Điều khiển Robot thích nghi theo mô hình mẫu

Điều khiển Robot thích nghi theo mô hình mẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

_ ĐIỀU KHIỂN ROBOT

THICH NGHI THEO MO HINH MAU

NGANH: DIEU KHIEN TU DONG MA SO: 60526003

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung

thực và không sao chép ở bất kỳ tài liệu nào

HỌC VIÊN

HH” NGUYEN CHI DUNG

LOI NOI DAU

Sau một thời gian học tập và nghiên cứu, được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô trong bộ môn Điều khiển tự động Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, sự động viên giúp đỡ của gia đình và đồng nghiệp cùng với nỗ lực của bản thân, học viên đã hoàn thành luận văn Thạc sĩ kỹ thuật với đề tài: Điều

khiển robot thích nghỉ theo mô hình mẫu

Luận văn gồm 4 chương:

1) Chương I1 trình bảy về cơ sở lý thuyết, gồm điều khiển thích nghi và - phương phá? tuyến tính hoá chính xác

2)_ Chương 2 viết về đối tượng robot và thuật toán cho nó, gdm dong hoc robot và thuật toán tuyến điều khiến tổng quát

3) Chương 3 nói về việc ứng dụng điều khiển robot 2 bậc tự do, đưa ra kết quả mô phỏng và kết luận

4) Chương 4 đánh giá, so sánh kết quả nghiên cứu trong luận văn với các công trình nghiên cứu liên quan mật thiết với đề tài

Học viên xin gửi lời cám ơn chân thành tới các thầy cô giáo Bộ môn

Điều khiển tự động Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đặc biệt là PGS Ts

Phan Xuân Minh Cám ơn bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, đóng góp ý kiến cho luận văn này

Hà Nội 2006

HỌC VIÊN

NGUYEN CHI DUNG

„ As

r > A `

Mục đích, đôi tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Trong việc thực hiện một bài toán điều khiến, người ta thường phải làm việc với những mô hình bất định mô tả đối tượng hay có nhiễu hoặc các tín

hiệu ngoại sinh không mong muốn tác động vào đối tượng Chuyên ngành

riêng có vai trò hỗ trợ cho việc thực hiện bàPtoán như vậy có tên gọi là “Điều khiển thích nghỉ”

Mặc dù có vai trò quan trọng nhưng cũng chỉ mới vải năm gần đây, các phương pháp điều khiển thích nghi đối tượng phi tuyến mới có dip phát triển

nhiều và mạnh mẽ Lý do là nó đã có được sự hỗ trợ đắc lực của sự phát triển

nhảy vọt trong những chuyên ngành liên quan, đặc biệt là trong điều khiển phì tuyến trên nền ISS và hình học vi phân

Một trong những bải toán được tập trung nghiên cứu những năm gan

day là bài toán thiết kế bộ điều khiển cho robot nhiều bậc tự do, một đối tượng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như công nghiệp lắp ráp,

gia công vật liệu, y tế Để nâng cao chất lượng điều khiển chúng ta không

thé bỏ qua các thành phần bất định, nhiễu hay các tín hiệu ngoại sinh khác tác

động vào đối tượng, điều mà các phương pháp điều khiển thích nghi trước

đây rất khó thực hiện, đặc biệt là đỗi với các đối tượng phi tuyến Vì vậy, luận

văn xin trình một phương pháp điều khiển thích nghi mới xây dựng bộ điều khiển trên cơ sở phương pháp tuyến tính hoá chính xác và được bồ sung thêm

bộ điều khiển bù bất định nhằm điều khiển hệ bám theo mô hình tuyến tính

mẫu có điểm cực đặt trước (năm bên trái trục áo) Phương pháp này có khả năng loại trừ được nhiễu bất định tác đọng vào hệ thông Đó cũng là mục đích của luận văn nay.

Phương pháp điều khiển trên cơ sở phương pháp tuyến tính hoá chính

xác và thích nghi theo mô hình mẫu có khả năng áp dụng cho lớp đối tượng

phi tuyến bất định mô tả bởi phương trình vi phân bậc nhất affine có thành

phần tạp nhiễu ở đầu vào và thoả mãn một số điều kiện Tuy nhiên, trong luận văn này chỉ tập trung đề cập và mô phỏng eho đối tượng là tay máy nhiều bậc tự do, không xét đến trường hợp hệ hụt cơ chế chấp hành

Đê tài sẽ góp thêm một phương pháp điêu khiên robot nhiêu bậc tự do, nâng cao chât lượng điêu khiên, khắc phục được một sô nhược điêm của các phương án điêu khiên trước đây.:

Tông quan về các công trình nghiên cứu liền quan đền de tài

Hàng thập kỷ qua, đã có những bước phát triên vượt bậc trong việc điều khiên cánh tay robot, như là các bộ điêu khiên PID, điêu khiên tiên chỉnh định và điêu khiên momen ước tính, điêu khiên thích nghị, điều khiên câu trúc biên đôi, điêu khiên mờ Rât nhiêu các bộ điêu khiên đã từng được nghiên cứu này đều yêu câu hoàn thành khâu đo lường trạng thái (như đo vị trí, đo vận tốc của mỗi khớp) của cánh tay robot

Tuy nhiên rất nhiều hệ thống chỉ cung cấp cho người dùng khâu đo

lường vị trí của các khớp nối Việc đo lường vị trí một cách chính xác có thể

được xác định bằng encoder hoặc dụng cụ phân tích resolver Ngược lại việc đo lường vận tốc của các khớp nối đạt được bằng các máy đo tốc độ (tachometer) hoặc bằng các sai lệch vị trí đạt đo được qua encoder hoặc dụng cụ phân tích resolver Những thiết bị này lại thường xuyên bị sai lệch do các nhiễu tác động vào Điều này có thê làm giảm khả năng thao tác linh hoạt của các tay máy do đó mà trong thực tế chất lượng điều khiển bị giới hạn bởi các yếu tố nhiễu ảnh hưởng tới việc đo lường tốc độ Thêm nữa, các máy đo tốc d6 (tachometer) làm tăng trọng lượng của bộ phận chuyển động trong robot

chế này, đã có rất nhiều nghiên cứu phát triển bộ điều khiển bám theo vị trí mà ứng dụng thông tin về tốc độ ước lượng được

Đầu tiên, Nicosia er ai đã thiết kế một cấu trúc bộ điều khiển quan sát

(observer-controller structure) trong đó bộ phận quan sát phi tuyến được thêm _vào trong vòng phản hồi nhằm đảm bảo ỗn định tiệm cận cục bộ của sai lệch vị trí Vải năm sau, Lim et al lặp cùng van dé nghiên cứu này với cách tiếp cận bước lùi (backstepping perspective) va’ 'cũng đạt được kết quả tương tự Tuy nhiên, những nghiên cứu của họ đều yêu cầu phải có những kiến thức chính xác về động lực robot và đảm bảo kết quả ôn định chỉ ở mức cục bộ hoặc bán cục bộ (semiglobal) Đối với việc bù cho robot không xác định,

Canudas de Wit et al da phát triển bộ quan sát dựa trên mô hình cầu trúc biến

đổi để thiết kế bộ điều khiến thích nghi và bộ điều khiển sơ cấp (robust controller) Nhưng chúng cần được giả định rằng manifold duoc xác định trong cái gọi là miếng trugt (sliding patch) Erlic e¢ al lai thiét ké bộ quan sát giảm cấp (reduced-order observer) dé str dụng trong một bộ điều khiển thích

nghị Tuy nhiên, nếu áp dụng dạng TỜI rạc và theo một vài phán đoán nên

quan tâm đến vấn đề liên quan tới sai lệch số học Ngoai ra con cé, Zhu et al đã thể hiện một bộ điều khiển có cấu trúc biến đổi mà ứng dụng bộ quan sát

dưa trên mô hình mẫu với việc ước lượng tham số đặt trước, De Queiroz et g/

đưa ra gợi ý về khái niệm vị trí thích nghi và điều khiển cưỡng bức mà bỏ qua công đoạn đo lường tốc độ Gần đây, phương pháp điều khiển có phản hổi đầu ra thông minh dựa trên mạng nơ ron đã được đề xuất thực hiện cấu trúc bộ điều khiển quan sát (observer- -©ontroller structure) và khâu bù cho robot không xác định, Tuy nhiên, trong giới điều khiển đều thừa nhận rằng không có phương pháp ồn định tốt đối với việc thiết kế bộ điều khiển quan sát mềm

cho robot với mô hình không xác định.

Từ quan điểm lý thuyết điều khiển, người ta nhận thây rang fuzzy logic

cĩ thể là một giải pháp khả thi ma cĩ khả năng thực biện bộ điều khiển quan

sát mềm cho các robot bằng cách sử dụng chỉ một khâu đo lường vi tri va

khâu bù cho robot khơng xác định Dựa trên các vẫn đề thực tế đĩ, Wang đã

báo cáo các việc làm tiên phong trong điều khiển mờ thích nghi trong tiến trình cơng việc gồm nhiều bước và sau đĩ được Passino e/ aÏ, tổng quát hố

kết qua Chen et al két hợp điều khiên mờ thích nghỉ với điều khiển thơng

thường để cải thiện các tác động điều khiển và được ứng dụng trong các hệ thống điều khién canh tay robot.-Leu et al đề xuất hệ thống nơ ron/mờ thích nghỉ dựa trên bộ quan sát cho các hệ thơng động khơng tuyến tính khơng xác

định Và gần đây, một số tài liệu đã de cập tới một cấu trúc bộ điều khiển

quan sát cho cánh tay robot với mơ hình khơng xác định sử dụng chỉ khâu đo lường vị trí Với phương pháp này, điều khiển mờ thích nghi được sử dụng để _xấp xỉ động lực học robot khơng xác định phi tuyến ở cả hai khâu quan sát và

điều khiển So với phương thức điều khiển cĩ phản hồi trước kia, phương

pháp này khơng yêu cầu thu thập nhiều các thơng tin chính xác về động lực robot, manifold trong miếng trượt (sliding patch), tác động rời rạc Phương | pháp đề xuât này cũng cĩ một sơ ưu diém hon han mang noron

Một số xu hướng khác sử dụng các phương pháp điều khiển thích nghỉ hiện đại với cơ sở nền tảng là lý thuyết Lyapunov, trong đĩ phải kế đến phương pháp xây dựng hàm điều khiển Lyapunov (CLF) va ham diéu khién Lyapunov ổn định vào - trạng thái (ISS - CLF) của Sontag và phương pháp giả định rõ Theo phương pháp của Sontag, khi đã xác định được một hàm

ISS - CLF cho hé théng thì ta cũng cĩ được một bộ điều khiển phản hồi trạng

thai u(x) lam hệ thống 6n dinh vao - trang thái, tức là sẽ lam cho moi quy dao trạng thái tự do của hệ tiên về điểm cân bang néu như thành phan tạp nhiêu

tiêm chính:

s Trong trường hợp tạp nhiều bất định đ(/) không tiến về 0, bộ điều khiển z(x) cũng sẽ không kéo hệ về đúng điểm cân bằng mong muốn

Nó chỉ có thể đưa hệ về lân cận của điềm cân băng

ø Do việc xác định hàm ISS - CLF thường rất khó khăn nên phương pháp

trên cũng chỉ có thể áp dụng được cho một lớp các hệ phi tuyên đặc biệt, cụ thê là lớp hệ phi tuyến có một tín hiệu vào và có mô hình dạng

cầu trúc truyền ngược

Xu hướng thứ hai là sử dụng phương pháp giả định rõ cũng chỉ giải quyết được một trường hợp đặc biệt của bài toán điều khiển thích nghi kháng

nhiễu, đó là bài toán hệ thông có thành phần tham số không biết trước là hằng

số hoặc thay đổi đủ chậm theo thời gian Thêm nữa là không phương pháp cũng chỉ xác định được tín hiệu điều khiển trong một vài trường hợp đặc biệt

Gần đây, với sự phát triển nhảy vọt trong điều khiến phi tuyến trên nền ISS va hinh hoc vi phân, phương pháp xây dựng bộ điều khiển thích nghi trên

cơ sở tuyến tính hoá chính xác và được bố sung thêm bộ điều khiển bù bất

định nhằm điều khiển hệ bám theo mô hình tuyến tính mẫu có điểm cực đặt

trước (nằm bên trái trục ảo) đã loại trừ được nhiễn bất định tác động vào hệ

thông và khắc phục được những nhược điểm của các phương pháp trên

Sau đây, luận văn xin được tập trung trình bày vào hướng nghiên cứu phương pháp mới này .

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Điều khiển thích nghỉ

1.1.1 Điều khiến thích nghỉ tự chỉnh (STR)

Để thiết kế được bộ điều khiên cho một đôi tượng cụ thể thì cần phải có mô hình toán học mô tả đối tượng đó Đối với những đối tượng tuyến tính, có

một tín hiệu vào, một tín hiệu ra (đối tượng SISO) thì mô hình toán học thông

dụng nhất thường được sử dụng là hàm truyền đạt dạng thực - hữu tý: by +D,s+ tbs B(s)

việc, để chất lượng hệ thống vẫn đạt được các chỉ tiêu như thiết kế ban đầu thì

cần phải có giả thiết rằng đối tượng không tự thay đổi, tức là độ chính xác của mô hình vẫn còn được giữ nguyên Song điều này trong thực tế chỉ là lý tưởng, phần lớn các mô hình đều chứa trong nó một sai lệch nhất định so với đối tượng và trong quá trình làm việc, bản thần đôi tượng lại cũng tự thay đổi,

làm cho sai lệch giữa mô hình và đối tượng càng lớn, dẫn đến độ sai lệch chất

lượng so với chỉ tiêu thiết kế càng nhiều Trong trường hợp như vậy, chúng ta

thường nghĩ đến việc là làm lại từ đầu, tức là lại phải xác định một mô hình

toán học đôi tượng mới và lại thiêt kê một bộ điêu khiên mới

Một bộ điều khiển tổng hợp, nếu trong quá trình làm việc co kha nang

tự xác định lại mô hình toán học mô tả đối tượng để từ đó tự chỉnh định lại bản thân nó cho phù hợp với sự thay đổi của đối tượng được gọi là bộ điều khiển thích nghỉ tự chỉnh (selftuning-regulator): viết tắt là STR Bộ điều

tham số, tức là nó không tự thay đổi cấu trúc bộ điều khiển mà chỉ xác định

lại tham số a,,¡ =1,2, n và b,j =1,2, m cho m6 hinh ham truyén dat (1.1) cha déi tuong để từ đó tự chỉnh định lại tham số điều khiển của chính mình cho phủ hợp Nguyên tắc điều khiển STR vẫn thường được xếp vào nhóm

điều khiển thích nghỉ gián tiếp, vì tham số bộ điều khiển được hiệu chỉnh gián

tiêp qua kết quả của cơ cầu nhận đạng

I # ` * +

| | số bộ điều khiển đôi tượng |" | Pe

Hình 1.1: Cấu trúc chung của bộ điều khiên thích nghỉ tự chỉnh STR

Nhu vậy đặc điểm nỗi bật, dễ nhận biết nhất của một bộ điều khiển

thích nghỉ tự chỉnh STR là trong nó chứa các cơ cấu:

` Cơ cầu nhận dạng (tham số) mô hình hàm truyền đạt S(s) của đối tượng -_ Cơ cấu xác định tham số điều khiển dựa trên hàm truyền đạt của đối

tượng |

Khi đã có được mô hình toán học cụ thể là ham truyén dat S(s) của đối tượng điều khiến nhờ cơ cấu nhận dạng, thì để xác định bộ điều khiển R(s) ta có thé áp dụng một phương pháp thiết kế bất kỳ của lý thuyết điều khiển tuyến tính như:

- - Bộ điều khiển tách kênh có chất lượng từng kênh được định trước

Xác định tham số bộ điều khiến PI theo phương pháp toi ưu độ lớn

Phương pháp tối ưu độ lớn được ứng dụng khá phổ biến trong thực tế giúp tìm hai tham số *„,T7, cho bộ điều khiển PI:

(I+7sXÁI+7s) 1+(j+7;)s+77s

Trong đó a =(7, +T,),a, = 11;

Theo tải liệu [3] thì bằng phương pháp tối ưu độ lớn, hai tham số s,,7, của bộ

điều khiên P[I sẽ xác định từ các tham sô k,z,,a, của đôi tượng như sau: a) Tính 7¡,7; từ-z,,œ, có được nhờ cơ câu nhận dạng

D) 7, =1

T 2kT,

c) k,=

Xác định tham số bộ điều khiển PID theo phương pháp tối ưu đối xứng

Cũng giống như phương pháp tối ưu độ lớn, phương pháp tối ưu đối xứng xác định ba tham số k „›T,,T, cho bộ điều khiển PID:

Hình 1.3: Xác định tham số PID và bộ điều khiển tiền xử lý theo phương pháp tối ưu đôi xứng

Ba tham số PID này, bao gom k„,T,,Tp, Và hàm truyền đạt tiền xử lý T(s) của bộ điều khiển thích nghi STR (hình 1.3) sẽ được chọn như sau [3]:

a) Xác định k, Tìị, Ta (bằng cơ cầu nhận dạng)

T, + 47, c) Chon :k, = Sere

2

1

1+47,s

d) Xác định T(s)=

z ° Kyn wed oA Ae .X

Xác định tham sô bộ điều khiến tôi ưu theo nhieu

Xét hệ thống điều khiên có câu trúc phản hồi đầu ra mô tả ở hình 1.4 Đối tượng điều khiên có hàm truyện đạt đã Biết:

Bộ điều khiển được giả thiết là có cầu trúc hàm truyền đạt:

r r rom,

— Ủy +bhịs+ + Đụ ý

dạ +ais + + đ, Š

và nhiệm vụ đặt ra cho bài toán là phải xác định các tham số b/ ,a; Cho bộ

điều khiển (1.3) để thành phân nhiễu có lẫn trong đầu ra, gọi tắt là y„(), đạt

được giá trị năng lượng hao hụt nhỏ nhất: | Q= Jy; (t)#¿ > min

và các tham số e,„đ j đều là các tham số phụ thuộc b/,a, của bộ điều khiển Sử dụng công thức Parseval cho hàm mục tiêu Q với ảnh Laplace (1.4) của

hàm y„() dưới dấu tích phân ứng với ø = 1,2,3,4, ta có Ø(?} phụ thuộc

c,,đ,, tức là phụ thuộc vector tham sô p cân tìm:

r r r\T

p=(b,bị ‹ Đụ› đọ 5A) yey, ) m?

Công việc thiết kê bộ điêu khiên lúc này đã trở nên rõ ràng hơn với

nhiệm vụ xác định nghiệm ø của bài toán tôi ưu tĩnh:

Thiết kế bộ điều khiến phản hồi tĩnh, theo nguyên tắc cho trước điểm cực

Bài toán được đặt ra ở đây là xác định bộ điều khiển tĩnh R, hoặc phản

hồi trạng thái (hình 1.5a), hoặc phản hôi tín hiệu ra (hình 1.5b) cho đối tượng

tuyến tính, mô tả bởi mô hình trạng thái:

a) ¬ =(4+ BR)x+ Bø (cho trường hợp phản hồi trạng thái) t z

b) = = (A+ BRC)x+Bo (cho trong hợp phản hồi tín hiệu ra)

nên nhiệm vụ thiết kê được thê hiện một cách đơn giản là giải phương trình sau để có nghiệm R (cũng là một ma trận):

a) A+BR=A_ (cho trường hợp phản hồi trạng thái) (1.5)

b) 4+ RC= Ã_ (cho trường hợp phản hồi tín hiệu ra) (1.6)

với 4 là một ma trận bất kỳ nào đó có các giá trị riêng là s,,s, s„ Chẳng

hạn:

A = diag(s,)

Ta có thê xác định nghiệm R nhờ công thức:

b) R=B(A-A)C, (cho trường hợp phản hồitínhiệur) = (1.8)

trong đó Z,là ma trận giả nghịch đảo bên trái của ð, tức là BB=1e<K” và

C„ là ma trận giả nghịch đảo bên phải của C, tức là CC, =7 &”” Điều kiện

n>m,n>r đảm bảo rang sẽ tôn tại vô sô các ma trận giả nghịch đảo và một trong các ma trận giả nghịch đảo đơn giản trong số đó là:

B, =(B! B)" B và C,=€C”(CŒ”)=1

nếu B có hạng đúng bằng m và Œ có hạng đúng bằng r

Thiết kế bộ điều khiến động, phản hồi tín hiệu ra có điểm cực cho trước

Hình 1.6a mô tả nhiệm vụ bài toán thiết kế bộ điều khiên động R(s) sao

-_ cho hệ kín với hàm truyền đạt: S(s)

OS) = TRS) SS)

nhan cac giá trị cho trước s,,s, ,s„ làm điểm cực, trong đó Š(4) là hàm truyền đạt hợp thức chặt của đối tượng, đã có từ cơ cầu nhận dạng của bộ điều khiển

Tất nhiên một trong những nhiệm vụ hàng đầu của bộ điều khiến là hệ

kín phải 6n định Do đó các giá trị điểm cực cho trước s,,s ,s„ này đều phải

nằm bên trái trục ảo Nếu chỉ dừng lại ở mục đích thiết kế bộ điều khiển R(s)

làm hệ kín 6n định thì tai mục 4.2.2 ta đã có phương pháp tham số Youla xác

định tập Ø của tất cả các hàm truyền dat R(s) lam hệ kín ôn định Song so với

bài toán tham số hóa Youla thì ở đây có hai điểm khác biệt, đó là:

- Không cần phải xác định tất cả các hàm truyền đạt R(s) làm hệ kín én dinh

- Hékin phai co cac điểm cực s,,s ,s„ là những giá trị cho trước

Tuy rằng có sự khác biệt như vậy, nhưng phương pháp tham số hóa Youla lại là một gợi ý quan trọng cho việc thiết kế R(s) theo nguyên tắc điểm cực đặt trước bằng cách thay R5) bằng một bộ điều khiển phản hoi trang thai R va một bộ quan sát trạng thái Luenberger (hình 1.6b):

phản hồi trạng thái R và bộ quan sát Luenberger

Với cách thay thế như trên, rõ ràng điểm cực của hệ kín sẽ do bộ điều khiến tĩnh, phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng thái Luenberger mang lại, nói cách khác nó sẽ chính là giá trị riêng của hai ma trận 4„= 4- 8R và 4,=A-PC và do đó số các điểm cực được gán nhiều nhất cũng chỉ có thể

gấp đôi số hàng /cột của ma trận 4, tức là chỉ có thể gấp đôi bậc đa thức mẫu

Từ đây ta đến được hảm truyền đạt của bộ điều khiển:

R(s) = rH = R(sI - A)" Pp

trong dé Z(s) là ảnh Laplacẻ của z(t) va Y(s) la nh Laplace cia y(t)

Vậy, thuật toán thiết kế R@) sẽ gồm các bước sau:

I Xác định các ma trận A,B ;C từ hàm truyền đạt hợp thức chặt S(s), ví dụ như thông qua mô hình trạng thái chuẩn điều khiển của đối tượng

2 Xác định các ma tran RP dé những giá trị riêng của hai ma trận 4, = A-BR va A,=A-PC là các gia trị cho trước 3,, ,„ (theo phương pháp thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái có điểm cực cho

trước và bộ quan sát trạng thái Luenberger) Số các điểm cực được gán

nhiều nhất chỉ có thể gấp đôi số hàng/cột của ma trận 4 (bậc của mô

hình đối tượng, hay cũng là bậc của đa thức mẫu số của hàm truyền đạt

deg 4„ - deg B„ > deg 4— deg B8 >0

trong đó deg la ky hiéu chỉ bậc chỉ bậc của đa thức

Rõ ràng bài toán thiết kế có mô hình mẫu G,„(s) là dạng tổng quát của

bài toán gán điểm cực, vì như ta thấy, nếu (1.9) được thỏa mãn thì khi 8C và

AE+BD là hai đa thức nguyên tô cùng nhau, ta cũng Có:

và đó chính là bài toán thiết kế bộ điều khiển “ để hệ kín có các điểm cực

%„5;, ,#„ tạo thành đa thức cho trước:

(s— #,)(s — s¿) (#— #„)= A„(S)

Vì là mô hình mẫu, có bậc cực tiểu, nên hai đa thức „,4„của hàm truyền đạt G„(s) phải nguyên tố cùng nhau Bởi vậy theo (1.9), nếu như BC

và AE + BD không nguyên tố cùng nhau thì chúng phải có chung một đa thức

thừa số F:

AE+BD=FA,,

Nhìn vào đẳng thức (1.11) ta thấy một nghiệm s, nào đó của đa thức

F(s ) cũng phải là nghiệm của đa thức Bis) hoặc của C(s) Song khi sx la nghiệm cua F(s), no phai nam bên trái trục ảo, vì bộ điều khiển hợp lệ là bộ điều khiến ôn định và các điểm không của đối tượng chỉ có thể được loại bỏ trực tiếp thông qua điểm cực của bộ điều khiến Điều này suy ra rang, F(s) phải là đa thức Hurwitz và mô hình mẫu cũng không thể là tùy ý Đa thức

B„(s) của mô hình mẫu Œ„(s) phải chứa tất cả những nghiệm không nằm bên

trái trục ảo của B(s) Vậy, nếu phân tích B() thành:

với B (s) là đa thức Hurwitz (có tất cả các nghiệm nằm bên trái trục ảo) và B*(s)là đa thức phan Hurwitz (không có nghiệm nào năm bên trái trục ảo),

thì đa thức F(s) phải chứa thừa số 8 (s) và B„(s) phải chứa 8` @):

F=HB (H là đa thức được chọn có bậc phù hợp) (1.13a)

AE+B'D=HA, (1.14)

C= H8,

Giải phương trình (1.14) ta tìm được các các đa thức C4), D(), E4)

1.1.2 Điều khiển thích nghỉ có mô hình theo dõi

Nếu sử dụng mô hình mẫu mong muôn như một thiết bị theo đối, ta có

thê bỏ qua cơ cấu nhận dạng mô hình đối tượng Bộ điều khiển đó được gọi là

bộ điều khiến thích nghi có mô hình theo dõi (Model reference adaptive control, MRAC) Cấu trúc tổng quát của bộ điều khiển MRAC mô tả trong hinh.1.8

Hình 1.8: Câu trúc chung của hệ thống sử dụng bộ điều khiển MRAC

Nguyên tắc làm việc của bộ điều khiển MRAC như sau: Để hệ kín, bao gồm đối tượng điều khiến và bộ điều khiển, luôn có được mô hình như mong muốn thì bộ điều khiển cần phải được thiết kế sao cho tín hiệu ra của hệ kín

luôn giống như đầu ra của mô hình mẫu Nói cách khác, cho dù tín hiệu đầu

vào thay đổi như thế nào đi nữa thì sai lệch giữa đầu ra của hệ kín và đầu ra của mô hình mâu cũng xâp xỉ 0.

Như vậy, vẫn đề còn lại chỉ là thiết kế cơ cấu thay đối tham số bộ điều

sự thay đổi bên trong đối tượng Hơn thế nữa, bộ điều khiển thích nghi phải đảm bảo được tính ôn định cho hệ thống Hệ MRAC vẫn được gọi là hệ điều khiển thích nghỉ trực tiếp

-1.1.2.1 Hiệu chỉnh tham số theo luật MIT

Phương pháp hiệu chỉnh bộ điều khiển thoả mãn mục tiêu sai lệch giữa

đầu ra mô hình mẫu và đầu ra hệ kín tiến tới 0 là thay đôi vector tham số của

bộ điều khiên sao cho:

e« Nếu c()<0 thì phải tăng e(r), tức là phải tạo ra được = <0

Nói cách khác, cần tạo ra được sai lệch e(/) và < trái dầu nhau

e« Nó có thể dễ dàng chuyển sang áp dụng cho cả những bài toán điều

khiển nhiều chiều _

Mặt khác, do muỗn có được đồng thời y—> y„ và p> Pp VỚI p là giá

trị lý tưởng phải có của các tham số bộ điều khiến nên e phải chứa cả e=y-y, va p-p:

“bi

Vi vector gradien của V(e), ky hiéu la grady › luôn có hướng chỉ chiều

šng của V{z) nên để có được V ()—> min thì tích vô hướng: ˆ

grad"V“£ <0 di khi e+0 "

Để tích vô hướng nảy có nghĩa thì e và p phải có cùng số phần tử Ta

= ov ap _W Opdt at khi e0 (p = const ) —

Đây chính là nguyên tắc chỉnh định tham số p của bộ điều khiển

Như vậy các thuật toán điều khiển thích nghỉ đã trình bày đều dựa trên

cơ sở mô hình đối tượng có dạng tuyến tính Đối với các đối tượng có mô

hình toán học phi tuyến, cần “can thiệp sơ bộ” vào hệ thống sao cho biến nó

trở về dạng mô hình tuyến tính Khi đó, chúng ta có thể áp dụng lý thuyết điều khiển tuyến tính (có thể coi đã phát triển gần như hoàn thiện) để để hệ đạt được chất lượng như mong muốn Đó cũng là động lực để phương pháp tuyến

25

_ 8u() _(@o(x) ờ(x) — ao()

Ngồi ra, người ta cũng dùng ký hiệu ađ, g r8 dé chỉ phép nhân Lie của hai

vector ham f(x), a(x):

(1.22)

L/.ø]= ad, &

Như vậy, kết quả của phép nhân Lie của hai vector ham f(x), g(x) lai

là một vector hàm Nĩ đo tốc độ thay đổi của vector g(x) doc theo quỹ đạo trạng thái tự do x(t) của hệ (1.15) Và cũng giống như dao ham Lie, phép nhan Lie cting ap dụng truy hồi dugc cho ca ad 8

(1.23) ad; 8 =ad, lad‘ g}= |/.a2/'z]

Phép nhân Le cĩ các tính chất cơ bản sau 1 Tinh phan đối xung:

Ifsg|= lg, f| tio 1a ad, g=- df TƠ

2 Cho hai vector ham f(x), g(x) và một hàm vô hướng o(x) Khi đó sẽ

có:

| Ly gee) = LL ve)-L,L vo)

3 Cho hai vector ham f (x), g(x) va hai ham v6 hung v(x) va (x) Khi

pf,og|=volf.g|+(Lobe-Lvps

4 Với các vector hàm /(x), /;(x), g(x) và hai số thực đ, b luôn có:

laftbs gl=afiglA.s|

gah tofl-alg.fl blg.Al

5 Với ba vector hàm ƒ (x), g(x), J{x) luôn có tính đồng đạng Jacobi

L/:|s.hl+ |.|n./ll+ »|7.glÌ= 9

1.2.1.3 Hàm mở rộng

Dưới khái niệm hàm mở rộng của hình học vi phân người ta hiểu một

ánh xạ A gán mỗi phần tử x của không gian vector ø chiều R” thành một không gian vector con A(s) với đ chiều (đ < ø) trong R* :

A:xt> A(x)

Vì là một không gian vector có số chiều bằng đ nên trong A(z) phải ton

tai d vector v,(x), v,(x), v,(2) độc lập tuyén tinh sao cho A(x) la tap hop

của tất cd cdc vector v(x) dang tổ hợp tuyến tính của chúng, tức là:

v(x)= zo (x)eA() — voi moi 7, eR isl C

27

Nói cách khác:

Nếu đa tạp (1.24) có các vector hàm 0, (x) đều là phẳng (khả vi vô hạn

4 Khái niệm hàm mở rộng xoắn: Hàm m6 rong A(x) có số chiêu đ với bộ

co so v,(x), D;(x), v,(x) trong lân cận x được gọi là xoắn (involutive) nếu tích Lie của hai phần tử bất kỳ thuộc A(x) cũng thuộc A(x) Nói cách khác, từ h,(x) va h h,(x) là hai phan tử bất kỳ thuộc A(x)

thì cũng sẽ có lh, (x) A, (x)|< A(x)

Có thể thấy điều kiện cần và đủ dé:

A(x) = spank, (x) o,) 0„(>))

là hàm mở rộng xoắn là

v(x), o,@)|e AC) vớimọi 1<ij<d

xoắn vì [o(x), o(x)]= 0e A(z)

6 Hàm mở rộng trực giao: Cho A(x)e R" có số chiều bằng đ:

A(x) = spanlv,(2), v,(x), v,())

Ham mé réng truce giao ctia A(x), ky hiéu A‘(x), duoc hiéu 1a khong

gian vector con thudc (R')* gdm các phan tir w’v là vector hàng thoả

man:

A'(x)= fo" (x)e(R" | ov =0 and ufx)< A(x}

dim A‘ (x)=n~-d va néu ky hiéu:

A*(x) = span(o’.,,(x), @7,(x), o (x) |

ao’, (x)v(x)=0 voi moi 1<k<n-d và 1<¡<d

7 Tiêu chuẩn Frobenius: Xét ham mé réngA(x)e R” cé sé chiéu bang d

Nếu tồn tại ø-đ hàm vô hướng (hàm thực) m„„(x), m„„(), , m„(œ)

A‘ (x)= spanldm,, (x), drrtay2(z) or dim, (x))

với dm,(x), i=d+J, ., n là các vector hàng định nghĩa bởi:

dm (e) = om (x) _ 2 (x) am,(x) on)

Ox Ox, ` Ox, 7 ` ` Ox

thì cần va du để A(x) bat bién vi f(x) là:

L(x) v, (Je AG) vớimọi 1<¡<đ

_ Nếu hàm mở rộng A(x) bat biến với cả hai vector hàm f(x) , g(x) thì

nó cũng bắt biến đối với vector hàm |/(), g(x)|= ad, g(x)

10 Nếu hàm mở rộng A(x) bat biến với vector hàm ƒ(x) thì Aˆ (x) cũng

bất biến với vector hàm ƒ(>)

11 Phép đổi trục toạ độ: Tiêu chuẩn Frobenius là công cụ xác định phép đổi trục toạ độ z = m(x) thích hợp cho hệ phi tuyến

Giả sử A(x) là hàm mở rộng xoắn với số chiều bằng đ trong không

gian na chiêu, tức là:

A(x) = spanlv,(x), vs(z)- vss)

Vậy thì khi A(x) bat biến đối với hàm /(x), phép đổi trục:

m, (x) z=mi(x)=|

1.2.2 Tuyến tính hoá chính xác đối tượng MIMO

1.2.2.1 Bậc tương đối tôi thiểu của đối trợng MISO

Xét đôi tượng tuyên tính bậc ø có m tín hiệu vào, một tín hiệu ra, mô tả bởi phương trình trạng thái:

31

Nếu ký hiệu b,, b;, , b„ là các vector cột của Ö cũng như trạng thái đầu được giả thiết bằng 0 thì khi chuyển hệ (1.25) sang miền phức băng toán tử Laplace ta được:

G,(s)= CT(s! - A} ` b,= a, tast+-+a, s" i=1, 2, ,m

là hàm truyền đạt biểu diễn quan hệ giữa tín hiệu ra y() với tin hiệu vào 1;()

Như vậy, có thể coi hệ (1.25) gồm z kênh Hiệu z, =ø, —rm, giữa bậc

của đa thức mẫu số và bậc của đa thức tử số trong Ớ,() được gọi là bậc tương đối của kênh thứ ¡ Bậc tương đối cũng được tìm từ mô hình trạng thái bằng cách xác định sô tự nhiên r; thoả man:

% =0 khi 0<k<r,-2 C’.A‘b, =

Một cách hoàn toàn tương tự, khái niệm bậc tương đổi tôi thiêu của đôi tượng MISO phi tuyến được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1: Cho đổi tượng MISO bậc n có m tín hiệu vào (n > m)

hiệu vào, mô tả bởi mô hình (2.12) thị:

a) L„ g(x)= L„„ S()= = L yer, 8A) = Ovdi moi l<i<m

b) Tén tai mét chi số 1 dé cdc vector h,, ad, hị, xa ad’ h, là độc lap tuyén tinh

c) Cac vector hang dg(x), d (L, g(x)), , {Ly t g(x)) là độc lap tuyển

d) rn

1.2.2.2 Vector bậc tương đối tôi thiểu của đối tượng MIMO

33

Xét đối tượng MIMO tuyến tính, hợp thức chặt, mô tả bởi:

trong do: xe R", wER", AER™, BER”, CER”, yeR™

Gọi cụ, c;, , c„ là các vector hàng của C Khi đó, đối tượng (1.28) được chuyển về thành m đối tượng MISO dạng (1.25) như sau:

khong suy biến thì luôn tìm được một bộ tiền xử lý Ä⁄ và bộ điều khiển phản hoi trang thai R (hinh 1.9a) dé dura hé (1.28) về dạng tách kênh riêng biệt

(hình 1.9b):

(s) 0 0

trong đó Y,(s) là ký hiệu chi ảnh Laplace của tín hiệu ra y,(t), W,(s) 1a ky

hiệu chỉ ảnh Laplace của tín hiệu đầu vào @, (t), J=1, 2, .,m

Wm 394 s<eeseeevrsse > - Ym Wm TH ae ~ | > Vm i

Hinh 1.9: Thiết kế bộ điều khiển tách kênh cho đối tương tuyến tính

Chuyển các điều kiện (1.29) và (1.30) một cách tương tự sang cho đối

tượng phi tuyến, khái niệm vector bậc tương đối tối thiểu của đối tượng có 0 tín hiệu vào, z tín hiệu ra và ø biễn trạng thái, được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2: Cho đổi tượng có m tín hiệu vào, m tín hiệu ra và n biến trạng thải (n3 m)

Vector bậc tương đối tối thiểu ớy, ro, ., r„) có các tính chất sau [1]:

Định lý 1.2: Nếu (ì, F2 Fụ) là vecfor bậc tương đối tôi thiểu của đối tượng MIMO bậc n có m tín hiệu vào, m tín hiệu ra mô tả bởi phương trình

trạng thái (1.31) thì:

a) Ly, 8 (2) = Lean, 8) 8)= "= Lys, 8,(x)=0 voi moi 1<i<m,1<j<m

b) Các vector hàng:

dg,(x), d(L,g,(x)), , a(t¥g,(x)) dg,(x), d(L,g, 6), - 4/7"s,(s)

de, (x), 4(,s„)), 4(rzˆz„(s))

là độc lập tuyển tính

iv

c) r= Son sn

Định lý 1.3: Cần để đối tượng (1.31) có vector bậc tương đổi tối thiểu (Tị F2, w+) Yn) la cae vector cét h, (x),h,(x), 2,, (x) cua H(x) độc láp tuyến tính

1.2.2.3 Tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào - ra

Xét đôi tượng phi tuyên phăng có øz tín hiệu vào, z tín hiệu ra, có mô hình trong không gian trạng thái:

tuc la theo dinh nghia 1.2:

a) L, Lig (x)=0 kh k<zr,-2 với mọi i=l, 2, ,m b) Ma trận

hạ Li ấn (x) L, LS &\* (x) ¬ by, Lig, (x)

L(x) _ Li, 178 &2 (x) Ly, Ly "8 (x) hy, TÊN §2 (x)

là không suy biến

Khi đó phép đồi trục:

(s—s,, Xs— 5,,)-4s — Sip, )= đại FCS tot C, SE + 8% (1.38)

va s,, i=l, 2, ., % la các giá trị tuỳ ý nhưng cho trước (nằm bên trái trục ảo), thì hệ kín (hình 1.10) bao gồm đối tượng (1.33), bộ điều khiển z = z(w,x)

thoả mãn (1.37) và phép đổi biến (1.35) sẽ được mô tả bởi phương trình trạng thái:

39

©: lama tran toan cac phan tir 0

Nói cách khác, bộ điều khiển #=z(w,x) thoả mãn (1.37) và phép đổi biến _ (1.35) đã tách đối tượng (1.33) ban đầu thành m hệ con: