de cuong tu hoc toan cuon 2

 Dạng 2: Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan  Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách  Viết [r]

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Quang Tuấn – GV trường THPT Hàn Thuyên Kiến thức 1.1 Đại số tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A  A2 =   Có n1 + n2 cách chọn các đối tượng A1, A2 1.1.2 Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2  Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 1.1.3 Hoán vị:  Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi là hoán vị n phần tử  Số hoán vị: Pn = n! 1.1.4 Chỉnh hợp:  Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và thứ tự chúng gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử n! Ank  (n  k )!  Số các chỉnh hợp: 1.1.5 Tổ hợp:  Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là tổ hợp chập k n phần tử n! Cnk  k !(n  k )!  Số các tổ hợp: k n k k k k  Hai tính chất: Cn Cn , Cn   Cn  Cn 1.1.6 Nhị thức Newton n (a  b) n  Cnk a n  k b k Cn0 a n  Cn1a n 1b   Cnnb n k 0 k n k k  Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk 1 Cn a b n 2 n n  Đặc biệt: (1  x) Cn  xCn  x Cn   x Cn 1.2 Xác suất P  A  1.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển: 80 A  hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh + P(A) 1 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 + P    1 P    0 , 1.2.2 Tính xác suất theo các quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì: P  A  B  P  A   P  B  c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A và B độc lập với thì: P  AB  P  A  P  B  Các dạng toán 2.1 Bài toán đếm: A  0;1; 2;3; 4;5 Ví dụ Cho tập , từ A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, đó thiết phải có chữ số và Lời giải abcde  a 0  Gọi số cần tìm là Tìm số các số có chữ số khác mà có mặt và không xét đến vị trí a Xếp và vào vị trí có: A5 cách 3 vị trí còn lại có A4 cách Suy có A5 A4 số Tìm số các số có chữ số khác mà có mặt và với a = Xếp có cách 3 vị trí còn lại có A4 cách Suy có 4.A4 số 3 Vậy số các số cần tìm tmycbt là: A5 A4  A4 = 384 Ví dụ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ Lời giải Từ giả thiết bài toán ta thấy có C5 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số 3 đứng đầu) và C5 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C5 C5 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C5 C5 5! = 12000 số Mặt khác số các số lập trên mà có chữ số đứng đầu là C4 C5 4! 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán 81 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ví dụ Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh cho khối có ít học sinh Lời giải Tổng số cách chọn học sinh 12 học sinh là C12 Số học sinh chọn phải thuộc ít khối Số cách chọn có học sinh khối 12 và khối 11 là: C7 Số cách chọn có học sinh khối 11 và khối 10 là: C9 Số cách chọn có học sinh khối 12 và khối 10 là: C8 6 6 Số cách chọn thoả mãn đề bài là: C12  C7  C9  C8 805 (cách) Ví dụ Trên các cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD cho 1, 2, và n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm đã cho là 439 Lời giải Nếu n  thì n +  Do đó số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm đó không vượt qua C8 56  439 (loại) Vậy n  Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng trên cạnh CD có đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: Cn36  C33  Cn3   n    n  5  n      n    n  1 n 439 6  (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540  n2 + 4n – 140 = Từ đó tìm n = 10 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác mà số lớn 2010 2) Cho hai đường thẳng song song d và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n 2 ) Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n A  0;1; 2;3; 4;5 3) Cho tập , từ A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, đó thiết phải có chữ số và 3.hoctoancapba.com 2.2 Nhị thức Newton: n    2.x   x , Ví dụ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức  n A C n n 1 4 n  Lời giải 82 biết hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 n Giải phương trình An  Cn1 4n  ; Điều kiện: n ≥ ; n  N (n  1)! n(n  1) n(n  1)  4n  n(n  1)  4n  2!( n  1)! Phương trình tương đương với   n2 – 11n – 12 =  n = - (Loại) v n = 12 12    2x   x Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  k 12 12  k C (2 x) Số hạng thứ k + khai triển là: Tk +1 = C12k  x  12 k .x k       x k ; k  N, ≤ k ≤ 12 24  k k 12  k Hay Tk+ = = C12 x k  N , k 12  k 8  24  3k 0  Số hạng này không chứa x Vậy số hạng thứ không chứa x là T = C12 7920 Ví dụ Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An  8Cn  Cn 49 Lời giải Điều kiện n  Ta có x n n    Cnk x k 2n  k k 0 n Hệ số số hạng chứa x8 là Cn n Hệ số số hạng chứa x8 là Cn Ta có: An  8Cn  Cn 49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 =  (n – 7)(n2 + 7) =  n = Nên hệ số x8 là C7 280 1 Ví dụ (ĐH) Cho khai triển đa thức:  Tính tổng: Lời giải 2x 2013 ao  a1 x  a2 x   a2013 x 2013 S  a0  a1  a2   2014 a2013 x(1  x)   a  Ta có: 2013  2a1 x  3a2 x   2014a2014 x 2013  (1  x) 2013  4026 x(1  x)1012 a0  2a1x  3a2 x   2014a2013 x 2013 (*) 83 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Nhận thấy: Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 ak x k  a k (  x ) k đó thay x  vào hai vế (*) ta có: S  a0  a1  a2   2014 a2013 1343.32213   2x  Ví dụ (ĐH) Cho khai triển: 10 x 2  x  1 ao  a1 x  a2 x   a14 x14 Hãy tìm giá trị a6 Lời giải x  x   (2 x  1)  4 nên Ta có 10   x  ( x  x  1)2  (1  x)14  (1  x)12  (1  x)10 16 16 Trong khai triển   2x  14 6  2x  hệ số x là: C14 ; Trong khai triển  12 hệ số x là: 26 C126 10 6 hệ số x là: C10 a6  26 C146  26 C126  26 C106 41748 16 16 Vậy hệ số  2x  Trong khai triển  100 Ví dụ (ĐH) Tính giá trị biểu thức: A 4C100  8C100  12C100   200C100 Lời giải 1 x Ta có:  100 1 x 100 100 100 C100  C100 x  C100 x   C100 x 100 100 C100  C100 x  C100 x  C100 x   C100 x 1 x Lấy (1)+(2) ta được:  Lấy đạo hàm 99 (1) 100   x   100   x  99 100  1 x hai 100 (2) 100 100 2C100  2C100 x  2C100 x   2C100 x vế theo ẩn 100 99 4C100 x  8C100 x   200C100 x 99 100 Thay x=1 vào => A 100.2 4C100  8C100   200C100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN    x  1) Tìm số hạng không chứa x khai triển 2012 C2012 C2012 C2012 C2012 T     2013 2) Tính tổng: 84  x  10 với x > x ta được: hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 2012 C2012 2C2012 22 C2012 23 C2012 22012 C2012 S      1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 3) Tính tổng 2.3 Xác suất: Ví dụ Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh và cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc cầu từ hộp đó Tính xác suất cho cầu lấy có đúng cầu màu đỏ và không quá hai cầu màu vàng Lời giải  C164 1820 Số phần tử không gian mẫu là Gọi B là biến cố “ lấy có đúng cầu màu đỏ và không quá hai màu vàng” Ta xét ba khả sau: - Số cách lấy đỏ, xanh là: C4C5 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C4C5 C7 1 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C4C5C7 hoctoancapba.com Khi đó  B C41C53  C41C71C52  C41C72C51 740 P  B  B 740 37    1820 91 Xác suất biến cố B là Ví dụ Chọn ngẫu nhiên bài tú lơ khơ Tính xác suất cho quân bài đó có đúng quân bài thuộc (ví dụ K) Lời giải 52 Số cách chọn quân bài bài tú lơ khơ là: C5 2598960 Số cách chọn quân bài bài tú lơ khơ mà quân bài đó có đúng quân bài thuộc là: 13 C3 52 Xác suất để chọn quân bài bài tú lơ khơ mà quân bài đó có đúng quân bài 52 13 thuộc là: 2598960 = 649740 Ví dụ Cho E là tập các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Lấy ngẫu nhiên số E Tính xác suất để lấy số chia hết cho Lời giải abcde  E  a 0  có cách chon a;  Giả sử 4 Chọn bcde có A  n( E ) 7 A 5880 85 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  e 5  n() 5880; abcde  E và abcde5    Trong E có : A  6A 36 1560  e 0 Số chia hết cho Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho thì n(A)=1560 1560 13 P ( A)   5880 49 E  1, 2,3, 4,5 Ví dụ Cho tập Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số đó có đúng số có chữ số Lời giải Số các số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập E là: 5.4.3 60 Trong đó số các số không có mặt chữ số là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số là 60  24 36 Gọi A là biến cố “hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng không có mặt chữ số 5” Rõ ràng A,B xung khắc Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có: 1 1 C36 C36 C24 C24 13 P  A  B  P  A   P  B   1  1  C60C60 C60C60 25 P 1  P  A  B  1  13 12  25 25 Suy xác suất để hai số đó có đúng số có chữ số là Ví dụ Trong kì thi Thí sinh phép thi lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9 Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7 Nếu trượt hai lần thì xác suất vượt qua kì thi lần thứ ba là 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Lời giải Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu Ta có: B A1  (A1A )  (A1 A A3 ) Suy ra: P(B) P(A1 )  P(A1A )  P(A1 A 2A ) P(A1 ) 0,9  P(A1A ) P(A1 ).P(A / A1 ) 0,1.0,  Trong đó: P(A1 A A ) P(A1 ).P(A / A1 ).P(A / A1 A ) 0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B) 0,9  0,1.0,  0,1.0,3.0,3 0,979 BÀI TẬP TỰ LUYỆN T  0;1; 2;3; 4;5 1) Từ các chữ số tập , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác lên hai thẻ Tính xác suất để hai số ghi trên hai thẻ đó có ít số chia hết cho 86 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 2) Có 10 học sinh lớp A; học sinh lớp B và học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ các học sinh trên Tính xác suất cho lớp nào có học sinh chọn và có ít học sinh lớp A 3) Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Lấy ngẫu nhiên viên bi cộng các số trên viên bi lại với Tính xác suất để kết thu là số lẻ 4) Một hộp đứng cái bút màu xanh, cái bút màu đen, cái bút màu tím và cái bút màu đỏ Lấy ngẫu nhiên cái bút Tính xác suất để lấy ít bút cùng màu CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số dx  x  C Nguyên hàm mở rộng a.dx ax  C , a   x 1  x dx   C ,     1 dx x ln x  C , x 0 x x e dx e  C ( ax  b) 1  ( ax  b ) dx  C  a  1 dx ax  b  a ln ax  b  C ax b ax b e dx  e C  a a x    x  a dx  C   ln a cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C sin(ax  b)dx  a cos(ax  b)  C ax C ln a cos xdx sin x  C x a dx  sin xdx  cos x  C 87 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh cos x sin Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 1 dx tan x  C cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C dx  cotx  C sin 2 1 dx  cot (ax  b)  C (ax  b) a x 1.2 Công thức tích phân F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì b f ( x)dx F ( x) b a  F (b)  F ( a ) a 1.3 Phương pháp đổi biến số b ' f   ( x) ( x)dx 1.3.1 Dạng : Tính I = a ' + Đặt t =  ( x)  dt  ( x).dx + Đổi cận : x t a  (a) b  (b)  I=  (b)  f (t ).dt F (t )  (a) b f ( x)dx 1.3.2 Dạng : Tính I = a cách đặt x =  (t )     2  ;  Dạng chứa a  x : Đặt x = asint, t  2  (a>0) 1.4 Phương pháp tích phân phần b * Công thức tính : b b b f ( x)dx udv uv  vdu a a  u  du  dx    dv   v  a a (lay dao (lay nguyen ham) ham)  Đặt Ta thường gặp hai loại tích phân sau: * Loại 1: b  P( x).sin f ( x).dx a  b  u P ( x )  P( x).cos f ( x).dx a b  P( x).e f ( x ) dx  a , đó P ( x ) là đa thức bậc n 88  (b)  (a ) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 b P( x).ln f ( x).dx  u ln f ( x ) *Loại 2: a 1.5 Tính chất tích phân b b kf ( x)dx k f ( x)dx Tính chất 1: a a b Tính chất 2: , k: số b b  f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx a b Tính chất 3: hoctoancapba.com a c a b f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx a a (a  c  b ) c 1.6 Diện tích hình phẳng 1.6.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] đó diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: b S f ( x ) dx a (*) Lưu ý:  f ( x) 0 vô nghiệm trên (a;b) thì b b S f ( x ) dx  f ( x )dx a a  f ( x) 0 có nghiệm c  ( a; b) thì b c S  f ( x) dx  f ( x) dx  a a b f ( x)dx c 1.6.2 Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b] Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: b S f1 ( x)  f ( x) dx (**) Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối công thức (**) thực tương tự công thức a (*) 1.7 Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b V  f ( x )dx a 89 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Lưu ý: Diện tích, thể tích là giá trị dương Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính các tích phân sau 1 x 1/ A (2x+e ) dx x / C  sinx+ cos x  dx  x2  x   / D  dx x 1  Lời giải  / B 2  e  3 dx x  / E  x  sin x  dx 1 1 0 1/ A  x  e  dx 2 xdx  e x dx  x  e x 1   e  e x 0 1 x  2e  x dx  / B 2  e  3 dx  2e  dx 3 x x 0   x 1 2x  2e   3   ln 2e ln  ln 2e  ln    / C  sinx  cos x  dx sinxdx cos xdx  cos x  sin x 2 0 4 1  1 x 3  32 2 3  / D     dx   x  x  dx ln x  x  x  x x x  x   1 1   2 / E  x  sin x  dx xdx  sin xdx  x  cos x  2 0 0    Ví dụ Tính các tích phân sau 1/ I x x  3dx 1 2x 1 / J  dx  3x  e  2ln x   / K   dx x ln x  x   1  ln   / L   x  x  dx e    Lời giải 1/ I x x  3dx  Đặt x  t ta x  t  dx 2tdt  Đổi cận: x 1  t 2; x 6  t 3 3 232 2 3 I  2t  6t  dt  t  2t   5 2  Khi đó 2x 1 / J  dx  3x  90 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 t2  x  dx  tdt 3  Đặt x  t ta  Đổi cận x 0  t 1; x 1  t 2 2 2t  t   28 J  dt   2t  2t   dt   ln 1 t 1 t 1  27  Khi đó e  2ln x   / K    dx x ln x  x   1  e K1  dx x ta kết K1 2  Tính   e1 dx x  Đặt ln x t ta  Đổi cận x 1  t 0; x e  t 1 1 2t  K  dt  2t  ln  t  1  2  ln t 1  Khi đó dt   Vậy ta K K1  K 2 e  ln ln   / L   x  x  dx e    hoctoancap ba com ln  Tính L1  xdx I  ln 2 ta kết ln L2   x dx e   Tính x x  Đặt e t ta e dx dt  Đổi cận x 0  t 1; x ln  t 2  Khi đó dt L2   ln t  ln  2t  1  ln  ln ln t 2t  1  L L1  L2  ln 2  ln  Vậy ta Ví dụ Tính các tích phân sau  1/ I   sin x  cos xdx  / J  dx  sin x cos x Lời giải 91  / K  s inx  x  sin xdx hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  / I   sin x  cos xdx  Đặt sin x t  dt cos xdx  x 0  t 0; x   t 1  Đổi cận 1  t4  I   t  dt  t    40   Khi đó  / J  dx  sin x cos x 1 dx sin x  Đặt   x   t  3; x   t 1  Đổi cận cot x t  dt  3 1 1     J     dt     dt  t      t t t t t 27       1  Khi đó    / K  sinx  x  sin xdx sin xdx  x sin xdx 0    Đặt  cos x K1 sin xdx  dx   2 0    K x sin xdx u  x   dv  sin xdx  du dx  v  cos x    K  x cos x  cos xdx   sinx   * Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao - Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số - Nếu hàm số chứa thức thì đặt t = thức dx - Nếu tích phân chứa x thì đặt t ln x 92 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 x x - Nếu tích phân chứa e thì đặt t e dx - Nếu tích phân chứa x thì đặt t  x dx t x - Nếu tích phân chứa x thì đặt - Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t sin x - Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t cos x dx - Nếu tích phân chứa cos x thì đặt t tan x dx - Nếu tích phân chứa sin x thì đặt t cot x Ví dụ Tính các tích phân  a) e I x sin xdx b) J x ln xdx Lời giải  a) I x sin xdx  u  x   dv  sin xdx     du dx  v  cos x  I  x cos x  cos xdx 0   sinx 02 1 e b) J x ln xdx 1  du  dx  u ln x  x    dv  xdx v  x   e  x2 J  ln x  e e e x x2 x2 e2  dx  ln x    2 4 1 93 c) K xe x dx hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 c) K xe x dx u  x   x dv  e dx   K  xe  x  du dx  x v e 1  e x dx e  e x 1 0 Ví dụ Tính các tích phân sau ln    x2   / I  x  dx / J   e x  dx  x x  x e      Lời giải 2   x2   x2 / I  x  dx  dx x dx   x  x3  x  x2 1 1 x2  / K  ln xdx x 2 I1 x dx  x  3 Tính 1   x 1 d 1 x x 1    x I  dx  dx   dx  ln   x  ln 1 xx x 1 1 x x x x 2 I I1  I   ln Vậy ln ln ln  x  x / J   e  dx  e dx   dx  ex   ex   0 ln J1  e x dx e x ln ln 3 dx; t  e x  t e x  2tdt e x dx  dx  dt t ex  J2   2  t   J  dt ln   ln t t  2  t 21  94 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh J  J1  J 3  ln Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Vậy x2  / K  ln xdx x u ln x   x2   dv  dx  x2   du  dx  1 1   x  K  x   ln x   x   dx  x x x  1 v  x   x Đặt 2 1 1    K  x   ln x   x    ln  x x1 2   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau a) y  x , trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2 b) y  x , y  x  và hai đường thẳng x =0, x=2 y  x , y x  c) Lời giải a) y  x , trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2  Trên [0; 2] ta có x 0  x 0  [0;2]  Diện tích hình phẳng đã cho: 2 S x dx  x3  3 2 b) Đặt f1 ( x )  x , f ( x )  x   x 1  [0;2] f1 ( x)  f ( x) 0  x  ( x  3) 0  x  x  0    x   [0;2] Ta có:  Diện tích hình phẳng đã cho S | x  x  | dx 95 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  ( x  x  3)dx  ( x  x  3)dx 1  x3   x3     x  3x     x  3x   0  1           4 3 3  x  x  ( x  2) 0  x  x  0    x 2 c) Ta có: Diện tích hình phẳng 2  x3 x  1 S  | x  x  | dx     2x         2   1 1 Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn y 1  x , y 0 Lời giải  Ta có:  x 0  x 1 b  Áp dụng công thức: V  f ( x )dx a 1  2x x5     2x  x dx   x      V  (1  x ) dx    1  1 1  Ta có: 2      16                       15     Bài Tập tự luyện Bài 1: Tính các tích phân sau 1 ( x  x  1)dx e  1   x ) dx x x (2sin x  3cosx  x)dx  ( x  (e  x  1dx 1 x  x)dx 96 ( x  x x )dx hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  ( x  1)( x  x  1)dx 16 ( x 7x  x  dx  x 11  1).dx 1 ( x 2 (e  4)dx  x  1)dx 12 x( x  3)dx 2 x2  x dx  x 15   x  x  1   dx  x  14  x 3 e2 13  10 (3sin x  2cosx  x )dx  dx x2  Bài 2: Tính các tích phân sau  sin xcos xdx  x  x dx e sin x cosxdx  x 0 e x2 2  x 11 xdx 14 x x  1dx 17 ln 2 x dx  2e  x  20 x dx x1   ln x dx x  x) dx  1 x dx 22 Bài 3: Tính các tích phân sau  12   4sin x cos xdx e sin(ln x) dx x 15  x  5dx 18 e 23 x dx 21  4 x dx 24 97 x2 1 sin x dx x cos 1 x  0 x (1  x ) dx x dx 1 x (1  3x ) ln 19 e e 16 x3  dx sin x(1  sin dx x  1dx x2 cos x 6  5sin x  sin 13   4sin xcosxdx   12 1   1  x dx dx hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh  Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 x cos xdx e x xe dx  ( x  cos x)sin xdx 10 x ln xdx ( x  1)sin xdx 2x sin 3xdx 11 (2 x  1)cosxdx  e 1 x ln(1  x )dx sin xdx e  2 x  ( x  2)e 2x dx e  (2 x  2) ln xdx x cos x dx (2 x  7) ln( x  1)dx ( x  2)e 2x 12 dx 13 14 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: y  x  x  3 , trục hoành, x = và x = a) b) y  x  1, x  1, x 2 và trục hoành c) y  x  12 x, y  x d) y  x  và tiếp tuyến nó điểm có tung độ -2 e) y  x  x, y 0, x 0, x 3 f) y sinx, y=0, x=0, x= 3 x g) y e , Ox, x 0, x 3 Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay quay các hình phẳng giới hạn các đường sau quanh trục hoành: a) y  x  x, y 0, x 0, x 3 b) y cos x, y 0, x 0, x   y tan x, y 0, x 0, x  c) d) y 2  x , y 1 y ln x, x  , x e, y 0 e e) 98 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Một số phép toán vectơ  AB ( xB  x A , yB  y A , z B  z A )  2 2 AB  AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A      a b  a1 b1 , a2 b2 , a3 b3  a  a1 , a2 , a3  , b  b1 , b2 , b3   k.a  ka1 , ka2 , ka3   a  a12  a22  a32  a b    1 a b  a2 b2  a b  3  a.b a1.b1  a2 b2  a3 b3     a a a a cp b  a k b    b1 b2 b3    a  b  a.b 0  a1.b1  a2 b2  a3 b3 0  a 10 [a, b]   b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2  ,  b1 b1 b2  11 M là trung điểm AB  x  xB y A  y B z A  z B  M A , ,  2   12 G là trọng tâm tam giác ABC  x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC  G A , , , 3   1.2 Phương trình mặt phẳng  *) Phương trình mp() qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A(x – x o) + B(y – yo ) + C(z – zo ) =  () : Ax + By + Cz + D = thì ta có vtpt n = (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là 99 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 x y z   1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm qua và véctơ pháp tuyến *) Vị trí tương đối hai mp (1) và (2) : ° ( ) cắt (  )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 ( ) / / (  )  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 ( ) (  )  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 ° ° ° ( )  (  )  A1 A2  B1 B2  C1C2 0 *) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = Ax o  By o  Cz o  D d(M, )  A  B2  C   n1 n2 cos(( ),( ))    n1 n2 *) Góc hai mặt phẳng : 1.3 Phương trình đường thẳng  *) Phương trình tham số đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)  x x o  a1t  d : y y o  a t ( t  ) z z  a t o  *) Phương trình chính tắc d : d: x  xo a  y  yo a2 z-z  a3 *) Vị trí tương đối đường thẳng d , d’ : Ta thực hai bước  a + Tìm quan hệ vtcp a d , d /  x + a1t = x'0 + a'1t'   y + a t = y'0 + a'2 t' (I) z + a t = z' + a' t' ’ + Tìm điểm chung d , d cách xét hệ:    a a Hệ (I) Vị trí d , d’ Quan hệ d , d / Vô số nghiệm Vô nghiệm Có nghiệm Cùng phương Không cùng phương 100 d d ' d / /d ' d cắt d’ hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 d , d’ chéo Vô nghiệm *) Góc đường thẳng : Gọi  là góc d và d’   ad ad / cos    (0  90 ) ad ad / 1.4 Một số dạng toán thường gặp  Dạng 1: Các bài toán bản( các yếu tố đã cho sẵn)  Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm, qua điểm và song song với mặt phẳng cho trước  Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước  Chứng minh ABCD là tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm  Tìm tọa độ hình chiếu điểm trên đường thẳng, mặt phẳng  Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, qua điểm đã cho  Dạng 2: Bài toán phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan  Viết phương trình mặt phẳng cách xác định VTPT  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách  Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu  Các dạng toán khác mặt phẳng  Dạng 3: Bài toán phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan  Viết phương trình đường thẳng cách xác định VTCP  Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác  Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách  Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc  Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác  Dạng Các bài toán tổng hợp 1.5 Phương trình mặt cầu 1.5.1 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R 2 (S) :  x  a    y  b    z  c  r (1) 2 +/ (S) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 (2) ( với a  b  c  d  ) 2 2 2 +/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và r  a  b  c  d 1.5.2 Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu 2 (S) :  x  a    y  b    z  c  r Cho và ( ) : Ax + By + Cz + D = Gọi d = d(I,()) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp() 101 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  d > r : (S)  () =   d = r : () tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc tâm I trên mp() )   a  n ( ) d + Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp() : ta có + H = d  () Gọi H (theo t)  d  H ()  t = ?  tọa độ H 2 2 (S) :  x  a    y  b    z  c  r  ( ) : Ax  By  Cz  D 0  d < r : () cắt (S) theo đường tròn (C):  *Tìm bán kính R và tâm H đường tròn giao tuyến: 2 + Bán kính R  r  d ( I ,( )) + Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc tâm I trên mp() ) 1.5.3 Các dạng toán mặt cầu  Viết phương trình mặt cầu cách xác định tâm và bán kính  Viết phương trình mặt cầu cách xác định hệ số phương trình tổng quát  Bài toán khác liên quan đến mặt cầu VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  x t x y z  d1 :   & d :  y 1  2t  t  R   z t  Chứng minh hai đường thẳng song song Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng trên Lời giải  Ta có   u1  2;4;2  ; u2  1;2;1 suy hai véc tơ cùng phương M  2; 2;   d M 2;2;   d1  Ta có  và  Suy hai đường thẳng song song     u1  2;4;2  ; MN   2;  1;     u1 , MN   6;0;6   Ta có với N(0;1;0)  Phương trình mp(P): x+z-4=0 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 và mặt phẳng (Q): 5x+2y+5z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) Lời giải    nR  nP , nQ    4;  30;16   Ta có 102 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  Suy phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0 D d  O;  R    1 293  Ta có  Vậy phương trình mp(R) là:  x  15 y  z  293 0 Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC Lời giải 1.Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C      AB  2;  3;  1 ; AC   2;  1;  1  n  AB, AC   2; 4;    Ta có  Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC    Ta có AB AC 0 nên M thuộc đường thẳng vuông góc với (ABC) trung điểm I(0;-1;1) đoạn BC  Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình 2 x  y  z  0   x y 1 z       Suy tọa độ M(2;3;-7) Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng đó Lời giải   n  a; b; c   n AB 0  a  c 0  Gọi  Phương trình mp có dạng ax+by+cz-a-2b-3c=0  3c d  C;  P     2 a  b  c  Ta có  Suy a=b=c=1 a=c=1, b=-1  Phương trình mp(P) là x+y+z-6=0 x-y+z-2=0 103 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), đó b,c dương và mặt phẳng (P): y-z+1=0 Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) Lời giải x y z   1  Ta có phương trình (ABC) là b c   n  Ta có ABC nP 0  b c  bc d  O;  ABC    2 2 b c b c  Ta có b c   Suy Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  x 2  t x 1 y 1 z   d1 :   & d :  y 1  2t  t  R  1  z  t  Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 và d đồng thời vuông góc với mp(P): 2x+y-5=0 Lời giải  Ta có d  d1  A  A    u;   3u;1  2u  d  d B  B   t ;1  2t ;  t    AB  t  u  3;  2t  3u  2;  t  2u  1   t 3 d   P   AB k nP   u   T a có  x 1  2t '   y   t '  t '  R   z   Suy phương trình đường thẳng d là  Ví dụ7: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số đường thẳng d biết: a) d qua điểm A và trung điểm I đoạn thẳng BC b) d qua C và vuông góc với mp(ABC) 104 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Lời giải 3  I   1;  ;  2 a) I là trung điểm BC nên   1  AI   1;  ;   2  VTCP:   x  t  x  x0  a1t    y  y  a t    y 1   z z  a t     z 2  t t Phương trình tham số đường thẳng d:   AB  (  3;0;2), BC (4;  3;  5) b)    n VTCP:  AB  BC (6;  7;9) Phương trình đường thẳng d cần tìm:  x  x0  a1t  x 1  6t    y  y0  a2t   y   7t  z z  a t  z   9t    x   t   y 3  t  z 3t  Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối d với các đường thẳng:  x 1  2t  x 2  t  x   2t    1 :  y  2t  :  y 8  2t  :  y 4  t  z 3  6t  z 1  4t  z   3t    a) b) c) Lời giải  a) d có VTCP u (1;  1;3)  1 có VTCP u1 (2;  2;6) 1  2t   t '   2t 3  t '  3  6t 3t ' Xét hệ phương trình:    u  (2;  2;6)  u Và  2t  t '    2t  t ' 3 6t  3t '   Suy ra: d // 1 105 vô nghiệm hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 b) Thực tương tự: d và  cắt c) Thực tương tự: d và 3 chéo Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy Lời giải     n  nP , j   n  3;0;1  Ta có  Phương trình mặt phẳng là: 3x+z=0 Ví dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  x 1  t  x 2  t '   d :  y 1  2t d ' :  y   t '  z 2  t  z 3  t '   Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng trên Lời giải t 1  t ' 0 suy d cắt d’ I(2;-1;3)  Ta có hệ phương trình có nghiệm    nP  u , u '  nP   3;0;3  Ta có  Phương trình mặt phẳng là: -x+z-1=0 Ví dụ 11: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x  y  z  0 a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P) Lời giải a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB AB     2 Phương trình mặt cầu cần tìm: ( x  1)  ( y  3)  ( z  1) 6 b) Gọi I là trung điểm BC 69   I  1; ;   , BC   Khi đó,    I  1; ;    , bán kính r = Mặt cầu đường kính BC có tâm  106 69 có phương trình: hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 69 )  ( z  2)  c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính   12  r d (C ,( P ))  5 1  ( x  1)  ( y  2 Phương trình mặt cầu cấn tìm: x  ( y  2)  ( z  6) 25 2 Ví dụ 12: Cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z  0 a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1) Lời giải  2a  a 1  2b 6 b       2c  c 4 d 1 d 1 a) Từ phương trình mặt cầu ta có:  Tọa độ tâm I(1; -3; 4) Bán kính: r    16  5 b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vuông với mp  IM (0; 4;  3)  Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0; 4;  3) có phương trình: 0( x  1)  4( y  1)  3( z  1) 0  y  z  0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và mp(P) x+y+z-3=0 Tìm tọa độ hình chiếu A lên (P)  x t  d :  y 1  2t  t  R   z t  Bài Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và Tìm tọa độ hình chiếu A lên d, điểm đx A qua d  x t  d :  y 1  2t  t  R   z t  Bài Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 và Tìm M trên d cho khoảng cách từ M đến mp(P) Bài Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 107 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  x t x y z  d1 :   & d :  y 1  2t  t  R   z t  Xét vị trí hai đường thẳng Viết ptmp chứa đường thẳng trên Bài Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  x t x y z  d1 :   & d :  y 1  2t  t  R  1  z t  Xét vị trí đường thẳng Viết ptmp qua chứa đường thẳng d1 đồng thời // d Bài Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện b) Tìm điểm A’ cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực đọan AA’ Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB b) Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) A c) Tìm điểm M trên đường thẳng AB cho tam giác MOA vuông O Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) a) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB b) Viết phương trình mặt cầu tâm A và qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua điểm A Bài Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a) Viết phương trình mp qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC) b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- = c) Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- = d) Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz f) Viết pt mp(P) qua các điểm là hình chiếu điểm M(2;-3;4) lên các trục tọa độ x 1 y  z  x y2 z     và (d’): 2 Bài 10 Cho hai đường thẳng (d): a) Chứng tỏ (d) và (d’) chéo nhau.Tính khoảng cách (d) và (d’) b) Viết phương trình đường vuông góc chung chúng c) Tính góc (d1) và (d2) Bài 11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1) a) Viết phương trình đường thẳng BC b) Chứng minh điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD 108 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  : x  y  z  17 0 Bài 12 Cho   và đường thẳng (d) là giao tuyến hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = và 6x + 3y – z + =  a) Tìm giao điểm A (d) và    b) Viết phương trình đường thẳng   qua A, vuông góc với (d) và nằm mặt phẳng   Bài 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z –1= a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên (P) b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; ) và đường thẳng  x   3t   y   2t  z  t (d) có phương trình tham số  a) Viết phương trình mp(P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d) b) Viết phương trình mp (Q), biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d) c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng (d) Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng 2 (P) : x  y  z  0 và mặt cầu (S) : x  y  z  x  y  z  0 a) Tìm điểm N là hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 109