Tính Diện tích của tam giác BEM Giải: ta có.[r]
(1)THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề -/// - Ngày thi 28 tháng 12 năm 2012 ĐỀ BÀI Bài Tính giá trị các biểu thức : A : 1.1) 1.2) B 291945 831910 2631931 322010 1981945 C tg 3 cos cot g 3 sin sin cos3 sin cos 1.3) với sin =tg350.tg360 tg370 .tg530; 00< <900 1 3 5 2009 2011 1.4) D = E 2 1 6 2 5 3 1.5) Bài Tìm giá trị các số a, b; x ; UCLN(m; n); BCNN(m; n) ; r 329 4 1 4 1051 0,5 x 1, 25.1,8 : 5, : 2,5 5 4 15, 2.3,15 : 1,5.0,8 a b ; 2.2) 2.1) 2.3) Cho m = 449 371 ; n = 795 041 2.4) Tìm số dư r phép chia 169 42327 : 285 Bài 3.1 Tính F = 24 122 0082 3.2 Viết các phân số sau dạng STP vô hạn tuần hoàn (tìm chu kỳ): 19 30 , 23 29 3 7 Bài 4.1 Tìm tất các số chính phương có dạng abcba 4.2 Tìm số tự nhiên bé mà lập phương nó là số có bốn chữ số tận cùng là chữ số Bài (5 điểm) Đa thức Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(0) = 12 , P(1) = 12 , P(2) = , P(4) = 60 a) Xác định hệ số a, b, c, d đa thức P(x) b) Phân tích P(x) thành nhân tử c) Tính P(2006) d) Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho 5x – Bài Dân số nước là 80 triệu người, mức tăng dân số là 1,1% năm Tính dân số nước đó sau n năm, áp dụng với n = 20 Bài Cho hình bình hành ABCD có góc A tù Kẻ hai đường cao AH và AK ( H thuộc BC; K thuộc CD) Biết độ dài hai cạnh AB = a; AD = b và HAK a) Viết công thức tính AH và AK Từ đó tính tỉ số diện tích SABCD và SHAK (theo a, b, ) (2) b) Tính diện tích phần còn lại hình bình hành ABCD sau khoét tam giác HAK? c) Biết = 450 38’ 25” ; a = 29,1945 cm; b = 198,2001 cm Tính SABCD? SHAK ? Scòn lại n 13 13 n Un Bài Cho dãy số {Un}, số hạng tổng quát với n = 1; 2; 3; a) Tính tám số hạng đầu tiên dãy số b) Lập công thức truy hồi tính Un+ theo Un và Un – c) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un+ theo Un và Un – trên máy tính (FX-570MS; FX-570ES) Kết quả: a) b) Công thức truy hồi: c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un+ theo Un và Un – trên máy tính Bài Cho ΔABC có C=2A+B; A<B a) Viết biểu thức tính BC theo BA và AC b) Biết độ dài ba cạnh tam giác là số tự nhiên chẵn liên tiếp Tính diện tích S ΔABC Bài 10 Diện tích ΔABC là S Trên cạnh BC và CA lấy các điểm M và N cho MC = 2MB và NA = 2NC; AM cắt BN E a) Tính diện tích tam giác BEM theo S b) Nếu cho AB = 31,48 cm; BC = 25,43 cm; AC = 16,25 cm Tính Diện tích tam giác BEM (3) Đáp án + Biểu điểm & Bài Giải: (tổng điểm toàn bài là 50/50) Bài (5 điểm) 1.1) A = - 389,546 59 1.2) B = 541, 163 54 1.3) C = 3,192 01 1.4) D = 21,922 09 1.5) E = 0,53535 Bài (5 điểm) 2.1) a = 7; b = 2.2) x = 158,504 65 2.3) UCLN(m; n)= 34567 BCNN(m; n)= 10 335 533 2.4) số dư r = 247 Bài (5 điểm) 3.1 F = 581 871 269 952 064 3.2 19/23 = 0,(826 086 956 521 739 130 434 7) chu kỳ có 22 chữ số 30/23 = 1, (034 482 758 620 689 655 172 413 793 1) chu kỳ có 28 chữ số Bài (5 điểm) 4.1 có số chính phương là 10 201 (= 101^2) ; 12321 ( = 111^2); 14641 (=121^2) 40804 (=202^2) 44944 (= 212^2) 69696 =(264^2) 94249 (= 307^2) 4.2 số cần tìm là 6477 ( 6477^3 = 271 720 053 333 ) Bài (5 điểm) d P(0) 12 d 12 a b c d P(1) 12 (1) a b c 16 8a 4b 2c d P (2) 0 4a 2b c 14 (2) 16a 4b c 52 (1) a)theo đề bài, ta có hệ pt 256 64a 16b 4c d P (4) 60 giải hệ pt bậc ẩn ta a = – b= –7 c= d = 12 P(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 b) P(x) = ( x – 3) ( x – 2) ( x + 1) ( x + 2) c) P(2006) = 16 176 693 144 672 d) Khi chia đa thức P(x) cho ax + b ta được: P(x) = (ax + b) Q(x) + r P( b ) a =>số dư r chia P(x) cho nhị thức ax + b chính là Giá trị đa thức x = - b/ a, hay r = 6 6336 86 P 10 625 ta tính r = 10,1376 = 625 Bài (5 điểm) Gọi số dân ban đầu là x và mức tăng dân số là m% Sau năm số dân nước đó là A1 = x + x.m = x(1 + m) (người) Sau năm số dân nước đó là A2 = x(1 + m) x(1 + m)m = x(1 + m)2 (người) Sau năm số dân nước đó là A3 = x(1 + m)2 + x(1 + m)2.m = x(1 + m)3 (người) Do vậy, sau n năm số dân nước đó là: An = x(1 + m)n (người) (1) Chứng minh: (bằng pp quy nạp hoàn toàn) + Ta có (1) đúng với n = 1, 2, + Giả sử (1) đúng với n k Với n = k, ta có Ak = x(1 + m)k ta c/ m (1) đúng với n = k +1 Thật vậy: Số dân năm thứ k +1 là: Ak + = Ak + mAk = (1 + m)Ak = (1 + m).x(1 + m)k = x(1 + m)k+1 Vậy công thức (1) đúng với n b A Áp dụng với x = 80 000 000 người, n = 20 năm , m =1,1% Tính trên máy A20 = 80 000 000 (1 + 1,1%)20 a Đáp số: Số dân nước đó sau 20 năm là 99 566 457 (người) Bài (5 điểm) H C B a) B C C 180 B D , nên AH = a sin ; AK = b sin, D K (4) S ABCD S HAK = ½ AH.AKsin = ½ absin3 S HAK sin b) S (còn lại) = mà SABCD=BC.AH=absin; sin ab sin SABCD - S HAK= (cm2) c) S = 079, 66332 (cm ) Bài (5 điểm) Kết quả: a) U1 = U3 = 510 U5 = 147 884 U7 = 36 818 536 U2 = 26 U4 = 944 U6 = 3360 280 U8 = 565 475 456 b) Công thức truy hồi: Un+ = 26 Un - 166Un - ; n = 1, 2, 3,… c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un trên máy tính FX 570-MS (FX-570ES) Gán D (biến đếm) A (số hạng U1) 26 B (số hạng U1) ghi vào màn hình dòng công thức: D = D + : A = 26B – 166A : D = D + : B = 26A – 166B Bấm phím = = = liên tục , ta nhận các số hạng dãy số từ U3 trở Bài (5 điểm) C Cho ΔABC có C=2A+B; A<B a) Viết biểu thức tính BC theo BA và AC B Hình vẽ: AD = AC, đặt CAB , CDA B D BCDBAC (gg) => => BC = BA.BD = BA(BA – AD) = BA(BA – AC) BC BA BA – AC Vậy b) Biết độ dài ba cạnh tam giác là số tự nhiên chẵn liên tiếp Tính diện tích S ΔABC AB > AC> BC (gt) và BC2 = BA(BA – AC) => AB2 = BC2 + AB AC đó: (2n)^2 = (2n – 4)^2 + 2n(2n – 2) => 4n2 – 20n + 16 = 0; n2 – 5n + = 0giải pt này có: n = 1; n = Với n = thì cạnh AB = (loại); với n = thì AB = 2.4 = 8; AC = 6; BC = (thỏa) Sử dụng công thức Héron, Tính S ABC = 15 11, 61895 (đ.v dt) A Bài 10 (5 điểm) Diện tích ΔABC là S Trên cạnh BC và CA lấy các điểm M và N cho MC = 2MB và NA = 2NC; AM cắt BN E c) Tính diện tích tam giác BEM theo S A d) Nếu cho AB = 31,48 cm; BC = 25,43 cm; AC = 16,25 cm Tính Diện tích tam giác BEM Giải: ta có 1 S BEM S BEC ; S BEC S ABE S BEM S ABM 1 S ABM S ABC S BEM S ABC S 21 21 Mà N E C B M (5) Sử dụng công thức Héron, Tính S ABC = S = 205,6425884(cm2) => SBEM = 9,79250 (cm2) Ghi chú: bài đ/ các Giám khảo chấm thống Đáp án bài cụ thể trước triển khai chấm chung HẾT (6)