BÀI 4: CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẪU

Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người BÀI 4: CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẪU Mục đích - Nắm khái niệm, biết phân biệt tổng thể mẫu, tham số dặc trưng tổng thể, mẫu - Hiểu rõ ý nghĩa vai trò phương pháp mẫu nghiên cứu kinh tế, xã hội - Hiểu khái niệm, ý nghĩa biết cách tính giá trị tham số đặc trưng mẫu (trung bình mẫu, phương sai, độ lệch chuẩn mẫu, tần suất mẫu) để ứng dụng suy luận thống kê (ước lượng kiểm định giả thiết) Nội dung I KHÁI NIỆM PHƢƠNG PHÁP MẪU Ta biết tượng đặc trưng hay nhiều biến ngẫu nhiên Do vậy, muốn nghiên cứu tượng người ta thông qua việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên đặc trưng cho tượng Thí dụ: Muốn nghiên cứu xã hội, ta phải xét: - Tuổi thọ người dân, - Trình độ văn hóa dân cư, - Mức sống (thu nhập, nhu cầu xã hội ) Để xác định tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên sở số liệu thực nghiệm, người ta thống kê tập hợp tổng quát, phân tích phần tử theo dấu hiệu cần nghiên cứu Đó phương pháp điều tra toàn Song với phương pháp ta gặp phải hạn chế sau đây: - Nếu quy mơ lớn phải chịu chi phí lớn Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người - Đôi không đưa kết luận xác, quy mơ lớn nên dễ bị tính trùng bỏ sót - Có trường hợp trình điều tra trình phá hủy phần tử điều tra Trong thực tế người ta thường sử dụng phương pháp điều tra chọn mẫu, phương pháp chủ trương từ tập hợp cần nghiên cứu chọn số phần tử (gọi mẫu) phân tích phần tử dựa vào mà đưa kết luận tập hợp cần nghiên cứu Phương pháp điều tra chọn mẫu tiến hành qua bước sau: + Từ tập hợp tổng quát, rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n + Xác định tham số đặc trưng mẫu quy luật phân phối xác suất đặc trưng + Từ tham số đặc trưng mẫu suy tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên X tập hợp tổng quát II.TỔNG THỂ NGHIÊN CỨU II.1 Định nghĩa - Tập hợp phần tử đồng theo dấu hiệu nghiên cứu gọi tổng thể nghiên cứu hay tập hợp tổng quát Số lượng phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể ký hiệu N - Với tổng thể người ta thường nghiên cứu hay nhiều dấu hiệu đặc trưng cho tổng thể gọi dấu hiệu nghiên cứu, ký hiệu X Y, Z, Có loại dấu hiệu nghiên cứu: dấu hiệu định tính dấu hiệu định lượng II.2 Các tham số đặc trƣng tổng thể II.2.1 Trung bình tổng thể Giả sử tổng thể kích thước N dấu hiệu định lượng X nhận giá trị x1 , x , , x N Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Trung bình tổng thể, ký hiệu m, trung bình số học giá trị dấu hiệu tổng thể N m   xi N i 1 Nếu tổng thể, dấu hiệu X nhận: Giá trị x1 với tần số N1 Giá trị x2 với tần số N2 Giá trị xk với tần số Nk : k  xi N i N i 1 m N1 + N2 + + Nk = N Ý nghĩa: Trung bình tổng thể trung bình (kỳ vọng tốn) biến ngẫu nhiên đặc trưng cho dấu hiệu cần nghiên cứu tổng thể II.2.2 Phương sai tổng thể Phương sai tổng thể trung bình số học bình phương sai lệch giá trị dấu hiệu tổng thể trung bình tổng thể, ký hiệu  : 2  Nếu xi xuất Ni lần mà N xi  m2  N i 1 k N i 1 2  i N  N thì: k  x i 1  m N i i Do đó: Xác suất thống kê tốn học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning 2  Cơ hội học tập cho người k Ni k   xi  m2 x  m N    i i N i 1 i 1 N   N k  x i 1  m Pi i Thực tế phương sai tổng thể cịn tính công thức: 2  Ý nghĩa: k N i xi2  m  N i 1 Phương sai tổng thể phương sai dấu hiệu cần nghiên cứu tổng thể II.2.3 Tỷ lệ cấu thành tổng thể Tỷ lệ cấu thành tổng thể, ký hiệu P, tỷ số số phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu (M) tổng thể kích thước tổng thể (N) P M N Ý nghĩa: Tỷ lệ cấu thành tổng thể xác suất để lấy ngẫu nhiên phần tử tổng thể phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu tổng thể III MẪU NGẪU NHIÊN Giả sử biến ngẫu nhiên X - đặc trưng cho dấu hiệu cần nghiên cứu tổng thể tuân theo quy luật phân phối xác suất (gọi phân phối gốc) Thực n phép thử độc lập biến ngẫu nhiên X Gọi X i kết X phép thử thứ i Khi đó:   a Các Xi với i  1, n biến ngẫu nhiên độc lập b Các X i có quy luật phân phối phân phối gốc X, nghĩa ta ln có: E ( X )  E ( X )   E ( X n )  E ( X ) V ( X )  V ( X )   V ( X n )  V ( X ) Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Định nghĩa: Mẫu ngẫu nhiên kích thước n tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X , , X n thành lập từ biến ngẫu nhiên X có quy luật phân phối xác suất với X Mẫu ngẫu nhiên ký hiệu: W  X1 , X , , X n  Sau thực phép thử cụ thể thành phần mẫu, tức X i   nhận giá trị cụ thể xi với i  1, n Khi ta có tập hợp số thực: x1, x2, ,xn Tập hợp gọi giá trị có mẫu ngẫu nhiên W ký hiệu là: x = (x1, x2, ,xn) Thí dụ: Lượng thời gian cần thiết để sản xuất chi tiết máy biến ngẫu nhiên, ký hiệu X Giả sử X ~ N  ,   ,   E (X ) thời gian trung bình cần thiết để sản xuất chi tiết Giả sử ta cho sản xuất thử 15 chi tiết Gọi X i lượng thời gian tiêu hao để sản xuất chi tiết thứ i i  1,15 Khi ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 15: W  X1 , X , , X15  Sau sản xuất xong, giả sử ta có: X1 = X6 = 10 X11 = 15 X2 = 20 X7 = X12 = 10 X3 = 10 X8 = 15 X13 = 20 X4 = 15 X9 = 20 X14 = 15 X5 = 20 X10 = 20 X15 = 10 Khi giá trị có mẫu là: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người x = (5, 20, 10, 15, 20, 10, 5, 15, , 15,10) Để gọn ta hệ thống hóa giá trị mẫu bảng phân phối thực nghiệm sau: xi 10 15 20 ni 4 IV THỐNG KÊ IV.1 Định nghĩa Giả sử có mẫu ngẫu nhiên: W  X1 , X , , X n  , ta lập biến ngẫu nhiên G  f X1 , X , , X n  f hàm số mà đối số biến ngẫu nhiên X i Khi G gọi thống kê hiển nhiên G biến ngẫu nhiên Nếu mẫu ngẫu nhiên W nhận giá trị cụ thể: x = (x1, x2, ,xn) G nhận giá trị cụ thể là: g = f(x1, x2, ,xn) Chú ý: G biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối hoàn toàn khác quy luật phân phối X IV.2 Một số thống kê đặc trƣng mẫu ngẫu nhiên IV.2.1 Trung bình mẫu Giả sử từ biến ngẫu nhiên X tổng thể, ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n : W  X1 , X , , X n  Trung bình mẫu thống kê , ký hiệu X , trung bình số học biến ngẫu nhiên mẫu, ta có: X n  Xi n i 1 Khi mẫu ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể: x = (x1, x2, ,xk) trung bình mẫu nhận giá trị cụ thể là: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning x Cơ hội học tập cho người k  ni xi n i 1 Ta thấy X biến ngẫu nhiên nên: 1 E X   E   X n n  i 1 nE ( X )  n EX i    E( X )  i   n  n i 1  Kỳ vọng tốn trung bình mẫu  kỳ vọng tốn biến ngẫu nhiên gốc X   1 n  V X V  Xi    n i 1  n n nV ( X ) V ( X ) V  X   n  n i 1 i  Độ phân tán giá trị mẫu nhỏ n lần độ phân tán X Khi mẫu có kích thước lớn phương sai trung bình mẫu nhỏ Điều có nghĩa n tăng lên biến ngẫu nhiên X tương đối ổn định IV.2.2 Tổng bình phương sai lệch trung bình tổng bình phương sai lệch thành phần mẫu trung bình mẫu Giả sử từ biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể, ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n : W  X1 , X , , X n  Tổng bình phương sai lệch thành phần mẫu trung bình mẫu ký hiệu xác định bởi:  n SS   X i  X  i 1 Trung bình tổng bình phương sai lệch thành phần mẫu trung bình mẫu ký hiệu MS xác định bởi: MS   n  Xi  X n i 1  hay MS   k  ni X i  X n i 1  Trong thực tế cần tính tóan MS ta thường sử dụng công thức:   k 1 k  MS   ni X i2   ni X l   X  X n i 1  n i 1  Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người MS gọi độ lệch bình phương trung bình Người ta chứng minh rằng: Nếu biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể có E(X) = m V(X) =  E ( MS )  (n  1)  n IV.2.3 Phương sai mẫu S2 phương sai S*2 Cho mẫu ngẫu nhiên xây dựng từ biến ngẫu nhiên gốc X: W  X1 , X , , X n  Phương sai mẫu thống kê, ký hiệu S xác định công thức: Hay:   S2  n  Xi  X n  i 1 S2  k  ni X i  X n  i 1   Trên mẫu cụ thể, phương sai mẫu nhận giá trị cụ thể bằng: s2   k  ni xi  x n  i 1  Ta dễ dàng thấy MS S2 có mối quan hệ sau: S2  n MS n 1 Nếu biến ngẫu nhiên X có E( X )  m;V ( X )   thì: S*2  n  X i  m2  n i 1 hay: S*2 = k ni  X i  m   n i 1 Đối với S2 S*2 người ta chứng minh rằng: E(S2) =  E(S*2) =  Từ phương sai mẫu ta có độ lệch tiêu chuẩn mẫu ký hiệu S xác định bởi: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người S  S2 IV.2.4 Tần suất mẫu Giả sử từ tổng thể kích thước N có M phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu ta lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n có X phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu Tần suất mẫu thống kê định nghĩa tỷ số số phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu có mẫu kích thước mẫu, ký hiệu f f  Khi tần suất mẫu là: X n Về chất, tần suất mẫu f biến ngẫu nhiên hàm biến ngẫu nhiên X, giá trị có mẫu cụ thể số xác định Tần suất mẫu trường hợp riêng trung bình mẫu dấu hiệu nghiên cứu tổng thể dấu hiệu định tính (dấu hiệu chất) đặc trưng biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật Không - Một Khi E(X) = P, V(X) = P(1-P) ta có E( f ) = P V( f ) = P.(1  P) n V PHƢƠNG PHÁP TÍNH TRUNG BÌNH MẪU ( x ) VÀ ĐỘ LỆCH TIÊU CHUẨN MẪU (s) Để tính giá trị trung bình mẫu x độ lệch tiêu chuẩn mẫu s ta sử dụng công thức sau: x  k  ni x i n i 1  ms  k  ni xi2  x n i 1 s2  n ms n 1 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người s  s2 Để tiện cho việc áp dụng công thức trên, từ bảng phân phối thực nghiệm cho ta lập bảng tính tốn theo mẫu sau: xi ni x1 n1 x2 n2 xk nk k n =  ni ni xi ni xi2 k k  ni x i i 1 n x i 1 i 1 i i Thí dụ: Theo dõi thời gian hồn thành sản phẩm 25 cơng nhân , ta có bảng số liệu sau: Thời gian ( phút) 16 18 20 22 24 26 Số công nhân 12 Hãy tìm x s mẫu số liệu nói Giải Gọi X thời gian hoàn thành sản phẩm Từ bảng số liệu cho ta lập bảng tính tốn: xi ni nixi nixi2 16 16 256 18 54 972 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 10 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người 20 80 1600 22 12 264 5808 24 72 1728 26 52 1352 25 538 11716 x 538  21,52 25 s2  25  5,5296  5,76 25  ms  11716  21,52  5,5296 25 s  5,76  2,4 Chú ý : Nếu giá trị xi cách bé bảng phân phối thực nghiệm ta ghép chúng lại thành lớp, cần tính tốn ta lấy giá trị lớp để đại diện cho lớp Thí dụ: Để điều tra suất lúa vùng Người ta gặt nhẫu nhiên 100 ruộng vùng thu bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/ha) Số ruộng 31 - 33 33 - 35 35 - 37 15 37 - 39 30 39 - 41 20 41 - 43 15 43 - 45 10 n = 100 Tìm suất trung bình độ phân tán suất lúa vùng theo mẫu số liệu nói Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 11 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Giải Gọi X suất lúa vùng Từ bảng số liệu cho, ta lập bảng tính tốn: x xi ni nixi nixi2 32 96 3072 34 238 8092 36 15 540 19440 38 30 1140 43320 40 20 800 32000 42 15 630 26460 44 10 440 19360 n=100 3884 151744 3884 38,84 ; 100 s2  ms  151744  38,84  8,9844 100 100 8,8944  0,9034  s  0,9034  0,95 99 VI MẪU NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VI.1 Khái niệm Từ tập hợp tổng quát, lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n, tức thực n phép thử độc lập biến ngẫu nhiên  X , Y  Gọi X i , Yi tương ứng kết biến  X , Y  thu phần tử thứ i mẫu i  1, n, ta thu n biến ngẫu nhiên chiều độc lập Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 12 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Định nghĩa: Mẫu ngẫu nhiên chiều kích thước n tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập  X , Y1  X , Y2   X n , Yn  thành lập từ biến ngẫu nhiên chiều  X , Y  có quy luật phân phối xác suất với  X , Y  Mẫu ngẫu nhiên chiều ký hiệu là: W   X , Y1 ;  X , Y2 ; ,  X i ; Yi ; ;  X n , Yn    Nếu  X i , Yi  nhận giá trị xi , yi  ; i  1, n ta thu giá trị cụ thể mẫu w  x1 , y1 ; x2 , y ; ; xi ; yi .; ; xn , y n  VI.2 Phƣơng pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên chiều Giả sử từ tập hợp tổng quát, rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n Trong thành phần X nhận giá trị x1 , x , , x h thành phần Y nhận giá trị y1 , y , , y k Ở giá trị xi , yi  xuất với tần số nij , i  1, h; j  1, k  Lúc sau giá trị xi , yi xếp theo thứ tự tăng dần giá trị cụ thể mẫu W mô tả bảng phân phối tần số thực nghiệm sau: X\Y y1 y2 yj yk ni x1 n11 n12 n1j n1k n1 x2 n21 n22 n2j n2k n2 xi ni1 ni2 nik ni xh nh1 nh2 nhj nhk nh mj m1 m2 mj mk ∑= n Thí dụ: Cho bảng kết thu hoạch Y ( tạ/ha ) lượng phân bón X nij ( kg /ha ) loại hoa màu 10 ruộng gieo trồng Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 13 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người loại hoa màu X\Y 20 40 10 20 60 80 2 30 mj ni 3 n = 10 VI.3 Một số thống kê đặc trƣng mẫu ngẫu nhiên chiều VI.3.1 Bảng phân phối thực nghiệm thành phần X Khi đó: X X1 X2 Xi Xh ni n1 n2 ni nh X h  ni X i ; n i 1 S X2   h  ni X i  X n  i 1  VI.3.2 Bảng phân phối thực nghiệm thành phần Y Y Y1 Y2 Yj Yk mj m1 m2 mj mk Ta có tham số đặc trưng Y: Y k  m jY j ; n j 1 Xác suất thống kê toán học – Bài S Y2   k n j Yj  Y n  j 1  Trang 14 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người VI.3.3 Bảng phân phối có điều kiện Y (X = Xi ) Y X  Xi nij Y1 Y2 Yj Yk ni1 ni2 nij nik k n đó: j 1  ni ij Từ bảng phân phối có điều kiện Y tính trung bình có điều kiện Y: Y X Xi  ni k n Y ij j 1 j VI.3.4 Bảng phân phối có điều kiện X (Y = Yj ) X Y  Yj nij X1 X2 Xi Xh n1j n2j nij nhj h n đó: i 1  mj ij Khi trung bình có điều kiện X: X Y Y j  mj h n i 1 ij Xi Thí dụ: Từ thí dụ mục 6.2, ta có bảng phân phối có điều kiện Y X = 20 YX 20 40 60 nij 2 Từ : Xác suất thống kê tốn học – Bài Trang 15 Trung tâm Đào tạo E-Learning Y X 20  Cơ hội học tập cho người 2.40  2.60 200   50 4 Tương tự ta có bảng phân phối có điều kiện X Y = 40 X Y 20 ij  X Y 40  10 20 2 2.10  2.20 60   15 4 VII QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ THỐNG KÊ ĐẶC TRƢNG MẪU VII.1 Trƣờng hợp biến ngẫu nhiên gốc phân phối theo quy luật chuẩn Giả sử dấu hiệu nghiên cứu X tổng thể biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn N  ,   với E( X )  ;V ( X )   Các tham số biết chưa biêt Từ tổng thể, rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W  X1 , X , , X n  Để xác định quy luật phân phối xác suất thống kê đặc trưng mẫu sử dụng định lý Định lý: Nếu biến ngẫu nhiên X1 , X , , X n độc lập phân phối theo quy luật chuẩn tổ hợp tuyến tính biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn  * Nếu biến ngẫu nhiên X ~ N  ,   X ~ N   ,  2  2  với E ( X )   ;V ( X )  n  n Khi biến ngẫu nhiên: U X     Xác suất thống kê toán học – Bài n ~ N (0,1) Trang 16 Trung tâm Đào tạo E-Learning T Cơ hội học tập cho người X    n S ~ T n1 Chú ý: Khi n lớn quy luật Student hội tụ nhanh quy luật chuẩn hóa Do với n  30 T ~ N (0,1) VII.2.Trƣờng hợp biến ngẫu nhiên gốc phân phối theo quy luật chuẩn Nếu ta xét đồng thời tổng thể: Ở tổng thể thứ 1, dấu hiệu nghiên cứu xem   ~ N  ,   biến ngẫu nhiên X ~ N 1 ,  , tổng thể thứ 2, dấu hiệu nghiên cứu xem biến ngẫu nhiên X 2 2 Từ tổng thể, rút mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước tương ứng n1 & n2 :  W1  X11, X12 , , X1n1   W2  X 21, X 22 , , X 2n2  a Xét thống kê X  X  hiệu trung bình mẫu Khi đó:             E X  X  E X  E X  1   V X1  X  V X1  V X   12 n1   22 n2 Lập thống kê: G U  X   X  1     12 n1   22 n2 U phân phối theo quy luật chuẩn hóa N(0,1) b Nếu thay  12 &  22 phương sai mẫu tương ứng S12 & S 22 xét thống kê : G T  X   X  1    S12 S 22  n1 n2 Với n1 & n2 lớn, thống kê U phân phối xấp xỉ N(0,1) Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 17 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người VII.3.Trƣờng hợp biến ngẫu nhiên gốc X không phân phối theo quy luật chuẩn Giả sử tổng thể dấu hiệu nghiên cứu xem biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật khác chuẩn Từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W  X1 , X , , X n  Để xác định quy luật phân phối xác suất thống kê đặc trưng mẫu ta sử dụng định lý sau: Định lý: Nếu biến ngẫu nhiên X1 , X , , X n độc lập có kỳ vọng toán m phương sai  , V ( X i )    hữu hạn biến ngẫu nhiên : U X  m n  U  X  m n S phân phối xấp xỉ chuẩn hóa N(0,1) n lớn * Nếu tập hợp tổng quát, biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật Không – Một với tham số p Từ tổng thể (từ X) rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n trung bình mẫu tần suất f với E ( f )  p;V ( f )  p(1  p) n Lập thống kê : G U  f  p n p(1  p) Khi với n lớn U phân phối xấp xỉ chuẩn N(0,1) * Nếu n đủ lớn thay p f Lập thống kê : G U  f Xác suất thống kê toán học – Bài  p n ~N (0,1) f (1  f ) Trang 18 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người VII.4 Trƣờng hợp hai biến ngẫu nhiên gốc X không phân phối theo quy luật chuẩn Giả sử có tổng thể, tổng thể xem X ~ AP1  , tổng thể xem X ~ AP2  Từ tổng thể rút mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước tương ứng n1 & n2 :  W1  X11, X12 , , X1n1   W2  X 21, X 22 , , X 2n2  Từ ta xác định tần suất mẫu tương ứng f1 & f Xét thống kê : G U  Trong đó: f   f1  f    p1  p2    1 1 f  f     n1 n2  n1 f1  n2 f biến ngẫu nhiên U phân phối xấp xỉ chuẩn n1  n2 N(0,1) n1 & n2 lớn TÓM LƢỢC Trong thực tế, thường phải nghiên cứu tập hợp phần tử đồng theo hay nhiều dấu hiệu định tính định lượng đặc trưng cho phần tử người ta thường sử dụng phương pháp điều tra chọn mẫu (còn gọi điều tra điển hình) Nội dung phương pháp điều tra chọn mẫu là: Từ tập hợp tổng quát (tổng thể nghiên cứu) gồm N phần tử, chọn n phần tử (n