Đang tải... (xem toàn văn)
Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ... Biểu diễn hình học tập nghiệm của.[r]
(1)Trang | TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY HIỆU
ĐỀ THI HSG LỚP 10 MƠN TỐN Thời gian: 150 phút
1 ĐỀ SỐ Câu (3 điểm)
a) Cho parabol (P): y x2 4x5 điểm I(1;4) Tìm (P) hai điểm M, N đối xứng
nhau qua điểm I
b) Tìm giá trị m để phương trình x2 2 m4 m2 có nghiệm phân biệt Câu (5 điểm)
a) Giải bất phương trình: (x1) x 2 (x6) x 7 x2 7x12 b) Giải hệ phương trình:
2
2
(x 1)(y 6) y(x 1) (y 1)(x 6) x(y 1)
c) Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 24 x21 có nghiệm
Câu (2 điểm) Cho f(x) x22(m1)xm23 Tìm m để phương trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x13x1x22 4x1x23 x2x12 4x2
Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1) B(4;-3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB
Câu (5 điểm)
a) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ thức: 2
2 ;
5
AD AB AE AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng
b) Gọi H trực tâm ABC, M trung điểm BC Chứng minh . 1 4 MH MA BC
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M( 2;0) trung điểm cạnh AB, điểm H(1; 1) hình chiếu B AD điểm 7;3
3 G
trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng HM cắt BC E, đường thẳng HG cắt BC F Tìm tọa độ điểm E, F B
Câu (1,5 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn x2 y2 1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
2
( ) 3
1
x y y
S
xy
Câu (1,5 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
5
x y
x y m
(2)Trang | ĐÁP ÁN
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a Cho parabol (P):
2
4 5
y x x điểm I(1;4) Tìm (P) hai điểm M,
N đối xứng qua điểm I 1,50 Vì I khơng thuộc trục đối xứng (P) nên hai điiểm M,N thỏa đề thuộc
đường thẳng qua I có hsg k có phương trình yk x( 1)
Xét pt x2 4x 5 k x( 1) 4 x2 (k4)x k 1 0 (1)
0,25
0.25
2
(k 4) 4(k 1) k 4k 20 0, k
cắt (P) M N
Gọi nghiệm (1) x x1, 2 M x k x( ; (1 1 1) 4),N x k x( ; (2 2 1) 4)
0,25
0,25
M, N đối xứng qua điểm I I trung điểm MN
1
1
1
4
1
( 1) ( 1)
4
x x
k
k
k x k x
0,25
Khi (1)
2 3 0 1
x x x x3 Vậy M( 1;0), N(3;8) 0,25 1 b Tìm m để phương trình x2 2 m4m2 có nghiệm phân biệt 1,50
Điều kiện cần
0
m m m m 1 (1) 0,5
Khi
2 2
2 2
2
2 ( ) ( )
x m m x m m
x m m x m m
0,25
0,25
Điều kiện đủ 2
2 ( m m ) 0 m 2 0,25
Kết hợp với ĐK (1) ta 1 m 2 m 0,25 Cách khác Pt có nghiệm đường thẳng ym4m2 cắt đths
2
2
y x điểm Từ đồ thị suy 0m4m2 2 |m|
2 a Giải bất phương trình: (x1) x 2 (x 6) x 7 x27x12 2,00 ĐK : x 2
BPT (x1) x 2 2 (x 6) x 7 3 x22x8
0,25
(3)Trang |
2
( 1) ( 6) ( 2)( 4)
2
x x
x x x x
x x
1
( 2) ( 4)
2
x x
x x
x x
0,25
0,25
Ta có ( 4)
2
x x
x
x x
2 6
2
2 2
x x x x
x x x
( 2) ( 6)( 1)
0,
2 2
x x x x
x
x x x
0,25
0,25
BPT x x
Vậy tập nghiệm BPT S 2; 2
0,25
0,25
2 b Giải hệ phương trình:
2
2
(x 1)(y 6) y(x 1) (y 1)(x 6) x(y 1)
1,50
Trừ vế ta x yx y 2xy70 0,25 TH x y Thế vào pt thứ ta
2 2
5 6 0
3 x
x x
x
0,25 0,25
TH x y 2xy 7 0 2xy x y 7 Cộng hai pt theo vế ta
2 2 2
5 xy x y 12 0 5 x y x y 2xy120
2 1
6 5 0
5 x y
x y x y
x y
0,25
0,25
1 4
(4)Trang |
2, 3
5 6
3, 2
x y
x y xy
x y
Vậy hệ có nghiệm 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2
0,25
2 c Tìm m để phương trình
3 x 1 m x 1 2 x 1 có nghiệm 1,50 ĐK: x1 Chia hai vế cho x1 ta
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
0,25
Đặt 1,0 1 1
x
t t
x
ta
2
3t m 2t 3t 2t m (2)
0,25
0,25
Pt (1) có nghiệm x 1 pt (2) có nghiệm t0;1 Lập bảng biến thiên f t 3t2 2t 0;1
0,25
0,25
Từ BBT suy pt (2) có nghiệm 0;1 1 1 3
t m 0,25
3
cho f(x)x22(m1)xm23 tìm m để f(x) có hai nghiệm phân biệt
1,x
x thỏa mãn x13 x1x22 4x1x23x2x12 4x2 2
điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
2
) ( ) (
' 2 2
m m m
biến đổi x13x1x224x1x23x2x124x2 ( )[( )2 1 2 4]
2
1
x x x x x x
0,5
0,5
Do x1x2
2
1 2
2
( ) [2( 1)] 2( 3)
1
x x x x
m m
m m
0,25
0,25 0,25
(5)Trang | 4
Trong mặt phẳng tọa độ đề vng góc oxy cho hai điểm a(1 ; 1) b(4 ; -3) tìm điểm c thuộc đường thẳng x – 2y – 1= cho khoảng cách từ c đến đường thẳng ab
2
đường thẳng ab có phương trình 1 y x y x
do c thuộc đường thẳng x – 2y – 1= nên c = (2c + 1; c)
ta có
11 / 27 30 11 ) ( ) ; ( 2 c c c c c AB C d
+ với c3C(7;3)
+ với
11 27 ; 11 43 11 / 27 C c
vậy có hai điểm C(7;3); 11 27 ; 11 43 C 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25
5 a
Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ thức: 2 ; 2
5
AD AB AE AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng 1,50 Gọi M trung điểm BC ta có:
0,25
0,5
0,5
Từ (1) (2) suy D, E, G thẳng hàng 0,25
5 b Gọi H trực tâm ABC, M trung điểm BC Chứng minh 1,50
2 1
3 3
AG AM AB AC
2
2 (1)
5
DEDAAE AB AC ABAC
1 1
2 (2)
3 3 3
DGDAAG AB AB AC AB AC ABAC
6
(6)Trang |
H A
B A' M C
2
1
4
MH MA BC
Ta có 1
2
MH MA BA CA MH
1
2 BA MH CA MH
1
2 BA MC CH CA MB BH
1
2 BA MC BA CH CA MB CA BH
0,25
0,25
Vì BACH BA CH 0;CABH CA BH 0
1
2
MH MA BA MC CA MB
0,25
Mặt khác ta có BA MC BA MC CA MB' ; CA MB' MB MC
Nên ' ' ' '
2 2
MH MA BA MC CA MC MC BA CA
0,25
0,25
2
1 1
2MC BC 2BC BC 4BC
(đpcm) 0,25
5 C Tìm tọa độ điểm E, F B 2,00
Chứng minh HM ME từ suy ( 5;1)E
0,5
Chứng minh HG2GF từ suy F(3;5) 0,5 Giả sử ( ; )B x y Từ giả thiết suy B, E, F thẳng hàng BE BH
Đến quan hệ vecto
0,25
(7)Trang |
Đến hệ pt 0,25
Tìm tọa độ ( 1;3)B 0,25
6 Tìm max biểu thức
2
( )
1
x y y
S
xy
1,50
Thế x2y2 1 vào S ta
2
2
2
x xy y
S
xy x y
0,25
TH y 0 x2 1 S
TH2
2
2
2
1
x x
y y
y S
x x y y
Đặt
2
2
x t t
t S
y t t
0,25
0,25
2 2
( 1) 2 ( 1) ( 2)
S t t t t S t S t S
Với S1, tồn
( 2) 4( 1)( 2)
t S S S
0,25
Biến đổi ta (S2)( 3 S 6) S Do S 1 2; 2 nên maxS 2, minS 2
0,25
0,25
7
Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
( 1) ( 1) 2
A x y x y y 1,50
Vậy
0,25
TH y 2 A 2 1 y2 2 5 0,25
TH y 2 A 2 1 y2 2 y
2
2 2
3 1 1 y 2 y 3.1 1.y 2 y 3 2
0,25
0,25
2 3
A 0, 1 3 x y Ta có 2 32 5minA 2 3
0,25
0,25
2 2 2
(1 ) ( 1) (1 1) ( )
A x y x y y x x yy y
2
4 4 2
(8)Trang | 2 ĐỀ SỐ
Câu I (2,0 điểm)
1) Cho hàm số yx2 4x3 có đồ thị ( )P Tìm giá trị tham số m để đường thẳng
(dm) :y x m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, thỏa mãn
1
1
x x
2) Cho hàm số y(m1)x22mx m (mlà tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (;2)
Câu II (3,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2 2
2
3
2 12
x y x xy y x y
x y x x
2) Giải phương trình (x3) 1 x x 4 x 2x26x3 3) Giải bất phương trình x3(3x24x4) x 1
Câu III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 Gọi P giao điểm AC GN, tính tỉ số PA
PC
2) Cho tam giác nhọn ABC, gọi H E K, , chân đường cao kẻ từ đỉnh A B C, , Gọi diện tích tam giác ABC HEK SABC SHEK Biết
4
ABC HEK
S S , chứng minh sin2 sin2 sin2
A B C
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân A Đường thẳng AB có phương trình
3
x y , đường thẳng AC có phương trình x7y 5 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ đỉnh A B C, ,
Câu IV (1,0 điểm)
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn nhất?
Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn xyyzxz3 Chứng minh bất đẳng thức
2 2
3 3
8 8
x y z
x y z
(9)Trang | ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điể
m Câu
I.1 1,0đ
Cho hàm số yx24x3 có đồ thị ( )P Tìm giá trị tham số m để đường thẳng
(dm) :y x m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, thỏa mãn
1
1
x x
Phương trình hồnh độ giao điểm 2
4
x x x m x x m (1) 0,25 Đường thẳng (dm) cắt đồ thị ( )P hai điểm phân biệt phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt 13 13
m m
0,25
Ta có
1
5
x x
x x m
0,25
1 2
1
1
2 2(3 )
1 1
2
0
x x x x m
m
x x m
x x
(thỏa mãn) 0,25
Câu I.2 1,0 đ
Cho hàm số y(m1)x2 2mx m 2,(mlà tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (;2)
Với m 1 y 2x Hàm số nghịch biến Do m1 thỏa mãn
0,25
Với m1 Hàm số nghịch biến khoảng (;2)
1
2
m m m
0,25
1 m
0,25
Vậy 1 m 0,25
CâuII. 1 1,0 đ
Giải hệ phương trình
2 2
2
3
2 12
x y x xy y x y
x y x x
(10)Trang | 10
2 2
2 2
3 2
3
3( ) 3( )
3( ) 3
x y x xy y x y
x y x xy y x y x y
x y x y x y
0,25
3
3
3 3
( 1) ( 1) 1
x x x y y y
x y x y y x
0,25
Thế y x vào phương trình (2) ta có
2
( 2) 12 12
x x x x x x x 0,25
2
(x 3)(x 2x 4) x y
Hệ có nghiệm
1
x y
0,25
CâuII. 2 1,0 đ
Giải phương trình (x3) 1 x x 4 x 2x26x3(1)
Điều kiện 1 x4
Phương trình
(1) (x 3)( 1 x 1) x( 4 x 1) 2x 6x
0,25
2
3
( 3)
1
1
( 3)
1
( 3)
1
2 (2)
1
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
0,25
( 3) 0;
x x x x (Thỏa mãn điều kiện)
0,25
Với điều kiên 1x4 ta có
(11)Trang | 11
1
1 1 1 1 1 1
2
1 1
4 1 1
4
x x
x x
x
x
Dấu "" khơng xảy nên phương trình (2) vơ nghiệm
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x0 x3 CâuII.
3 1,0 đ
Giải bất phương trình x3(3x24x4) x 1 (1)
Điều kiện x 1
3
3
3
(3 4) 4( 1)
3 (2)
x x x x x x x x x
x x x x
0,25
Xét x 1, thay vào (2) thỏa mãn
Xét x 1 x 1 Chia hai vế (2) cho
3
1
x ta bất phương trình
3
3
1
x x
x x
0,25
Đặt
1
x t
x
, ta có bất phương trình
3 2
3 ( 1)( 2)
t t t t t 0,25
2
1 1 0
0
1 1 1 5
1
1
1
2
x x x
x
x x
t x x
x x
x x x x
x
Kết hợp x 1là nghiệm, ta có tập nghiệm bất phương trình 1;1
0,25
Câu III.1 1,0 đ
Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 Gọi P giao điểm AC GN, tính tỉ số PA
(12)Trang | 12 Gọi M trung điểm cạnh BC Đặt APk AC
1
GP APAGk AC ABAC
1
3
k AC AB
0,25
1
3 6
GN GM MN AM BC ABAC ACAB AC AB
0,25
Ba điểm G P N, , thẳng hàng nên hai vectơ GP GN, phương Do
1 1
2 4
3 3
7 5 3 15 5 5
6 6
k k
k k AP AC
0,25
4
4
PA
AP AC
PC
0,25
Câu III.2 1,0 đ
Cho tam giác nhọn ABC, gọi H E K, , chân đường cao kẻ từ đỉnh A B C, , Gọi diện tích tam giác ABC HEK SABC SHEK Biết
4
ABC HEK
S S , chứng minh sin2 sin2 sin2
A B C
Đặt S SABC từ giả thiết suy
3
3
EAK KBH HCE
HCE
EAK KBH
S S S S
S
S S
S S S
0,25
2
1
sin
2 . cos cos cos
1
sin
EAK
AE AK A
S AE AK
A A A
S AB AC A AB AC
2
1
.sin
2 . cos cos cos
1
sin
KBH
BK BH B
S BK BH
B B B
S AB BC B BC AB
0,25 P
G
M A
B C N
H K
E A
(13)Trang | 13
2
1
.sin
2 . cos cos cos
1
sin
HCE
CH CE C
S CH CE
C C C
S AC BC C AC BC
2 2
3
cos cos cos
4
HCE
EAK KBH S
S S
A B C
S S S 0,25
2 2 2
1 sin sin sin sin sin sin
4
A B C A B C
0,25
Câu III.3 1,0 đ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân A Đường thẳng AB có phương trình
x y , đường thẳng AC có phương trình x7y 5 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ đỉnh A B C, ,
Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình
7
x y x
x y y
Vậy A(2;1) 0,25
Phương trình đường phân giác góc A
2
x y x y
1
( )
( )
3
d
x y
d
x y
0,25
Do tam giác ABC cân A nên đường phân giác kẻ từ A đường cao Xét trường hợp d1 đường cao tam giác ABC kẻ từ A
Phương trình đường thẳng BClà 3x y
Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình ( 1; 4)
3
x y x
B
x y y
Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình
11
7 5 11
;
3 5
5 x x y
C x y
y
16 48
( 2; 6), ;
5 5
MB MC MC MBM
nằm đoạn BC Trường hợp không thỏa mãn
0,25
Nếu d2 đường cao tam giác ABC kẻ từ A
(14)Trang | 14 Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình 11 ( 11;14)
3 31 14
x y x
B
x y y
Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình
101
7 5 101 18
;
3 31 18 5
5 x x y
C x y
y
96 32
( 12; 4), ;
5 5
MB MC MC MBM
thuộc đoạn BC
Vậy (2;1), ( 11;14), 101 18; 5 A B C
Câu IV 1,0
đ
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn nhất?
Giả sử sản xuất x kg( ) sản phẩm loại I y kg( ) sản phẩm loại II Điều kiện x0,y0và 2x4y200 x 2y100
Tổng số máy làm việc: 3x1,5y Ta có 3x1,5y120
Số tiền lãi thu T 300000x400000y (đồng)
0,25
Ta cần tìm x y, thoả mãn:
0, 100 1,5 120
x y
x y
x y
(I)
sao cho T 300000x400000y đạt giá trị lớn
(15)Trang | 15 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng d1:x2y100; d2: 3x1,5y120
Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A(100;0), cắt trục tung điểm B(0;50)
Đường thẳng d2 cắt trục hoành điểm C(40;0), cắt trục tung điểm D0;80 Đường thẳng d1 d2 cắt điểm E20;40
Biểu diễn hình học tập nghiệm
hệ bất phương trình (I) miền đa giác OBEC
0,25
0
0
x
T y
;
0
20000000 50
x
T y
;
20
22000000 40
x
T y
;
40
12000000
x
T y
Vậy để thu tổng số tiền lãi nhiều xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I 40kg sản phẩm loại II
0,25
Câu V 1,0 đ
Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn xyyzxz3 Chứng minh bất đẳng thức
2 2
3 3
8 8
x y z
x y z
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
3
2
2
( 2) ( 4) ( 2)( 4)
2
2
x x x x x
x x x x
x x
x x x
Tương tự, ta có
2 2
2
3
2
;
6
8
y y z z
y y z z
y z
Từ suy ra:
(16)Trang | 16
2 2 2
2 2
3 3
2 2
6 6
8 8
x y z x y z
x x y y z z
x y z
(1)
Chứng minh bổ đề: Cho x y, 0 a b, ta có:
2
2
*
a b
a b
x y x y
Ta có
2 2 2 2 2 2
* a y b x a b a y b x x y xy a b ay bx
xy x y
Đẳng thức xảy a b x y Áp dụng bổ đề ta có
2
2 2
2 2 2
2
6 6 12
x y
x y z z
x x y y z z x y x y z z
2
2 2
2( )
( ) 18
x y z
x y z x y z
0,25
Đến đây, ta cần chứng minh:
2
2 2
2( )
1
( ) 18
x y z
x y z x y z
Do x2 y2z2 (x y z) 18
2
2
2 18
12
x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
Nên 3 2(x y z)2 x2y2z2 (x y z) 18
x2 y2 z2 x y z (4)
0,25
Mặt khác, x y z, , số dương nên ta có:
2 2
3
3( )
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
Nên bất đẳng thức (4)
Từ (1), (2), (3) (4), ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy x y z
(17)Trang | 17 3 ĐỀ SỐ
Câu (5,0 điểm).
a) Giải phương trình x212 5 3x x25 b) Giải hệ phương trình
3 2
x 9xy 6x y 4y x y x y
Câu (3,0 điểm).
a) Tìm tập xác định hàm số :
2
3
x 5x 2017 y
x 9x 11x 21
b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m tham số): 2
2 1
x m x m m có hai nghiệm
1,
x x thỏa mãn điều kiện x1x2 4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau:
3
1 2 3
Px x x x x x Câu (3,0 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x y z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
3 3 3
1 x y z y z x
P
xy yz xz
Câu (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi có đỉnh điểm có tọa độ nguyên Chứng minh bên cạnh ngũ giác có điểm có tọa độ nguyên
Câu (4,0 điểm).
a) Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thỏa mãnAN 1AB; BM 1BC
3
Gọi I giao điểm AM CN Chứng minh BI IC
b) Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M nửa đường trịn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt tiếp tuyến qua A B nửa đường trịn E F Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác CEF M di chuyển nửa đường tròn
Câu (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y d2:
3x y Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường trịn (C) biết tam giác ABC có diện tích
2
(18)
Trang | 18 ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
Câu 5,0
a) Giải phương trình x212 5 3x x25 (1) 2,0 ĐK: x 5/3 (*)
Khi đó: (1) x212 4 3x 6 x2 5
2
2
x x
3 x
x 12 x
2
x x
x
x 12 x
x2(thỏa (*)) Vì
2 2
1 x x
0
x 12 x x 12 x
Vậy (1) có nghiệm: x =
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
b) Giải hệ phương trình
3 2
x 9xy 6x y 4y (1) x y x y (2)
3,0
Điều kiện: x y x y
(*)
Nhận thấy y = không thỏa (1) nên (1)
3
x x x
6
y y y
x
1
x y
y
x x 4y
4 y
Với x = y thay vào (2) ta : 2x 2 x y Với x = 4y thay vào (2) ta được:
5y 3y y y 32
5
So với (*) ta nghiệm x; y hệ : 2; ; (32 15;8 15)
0,5
0,5
0,5
0,5
(19)Trang | 19
0,5
Câu Nội dung Điểm
Câu
3,0 a) Tìm tập xác định hàm số :
2
3
x 5x 2017 y
x 9x 11x 21
1,0
Hàm số cho xác định :
3
x 5x 2017 x 9x 11x 21
3
x 9x 11x 21
( Vì x2 -5x + 2017 > với x) x
x
Vậy tập xác định hàm số cho D = 1;3 7;
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m tham số):
2
2
2 1
x m x m m có hai nghiệmx1, x2 thỏa mãn điều kiện
1
x x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau:
3
1 2 3
Px x x x x x
2,0
Phương trình cho có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãnx1x2 4
2
2
'
2
4 2 1 4
3 m
m m m
m
x x m m
m
Theo định lí Viet ta có 3 2
1 2 ,
x x m x x m m suy
3 3 3 2 2
1 8 8 16 40
P x x x x m m m m m Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 m2, Pmin 144 m 2
0,5
0,5
0,5
0,5
-24 16
-144
0
3 2
0 -2
(20)Trang | 20 Câu
3,0
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x y z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
3 3 3
1 x y z y z x
P
xy yz xz
Áp dụng BĐT Cơ-si , ta có:
3
3 x y
1 x y 3xy
xy xy
Tương tự , ta có :
3 3
1 y z z x
;
yz yz zx xz
0,75
0,25
Cộng vế theo vế , ta được:
3 3 3
1 x y y z z x 1
3( ) (1)
yx yz zx xy yz xz
Áp dụng BĐT Cơ-si , ta có:
3
1 1
3 (2) xy yz zx xyz
0,5
0,5
Từ (1) , (2) suy P3 0,5
Vậy Pmin = 3 , đạt x = y = z = 0,5 Câu
2,0
Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi có đỉnh điểm có tọa độ nguyên Chứng minh bên cạnh ngũ giác có điểm có tọa độ nguyên
Điểm
Coi đỉnh Ai (xi ; yi), i = 1,2,3,4,5
Khi (xi ; yi) rơi vào trường hợp sau: (2k ; 2k’) ; (2k ; 2k’ + 1) ; (2k + ; 2k’ + 1) ; (2k + ; 2k’ ) với k, k '
Do đa giác có đỉnh nên theo ngun lí Đi rich lê, có hai đỉnh có tọa độ thuộc bốn kiểu
Khi trung điểm đoạn nối đỉnh có tọa độ nguyên
Do ngũ giác lồi nên trung điểm nằm miền tren cạnh ngũ giác
0,75
0,5
0,25
0,5
Câu Nội dung Điểm
Câu 40
a) Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thỏa mãnAN 1AB; BM 1BC
3
Gọi I giao điểm AM CN Chứng minh BI IC
(21)Trang | 21 I
B C
A
N
M
Giả sử AIkAM , ta có:
CI AI AC kAM AC k AB BM AC 2k k
AB AC
3
và CN AN AC 1AB AC
Vì CI , CN phương nên k
Ta có AI 3AM 3AB BM 2AB 1AC
7 7
Suy ra: BI AI AB 5AB 1AC
7
2
IC AC AI AB AC
7
2
5
BI.IC AB AC AB AC
7 7
1
10AB 6AC 32AB.AC
49
Vì tam giác ABC nên AB = AC
1 AB.AC AB.AC.cosA AB
2
Vậy : BIIC
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M nửa đường tròn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt tiếp tuyến qua A B nửa đường tròn E F Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác CEF M di chuyển nửa đường tròn
(22)Trang | 22 Vì AEMC BFMC tứ giác nội tiếp nên:
0 MEC MFC MAC MBC 90
0 ECF 90 Vậy SCEF 1CE.CF
2
Hai tam giác AEC BCF đồng dạng nên: AE BC
AE.BF AC.BC AC BF
Ta có :
2 2
CEF
1
S AE AC BC BF 2AE.AC.2BC.BF
2
AC.BC (khơng đổi)
Vậy diện tích tam giác CEF nhỏ AC.BC AE = AC BC = BF
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
Câu 3,0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y d2:
3x y Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường trịn (C) biết tam
giác ABC có diện tích
2
điểm A có hồnh độ dương
3,0
+ Gọi I tâm đường trịn (C) đường kính AC + A thuộc d1 nên có tọa độ A a; 3a ; a 0
+ Đường thẳng AB qua A vng góc với d2 có phương trình: AB: x 3y 2a 0; AB d2 B B a; a
2
0,25
M
A B
F
E
C
B d1
I C
(23)Trang | 23 + Đường thẳng AC qua A vng góc với d1 có phương trình:
AC: x 3y 4a 0; ACd2 C C2a; 2a 3 + Tam giác ABC có diện tích
2
3
AB.CB a
2
A 3; ;C 3; 2
3
+ Tính I 3; ; R
+ Viết phương trình (C):
2 2
3
x y
6
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
(24)Trang | 24 4 ĐỀ SỐ
Câu (5,0 điểm)
a.(3đ) Giải bất phương trình
2
x 2x x 3x 2x b.(2đ) Giải hệ phương trình
3 2
x 6x y 9xy 4y (1) x y x y (2)
Câu (3,0 điểm)
a (2đ) Cho parabol (P) : y = 3x2
– x – Gọi A,B giao điểm (p) với Ox Tìm m<0 cho đường thẳng d: y= m cắt (P) hai điểm phân biệt M,N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích
b (1đ) Cho sina.sinb 5cosa.cosb.
Tính
2 2
1
S
sin a 5cos a sin b 5cos b
Câu (3,0 điểm)
Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a b c
T
1 a b c
Câu (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng lấy 2n + điểm ( n ) cho ba điểm ln có hai điểm mà khoảng cách hai điểm nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa n + điểm nêu
Câu (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh với điểm M
2 2
a.MA b.MB c.MC abc Câu (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC D trung điểm AB, E 16
( ;1)
3 nằm cạnh AC mà AC = 3EC Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + = Tìm tọa độ A, B, C
ĐÁP ÁN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
(25)Trang | 25 (5đ)
Đk :
2
2
x x 2x
x x 3x
x
0.5đ
* khi x 3 hay x0bpt VN
Suy x 3 hay x0 nghiệm bpt
1đ
*
2
* x
bpt x x x
2x x x 4x
0.5đ
2
2 2x-1 8x 25
25
( )
x x
x thoa
0.5đ
Vậy tập nghiệm bpt S ( ; 3) {0} (25; )
0.5đ
b Giải hệ :
3 2
x 6x y 9xy 4y (1) x y x y (2)
2đ
Đk: x y 0.25đ
2
(1) (x 4y)(x y) x 4y
x y
0.5 đ
4 :
4 32 15
2 15 Khi x y
x y x
Hpt
x y x y y
0.5đ
Khi x=y:
2 2
x y x
Hpt
y x y x y
(26)Trang | 26 KL: Hệ có tập nghiệm S { (2;2),(32 15;8 15)} 0.25đ
Câu (3 đ)
a Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – Gọi A,B giao điểm (P) với Ox Tìm m < cho đường thẳng d: y= m cắt (P) hai điểm phân biệt M, N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích
2 đ
Ta chọn A(-1;0), B(4/3;0) 0.25 đ
Pthđgđ (P) d: 3x2
– x – 4- m = (*)
ĐK: > m 49 12
M,N giao điểm nên xM , xN hai nghiệm (*)
2
M N M N M N
49 12m MN x x (x x ) 4x x
3
0.25 đ
0.25 đ
A B, M N đối xứng qua trục đối xứng (P) nên bốn điểm tạo nên
hình thang cân có hai đáy AB, MN, độ dài đường cao = m m (do m0) 0.5 d
ABMN
3
7 49 12m
7m m 49 12m
3
S ( m)
2
m (lo¹i) m 28m 48 m (nhËn)
m (nhËn)
0.5 đ
Vậy m = -4 , m = -2 thỏa mãn đề 0.25 đ
b
2 2
1
Cho sina.sinb 5cosa.cosb TÝnh S
sin a 5cos a sin b 5cos b 1đ
Tõ gi¶ thiÕt cã tana.tanb 0.25đ
2
2
1 tan a tan b S
tan a tan b 0.25đ
2
2 2
2
2
40 4tan a 4tan b
tan a.tan b 5tan a 5tan b 25 4(10 tan a tan b)
5(10 tan a tan b)
0.5đ
Câu (3,0
Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ
(27)Trang | 27
điểm) a b c
T
1 a b c
1 (1 a) (1 b) (1 c) T
1 a b c
1 1
( ) ( a b c)
1 a b c
0.5 đ
Đặt A 1 1 a b c
6
1 1
A
1 a b c (1 a)(1 b)(1 c)
Lại có :
3
3
6
1 a b c (1 a)(1 b)(1 c)
3 (a b c) (1 a)(1 b)(1 c)
2 (1 a)(1 b)(1 c)
3
0.5 đ
0.25đ
Suy A 27
0.25 đ
Đặt B - ( a b c )
2
( a b c) 3(1 a b c) a b c
0.5 đ
Suy B 0.25 đ
T=A+BT A B 27 6
2
0.5đ
KL: MinT=
1 a b c
3
0.25đ
Câu (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng lấy 2n + điểm (n ) cho ba điểm ln có hai điểm mà khoảng cách hai điểm nhỏ Chứng minh
(28)Trang | 28 Chọn điểm A 2n + điểm Vẽ đường trịn (A;1), có hai
khả :
a) Nếu tất điểm thuộc hình trịn (A;1) tốn thỏa mãn
0.5 đ
b) Nếu khơng phải tất điểm thuộc hình trịn (A;1) Khi đó, có điểm gọi B khơng thuộc hình trịn (A;1)
Vẽ đường trịn (B;1)
Gọi C điểm 2n + điểm lại Xét ba điểm A, B, C phải có AC BC nhỏ
0.5 đ
Nếu AC nhỏ C thuộc hình trịn (A;1)
Nếu BC nhỏ C thuộc hình trịn (B;1) 0.5 đ Do 2n + điểm cịn lại thuộc (A;1) thuộc (B;1) nên theo ngun lí
Dirichlet có n + điểm thuộc (A;1) (B;1) Nói cách khác có n+ điểm thoả mãn đề
0.5 đ
Câu (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh với
mọi điểm M a.MA2 b.MB2c.MC2 abc 3 đ
a.MAb.MB c.MC 2 0 0.5 đ
O C
M A
(29)Trang | 29
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
a MA b MB c MC 2ab.MA.MB 2bc.MB.MC 2ac.MA.MC a MA b MB c MC ab.(MA MB AB )
bc MB MC BC ac MA MC AC
1 đ
2 2 2 2
a a b c MA b a b c MB c a b c MC abc bca acb 0.5đ
2 2
2 2
a b c a.MA b.MB c.MC abc a b c a.MA b.MB c.MC abc
0.5đ
Dấu xảy a.MAb.MB c.MC 0
M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
0.5đ
Câu (4,0 điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC D là trung điểm AB, E (16;1)
3 nằm cạnh AC mà AC = 3EC Đường thẳng
DC có phương trình x - 3y + = Tìm tọa độ điểm A, B, C
4 đ
Ta có EA BA
EC BC 1 nên BE phân giác góc B 0.5 đ Suy BE vng góc DC, nên DC có ptrình
16
3(x ) 1(y 1) 3x y 17
0.5 đ
I DC BE (5; 2)
0.5 đ
E(16 ;1)
x-3y+1=0
I A
D
(30)Trang | 30 Gọi BC= a tính IE a ; IB a
3 2
0.5 đ
IB 3IE B(4;5)
0.5 đ
2
C x 3y c(3c 1; c) BC 2BI c 4c
0.5 đ
c C(2;1) c C(8;3)
0.5 đ
KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) A(0;-3), B(4;5), C(8,3) 0.5 đ
(31)Trang | 31 5 ĐỀ SỐ
Câu 1: (5,0 điểm)
a Giải bất phương trình: 2x 5 2x x 1 3x4 b Giải hệ phương trình:
2
2
2 5 2 2
3 5 4
x y x
x xy x y y y
Câu 2: (4,0 điểm)
a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số: yf (x)x x 1
b Tìm giá trị tham số m cho hàm số yf (x)x2(2m 1)x m 21 có giá trị bé đoạn [0;1]
Câu 3: (4,0 điểm)
a Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng:
3 3
a b c
ab bc ca
b c a
b Tìm giá trị lớn biểu thức:
Pyz x zx y xy z 9
xyz
Câu 4: (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm BC I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - = Gọi D , E chân đường cao kẻ từ điểm B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình DE x - = điểm D có hồnh độ dương
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB.Chứng minh diện tích ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ vượt qua phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC
ĐÁP ÁN
Câu Đáp án Điểm
Câu (5,0
a) Giải phương trình 2x 5 2x x 1 3x4
(32)Trang | 32 điểm) Điều kiện: 1
2 x
0,25
+
2x 5 2x x 1 3x4 (3x4)(x 1) 2x x 1 3x4 0,5
3x x x do x 3x
0,5
3x x x (2 x x)( 1) 3x
0,25
Giải tìm tập nghiệm bất phương trình S= 1;2 0,5
b) Giải hệ phương trình
2
2
2 5 2 2
3 5 4
x y x
x xy x y y y
3,0
Điều kiện: y0và
0
xy x y y 0,25
- Xét phương trình thứ hai hệ:
2
3 ( 1) 3( 1)
x xy x y y y x y xy x y y y
0,5
3( 1)
( 1)
2 1
y
x y
xy x y y y
(33)Trang | 33
x y
(vì theo điều kiện biểu thức ngoặc vng ln dương
+ Với 1 2 x
y thay vào phương trình thứ ta được:
2
2 x 5 2 x 1 x
2
2( 2) 2
( 2) 2 0
1 1
5 3
x
x x
x x
Điều kiện: x1 Khi đó, ta có:
0,25
0,25
0,5
2( 2) 2
2 ( 2)
2 5 3 1 1 5 3
x
x x
x x
x x
0,25
Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( 2; 1 2 )
0,5
Câu Đáp án Điểm Câu
2(4,0 điểm) ãn
a/ Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số: yf (x)x x 1 1,5
Viết lại hàm số
2
x 2x+1 , x y f (x)
-x 2x 1, x<2
0,5
Lập bảng biến thiên 0,5
Vẽ đồ thị hàm số 0,5
b/ Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số 2 2
y f (x) x (2m 1)x m 1 có giá trị bé đoạn [0;1]
2,5
Hoành độ đỉnh x0 2m 1 m
2
Bảng biến thiên:
0,25
(34)Trang | 34 x -m-1/2
y
-m-5/4
+ Nếu x0 m 0;1 3 m1
2 2
0,25
R 0;1
5 f(x)= f(x)= f(x ) m
4
m=9
4 (Không thỏa)
0,25
0,25 +Nếu x0 m m 1
2 f(x) dồng biến [0;1]
2
0;1
min f(x)= f(0) m 1
m (thỏa ) m 2(không thỏa)
0,25
0,25 + Nếu x0 m 1 m 3
2 f(x) nghịch biến [0;1]
2
0;1
min f(x)= f(1) (m 1)
m=0 (không thỏa ) m=-2 (thỏa)
0,25
0,25
Vậy m 2và m=-2 0,25
Câu3 (4,0 điểm)
a/ Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng:
3 3
a b c
ab bc ca
b c a
(35)Trang | 35 Ta có (a b) 2 0 a2ab b 2ab
a3b3ab(a b)
a3b2a2ab
b
Tương tự (b c) 20
2 b
c b bc
c
(c a) 20
2 c
a c ca a
Suy
3 3
2 2 2
a b c
b c a a ab b bc c ca
b c a
đccm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5 0,25
b/ Tìm giá trị lớn biểu thức:
Pyz x zx y xy z 9
xyz
2,0
P xác định x 1,y 4,z 9
Ta có P x 1 y 4 z 9
x y z
Áp dụng Bđt Côsi ta có:
x 1 x 1 x 1 1
2 x
y 4 y 4 y 4 1
2 y
z 9 z 9 z 1 1
2 z
11 P
12
Max P=11
12, đạt x=2, y=8, z=18
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25 Câu
(4,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm BC là I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - = Gọi D , E chân đường cao kẻ từ điểm B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình DE x - = điểm D có hồnh độ dương
(36)Trang | 36 Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm F 0,5 Vậy IF đường trung trực ED Do IF ED 0,5
Suy phương trình IF : y-1=0 0,25
Suy F (1 ; 1) 0,25
Suy A(-1 ;2) 0,5
D thuộc DE suy D(2 ;d) 0,25
Do FD = FA suy 1 ( 1)2 5 3 1 d x
d
Do yD 0nên D(2; 3)
0,5
0,25
Phương tình AC: x - 3y + = 0,25
Đường BC qua I vng góc AH nên có phương trình BC 2x – y – 11 = 0,25
Suy C ( 8; 5) 0,25
Suy B ( ; -3 ) 0,25
Câu5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB.Chứng minh diện tích ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ không thể vượt qua phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC
3,0
F
I H
E
D
C B
(37)Trang | 37 Kí hiệu S S ABC, SA SAB'C', SB SBA 'C', SCSCA 'B'
Ta có A
AC'.AB'.sin A
S 2 AC'.AB'
1
S AC.AB
AC.AB.sin A
SB BC'.BA ' S BC.BA
SC CA '.CB' S CA.CB
Suy A B C
S S S AB'.AC'.BC'.BA '.CA '.CB' AB.AC.BC.BA.CA.CB S
=
2 2
AC'.BC' AB'.CB' BA '.CA '
AB AC BC
Mặt khác: AC'.BC'1(AC' BC') 21AB2
4
AB'.CB'1(AB' CB') 21AC2
4
BA '.CA '1(BA ' CA ') 2 1BC2
4
A B C
S S S 1 4 S
Suy SA
S B
S
S C
S
S
Dấu xảy đồng thời A’, B’, C’ tương ứng trung điểm BC, CA, AB
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
(38)Trang | 38 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng
xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp
dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia