Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
21
Dung lượng
368,47 KB
Nội dung
Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN UBND QUẬN TÂY HỒ HƯỚNG DẪN GIẢI ƠN TẬP HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN: TỐN – LỚP I Đại số: * Dạng 1: Rút gọn tính giá trị biểu thức x 1 x 1 x với x 0, x x 1 x 1 x 1 Bài 1: Cho biểu thức A a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x c) Tìm giá trị của x để A d) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. e) Tìm m để phương trình mA x có hai nghiệm phân biệt. f) Tính các giá trị của x để A g) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A HƯỚNG DẪN GIẢI a) A x 1 x 1 x x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 b) Thay x (TMĐK) vào A ta được: A Vậy với x thì A c) A 1 1 x 1 x x x x x (Không thỏa mãn) x 1 Page Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN Vậy khơng có giá trị của x để A d) Ta có: A x 1 x 1 x 1 x 1 Để A nhận giá trị nguyên thì 2 x 1 nhận giá trị nguyên 3 x x 1 x U 3 U 3 3; 1;3;1 Ta có bảng sau: 3 x 1 1 4 2 x x ĐK - - Vậy x 0; 4 thì A nhận giá trị nguyên 3 1 0 0 TM TM e) m A x m x 1 x 2 x 1 2m x m x x x 2m 1 x m (1) Đặt t x t 1 t 2m 1 x m * Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm dương phân biệt P S m m m 1 2m 1 m 4m m 1 m m m m m VN 2m 1 1 m 1 m m 2 m m 1 Vậy với m thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt Page Nhóm Tốn THCS f) A Trường THCS CHU VĂN AN x 1 x 1 x 1 1 0 x 1 x 1 x 2 0 x 1 Ta có : x x DK x x DK x 2 x 2 x x 4 x 1 Kết hợp với điều kiện ta có x 4; x Vậy với x 4; x thì A g) A x 0; x 1 x 1 Ta có: x x 3 3 2 A 1 x 1 x 1 Dấu “ = “ xảy ra x x (TMĐK) Vậy GTNN của A là 1 khi x x x 1 Bài 2: Cho biểu thức B với x 0, x : x x 1 x 1 x x a) Rút gọn B b) Tính giá trị của B khi x 2 2 c) Tìm x để B x d) Với x >1, hãy so sánh B với B HƯỚNG DẪN GIẢI x x 1 a) B : x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x 1 b) x 2 2 2 1 1 1 1 Thay x = 2 (TMĐK) vào B ta được 1 B 1 2 1 2 Vậy khi x 2 2 B 2 c) B x x 1 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x 1 L x 1 x 1 x x 1 x 3 2 Page Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN d) Xét hiệu B B B B 1 Ta có: x x x x 1 B B 1 x 1 Mà x x 9 x x 1 B 1 x 5 x x 3 x Mà x 0 x 1 x 1 1 x 1 Lại có: C B 1 x 1 x 1 x 1 x 1 B 1 B 1 Mà B B B Từ (1) và (2) B B 1 B B B B Bài 3: Cho biểu thức với x 0, x 4, x a) Rút gọn biểu thức C 2 c) Tính giá trị của x để C đạt giá trị lớn nhất d) So sánh C với 1 HƯỚNG DẪN GIẢI b) Tính giá trị của C, biết x a) C x 9 x 2 x 3 x x 1 x x 2 x 3 x x 2x x x x 2 x 3 x x 3 22 3 1 b) x 43 2 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 Thay x C 1 1 1 Vậy khi x c) C ( TMĐK) vào C ta được 3 32 11 1 32 32 3 7 C 7 2 x 1 x 3 x 3 4 1 x 3 x 3 Ta có: x x DK Page Nhóm Tốn THCS x 3 Trường THCS CHU VĂN AN 4 1 1 C x DK 3 x 3 x 3 Dấu “ = ” xảy ra x x (TMĐK) 1 Vậy GTLN của C là khi x = 0 d) Xét hiệu x 3 1 x 1 1 C 4 x 1 Ta có: x x DK 4 1 x 1 x DK C C x 1 * Dạng 2: Giải phương trình bậc hai, hệ thức viét: Bài 4: Cho phương trình x 2(m 1) x m (1) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Chứng minh rằng biểu thức M x1 (1 x2 ) x2 (1 x1 ) trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) khơng phụ thuộc vào giá trị m . c) Với m . Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: x x x x2 A x1 x2 x2 x1 ; B ; C x1 x2 ; D x2 x1 x1 x2 d) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu? Có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương? Có hai nghiệm đối nhau? Có hai nghiệm dương? e) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 mà x12 x22 16 f) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 mà x2 3x1 HƯỚNG DẪN GIẢI Cho phương trình x 2(m 1) x m (1) 1 3 a. m 1 m m 2m m m m m m 2 4 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m x x m 1 b. Theo hệ thứcVi – ét ta có: x1.x2 m Theo đề bài, ta có hệ thức: M x1 1 x2 x2 1 x1 x1 x1.x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m 1 m 1 ' 2 c. Thay m vào pt (1) ta được: x 1 x x x x1 x2 Theo hệ thứcVi – ét ta có: x1.x2 A x1 x2 x2 x1 x1 x2 x12 x2 x1 x2 13 x1 x2 x1 x2 12 x1 x2 25 x1 x2 x1 x2 25 6.6 11 Page Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN x x x1 x2 x1 x2 36 28 14 x x x x22 x1 x2 B x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 1 6 2 C x1 x2 C x1 x2 x1 x2 x1 x2 36 32 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2.6 14 x1 x2 x1 x2 D d. + Pt có hai nghiệm cùng dấu P m m + Pt có hai nghiệm trái dấu P m m 1. + Pt có hai nghiệm đối nhau x1 x2 m m S m m 1 + Pt có hai nghiệm dương m 1 P m m e. 2 x12 x22 16 x1 x2 x1 x2 16 m 1 m 1 16 m m 16 m 4m 6m 10 5 m f. x m m2 m + Pt có hai nghiệm x1 m m m x2 x1 x1 m m m m m m 2m m m m 2m m m m Bài 5: Cho phương trình: (m 1) x 2mx m (1) a) Giải phương trình với m = -3 b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m. c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm phương trình. d) Tìm một hệ thức liên hệ giữ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m. x x e) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x2 x1 HƯỚNG DẪN GIẢI Cho phương trình: (m 1) x 2mx m (1) Điều kiện: m a. Thay m 3 vào pt ta được: m 1 l 4 x x m tm 2 b. ' m m 1 m 1 pt có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m Page Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN 2m x1 x2 m c. Theo hệ thứcVi – ét ta có: x x m 1 m 1 m 1 Tích hai nghiệm bằng x1.x2 m 5m m (tm) m 1 2m x1 x2 m 1 1 d. Hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào m x x 2m m x1 x2 m x x m m x1 x2 x x x1.x2 x1 x2 x1.x2 x1.x2 m 1 m x x m m x1.x2 m 1 x1.x2 m 1 2m 2 2 x x x1 x2 m x x x x2 5 m 1 e. m 1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 2 m 1 2 8m m 1 m 1 5 m 1 m 1 8m m 1 5 m 1 9m m Bài 6: Cho phương trình x 5mx (1) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy lập phương trình bậc hai ẩn y sao cho hai nghiệm y1 , y2 của nó: a) Là số đổi của các nghiệm của phương trình (1) b) Là nghịch đảo của các nghiệm của phương trình (1) HƯỚNG DẪN GIẢI Cho phương trình x 5mx (1) 25m2 5m 5m 5 m Để pt (1) có hai nghiệm x1; x2 m x1 x2 5m Theo hệ thứcVi – ét ta có: x1.x2 x1 y1 a. Là số đối của các nghiệm của pt (1) x2 y2 y1 y2 x1 x2 5m y1 y2 x1 x2 Vậy pt cần lập là: y 5my Page Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN b. Là nghịch đảo các nghiệm của pt (1) y1 1 ; y2 x1 x2 1 x1 x2 y1 y2 x x x x 5m 2 y y 1 x1 x2 Vậy pt cần lập là y 5my * Dạng 3: Hàm số đồ thị: Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y x và parabol (P): y = x2 a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (d) và (P). b) Tính chu vi và diện tích tam giác AOB. HƯỚNG DẪN GIẢI a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (d ) và ( P ) : 3x x x 3x Ta có a b c 1 x1 Phương trình có 2 nghiệm x2 c a Giả sử A( x1; y1 ); B( x2 ; y2 ) là hai giao điểm của (d ) và ( P ) Vì A ( P ) y1 x12 12 Tọa độ điểm A(1;1) B ( P ) y2 x22 2 Tọa độ điểm B (2; 4) 12 10 B (2;4) A (1;1) O b) *) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục Ox H (1; 0); K (2; 0) và OH 1; OK 2; AH 1; BK 4; HK Xét OAH vng tại H , ta có : OA2 OH AH ( định lý Pitago) Page Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN OA2 12 12 OA Xét OBK vuông tại K , ta có : OB OK BK ( định lý Pitago) OB 22 42 20 OB 20 Gọi I là hình chiếu của A trên BK I (2;1) và AI 1; BI Xét OAH vng tại H , ta có : OA2 OH AH ( định lý Pitago) Xét ABI vng tại I , ta có : AB AI BI ( định lý Pitago) AB 12 32 10 AB 10 Chu vi ABI bằng 10 (đvd) *) Ta có S OBK S OAH Sh.thAHKB S OAB SOAB SOBK SOAH St thAHBK 1 1 S OAB OK BK OH AH AH BK HK 2 1 1 S OAB 2.4 1.1 1 1 (đvdt) 2 Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y 2 x và điểm A 2;2 a) Chứng minh đường thẳng d đi qua A . b) Tìm giá trị của a để parabol P : y ax đi qua điểm A . c) Viết phương trình đường thẳng d ’ đi qua A và vng góc với d . HƯỚNG DẪN GIẢI a) Thay tọa độ điểm A( 2; 2) vào phương trình đường thẳng ( d ) : y 2 x ta được: 2.( 2) (luôn đúng) Tọa độ điểm A 2; thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) A d b) Để A d thì tọa độ điểm A(2; 2) phải thỏa mãn phương trình đường thẳng c) Gọi phương trình đường thẳng (d ) có dạng : y mx n Vì (d ) ( d ) nên m.(2) 1 m Vì A ( d ) nên tọa độ điểm A( 2; 2) phải thỏa mãn phương trình đường thẳng (d ) m.( 2) n 1 Mà m nên (2) n n 2 Vậy phương trình đường thẳng (d ) có dạng : y x x2 Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P : y và đường thẳng d : y mx n Tính các giá trị của m , n biết đường thẳng d thỏa mãn một trong các điều kiện sau: (d ) a ( 2) a Page Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN a) Song song với đường thẳng d : y x và tiếp xúc với parabol P b) Đi qua điểm A 1,5; 1 và tiếp xúc với parabol P . Tìm tọa độ tiếp điểm của P và d trong mỗi trường hợp trên. c) Có hệ số góc bằng và khơng cắt P HƯỚNG DẪN GIẢI m a) Có (d) song song với đường thẳng y x (d) có dạng : y x n n Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (d ) và ( P ) : x2 x n x x 4n (*) Để (d ) tiếp xúc với ( P ) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép a 1 0, n n 1 (thỏa mãn) n Vậy m 1; n 1 b) Có A 1,5; 1 (d ) nên tọa độ điểm A phải thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) 1 m.1,5 n 3m 2n 2 (1) Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (d ) và ( P ) : x2 mx n x 4mx 4n (**) Để (d ) tiếp xúc với ( P ) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép 1 0, m, n a m2 n 0 (2) Từ (1) và (2) ta có 4m 4n 1 1 3m 2n 2 3m 2n 2 m n m m m n m 2n m n 4 1 m m Vậy và n n c) (d ) có hệ số góc bằng 5 m (d ) có dạng : y x n x2 x n x 20 x 4n (***) Để (d ) khơng cắt ( P ) thì phương trình (***) phải vơ nghiệm, mà a 100 4n n 25 m Vậy n 25 Bài 10: Cho đường thẳng d : 2( m 1) x ( m 2) y Xét pt hoành độ giao điểm của (d ) và ( P ) a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P): y x tại hai điểm phân biệt A và B. Page 10 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB theo m. c) Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. d) Tìm tọa độ điểm cố định mà (d) ln đi qua khi m thay đổi. HƯỚNG DẪN GIẢI a) Nếu m ta được d : x x Suy ra d cắt P tại một điểm M 1; (không thỏa mãn) Nếu m d : y 2 m 1 m2 x m2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm của P d : x m 1 2 m 1 m2 x m2 (1) m2 m2 Để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B thì x2 x m m2 m 1 m2 Vậy với m 3 hoặc m thì m2 m2 m 3 m 2 d cắt P tại 2 điểm phân biệt A, B. b) Gọi I xI ; yI , A x A ; x A2 , B xB ; xB2 2 m 1 x A xB m2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x x 2 A B m x x m 1 Ta có xI A B m2 y yB x A2 xB2 yI A 2 x x A B 2 x A xB 2m 2m m 2 c) Gọi M x0 ; y0 là điểm cố định của d 2 x0 y0 x0 m 1 x0 m y0 x0 y0 m x0 y0 2 x0 y0 y0 2 Vậy M 1; 2 Khoảng cách từ O đến d lớn nhất là OM Gọi H, K lần lượt là giao điểm của d với Ox, Oy: H ; , K 0; m 1 m2 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giácvng ta có m 2 m 1 1 m 1 2 OM OH OK 5 d) Điểm cố định của đường thẳng là M 1; 2 Page 11 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN * Dạng Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình Bài 11: Một ơ tơ chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết qng đường dài 120km trong một thời gian nhất định. Đi được một nửa qng đường, xe nghỉ 30 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 20km/h trên nửa qng đường cịn lại. Tính vận tốc dự định của ơ tơ. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi vận tốc dự định là x (km/h) ( x ) 120 Thời gian dự định là (h) x 60 Thời gian đi nửa quãng đường đầu là (h) x Vận tốc của xe trong nửa quãng đường sau là x 20 (km/h) 60 Thời gian đi nửa quãng đường sau là (h) x 20 60 60 120 Ta có phương trình x x 20 x x 20 x 2400 x 40 x 60 Kết hợp điều kiện ta được x 40 (km/h) Vậy vận tốc dự định của ơ tơ là 40 km/h. Bài 12: Một ca nơ chạy xi dịng một khúc sơng dài 72km, sau đó chạy ngược dịng khúc sơng đó 54km, hết tổng cộng 6h. Tính vận tốc thực của ca nơ? (biết vận tốc nước là 3km/h) HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi vận tốc ca nơ là x x 3 (km/h) Vận tốc ca nơ đi xi dịng là x (km/h) Vận tốc ca nơ đi ngược dịng là x (km/h) 72 Thời gian ca nơ đi xi dịng là (h) x3 54 Thời gian ca nơ đi ngược dịng là (h) x3 Tổng thời gian đi là 6 giờ nên ta có phương trình x 72 54 x 126 x x 3 x 3 x 21 Kết hợp điều kiện ta được x 21 (km/h) Vậy vận tốc ca nô là 21 km/h Bài 13: Hai người cùng làm chung một cơng việc sau 6h thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 2 giờ rồi nghỉ, để người thứ hai làm tiếp 3h thì được cơng việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì hết mấy giờ? HƯỚNG DẪN GIẢI Page 12 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng và hồn thành cơng việc là: x (giờ, x ). Gọi thời gian người thứ hai làm riêng và hồn thành cơng việc là y (giờ, y ) Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cơng việc) x Mỗi giờ người thứ hai làm được (cơng việc) y Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hồn thành được cơng việc nên ta có phương trình: 6 (1). x y Người thứ nhất làm một mình trong 2 giờ được (cơng việc) x Người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ được (cơng việc) y 2 Khi đó cả 2 người đã làm được cơng việc nên ta có phương trình: (2). x y 6 x y 1 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2 x y x 10 Giải hệ ta được: thỏa mãn điều kiện. y 15 Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong 10 giờ, người thứ hai trong 15 giờ. Bài 14: Hai A, B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ 84%. Tính riêng trường A có tỉ lệ đỗ là 80%. Tính riêng trường B có tỉ lệ đỗ là 90%. Tính số học dự thi của mỗi trường. HƯỚNG DẪN GIẢI 100 = 500 (học sinh) 84 Gọi số học sinh dự thi của trường A, trường B lần lượt là: x, y ( x, y N ; 0 x, y500) Do đó ta có phương trình: x y 500 (1) 80 Số học sinh thi đỗ vào lớp 10 của trường A là: x (học sinh) 100 90 Số học sinh thi đỗ vào lớp 10 của trường B là: y (học sinh) 100 Mà tổng số học sinh thi đỗ của hai trường là 420 học sinh 80 90 Nên ta có phương trình: x y = 420 x y 4200 (2) 100 100 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 500 x 300 (Thỏa mãn điều kiện) 8 x y 4200 y 200 Vậy số học sinh dự thi của trường A là : 300 ( học sinh) Tổng số học sinh dự thi của hai trường là: 420. Page 13 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN Số học sinh dự thi của trường B là : 200 ( học sinh) Bài 15: Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội bổ sung thêm 3 xe nên mỗi xe đã chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? (Biết số hàng chở trên các xe có khối lượng bằng nhau) HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi số xe lúc đầu của đội là: x (x ∈ N*; xe) 36 Vì đội xe cần chở 36 tấn hàng nên mỗi xe phải chở là: (tấn) x Vì đội bổ sung thêm 3 xe nên số xe trong thực tế là: x + 3 (xe) 36 Thực tế mỗi xe phải chở là: (tấn) x3 Vì thực tế mỗi xe chở ít hơn dự định là 1 tấn nên ta có phương trình: x (tm) 36 36 x 3x 108 1 x x3 x 12 (ktm) Vậy lúc đầu đội có tất cả là 9 xe. Bài 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường trịn và P là điểm chính giữa của cung AB khơng chứa điểm C, D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: CKD a) CID b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK // AB d) Đường trịn ngoại tiếp tam giác AED tiếp xúc với PA tại A. HƯƠNG DẪN GIẢI a) Xét (O) có: sd DC sd AP , CKD sd DC sd PB CID 2 (gt) CID CKD Mà sd AP sd PB b) Xét tứ giác CDFE có: DCF sd BD sd AP sd DP DEF 2 sd BD sd PB sd DP ) (do sd AP sd PB 2 sd DP sd PB 360 sd BD 180 2 Tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp. K I B P F A E O C D CKD (cmt) c) Xét tứ giác CDIK có: CID Tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp Page 14 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN ICD (cùng chắn ID ) (1) IKD sd sd PB AD sd AP sd AD sd PD (t/c góc nội tiếp) ICD 2 Từ (1) và (2) IKD KEB , mà hai góc ở vị trí so le trong nên IK // AB. Xét (O) có: KEB d) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp AED. Đường trung trực của AE cắt (O') tại H và AE tại G. PA ) Xét (O) có: PAB ADP (do PB (1) Xét (O') có: + AHE ADE (cùng chắn AE ) (2) GAO ' 90 PAE PAO ' 90 B P F G A + AHE AO ' G AO ' E (3) Từ (1), (2) và (3) PAE AO ' G Xét AGO' vng có: ' 90 AO ' G GAO (2) E O O' C D H Vậy PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AED tại A. Bài 17: Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO, AO' cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai E, F. a) Chứng minh rằng: B, F, C thẳng hàng. b) Chứng minh rằng: AB, CD, FE đồng quy. c) Chứng minh rằng: Tứ giác CDEF nội tiếp. d) Chứng minh rằng: A là tâm đường trịn nội tiếp BDE. e) MN là một tiếp tuyến chung của (O) và (O') (M, N là tiếp điểm). Chứng minh AB đi qua trung điểm của MN. f) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường trịn (O) và (O'). HƯỚNG DẪN GIẢI CBA a) Có CBF ABF 90 90 180 Vậy 3 điểm B, F, C thẳng hàng. b) Gọi I là giao điểm của CD và FE Xét ICF có: Page 15 Nhóm Tốn THCS + CE IF, FD IC (góc chắn nửa đ/trịn) + Mà CE cắt FD tại A (gt) A là trực tâm của ICF IA CF, lại có AB CF IA AB hay đường thẳng AB đi qua I. Vậy 3 đường thẳng AB, CD, FE đồng quy. c) Xét tứ giác CDEF có: CEF 90 (góc chắn nửa đ/trịn) CDF Trường THCS CHU VĂN AN I M D K E A O C N O' F B Tứ giác CDEF nội tiếp. 90 Tứ giác AEID nội tiếp d) Xét tứ giác AEID có: ADE AIE ADI AEI Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O) ACB ADB (cùng chắn AB ) ACB AIE (hai góc tương ứng) Lại có ABC đồng dạng AEI (g.g) ADE ADB DA là phân giác của góc EDB (1) C/m tương tự: EA là phân giác của góc DEB (2) Từ (1) và (2) A là giao của hai đường phân giác của BDE Vậy A là tâm đường trịn nội tiếp BDE. e) Gọi K là giao điểm của AB và MN. Xét BMK và MAK có: AMK sdAM MBK BMK đồng dạng MAK g.g MKB chung MK BK MK AK.BK 3 AK MK +) Chứng minh tương tự NK AK.BK Từ (3) và (4) MK NK MK NK Vậy K là trung điểm của MN. Page 16 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN I D E A O C O' B F f) Vì tứ giác CDEF nội tiếp (cmt) ) EFD (cùng chắn DE DCE 2DCA (góc nội tiếp) Xét (O; OA) có: DOA (góc nội tiếp) Xét (O'; O'A) có: EO ' A 2EFA EO DOA ' A , mà 2 góc có đỉnh kề nhau Tứ giác DOO'E nội tiếp. * Điều kiện cần Giả sử DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) và (O') OD DE OD O 'E , mà tứ giác DOO'E nội tiếp DOO'E là hình chữ nhật O ' E DE OD O 'E hay OA = O'A (5) * Điều kiện đủ Xét hình chữ nhật DOO'E có: OE cắt O'D tại A 60 OA DA , mà OA = OD (gt) OA OD DA OAD đều ODA OO ' (hệ thức lượng trong tam giác vng) Xét tam giác vng ODO' có: tan ODA OD (6) OO ' OD.tan ODA OA.tan 60 OA Từ (5) và (6) Để DE là tiếp tuyến chung của hai đường trịn (O) và (O') thì (O) = (O') và OO ' OA Bài 18: Cho nửa đường trịn (O, R), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường trịn ( AC AB ) Dựng ra phía ngồi tam giác ABC một hình vng ACED. Tia EA cắt nửa đường trịn tai F. Nối BF cắt ED tại K. a) Chứng minh 4 điểm B, C, D, K thuộc cùng một đường trịn b) Chứng minh AB = EK c) Cho ABC 30 , BC 10 cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của đường trịn (O) d) Tìm vị trí của điểm A để chu vi tam giác ABC lớn nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI Page 17 Nhóm Toán THCS Trường THCS CHU VĂN AN K D F A E O B C a) Gọi giao điểm AE với DC là I + Vì tứ giác ADEC là hình vng (gt) AE DC => I trung điem AE ; DC (t/c hình vng) AE DC AIC CIE EID AID => AIC ; CIE; EID; AID vuông cân tai I CAI 45o (t/c tg vuông cân) => EDI + Xét tứ giác nội tiếp BFAC có: FAC 180o (đ/lí tứ giác nội tiếp) FBC FAC 180o 2 góc ke bù mà EAC EAC 45o => FBC 45o (cmt) mà EDC EDC 45o => KBC EDC 45o + Xét tứ giác BKDC có: KBC là góc ngồi của tứ giác tại đỉnh D đối diện với B mà EDC => Tứ giác BKDC nội tiếp (dhnb) b) + Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác BKDC có: BDC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC) BKC 45o (t/c tg vng cân) Mà BDC 45o => BKC KBC 45o (cmt) + Xét BCK có: BKC => BCK vuông cân tại C (dhnb) => CB = CK (t/c tg vuông cân) + Xét BAC Aˆ 90o và KEC Eˆ 90o có: Page 18 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN BC = KC (cmt) AC = CE (t/c hình vuống) => BAC = KEC (cạnh huyền – cạnh góc vng) => AB = EK (2 cạnh t/ư) c) + Xét BOA cân tại O có: AOC 2. ABO 2. 30o 60o BC 10 + Vì BC = 2R = > R = = 5 cm 2 + Diện tích hình quạt trịn giới hạn bởi cung AC và bán kính OA, OC là: 52.60o 25 SOAC (đvdt) 360o + Ta có OAC đều 25 => SOAC (đvdt) 2 + Vậy diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của đường trịn (O) là: 25 25 2, 26 (đvdt) d) Ta có Chu vi ABC AB AC BC mà AC = AD (t/c hv) => Chu vi ABC AB AD BC BD BC mà BC = const = 2R Vậy để Chu vi ABC lớn nhất BD lớn nhất Xét BDK Dˆ 90o có cạnh huyền BK S => BD BK BD lớn nhất BD = BK K D A F 45o nội tiếp chắn cung FC => sđ cung FC = 90o + Xét (O) có FBC => F là điểm chính giữa nửa đường trịn (O) đường kính BC => Vậy để Chu vi ABC lớn nhất A là điểm chính giữa nửa đường trịn (O) đường kính BC Bài 19: Cho đường trịn (O, R) với đường kính AB cố định, EF là đường kính quay quanh O. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại B. Với AE, AF cắt đường thẳng d tại M, N. a) Chứng minh tứ giác AEBF là hình chữ nhât. b) Chứng minh AE.AM = AF. AN c) Hạ AD vng góc EF tại I. CM I là trung điểm MN. d) Gọi H là trực tâm MFN Chứng minh rằng khi đường kính EF di động, H ln thuộc một đường trịn cố định HƯỚNG DẪN GIẢI Page 19 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN M E I D A O' B O G F N a) + Xét (O) có AB là đường kính, E O ; F O => AEB AFB 90o (đl góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) + Xét (O) có EF là đường kính, A O 90o (đl góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => EAF 90o (cmt) + Xét tứ giác AEBF có: EAF AEB AFB => Tứ giác AEBF là hình chữ nhật (dhnb) b) + Xét (O) có MN là tiếp tuyến tại B => AB MN (t/c tiếp tuyến) + Xét ABM Bˆ 90o có BE là đường cao => AE AM AF (hệ thức lượng) + Xét ABN Bˆ 90o có BF là đường cao => AF AN AF (hệ thức lượng) => AE. AM = AF.AN (đpcm) EFB (cùng phụ c) + Ta có DAF AFE ) mà EFB ABF (t/c tam giác FOB cân) (cùng phụ với mà ABF INA NBF ) INA (t/c bắc cầu) => DAF INA (cmt) + Xét AIN có DAF => AIN cân tại I (dhnb) => AI = IN (t/c tg cân) Chứng minh tương tự => AIM cân tại I => AI = IM => AI = IM = IN (t/c b/c) => I là trung điểm MN Page 20 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN d) Dựng đường thẳng qua F vng góc MN cắt AM tại H mà AM FN ; AM HF H => H là trực tâm MNF Gọi O’ đối xứng với O qua A như hình vẽ + Ta có: AB MN HF MN => AB // HF (qh từ vg đến //) + Ta có: HA AF BF AF => HA // BF (qh từ vg đến //) + Xét tứ giác ABFH có: AB // HF; HA // BF (cmt) => tứ giác ABFH (dhnb) => AB = HF (t/c hbh) mà AB = OO’ => OO’ = HF + Xét tứ giác OO’HF có: OO’ = HF mà OO’ //HF => Tứ giác OO’HF là hình bình hành (dhnb) => O’H = OF (t/c hbh) Mà OF = R = const => O’H ln khơng đổi khi đường kính EF di chuyển trên (O) Vì điểm O và A cố định khi EF di chuyển trên (O) mà O’ là điểm đối xứng của O qua A => O’ cố định Mà O’H R const khi EF di chuyển => Khi EF di chuyển trên O thì H ln cách O’ một khoảng bằng R khơng đổi => H ln thuộc đường trịn O’; R với O’ cố định và R không đổi Page 21 ... Số? ?học? ?sinh thi đỗ vào? ?lớp? ?10 của trường A là: x (học? ?sinh) 100 90 Số? ?học? ?sinh thi đỗ vào? ?lớp? ?10 của trường B là: y (học? ?sinh) 100 Mà tổng số? ?học? ?sinh thi đỗ của hai trường là 420? ?học? ?sinh 80 90 Nên ta có phương trình: x... Hai A, B có 420? ?học? ?sinh thi đỗ vào? ?lớp? ?10, đạt tỉ lệ 84%. Tính riêng trường A có tỉ lệ đỗ là 80%. Tính riêng trường B có tỉ lệ đỗ là? ?90 %. Tính số? ?học? ?dự thi của mỗi trường. HƯỚNG DẪN GIẢI 100 = 500 (học? ?sinh) ... Vậy số? ?học? ?sinh dự thi của trường A là : 300 (? ?học? ?sinh) Tổng số? ?học? ?sinh dự thi của hai trường là: 420. Page 13 Nhóm Tốn THCS Trường THCS CHU VĂN AN Số? ?học? ?sinh dự thi của trường B là : 200 (? ?học? ?sinh)