CHUYEN DE TOAN 7 CUC HAY

Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao CHỦ ĐỀ 8: TỈ LỆ THỨC DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tỉ lệ thức 1.1 Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c = b d Trong đó: a, b, c, d số hạng a, d ngoại tỉ b, c trung tỉ 1.2 Tính chất tỉ lệ thức: * Nếu a c = Thì a d b d = b.c * Nếu a d = b c a, b, c, d ≠ ta lập tỉ lệ thức sau: a c = ; b d a b = ; c d d c = ; b a d b = c a Tính chất dãy tỉ số 2.1 Tính chất: Từ dãy tỉ số a b c = = ta suy ra: x y z a b c a +b+c a −b +c a −b −c = = = = = x y z x+ y+z x− y+z x−y−z (Với giả thiết tỉ số có nghĩa) 2.2 Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số x, y, z x y z => Ta viết a : b : c = x : y : z 3/ Kiến thức bổ sung 3.1 Luỹ thừa thương: n x xn  ÷ = n y  y Với n ∈ N, x ≠ x, y ∈ Q Một số tính chất bản: Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao * a a.m = b b.m Với m ≠ * a c a c = ⇔ = b d b.n d n Với n ≠ n n a c a  c  * = ⇒ ÷ = ÷ b d b d  Với n ∈ N B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: Xác định số trung tỉ, ngoại tỉ tỉ lệ thức Ta có tỉ lệ thức a c = hay a : b = c : d b d  a, d ngoại tỉ b, c trung tỉ Bài 1: Chỉ rõ ngoại tỉ, trung tỉ tỉ lệ thức sau −5,1 0, 69 = a) 8,5 −1,15 14 b) 33 = 32 35 80 c) – 0,375 : 0,875 = - 3,63:8,47 DẠNG 2: Lập tỉ lệ thức Ta có hai tỉ số a:b c:d Nếu a.d = c.b ta lập tỉ lệ thức a c = b d Bài 1: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức khơng? a) (-0,3):2,7 (-1,17) : 15,39 b) 4,86 : (-11,34) (-9,3):21,6 ĐS: a) (– 0,3).15,39 = (-1,17).2,7 nên lập tỉ lệ thức b) Không lập tỉ lệ thức Bài 2: Có thể lập tỉ lệ thức từ số sau không? a) 1,05 ; 30 ; 42 ; 1,47 b) 2,2 ; 4,6 ; 3,3 ; 6,7 ĐS: a) 1,05.42 = 30.1,47 (=44,1) => Lập tỉ lệ thức b) Tích cặp số khác nên không lập tỉ lệ thức Bài 3: Lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: a) 7.(-28) = (-49).4 Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao b) 0,36.4,25 = 0,9.1,7   1 c) : (-27) =  −6 ÷: 29  Bài 4: Lập tất tỉ lệ thức có từ số sau: ; 25 ; 125 ; 625 ĐS: Ta có đẳng thức: 5.625 = 25.125, từ viết bốn tỉ lệ thức DẠNG 3: Tìm số chưa biết tỉ lệ thức dãy tỉ số * Với tốn tìm biến x từ tỉ lệ thức a c = => a : b = c : d => x = b d * Với tốn tìm hai hay nhiều biến từ tỉ lệ thức dãy tỉ số nhau: + Ta thường biến đổi dạng: k1x k y = = a1 a2 + Thực nhân tử với số để xuất số hạng chứa biến biểu thức giả thiết + Áp dụng dãy tỉ số để sử dụng giả thiết tính Bài Tìm x, y khác biết: a) = b) =- 2x + 5y = 10 2x + 3y = c) 21.x = 19.y x – y = d) = x.y = 84 Hướng dẫn: a) Có = ⇔ = = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = Do đó: +) = suy x = = +) = suy y = = Vậy: x = b) Có = - y= ⇔ = => = = = Hay: +) = +) suy ra: 2x = = Vậy: x = - ⇔ x=- suy ra: y = y = c) 21.x = 19 y ⇔ = => = = = = -2 Hay: +) = -2 ⇔ x = -2.19 = -38 +) = -2 ⇔ y = -2.21 = -42 Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao Vậy: x = - 38 y = - 42 d) = ⇒ = = = =4 Hay: +) = ⇔ x2 = 36 ⇔ x=± +) = ⇔ y2 = 196 ⇔ y = ± 14 Vậy: x = y = 14 x = - y = -14 * Cũng có em làm cách khác: ⇔ Có = = mà xy = 84 ( x y dấu) ⇔ nên xy = 84 ⇔ y2 = 196 xy: = 84: ⇔ x=± x2 = 36 ⇔ y = ± 14 Bài Tìm x, y, z biết: a) = ; = 2x + 3y – z = 186 b) x : y : z = : (- 2) 5x – y + 3z = 124 c) = = = Hướng dẫn: a) = = = = = = = => x = 45 ; y = 60 ; z = 84 b) = = = = = = = 31 => x = 93 ; y = 155 ; z = -62 c) = = = = = => x+y+z = => x = ; y = ; z = - Bài 3: Tìm số x, y, z biết: = = 5z – 3x – 4y = 50 Hướng dẫn: = = & 5z – 3x – 4y = 50 ⇔ = = & 5z – 3x – 4y = 50 ⇔ = = = = =2 => x = y = ; z = 17 Bài Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c a – b + c = 35 Hướng dẫn: Có: 2a = 3b = 4c ⇔ = = = = = Khi đó: = = = = = => a = 42 ; b = 28 ; c = 21 Bài Tìm x biết: = ĐS: x = 32 Bài Tìm a, b biết rằng: Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao a) = a2 – b2 = 36 b) = ab = 48 ĐS: a) a = 10 b = a = - 10 b = - b) a = b = a = - b = - Bài Tìm x1, x2, x3, …, x9 biết rằng: = = =…= x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90 Hướng dẫn = = =…= = = ( x1 + x2 + + x9 ) − ( + + + ) + + + = 90 − 45 =1 45 +) = ⇔ x1 = + = 10 +) = ⇔ x2 = + = 10 +) = ⇔ x3 = + = 10 ……………… ⇔ +) = x9 = + = 10 Vậy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10 Bài a) Tìm phân số có dạng tối giản biết = với a, b ∈ Z b ≠ b) Cho phân số Tìm số nguyên x, y cho = Hướng dẫn: a) áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = Phân số cần tìm có dạng tối giản = nên phân số cần tìm có dạng với k ∈ Z k ≠ b) Có: = = = Với = ta tìm vơ số số nguyên x, y thoả mãn Bài Tìm x, y biết: a) = b) = & x4 y4 = 16 & x10 y10 = 1024 c) = = Hướng dẫn: Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao a) Từ = suy ra: = = x, y dấu (1) x4 y4 = 16 Với ⇔ xy = ± (2) Kết hợp (1) (2) ta có: = = = = Vậy: x = y = x = - y = - b) Có: = = = ⇔ = ⇔ = x2  x = ± Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024 ⇔ y20 = 210.1024  y20 = 220  y = ± Do đó: x = ± Vậy: x = y = x = y = –2 x = –1 y = –2 x = –1 y = c) Có = = (1) = = = (2) Từ (1), (2) ta có: 6x = 12 ⇔ x = thay vào (1) y = Vậy: x = y = Bài 10 Tìm ba số x, y, z biết = = (1) x2 + y2 + z2 = 14 Hướng dẫn: (1) ⇔ = = => = = = = = Mà theo (1) x, y, z dấu Nên: x = 1; y = 2; z = x = –1; y = –2; z = –3 DẠNG 4: Tính giá trị biểu thức +) Đây loại tập khó, địi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức kĩ biết tổng hợp tri thức phương pháp học Khả quan sát dự đoán sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với suy luận logic, sáng tạo +) Làm dạng tập này, học sinh cần đến xúc tác giáo viên em gặp bế tắc Những lúc giáo viên cần gợi mở hướng cho học sinh câu hỏi mở Bài Cho x, y, z thoả mãn: x y z = = với x, y, z khác Tính: Hướng dẫn: Đặt x y z = = = k (k khác 0) Khi đó: P = k − 5k + k k = = 2k + 10k − k 5k x = 2k , y = 5k , z = 7k P= x− y+z x + 2y − z Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao Vậy: P = Bài Cho tỉ số a b ; ; b+c c+a c Tìm giá trị tỉ số a+b Hướng dẫn: Có: a b c = = = b+c c+a a+b +) Nếu a + b +c ≠ a+b+c a+b+c = (b + c) + (c + a ) + (a + b) 2( a + b + c ) a b c = = = b+c c+a a+b (*) a+b+c = (b + c ) + (c + a ) + (a + b) +) Nếu a + b +c = b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c Khi đó: Hoặc: a a b b = −1 ; = = −1 ; = b + c −a c + a −b c c = = −1 a + b −c a b c c = −1 = = = b+c c+a a+b −c Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ +) Nếu a + b +c = Bài Cho biểu thức: P = a b c = = = b+c c+a a+b a b c = = = −1 b+c c+a a+b x+ y y+ z z+t t + x + + + z+t t + x x+ y y+ z Tìm giá trị biểu thức P biết: x y z t = = = y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z Hướng dẫn Có: Hay: x y z t +1 = +1 = +1 = +1 y+ z+t z+t + x t+x+ y x+ y+z x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x + y + z +t = = = y+ z +t z +t + x t+x+ y x+ y+z +) Nếu x + y + z + t ≠ y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z ⇔ x=y=z=t đó: P = + + +1 = +) Nếu x + y + z + t = x + y = – (z + t) ; Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – Vậy: +) P = x + y + z + t ≠ +) P = – x + y + z + t = DẠNG 5: TOÁN ĐỐ + Thể đầu bểu thức đại số y + z = – (z + t) (*) Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao + Sau giải kết Bài hỏi ta kết luận + Lưu ý: Khi gọi kí hiệu liệu chưa biết học sinh phải đặt điều kiện đơn vị cho kí hiệu - dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu Và kết tìm kí hiệu phải đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả mãn hay khơng Nếu khơng thoả mãn ta loại đi, có thoả mãn ta trả lời cho tốn Bài Tìm phân số a biết cộng thêm số khác vào tử vào mẫu phân số b giá trị phân số khơng đổi Hướng dẫn: Nếu ta cộng thêm số x ≠ vào tử vào mẫu phân số giá trị phân số khơng đổi Ta có: Vậy: a a+x → = b b+ x a a+x a+ x−a x = = = =1 b b+ x b+ x−b x a = b Bài Tìm hai phân số tối giản Biết hiệu chúng là: tử tỉ lệ với 3; mẫu tỉ lệ với 196 4; Hướng dẫn: Các tử tỉ lệ với 3; mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; hai phân số tỉ lệ với: Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y Theo tốn, ta có : x : y = : x–y= x y => = 196 21 20 x – y = 196 x y x− y => = = = 196 = 21 20 21 − 20 196 +) x 3 → x= = 21 = 21 196 196 28 +) y 3 15 → y= = 20 = 20 196 196 49 Bài Tìm số có chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1; 2; ĐS: số cần tìm : 396 936 Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao Bài 4: Một cửa hàng có vải, dài tổng cộng 126m Sau họ bán vải thứ hai vải thứ nhất, 3 vải thứ ba, số vải cịn lại ba Hãy tính chiều dài ba vải lúc ban đầu ĐS: chiều dài vải lúc đầu là: 28m, 42m, 56m Bài Có ba tủ sách đựng tất 2250 sách Nếu chuyển 100 từ tủ thứ sang tủ thứ số sách tủ thứ 1, thứ 2, thứ tỉ lệ với 16;15;14 Hỏi trước chuyển tủ có sách ? ĐS: Trước chuyển thì: Tủ có : 900 sách; Tủ có : 750 sách; Tủ có : 600 sách Bài Cho tam giác ABC có Â Bˆ tỉ lệ với 15, Cˆ = Aˆ Tính góc tam giác ABC Hướng dẫn: Theo ta có Hay : Aˆ Bˆ = 15 Aˆ Bˆ Cˆ = = 15 12 Cˆ Aˆ = mà Â + Bˆ + Cˆ = 1800 (Tổng góc tam giác) Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ + Bˆ + Cˆ 1800 = = = = = 60 15 12 + 15 + 12 30 +) Aˆ = 60 → Â = 60 = 180 +) Bˆ = 60 → 15 +) Cˆ = 60 → Cˆ = 60 12 = 720 12 0 Bˆ = 15 = 90 Vậy góc tam giác ABC : Â = 180 , Bˆ = 900 , Cˆ = 720 Bài Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m2, có hai cạnh tỉ lệ với Tính chiều dài chiều rộng khu vườn ĐS: chiều dài chiều rộng hình chữ nhật 20m 15m Bài 8: Một ô tô từ A → B đươc 60,9 km Hai sau, ô tô thứ hai từ A → B với vận tốc 40,6 km Hỏi ô tô thứ từ A → B Biết xe ô tô thứ hai đến muộn ô tô thứ ĐS: ô tô thứ từ A → B 10 Nhóm: Toán THCS Cơ nâng cao Bài 9: Ba xí nghiệp xây dựng chung cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I có 40 xe cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe cách cầu km, xí nghiệp III có 30 xe cách cầu km Hỏi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu tiền, biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu? ĐS: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, triệu đồng, 18 triệu đồng DẠNG 6: Chứng minh tỉ lệ thức +) Thường dạng tập này, cho sẵn số điều kiện yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức +) Để làm xuất tỉ lệ thức cần chứng minh biến đổi từ tỉ lệ thức cho từ điều kiện cho Với tính chất phép tốn tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số biến đổi linh hoạt điều cho thành điều cần có +) Có nhiều đường để đến đích, lựa chọn phương pháp phù hợp, hợp lí chứng minh +) Lưu ý: Trong trình biến đổi chứng minh nên ln nhìn biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vơ ích Bài Cho a c a = ≠ Với a, b, c, d ≠ Chứng minh rằng: b d a−b Hướng dẫn: Có: a c a b = ⇒ = ⇒ b d c d Hay Bài Cho a c = a−b c−d a b a −b a a −b = = ⇔ = c d c−d c c−d (Đpcm) a c 5a + 3b 5a − 3b = Chứng minh rằng: = b d 5c + 3d 5c − 3d Hướng dẫn Có: Vậy: a c a b 5a 3b 5a + 3b 5a − 3b = ⇔ = ⇒ = = = b d c d 5c 3d 5c + 3d 5c − 3d 5a + 3b 5a − 3b = 5c + 3d 5c − 3d (Đpcm) a c a + b ab Bài Cho = Chứng minh: = b d c + d cd Hướng dẫn = c c−d Nhóm: Tốn THCS Cơ nâng cao a c a b a b ab a + b = ⇔ = ⇒ = 2= = b d c d c d cd c + d Có: a2 + b2 Vậy: c + d2 ab cd = (Đpcm) Bài 4: Cho = Chứng minh rằng: = Hướng dẫn Có: = suy ra: Hay: = = = = (Đpcm) Bài 5: Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Chứng minh rằng: = Hướng dẫn Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Suy ra: = = +) = = = +) = = ⇔ = (1) = (2) Từ (1) (2) ta có = Bài Cho = a + b2 = c2 + d (Đpcm) với a, b, c, d ≠ c ≠ d Chứng minh rằng: = Hướng dẫn a + b2 = c2 + d = = = ( a + b) = ( a − b) 2 ( c+d) (c−d) 2 ⇔ ( )2 = ( ) Suy ra: = +) Nếu = = = ⇔ = +) Nếu = = = - = ⇔ Từ (1) (2) ta có: = (1) = = = = (2) = = = ... thức a c = hay a : b = c : d b d  a, d ngoại tỉ b, c trung tỉ Bài 1: Chỉ rõ ngoại tỉ, trung tỉ tỉ lệ thức sau −5,1 0, 69 = a) 8,5 −1,15 14 b) 33 = 32 35 80 c) – 0, 375 : 0, 875 = - 3,63:8, 47 DẠNG... Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức khơng? a) (-0,3):2 ,7 (-1, 17) : 15,39 b) 4,86 : (-11,34) (-9,3):21,6 ĐS: a) (– 0,3).15,39 = (-1, 17) .2 ,7 nên lập tỉ lệ thức b) Không lập tỉ lệ thức Bài 2: Có... ; 42 ; 1, 47 b) 2,2 ; 4,6 ; 3,3 ; 6 ,7 ĐS: a) 1,05.42 = 30.1, 47 (=44,1) => Lập tỉ lệ thức b) Tích cặp số khác nên không lập tỉ lệ thức Bài 3: Lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: a) 7. (-28) = (-49).4