Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a < , b < , c < , d < C a > , b < , c < , d > B a > , b > , c > , d < D a > , b > , c < , d > Lời giải lim y = +Ơ ị a > Da vo th hm s Ta cú xđ+Ơ Ta cú y = 3ax + 2bx + c Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên 3a.c < ⇒ c < Tổng hai điểm cực trị dương nên − 2b > ⇒ b < 3a Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm có tung độ dương nên d > Câu 33 [ Mức độ 3] Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a ∠SAO = 30o , ∠SAB = 60o Diện tích xung quanh hình nón bằng: A S xq = π a2 B S xq = 2π a C S xq = π a D S xq = 2π a Lời giải Gọi I trung điểm AB , ta có OI = a Đặt OA = r = x ( x > ) OI ⊥ AB , hay khoảng cách từ O đến AB Xét tam giác SOA vng O , có: · cos SAO = cos 30o = SO = SA2 − OA2 = Tam giác SAB Khi SI = Xét tam giác OA 2x ⇒ SA = =l , SA x − x2 = x2 3 cân S ∠SAB = 60o suy ∆SAB SA = x SOI vng O, có: a SI = SO + OI ⇔ x = x + a ⇒ x = a a a ,l = = 2a S xq = π rl = π 2a = π a 2 Oxyz , Mức độ 3] Trong không gian cho Vậy r = Câu 34 [ hình cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Oy cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện đường trịn có chu vi băng 8π A ( α ) : x + z + = B ( α ) : 3x + z = C ( α ) : x − 3z = D ( α ) : 3x − z = 2 Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I = ( 1; 2;3) bán kính R = Gọi r bán kính đường trịn thiết diện mặt phẳng ( α ) mặt cầu ( S ) Khi chu vi Ctd = 2π r = 8π ⇒ r = Vì r = R = nên mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện đường tròn lớn qua tâm I Ta có mặt phẳng ( α ) chứa Oy nên O = ( 0; 0;0 ) ∈ ( α ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) thỏa: uuur uur n( α ) ⊥ OI r uur uuur r , với j = ( 0;1;0 ) , OI = ( 1; 2;3 ) n( α ) ⊥ j uuur uur r Suy n( α ) = OI ; j = ( −3;0;1) uuur Phương trình mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến n( α ) = ( −3;0;1) qua điểm O = ( 0;0;0 ) là: −3x + z = hay ( α ) : 3x − z = Câu 35 [ Mức độ 3] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , SA vng góc a với mặt phẳng đáy SA = , gọi I trung điểm BC (minh họa hình bên) Góc đường thẳng SI mặt phẳng ( ABC ) A 45o B 40o C 60o D 30o Lời giải Do SA ⊥ ( ABC ) , suy hình chiếu SI ( ABC ) AI · Vậy góc đường thẳng SI mặt phẳng ( ABC ) góc SIA a a Trong tam giác SIA vuông A với SA = , AI = ta có 2 a · = SA = = ⇒ SIA · = 60o tan SIA a AI Vậy góc đường thẳng SI mặt phẳng ( ABC ) 60o Câu 36 [ Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm A ( −1;1; ) song x −1 y + z − x y − z +1 = = = song với hai đường thẳng ∆ : , ∆′ : = có phương trình 2 1 A x − y − z + 10 = B x + y + z − = C x − y + z − = D x + y − z + = Lời giải uu r uur Véctơ phương đường thẳng ∆ u∆ = ( 2; 2;1) , ∆′ u∆′ = ( 1;3;1) Gọi ( α ) mặt phẳng song với hai đường thẳng ∆ ∆′ r uu r uur Véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) n = − u∆ ; u∆′ = ( 1;1; − ) Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) qua A ( −1;1; ) ( x + 1) + ( y − 1) − ( z − ) = ⇔ x + y − z + = x3 x2 − − x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −2;3) Câu 37 [ Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) = B Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −2; +∞ ) Lời giải TXĐ: D = ¡ Ta có f ′ ( x ) = x − x − x = −2 f ′ ( x ) = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = Bảng biến thiên Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −2;3) Câu 38 [ Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −4;3) tiếp xúc với trục Ox Phương trình mặt cầu ( S ) là: 2 2 2 A ( x − ) + ( y + ) + ( z − 3) = 25 B ( x − ) + ( y + ) + ( z − 3) = C ( x + ) + ( y − ) + ( z + 3) = D ( x + ) + ( y − ) + ( z + 3) = 25 Lời giải Gọi R bán kính mặt cầu ( S ) H hình chiếu I trục Ox suy H ( 2;0;0 ) R = IH = ( − 2) + ( + ) + ( − 3) = 2 Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −4;3) bán kính R = 2 Phương trình mặt cầu ( S ) ( x − ) + ( y + ) + ( z − 3) = 25 ( 2m + 1) tan x + ( m tham số thực) Có tan x + m giá trị nguyên m thuộc khoảng ( −2020; 2020 ) để hàm số cho đồng biến π khoảng 0; ÷? 2 A 2020 B 4037 C 2019 D 4038 Câu 39 [ Mức độ 3] Cho hàm số y = Lời giải π Ta thấy với x ∈ 0; ÷ < cos x < tanx > 2 Ta có y′ = 2m + m − cos x ( tanx + m ) π π Hàm số đồng biến khoảng 0; ÷ y′ > với x ∈ 0; ÷ 2 2 2m + m − cos x ( tanx + m ) 2 > với x ∈ 0; π ÷ 2 m < −1 2m + m − > ⇔ ⇔ m > ⇔ m > 2 −m ∉ ( 0; +∞ ) m ≥ Vì m số nguyên thuộc khoảng ( −2020; 2020 ) nên m ∈ { 1; 2; ; 2019} Vậy có 2019 giá trị nguyên m Câu 40 [Mức độ 3] Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x log ( x + 1) = log 9 ( x + 1) A m ∈ ( −1;0 ) 2m có hai ngiệm thực phân biệt B m ∈ [ −1;0 ) C m ∈ ( −2;0 ) D m ∈ ( −1; +∞ ) Lời giải Điều kiện: x > −1 2m Ta có x log3 ( x + 1) = log 9 ( x + 1) (*) ⇔ x log ( x + 1) = m log ( x + 1) + ⇔ x − = m (do x = không nghiệm log ( x + 1) (*)) Xét hàm số f ( x ) = x − log ( x + 1) ( −1;0 ) ∪ ( 0; +∞ ) ( −1; +∞ ) ; f ′( x) = 1+ > 0, ∀x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 0; +∞ ) ( x + 1) ln 3.log32 ( x + 1) Bảng biến thiên Từ BBT, ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt m ∈ ( −1; +∞ ) Câu 41 [Mức độ 3] Cho hàm số y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) có bảng biến thiên sau: Giá trị nhỏ biểu thức P = a + c + b A B − C D −3 Lời giải y′ = 3ax + 2bx + c a > a > a > ⇒ ⇔ Từ bảng biến thiên ta có: ′ b2 b − ac ≤ ac ≥ y ≥ 0, ∀x ∈ ¡ 2b +b Khi đó, P = a + c + b ≥ 2ac + b ≥ 2 2 3 ⇔ P ≥ b + ÷ − ⇒ P ≥ − 3 4 Vậy Pmin b=− = − đạt a = c = Câu 42 [ Mức độ 3] Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn bán kính R có tâm O O′ Gọi AB dây cung đường tròn ( O; R ) ( AB không qua O ) Một mặt phẳng qua AB tạo với đường thẳng OO′ góc 60o cắt đường trịn ( O′ ) C , D , biết ABCD hình thoi Tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho theo R 2π R A 21 B π R π R3 C Lời giải 2π R D ABCD hình thoi nên AB = CD ⇒ d ( O , AB ) = d ( O ′, CD ) Suy I giao điểm OO′ với ( ABCD ) ⇒ I trung điểm OO′ Gọi H trung điểm AB Ã Ã ị OIH = ( OO Â; ( ABCD ) ) = 600 · Đặt: OI = x > Þ OH = OI tan OIH = x ⇒ AB = AH = OA2 − OH = R − x Ta có: BC = HI = OI = 4x · cos OIH R 2R ⇒ OO′ = h = Do ABCD hình thoi nên AB = BC ⇔ R − 3x = x ⇔ x = Vậy thể tích khối trụ là: V = π R h = Câu 43 [Mức độ 3] Biết ∫ (x + 5x + 6) ex x+2+e −x 2π R 7 dx = ae − b − ln ae + c với a, b , c số nguyên e số logarit tự nhiên Tính S = 2a + b + c A S = 10 B S = C S = D S = Lời giải Ta có I = ∫ (x + 5x + 6) e x x + + e− x x + ) ( x + 3) e2 x ( dx = ∫ dx ( x + 2) e x + 1 x x Đặt t = ( x + ) e ⇒ dt = ( x + 3) e dx Đổi cận x = ⇒ t = 2, x = ⇒ t = 3e 3e 3e 3e t −1 3e + dt = ∫ 1 + Do I = ∫ ÷dt = ( t − ln t + ) = 3e − − ln ÷ t +1 t +1 2 Suy a = 3, b = 2, c = Vậy S = 2a + b + c = Câu 44 [ Mức độ 3] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , SA ⊥ ( ABCD ) Góc SB mặt phẳng đáy 45° , E trung điểm SD , AB = 2a, AD = DC = a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACE ) A 2a B 4a C a D 3a Lời giải Giả sử a = · = 45° ⇒ SA = AB = Gọi F trung điểm AD , ta có Ta có ( SB, ( ABCD ) ) = SBA FE ⊥ ( ABCD ) , FE = SA =1 d ( B, ( EAC ) ) = 2d ( D, ( EAC ) ) d ( D, ( AEC ) ) = d ( F , ( EAC )) Nên d ( B, ( ACE ) ) = d ( F , ( ACE )) 1 1 = + = 1+ 2 FM FE FH FH Kẻ FH ⊥ AC , FM ⊥ EH ⇒ FM = d ( F, ( EAC ) ) Kẻ DK ⊥ AC ⇒ DK = FH mà Vậy 1 2 = + = ⇒ DK = ⇒ FH = 2 DK DA DC 1 = + ⇒ FM = ⇒ d ( B, ( AEC ) ) = FM 3 Câu 45 [Mức độ 3] Cho đa giác ( H ) có 20 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh ( H ) , tính xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vuông cho khơng có cạnh cạnh ( H ) A 114 B 38 C 114 D 57 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C20 Gọi A biến cố “3 đỉnh lấy tạo thành tam giác vuông cho khơng có cạnh cạnh ( H ) ” Để ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vng cho khơng có cạnh cạnh ( H ) hai ba đỉnh chọn hai đầu mút đường kính đường tròn ngoại tiếp đa giác ( H ) đỉnh lại số đỉnh cịn lại đa giác khơng kề với hai đỉnh chọn Đa giác có 20 đỉnh nên có 10 đường kính Số đỉnh cịn lại đa giác mà không kề với hai đỉnh chọn 20 − − = 14 1 Suy n ( A) = C10 ×C14 n ( A ) C101 ×C141 Vậy P ( A) = n Ω = C = 57 ( ) 20 Câu 46 [ Mức độ 3] Cho hai số thực x, y thỏa mãn e x + y +1 − e3 x+ y = x + y − Có giá trị nguyên tham số m thuộc [ −25; 25] để phương trình log 2 x − my + m + + x + y − y + mx + = x + y + có hai nghiệm thực phân biệt? x+2 A 28 B 26 C 30 D 32 Lời giải Ta có: + e x + y +1 − e3 x+ y = x + y − ⇔ e2 x + y +1 + x + y + = e3 x + y + 3x + y t t + f ( t ) = e + t đồng biến ¡ (vì f ' ( t ) = e + > 0, ∀t ∈ ¡ ) Do x + y + = x + y , tức y = − x Đặt phương trình cho ( 1) 2 x − my + m + > 2 Điều kiện xác định ( 1) x + y − y + mx + ≥ x + > Với điều kiện nêu y = − x ta có: ( 1) ⇔ log 2 x + mx + + x + mx + = log ( x + ) + x + ( 2) t Lại có g ( t ) = log t + t đồng biến ( 0; +∞ ) (vì g ' ( t ) = + > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ) Nên ( 1) ⇔ x + ( m − ) x − = ⇔ x + mx + = x + x > −2 ( 3) Nhận thấy ( 3) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) với giá trị m −2 < x1 < x2 x1 , x2 thỏa mãn điều kiện xác định ( 1) x1 + x2 > −4 x1 + x2 > −4 ⇔ ( x1 + ) ( x2 + ) > x1 x2 + ( x1 + x2 ) + > Do ( 1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ x1 + x2 = − m − m > −4 ⇔ Do ÷⇔ m < 9 − 2m > x1 x2 = −3 Vậy, có 30 giá trị m mà ta cần tìm Câu 47 Tổng tất giá trị tham số m để hàm số 1 y = m2 x5 − mx + 10 x − ( m − m − 20 ) x + đồng biến ¡ 5 A B C −2 2 D Lời giải 2 Ta có y ' = m x − mx + 20 x − ( m − m − 20 ) Hàm số cho đồng biến ¡ y ' ≥ ∀ x ∈ ¡ ⇔ m2 x − mx + 20 x − ( m − m − 20 ) ≥ ∀x ∈ ¡ Trường hợp : Nếu m = y ' ≥ ⇔ 20 x + 20 ≥ ⇔ x ≥ −1 Vậy m = không thỏa mãn yêu cầu đề Trường hợp : Nếu m ≠ y ' ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ m x − mx + 20 x − ( m − m − 20 ) ≥ ∀x ∈ ¡ 2 Ta có y ' = m ( x − 1) − m ( x − 1) + 20 x + 20 = ( x + 1) m ( x + 1) ( x − 1) − m ( x − 1) + 20 Vì y ' = có nghiệm x = −1 nên để y ' ≥ ∀ x ∈ ¡ phương trình m ( x + 1) ( x − 1) − m ( x − 1) + 20 = phải có nghiệm x = − Suy − 4m2 + 2m + 20 = m = −2 Vậy −4m + 2m + 20 = ⇔ m= 2 *Thử lại với m = −2 ta có hàm số y = x + x + 10 x + 14 x + 2 Ta có y ' = x + x + 20 x + 14 = ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) + ( x − 1) + 20 2 = ( x + 1) x − x + x + 14 = ( x + 1) ( x − ) + 10 ≥ ∀x ∈ ¡ Vậy hàm số cho đồng biến R với m = −2 *Thử lại với m = Ta có y ' = = 5 5 65 ta có hàm số y = x − x + 10 x + x + 25 5 25 x − 1) − ( x − 1) + 20 x + 20 = ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) − ( x − 1) + 20 ( 2 4 x +1 = ( x + 1) ( x − ) + 40 ≥ ∀ x ∈ ¡ 25 x + x − − 10 x − + 80 ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số cho đồng biến ¡ với m = 5 Vậy có ba giá trị m thỏa mãn đề m ∈ −2; 0; Kết luận: Tổng tất giá trị tham số m 2 để hàm số đồng biến Câu 48 [Mức độ 4] Biết đồ thị hàm số bậc bốn y = f ( x) cho hình vẽ sau: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( x ) − f ( x ) f '' ( x ) trục hoành B A C D Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt giả sử x1 < x2 < x3 < x4 nên f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) , a ≠ Khi f ' ( x ) = a ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) + a ( x − x1 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) + a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x4 ) + a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) f '( x) 1 1 + Với x ∉ { x1 , x2 , x3 , x4 } , f x = x − x + x − x + x − x + x − x ( ) f ' ( x ) ′ f " ( x ) f ( x ) − f ' ( x ) −1 −1 −1 −1 = = + + + ÷ 2 2 ÷ ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) ( f ( x) ) f ( x) Do g ( x ) = ⇔ f ' ( x ) − f ( x ) f " ( x ) = ⇔ ( x − x1 ) + ( x − x2 ) + ( x − x3 ) + ( x − x4 ) = vô nghiệm + Với x = x1 f ' ( x1 ) = a ( x1 − x2 ) ( x1 − x3 ) ( x1 − x4 ) ; f ( x1 ) = Do phương trình f ' ( x1 ) − f ( x1 ) f " ( x1 ) = vô nghiệm + Tương tự với x ∈ { x2 , x3 , x4 } f ' ( x ) − f ( x ) f " ( x ) = khơng nghiệm phương trình Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( x ) − f ( x ) f " ( x ) không cắt trục hồnh Câu 49 [ Mức độ 3] Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ tích V Gọi M điểm thuộc đoạn AB′ , N trung điểm D′C ′ , V1 thể tích khối đa diện lồi gồm đỉnh D, M , B′, N , D′ A V1 MB′ = tỷ số bằng: V 10 MA Để B C D Lời giải Đặt x = MB′ MB′ x MB′ x ⇔ = ⇔ = MA MB′ + MA x + AB′ x + 1 1 Ta có VMDD′N = VADD′N = VA.DCC ′D′ = VABCD A′B′C ′D′ = VMD′NB′ = 1 VABCD A′B′C ′D′ = V 12 12 x x x 1 x VAD ′NB′ = VA A′B′C ′D′ = VABCD A′B′C ′D′ = V x +1 x +1 x +1 12( x + 1) 2x + 2x + V 1 Do V1 = VMDD′N + VMDD′N = 12( x + 1) V ⇔ V1 = 12( x + 1) = 10 ⇔ x = Câu 50 [ Mức độ 4] Cho a, b, c số thực thỏa mãn ( ) 3a + 2b + c gọi S tập hợp a +b +c gồm giá trị nguyên P Số phần tử tập hợp S là: 2 2 2a +b +c − + ( a − 1) + (b − 1) + (c − 1) = a +b+c Đặt P = A Vô số B C D Lời giải ( 2 ) a +b + c − + ( a − 1) + (b − 1) + (c − 1) = a +b + c Ta có 2 ⇔ 2a + b + c +1 + a + b2 + c + = 22 a + 2b + 2c + 2a + 2b + 2c ( *) t t Xét hàm số f ( t ) = + t ⇒ f ' ( t ) = ln + > 0, ∀t ∈ R Nên hàm số f ( t ) đồng biến R 2 Do ( *) ⇔ f ( a + b + c + 1) = f ( 2a + 2b + 2c ) ⇔ a + b + c + = 2a + 2b + 2c ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) = 2 Xét không gian Oabc , ta có ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) = phương trình mặt cầu có tâm I ( 1;1;1) , bán kính R = 2 Gọi ( α ) : a + b + c = Do d ( I , ( α ) ) = Ta có P = = > R nên a + b + c ≠ 3a + 2b + c ⇔ ( P − 3) a + ( P − ) b + ( P − 1) c = ( β ) a+b+c Điều kiện tồn a, b, c d ( I , ( β ) ) ≤ R ⇔ 3P − ( P − 3) + ( P − ) + ( P − 1) ⇔ 3P − 12 P + ≤ ⇔ Do P ∈ ¢ 6−2 6+2 ≤P≤ 3 6−2 6+2 ≤P≤ nên P ∈ { 1; 2;3} 3 ≤ ... D S xq = 2π a Câu 34 Trong khơng gian Oxyz , cho hình cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Oy cắt mặt cầu ( S ) theo thi? ??t diện đường trịn có chu vi băng... Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −2;3) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −2; +∞ ) Câu 38 Trong không gian... Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thi? ?n sau Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải Từ bảng biến thi? ?n hàm số y = f ( x ) ta có f ( x ) = ,