Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu chuyên đề toán lớp 9 – ôn thi vào lớp 10 a C/minh KAFKEA b Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF và OE, chứng minh đường tròn I bán kính IE tiếp xúc với đường tròn [r]
(1)SÁCH THAM KHẢO -*** - TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN THI LỚP 10 Lĩnh vực: Khoa học tự nhiên / Môn: Toán Tác giả: Tổng hợp sưu tầm Chức vụ: Giáo viên Năm học : 2015 - 2016 (2) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 CÁC NỘI DUNG ÔN TẬP TOÁN LỚP VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: 13 a) A= x y y x b) B= xy c)C= 4 6 x y x y với x > ; y > ; x y 6 3 d) D= Câu 2: Cho biểu thức : 1 x2 A ( )2 1 x2 x x 1 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Giải phương trình theo x A = -2 a a a a 1 a : a a a a a Câu 3: Cho biểu thức: A = a) Với giá trị nào a thì A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên nào a thì A có giá trị nguyên Câu 4: a) Rút gọn biểu thức: x 1 m2 n2 n : x x x 45 20 m n A= ;B= ;C= ( với x 0; x 1 ) b) Chứng minh C < a a a a : a a (a>0; a 1 ) Câu 5: Cho biểu thức Q = a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q a = + 2 c) Tìm các giá trị Q cho Q < x1 x x 2 : 1 x x x x Câu 6: Cho biểu thức P = a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm các giá trị x để P = (3) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 x x 3x x : x x x x Câu 7: Cho biểu thức P = a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tím các giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x 2 : x 1 x x x x x x C\âu 8: Cho biểu thức P = với x 0; x 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên c) Tìm GTNN P và giá trị tương ứng x x x 2 : x x x 1 x x 1 Câu 9: Cho biểu thức P = với x 0; x 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị x để P > c) Tính giá trị P x = - d) Tìm GTLN P và giá trị tương ứng x VẤN ĐỀ II: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình: x x 1 1 a) Câu 2: Giải các phương trình sau : 2 a) x x b) x4 + 3x2 – = Câu 3: Giải pt và hệ phương trình sau: 3x + 2y = x y 3 a) x y 6 b) 15 x - y = b) x 2y x y 5 c) x x 0 c) 2 x x 0 Câu 4: Cho phương trình bậc hai: x x 0 và gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau: 1 2 2 x a) x2 b) x1 x2 1 3 x x2 c) x1 x2 d) Câu 4: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình sau: a) - 3x ≥ -9 b) x +1 = x - c)2(x + 1) = – x 1 x y 1 5 d) (2 x )(1 x ) x e) x y (4) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Câu 5: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) a) Giải phương trình (1) m = -5 b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 với giá trị m x x c) Tìm GTNN biểu thức M = Câu 6: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2mx - m2 - = (1) a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 phương trình mà không phụ thuộc vào m x1 x c) Tìm m thỏa mãn hệ thức x x1 Câu 7: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1.x2 Câu 8: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - = a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? c) Tìm GTLN biểu thức A = 4x1x2 - x12 - x22 Câu 9: Cho Phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 4x - m2 - = (1) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m b) Tính giá trị biểu thức A = x12 + x22 biết 2x1 + 3x2 = 13, (x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1)) Câu 10: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - (m - 1)x - m2 + m - = (1) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x13 + x23 > Câu 11: Cho phương trình: x2 - mx + m - = (m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm x 1, x2 với giá trị m Tính nghiệm kép (nếu có) phương trình b) Tìm m cho phương trình có nghiệm này gấp hai lần nghiệm c) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2 Tìm m để A = Tìm giá trị nhỏ A Câu 12: Cho phương trình: x2 – 2(2m + 1)x + 2m – = a) Giải phương trình m = và chứng tỏ tích hai nghiệm phương trình luôn nhỏ b) Có giá trị nào m để phương trình có nghiệm kép không? c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình, chứng minh biểu thức: M = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) là số Câu 13: Cho phương trình x2 - (m - 1)x - m2 + m - = a) Chứng minh với giá trị m phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu b) Tìm giá trị nhỏ tổng x12 + x22, đó x1, x2 là hai nghiệm phương trình c) Tìm m để x1 = 2x2 VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu 1: a) Vẽ đồ thị (P): y = -2x2 b) Lấy điểm A, B, C trên (P), A có hoành độ là –2, B có tung độ là – 8, C có hoành độ là – Tính diện tích tam giác ABC Em có nhận xét gì cạnh AC tam giác ABC (5) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Câu 2: a) Vẽ đồ thị hàm số : y = -2x2 b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 4) và B(-2; 1) Câu 3: Cho hàm số y = x2 và y = x + a) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B đồ thị hai hàm số trên phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB y k 1 x Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): (k là tham số) và parabol (P): y x a) Khi k , hảy tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) và parabol (P); b) Chứng minh với giá trị nào k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt; c) Gọi y 1; y2 là tung độ các giao điểm đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm k cho: y1 y y1 y x Câu 5: Cho hàm số : y = 1) Nêu tập xác định, chiều biến thiên và vẽ đồ thi hàm số 2) Lập phương trình đường thẳng qua điểm (2 , -6) có hệ số gúc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên x2 y và y = - x – Câu 6: Cho hàm số: a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – và cắt đồ x2 y điểm có tung độ là thị hàm số Câu 7: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 3(2m + 3) – 2mx và Parapol (P) có phương trình y = x2 a) Định m để hàm số y = 3(2m + 3) – 2mx luôn luôn đồng biến b) Biện luận theo m số giao điểm (d) và (P) c) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hoành độ cùng dấu Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A (–1; 2) và đường thẳng (d1): y = –2x +3 a) Vẽ (d1) Điểm A có thuộc (d1) không? Tại sao? b) Lập phương trình đường thẳng (d2) qua điểm A và song song với đường (d1) Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) và (d2) Câu 9: Cho các đường thẳng có phương trình sau: (d1): y = 3x + 1, (d2): y = 2x – và (d3): y = (3 – m)2 x + m – (với m ≠ 3) a) Tìm tọa độ giao điểm A (d1) và (d2) b) Tìm các giá trị m để các đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy c) Gọi B là giao điểm đường thẳng (d1) với trục hoành, C là giao điểm đường thẳng (d2) với trục hoành Tính đoạn BC VẤN ĐỀ IV: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT VÀ HPT Câu 1: Hai giá sách có 450 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 50 thì số sách giá thứ hai số sách giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu giá Câu 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 hàng Khi khởi hành thì xe phải điều làm công việc khác, nên xe cũn lại phải chở nhiều 0,5 hàng so với dự định Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng xe chở nhau) (6) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Cừu 3: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước thì đầy bể Nếu để riêng vòi thứ chảy giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp thì 2/5 bể Hỏi chảy riêng thì vòi chảy đầy bể bao lâu? Câu 4: Một người xe máy khởi hành từ Hoài Ân Quy Nhơn Sau đó 75 phút, trên cùng tuyến đường đó Ô tô khởi hành từ Quy Nhơn Hoài Ân với vận tốc lớn vận tốc xe máy là 20 km/giờ Hai xe gặp Phù Cát Tính vận tốc xe, giả thiết Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km Câu 5: Một Ô tô khách và Ô tô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đến địa điểm B đường dài 180 km vận tốc Ô tô khách lớn Ô tô tải 10 km/h nên Ô tô khách đến B trước Ô tô tải 36 phút Tính vận tốc Ô tô Biết quá trình từ A đến B vận tốc Ô tô không đổi Câu 6: Một mô tô từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc và thời gian đó dự định Nếu mô tô tăng vận tốc thêm 5km/h thỡ đến B sớm thời gian dự định là 20 phút Nếu mô tô giảm vận tốc 5km/h thì đến B chậm 24 phút so với thời gian dự định Tính độ dài quảng đường từ thành phố A đến thành phố B Câu 7: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km ; cùng lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô Câu 8: Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một Ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B, lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A là 10 Biết vận tốc lúc kém vận tốc lúc là km/h Tính vận tốc lúc Ô tô Câu 9: Cho ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m Tính độ dài các cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên 2m và giảm chiều dài ruộng 5m thì diện tích ruộng tăng thêm 5m2 VẤN ĐỀ V: HÌNH HỌC Cau 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O)vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm) Kẻ dây CD // AB, tia AD cắt (O) E (E khác D) 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp 2) Chứng minh ACB AOC 3) Chứng minh AB2 = AE.AD 4) Tia CE cắt AB I Chứng minh IA = IB Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn đó Dưng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi F là giao điểm AE và nửa đường tròn (O) Gọi K là giao điểm CFvà ED a Chứng minh điểm E, B, F, K nằm trờn đường tròn b Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì ? Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; trên tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H a) Chứng minh = , từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2 Câu 4: Cho tam giác có ba góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O H là trực tâm tam giác D là điểm trên cung BC không chứa điểm A a) Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành b) Gọi P và Q là các điểm đối xứng điểm D qua các đường thẳng AB và AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Câu5: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là điểm thuộc đường tròn (C A ; C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường (7) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 tròn (O), gọi M là điểm chính cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q, tia AM cắt BC N a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân b) Khi MB = MQ, tính BC theo R Câu 6: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động trên cạnh AB,(D không trùng với A, B) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C và D cắt K a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp b) Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao? c/ Xác định vị trớ điểm D cho tứ giác ABCK là hình bình hành Câu: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R C là trung điểm đoạn AO, đường thẳng Cx vuông góc với AB, Cx cắt nửa đường tròn (O) I K là điểm nằm trên đoạn CI (K khác C; K khác I), Tia Ax cắt nửa đường tròn đó cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D a) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh tam giỏc MNK là tam giác cân c) Tính diện tích tam giác ABD K là trung điểm đoạn thẳng CI d) Khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK di chuyển tròn đường nào? Câu 8: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đường thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm dây cung AB Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH 1/ Chứng minh điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên đường tròn 2/ Chứng minh: OH.OI = OK OM 3/ Chứng minh: IA, IB là các tiếp điểm đường tròn (O) Câu 9: Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M là trung điểm AC, I là trung điểm OD a) Chứng minh: OM // DC b) Chứng minh tam giác ICM cân c) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN Câu 10: Từ điểm P cố định nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là hai tiếp điểm) và cát tuyến PMN (M nằm P và N) với đường tròn (O) Gọi K là trung điểm đoạn thẳng MN, BK cắt đường tròn (O;R) F Chứng minh rằng: a) Tứ giác PAOB nội tiếp đường tròn Xác định bán kính đường tròn đó b) PB2 = PM.PN c) AF//MN d) Khi đường tròn (O) thay đổi và qua điểm M, N cố định thì hai điểm A, B thuộc đường tròn MỘT SỐ BỘ ĐÊ LUYỆN TẬP ĐỀ:I 2a a3 a . a 3 a a 1 a Bài 1: Cho biểu thức P = a a) Rút gọn P b) Xét dấu biểu thức P a Bài 2: Giải bài toán cách lập phương trình Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngợc từ B A Thời gian xuôi ít thời gian ngược 1h20 phút Tính khoảng cách hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng ca nô xuôi và ngược là (8) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bài 3: Cho tam gíac ABC cân A, <90 0, cung tròn BC nằm tam giác ABC và tiếp xúc với AB,AC B và C Trên cung BC lấy điểm M hạ đường vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh tương ứng BC,AB,CA Gọi P là giao điểm MB, IK và Q là giao điểm MC, IH a) Chứng minh các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp b) Chứng minh tia đối tia MI là phân giác góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp Suy PQ//BC d) Gọi (O2) là đường tròn qua M,P,K,(O2) là đường tròn qua M,Q,H; N là giao điểm thứ hai (O1) và (O2) và D là trung điểm BC Chứng minh M, N, D thẳng hàng Bài 4: Tìm tất các cặp số (x;y) thoả mãn phương trình sau: 5x-2 x (2 y ) y 0 ĐỀ:II 1 a 1 a 2 : a a a a Bài1: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm GT a để A>1/6 Bài2: Cho phương trình x2-2(m+2)x+m+1=0 (ẩn x) a) Giải phương trình m = - b) Tìm các GT m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm phương trình.Tìm GTcủa m để : ` x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m2 Bài 3: Cho tam giác ABC(AB>AC ; >900) I, K thứ tự là các trung điểm AB, AC Các đường tròn đường kính AB,AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) điểm thứ hai E, tia CA cắt đường tròn (I) điểm thứ hai F a) Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy d) Gọi H là giao điểm thứ hai tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH,DE Bài4: Xét hai phương trình bậc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = Tìm hệ thức a,b,c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có nghiệm chung ĐỀ:III x 2 x x x x x : x x Bài 1: Cho biểu thức A = 1) Rút gọn A 2) Với GT nào x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó Bài 2: Giải bài toán cách lập phương trình Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc dự định trước Sau quáng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết người đó đến B sớm dự định 24 phút Bài3:Cho đường tròn (O) bán kính R và dây BC cố định Gọi A là điểm chính cung nhỏ BC Lấy điểm M trên cung nhỏ AC, kẻ tia Bx vuông góc với tia MA I và cắt tia CM D 1) Chứng minh AMD=ABC và MA là tia phân giác góc BMD 2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M (9) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 3) Tia DA cắt tia BC E và cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn ngoai tiếp tam giác BEF 4) Chứng minh tích P=AE.AF không đổi M di động Tính P theo bán kính R và ABC = Bài4: Cho hai bất phương trình : 3mx -2m>x+1 (1) m-2x<0 (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng tập hợp nghiệm ĐỀ:IV 2x 1 x4 : x 1 x x 1 x Bài1(2 điểm): Cho biểu thức P= a) Rút gọn P b) Tìm GT nguyên x để P nhận GT nguyên dương Bai 2(3 điểm): Giải bài toán cách lập phương trình Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 96km thời gian định.Sau nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường Bai3(5điểm):Cho tam giác ABC vuông A,đường cao AH Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB,AC lần lợt E và F 1) CMR: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật 2) C/m: AE.AB = AF.AC 3) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC I Chứng minh I là trung điểm BC 4) C/m diện tích tam giac ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân ĐỀ:V x x x x : x x Bài1(3 điểm): Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm các GT x để P>0 c) Tìm các số m để có các GT x thoả mãn P x m x Bài 2(3 điểm): Giải bài toán cách lập phương trình Một xe tải và xe cùng khởi hành từ A đến B Xe tải với vận tốc 40km/h, xe với vận tốc 60km/h Saukhi xe nửa đường thì xe nghỉ 40 phút chạy tiếp đến B; xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vân tốc thêm 10km/h đến B chậm xe nửa Hãy tính quãng đường AB Bài 3(4 điểm): Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N thuộc đường tròn; AM<AN) Gọi I là giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn (E là trung điểm MN) a) Chứng minh điểm A,O,E,C cùng nằm trên đường tròn b) Chứng minh : AOC = BIC; c) Chứng minh : BI//MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tich tam giác AIN lớn ĐỀ:VI x x 2 x : x x x x x Bài 1(3điểm): Cho biểu thức P = a) Rút gọn P (10) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 b) Tính GT P biết x=6-2 c) Tìm các GT n để có x thoả mãn P.( x 1) x n Bài 2(3 điểm): Giải bài toán cách lập phương trình Một ca nô chạy trên sông 8h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105km Một lần khác chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy 4h, xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km Hãy tính vận tốc xuôi dòng và ngược dòng ca nô, biết vân tốc dòng nước và vận tốc riêng ca nô không đổi Bai3(4điểm):Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, dây MN vuông góc với dây AB I cho IA< IB Trên đoạn MI lấy điểm E (E khác M và I).Tia AE cắt đường tròn điểm thứ hai K a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp b) C/m tam giác AME,AKM đồng dạng và AM2 =AE.AK c) C/m: AE.AK+BI.BA=4R2 d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN ĐỀ:VII B.Bài tập bắt buộc(8 điểm): x2 x x 4 x : x x 1 x Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm các GT x để P<0 c) Tìm GTNN P Bai2(2 điểm): Giải bài toán cách lập phương trình Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm 2h với suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng suất sản phẩm và vì đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính suất dự kiến ban đầu Bài3(3,5 điểm):Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính EF bất kì (E khác A,B) Tiếp tuyến B với đường tròn cắt các tia AE,AF H,K Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt HK M a) C/m tứ giác AEBF là hình chữ nhât b) C/m tứ giác EFKH nội tiếp đường tròn c) C/m AM là trung tuyến tam giác AHK d) Gọi P,Q là trung điểm tương ứng HB, BK, xác định vị trí đường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ ĐỀ:VIII x 1 x x : x x x x Bài 1: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tính GT P x = c) Tìm các GT x thoả mãn P x 6 x x Bài 2: Giải bài toán cách lập phương trình Để hoàn thành công việc, hai tổ phải làm chung 6h Sau 2h làm chung thì tổ hai bị điều làm việc khác , tổ đã hoàn thành nốt công việc còn lại 10h Hỏi tổ làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc Bài3: Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm phân biệt A,B Từ điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn(M,N thuộc O) Gọi H là trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K 10 (11) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 1) 2) 3) 4) C/m điểm C,O,H,N thuộc đường tròn C/m : KN.KC=KH.KO Đoạn thẳng CO cắt (O) I, chứng minh I cách CM,CN,MN Một đường thẳng qua O và song song với MN cắt các tia CM,CN E và F Xác định vị trí điểm C trên d cho diện tích tam giác CEF nhỏ ĐỀ:IX Bài 1: Cho biểu thức P= a) Rút gọn P a 3 a 2 a 2 a1 a a 1 : a a 1 a 1 a 1 1 b) Tìm a để : P Bai2: Giải bài toán cách lập phương trình Một ca nô xuôi dòng trên khúc sông từ bến A đến bến B cách 80km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít thời gian ca nô ngược dòng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc dòng nước là 4km/h Bai3: Tìm toạ độ giao điểm A và B đồ thị hai hàm số y=2x+3 và y=x Gọi D và C là hình chiếu vuông góc A và B trên trục hoành Tính diện tích tứ giác ABCD Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, C là trung điểm OA và dây MN vuông góc với OA C Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm AK và MN 1) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp 2) Tính tích AH.AK theo R 3) Xác định vị trí điểm K để tổng (KM+KN+KB) đạt GTLN và tính GTLN đó? Bài 5:Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện x+y =2 Chứng minh: x2y2(x2+y2) 2 ĐỀ:X x x x x 1 : x x Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tính GT P x=4 13 c) Tìm x để P = Bài 2(2,5 điểm): Giải bài toán cách lập phương trình Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy.Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15%, tổ II vượt mức 10% so với thảng thứ Vì hai tổ đã sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất bao nhiêu chi tiết máy x Bai3 (1 điểm): Cho Parabol (P): y= và đường thẳng (d) có phương trình y = mx+1 1) C/m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt với m 2) Gọi A,B là hai giao điểm (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc toạ độ) Bài 4(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) bán kính AB=2R và E là điểm trên đường tròn đó (E khác A,B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F và cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K khác A 1) C/m hai tam giác KAF và KEA đồng dạng 2) Gọi I là giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc (O) E và tiếp xúc AB F 11 (12) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 3) Gọi M,N là giao điểm thứ hai AE, BE với đường tròn (I;IE) C/m MN//AB 4) Gọi P là giao điểm NF và AK; Q là giao điểm MF và BK Tìm GTNN chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động trên (O) Bài 5(0,5 điểm): Tìm GTNN biểu thức A=(x-1)4+(x-3)4+6(x-1)2(x-3)2 ĐỀ:XI x x x x 1 Bài1: Cho biểu thức P= x a) Rút gọn P b) Tìm các GT x để P < Bài 2: Giải bài toán cách lập phương trình Một người xe đạp từ A đến B cách 24km.Khi từ B trở A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì thời gian ít thời gian 30 phút Tính vân tốc người xe đạp từ A đến B Bài 3: Cho phương trình x2 +bx+c=0 1) Giải phương trình b=-3; c=2 2) Tìm b,c để phơng trình có hai nghệm phân biệt và tích Bài 4:Cho dường tròn (O;R) tiếp xúc với đờng thẳng d A.Trên đường thẳng d lấy điểm H (H khác A) và AH<R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d cắt đường tròn hai điểm phân biệt E, B (E nằm B và H) 1) Chứng minh ABE=EAH và ABH ~ EAH 2) Lấy điểm C trên đường thẳng d cho H là trung điểm AC, đường thẳng CE cắt AB K C/m tứ giác AHEK nội tiếp 3) Xác định vị trí điểm H để AB = R Bài 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới đường thẳng đó lớn ĐỀ:XII x x : x x 1 x x Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tính GT P x= 13 c) Tìm GT x để P = Bài 2(2,5 điểm): : Giải bài toán cách lập phương trình, hệ phương trình Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất bao nhiêu chi tiết máy? x Bài 3(1,0 điểm): Cho Parabol (P) : y = và đường thẳng (d) có phương trình y =mx+1 1) Chứng minh với m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt A,B 2) Tính diện tích tam giác AOB theo m (O là gốc toạ độ) Bài 4(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đờng kính AB=2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó(E khác A và B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn AB F và cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K 12 (13) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 a) C/minh KAFKEA b) Gọi I là giao điểm đường trung trực đoạn EF và OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) E và tiếp xúc với đường thẳng AB F c) Chứng minh MN//AB, đó M, N là giao điểm thứ hai AE,BE với đờng tròn (I) d) Tính GTNN chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm NF và AK;Q là giao điểm MF và BK Bài 5(0,5 điểm): Tìm GTNN biểu thức P = (x-1)4+ (x-3)4+ 6(x-1)2(x-3)2 ĐỀ:XIII x x 3x , x 0 & x 9 x x x Bài 1(2,5 điểm): Cho P = 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P = 3) Tìm GTLN P Bài 2(2,5 điểm): giải bài toán cách lập phương trình Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn chiều rộng là 7m Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó? Bài 3(1,0 điểm): Cho Parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d) y = mx-1 1) CMR với m thì (d) luôn cắt (P) điểm phân biệt 2) Gọi x1,x2 là các hoành độ giao điểm (d) và (P) Tìm giá trị m để x12x2 + x22x1 - x1x2 =3 Bài 4(3,5 điểm): Cho (O;R) đường kính AB =2R và điểm C thuộc đường tròn đó( C khác A,B) D thuộc dây BC (D khác B,C) Tia AD cắt cung nhỏ BC E,tia AC cắt BE F 1) C/minh tứ giác FCDE nội tiếp 2) C/minh DA.DE = DB.DC 3) Chứng minh CFD = OCB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh IC là tiếp tuyến (O) 4) Cho biết DF =R, chứng minh tagAFB = 2 Bài (0,5 điểm): Giải phương trình x2 +4x +7 =(x+4) x CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN LUYỆN THI CHUYÊN Câu Rút gọn P= 1+ √ √3 − − √3 1+ 1+ √ Câu Thực phép tính: a) A= √ b) B= + 1− √ 2 √ 5+ √ 17 − √ − √ 17 − √ 10− √ 2+ √ 3+ √ 5− √ 3− √5+ 2− √2 2+ √3 2− √ + √2+ √ 2+ √ √ 2− √ 2− √ 20082 2008 B 2008 20092 2009 c) Tính giá trị Câu Rút gọn biểu thức : 13 (14) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 P= 1 1 + + + + 1+ √ √ 5+ √ √ 9+ √ 13 √ 2001+ √2005 Câu Tính giá trị tổng A= √ 1+ 1 1 1 + + 1+ + + .+ 1+ + 2 2 99 100 √ √ Câu (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : ( x + √ 1+ x )( y + √1+ y ) =1 Chứng minh x+y=0 Câu (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho a= 1.Chứng minh √ √2 √2+ − 8 a + √ a− √ 2=0 Tính giá trị biểu thức S=a2+ √ a4 + a+1 Câu (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức 1 1 + + + + >4 √1+ √ √ 3+ √ √ 5+ √ √79+ √80 Câu Tính giá trị biểu thức: 3 2006 với x= √ ( 17 √ ) − 38 ( √ 5+2 ) √ 5+ √14 − √5 Câu (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy ≠ √2 và xy ≠− √ A=( x +8 x + ) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y P= ( 3 √ xy xy − √ 2 xy xy + − 3 2 x y − √ xy+2 √ xy+ √ xy − √3 ) Câu 10 (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; a b.Chứng minh a− b ¿ ¿ √ a+ √ b ¿3 ¿ −b √ b+ 2a √ a ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 27 a +6 a2 + + a3+ a − 27 a +6 a2 + 3 3 Câu 12 Trục thức mẫu số biểu thức: A= 1+3 √ 2− √3 Câu 11 Rút gọn biểu thức: Câu 13 Tính A = √ A= a3+ a+ √ √ 4+ √5 √ 3+5 √ 48 −10 √ 7+ √3 Câu 14 Có số y nào biểu thị dạng sau không? 14 √ √ (15) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 y 13 13 Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức ( P= 1+ √x : x +1 ) ( √ x1− − x √ x+2√√xx− x − )− a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P b/Tìm các giá trị x nguyên để Q=P − √ x Câu 16 (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức : P= ( nguyên 1+ √1 − x − √ 1− x x2 − + +1 − x + √ 1− x 1+ x − √ 1+ x )( ) a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa và rút gọn P P≤ √ Câu 17 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức b) Tìm x để P= ( √ x − √ y + √ x +√ y √ x3 y − y x √ y+ y √ x x √ y − y √ x x+ y x − y ) Chứng minh P luôn nhận giá trị nguyên với x,y thoả mãn x,y>0,x y Câu 18 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức A= 8− x √ x2 + : 2+ 3 2+ √ x 2+ √ x ( )( 3 2√ x x2 − √2 √ x − √ x +2 √ x √x+ ) ( x ≠ ; x ≠ −8 ; x ≠0 ¿ Câu 19 (Chuyên ngữ 2011) Cho biểu thức A= [( 1 + √x √y ) 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y + + : √ x+ √ y x y √ xy3 + √ x y ] a) Rút gọn A b) Tìm x ; y biết xy= ; A=5 36 Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1) Cho biểu thức : a −b a −b a2 +b √ P= + với a>b>0 √ a+b+ √ a − b √ a2 −b − a+b √a − b2 ( ) a) Rút gọn biểu thức P b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ P Câu 21 Cho biểu thức (x + x +2006 y 2+ 2006 y +√ ¿ ¿ √¿ ¿ ¿ Hãy tính tổng: S = x + y 15 (16) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Câu 22 Cho M 3 2008 3 2008 a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tận cùng M Câu 23 (HSG Bắc Giang 2013) 1) Tính giá trị biểu thức A 26 15 26 15 2) Rút gọn biểu thức a 2 a a a 1 P : 11 a a a a a Câu 24 (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức a2 − a −( a −1) √ a − 4+2 2 a +3 a −( a+1) √ a − 4+2 √ a+2 1− a = a −2 1+a Câu 25 (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức P= √ x+ 1 ; Q=x −7 x +15 ( Với x>0, x x √ x+ x+ √ x x − √ x : 1) a) Rút gọn P b) Với giá trị nào x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ Câu 26 (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức √ a − √ b ¿2 ¿ ¿ √¿ P= Với a=0;b>0 và a khác b a+b a+b b a : − + −¿ √ a+ √ b a −b b − √ab a − √ ab ( ) a) Rút gọn P b) Tìm a ,b cho b=(a+1)2 và P=-1 Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : b c, a b c , a b ( a b c )2 Chứng minh đẳng thức: a ( a c )2 a b ( b c) b Câu 28 (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức: A= √20 a+ 92+ √ a4 +16 a2+ 64 B=a4+20a3+102a2+40a+200 16 c c (17) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 a)Rút gọn A b)Tìm a để A+B=0 Câu 29 (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức: P= ( 3+√ √x x + 9−2 xx ): ( x√−3x −1√ x − √2x ) a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa và rút gọn P b) Tìm giá trị x để P=− Câu 30 (Chuyên ĐH SP 2013 V1) Cho biểu thức a− b + a √ a+ b √ b √ a+ √b ab− a Q= + √ a b a +3 b √ ab √ −b√a ( ) với a>0 ; b>0 a b Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN LUYỆN THI CHUYÊN 3 √ 1+ 1− √ 2 + Câu Rút gọn P= √3 − − √3 1+ 1+ 2 √ √ √ 1+ √ √ √ √ = 4+2 √ = ( √3+1 ) = 1+ √ √ √ 2 ( − √ ) √ 3− −2 √ 1− √ = = = 4 Câu Thực phép tính: √ 5+ √ 17 − √ − √ 17 − √ 10− √2+ b) A= √ 3+ √ 5− √ 3− √5+ 2− √2 2+ √3 2− √ + b) B= √2+ √ 2+ √ √ 2− √ 2− √ 20082 2008 B 2008 20092 2009 c) Tính giá trị a)Tính: ¿ [ √ 5+ √17 − √5 − √17 − √10 − √ ] [ √5+ √17 − √5 − √17+ √10 − √ ]=¿=[ √ 5+ √ 17 − √ 5− √ 17 ] − ( 10 −4 √ ¿ Mặt khác ta luôn có: √ 5+ √ 17 − √ − √ 17+ √10 − √ 2>0 Vậy: √ 5+ √17 − √5 − √17 − √10 − √ 2=0 Tương tự chứng minh 17 (18) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 √ 3+√5 − √3 − √5 − √2=0 ⇒ A= =2 2+ √3 2− √ + b) B= √ 2+ √ 2+ √ √ 2− √ 2− √3 √3+1 ¿2 ¿ ¿ - Biến đổi +2 √ 2+ √ 3= =¿ √ −1 ¿2 ¿ - Tương tự ¿ 2− √ 3== ¿ √ 3+1 ¿2 ¿ 3− 1¿ √ Vậy B= ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy B= √ 20082 2008 B 2008 20092 2009 c) Tính giá trị 20082 2008 2009 2009 có giá trị là số tự nhiên (1 điểm) Biểu thức 20082 2008 20082 2008 B 20082 2008 2.1.2008 2 2009 2009 2009 2009 Ta có : B 20082 2008 20082 2008 2008 2008 2009 2.2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2008 2008 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 Câu Rút gọn biểu thức : 1 1 + + + + P= 1+ √ √ 5+ √ √ 9+ √ 13 √ 2001+ √2005 1 1 + + + + P= = √ 5+1 √ 9+ √ √13+ √ √ 2005+ √ 2001 ¿ 9− √ √5 − √ √13 − √ + + + ( √ 5− 1)( √ 5+1) ( √ 9− √ 5)( √ 9+ √5) ( √ 13− √ 9)( √13+ √ 9) √ 2005− √2001 .+ =¿ ( √ 2005 − √ 2001)( √ 2005+ √ 2001) √ −1 + √ − √5 + √13 − √9 + + √ 2005− √ 2001 = √ 2005 −1 = 4 4 18 (19) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Vậy P = √ 2005 −1 Câu Tính giá trị tổng B= √ 1+ 1 1 1 + + 1+ + + .+ 1+ + 2 2 99 100 √ √ a+1 ¿ ¿ ¿ Xét A = 1 1+ + ¿ a √¿ a>0 a+1¿ ¿ a+ 1¿ 2+ a2 ¿ a+1¿ a2 ¿ a+ 1¿ 2+¿ a2 ¿ ¿ 1 A =1+ + ¿ a ta có a+1 ¿ ¿ a+1 ¿2 ¿ a + a+1 ¿2 ¿ = a+1 ¿ a2 ¿ ¿ a2 ¿ a +2 a2 (a+1)+¿ ¿ Vì a > 0, A > nên A = a2 +a+1 1 =1+ − a (a+1) a a+1 Áp dụng ta có B= √ 1+ 1 1 1 + + 1+ + + + 1+ + 2 2 99 100 √ √ 1 1 1 )=100− =99 , 99 = (1+ − )+(1+ − )+ +(1+ − 2 99 100 100 Câu (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : ( x + √ 1+ x )( y + √1+ y ) =1 Chứng minh x+y=0 Ta có : 19 (20) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 ¿ ❑ 1+ x ¿❑ 2 x − √ ¿ ( x + √1+ x )( y + √ 1+ y )( x − √1+ x )=(|) ¿ 1+ x ❑ ¿❑ x − √ ¿ ⇔− ( y + √ 1+ y 2) =(|) (1) ¿ 1+ x❑ ¿❑ x+ √ ¿ Tương tự ¿ 1+ y ❑ ¿❑ y − √ ¿− (|) =(|) (2) Cộng (1) và (2) Ta có − y − √ 1+ y − x − √ 1+ x 2=x − √ 1+ x + y − √ 1+ y ⇔ − y − x=x + y ⇔ x+ y=0 1 √2 √2+ − 8 1.Chứng minh a + √ a− √ 2=0 Tính giá trị biểu thức S=a2+ √ a4 + a+1 Câu (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho a= √ 2 1 2 1 1 √2+ − √ ⇒ a+ √ = √ 2+ ⇔ a+ √ = √2+ 8 8 8 1 1 √2 a√2 2 √a ⇔a + + = √ 2+ ⇔a + + = + ⇔ a + √ a − √ 2=0 32 32 32 2.Theo phần ¿ 2(1 − a) √ a2 −2 a+1 a2 + √ a− √ 2=0 ⇒a 2= ⇒ a4 = 2 a −2 a+1 a+3 ⇒ a4 +a+ 1= + a+1= √2 ¿ Câu (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức 1 1 + + + + >4 √1+ √ √ 3+ √ √ 5+ √ √79+ √80 1 1 A= + + + .+ √ 1+ √ √ 3+ √ √ 5+ √6 √ 79+ √ 80 2 2 A= + + + + √ 1+ √2 √3+ √ √ 5+ √ √ 79+ √ 80 1 1 A> + + + + + √1+ √ √ 2+ √ √3+ √ √79+ √ 80 √ 80+ √ 81 √2 − √ √3 − √2 √4 −√3 √ 81− √ 80 A> + + + + ( √ 2+ √ 1)( √ 2− √ 1) ( √ 3+ √ 2)( √ − √ 2) ( √ + √ 3)( √ − √3) ( √ 81+ √ 80)( √ 81− √80) A > √ 2− √ 1+ √ − √ 2+ √ − √ + .+ √ 81− √ 80=√ 81 −1=8 ⇒ A> (đpcm) a= √ √ ( ( ) ( ) Câu Tính giá trị biểu thức: 20 ) ( √ ) (21) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 3 A=( x +8 x + ) 2006 với x= √ ( 17 √ ) − 38 ( √ 5+2 ) √ 5+ √14 − √5 Rút gọn 17 38 2, 14 3 5 x ( 2) 3 Khi đó : 1 3x x 3 3 27 2006 Nên : A 3 Câu (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy ≠ √2 và xy ≠− √ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y √3 xy xy − √3 2 xy xy P= 2 + − 3 x y − √ xy+2 √ xy+ √2 xy − √3 Hướng dẫn ( ) √3 xy xy − √3 2 xy xy + − 3 2 x y − √ xy +2 √2 xy + √ xy − √3 ( xy − √ 2) ¿ + xy − √ 2 xy xy (xy+ √ 2)( − ¿ ) 3 2(xy+ √ 2) xy+ √ xy − √ ( P= ) xy + √ ¿2 ¿ ¿ ¿ 3 2 √ xy √2 xy+ x y −2 √ xy+ √3 xy xy P= − =¿ 3 3 ¿ 2(xy+ √ 2)(xy − √ 2) xy+ √ xy − √ P=¿ Câu 10 (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; a a− b ¿3 ¿ √ a− √ b ¿3 ¿ −b √ b+ 2a √ a ¿ ¿ ¿ ¿ 21 b.Chứng minh (22) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 a −b ¿ ¿ √ a − √ b ¿3 ¿ − b √ b+2 a √ a ¿ a+ √ab ¿ a √ a − b √b + b−a ¿ √ a − √ b ¿3 ¿ − b √ b+2 a √ a ¿ √ a ( √ a+ √b ) ¿ ( √ a − √ b ) ( a+ √ ab+b ) − ( √ a − √b )( √a+ √ b ) ¿ ¿ ¿ ¿ Q=¿ Câu 11 Rút gọn biểu thức: √ A= a3+ a+ 1 1 27 a +6 a2 + + a3+ a − 27 a +6 a2 + 3 3 √ √ √ 3 1 C1: Đặt u= a 3+ a+ 27 a +6 a2 + ; v = a3+ a − 27 a +6 a2 + A = u + v ; 3 3 u3 + v3 = 2a3 + 2a; u.v = a2 Mà A3 = (u + v)3 A3 = u3 + v3 + 3u.v( u+v ) A3 = 2a3 + 2a + 3(a2 )A A3 – (3a2 - 1)A – 2a3 – 2a = (A – 2a)(A2 + 2a.A + a2 + 1) = Do: A2 + 2a.A + a2 + = (A + a)2 + > nên A = 2a √ √ √ √ C2: phân tích các biểu thức thức thành đẳng thức 1+3 √ 2− √3 Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2+b2+c2 – ab – bc – ca) Ta coi mẫu số A có dạng a + b + c Khi đó nhân tử số và mẫu số A với (a2+b2+c2 – ab – bc – ca), ta có: −2 √3 ¿ −1 √3 −3 √3 2(−2 √3 4) −(−2 √3 4) ¿ 3 √ ¿ −3 √3 (−2 √3 4) ¿ 3 √ 2¿ − ¿ 13 +¿ 3 √2 ¿ +¿ 12 +¿ A=¿ Câu 12 Trục thức mẫu số biểu thức: Câu 13 Tính A = A= √ 4+ √5 √ 3+5 √ 48 −10 √ 7+ √3 22 (23) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Ta có A = = = = √ 4+ √5 √ 3+5 √ 48 −10 √ +4 √3+3 √ 4+ √5 √ 3+5 √ 48 −10( 2+ √3) √ 4+ √5 √ 3+5(5 − √3) √ 9=3 Vậy A = Câu 14 Có số y nào biểu thị dạng sau không? y 13 13 Dễ thấy y> Bình phương vế ta có: y 5 13 13 ( y 5) 13 13 ( y 5) 13 y y 10 y y 12 0 ( y 3)( y y y 4) 0 ( y 3) ( y 3)( y 1)( y 1) 1 0 (*) nên ( y 3)( y 1)( y 1) >0 y 0 y 3 Vì y > Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức x √x P= 1+ √ : − −1 x +1 √ x − x √ x+ √ x − x − a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P b/Tìm các giá trị x nguyên để Q=P − √ x nguyên *P có nghĩa x0;x1;Rút gọn P: x + √ x +1 2√x P= : − −1 x+1 √ x − ( x +1)(√ x −1) √ x −1 ¿2 ¿ ¿( x +1)( √ x −1)− ¿ ¿ x + √ x+ x+1 −2 √ x x+ √ x +1 P= : − 1= :¿ x +1 x +1 (x +1)( √ x −1) b/Tìm các giá trị x nguyên để Q=P − √ x nguyên x +2 x +2 − x + √ x √ x +2 √ x −1+3 Q= − √ x= = = =1+ √ x −1 √ x −1 √ x −1 √ x − √ x −1 ( ( ( Q Z )( )( )( ) ) ) x Ư(3)= ±1 ; ± ⇒ x { ; ; 16 } thì Q Z 23 (24) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Câu 16 (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức 1+ √1 − x − √ 1− x x2 − P= + +1 − x + √ 1− x 1+ x − √1+ x a)Tìm điều kiện x để P có nghĩa và rút gọn P P≤ √ b) Tìm x để Giải 1) P có nghĩa ¿ 1− x ≥ 1+ x ≥0 − x + √ 1− x ≠ 1+ x − √1+ x ≠ ⇔ Thì P có nghĩa ¿ x ≤1 x ≥ −1 x≠0,x ≠1 x ≠ , x ≠− ⇔− 1< x <0, va :0< x <1 ¿{{{ ¿ Rút gọn P 1− x √1 − x (¿ √ 1− x+ 1)+ √1+1x−(√√1+ x − 1) 1+ √1 − x ¿ ¿ x −1 ¿2 +1 ¿ 1 (1+ x)(1 − x ) P= − +1 −2 √ − x √ 1+ x ¿ 1+ x − √ √ − x ¿2 ¿ (1 − x )(1+ x) ¿(1 − x )(1+ x) +1 −2 ¿ ¿ P=¿ Vậy với -1<x< và 0<x<1 thì P=√ − x 2) 2 P ≤ √ ⇔ √ 1− x ≤ √ 2 1 √2 ⇔1 − x ≤ ⇔ x ≥ ⇔|x|≥ 2 )( ( ( ( ) ) )[ ] 24 (25) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 x≥ √ ¿ x≤− √ ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ Kết hợp với điều kiện -1<x< và 0<x<1 ta có √ ≤ x <1 ¿ √2 −1< x ≤− √ Thì P≤ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ Câu 17 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức x−√ y x+ y x3 y 2y P= √ + √ √ √ − x √ y+ y √ x x √ y − y √ x x+ y x − y Chứng minh P luôn nhận giá trị nguyên với x,y thoả mãn x,y>0,x Giải Rút gọn P x−√ y x+ y x3 y 2y P= √ + √ √ √ − x √ y+ y √ x x √ y − y √ x x+ y x − y x+ y √ xy (¿ √ x+ √ y )+ √ xy√.(√ x√− √ y ) √x −√ y ¿ ¿ x √ xy 2y − x+ y x − y ¿ x +2 √ xy+ y √ xy (¿ x − y)+ √ xy ( x − y ) x −2 √ xy + y ¿ ¿ ¿ P=¿ Câu 18 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức ( ) ( A= A= y ) 3 8− x x x x −4 : 2+ √ + √ x + √ √2 3 2+ √ x 2+ √ x √ x − √ x +2 √ x Chứng minh A không phụ thuộc biến số ( 3 )( ) (2− √ x )(4 +2 √ x + √ x 2) 4+2 √3 x+ √ x : + 3 2+ √ x 2+ √ x ( ( x ≠ ; x ≠ −8 ; x ≠0 ¿ √3 x − √3 x+ √3 x )( √ ( ) ( √ x − 2)( √ x +2) 3 √ x (√ x+ 2) √ x−2 3 3 3 3 (2 − √ x )(4+ √ x + √ x ) 2+ √ x x − √ x +2 √ x ( √ x −2)( √ x +2) A= + 3 3 3 2+ √ x 4+2 √ x + √ x √x− √ x (√ x+ 2) 3 A=2 − √ x + √ x =2∉ x 25 ) (26) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Câu 19 (Chuyên ngữ 2011) Cho biểu thức 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y A= + + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ xy3 + √ x y a)Rút gọn A b) Tìm x ; y biết xy= ; A=5 36 1) x+ y x + y ( √ x+ √ y ) ( x − √ xy + y ) + √ xy ( √ x+ √ y ) A= √ √ + : √ xy √ x+ √ y xy √ xy ( x + y ) [( ] ) [ ] √ xy ( x+ y ) = √ x + √ y xy ( √ x+ √ y ) ( x + y ) √ xy A=5 ⇔ √ x + √ y=5 √ xy ⇔ √ x+ √ y = theo GT √ xy= A= 2) ( √ x +√ y ) 6 theo Viet đảo √ x ; √ y là nghiệm dương phương trình bậc 1 t − t + =0 ⇔ 6t −5 t+1=0 Δ=1⇒ t 1= ; t 2= 6 1 1 ( x ; y ) = ; ; ; 3 ( )( ) Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1) Cho biểu thức : a −b a2 +b √ a −b + P= với a>b>0 √ a+b+ √ a − b √ a2 −b − a+b √a − b2 a) Rút gọn biểu thức P b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ P ( ) ¿ a− b ( a+b − a −b ) + √ a− b ( √ a+b+ √ a− b ) a 2+ a +b √ √ √ √a − b + √a − b a= 2 ¿ P= a+b − a+b √ a+b+ √ a −b √ a+b − √ a − b √ a −b √a b)Thay a=b+1 ta có b+1 ¿2 +b ¿ ¿ P=¿ ( ) Min(P)=2 √ 2+2 ⇔ 1+ a= √ √2 b= ❑ √2 ¿{ Câu 21 Cho biểu thức (x + x +2006 y + 2006 y +√ ¿ ¿ √¿ ¿ ¿ Hãy tính tổng: S = x + y Ta có: 26 (27) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 x +2006 y 2+ 2006 y − √¿ ( ¿ y + 2006 y +√ ¿ x−√¿¿¿ x +2006 x − √¿ y 2+ 2006 y −√¿ <=> 2006=(¿)¿ x +2006 x −√¿ ¿ ¿ 2006 ¿ y 2+2006 y+ √ ¿ ¿ x +2006 x − √¿ Vậy ¿ y +2006 y −√ ¿ (x+ √ x +2006) ¿ x √ y +2006=− y √ x +2006 Nếu x = => y = => S = (*) √ x 2+2006 =− x >0 √ y +2006 y Nếu x => y từ (*) => x 2+ 2006 x = => 2006x2 = 2006y2 => y +2006 y => (x-y)(x+y) = => S = x + y = mà xy < => x - y Vậy Cho M 3 2008 3 => xy < x = y2 2008 Câu 22 a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tận cùng M a) Chứng minh giá trị M là số nguyên Biến đổi M 52 1004 5 1004 Đặt a 5 ; b 5 a b 10 và a.b 1 Đặt U n a n b n với n N Khi đó M = U 1004 n 2 n 2 n 1 n 1 U n 2 a b a.a b.b 10 b a n 1 10 a b n 1 Ta có 10 a n 1 b n 1 ab a n b n 10U n 1 U n U n 10U n 1 U n (*) Ta thấy U0 = Z ; U1 = a + b = 10 Z 27 (vì ab = 1) (28) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 U a b a b 2ab 10 2.1 98 Z Theo công thức (*) thì U 10U U1 mà U1, U2 Z suy U Z Lại theo (*) U 10U U có giá trị nguyên * Quá trình trên lặp lặp lại vô hạn suy Un có giá trị nguyên với n N Suy M = U1004 có giá trị là số nguyên a)Tìm chữ số tận cùng M (0.5 điểm) Từ (*) suy U n 2 U n 10U n 1 10 U n 4 U n U n U n 2 U n 2 U n 10 U n 4 U n 10 U 4k r có chữ số tận cùng giống 1004 = 4.251 suy U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống Mà U0 có chữ số tận cùng là (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng Câu 23 (HSG Bắc Giang 2013) 3) Tính giá trị biểu thức A 26 15 P Ta có 26 15 4) Rút gọn biểu thức a 2 a a a 1 : a 11 a a a A 26 15 a 26 15 3.22 3.2.( 3) ( 3)3 3.22 3.2.( 3) ( 3)3 (2 3)3 Điều kiện: (2 3)3 (2 3) (2 3) A 2 a 11 Đặt x a (0 x 3) a x ( x 2) x x 3x 1 ( x 2) 3( x 3) x P : : x x x 3x x x x( x 3) Tính ( x 2) x( x 3) x a x 2x 2 = Câu 24 (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức a2 − a −( a −1) √ a − 4+2 a+2 1− a = 2 a −2 1+a a +3 a −( a+1) √ a − 4+2 Giải Biến đổi vế trái √ 28 và Ur (29) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 ital VT = a −3 a −(a − 1) √ a2 − +2 2 a +3 a −(a+ 1) √ a − +2 √ a+2 a−2 a+2 a−2 (a −1)(a −2)−( a −1) √( a− 2)(a+2) a+2 (a2 −3 a+ 2) −(a −1) √ a − 4+ ¿¿ ital VT = a −2 (a+ 1)(a+2)−(a+1) √(a −2)(a+ 2) √a+ 2− √ a −2 ¿ a+2 √ √ a− ¿ (a+1)( √ a+2) ¿ ( a− 1)( √ a− 2)( √ a− 2− √ a+2) ital VT =¿ ital VYT = ¿ Câu 25 (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức x+ 1 P= √ : ; Q=x −7 x +15 ( Với x>0, x 1) x √ x+ x+ √ x x − √ x a) Rút gọn P b) Với giá trị nào x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ Giải (a2 +3 a+2) −( a+1) √ a2 − 4+¿ √ √ x (¿ x+ √ x +1) √ x ( √ x − 1) √ ¿ √ x +1 √ x +1 P= : = P= ¿ x √ x+ x+ √ x x − √ x √2 x( ¿ x+ √ x +1)2 √ x (√ x −2 1)(x + √ x+1)=x −1 4 -7x +15-4(x-1)=(x -8x +16)+(x -4x+4)-1=(x -4)+(x-2) -1 −1 Q-4P=x Min(Q-4P)=-1 x=2 √ x+ Câu 26 (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức √ a − √ b ¿2 ¿ ¿ Với a=0;b>0 và a khác b √¿ a+b a+b b a P= : − + −¿ √ a+ √ b a −b b − √ab a − √ ab a) Rút gọn P b) Tìm a ,b cho b=(a+1)2 và P=-1 ( ) 29 (30) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 P a b a b a b P a b a b b b )( a b ) b( a : ( a b) a a( a (a b) ab b a ( a b ) a b ( a : ( a b )( a b ) ab P a b a b (a ab b ab ab b a ) a ab ab : ( a b )( a b ) ab P a b a b ab (a b) : ( a b )( a b ) ab P a b ( a b )( a b ) ab a b ab ( a b) P a b Câu 27 a a b) a a b) a b b b b a b b (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : c )2 b c, a b c , a b ( a b Chứng minh đẳng thức: a ( a c )2 a b ( b c) b a b ( a b c c c ) a b a b c ab ac bc c 2 ac bc ab Ta cã a ( a b( b c ) a a ac c (*) c ) b b bc c thay c 2 ac bc ab Với (*) Ta có a ( a b( b c ) a a ac c 2a 2b 2b ac bc ab ac c ) b b bc c 2a 2b 2a ac bc ab bc (a b) b bc ( a b) a ac ( a b ( a b ab ( a b ab ( a b c )( a c )( b c) a c) b c )2 c )2 c ;(dpcm) c Câu 28 (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức: A= √20 a+ 92+ √ a4 +16 a2+ 64 B=a4+20a3+102a2+40a+200 a)Rút gọn A 30 b( b c a) a( a c b) (31) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 b)Tìm a để A+B=0 Hướng dẫn Ta có 20 a+92+ √¿ a2 +8 ¿2 ¿ ¿ ¿ a+ 10¿ ¿ ¿ ¿ A= √20 a+ 92+ √ a4 +16 a2+ 64=√ ¿ B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2) A=|a+10|≥ ;B=(a+10)2(a2+2) 0;A+B dấu “=” a=-10 Câu 29 (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức: x 2x x −1 P= √ + : √ − 3+ √ x 9− x x −3 √ x √ x b) Tìm điều kiện x để P có nghĩa và rút gọn P b) Tìm giá trị x để P=− ; x ≠ 25 1) ĐKXĐ x> ; x ≠ ( )( ) √ x(3− √ x )+2 x : ( √ x − 1) −2( √ x − 3) (3+ √ x)(3 − √ x ) √ x ( √ x −3) √ x( 3+ √ x ) √ x( √ x −3) = x P= (3+ √ x)(3 − √ x) − √x √x − P= 2) P= ( )( ) −4 x −4 ⇔ = ⇔ x + √ x −20=0 ⇔ x − √ x+10 √ x − 20=0 √x − ⇔( √ x −2)(3 √ x+10)=0 ⇔ x=4 ∈DKXD Câu 30 (Chuyên ĐH SP 2013 V1) Cho biểu thức a− b + a √a+ b √ b với a>0 ; b>0 a b √ a+ √b √ ab− a Q= + a √b − b √ a a +3 b √ ab Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b ( ) a b 2a a b b a b 2a a b b a a b ab a a b Q 3a 3b ab a ab a 3a 3b ab a a b a a b b 3a b 3b a 2a a b b 3a a 3a b 3b a 3a 3b ab a b 3a 3b ab a b 3a a 3a b 3b a 3a 3b ab a b 3a 3b ab a b 31 0 (32) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 I Một số kiến thức bất đẳng thức Hai biÓu thøc A vµ B cña c¸c sè hoÆc ch÷ thay sè , liªn hÖ víi bëi mét c¸c quan hÖ lín h¬n ( > ) ; bÐ h¬n ( < ) ; lín h¬n hoÆc b»ng ( ) ; bÐ h¬n hoÆc b»ng ( ); kh¸c ( ) gọi là bất đẳng thức Viết là : A> B ; A< B ; A B ;A B ;A B TÝnh chÊt : NÕu a vµ b lµ hai sè thùc nÕu a > b ⇔ b < a TÝnh chÊt : NÕu a > b vµ b > c th× a > c TÝnh chÊt : NÕu a > b vµ c bÊt k× th× a + c > b + c TÝnh chÊt : NÕu a > b + c th× a - b > c TÝnh chÊt : NÕu a > b vµ c > d th× a + c > b + d NÕu a > b vµ c < d th× a - c > b - d TÝnh chÊt : NÕu a > b vµ c > th× ac > bc NÕu a > b vµ c < th× ac < bc TÝnh chÊt : NÕu a > b vµ c > d th× ac > bd 1 TÝnh chÊt : NÕu a > b , ab > th× < a b TÝnh chÊt : a > b > ⇒ an > bn ( n > 0) a > b ⇔ an > bn ( n lÎ ) ⇔ an > bn ( n ch½n ) |a| > |b| 10.TÝnh chÊt 10: NÕu a > b > vµ n lµ mét sè nguyªn d¬ng th× √n a > √n b II.Những bài toán bất đẳng thức và phơng pháp giải Phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng * Ph¬ng ph¸p : A B ⇔ A-B Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng * VÝ dô : Bµi : Cho c¸c sè d¬ng a vµ b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = Chøng minh r»ng : ( + 1 )( + ) a b 1 Gi¶i : Ta cã : ( + )(1+ ) (1) a b a+1 b+1 ⇔ a b 9ab ( v× ab > ) ⇔ ab + a + b + 8ab ⇔ a+b+1 8ab ( v× a + b = ) ⇔ 4ab ⇔ ( a + b )2 4ab ( v× a + b = ) ⇔ (2) ⇔ (a+b) Bất đẳng thức ( ) đúng ,mà các phép biến đổi trên là tơng đơng , bất đẳng thức ( ) đúng ( đpcm) DÊu " = " x¶y vµ chØ a = b Bµi : Cho a , b , c , d , e lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng : a , a2 + b2 + ab + a + b b , a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b+c+d+e) Gi¶i : a , Ta cã : a2 + b2 + ab + a + b, 2 ⇔ ( a + b + ) - ( ab + a + b ) ⇔ ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + ) + ( b2 - 2b + ) + ( a - ) + ( b - )2 ( a b ) ⇔ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với a , b Nên ta có điều phải chứng minh DÊu " = " x¶y vµ chØ a = b = b , Ta cã : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b+c+d+e) ⇔ a + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 4a ⇔ 2 2 2 ⇔ (a - 4ab + 4b ) + ( a - 4ac + 4c ) + (a - 4ad + 4d ) + (a2 - 4ae + 4e2) ⇔ ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 32 (33) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với a , b , c , d , e Nên ta có điều phải chứng minh DÊu " = " x¶y vµ chØ a = 2b = 2c = 2d = 2e Bµi : Cho ab Chøng minh r»ng : 1 + 2 1+ ab 1+ a 1+b 1 Gi¶i : Ta cã : + (1) 2 1+ ab 1+ a 1+b 1 1 )+( ) ⇔ ( 2 1+ ab 1+ ab 1+ a 1+b ab b 2 ab − a ⇔ (1 b )(1 ab) (1+a )(1+ab) + a(b − a) b(a− b) + (1+a )(1+ab) (1+b2 )(1+ab) (b − a)[ ( 1+ b 2) a - (1 + a2 )b ] ⇔ (1 + a 2)(1 +b 2)(1 +ab) (b − a)(a2 +ab2 −b − a2 b) ⇔ (1+a2 )(1+b2 )(1+ab) (b − a)(b −a)(ab− 1) ⇔ (1+a 2)(1+b 2)(1+ab) b − a¿ (ab −1) ¿ (2) ⇔ ¿ ¿ Bất đẳng thức ( ) luôn đúng với ab Do đó bất đẳng thức ( ) đợc chứng ⇔ minh * Bµi tËp vËn dông : Bµi : Cho ba sè a , b , c bÊt k× Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Bµi : Cho hai sè a, b bÊt k× Chøng minh r»ng : a , ( a2 + b2 )( a4 + b4 ) ( a3 + b3 )2 b , ( a + b )( a3 + b3 ) ( a + b4 ) Bµi : Cho hai sè a, b > Chøng minh : a , 2( a3 + b3 ) ( a + b )( a2 + b2 ) 3 b , 4( a + b ) ( a + b )3 Ph¬ng ph¸p : Dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng * Ph¬ng ph¸p : Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng Ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy điều vô lí Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với điều đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngợc Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng * VÝ dô : Bµi : Cho a2 + b2 Chøng minh r»ng : a + b Giải : Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế (hai vế dơng ) ta đợc : a2 + 2ab + b2 > (1) MÆt kh¸c ta cã : 2ab a2 + b2 ⇒ a2 + b2 + 2ab 2( a2 + b2 ) 2 2 Mµ 2( a + b ) ( giả thiết) , đó a + 2ab + b m©u thuÉn víi (1) VËy ®iÒu gi¶ sö lµ sai VËy a + b Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu a1a2 2( b1 + b2 ) th× Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh x2 + a1x + b1 = x2 + a2x + b2 = cã nghiÖm Giải : Giả sử hai phơng trình đã cho vô nghiệm Khi đó : Δ = a12 - 4b1 < Δ = a22 - 4b2 < 33 (34) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 => a1 + a22 - 4b1 - 4b2 < ⇔ a12 + a22 < 4( b1 - b2 ) Theo gi¶ thiÕt ta cã 2( b1 - b2 ) a1a2 => 4( b1 - b2 ) 2a1a2 Do đó : a12 + a22 2a1a2 => a12 + a22 - 2a1a2 => ( a1 - a2)2 ( v« lÝ ) Vậy ít hai phơng trình đã cho có nghiệm Bài : Chứng minh ba bất đẳng thức sau ít có bất đẳng thức b+ c ¿ ¿ đúng : a2 + b2 ¿ ¿ c +a ¿2 ¿ b2 + c2 ¿ ¿ a+b ¿ ¿ c2 + a2 ¿ ¿ Giải : Giả sử ba bất đẳng thức trên sai Ta có : b+ c ¿2 ¿ a + b2 < (1) ¿ ¿ c +a ¿ ¿ b2 + c2 < (2) ¿ ¿ a+b ¿ ¿ c2 + a2 < (3) ¿ ¿ Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta đợc : a+b ¿ ¿ a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 < c +a ¿ +¿ b+c ¿ +¿ ¿ ¿ ⇔ 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < ⇔ ( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < ⇔ ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) < ( v« lÝ ) Vậy ba bất đẳng thức trên có ít bất đẳng thức đúng * Bµi tËp vËn dông : Bµi : Cho a3 + b3 = chøng minh r»ng a + b Bài : Cho ba số a , b ,c khác đôi Chứng minh tồn các số 9ab, 9bc, 9ca nhá h¬n ( a + b + c )2 Bµi : Chøng minh r»ng nÕu a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > th× a > 0, b > , c > Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức tam giác * Ph¬ng ph¸p : NÕu a , b , c lµ sè ®o ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× a , b , c > vµ |b - c| < a < b + c |a - c| < b < a + c | a - b| < c < a + b Trong mét số bài toán mà các đại lợng biểu thức các vế bất đẳng thức là không âm , đó tồn tam giác mà các cạnh là giá trị các đại lợng đó và ta có thể vận dụng các bất đẳng thức trên để chứng minh * VÝ dô : 34 (35) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bài : Chứng minh a , b , c là độ dài các cạnh tam giác thì ta có : a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) Gi¶i : Vì a , b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : < a < b + c => a2 < a( b + c ) < b < a + c => b2 < b( a + c ) < c < a + b => c2 < c( a + b ) Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đợc : a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b ) (®pcm) ⇔ a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) Bài : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + <2 b+c c+ a c+ b Gi¶i : Gi¶ sö a b c > th× a + b a+c b+c a a Ta cã = b+c b+c b b c+ a b+c c c a+b b+c Cộng vế theo vế ta đợc : a b c a+b+ c + + b+c c+ a c+ b b+ c a b c a Hay + + + < 1+ = b+c c+ a c+ b b+c a b c VËy + + <2 b+c c+ a c+ b Bài : Cho a , b , c là độ dài ba cạnh tam giác với a < b < c Chứng tỏ : a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < Gi¶i : Ta cã : a3( b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2) = a3 ⌊(b2 − a2)+(a2 −c ) ⌋ + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2) = - a3( a2 - b2) + a3( a2 - c2) - b3(a2 - c2) + c3( a2 - b2) = -( a2 - b2)(a3 - c3) + ( a2 - c2) ( a3 - b3) = ( a - b )( a - c ) [ -( a + b)( a2 + ac + c2) + ( a + c)( a2 + ab + b2)] = ( a - b )( a - c) (ab ❑2 + b ❑2 c - ac ❑2 - bc ❑2 ) = ( a - b )( a - c) ⌊ a(b − c2 )+ bc(b − c) ⌋ = (a - b)(a - c)( b - c)( ab + bc + ca) < (v× a , b , c N* vµ a < b < c) VËy a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < (®pcm) * Bµi tËp vËn dông : Bµi : Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh √2 ( a + b + c ) √ a2 +b2 + √ b2 +c + √ c 2+ a2 < √ ( a + b + c ) Bài : Chứng minh a , b, c là độ dài các cạnh tam giác với a b c th× ( a + b + c ) 9bc Bài : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a3 + b3 + c3 + 3abc > ab( a + b ) + bc( b + c ) + ac( a+ c ) Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức Cauchy * Bất đẳng thức Cauchy : Cho n sè kh«ng ©m a1 , a2 , a3 , ,an Ta có bất đẳng thức : a1 +a2 + + an √n a1 a2 an n DÊu " =" x¶y vµ chØ a1 = a2 = = an Trong trờng hợp này ta thờng đề cập đến số bài toán mà sử dụng trờng hợp đặc biệt bất đẳng thức Cauchy : Cho hai hoÆc ba sè kh«ng ©m ta cã : a1 +a2 a1 +a2 +a 3 a1 a ; a1 a2 a3 √ √ 35 (36) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 * VÝ dô : Bµi : Chøng minh r»ng a , b lµ hai sè d¬ng ta lu«n cã : 3a3 + 7b3 > 9ab2 Gi¶i : Ta cã : 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có : 3a3 + 3b3 + 4b3 √3 a3 b3 b => 3a3 + 7b3 3ab2 √3 32 > 9ab2 VËy 3a3 + 7b3 > 9ab2 (®pcm) Bài : Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh bất đẳng thức : a+b+ c a2 b2 c2 + + b+c c+ a a+b b+c a Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , kh«ng ©m ta cã : b+c b+c a2 a2 b+ c = a = a + b+c b+ c b+c a Suy a4 b+c a+c b T¬ng tù b4 c+ a a+b c c4 a+b Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đợc : a+b+ c a+b+ c a2 b2 c2 + + (a+b+c)= 2 b+c c+ a a+b 2 a+b+ c a b c VËy + + (®pcm) b+c c+ a a+b 1 Bµi : Cho a, b, c > víi + = a c b a+b c +b Chøng minh r»ng : + 2a−b c −b 1 2 ac Gi¶i : Ta cã + = => b = a c b a+c ac a+ a+b a+ c c+3 a Khi đó : = = 2a−b ac 2c 2a− a+ c ac c+ a+c c +b c+3 a Vµ = = c −b ac 2c 2c − a+c Do đó : a+b c +b a+3 c c+3 a c a + = + = + + + 2a−b c −b 2a 2c 2 a 2 c c a c =1+ ( + ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm vµ a c a a ta cã: c c a + ca = a c ac √ √ 36 (37) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 c a ca = ( + ) 1+ 2 a c ac a+b c +b VËy : + (®pcm) 2a−b c −b Bµi : Cho a, b, c > vµ a + b + c = Chøng minh r»ng : 1 (1+ )( + )( + ) 64 a b c Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : a+1 a+ b+c 2( a+ √ bc) a+ √ bc 1+ = = a a a a a √ a √ bc a 4 bc2 ⇒ 1+ a a Chøng minh t¬ng tù : + 4 ca2 b b 1+ 4 ab2 c c Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đợc : abc ¿2 ¿ 1 (1+ )( + )( + ) 43 ¿ a b c ¿ √¿ 1 (1+ )( + )( + ) 64 a b c DÊu " = " x¶y vµ chØ a = b = c = ( ®pcm) * Bµi tËp vËn dông : Bµi 1: Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ a + b + c = Chøng minh: √ a+1 + √ b+1 + √ c+ < 3,5 Bài : Cho các số dơng a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : a b c + + >2 b+ c a+c a+ b Bài : Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm a+b ¿ a+b ¿ + a √b + b √a ¿ ¿ Bµi : Cho a, b Chøng minh r»ng a √ b −1 + b √ a −1 ab Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki * Bất đẳng thức Bunhiacopxki : Cho n cặp số bất kì a1 , a2 , ,an , b1 , b , ,bn ta có bất đẳng thức ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22+ + an2)( b12 + b22+ + bn2) DÊu " = " x¶y vµ chØ k : = kbi ( * ) a1 a2 an (NÕu bi thì ( * ) đợc viết = = = ) b1 b2 bn Ta đề cập đến trờng hợp : Cho hai hoÆc ba sè bÊt k× : a1 , a2 ; b1 , b2 hoÆc a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta cã : ( a1b1 + a2b2 )2 ( a12 + a22)( b12 + b22) ( a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ( a12 + a22+ a32)( b12 + b22+ b32) DÊu " = " x¶y vµ chØ chi : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 ( k R) * VÝ dô : Bµi : Cho x2 + y2 = Chøng minh r»ng : |2x + 3y| √ 13 √ Nªn + √ √ √ √ √ 37 √ (38) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 13 Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số ,3 ; x , y ta có : |2x + 3y| √ 22+3 √ x2 + y = √ 13 VËy |2x + 3y| √ 13 2 2 x y DÊu " = " x¶y vµ chØ : = => x = y = x + y 13 = −2 −3 ;y= hoÆc x = ;y= √ 13 √13 √ 13 √13 Bµi 2: Cho a b, c lµ ba sè kh«ng ©m vµ a + b +c = Chøng minh : √ a+b + √ b+c + √ c+ a √6 Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗp xki cho ba số : ;1 ;1 vµ √ a+b , √ b+c , √ c+ a Ta cã : √c +a ¿ ⌋ (1 √ a+b +1 √ b+c +1 √ c+a ) ❑2 (1+1+1) √ b+ c ¿ 2+¿ ⇒ ( √ a+b ¿ +¿ ⌊¿ + + ) 3( a + b + b + c + c + a) = √ a+b √ b+c √ c+ a ❑ ⇒ √ a+b + √ b+c + √ c+ a √ (®pcm) Bµi : Cho a2 + b2 + c2 + d2 = Chøng minh r»ng : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + )2 (x R) Gi¶i : x a b x x ¿ righ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số ¿ ¿ [] ¿ Ta cã (x2 + ax + b)2 ( x2 + a2 + b2) ( x2 + x2 + 1) x c d x x ¿ righ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số ¿ ¿ [] ¿ Ta cã (x2 + cx + d)2 ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta đợc : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2 + x2 + c2 + d2) ( 2x2 + )( 2x2 + ) = ( 2x2 + )2 ⇔ ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( v× a2 + b2 + c2 + d2 = ) (®pcm) Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : ab + bc + ca b2 +c +a2 √ a22+b2 +c √ a + b2 + c2 (®pcm) ⇔ ab + bc + ca * Bµi tËp vËn dông : Bµi : Cho x √ 1− y + y √ 1− x = Chøng minh r»ng : x2 + y2 = Bµi : Chøng minh mäi sè nguyªn d¬ng n : n+1 n √ + √ + √ +…+ √ n Bµi : Chøng minh r»ng nÕu : a + b = th× a2 + b2 Bµi : Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng : HoÆc x = √ 38 (39) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 1 + + 3 a (b+ c) b (c +a) c (a+b) Phơng pháp : Dùng tính chất tỉ số và giá trị tuyệt đối * TÝnh chÊt : - Tính chất tỉ số : Cho a , b ,c > đó : a a a+c NÕu < th× < b b b+c a a a+c NÕu > th× > b b b+c - Giá trị tuyệt đối : | x | < ⇔ -1 < x < NÕu | x | th× x2 | x| * VÝ dô : Bµi 1: Cho a+ b > Chøng minh r»ng a4 + b4 > Gi¶i: Ta cã : a + b > > (1) B×nh ph¬ng hai vÕ : ( a + b)2 > ⇒ a2 + 2ab + b2 > (2) 2 MÆt kh¸c : ( a - b) ⇒ a + 2ab + b (3) Céng tõng vÕ cña (2) vµ (3) : 2( a2 + b2 ) > ⇒ a2 + b2 > (4) B×nh ph¬ng hai vÕ cña (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (5) MÆt kh¸c : ( a2 - b2)2 ⇒ a4 - 2a2b2 + b4 (6) Céng tõng vÕ cña (5) vµ (6) ta cã : 1 2( a4 + b4) > (®pcm) ⇒ a + b4 > Bµi : Cho a , b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : a− b b− c c−a | + + |<1 a+ b b+ c c +a Gi¶i : ¸p dông | x | < ⇔ -1 < x < a− b Vì a,b,c là số đo ba cạnh tam giác nên a - b < a + b Do đó <1 a+ b a− b a− b+ c Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè ta cã : < a+ b a+ b+c b− c b− c +a T¬ng tù : < b+ c b+ c+ a c−a c − a+b < c +a c +a+ b Cộng vế thao vế ba bất đẳng thức trên ta đợc : a− b b− c c−a a+b+ c + + < =1 a+ b b+ c c +a a+b+ c a− b b− c c−a Từ đó suy : | + + | < (®pcm) a+ b b+ c c +a Bµi : Cho a , b, c, d > Chøng minh r»ng : a b c d 1< + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d+a+b Gi¶i : a a Ta lu«n cã : < <1 (1) a+b+ c+ d a+b+ c ¸p dông tÝnh chÊt cña tØ sè ta cã : a a+d < (2) a+b+ c a+b+ c+ d Tõ (1) vµ (2) ta cã : 39 (40) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 a a a+d < < a+b+ c+ d a+b+ c a+b+ c+ d T¬ng tù ta cã : b b a+ b < < a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d c c c +b < < a+b+ c+ d c+ d+ a a+b+ c+ d d d d +c < < a+b+ c+ d d+ a+b a+b+ c+ d Cộng vế theo vế bất đẳng thức kép trên ta đợc : a+b+ c+ d a b c d 2( a+b+ c+ d) < + + + < a+b+ c+ d a+b+ c b+c +d c+ d+ a d+ a+b a+b +c +d a b c d VËy < + + + < (®pcm) a+b+ c b+c +d c+ d+ a d+ a+b * Bµi tËp vËn dông : Bài : Chứng minh bất đẳng thức : c b a a2 + b2 + c + + 2 b a c b c a Bµi : Cho x 0,y 0,z Chøng minh r»ng : ( x + y )( y + z )(z + x ) 8xyz Ph¬ng ph¸p : Ph¬ng ph¸p lµm tréi, lµm gi¶m : * Ph¬ng ph¸p : Dùng tính chất bất đẳng thức để đa bất đẳng thức cần chứng minh dạng để tính đợc tổng hữu hạn Phơng pháp để tính tổng hữu hạn : δ n = u1 + u2 + + un ta biÓu diÔn sè h¹ng tæng qu¸t uk vÒ hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp : uk = ak - ak-1khi đó : δ n = ( a1 - a2) + ( a2 - a3) + + ( an- an+1) = a1 - an+1 * VÝ dô : Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau với n là số nguyên dơng : n+1¿ 1 1 ¿ + + + + < 25 49 ¿ Giải : Ta biến đổi số hạng tổng quát : 2 k +1 ¿ 1 1 ¿ = < = ( ) k k +1 k (4 k +1) k + k +1 ¿ 1 Víi k =1 ta cã : < (1) 1 1 Víi k = ta cã : < ( ) 25 1 1 Víi k = ta cã : < ( ) 49 4 2 n+1¿ 1 ¿ Víi k = n ta cã : < ( ) n n+1 ¿ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc : 2 n+1¿ 1 1 1 ¿ + + + + < (1)< 25 49 n+1 ¿ 40 (41) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 1 1 + + + + < (®pcm) 25 49 (2 n+1)2 Bµi : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng ta cã : 1 + + + <2 (n+1) √n √2 Gi¶i : Ta biến đổi số hạng tổng quát : 1 √k = = √k ( ) k k +1 k (k +1) (1+k ) √ k 1 1 = √k ( )( + ) < √k ( √k √k + √k √k + √k √k 1 ) √k √k + 1 Víi k = ta cã : < 2( ) √2 1 Víi k = ta cã : < 2( ) √2 √2 √3 1 Víi k = n ta cã : < 2( ) (n+1) √n √n √ n+1 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc : 1 1 + + + < 2( )<2 (n+1) √n √2 √n+1 1 VËy + + + <2 (®pcm) (n+1) √n √2 * Bµi tËp vËn dông : Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau với n N, n 1 n n √ - < √2 + √ + + n < √ -2 VËy Bµi : Chøng minh mäi sè nguyªn d¬ng n : 1 1 + + (n+1) √ n < 2 √1 + + √n Ph¬ng ph¸p : Dïng ph¬ng ph¸p h×nh häc * Sử dụng bất đẳng thức tam giác : Víi ba ®iÓm A ,B ,C bÊt k× ta cã : AB + BC AC DÊu " = " x¶y vµ chØ B n»m gi÷a B vµ C * Sö dông diÖn tÝch Bài : Chứng minh với a , b ta có : √ a 2+4 + √ a2 − ab+b2 +1 + √ b 2− b+10 Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với : a - b¿ 2+ 12 ¿ b - ¿ + 12 ¿ ¿ ¿ 2 √a + + √¿ Trên mặt phẳng toạ độ lấy : A(0 ; -1) ; B(a ; 1) ; C(b ; 2) ; D(3 ; 3) Ta cã : AB = √ a2 +4 41 )=2( √k + (42) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 a −b ¿ 2+ 12 BC = ¿ √¿ b −3 ¿2 +12 CD = ¿ √¿ Từ bất đẳng thức AB + BC + CD AD ta cã : 2 a - b¿ + ¿ b - ¿ + 12 ¿ ¿ ¿ 2 √a + + √¿ Dấu " =" xảy và A,B,C,D thẳng hàng và xếp theo thứ tự đó (đpcm) Bµi : Cho a , b , c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > c > vµ b > c > Chøng minh r»ng : √ c (a − c) + √ c (b −c ) √ ab Gi¶i : Theo giả thiết a , b, c > và đồng thời a > c , b > c nªn tån t¹i tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh AB = √ a , A AC = √ b và đờng cao AH = √ c áp dụng định lí Py ta go cho √b √a hai tam gÝac vu«ng AHB vµ AHC ta cã : c √ BH = √ a −c B C CH = √ b −c H Do đó diện tích Δ ABC là : 1 S= ( √ c (a − c) + √ c (b −c ) c ( √ a −c + √ b −c ) = √ 2 1 MÆt kh¸c S = a √ b sinA √ √ ab 2 (do sinA ) √ a+b + √ b+c + √ c+ a √6 Từ đó suy : √ c ( √ a −c + √ b −c ) ab √ DÊu " = " x¶y vµ chØ Δ ABC vu«ng t¹i A tøc lµ 1 1 1 = + = + (®pcm) ⇔ 2 c a b AH AB AC * Bµi tËp vËn dông : Bài :Chứng minh bất đẳng thức sau phơng pháp hình học : b( a + c ) víi c¸c sè d¬ng a, b , c √ a2 +b2 √ b2 +c Bài : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c, d > ( a + b)( c + d ) đó a, b, c, d là số √(a 2+ c 2)(b 2+ c2 ) + √(a 2+ d 2)(b 2+ d 2) thùc d¬ng ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC : 1- Ứng dụng 1: Giải bài toán tìm cực trị : - Phương pháp: Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ là m Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn là M Khi tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Nhắc lại số tính chất: + = với A + | A|≥ với A Dấu ''= '' xảy A = + | A|+|B|≥| A+ B| Dấu '' = '' xảy AB - Các bài tập: 42 (43) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bài 1.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + Giải Áp dụng tính chất bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có: P= + =1 Dấu “ = “ xảy (x - 2)(3 - x) 0 x Vậy P = x Bài 1.2 : Cho a < b < c < d, tìm f(x) = |x − a| + |x − b| + |x − c| + |x − d| Hướng dẫn: Tương tự Bài tìm f(x) = d + c - b - a b x c Bài 1.3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Giải A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - -4 Dấu ‘‘ = ’’ xảy t = x2 + x - = (x - 1)(x + 2) = x = -2; x = Vậy A = - x = -2 x = ; Bài 1.4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = a3 + b3 + ab, biết a và b là hai số thoả mãn: a +b=1 Giải B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 vì a+b = 1 Ta lại có: a2 + b 2ab => 2(a2 + b2) (a + b)2 = => a2 + b2 1 Vậy B = a = b = 2 Bài 1.5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = Giải Dễ thấy x+x+1 > với x Ta có 2(x - 1) => 2x - 4x + => 3(x - x + ) x + x + = > Dấu “ = “ xảy x = Ta có 2(x + 1) => 2x + 4x + => 3(x + x + ) x - x + = > ≤ Dấu “ = “ xảy x = -1 Vậy A Do đó A = x = 1; Max A = x = -1 1 Bài 1.6 : Cho ba số dương x, y, z thoả mãn : + + 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Hướng dẫn: 1 y z Từ giả thiết suy (1)+( 1)= + 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z yz (1+ y)(1+ z ) zx Tương tự : 1+ y (1+ x)(1+ z) xy 1+ z (1+ x)(1+ y ) Nhân vế các bất đẳng thức P = xyz 1 => Max P = x = y = z = √ √ √ 43 (44) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bài 1.7 : Cho số dương a, b, c thảo mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: c+ ¿ c F = b+ b ¿ +¿ a+ ¿2 +¿ a ¿ Lược giải: 1 Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( + + ) + a b c Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 1 1 + + ¿ Tương tự : a b c ( 2+ 2+ 2) (1) a b c ¿ 1 Mặt khác ta chứng minh ( + + )(a + b + c) a b c 1 + + => a + b + c = a b c 1 + + ¿ => a b c 81 (2) ¿ 1 Từ (1) và (2) => ( + + ) 27 a b c => F + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = 1 Vậy Min F = 33 a = b = c = 3 Bài 1.8 Tìm giá trị lớn P = √ x −3 + √ 5− x Giải ≤x≤ TXĐ : 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: (1 √ x −3 + √ 5− x )2 2(2x - + - 2x) = √ x −3 + √ 5− x hay P Dấu “=” xảy √ x −3 = √ 5− x x = (thỏa mãn TXĐ) Vậy Max P = x = 2 - Ứng dụng 2: Giải phương trình: - Phương pháp: Biến đổi hai vế ( VT, VP ) phương trình, sau đó suy luận để nghiệm phương trình + Nếu VT = VP giá trị nào đó ẩn (thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm là số đó số đó + Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => phương trình vô nghiệm - Các ví dụ : 44 (45) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bài 2.1: Giải phương trình : √ x −3 + √ 5− x - x2 + 4x - = (*) Giải : ≤x≤ TXĐ : 2 (*) √ x −3 + √ 5− x = x2 - 4x + Ta có VP = (x - 2)2 + 2, dấu '' = '' xảy x = ( thoả mãn TXĐ ) VT (Bài - Ứng dụng 1) => VT = VP = x = Vậy phương trình (*) có nghiệm x = Bài 2.2 : Giải phương trình : √ − x + √ x+2 = x2 - 6x + 13 Hướng dẫn: Với cách giải tương tự Bài 1, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được: VP Dấu '' = '' xảy x = VT Dấu '' = '' xảy √ − x = √ x+2 x = => không có giá trị nào x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm Bài 2.3: Giải các phương trình sau phương pháp dùng bất đẳng thức a, (x - 3x + 4) = (x - 2x + 3)(x - 4x + 5) (1) x x 12 x x = x - 4x + b, Lược giải a, Dễ nhận thấy (x - 2x + 3) > và (x - 4x + 5) > Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương trên ta có: (2) ( x x 3) ( x x 5) ( x x 3)( x x 5) Hay (x - 3x + 4) (x - 2x + 3) (x - 4x + 5) Dấu “=” xảy x - 2x + = x - 4x + x = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = ( x 2) b, (2) + ( x 2) Ta thấy VT + = (dấu “=” xảy x = 2) VP (dấu “=” xảy x = 2) Vậy VT = VP (= 4) x = hay phương trình có nghiệm x = Bài 2.4 : Giải phương trình : √ x −12 x +16 + √ y − y +13 = Hướng dẫn : ; √ y − y +13 => VT √ x −12 x +16 Dấu '' = '' xảy : {xy−− 2=0 2=0 {x=2 y=2 => phương trình có nghiệm: (x = 2; y = 2) 3- Ứng dụng 3: Giải hệ phương trình - Phương pháp: Dùng bất đẳng thức để biến đổi phương trình hệ, suy luận và kết luận nghiệm - Các ví dụ : 45 (46) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bài 3.1 : Giải hệ phương trình Lược giải : (1) x = - - 2(y - 1) 2y 1 y (2) x = (1) x +2 y − y +3=0 2 x + x y − y=0 { x -1 (2) x - (*) 2y) -1 x (**) (vì 1+ y Từ (*) và (**) => x = -1 Thay x = -1 vào (2) ta có : y = => Hệ phương trình có nghiệm : (x = -1; y = 1) Bài 3.2 : x+ y + z =1 Giải hệ phương trình : x + y + z =xyz Lược giải : Áp dụng bất đẳng thức: A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy A = B 4 2 4 Ta có : x + y 2x y ; y + z 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) 2 Mặt khác : x y + y2z2 2xyz 2 2 yz +zx 2xyz x2y2 + z2x2 2xyz => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz (**) 4 Từ (*) và (**) => x + y + z xyz { Dấu '' = '' xảy : x = y = z mà x + y + z = nên : x = y = z = Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = 3 Ứng dụng 4: Giải phương trình nghiệm nguyên - Phương pháp: Sử dụng hợp lí các tính chất bất đẳng thức và bài toán nghiệm nguyên để tìm nghiệm phương trình - Các ví dụ : 1 + + Bài 4.1 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : =2 x y z Giải : Không tính tổng quát , ta giả sử x y z => , ta có : 1 + + 2= => 2z , mà z nguyên dương x y z z 1 + =1 Vậy z = Thay z = vào phương trình ta : x y 1 + Theo giả sử x y, nên = x y y y nguyên dương nên y = y = Với y = không thích hợp Với y = ta có : x = Vậy (2 ; ; 1) là nghiệm phương trình Hoán vị các số trên, ta nghiệm phương trình là : (x; y; z) = (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Bài 4.2 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 3(x + y) = xy (1) 46 (47) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Hướng dẫn: (1) + = Giải tương tự Bài Bài 4.3 Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z Ta có: x + y + z = xyz (1) Không tính tổng quát , ta giả sử x y z => xyz = x + y + z 3z Chia hai vế bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta có : xy 1; 2;3 Suy xy + Với xy = thì x = ; y = Thay vào (1) ta có z = -2 (loại) + Với xy = thì x = ; y = Thay vào (1) ta có z = + Với xy = thì x = ; y = Thay vào (1) ta có z = (loại vì trái với giả sử y Vậy ba số cần tìm là 1; 2; z) Ứng dụng 5: Chứng minh các bài toán có nội dung hình học - Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức tam giác: với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì a<b+c b<a+c c<a+b a b c b c a c a b Bài 5.1: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác và p là nửa chu vi tam giác đó Chứng minh : 1 1 1 + + ≥2 ( + + ) p − a p −b p − c a b c Giải: b+c − a >0 Ta có : p - a = Tương tự : p - b > 0; p - c > ; Áp dụng bất đẳng thức + (với x; y > 0), ta được: 1 4 + ≥ = p − a p −b ( p − a)+( p −b) c 1 + ≥ Tương tự : p − b p −c a 1 + ≥ p − a p −c b 1 1 1 + + )≥ ( + + ) => điều phải chứng minh => 2( p−a p−c p−c a b c Dấu '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi đó tam giác ABC là tam giác Bài 5.2: Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh tam giác CMR: (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) abc Giải: Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết b c a a (b c) a c a b b (c a ) b a b c c (a b) c 47 (48) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 a (b c) b (c a ) c (a b) a 2b 2c Từ đó => (a+b-c) (a-b+c) (b-c+a) (b+c-a) (c-a+b) (c+a-b) a 2b c (a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2 a 2b c (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Vì a, b, c, là ba cạnh tam giác nên a + b - c > 0; b + c a > 0; c + a - b > và abc > ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 5.3 : CMR tam giác nhọn, tổng độ dài các đường trung tuyến luôn lớn lần bán kính đường tròn ngoại tiếp Giải: Gọi m , m , m là độ dài ba đường trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh m + m +m > 4R Vì ABC là tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O nằm tam giác ABC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm O nằm ba tam giác GAB, GAC, GBC Giả sử tâm O nằm GAB thì OA + OB = 2R và GA+ GB > 2R 2 mà GA= m , GB = m (tính chất đường trung tuyến) Nên GA + GB > 2R (m + m ) > 2R m + m > 3R Trong OCF có CF > OC m > R Do đó m + m + m > 3R + R = 4R IV:BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Cho hai số x và y mà x + y = CMR : x + y Bài 2: Cho hai số dương x,y và x + y = x - y CMR: x + y < Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, C = |2 x −3|+|2 x −1| b, E = |x − 1|+|x − 2|+|x −3|+| x − 4| Bài 4: Cho số x, y thoả mãn điều kiện: x + y = Chứng minh rằng: x4 + y4 Bài Cho a 0, b 0, c 0 CMR: a4 + b4 + c4 abc (a + b + c) 48 (49) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 Bài 6: Cho a, b, c > tho¶ m·n a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 = Chøng minh 1 1 + − < a b c abc a 1; b a b ab Bài 7: CMR: Nếu thì Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức Cô si tổng quát với n số không âm phương pháp quy nạp toán học : ( a1 a2 an n ) a1a2 an n Bài 9: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác CMR: a) a + b + c < 2(ab + bc +ca) b) 4ab - (a + b - c) > c) + + Bài 10: Giải các phương trình sau phương pháp bất đẳng thức: a) + = x - 10x + 35 x2 6x 2 x x b) x x MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac A= x y VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : 4 , x y xy (1) Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x y ta có: x y xy Lại có: (2 ) 4 A= 8 x y xy Từ (1) và (2) suy : Vậy Min A = Phân tích sai lầm: 4x y x y Đẳng thức sảy (1) Đẳng thức sảy (2) x = y Từ đó suy x = y = ( Loại vì x + y = 1) Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ là KL sai 1 4 4x y A = x+y 5 y x x y Giải đúng: Vì x + y = nên 4x y 4x y 4x y 2 4 , y x y x y x Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm Ta có : 49 (50) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 4x y x y x y 1 y 2 x x y 1 x y 2 Dấu “=” xẩy Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu không Có thì hướng giải bài toán đúng 2, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện bài toán: VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : 1 1 A = x+ y y x x, 1 x+ 2 x 2 x x x Ta có: Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm (1) 1 y+ 2 y 2 y, y y y Ta có: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm (2) Từ (1) và (2) =>A => Min A = x x 1 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) x y y 1 y Đẳng thức sảy (2) Từ đó suy x = y = ( Loại vì x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y 1 xy xy xy 2 2 1 1 1 A = + x +y + x y Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy - = (1) Ta có : 1 25 25 2 2 8 x y x y xy (2) Từ (1) và (2) =>A + +4 = =>Min A = x=y 2 =2 Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết Có thì hướng giải bài toán đúng 3, Sai lầm chứng minh điều kiện 1: A= x x 17 VD1: Tìm GTLN bt: 2 x x 17 x 3 8 Lời giải sai: A đạt Max x x 17 đạt Min Ta có : x x 17 8 x 3 Do đó Min Vậy Max A = x 3 Phân tích sai lầm: Kết đúng lập luận sai chỗ cho “ A có tử không đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử và mẫu là các số dương x x 17 x 3 8 Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét nên tử và mẫu A là dương 50 (51) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 x y 2 xy x y 2 x y 4 2 Ta có : A = x + y 2xy => A đạt GTNN Khi đó MinA = Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) g(x,y) chưa c/m f(x,y) m với m là hắng số Chẳng hạn: Từ x2 4x – => x2 đạt nhỏ x2 = 4x – (x – )2 = x =2 Đi đến x2 = x = Dễ thấy kết đúng phải là Min x2 = x =0 x + y =16 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 (1) 2 x - y x -2xy+y 0 Ta lại có : (2) 2 2 8 16 Từ (1) và (2) => 2( x + y ) => A = x + y Vậy Min A = và x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có thì hướng giải bài toán đúng 4, Sai lầm chứng minh điều kiện VD1: Tìm GTNN bt: A = x + x 1 1 1 x +2 x x 4 2 4 Vậy: Min A = Lời giải sai : x + x = 1 P/tích sai lầm: sau c/m f(x) chưa trường hợp xảy f(x)= x (vô lí ) x là x 0 đó : A = x + x 0 => Min A = x 0 A = xyx z+y y+z z+x VD2: Tìm GTLN với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1 4x z+y x+y+z 1 Lời giải đúng: ĐKTT 4y z+x x+y+z 1 Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy x y 2 ta có : 4z x+y x+y+z 1 1 64 Vậy Max A = 64 => Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=” z+y = x y+x = z x y z 0 x + z + y = x+z = y x + z + y = x, y, z x, y, z ĐK để Max A = 64 là : ( vô lí ) = x +y+ z 3 x.y.z Lời giải đúng: Ta có : (1) = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z (2) 64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x 51 (52) Tài liệu chuyên đề toán lớp – ôn thi vào lớp 10 2 3 A A 3 x y.z x +y z+x y+ z 9 Từ (1) và (2) => hay: x +y = z+x = y+ z x y z x y z 1 2 x, y , z 0 Max A = A (x a)(x b) x với x > 0, a, b là các số dương VD3: Tìm giá trị nhỏ : x a 2 ax x a x b 2 ax.2 bx 4 x ab x b bx Lời giải sai: Ta có: (x a)(x b) 4x ab 4 ab x x Do đó: Min A = ab x a b Phân tích sai lầm: Nếu a b thì không có: A = ab A (x a)(x b) x ax + bx + ab ab x (a b) x x x Lời giải đúng : Ta có ab x 2 ab a b x Theo bất đẳng thức Cauchy : nên A ≥ ab + a + b = A A = a b và chi ab x x x ab x 52 (53)
