DE VA DAP AN THU THU THPT QUOC GIA MON TOAN NAM 2016 LAN 2 TINH BG

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.[r]

http://toanhocmuonmau.violet.vn KỲ THI THỬ LẦN THPT QUỐC GIA NĂM 2016 MÔN: TOÁN Ngày thi: 18/06/2016 Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG (đề thi gồm 01 trang) Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  x  x  Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 1 biết tiếp tuyến song song với 2x 1 đường thẳng d có phương trình y  3 x  2016 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình cos x  3sin x  10 b) Giải phương trình 3x 1  31 x  e Câu ( 1,0 điểm) Tính tích phân I   x  x  ln x  dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   , đường x  y 1 z thẳng d :   và điểm A(2; 1;0) Tìm tọa độ điểm B là giao điểm d và (P) Viết phương 1 trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, qua A và tiếp xúc với (P) Câu (1,0 điểm) a) Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết (2  3i ) z  5i  z  2i b) Một nông dân nuôi 03 gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen để đẻ trứng Ba gà cùng có khả đẻ trứng vào ngày 01/7 Biết xác suất để các gà đẻ trứng vào ngày hôm đó là: ; ; Tính xác suất để ngày 01/7 người nông dân đó có gà đẻ trứng Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc SC và mặt phẳng (ABC) là 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách AC và SB Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: x  y  6x  2y   Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên BC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M, N Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20x  10y   và điểm H có hoành độ nhỏ tung độ     x, y     x3  x x  y  y y   x2  1  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  (2 y  1)  x  (2 y  1)  x  y Câu 10 (1,0 điểm) Cho hai số thực x  và x y  Tìm giá trị nhỏ P   y3    x2  y2  ( x  1)( y  1) Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ., SBD: http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2016 MÔN THI: TOÁN (Bản hướng dẫn chấm có 05 trang) Nội dung trình bày 1,0 điểm *) TXĐ: D  *) Sự biến thiên: - Giới hạn: lim y  ; lim y   x  Điểm 0,25 x  Suy đths không có tiệm cận x  Ta có y '  3x  x ; y '     x  2 - Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 2), (0; ) Nghịch biến trên (2;0) -Bảng biến thiên x -2   y’ + 0 +  - 0,25 0,25 y  *) Vẽ đúng đồ thị -4 0,25 1,0 điểm Hệ số góc tiếp tuyến: k  3 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  3x  b  b  2016   x 1 1  x   3x  b  Điều kiện tiếp xúc:  có nghiệm 3   3  2   x  1 x      x  1    x  Với x  có b  1 Suy phương trình tiếp tuyến: y  3x  Với x  có b  Suy phương trình tiếp tuyến: y  3x  Kết luận 1,0 điểm a cos x  3sin x  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  3sin x  1  cos x    3sin x  s in x  -1- http://toanhocmuonmau.violet.vn   x  k sin x       x   k 2 (k  ) sin x     2 x   k 2  0,25 Kết luận b 3x 1  31 x  10  3.32 x 1  10.3x 1   0,25 3x 1  x    x 1   3  x   0,25 Kết luận 1,0 e e e I   x  x  ln x  dx  2 x dx   x ln xdx 1 e 2 x3dx  e Ta có e x   e4  1 2  x ln xdx  0,25 e e  1 2 1 ln x x  x dx   e  x  1 x    e I   x  x  ln x  dx  0,25 e  e2   1 4 e2  2e  e2  1 e      0,25 0,25 1,0 điểm x   t  + d :  y   t , Tọa độ điểm B   t ;1  t ; 2t  Vì B là giao điểm (P) và d nên ta có  z  2t  0,25  t  2(1  t )  2t    t  5 Suy B  3;6; 10  0,25 Gọi I, R là tâm và bán kính mc(S), I nằm trên d nên I(2+a;1-a;2a) a 5 IA  a  (2  a)  4a  6a  4a  4, d(I, (P))  Do mặt cầu (S) qua A và tiếp xúc với (P) nên a  a 5 2  35a  34a     6a  4a   a   35  0,25 -2- http://toanhocmuonmau.violet.vn Với a   I(3;0;2), R   phương trình mc(S) : (x  3)  y  (z  2)  Với a   69 36 29  I( ; ;  ), R   35 35 35 35 35  29  69 36 phương trình mc(S) : (x  )  (y  )  (z  )    35 35 35  35  Vậy phương trình (S) cần tìm là  29  69 36 (x  3)  y  (z  2)  , (x  )  (y  )  (z  )    35 35 35  35  2 0,25 2 1, điểm z  a  bi, (a, b  )  (2  3i )  a  bi   5i  a  bi  2i  2a  2bi  3ai - 3b  5i  a - bi  0,25  a  3b   (3b  3a  5)i  3  a  a  3b      3     b a  b  11  12 3 11 a  b  Vậy phần thực z là và phần ảo là 12 b Gọi A, B, C là các biến cố: Gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen đẻ trứng Theo giả thiết ta có P(A)  ; P(B)  ; P(B)  Theo công thức biến cố đối ta có: 1 P A  ;P B  ;P C  Gọi D là biến cố: “Ít gà đẻ trứng” suy D là biến cố: “cả gà không đẻ trứng” Từ đó ta có: D  A  B  C Do việc gà đẻ trứng độc lập nên các biến cố A, B,C độc lập Theo công thức nhân xác suất ta có: 1 1 P D  P A P B P C   24 23 Theo công thức biến cố đối ta P  D    P D  24 23 Vậy xác suất cần tìm là 24 a     0,25             -3- 0,25 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn 1,0 điểm S K C A a d H B Do SA vuông góc với (ABC) nên AC là hình chiếu SC trên (ABC)  SCA  60  SA  a a2 a3 Thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC  (đvtt) Kẻ đường thẳng d qua B và song song với AC ta có khoảng cách AC và SB là khoảng cách AC và mp(SB, d) và là khoảng cách từ điểm A đến mp(SB,d) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d H a Ta có ABH  BAC  60  AH  ABsin 60  Kẻ đường thẳng qua A và vuông góc với SH K Ta có tam giác SAH vuông A nên 1 a 15       AK  2 AK AH SA 3a 3a 3a Do d vuông góc với SA và AH nên d vuông góc với (SAH)  (SB,d) vuông góc với (SAH) mà AK vuông góc với SH nên AK vuông góc với a 15 (SB,d)  d(A, (SB, d))  AK  a 15 Vậy khoảng cách AC và SB là 1,0 điểm Diện tích tam giác ABC là SABC  A N E M B H I C (T) có tâm I(3;1), bán kính R  Do IA  IC  IAC  ICA (1) Đường tròn đường kính AH cắt BC M  MH  AB  MH / /AC (cùng vuông góc AB) -4- 0,25 0,25 0,25 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn  MHB  ICA (2) Ta có: ANM  AHM (chắn cung AM) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: AI vuông góc MN  phương trình đường thẳng IA là: x  2y   Giả sử A(5  2a;a) IA 0,25 a  Mà A  (T)  (5  2a)2  a2  6(5  2a)  2a    5a2  10a    a  Với a   A(1; 2) (thỏa mãn vì A, I khác phía MN) 0,25 Với a   A(5; 0) (loại vì A, I cùng phía MN)  9 Gọi E là tâm đường tròn đường kính AH  E  MN  E  t; 2t   10    38  Do E là trung điểm AH  H  2t  1; 4t   10     58  48   AH   2t  2; 4t   , IH   2t  4; 4t   10  10    272 896 0 t Vì AH  HI  AH.IH   20t  25   11 13   H ;  t  5 5   28  31 17   H ;  t   25 25   25 Với t  0,25 0,25  11 13   H  ;  (thỏa mãn) 5 5 6 3 Ta có: AH   ;   BC nhận n  (2;1) là VTPT 5 5  phương trình BC là: 2x  y   1,0 điểm x  y ĐK:  1  x  +) với x   y  0,25 +) Với x  PT (1)  x Xét hàm số f (t )  t    x 1 1  3x x  y x  1 y   y   (*)  t   trên R Chứng minh hàm số đồng biến trên R Với đk x  y  f ( x)  f ( y)  VT (*)  VP(*) 0,25 Dấu “=” xảy x  y Thay x  y vào phương trình (2) ta được: (2 x 1)  x  (2 x  1)  x  x ĐK :   x  1, x  -5- 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn Đặt a   x , b   x ; a, b  thay vào phương trình ta (a  b2  1)a  (a  b2  1)b  (a  b2 )  (a  b2 )(b  a)  b  a  (a  b )  a  b   (a  b )(b  a)  b  a  (a  b )   a  b    2 2 + Với a  b  x  ( loại) 0,25 + Với a  b  1 1 5 5  1 x  1 x   x2  x 2 8 Vậy hệ phượng trình có các nghiệm x  y   10 5 1,0 điểm t2 Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y) ta có xy  t t  t  xy (3t  2) P Do 3t - > và  xy   xy  t  0,25 Ta có t (3t  2) t2 P  t2 t2  t 1 t  t2 t  4t t  4t ; f '(t )  ;   0 f t '( ) Xét hàm số f (t )  2 t2 (t  2) (t  2) t  Lập bảng biến thiên hàm só f (t ) t3  t2  x  y  x   Do đó P = f (t ) = f(4) = đạt  (2; )  xy  y  Tổng Hết -6- 0,25 0,25 0,25 10