Nghiên cứu thiết kế chế tạo các robot thông minh phục vụ cho các ứng dụng quan trọng 4

Nghiên cứu thiết kế chế tạo các robot thông minh phục vụ cho các ứng dụng quan trọng

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CHƯƠNG TRÌNH KC.03

YZ YZ YZ YZ YZ YZY YZ YZ YZY YZ YZ YZY

“NGHIÊN CỨU THIẾT KẾ, CHẾ TẠO CÁC ROBOT THÔNG MINH PHỤC VỤ CHO CÁC ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG”

MÃ SỐ: KC.03.08

BÁO CÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU THEO NHIỆM VỤ 3 - ĐỀ TÀI KC.03.08 Nhãm s¶n phÈm robot re

MỤC LỤC

II Tổng quan về kỹ thuật tỏi hiện ngược và những vấn đề cơ bản về mụ phỏng cỏc đường cong, mặt cong khụng gian

7

2.1 Giới thiệu chung về kỹ thuật tái hiện ngược 7 2.1.1 Quá trình thiết kế 7

2.1.2 Quá trình “sản xuất ngược” 8 2.1.3 Quá trình kỹ thuật tái hiện ngược 8 2.1.4 ứng dụng kỹ thuật tái hiện ngược 9

2.1.5 Các loại đầu dò số hóa 10

2.1.6 Các máy đo phục vụ kỹ thuật tái hiện ngược 11

2.2 Phương pháp mô tả đường cong trên máy tính 14 2.2.1 Các phép nội suy và xấp xỉ đường cong 14 2.3 Phương pháp mô tả các mặt cong trên máy tính 31 2.3.1 Giới thiệu chung về mặt cong 31 2.3.2 Các mặt cong tự do 32 2.4 Đặt vấn đề về nội dung nghiên cứu 37 III Nghiờn cứu, thiết kế, chế tạo Robot RE 38 3.1 Nghiên cứu thiết kế, chế tạo Robot RE 38

3.1.2 Động học Robot RE-01 42 3.1.3 Chương trình tính toán động học Robot RE-02 43 3.1.4 Hệ phương trình động học của robot RE-01 44 3.1.5 Phương án chế thử Robot RE-01 55

3.2 Thiết kế Robot RE - 02 56 3.2.1 Phân tích kết cấu 56 3.2.2 Thiết kế cơ cấu dạng pantograph 57 3.2.3 Tính toán cơ cấu tay máy pantograph 58 3.3 Tính toán về độ chính xác của robot RE - 02 73 3.3.1 Tổng quan về sai số phép đo dùng cơ cấu tay đo 73 3.3.2 Tính toán sai số của robot RE 74 IV Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo Robot RE-03 hoạt động theo tọa độ trụ 81

4.2 Các môđun hợp thành Robot RE-03 82 V Xây dựng các chương trình phần mềm tái hiện bề mặt cong không gian 100

5.1 Cơ sở thuật toán xây dựng các đường cong và mặt cong không gian

5.1.1 Các thuật toán xây dựng đường cong 1005.1.2 Phương pháp xác định điểm tựa và lưu trữ dữ liệu của đường cong

5.1.3 Một số ví dụ tái hiện đường cong 1055.1.4 Một số kết quả tái hiện đường cong được thực hiện bằng robot RE

5.2 Cơ sở thuật toán xây dựng mặt cong không gian 1095.3 Thuật toán quả bóng rơi 1235.4 Xây dựng chương trình máy tính 1275.5 Chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt cong phức tạp 133

báo cáo tóm tắt Các kết quả nghiên cứu nhiệm vụ 3 đề tài kc.03.08

nhóm sản phẩm robot re

I Giới thiệu chung

Robot RE là gọi tắt tờn một nhúm robot phục vụ kỹ thuật tỏi hiện ngược (Reverse Engineering) Nhận xột rằng, cơ cấu của cỏc mỏy đo toạ độ CMM (Coordinate Measuring Machines) rất quen biết trong cụng nghiệp, cũng như cơ cấu của cỏc thiết bị tay đo hoặc CMM cầm tay (Portable coordinate measuring machine - PCMM) đều cú cấu trỳc động học như cỏc loại cơ cấu robot Trờn cơ sở nhận xột đú hoàn toàn cú thể vận dụng và phỏt triển cỏc phương phỏp nghiờn cứu kỹ thuật robot để nghiờn cứu cỏc thiết bị đo CNC, kể cả phần cứng và phần mềm Cỏc phương phỏp hiện đại trong kỹ thuật robot tỏ ra cú nhiều ưu điểm nổi trội so với cỏc phương phỏp kinh điển khi vận hành khai thỏc cỏc thiết bị CMM Như đó biết cỏc thiết bị CMM kinh điển, cỏc rất đắt tiền Nhiều xớ nghiệp đang cú nhu cầu bức sỳc trang bị cỏc thiết bị này

Trờn hỡnh 1 là vớ dụ về mỏy CMM và khi được lắp thờm loại đầu đo cú thể quay nghiờng so với trục thẳng đứng, vớ dụ đầu đo hỡnh 2 Trong trường hợp này sơ đồ động của mỏy CMM ngoài 3 bậc tự do chuyển dịch theo 3 trục toạ độ cũn cú cỏc bậc tự do bổ sung để tạo cỏc độ nghiờng của trục đầu đo

Hình 1 Máy đo CMM

Hình 2 Đầu đo quay nghiêng được

Còn trên hình 3 là một kiểu PCMM để bàn Đó là tay đo 6 bậc tự do Spin Arm của hãng Mitutoyo Ngoài ra còn có Micro Scribe 3D, Stringer PCMM, 3000i của Cim Core Sơ đồ động của các thiết bị này đều là những

Hình 3 Máy PCMM để bàn

Một vấn đề quan trọng của thiết bị CMM là nâng cao độ chính xác đo lường Ngày nay có xu thế không đơn thuần nỗ lực nâng cao độ chính xác chế tạo thiết bị, vì đó là những việc rất khó khăn và rất đắt tiền Vì thế người ta còn đồng thời nghiên cứu đề xuất những phần mềm có thể suy luận của phép đo với số làn đo ít nhất có thể

Với cách đặt vấn đề như trên, Đề tài đã triển khai đề mục nghiên cứu các nhóm sản phẩm robot RE với các nội sung sau:

1 Vận dụng các phương pháp của robotics để nghiên cứu các đặc tính hình động học, nhất là độ chính xác của các cơ cấu máy CMM

2 Xây dựng các chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức tạp với số phép đo tối thiểu

3 Nghiên cứu cải tiến các cơ cấu thiết bị CMM để có khả năng hiện thực trong điều kiện chỉ có các trang bị thông thường cho công nghệ chế tạo

Trong lĩnh vực này Đề tài đã nhận được các kết quả qua:

1 So với các phương pháp kinh điển thì vận dụng các phương pháp hiện đại trong robotics tỏ ra hiệu quả hơn khi giải các bài toán động học thuận, động học ngược và bài toán di chuyển nhỏ liên quan đến độ chính xác cơ cấu tay đo, nhất là đối với trường hợp cơ cấu nhiều khâu phức tạp

2 Xây dựng được chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức tạp với số phép đo giảm thiểu và đã được cấp giấy bản quyền tác giả

3 Đề xuất và tạo dựng thành công một loại thiết bị CMM kiểu mới (hình 4), hoạt động theo tọa độ trụ Z = Z (r, ϕ), có độ chính xác đảm bảo, mà giá thành thấp

Hình 4 Thiết bị CMM kiểu mới hoạt động theo tọa độ trụ

II TỔNG QUAN VỀ TÁI HIỆN NGƯỢC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ MÔ PHỎNG CÁC ĐƯỜNG CONG, MẶT CONG KHÔNG GIAN

2.1 Giới thiệu chung về kỹ thuật tái hiện ngược (Reverse Engineering)

“Kỹ thuật tái hiện ngược” là một khái niệm được dịch từ một thuật ngữ tiếng Anh là Reverse Engineering (RE) Nhiều khi nó còn được hiểu và dịch với các tên gọi khác nhau như “kỹ thuật đảo chiều” hay là “kỹ thuật ngược” Đây là một khái niệm còn tương đối mới mẻ không những ở nước ta mà còn với nhiều nước trên thế giới Thuật ngữ này xuất hiện và có bản chất từ bài toán kỹ thuật lấy mẫu các chi tiết và vật thể với sự trợ giúp của máy tính Từ các mẫu vật đã có sẵn như là các tác phẩm điêu khác, các chi tiết cần gia công nhưng không còn bản vẽ chi tiết v.v Bài toán đặt ra là làm sao để chế tạo được các chi tiết giống hệt với các mẫu đó Với mục tiêu như vậy dẫn đến ý tưởng là dựng lại mô hình bằng cách xác định tọa độ các điểm trên bề mặt của vật thể Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả các điểm của vật thể đó, vì như vậy số điểm đo sẽ rất lớn và khó có thể kiểm soát được Vấn đề ở đây là số điểm đo nhỏ nhất nhưng vẫn đủ để dựng lại chính xác hình dáng hình học của vật thể Có rất nhiều thuật toán và phương pháp xây dựng các đường và bề mặt không gian dựa trên các điểm tựa Sau đây ta sẽ tìm hiểu chung về các thuật toán đó và xây dựng phần mềm tái hiện các đường và bề mặt không gian qua các điểm tựa

2.1.1 Quá trình thiết kế

Trong thiết kế kỹ thuật thông thường người thiết kế sẽ xuất phát từ ý tưởng của mình về sản phẩm trong tương lai Khái niệm ban đầu ấy được xuất phát từ những yêu cầu cụ thể của một nhiệm vụ kỹ thuật nào đó Với

sản phẩm được định hình sơ bộ trong óc người thiết kế Nó có hình dáng ra sao, kích thước lớn nhỏ thế nào v.v sẽ là những khái niệm đầu tiên Với những ý tưởng như vậy nó sẽ đựoc kết hợp với quan niệm của người thiết kế để từng bước hình thành nên sản phẩm Cũng như ý tưởng ban đầu thì quan niệm của mỗi người thiết kế sẽ rất khác nhau Từ quan niệm của mình sẽ đi đến thiết kế chi tiết Trong bước này các kích thước, hình dáng sẽ được xác định và thể hiện thông qua các bản vẽ chi tiết CAD/CAM và các chương trình gia công CNC Bước tiếp theo của quá trình thiết kế là khâu sản xuất dựa trên những bản vẽ chi tiết hoặc các chương trình CNC đã được thiết lập Kết thúc khâu sản xuất sẽ cho ta một sản phẩm hoàn thiện của qúa trình thiết kế này

2.1.2 Quá trình “sản xuất ngược”

Trong phần trên ta đã chỉ ra một quá trình thiết kế và sản xuất truyền thống với quy trình được mô tả sơ lược như sau:

Ý tưởng → Quan niệm thiết kế → Thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC → Sản xuất → Sản phẩm hoàn thiện

Trong sơ đồ này bước khởi đầu là ý tưởng về sản phẩm rồi qua các bước tiếp theo để đi đến sản xuất ra sản phẩm cuối cùng Quá trình “sản xuất ngược” (tức là ngược lại quá trình sản xuất) sẽ có điểm xuất phát từ một sản phẩm cụ thể đã có sẵn rồi thông qua sản phẩm này để quay lại quá trình sản xuất ra nó Lược đồ của quá trình này như sau:

Sản xuất

↓

Start → Sản phẩm hoàn chỉnh

Quá trình này cũng có điểm xuất phát là một sản phẩm hoàn chỉnh và nó được xem như một vật mẫu Nhưng ở đây không như quá trình sản xuất ngược là quay lại ngay sản xuất, mà đối với kỹ thuật tái hiện ngược còn qua khâu thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC Nghĩa là mẫu sản phẩm hoàn chỉnh sẽ được tái hiện lại thông qua chương trình mô phỏng CAD/CAM hoặc chương trình gia công CNC rồi từ đó sản xuất ra sản phẩm hoàn chỉnh

Sơ đồ của quá trình kỹ thuật tái hiện ngựoc có thể được mô tả như sau:

Thiết kế chi tiết

2.1.4 Ứng dụng kỹ thuật tái hiện ngược

Đúng như tên gọi của phương pháp: kỹ thuật tái hiện ngược, bài toán

đặt ra ở đây là đã có một sản phẩm hoàn chỉnh nào đó và ta cần phải dựng lại mô hình của nó thông qua hệ thống CAD/CAM hoặc chương trình CNC Tiến đến việc sản xuất ra các phiên bản là sự sao chép y hệt với nguyên bản ban đầu của nó Với đặc điểm của phương pháp như đã nêu, kỹ thuật tái hiện ngược có thể được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán kỹ thuật như:

- Thiết kế chi tiết dựa vào mẫu đã có

- Lưu giữ hình dáng, tính chất của mẫu vật hoặc nguyên mẫu ban đầu - Phục hồi những thiết kế không còn bản vẽ

- Đánh bóng sản phẩm - Tạo mẫu nhanh

2.1.5 Các loại đầu dò số hóa

Qua các đặc điểm của kỹ thuật tái hiện ngược ta có thể thấy nhiệm vụ của bài toán này là dựng lại mô hình của vật mẫu Như vậy ta phải nắm bắt được tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể bằng cách đo với các phương pháp đo tọa độ trong không gian 3 chiều Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể Vì vậy vấn đề đặt ra là với một số lượng hạn chế các điểm đo ta vẫn dựng lại được chính xác mô hình của vật thể thông qua các chương trình phần mềm

Để nắm bắt được tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể ở đây người ta dùng phương pháp quét số hóa Đây là phương pháp tập hợp thông tin về hình dạng của các vật thể 2 hoặc 3 chiều Tập dữ liệu điểm thu được có thể dùng để thiết lập các chương trình gia công NC hoặc làm dữ liệu đầu ra của hệ thống CAD Các loại sensor sẽ là công cụ thực hiện việc quét số hóa này Sau đây ta tìm hiểu một số loại sensor thường được dùng trong kỹ thuật này

2.1.5.1 Đầu dò điểm tiếp xúc

Với loại sensor này khi thực hiện thao tác đo, đầu dò sẽ tiếp xúc trực tiếp với bề mặt cần đo Tiếp điểm của đầu đo và bề mặt là tọa độ cần xác định của phép đo

Ưu điểm của loại sensor này là độ chính xác cao, giá thành thấp, lực tiếp cận nhỏ Còn nhược điểm là tốc độ xác định dữ liệu điểm chậm

2.1.5.2 Đầu quét liên tục

dữ liệu sẽ được ghi liên tục khi đầu quét di trượt trên bề mặt đo Vì vậy tập dữ liệu chứa một số lượng rất lớn điểm đo

Ưu điểm của phương pháp đo này là độ chính xác tương đối cao, dữ liệu liên tục Nhược điểm là đầu dò có thể chệch hướng khi đo

2.1.5.3 Đầu quét laser

Không như hai loại đầu quét kể trên là có sự tiếp xúc của đầu đo với bề mặt cần đo Ở đây đầu đo sẽ sử dụng kỹ thuật laser để bắt các điểm đo Các tia laser với cường độ lớn sẽ được phát ra đến bề mặt đo vì vậy sẽ đo được các bề mặt lớn với khoảng cách tương đối xa Đặc điểm nổi bật của phương pháp này là bắt dữ liệu nhanh, đầu đo không tiếp xúc cơ học với bề mặt, do vậy có thể đo được các bề mặt với chất liệu mềm

Nhược điểm của phương pháp là: - Sự giới hạn phạm vi theo chiều trục z - Không đo được bề mặt phản xạ

- Yêu cầu bề mặt đo phải thẳng góc

2.1.6 Các máy đo phục vụ kỹ thuật tái hiện ngược

Trên đây ta đã biết đến các loại đầu dò dùng để bắt tọa độ các điểm Tuy nhiên nó cần phải được gắn với một thiết bị nào đó để thực hiện tốt các thao tác của phép đo Tùy thuộc vào độ mềm dẻo của thiết bị sẽ cho phép các thao tác đo càng dễ dàng thực hiện, điều này phụ thuộc vào cấu trúc và số bậc tự do của thiết bị đó Trong thực tế các thiết bị có thể dùng để thao tác đo rất đa dạng, nó có thể là chuyên dụng hoặc đa năng Sau đây ta sẽ xét đến các loại thiết bị có thể dùng cho bài toán tái hiện ngược

2.1.6.1 Máy công cụ số hóa

Đõy là loại mỏy được thiết kế chủ yếu để phục vụ việc gia cụng Tuy nhiờn trong những mẫu mỏy mới cú trang bị thờm thiết bị để kết hợp làm nhiệm vụ “tỏi hiện ngược” Bản chất của nú là mỏy gia cụng chi tiết cơ khớ với đầu mang dao thụng thường cú 3 chuyển động tịnh tiến theo 3 chiều của hệ trục tọa độ Đềcỏc Như vậy nếu ta thay thế đầu dao gia cụng bằng một đầu dũ và đặt chi tiết cần lấy mẫu lờn bàn mỏy thỡ lỳc này ta đó cú một mỏy với cụng dụng tương đương với mỏy đo tọa độ 3 chiều Đầu dũ sẽ quột trờn bề mặt của vật mẫu và ghi lại tọa độ của cỏc điểm cần đo Ưu điểm của phương phỏp này là:

- Tận dụng mỏy đó cú sẵn

- Sự thao tỏc với mỏy đó quen thuộc - Nhanh chúng hũa nhập với mỏy - Vựng quột khỏ rộng

Bờn cạnh đú cũng tồn tại những nhược điểm như: - Chiếm dụng thời gian làm việc của mỏy - Làm việc chậm với đầu dũ tiếp xỳc trực tiếp

2.1.6.2 Mỏy đo tọa độ (Coordinate Measuring Machine: CMM)

Qua tên gọi ta cũng dễ dàng thấy được công dụng chính của máy Đây là một loại máy chuyên dụng được thiết kế để xác định toạ độ Đề các của các điểm đo Đầu dò thường dùng loại tiếp xúc và có 3 chuyển động theo 3 trục X, Y, Z trong hệ toạ độ Đề các Máy được kết nối với máy tính PC và có phần mềm xử lý dữ liệu kèm theo Toạ độ các điểm đo sẽ được lưu trữ trong bộ nhớ của máy tính sau đó được xử lý bằng phần mềm Kết quả thu được sẽ là đầu ra của các hệ thống CAD/CAM mô phỏng lại bề mặt với

toán và phần mềm làm việc với dữ liệu Vì đây là máy chuyên dụng cho việc số hoá bề mặt nên nó có rất nhiều ưu điểm nổi bật như:

- Máy có dung lượng bộ nhớ lưu trữ dữ liệu lớn - Có vùng quét rộng

- Kết nối và truyền dữ liệu trực tiếp cho máy gia công - Độ chính xác rất cao

Máy dùng loại đầu đo tiếp xúc trực tiếp nên nó cũng tồn tại những nhược điểm của loại thiết bị này như:

- Lấy dữ liệu chậm - Mức độ cơ động thấp

2.1.6.3- Máy quét

Cũng giống như các loại máy đo toạ độ ở trên Máy quét này là một thiết bị chuyên dùng cho việc số hoá bề mặt, nhưng có sự khác biệt ở đây là dùng loại đầu dò không tiếp xúc Do vậy tốc độ lấy dữ liệu nhanh, tiếp cận được với những vị trí khó khăn, những hoạ tiết nhỏ trên bề mặt chi tiết Máy được kết nối máy tính và có phần mềm thao tác với dữ liệu nên sẽ cho phép dễ dàng tái hiện lại bề mặt cũng như xuất kết quả sang các máy gia công số

2.1.6.4- Máy đo toạ độ kiểu tay quay

Đây là một loại thiết bị số hoá bề mặt chuyên dụng có cấu tạo phỏng sinh như một cánh tay có 5 bậc tự do với liên kết là các khớp bản lề Tại mỗi khớp được gắn với một encorder ghi lại chuyển động quay tương đối của 2 khâu Khi làm việc đầu dò di trượt trên bề mặt của vật thể làm cho các khớp quay và các encorder sẽ ghi lại trị số góc quay của từng khớp tương ứng Sau đó qua các chương trình phần mềm kèm theo sẽ tính toán chuyển đổi

thành toạ độ điểm 3 chiều của đầu đo Tập hợp các điểm đo này sẽ được xử lý giống như đối với các máy đo khác đã tìm hiểu ở trên

2.2- Phương pháp mô tả các đường cong trên máy tính

2.2.1- Các phép nội suy và xấp xỉ đường cong

Các đường cong sử dụng trong mô hình hoá hình học có thể đơn giản hoá chỉ là đường thẳng hoặc đường tròn Tuy nhiên trong các ứng dụng kỹ thuật đòi hỏi phải có các đường cong phức tạp hơn Đường cong bất kỳ có thể biểu diễn bằng ma trận các điểm, tuy vậy nó đòi hỏi sự lưu trữ lớn và không thể biểu diễn chính xác hình dạng của đường cong Vì vậy các phương trình toán học, cụ thể là các hàm đa thức thường được dùng để thể hiện các đường cong Đa thức thể hiện các ưu điểm nổi bật như về sự đơn giản trong tính toán các giá trị thực (chỉ dùng các phép tính nhân và cộng) và đặc biệt thuận lợi cho việc tính toán bằng máy tính Bên cạnh đó các ứng dụng trong đồ hoạ máy tính thường đòi hỏi xác định các tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong, do vậy phương trình đa thức hiển nhiên là sự lựa chọn tốt nhất cho việc tính vi, tích phân đường cong

Trong kỹ thuật các phương pháp toán học dùng để biểu diễn các đường cong thường dựa trên các lý thuyết nội suy hoặc xấp xỉ Lý thuyết nội suy là bài toán thiết kế đường cong đi qua tập hợp các dữ liệu điểm Phép nội suy được sử dụng để tính toán giá trị các điểm lân cận Các phép nội suy thường được dùng như: nội suy tuyến tính từng khúc (độ chính xác thấp), nội suy đa thức Lagrange, đường cong tham số bậc 3 (Hermite), đường cong spline bậc 3 Còn trong lý thuyết xấp xỉ, đường cong được thiết kế mà không cần quan tâm đến chất lượng của phép nội suy, tiêu chuẩn quan trọng nhất ở đây là độ trơn, là sự thay đổi cục bộ trong thiết kế Do vậy phương

2.2.1.1- Các phép nội suy

a Đa thức Lagrange

Xét một dãy các điểm trên mặt phẳng: (x0 , y0), (x1, y1), (xn , yn) trong đó xi < yj với i < j Đa thức nội suy bậc n có thể xác định như sau:

, ())

Có thể thấy rằng thừa số yi = 1 khi x = xi nhưng sẽ bằng 0 khi x bằng bất kỳ giá trị toạ độ nào khác Với n = 1 ta được phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm:

Hình 2.1 Sự dao động đáng kể hình dạng đường cong của phép nội suy khi tăng số điểm sử dụng

Hình 2.2 Một điểm trên đường cong tham số bậc ba

b Đường cong tham số bậc ba (Hermite)

Đường cong tham số bậc ba được định nghĩa như sau:

xy

P(t)

trong đó P(t) là một điểm trên đường cong (Hình 2.2)

Các hệ số đại số ai trong (2.3) có thể biểu diễn rõ ràng theo các điều kiện biên, các điểm cuối và các véc tơ tiếp tuyến như sau:

a0 = p(0) , a2 = -3p(0) + 3p(1) - 2p'(0) - p'(1) a1 = p'(0) , a3 = 2p(0) - 2p(1) + p'(0) + p'(1) Thay ai vào (1.3) và sắp xếp lại ta có:

p(t) = (2t3 - 3t2 + 1)p(0) + (-2t3 + 3t2)p(1) +(t3 - 2t2 + t)p'(0) + (t3 - t2)p'(1) (2.4) Phương trình (2.4) này đúng cho mỗi phân đoạn tham số bậc 3 của tập hợp các phân đoạn (Hình 2.3)

Tóm lại đường cong tham số bậc 3 được biểu diễn bằng các đa thức bậc 3 từng khúc với liên tục vị trí và độ nghiêng Các giá trị tham số t biến thiên từ 0 đến 1 đối với mỗi phân đoạn

( 32

PP

c Đường cong spline bậc 3

ý tưởng của đường cong spline dựa trên việc sử dụng một thanh cong spline dẻo, mỏng để vẽ đường cong trơn đi qua một loạt các điểm Thanh spline tự nhiên được tạo dáng bằng cách liên kết các vật chặn nặng với thanh trượt dẻo Nếu các vật chặn trong thanh spline hoạt động giống như các gối tựa đơn giản thì đường cong trở thành đa thức bậc 3 từng khúc, có đạo hàm bậc 2 liên tục tại mỗi gối tựa, nghĩa là liên tục vị trí, liên tục tiếp tuyến và liên tục độ cong

Các đường cong spline bậc 3 từng khúc có nhiều ưu điểm khi sử dụng trong các bài toán kỹ thuật, đặc biệt khi giá trị dữ liệu tương đối chính xác và có số lượng lớn, ví dụ như kết quả đo cơ tính vật liệu(khối lượng riêng, modun đàn hồi,…), tái hiện lại các đường cong, mặt cong khi biết được một số hữu hạn các điểm của chúng

Thuật ngữ “spline” trong đồ hoạ máy tính và mô hình hoá hình học dùng để chỉ sự biểu diễn tham số từng khúc một cách tổng quát với mức độ đặc biệt của sự liên tục tham số Đường cong spline bậc ba được biểu diễn bởi 1 đa thức bậc 3 có đạo hàm bậc 2 liên tục tại các điểm nối chung giữa các phân đoạn ý tưởng liên tục tham số được biểu diễn bằng chữ C in hoa với các chỉ số ở trên là 0, 1, 2,… tương ứng với các cấp độ liên tục của đường cong Dạng đơn giản nhất của tính liên tục là sự liên tục về vị trí, và được gọi là tính liên tục C0 , nó bảo đảm rằng không có sự gián đoạn hoặc bước nhảy trên đường cong ở mức độ liên tục C1, đường cong sẽ có độ dốc hoặc là đạo hàm bậc nhất liên tục ở mức độ liên tục C2, đường cong sẽ bị uốn cong hoặc là có đạo hàm bậc 2 liên tục và tương tự như vậy ở các cấp độ cao hơn Chú ý rằng các điều kiện liên tục này liên quan đến các phương trình tham số nên được gọi là điều kiện liên tục tham số Bên cạnh đó còn

tồn tại các điều kiện liên tục khác như là liên tục hình học mà ta không xét đến ở đây

Nếu các phân đoạn của đường cong spline bậc 3 được tham số hoá 1 cách riêng rẽ, sao cho tham số t biến thiên từ 0 đến 1 đối với tất cả các phân đoạn thì đường cong spline bậc 3 chuẩn này là trường hợp đặc biệt của phép nội suy Hermite Phép nội suy này đảm bảo tính liên tục của đạo hàm bậc nhất giữa các phân đoạn Trong đường cong spline bậc 3 này, các giá trị đạo hàm bậc nhất được chọn sao cho nó cũng trùng với đạo hàm bậc 2

Ma trận hàm liên kết trơn cho đường cong spline chuẩn (t=0->1) trong trường hợp này giống như ma trận dùng trong phép nội suy Hermite:

( 32

p(0), p(1), p'(0), p'(1): hệ số hình học

hoặc: P(t) = [t][M]H[G]H (2.8) ở đây ma trận [t] và [M]H là bất biến đối với tất cả các phân đoạn của đường cong spline bậc 3 Các thay đổi chỉ xuất hiện trong ma trận hình học [G]H , và khác nhau trong từng phân đoạn Trong ma trận [G]H các véc tơ điểm

phải được xác định sao cho tính liên tục của đạo hàm bậc 2 phải được bảo đảm Do đó tại mỗi điểm Pi của phân đoạn các giá trị phải được lựa chọn sao cho đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối của 1 phân đoạn trùng với đạo hàm bậc 2 của điểm bắt đầu của phân đoạn kế tiếp Biểu diễn toán học của nó như sau: P’’i-1(1) = P’’i(0) (2.9)

Đối với đa thức bậc 3:

Pi(t) = a3it3 + a2it2 + a1it1 + a0i (2.10) đạo hàm bậc 2 là:

P’’i(t) = 6a3it + 2a2i (2.11) Thay biểu thức (2.11) vào (2.9) với các giá trị tham số tương ứng, ta có:

Sử dụng lặp lại nhiều lần phương trình (2.13) cho tất cả các phân đoạn của spline bậc 3 cho phép tính được tất cả các véc tơ tiếp tuyến trong Giả sử đường cong spline bậc 3 có n-1 phân đoạn, từ P0 đến Pn-1, nội suy n điểm Trong trường hợp này có n-2 điểm nối bên trong, dẫn đến n-2 phương trình (2.13) Vì cần n véc tơ tiếp tuyến nên cần phải có các điều kiện ràng buộc cho đường spline bậc ba Hai điều kiện ràng buộc thường sử dụng là:

1 Biết các véc tơ tiếp tuyến P’0 và P’n-1 tại các điểm cuối

2 Đạo hàm bậc 2 tại 2 điểm cuối P0 và Pn-1 đều bằng 0 Đây gọi là đường cong spline bậc 3 tự nhiên

Trường hợp 1: Sử dụng đệ quy phương trình (2.13) cho tất cả các

phân đoạn đường spline và các véc tơ tiếp tuyến đã biết tại 2 điểm cuối của đường cong bậc 3, ta có thể biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

(2.14)

Giải phương trình ma trận này sẽ tính được tất cả các véc tơ tiếp tuyến:

(2.15)

hoặc:

[P’i] = [M]S-1[G]S (2.16) Chú ý rằng ở đây ma trận [M]S là ma trận 3 đường chéo Do đó dễ dàng tính phép nghịch đảo của ma trận này Hệ n phương trình với n ẩn số này có thể giải bằng phép khử Gauss, hoặc dùng các phần mềm thông dụng để giải

Trường hợp 2: Phương trình (2.14) được sử dụng lần nữa và đạo hàm

bậc 2 được gán bằng 0 tại 2 điểm đầu và cuối của đường cong spline bậc 3

Tại điểm đầu tiên, P0 (tham số t=0), đạo hàm bậc 2 theo phương trình (2.11) trở thành a2i=0

Thay giá trị a2i vào phương trình trong đường cong Hermite, ta có: 2P0’ + P1’ = 3(P1-P0) (2.17) Gán giá trị của đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối Pn-1 (tham số t=1) =0, sau đó thay vào phương trình (2.11), rút gọn cuối cùng ta được:

P’n-2 + 2P’n-1 = 3(Pn-1-Pn-2) (2.18) Hệ n phương trình với n ẩn số được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

PPP

phẳng, mặt trụ, Thiết kế các đường cong và mặt cong có hình dạng tự do là phần quan trọng bậc nhất trong các bài toán thiết kế kỹ thuật

Theo phương pháp truyền thống, các bài toán thiết kế này được thực hiện bằng các phương pháp hình học hoạ hình Ví dụ các mặt cong được phân ra thành các mặt phẳng và các đường đặc tính Với những thông tin này các mô hình chính được tạo ra, và từ đó chế tạo ra khuôn dập

Sự xuất hiện máy tính đã thay đổi hoàn toàn quá trình này Mô hình máy tính được tạo ra bằng quá trình số hoá các đường và mặt cong định sẵn, từ đó phát ra các chỉ thị điều khiển máy gia công Như vậy mô hình và bản vẽ chính đã được thay bằng các mô hình máy tính có dạng các mặt cong tự do

Trong CAD, đặc biệt là trong các bài toán thiết kế mô tả ở trên, tiêu chuẩn quan trọng nhất là độ trơn của đường cong hoặc mặt cong Có nghĩa là người thiết kế phải chấp nhận không quan tâm đến chất lượng của phép nội suy Một điều quan trọng nữa là bất kỳ thay đổi nào khi thiết kế đều chỉ là cục bộ, do đó các chỉnh sửa trong 1 vùng quy định không ảnh hưởng đến hình dáng tổng thể của đường cong hoặc mặt cong Do vậy các phương pháp xấp xỉ được thiết kế để thoả mãn phần nào các yêu cầu này Phương pháp biểu diễn đường cong xấp xỉ tạo ra đường cong trơn xấp xỉ các điểm cho sẵn, chứ không đi qua chính xác tất cả các điểm đó Hai phương pháp xấp xỉ thông dụng nhất trong các hệ thống CAD hiện nay là Bezier và B-spline

a_ Đường cong Bezier

Đường cong Bezier có các điểm tựa hoặc đỉnh tựa là 1 tập hợp theo thứ tự các điểm (V0, Vn), dựa vào đó để xấp xỉ đường cong (hình 2.4) Các điểm này có thể được biểu diễn trên màn hình đồ hoạ, và cho phép người sử

dụng điều khiển hình dạng đường cong Đường cong Bezier dựa trên các hàm đa thức, thường dùng để biểu diễn các đường cong hình dạng tự do

Hình 2.4 Đường cong xấp xỉ các điểm tựa chứ không đi qua chính xác các điểm này

Đường cong Bezier bậc n được xác định bởi n+1 điểm điều khiển, là phương trình tham số có dạng sau:

= n

trong đó véc tơ Vi biểu diễn n+1 điểm điều khiển

hàm Bi,n(t) là hàm liên kết trơn của đường cong Bezier, và được mô tả bằng đa thức Bernstein như sau:

Bi,n(t) = ( in)(t)i(1- t)n-i0≤ t ≤1 (2.21) trong đó n là bậc của đa thức và:

ư=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

∑

Các hàm liên kết trơn Bezier Bi,n(t) tạo ra 1 đa thức bậc n cho n+1 điểm điều khiển, và nói chung ép buộc đường cong Bezier đi qua các điểm điều khiển đầu và cuối (V0, Vn) (hình 2.5)

Các điểm điều khiển trung gian điều chỉnh đường cong đến hình dạng mong muốn Hình 2.6 chỉ ra sự ảnh hưởng đến hình dạng đường cong Bezier khi di chuyển các điểm tựa

Hình 2.5 Đường cong Bezier đi qua các điểm tựa đầu, cuối và thoả mãn tính bao lồi

V''

Chú ý rằng:

tại t=0, Q(0) = V0 và B0,n = 1 ; Bi,n = 0 , i != 0, n tại t=1, Q(1) = Vn và Bn,n = 1 ; Bi,n = 0 , i != 0, n

Đồ thị các hàm liên kết trơn của đường cong Bezier (Bi,n) là các đường cong bậc n Mỗi điểm điều khiển (Vi) có trọng số bằng hàm liên kết trơn liên kết với nó (Bi,n), và ảnh hưởng của mỗi điểm được thay đổi như các biến tham số dao động từ 0 đến 1 Các hàm liên kết trơn còn ép buộc đường cong Bezier tiếp xúc với các đường thẳng nối 2 điểm điều khiển đầu tiên và 2 điểm điều khiển cuối cùng Nếu điểm điều khiển đầu tiên và điểm điều khiển cuối cùng trùng nhau thì đường cong sẽ khép kín (hình 2.7)

Hình 2.7 Khi các điểm tựa đầu và cuối trùng nhau thì đường cong Bezier khép kín

Để tăng cường tính mềm dẻo cho thiết kế đòi hỏi số lượng lớn các điểm tựa, tuy nhiên khi đó các đa thức Bernstein được tạo ra sẽ có bậc cao dẫn đến việc khó quản lý chúng Để giữ cho bậc của đường cong thấp mà vẫn giữ được sự mềm dẻo khi thiết kế, các đường cong với số lượng lớn các điểm điều khiển được tạo ra bằng cách liên kết nhiều phân đoạn bậc thấp hơn như hình 2.8 ở đây hai phân đoạn V0 , V1 , V2 , V3 , V4 và V0* , V1* , V2* , V3* , V4* được sử dụng, như vậy thay vì một phân đoạn có 9 điểm tựa tương ứng với hàm liên kết trơn Bernstein bậc 8 ta đã dùng 2 phân đoạn với

6V 1

2V

4V

bậc 4 Điểm nối giữa các phân đoạn của đường cong Bezier từng khúc thường được áp dụng tính liên tục C0 và C1 Để thoả mãn điều kiện này các cạnh của đa giác điều khiển hội tụ tại điểm nối giữa các phân đoạn phải tạo thành đường thẳng Hay nói cách khác, điểm điều khiển nối hai phân đoạn và các điểm ngay trước và sau nó phải thẳng hàng Hình 2.8 chỉ ra các điều kiện này, điểm nối V4 cũng chính là V0* cùng với V3 và V1* nằm trên một đường thẳng

Hình 2.8 Đường cong Bezier nhiều phân đoạn

b_ Đường cong B_Spline

Như trong phần trên ta thấy các hàm liên kết trơn Bezier sử dụng các đa thức Bernstein phụ thuộc vào số lượng các điểm điều khiển Các đường cong này có sự điều khiển toàn bộ, di chuyển một điểm tựa sẽ ảnh hưởng đến toàn bộ đường cong Để tránh các đa thức bậc cao và giảm sự ảnh hưởng một cách tổng thể này, các đường cong Bezier thường được xây dựng bằng cách kết nối nhiều phân đoạn bậc thấp hơn Điều này cho phép sự điều khiển cục bộ và có quyền tự do thay đổi bậc tại các điểm sử dụng tính liên tục Mỗi phân đoạn đường cong Bezier có các tính chất đề cập ở trên, nhưng đường cong phức hợp có những tính chất khác Phương pháp được chọn để kết nối các phân đoạn với nhau phụ thuộc vào bậc mong muốn của tính liên

0 1

V*0

tính liên tục C0 Tính liên tục bậc cao hơn thu được chỉ bằng cách buộc theo các ràng buộc hình học tại vị trí các đỉnh (hình 2.8)

Có thể sử dụng các hàm liên kết trơn B-spline xen kẽ với các đa thức Bernstein để tạo ra đường cong đa thức tham số từng khúc riêng lẻ thông qua một số điểm điều khiển Bậc của đa thức có thể được người thiết kế lựa chọn độc lập với số lượng các điểm tựa Đó là bậc của các hàm liên kết trơn hoặc hàm cơ sở, mà nó điều khiển bậc của đường cong B-spline cuối cùng Các đường cong B-spline kế thừa sự điều khiển cục bộ, nghĩa là khi một điểm dịch chuyển chỉ một vài phân đoạn của nó bị ảnh hưởng, phần còn lại của đường cong không thay đổi Tính liên tục giữa các phân đoạn B-spline là một hàm có bậc của các hàm cơ sở Do đó tính liên tục là một nhân tố quan trọng trong việc hạ bậc có thể chọn bởi người thiết kế Đối với các ứng dụng như thiết kế các đường cong tự do trong đó độ trơn là một tiêu chuẩn quan trọng thì tính liên tục độ cong C2 được ưu tiên hơn Điều này được thoả mãn bởi đường cong B-spline bậc ba

Hình 2.9 Các hàm cơ sở của đường cong B-spline đều

* Đường cong B-spline bậc 3 đều

Trước tiên ta nghiên cứu một loại B-spline đặc biệt và đơn giản gọi là B-spline đều

B-spline tham số bậc ba đều , Ni(t) là một hàm cơ sở C2 bậc ba, như

sở được định nghĩa, có giá trị bằng nhau Chính vì vậy mà đường cong spline này được gọi là đều

B-Các nút tạo thành vector các số thực gọi là vector nút, theo thứ tự không giảm Hàm số được đặt vào giữa tại vị trí ti+2 và có giá trị bằng 0 với t<ti và với t>ti+4 (hình 2.9) Các đoạn khác 0 của hàm số được tạo từ 4 đa thức bậc 3 : N0,3 , N1,3 , N2,3 , N3,3 Đường cong B-spline thu được bằng cách nhân các hàm xấp xỉ này bằng tập con của bốn điểm điều khiển trên vùng lân cậncủa đường cong, và có thể biểu diễn bằng phương trình sau:

Pi(t) = N0,3(t)Vi + N1,3(t)Vi+1 + N2,3(t)Vi+2 + N3,3(t)Vi+3 (2.24)

Hình 2.10 chỉ ra đường cong B-spline bậc 3 đều có 6 đỉnh điều khiển Trong phương trình (2.24) các đỉnh điều khiển là chữ V

Hình 2.10 Đường cong B-spline bậc 3 đều có 6 đỉnh điều khiển

* Đường cong B - spline

Dưới dạng tổng quát, các đường cong B- spline có thể biểu diễn bằng các hàm liên kết trơn của chúng, như đã thực hiện ở đường cong Bezier:

P(t) = ∑=

VtN

Vi - tập các điểm điều khiển

Ni,k - biểu diễn các hàm liên kết trơn bậc 1-k

Hàm liên kết trơn thứ i được định nghĩa bằng phương trình đệ quy như sau:

1, t

Ni = 1 với (ti ≤t ≤ti+1) và ngựoc lại

và

trong đó, véctơ nút là [ti, ,ti+k]

Phương trình trên có thể biểu diễn theo cách nói “ B-spline cấp k ở nhịp thứ i là trung bình trọng số của các B-spline cấp (k-1) ở nhịp thứ i và (i+1) “ Một đường cong spline được gọi là cấp k, hoặc có bậc (k-1), khi nó được định nghĩa như một đa thức bậc (k-1), từng khúc có tính liên tục Ck-2(tính liên kết trục bậc k là sự liên tục của đạo hàm bậc k)

thường được gọi là nút bội

Vectơ nút có ảnh hưởng đáng kể đến các hàm liên kết hơn Ni,k(t) và cả bản thân đường cong B - spline Giống như các đường cong Bezier, đường cong B - spline thoả mãn tính chất bao lồi và tính chất chuẩn

(2.27)

Gi¶ sö vect¬ nót [t0 …tm], ta cã mèi quan hÖ:

m+1 = n + 1 + k (2.28) sè l−îng sè l−îng ®iÓm ®iÒu khiÓn c¸c ®−êng cong

Trong phÐp biÓu diÔn B - spline, vect¬ nót [t0 tn+k] cã thÓ ®−îc ph©n lo¹i thµnh:

2.3 Phương pháp mô tả các mặt cong trên máy tính

2.3.1 Giới thiệu chung về mặt cong

Các mặt cong đóng vai trò quan trọng trong thiết kế kỹ thuật và sản xuất Theo phương pháp thiết kế truyền thống, mặt cong thường được biểu hiện bằng các hình chiếu vuông góc Trong thời gian gần đây nhờ sự xuất hiện của đồ họa máy tính và sự phát triển nhanh chóng trong lĩnh vực hình học số, ta có thể biểu diễn các mô hình mặt cong thực trong không gian 3 chiều Các mô hình toán học cho phép ta phân tích nhanh chóng các tính chất quan trọng của mặt cong như trọng tâm, diện tích mặt v.v

các công cụ hiệu quả trong thiết kế mặt cong Phương pháp giá trị véctơ để biểu diễn mặt cong cần có 2 biến tham số s, t

P(s, t) = [x (s,t), y (s, t), z (s, t)] 0< = s, t < = 1 (2.29)

Hình 2.11 Mặt cong tạo bởi lưới đường cong theo các hướng s và t

Các vết đường cong biểu diễn mặt cong được tạo ra bằng cách giữ không đổi 1 tham số và thay đổi tham số kia Trên hình 2.11 là mặt cong được tạo bởi lưới đường cong theo hướng s và t

Như vậy để tạo nên mặt cong cần phải tạo các đường cong cấu tạo nên mặt cong Điều này áp dụng cho các mặt cong giải tích hoặc mặt cong tự do

2.3.2 Các mặt cong tự do

Cũng giống như đường cong, một vài mặt cong không thể được mô tả đầy đủ bằng các hàm giải tích như đã đề cập ở trên Như các mặt cong thiết kế thân ô tô, vỏ tàu, cánh máy bay Chúng thường được biểu diễn bởi một loại các ô lưới Các công thức cơ sở của các đường cong Hermite, Bezier và B - spline có thể sử dụng trong thiết kế mặt cong tự do

2.3.2.1 Mặt cong tham số bậc 3

P(1,t)

được biểu diễn bởi các điểm cuối và véctơ tiếp tuyến tại điểm cuối của nó như sau:

T−¬ng tù ta cã ph−¬ng tr×nh tham sè theo h−íng s: P(s) = [s] [M]H[G]H (2.31)

H×nh 2.12 MÆt cong tham sè bËc 3

Tuy nhiên nếu chỉ định nghĩa riêng lẻ các đường cong biên thì chưa thể định dạng hoàn toàn mặt cong Với cùng các đường cong biên, các mặt cong khác nhau được định nghĩa bởi các hình dạng bên trong khác nhau Do đó để định dạng được hoàn toàn mặt cong, hình dạng bên trong trên vùng lân cận của mỗi góc được điều khiển bởi các véctơ xoắn đặt tại các góc

Mặt cong tham số bậc 3 có cơ sở được xác định bằng tích các véctơ cơ sở của 2 biến s và t Nó được gọi là tích mặt cong hoặc tích tenxơ

ts

điểm góc, các véctơ tiếp tuyến hoặc các véctơ xoắn Để làm đơn giản phương trình mặt cong người ta có thể cho tất cả các véctơ xoắn bằng 0 và đây được gọi là ô lưới Ferguson hoặc F-patch Tuy vậy điều này làm phẳng các góc nên nó thường không được sử dụng trong thực tế kỹ thuật

Các ô lưới tham số bậc 3 và F-patch có thể ráp từng mảng lại với nhau và các cạnh sẽ có tính liên tục C’ (đạo hàm bậc 1 bằng nhau - có cùng tiếp tuyến tại điểm ráp)

hình hóa hình học, như việc tính toán điều khiển số hoặc phát hiện chướng ngại vật cho các robot Pháp tuyến tại bất kỳ điểm nào của đường cong tham số bậc 3 được xác định bằng véctơ các đạo hàm theo tham số tại điểm đó

2.3.2.2 Mặt cong Bezier

Như ta đã thấy ở trên, các mặt cong tham số bậc 3 là công cụ thiết kế khá hiệu quả, tuy nhiên chúng vẫn có khuyết điểm là các giá trị tiếp tuyến và các véctơ xoắn không mang tính trực giác Ngược lại các mặt cong Bezier dễ dàng tạo ra và sửa chữa một cách trực giác hơn nhiều

Mặt cong Bezier được định nghĩa bằng một phép tạo đường cong đơn giản Tích tenxơ dùng trong định nghĩa mặt cong tham số bậc 3 được áp

Hình 2.13 Lưới điểm tựa của mặt cong Bezier bậc ba kép

Mọi điểm trên mặt cong có thể xác định bằng cách gán giá trị cho cặp tham số xác định bởi phương trình:

(,)()()0,1

Như trường hợp đường cong Bezier, Vi,j định nghĩa các đỉnh điều khiển và Bi,n(s), Bj,m(t) là các hàm liên kết trơn Bernstein theo các hướng s và t Các tính chất của mặt cong Bezier được quy định bởi các hàm liên kết trơn như:

- Mặt cong có hình dạng theo các điểm điều khiển

- Mặt cong nằm trong miền bao lồi của các điểm điều khiển

- Các điểm góc của mặt cong và các điểm điều khiển tại góc trùng nhau Các điểm điều khiển của mặt cong Bezier có cùng chức năng như các tham số sử dụng trong ô lưới tham số bậc 3 Bốn điểm điều khiển góc nằm trên chính mặt cong Các véc tơ tiếp tuyến Hermite tại các góc được xác định bởi vị trí các điểm điều khiển Bezier kề sát các đường cong biên Tất cả các véc tơ tiếp tuyến khác cũng đúng như vậy Các điểm điều khiển nằm bên trong xác định hình dạng bên trong của mặt cong giống như véc tơ xoắn trong mặt cong tham số bậc 3 Để điều chỉnh hình dạng mặt cong người ta chỉ cần di chuyển 1 cách đơn giản các điểm điều khiển này Phương pháp này mang tính trực quan hơn nhiều so với phương pháp sử dụng mặt cong

s t V11

tham số bậc 3, vì lý do gặp phải những khó khăn khi gán giá trị thích hợp cho các véc tơ tiếp tuyến và véc tơ xoắn

Mặt cong Bezier có thể biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

Q(s,t) = [s] [M]B [V]B [M]BT [t]T (2.36) Với mặt cong bậc 3 kép, ma trận được rút gọn thành:

Do đó để biểu diễn mặt cong Bezier bậc 3 kép cần phải xác định 16 điểm điều khiển Cũng như ở đường cong Bezier, việc tăng số điểm điều khiển sẽ tự động tăng bậc của mặt cong Cần phải sử dụng nhiều ô lưới Bezier để tạo ra mặt cong bậc thấp Trong trường hợp mặt cong bậc 3 kép tính liên tục C1 cần phải bảo đảm dọc theo các cạnh chung giữa 2 ô lưới Một cách để bảo đảm điều kiện này là các cạnh điều khiển phải thẳng hàng tại các cạnh chung

2.3.2.3 Mặt cong B-spline

Cũng giống như mặt cong Bezier, mặt cong B-spline có thể biểu diễn bằng tích tensơ:

Trong đó Vi,j là các điểm điều khiển và Ni,k(s), Nj,l(t) là các hàm liên kết trơn B-spline Các véc tơ nút theo 2 hướng tham số có thể phân loại thành đều (tuần hoàn, không tuần hoàn) và không đều, giống như đường cong B-spline Mặt cong nằm trong giới hạn đa diện tạo bởi các điểm điều khiển (dạng điều khiển cục bộ)

Các mặt cong B-spline đều tuần hoàn được tạo ra bằng cách sử dụng các véc tơ nút đều và 1 mảng các điểm điều khiển Ví dụ mặt cong bậc 3 kép được biểu diễn bằng mảng 4x4 các điểm điều khiển

Đối với mặt cong B-spline bậc 3 kép tuần hoàn có tính liên tục C2 (có cùng giá trị đạo hàm bậc 2 tại điểm liên kết), mỗi phân đoạn cần 16 điểm điều khiển, trong đó 12 điểm được dùng chung với phân đoạn kế tiếp

Mặt cong B-spline tuần hoàn khép kín thu được cùng phương pháp với đường cong B-spline tuần hoàn khép kín Các cạnh đối diện của mặt cong được trộn với nhau bằng cách đặt trùng các đỉnh điều khiển trên các cạnh

2.4 Đặt vấn đề về nội dung nghiờn cứu

những thiết bị chớnh xỏc và rất đắt tiền, phục vụ cho những việc đo lường Ngoài cỏc mỏy đo tọa độ thao tỏc trong hệ trục tọa độ Đềcỏc vuụng gúc cũn cú cỏc thiết bị kiểu xỏch tay nhiều trục quay như MicroScrible, Spin Arm, Stinger v.v Ngày nay nhờ cú cỏc chương trỡnh phần mềm hiện đại nờn đó nõng cao nhiều tớnh năng như tốc độ và độ chớnh xỏc đo lường của cỏc loại thiết bị núi trờn Cú thể nhận xột rằng sơ đồ động của cỏc thiết bị đo lường núi trờn cú cấu trỳc tương tự như trong cơ cấu robot Vỡ thế việc ỏp dụng cỏc phương phỏp nghiờn cứu động học robot là hoàn toàn hợp lý và cú thể đem lại nhiều tiện ớch

Ở đõy gọi tờn robot RE, tương tự như một mỏy đo tọa độ xỏch tay (portable CMM) Ở đõy gọi tờn robot RE là để chỉ mục tiờu sử dụng cho kỹ thuật tỏi hiện ngược (Reverse Engineering - RE) cỏc đường và bề mặt phức tạp trờn cơ sở cỏc phương phỏp của robotics Sản phẩm được xõy dựng như một hệ thống thiết bị số húa cỏc đường và bề mặt khụng gian

III NGHIÊN CỨU, THIẾT KẾ, CHẾ TẠO ROBOT RE THEO KIỂU PCMM CƠ CẤU CHUỖI

3.1 Phân tích kết cấu các thiết bị PCMM cơ cấu chuỗi và phương án chế thử Robot RE - 01

3.1.1 Giới thiệu chung

những thiết bị chính xác và rất đắt tiền, phục vụ cho những công việc đo lường Các máy CMM này thao tác trong hệ tọa độ vuông góc Ngoài các máy CMM này còn các thiết bị kiểu xách tay (Portable CMM – PCMM) Các hình ảnh dưới đây là những kiểu thiết bị PCMM có thương hiệu nổi tiếng như Micro Scribe, Spin Arm, Stringer v.v

Hình 3.3.1 Thiết bị PCMM – Micro Scribe

Hình 3.3.2 Thiết bị PCMM – Spin Arm