de cuong on thi tot nghiep 2019 hoc ki 2 (repaired)

CHỦ ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM A- LÝ THUYẾT K Kí hiệu khoảng, hay đoạn hay nửa khoảng 1) Định nghĩa f ( x) F ( x) f ( x) K Cho hàm số xác định Hàm số gọi nguyên hàm hàm số F′( x) = f ( x) K K với x thuộc 2) Định lý F ( x) f ( x) F ( x) + C ∀C ∈ R K nguyên hàm hàm số a Nếu f ( x) K nguyên hàm F ( x) , G ( x) f ( x) C K b Đảo lại hai nguyên hàm tồn số cho F ( x) = G ( x) + C Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x) ký hiệu ∫ f ( x) = F ( x) + C K Chú ý: Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục có nguyên hàm ” 3) Tính chất nguyên hàm f ,g ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx K a Nếu hai hàm số liên tục ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx k b với số thực khác ∫ [ k f ( x) + l.g ( x) ]dx = k ∫ f ( x)dx + l ∫ g ( x)dx Suy ′ ∫ f ( x)dx = f ( x ) + C c 4) Công thức nguyên hàm phần ∫ udv = uv − ∫ vdu 5) Công thức đổi biến số ∫ f [u ( x ) ]u′ ( x ) dx = F [u ( x ) ] + C 6) Bảng nguyên hàm vi phân ( ) K u = u ( x) Hàm sơ cấp Hàm số hợp 1) ∫ du = u + C 1) ∫ dx = x + C 2) ∫ xα dx = 3) ∫ Thường gặp d ( ax + b ) = 1) Vi phân dx a 1 α x u (ax + b)α +1 + C + C ( α ≠ −1) 2) ∫ uα du = + C ( α ≠ −1) 2) ∫ ( a x + b ) dx = × a α +1 α +1 α +1 α +1 α +1 dx = ln x + C ( x ≠ ) x 3) ∫ dx du = ln ax + b + C ( a ≠ ) = ln u + C ( u ( x ) ≠ ) 3) ∫ ax + b a u 4) ∫ cos xdx = sin x + C 4) ∫ cos udu = sin u + C 4) ∫ cos(ax + b)dx = 5) ∫ sin xdx = − cos x + C 5) ∫ sin udu = − cos u + C 5) ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a 6) ∫ dx = tan x + C cos x x≠ Với π + kπ 7) ∫ dx = − cot x + C sin x Với 6) ∫ x ≠ kπ u ( x) ≠ Với 7) ∫ Với 8) ∫ e x dx = e x + C du = tan u + C cos u sin( ax + b) + C a 6) ∫ dx = tan ( ax + b ) + C ( ) cos ax + b a 7) ∫ dx −1 = cot ( ax + b ) + C sin ( ax + b ) a π + kπ du = − cot u + C sin u u ( x ) ≠ kπ 8) ∫ eu du = eu + C 8) ∫ e ax + b dx = ax+ b e +C a ax au px + q u a px + q + C ( < a ≠ 1) 9) ∫ a dx = + C ( < a ≠ 1) 9) ∫ a du = + C ( < a ≠ 1) 9) ∫ a dx = p ln a ln a ln a x Dạng Tìm nguyên hàm công thức nguyên hàm mở rộng (không có đk) f ( x ) = cos 3x Câu 1: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải sin ( ax + b ) sin x + C ⇒ ∫ cos 3xdx = +C ∫ cos ( ax + b ) dx = a Ta có: f ( x) = 5x − Câu 2: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải dx dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ⇒ ∫ 5x − = ln 5x − + C Ta có: f ( x ) = 2sin x Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải Ta có: ∫ sin xdx = − cos x + C ⇒ ∫ sin xdx = 2∫ sin xdx = −2 cos x + C J = ∫ ( x + x + 1) dx Câu 4: Tính nguyên hàm Hướng dẫn giải J = ∫ ( x + x + 1) dx = Câu 5: Tìm nguyên hàm F ( x) x 3x + + x+C 2 x4 + f ( x) = ( x ≠ 0) x2 là: Hướng dẫn giải 2x4 + x3  3 I =∫ d x = x + d x = − +C ÷ ∫  x2 x2  x F ( x) f ( x ) = − x + x2 Câu 6: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải x x ∫ ( − x + x ) dx = x − + + C x − 1) ( f ( x) = ( x ≠ 0) F ( x) x3 Câu 7: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải ∫ ( x − 1) x3 hàm số x3 − 3x + 3x −  3 1 dx = ∫ dx = ∫ 1 − + − ÷dx =x − 3ln x − + + C x x  x 2x  x x Câu 8: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x Hướng dẫn giải a 7x x x a d x = + C ⇒ d x = +C ∫ ∫ ln a ln Ta có: f ( x ) = x − 3x + x Câu 9: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải 1 x3 3x  f x dx = x − x + dx = − + ln x + C ( ) ÷ ∫ ∫  x f ( x) = x − 2x +1 Câu 10: Tìm họ nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x − x + 1) dx = x − x + x + C x f ( x) = Câu 11: Tìm guyên hàm hàm số 1 1 − x x2 Hướng dẫn giải  dx = ln x + + C ÷ x  ∫ f ( x ) dx = ∫  x − x f ( x ) = 2x + Câu 12: Tìm guyên hàm hàm số  x2 Hướng dẫn giải  dx = x − + C ÷ x  ∫ f ( x ) dx = ∫  x + x f ( x ) = x + 3x − x + Câu 13: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải 3 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 3x − x + 1) dx = x + x − x + x   J = ∫  + x ÷dx x  Câu 14: Tính ngun hàm Hướng dẫn giải 1  J = ∫  + x ÷dx = ln x + x + C x  f ( x ) = cos 3x Câu 15: Tìm guyên hàm hàm số Hướng dẫn giải ∫ cos3xdx = sin 3x + C ∫ sin(3 x − 1)dx Câu 16: Tính Hướng dẫn giải ∫ sin(3x − 1)dx = − cos(3x − 1) + C ∫ (cos x − cos x)dx Câu 17: Tính Hướng dẫn giải 1 ∫ (cos x − cos x)dx = sin x − sin x + C f ( x ) = sin x Câu 18: Tìm nguyên hàm Hướng dẫn giải 1 ∫ sin xdx = ∫ sin xd (2 x) = − cos x + C Câu 19: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x Hướng dẫn giải 1 ∫ cos xdx = ∫ cos xd (5x) = sin x + C Ta có: f ( x ) = sin x Câu 20: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải 1 1 2 ∫ sin xdx = ∫ sin xd (2 x) = − cos x + C = − ( − sin x ) + C = sin x − + C Ta có: f ( x) = cos ( x + 1) Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải 1 1 ∫ cos ( x + 1) dx = ∫ cos2 ( x + 1) d (2 x + 1) = tan ( x + 1) + C Ta có: f ( x ) = cos5 x.cos x Câu 22: Tìm nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải Ta có: 1 ∫ cos x.cos xdx = ∫ ( cos x + cos x ) dx = ∫ cos xdx + ∫ cos xdx = 1 cos xd (6 x) + ∫ cos xd (4 x) = sin x + sin x + C ∫ 12 12 Câu 23: Tìm guyên hàm hàm số f ( x ) = 2sin 3x cos x Hướng dẫn giải ∫ 2sin 3x cos x dx = ∫ ( sin x + sin x ) dx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx = − cos x − cos x + C F ( x ) = e + tan x + C x Câu 24: Chứng minh hàm số f ( x ) = ex + cos x Hướng dẫn giải ( F ( x ) ) ′ = ( e x + tan x + C ) ′ = e x + cos12 x x y = cos 2 Câu 25: Tìm guyên hàm hàm số Hướng dẫn giải 1 ∫ ( + cos x ) dx = ( x + sin x ) + C nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2 x − e x Câu 26: Tìm guyên hàm hàm số 2x x ∫ ( e − e ) dx = Hướng dẫn giải e2 x − ex + C Câu 27: Tìm nguyên hàm f ( x ) = e3 x + Hướng dẫn giải 1 3x +3 ax + b ax +b x +3 ∫ e dx = a e + C ⇒ ∫ e dx = e + C Áp dụng công thức J = ∫ ( x + 3x ) dx Câu 28: Tính Hướng dẫn giải ∫( + 3x ) dx = x x x + +C ln ln f ( x ) = e + cos x x Câu 29: Tìm nguyên hàm ∫( e x Hướng dẫn giải + cos x ) dx = e + sin x + C x Câu 30: Tìm nguyên hàm hàm số ex y= x Hướng dẫn giải x e  ÷ e ex e  2 +C = dx = dx = +C x ∫ 2x ∫  ÷ e − ln 2 ( ) ln x x Câu 31: Tìm guyên hàm F ( x) hàm số  x +1  f ( x) =  ÷  x  ( x ≠ 0) Hướng dẫn giải 2  x2 +  1    2 −2 ∫ f ( x ) dx = ∫  x ÷ dx = ∫  x + x ÷ dx = ∫  x + + x ÷ dx = ∫ ( x + + x ) dx = Câu 32: x x + x − x −1 + C = − + x + C 3 x f ( x) = F ( x) F ( x) nguyên hàm hàm số Hướng dẫn giải 2x + ( x ≠ 0) x2 , biết F ( 1) = Tìm ∫ 2x + 3 2  dx = ∫  + ÷dx = F ( x ) = ln x − + C x x x  F ( 1) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = ln x − + 4 Dạng Tìm ngun hàm thoả mãn có điều kiện cho trước Câu 33: Cho F ( x) f ( x ) = ex + 2x nguyên hàm hàm số F ( x) F ( 0) = thỏa mãn Tìm Hướng dẫn giải x ∫ f ( x ) dx = ∫ ( e + x ) dx = e + x + C 1 F ( ) = e + 02 + C = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = e x + x + 2 x Câu 34: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′ ( x ) = − 5sin x f ( ) = 10 Tìm Hướng dẫn giải f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( − 5sin x ) dx = x + 5cos x + C Ta có: f ( ) = 3.0 + 5cos + C = 10 ⇒ C = f ( x) DẠNG 3: Phương pháp đổi biến số Kiến thức thường cần nhớ: Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lý sau: a) Nếu: ∫ f ( x ) = F ( x) + C với b) Nếu hàm số f(x) liên tục đặt ϕ '( t ) u = ( x) hàm số có đạo hàm thì: x =ϕ ( t) Trong ϕ ( t) ∫ f (u )du = F (u ) + C với đạo hàm ( hàm số liên tục ) ta được: ∫ f ( x)dx = ∫ f ϕ ( t )  ϕ ' ( t ) dt = ∫ g (t )dt = G (t ) + C Từ ta trình bày hai dạng tốn phương pháp đổi biến số sau: Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng để tính nguyên hàm: PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: I = ∫ f ( x)dx ϕ ( x)  Bước 1: Chọn t = Trong  Bước 2: Tính vi phân hai vế: hàm số mà ta chọn thích hợp dt = ϕ ' ( x ) dx f ( x) dx = g ϕ ( x )  ϕ ' ( x ) dx = g (t )dt  Bước 3: Biểu thị:  Bước 4: Khi đó: ϕ ( x) I = ∫ f ( x )dx = ∫ g (t )dt = G (t ) + C * Chú ý: Ta có số dấu hiệu để đổi biến thường gặp: STT Dạng nguyên hàm f ′( x) dx f ( x) Cách đặt Đặc điểm nhận dạng t = f ( x) Biểu thức mẫu ∫ ∫ f e  t ′ ( x ) dx  t = t ( x) Biểu thức phần số mũ ∫ f t ( x )  t ′ ( x ) dx t = t ( x) Biểu thức dấu ngoặc ∫ f  t ( x )  t ′ ( x ) dx t = n t ( x) Căn thức ∫ f ( ln x ) dx x t = ln x t( x) n dx x kèm biểu thức theo ∫ f ( sin x ) cos x dx t = sin x cos x dx ∫ f ( cos x ) sin x dx t = cos x sin x dx ∫ f ( tan x ) cos t = tan x dx cos x 10 dx ∫ f ( cot x ) ∫ f (e )e ax x dx sin x ax dx Đôi thay cách đặt t = cot x t = eax t = t ( x) dx sin x e ax dx t = m.t ( x ) + n ln x kèm biểu thức theo kèm biểu thức theo kèm biểu thức theo kèm biểu thức theo kèm biểu thức theo sin x cos x tan x cot x e ax ta biến đổi dễ dàng Câu 35: Tìm họ nguyên hàm sau a) ∫ x − x dx ∫x b) dx x +1 ∫x c) x + dx Lời giải Giải theo tự luận a) Xét Đặt ∫x − x dx t = − x2 ⇒ t = − x2 , ( − x2 ) − x2 2t +C ∫ x − x dx = −2∫ t.t dt = − + C = − Khi b) Xét Đặt suy dx x +1 ∫x t = x +1 ⇒ t2 = x +1 ∫x Khi Suy Đặt ∫x t = x + ⇒ t = x2 + Khi Như vậy t −1 + C = ln t +1 x + dx = ∫ x x + xdx ∫x  2tdt = dx  x = t −1 2t   dx = ∫ dt = ∫ dt = ∫  − ÷dt t −1 x +1  t −1 t +1  ( t − 1) t = ln c) Xét 4t 3dt = −2 xdx ⇒ −2t 3dt = xdx ∫x Suy x +1 −1 +C x +1 +1 tdt = xdx  2 x = t − t5 x + 9.xdx = ∫ ( t − ) t.tdt = ∫ ( t − 9t ) dt = − 3t + C 2 ( x + dx = x2 + ) −3 ( Nhận xét: ) x2 + + C Câu 36:Tìm họ nguyên hàm sau a) ln x − ∫ x ln x dx Lời giải Giải theo tự luận a) Xét Đặt ln x − ∫ x ln x dx t = ln x, Khi suy dt = dx x ln x − t −1 t2 ln x  1 d x = d t = t − d t = − ln t + C = − ln ln x + C ∫ x ln x ∫ t ∫  t ÷ 2 Câu 37:Tìm ngun hàm: I =∫ ln x + dx x Lời giải t = ln x ⇒ dt = Đặt Suy dx x  t3   ln x  I = ∫ (t + 1)dt =  + t ÷+ C =  + ln x ÷+ C 3    NHẬN BIẾT f ( x) = Câu 38 Tìm nguyên hàm hàm số 3x ∫ f ( x ) dx = x + + C A C ∫ f ( x ) dx = x ln ( x + 1) + C x3 x4 + B ∫ f ( x ) dx = ln ( x D Lời giải Chọn D Giải theo tự luận 10 + 1) + C ∫ f ( x ) dx = ln ( x + 1) + C a, b − 2i a b Câu 8: Kí hiệu phần thực phần ảo số phức Tìm , a = 3; b = 2 a = 3; b = A B a = 3; b = a = 3; b = −2 C D Lời giải Chọn D Số phức − 2i có phần thực a=3 phần ảo b = −2 z1 z2 z2 + = M N Câu 9: Kí hiệu , hai nghiệm phương trình Gọi , điểm biểu diễn z1 z2 T = OM + ON O , mặt phẳng tọa độ Tính với gốc tọa độ T =8 T= T =2 A B C D Lời giải Chọn D Ta có:  z1 = −2i z2 + = ⇔   z2 = 2i T = OM + ON = M ( 0; −2 ) N ( 0; ) Suy ; nên Bài tốn 10: Tìm mơđun số phức A (1− 2i )z + 2i = −6 B.3 C ( −2 ) + 22 = 2 D.2 Hướng dẫn: (1− 2i )z + 2i = −6 ⇒ z = z = −6 − 2i 1− 2i Nên ta thực bấm sau: Ta thu kết quả: >>> Chọn D II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH : Bài tốn 11: Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z −1+ i z + 1− 3i ≤ =2 b) c) + z = 1− i Giải: Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) biểu diễn điểm M(x;y) z −1+ i a) Xét hệ thức: =2 ⇔ ( x – 1) + ( y + 1) i = ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ 2 ⇒ Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = z + 1− 3i ≤ ⇔ ( x + 1) + ( y − 3) i ≤ b) Xét hệ thức : ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) ≤ ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) ≤ 16 Vậy tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z hình trịn có tâm (-1;1); bán kính r=4 z + 1− 3i ≥ *Nhận xét: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: điểm nằm nằm ngồi đường trịn có tâm (-1;1); bán kính r=4 tập hình c) Xét hệ thức 2+ z = z −i ⇔ |(x+2) +yi| = |x+(y-1)i| ⇔ (x+2)2 + y2 = x2 + (y-1)2 ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = * Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB Câu 12 A Cho số phức z = − 5i Câu 13 A −2 thỏa B Cho số phức z Gọi z1 z2 z1 z2 (2 + i) z − (17 + 11i) = (2i − 1) z z = + 5i thỏa phương trình B Câu 14 diễn z C z = + 4i z + z = 12 + 4i C nghiệm phương trình mặt phẳng phức Khi độ dài z Tìm số phức liên hợp số phức D Tìm phần ảo số phức D z2 − 4z + = MN z = − 4i là: Gọi M, N z điểm biểu A MN = Câu 15 A {± B MN = Trên tập hợp số phức } 5; ± 2i B {± £ C , tập nghiệm phương trình } 5; ± A Biết số thực T = −12 Câu 17 độ A Oxy B Xét số phức C B D T = 12 z MN = z4 − z2 − 20 = D thỏa mãn C ( T =8 ) D là: { ±2i; ± 5i} Tính T = −8 T = x y w = z − ( z + 4i ) − thỏa mãn số ảo Trên mặt phẳng tọa , tập hợp tất điểm biểu diễn số phức { −4; 5} ( x + y ) + xi = ( x + 7) +( y - x + 2) i x, y Câu 16 MN = −2 C z đường trịn có bán kính 2 D 3 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP, XÁC SUẤT Giai thừa : n! = 1.2.3…n (Qui ước: 0! = 1) n! = (n–1)!n n! p! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) n! (n − p)! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) Hốn vị (khơng lặp) : Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hốn vị vịng quanh : (Đọc thêm) Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! Chỉnh hợp (không lặp) : Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank = n(n− 1)(n− 2) (n − k + 1) = n! (n − k)! • Cơng thức cho trường hợp k = k = n • Khi k = n Ann = Pn = n! Tổ hợp (không lặp) : Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1  k  n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk = Số tổ hợp chập k n phần tử: n! k!(n − k)! (Qui ước: Cn0 =1 XÁC SUẤT Biến cố : • Khơng gian mẫu Ω: tập kết quả xảy phép thử • Biến cố A: tập kết quả phép thử làm xảy A A ⊂ Ω • Biến cố không: ∅ • Biến cố chắc chắn: Ω • Biến cố đối A: A= Ω \ A • Hợp hai biến cố: A ∪ B • Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B) • Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅ • Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất : • Xác suất biến cố: P(A) = • ≤ P(A) ≤ 1; n( A) n(Ω ) P(Ω) = 1; P(∅) = • Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Nếu A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) A • Xác suất hai biến cố đối P( ) = – P(A) • Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B) NHỊ THỨC NEWTON Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n ∑ Cnkan−kbk (a + b)n = k=0 = Cn0an + Cn1an−1b + + Cnkan−kbk + + Cnnbn Tính chất: •Số số hạng khai triển n + • Tổng số mũ a b số hạng n • Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnkan−kbk ( k =0, 1, 2, …, n) • Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk = Cnn−k • Cn0 = Cnn = , Cnk−1 + Cnk = Cnk+1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0xn + C1nxn−1 + + Cnn  Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n (x–1)n = Cn0xn − Cn1xn−1 + + (−1)nCnn  Cn0 − Cn1 + + (−1)nCnn = Câu [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm học sinh A342 C342 342 234 A B C D Lời giải 34 Mỗi cách chọn hai học sinh nhóm gồm 34 phần tử Vậy số cách chọn là: C342 34 học sinh tổ hợp chập hai Câu [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Từ hộp chứa cầu màu đỏ cầu 3 màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 12 44 22 A B C D Lời giải Gọi A biến cố: “lấy C3 P ( A ) = 53 = C12 22 Ta có Câu [Tham khảo 2018] Cho tập hợp A A108 B cầu màu xanh” M có 10 phần tử Số tập gồm hai phần từ A102 C C102 D M 102 Lời giải Mỗi cách lấy tổ hợp chập 2 phần tử 10 10 phần tử phần tử ⇒ M để tạo thành tập gồm Số tập M phần tử phần tử C102 cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh Câu [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Từ hộp chứa 11 gồm 2 A 455 24 455 B C 165 D 33 91 Lời giải Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố " n ( Ω ) = C153 = 455 cầu lấy màu xanh" Suy P ( A) = Vậy xác suất cần tìm 455 x ( x − 1) + ( x − 1) A Câu [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Hệ số n ( A ) = C43 = x5 khai triển biểu thức −13368 B 13368 C −13848 D 13848 Lời giải x ( x − 1) + ( x − 1) = x.∑ C6k ( x ) k =0 Ta có = ∑ C6k ( ) k =0 6−k 6−k ( −1) Để có số hạng k x −k + ∑ C8m ( 3) m =0 x5 8− m ( −1) khai triển ( −1) m k + ∑ C8m ( x ) m =0 8− m ( −1) m x8− m k = 2; m = 10 Câu [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Từ hộp chứa cầu màu đỏ cầu màu 3 xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh A 91 B 12 91 C 12 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: Gọi A biến cố: “ lấy n ( Ω ) = C153 = 455 (phần tử) cầu màu xanh” D 24 91 Khi đó, n ( A) = C53 = 10 Xác suất để lấy (phần tử ) cầu màu xanh: Câu [Tham khảo 2018] Một hộp chứa ngẫu nhiên đồng thời A n ( A ) C53 = = n ( Ω ) C15 91 P ( A) = 11 cầu gồm màu xanh cầu từ hộp Xác suất để 22 B 11 C cầu màu đỏ Chọn cầu chọn màu 11 D 11 Lời giải C112 Số cách lấy cầu 11 , Suy Gọi A biến cố lấy màu Suy P ( A) = Xác suất biến cố A Câu [Tham khảo 2018] Với n n ( Ω ) = C112 n ( A ) = C52 + C62 C52 + C62 = C112 11 số nguyên dương thỏa mãn Cn1 + Cn2 = 55 , số hạng không chứa n khai triển biểu thức A 322560 B   x + ÷ x   3360 C 80640 D 13440 Lời giải Ta có: ⇔ Cn1 + Cn2 = 55 n ( n − 1)  n = 10 n! n! + = 55 ⇔ n + = 55 ⇔ n + n − 110 = ⇔  ⇒ n = 10 1!( n − 1) ! 2!( n − ) !  n = −11 Với n = 10 ta có: n   x + ÷ x   10 = 10 − k 10   k 3k    x + ÷ = ∑ C10 x  ÷ x   x  k =0 10 10 k =0 k =0 = ∑ C10k x k 210− k x k − 20 = ∑ C10k 210− k x k − 20 x Để có số hạng khơng chứa x 5k − 20 = ⇔ k = Do hệ số số hạng không chứa x khai triển là: C104 26 = 13440 Câu [Tham khảo THPTQG 2019] Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu 3 nhiên , gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A 20 B C D 10 Lời giải Ω = 6! = 720 Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ Ta có: Xếp Xếp 3 học sinh nữ vào dãy ghế có 3! học sinh nam vào dãy ghế có cách 3! cách Ở cặp ghế đối diện hai bạn nam nữ đổi chỗ cho nên có 23 cách A = 3!.3!.23 = 288 Suy P ( A) = A 288 = = Ω 720 Vậy Câu 10 Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để : a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình Hướng Dẫn Giải a/ Gọi A biến cố Cả em học sinh giỏi n ( A ) = C83 = 56 n ( Ω ) = C303 = 4060 b/ A n ( A ) C83 56 = = n ( Ω ) C30 4060 biến cố khơng có học sinh giỏi , biến cố học sinh giỏi ( ) P A = ( ) =C n A n ( Ω) P( C) = c/ P ( A) = n( C) n ( Ω) 22 30 C = ( ) P (A) = − P A = − ( ) = 1− C n A n ( Ω) 22 30 C = 0.62069 C23 C303 Câu 11 Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen ( ) P(A) = − P A = − ( ) = 1− C n A n ( Ω) 12 20 C Câu 12 (ĐH 2014A) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn? n ( C ) C84 P( C) = = n ( Ω ) C164 Câu 13 (ĐH 2014B) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại n ( A ) C51.C41 C31 P ( A) = = n ( Ω) C123 Câu 14 (ĐH 2013B-CB) Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng ,hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để lấy hai viên bi màu n ( Ω ) = C71 C61 = 42 TH1 : hai viên lấy màu trắng, TH2 hai viên lấy màu đỏ n ( A ) 10 P ( A) = = 1 1 n ( A) = C3 C4 + C4 C2 = 20 n ( Ω ) 21 nên xác suất Câu 15 (ĐH 2013A-CB) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác xuất để số chọn số chẵn Gọi số cần lập n ( Ω ) = 7.6.5 abc , a có cách chọn, b có cách chọn , c có cách chọn Số chẵn , suy c có cách chọn ,a có cách chọn, b có cách chọn n ( A ) 5.6.3 P ( A) = = = n ( Ω ) 7.6.5 Câu 16 (ĐH 2012B-CB) Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ ( ) n A = C154 + C104 = 1575 Biến cố đối có nam nữ ( ) P A = ( ) = 1575 = n A n ( Ω) C 25 63 506 ( ) P (A) = − P A = 443 506 CẤP SỐ CỘNG ĐỊNH NGHĨA ⇔ U n = U n −1 + d ∀ ≥ Dãy số hữu hạn vô hạn (un) CSC , n + d số không đổi gọi công sai ÷ + Kí hiệu CSC: u1, u2, u3, …, un, … Ví dụ: Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, … ĐỊNH LÍ Tính chất (un) CSC ĐỊNH LÍ ⇔ uk = u k −1 + u k +1 , (k ≥ 2) Cho cấp số cộng (un) Ta có: U n = U1 + (n − 1)d , ∀ ≥ n ĐỊNH LÍ Tổng n số hạng đầu Sn = Cho CSC (un), gọi Sn=u1+u2+…+u n Sn = (u1 + u n )n , ∀ n ≥ [ 2u1 + (n − 1)d ] n CHÚ Ý , ∀ ≥ n CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa ⇔ ∀n ≥ 2, un = un −1.q (u n) cấp số nhân Số q gọi công bội CSN Ví dụ a Dãy số (un) với un = 2n CSN với số hạng đầu u1=2 công bội q=2 b Dãy số -2, 6,-18, 54, -162 CSN với số hạng đầu u1 = -2 cơng bội q = -3 Định lí Tính Chất Định lí Nếu (u n) CSN Nếu CSN (u n) có số hạng đầu u cơng bội q ≠ Sn = Định lí Tổng n số hạng đầu U k = U k −1.U k +1 ∀k ≥ , có số hạng tổng qt: u1 (1 − q n ) 1− q với q ≠1 U n = U1.q n −1 ∀n ≥ , Câu Trong dãy số sau, dãy số dãy số tăng A n un = n B n +3 un = n +1 u n = n + 2n C Lời giải Đáp án C un +1 − un = ( n + 1) + ( n + 1) − n2 − 2n = 2n + > un D ( −1) = 3n n Câu Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm? 2n + un = un = n3 − un = n un = n n −1 A B C D Lời giải Đáp án A Phương pháp: un +1 < un ( n ∈ ¥ * ) ( un ) - Định nghĩa dãy số giảm: Dãy gọi dãy số giảm * ¥ - Có thể giải toán cách xét hàm số đáp án tập (Dãy số hàm số) ¥* - Hàm số nghịch biến dãy số dãy số giảm Cách giải: −3 u '( n) = < 0, ∀n > 1, n ∈ ¥ * ( n − 1) ( un ) Đáp án A: nên dãy dãy số giảm * u ' ( n ) = 3n > 0, ∀n ∈ ¥ ( un ) Đáp án B: nên dãy dãy số tăng * u ' ( n ) = 2n > 0, ∀, n ∈ ¥ ( un ) Đáp án C: nên dãy dãy số tăng * u ' ( n ) = > 0, ∀, n ∈ ¥ ( un ) Đáp án D nên dãy dãy số tăng Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng n n u = n u = − n ( ) un = n u n = 2n n 3n A B C D Lời giải Đáp án D un +1 − un = 2(n + 1) − 2n = un Vì số nên CSC với cơng bội ( un ) u1 = −2 d = Câu Cho cấp số cộng có cơng sai u10 Tìm số hạng u10 = −2.39 u10 = 25 u10 = 28 u10 = −29 A B C D Lời giải Đáp án B u10 = u1 + 9d = −2 + 9.3 = 25 Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? , , , , 3,1, −1, −2, −4 −8, −6, −4, −2, 1,1,1,1,1 2 2 A B C D Lời giải Đáp án A Dãy số cấp số cộng số hạng cộng lên, tức số đằng sau số đằng trước cộng với giá trị cố định cho trước ( un ) u2 = u81 d =3 n∈¥* Câu Cho , dãy cấp số cộng với cơng sai Khi bằng: A 239 B 245 242 C Lời giải D 248 Đáp án C u2 = u1 + d ⇒ u1 = u2 − d = Ta có: u81 = u1 + 80d = + 80.3 = 242 Lại có: n 158 Câu Chu vi đa giác cạnh , số đo cạnh đa giác lập thành cấp số cộng d =3 44 với công sai Biết cạnh lớn có độ dài Tính số cạnh đa giác A B C D Lời giải Đáp án B u1 ;…un Ta sắp xếp cạnh giá trị tăng dần theo cấp số cộng Khi ta có:  n  u1 = 47 − 3n   S n = 158 ( u1 + 44 ) = 158 ⇔ ⇔  ( 47 − 3n + 44 ) n = 316    ( *)  un = 44  u1 + ( n − 1) = 44    n = ( TM ) ( *) ⇔ 3n − 91n + 316 = ⇔  79 n = ( L)  Câu Cho cấp số cộng S16 = −24 A ( un ) có u4 = −12, u14 = 18 B S16 = 26 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng S16 = −25 S16 = 24 C D Lời giải Đáp án D 16 ( −42 + 15.3) u4 = u1 + 3d = −12 u1 = −21 ⇒ ⇒ S16 = = 24  u14 = u1 + 13d = 18 d = Ta có  u1 = 321  ( un )  u n +1 = u n − Câu 10 Cho dãy số xác định với n ≥ Tổng 125 số hạng dãy số bằng: A 63375 B 16687, C 16875 D 63562, Lời giải Đáp án C ( un ) ( un ) u1 = 321 Với dãy số xác định ta dễ thấy cấp số cộng có số hạng đầu ( un ) d = −3 cơng sai Do đó, tổng 125 số hạng đầu là: 125  2u1 + ( 125 − 1) d  125 ( 2.321 − 124.3) S125 = = = 16875 −1 ( u n ) ; u1 = 3; q = 256 Câu 11 Cho cấp số nhân Hỏi số số hạng thứ mấy? A B 10 C Lời giải D 11 Đáp án A ( −1) = = u1.q8 256 Ta có Câu 12 Cho cấp số nhân có 1 q = ; u1 = 2 A u2 = vậy ; 256 u5 = 16 số hạng thứ u1 q Tìm 1 q = − ; u1 = − q = 4; u1 = 2 16 B C Lời giải q = −4; u1 = − D 16 Đáp án C = u1.q u2 = u1.q ⇔ Ta có: q = 64 ⇔ q = ; u5 = u1.q ⇔ 16 = u1.q u1 = Suy ra: (u ) n Từ đó: 16 u1 = 5,u2 = u4 Câu 13 Cho cấp số nhân có Tìm 512 125 625 512 25 512 512 125 A B C D x + 2, x + 14, x + 50 x3 + 2003 Câu 14 Cho số theo thứ tự lập thành cấp số nhân Khi 2019 2017 2017 2020 A B C D Lời giải Đáp án A ⇒ ( x + ) ( x + 50 ) = ( x + 14 ) ⇔ 24 x = 96 ⇔ x = 3  số lập thành cấp số nhân x + 2003 = 2019 Khi Câu 15 Một cấp số nhân có số hạng số hạng thứ tư 54 số hạng thứ A 1458 B 162 C 243 D 486 Lời giải Đáp ánD u1 =  3 u = 54 Có  từ u4 = u1.q ⇒ 54 = 2.q ⇔ q = 27 ⇔ q = nên u6 = 2.3 = 486 ... a , b ) = r r = a b • r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = r a = a 12 + a 22 + a 22 a1b1 + a2b2 + a3b3 a 12 + a 22 + a 32 b 12 + b 22 + b 32 (với r r r a, b ≠ ) Tọa độ điểm a) Định nghĩa: Chú ý: • • uuuu... a2 = kb2 a = kb  3 ⇔ a1 a2 a3 = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3 34 • • rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 • r a = a 12 + a 22 + a 32 • rr r r a.b cos( a , b ) = r r = a b • r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2... hai VTPT Tức là: uur uu r nα nβ uur uu r A1 A2 + B1B2 + C1C2 cos ( ( α ) , ( β ) ) = cos nα , nβ = uur uu r = nα nβ A 12 + B 12 + C 12 A 22 + B 22 + C 22 ( ) B MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT