Lý thuyết: Tổ hợp – Xác suất GV: Phạm Thị Thu Huyền NHỊ THỨC NEWTON Nhị thức Newton n (a + b) n = ∑ Cnk a n −k b k = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + + Cnn −1ab n −1 + Cnn b n k =0 Nhận xét - Trong khai triển (a ± b) n có n + số hạng hệ số cặp số hạng cách số hạng k n −k đầu số hạng cuối : Cn = Cn k n−k k - Số hạng tổng quát dạng : Tk +1 = Cn a b - Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n Chú ý: n - (a − b) n = ∑ ( −1) Cnk a n −k b k = Cn0 a n − Cn1a n −1b + Cn2 a n − 2b − Cn3a n −3b3 + + ( −1) Cnnb n - Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn : x =1 • (1 + x ) n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn → Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n k n k =0 x =1 Cn0 − Cn1 + + (−1) n Cnn = • (1 − x ) n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + + (−1) n Cnn → Tam giác Pascal Các hệ số khai triển: (a + b)0 , (a + b)1 , (a + b) , , (a + b) n xếp thành tam giác gọi tam giác PASCAL n=0: n=1: 1 n=2: n=3: 3 n=4: n = : 10 10 n = : 15 20 15 n = : 21 35 35 21 Hằng đẳng thức PASCAL Cnk−−11 + Cnk−1 ↓ C kn Chuyên đề: Tổ hợp – Nhị thức Newton Phạm Thị Thu Huyền CÁC VÍ DỤ VD 1: Khai triển 1) ( x + 3) 2) 3) ( x − 2) ( 3x − ) VD2: Tìm số hạng chứa x khai triển (1 − x ) 12 VD 3: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển x − x 19 VD 4: Tìm hệ số x khai triển (1 + x ) VD 5: Tìm hệ số x y khai triển ( 3x + y ) 17 n n VD 6: Chứng minh: C n + C n + C n + + C n = 0 1 2 n n VD 7: Tính tổng: C n + C n + C n + + C n n n −1 n −2 n n n VD 8: Chứng minh: C n + 2.3 C n + C n + + C n = BÀI TẬP Ở LỚP 1 Bài 1: Khai triển: x + x Bài 1: Viết số hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức sau: 10 x 1) 1 − 2 2) ( − x ) x Bài 2: Tìm số hạng chứa x khai triển − 2 15 1 Bài 3: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển x + với x ≠ x 19 Bài : Tìm hệ số x khai triển ( − x ) n Bài 4: Tìm hệ số x khai triển x + tổng hệ số khai triển 11 x Chuyên đề: Tổ hợp – Nhị thức Newton Phạm Thị Thu Huyền Bài : Tìm hệ số x y khai triển ( x + y ) 13 [ Bài 5: Tìm hệ số x khai triển + x (1 + x ) ] 2 3 4 5 Bài 6: Tính tổng: C + 2C + C + C + C + C 0 1 2 2n 2n 2n Bài 7: Chứng minh: C n + C n + C n + + C n = BÀI TẬP Ở NHÀ Bài 1: Viết số hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức sau: 1) (1 − 3x ) 12 2) (1 − x ) 20 x 3) 1 − 3 Bài : Tìm hệ số x khai triển (1 + x ) 11 Bài 2: Tìm số hạng chứa x 11 khai triển ( − x ) 15 Bài 3: Tìm số hạng chứa x khai triển x + Bài : Tìm hệ số x 31 2 x khai triển x + x 10 40 n 1 Bài 4: Tìm số hạng đứng khai triển x − biết hệ số số hạng thứ khai 3 triển n 1 Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khai triển x + biết tổng hệ số số hạng đầu x 46 ( )( ) Bài : Khai triển: Q( x ) = x + x − Bài : Trong khai triển P( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) 10 + + (1 + x ) 14 a) Tìm hệ số x 15 b) Tìm hệ số x Chuyên đề: Tổ hợp – Nhị thức Newton Phạm Thị Thu Huyền Bài : Tìm hệ số x khai triển x(1 − x ) + x (1 + 3x ) 10 ( Bài : Tìm hệ số x khai triển: + x + x ) 10 (Đs: 3320) (Đs: 8085) Bài : Tìm số hạng nguyên khai triển: 1) 3+3 2) ( ( 2+3 ) 3) 3) + 2 Bài 6: Tính tổng 100 99 98 99 100 1) C100 − C100 + C100 − − C100 + C100 1 3 5 99 99 2) C100 + C100 + C100 + +3 C100 0 2 4 78 78 3) C 79 + C 79 + C 79 + + C 79 15 4) C15 + C15 + + C15 10 5) C 20 + C 20 + C 20 + + C 20 19 20 21 39 6) C 39 + C 39 + C 39 + + C 39 Bài 7: Tính tổng chứng minh 1) C n0 − C n1 + C n2 − .( − 1) C nk + + ( − 1) C nn = k n 2 n −1 n −1 n n 2) + 4C n + C n + + C n + = C n0 21 C n1 2 C n2 n C nn 3) + + + + = 3n n −1 3n −2 30 3 2n n −1 4) C n + C n + C n + + C n = ( ) n n n n n 5) C n + 3C n + 7C n + + − C n = − ( ) n n 6) C + 7C + 25C + + − C n = − 1 n n n n 0 1 2 n n Bài 8: Giải phương trình: C n + C n + C n + + C n = 243 n Bài : Tìm hệ số x 26 (Đs: n = ) n 20 khai triển: + x biết: C n +1 + C n +1 + C n +1 + + C n +1 = − x Chuyên đề: Tổ hợp – Nhị thức Newton Phạm Thị Thu Huyền BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ Bài 1: Tìm 1) Số hạng chứa x khai triển x + x 10 2) Tìm số hạng đứng khai triển + x x 10 1 3) Tìm số hạng không chứa x khai triển + x x Bài 2: Tìm 15 21 + x 1) Hệ số x khai triển x 2) Hệ số x khai triển P( x ) = ( x + 1) 17 + x 55 12 Bài 3: Tìm n 1) Số hạng độc lập x khai triển x + biết C n = 5C n x n n +1 n 2) Hệ số x khai triển + x biết C n + − C n +3 = 7( n + 3) x n 3) Số hạng chứa x khai triển + x biết tổng hệ số khai triển x 79 3n 4) Số hạng không chứa x khai triển 2nx + biết tổng tất hệ số số 2nx hạng 64 Bài 4: Tìm 1) Hệ số x khai triển + x − x [ ( )] 2) Hệ số x khai triển ( x + ) ( x + 1) 3) Hệ số x 10 khai triển ( x + 1)( x + 2) 15 ( 4) Hệ số x khai triển + x + x ) 10 5) Hệ số x 15 khai triển (1 + x ) + 2(1 + x ) + 3(1 + x ) + .20(1 + x ) 20 6) Hệ số x khai triển (1 + x ) + (1 + x ) 10 + + (1 + x ) 14 Bài 5: Tính tổng chứng minh (Dùng đạo hàm cấp cấp 2) n n −1 1) C n + 2C n + 3C n + + ( n + 1) C n = ( n + 2) 2) C n1 − 2C n2 + 3C n3 − + ( − 1) n −1 nC nn = Chuyên đề: Tổ hợp – Nhị thức Newton Phạm Thị Thu Huyền n n−2 3) 2.1.C n + 3.2.C n + 4.3.C n + + n( n − 1) C n = n( n − 1) Bài 6: Chứng minh: C n0 + Bài 7: a) Tính ∫ (1 + x ) n C n1 C2 C3 Cn n +1 − + n + n + + n = 1+1 1+ 1+ 1+ n 1+ n dx 1 2 n +1 − n b) Suy ra: P = + C n + C n + + Cn = n +1 n +1 n 1 ( − 1) C n = Q = − C n1 + C n2 − C n3 + + n n +1 n +1 Bài 8: a) Tính ∫ (1 − x ) n dx ( − 1) C nn 1 2.4.6 2n = b) Từ tính: − C n1 + C n2 − C n3 + + 2n + 1.3.5.7 ( 2n + 1) n Bài 9: Cho khai triển (1 + x ) n với n ∈ N * Biết tổng hệ số khai triển 729 a) Tìm n (Đs: n = ) b) Tìm hệ số lớn hệ số khai triển (Đs: a = 240 ) Bài 10: Tìm hệ số lớn khai triển: ( x + 1) 51 x Bài 11: Cho khai triển: + 2 trên, n ∈ N * 3n 25 (Đs: a 25 = C 51 ) 2 n n −1 n−2 Biết C n + C n + C n = 79 Tìm hệ số lớn khai triển 3 24 24 (Đs: a 24 = 36 C 36 ) ... triển ( − x ) n Bài 4: Tìm hệ số x khai triển x + tổng hệ số khai triển 11 x Chuyên đề: Tổ hợp – Nhị thức Newton Phạm Thị Thu Huyền Bài : Tìm hệ số x y khai triển ( x + y ) 13 [ Bài 5:...Chuyên đề: Tổ hợp – Nhị thức Newton Phạm Thị Thu Huyền CÁC VÍ DỤ VD 1: Khai triển 1) ( x + 3) 2) 3) ( x − 2) ( 3x − ) VD2:... hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức sau: 1) (1 − 3x ) 12 2) (1 − x ) 20 x 3) 1 − 3 Bài : Tìm hệ số x khai triển (1 + x ) 11 Bài 2: Tìm số hạng chứa x 11 khai triển ( − x ) 15 Bài 3: