a Tính AH và AK b.Tính tỉ số diện tích S ABCD của hình bình hành ABCD và diện tích SHAK của tam giác HAK.. c.Tính diện tích phần còn lại S của hình bình hành khi khoét đi tam giác.[r]
(1)BÀI TẬP HÌNH TRONG CASIO Bài Cho ABC vuông A Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác góc A Biết BD = 3,178 cm Tính AB, AC Giải: Ta có:DC = BC – BD = 8,916 – 3,178 Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: BC AB AC AB BD AB BD AB BD AC DC AC DC AC AB DC BD BD AC AB BD BC 2 AB DC BD DC BD 4,319832473cm AC 7,799622004cm Bài 2:Cho Δ vuông ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm Kẻ AH vuông góc với BC 1)Tính BC; AH; HC 2)Kẻ phân giác BN góc B Tính NB A -Dùng hệ thức lượng tam giác vuông để tính câu -Theo t/c đường phân giác có: A NA AB NA NC NA + NC = Þ = = NC AC AB AC AB + AC NA AC Þ = AB AB + AC từ đây tính NA; sử dụng Pitago tam giác ABN tínhBN D N C B B H C AB Bài Cho tam giác ABC cân A có =360 Tính giá trị tỉ số BC (chính xác đến 0,0001) Vẽ tia phân giác BD Ta có B1 = 720 =360=A, D=A+B1=720= C nên tam giác ABD cân D, tam giác CBD cân B suy DA = DB = BC DA DC AC AB BC DC AB BC Theo tính chất đường phân giác: AB BC AB BC mặt khác DC = AC – AD = AB – BC = AB – BC (AB = BC ; AD = BD = BC) AB BC DC AB BC AB BC AB.BC = AB2 – BC2 (*) Nên 1 1 AB Đặt x = BC > từ (*) ta có x2 – x – = 0.Tìm x = và x = 1 Do x > nên lấy x = Viết quy trình ấn phím tính x 1,6180 Bài 4: Cho ∆ ABC vuông A biết BC = 8,961 và AD là phân giâc A Biết BD = 3,178 Tính AB, AC Giải Ta có : AB2 + AC2 = BC2 (Pitago) AB BD AC DC AB AB BD AC DC BC DB BD BC DB AB AC BC BD DC DB BC DB BC BC DB AC BD BC DB Với BC = 8,916 ; BD = 3,178 thay vào trên KQ: AB = 4,3198 (2) AC = 7,7996 Bài Cho ABC có các cạnh AB = 21 cm ; AC = 28 cm a) Chứng minh ABC vuụng Tớnh diện tớch ABC b) c) Tính các góc B và C Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Tính BD, DC Giải: S ABC = 294 cm a) AC 53O '48'' B BC b) 90O B C 36O 52 '12'' C BD AB 21 DB DB DC AC 28 DB DC DC DC 20cm c) DB 15cm sin B Bài Cho ABC vuông A với AB = 4,6892 cm; BC = 5,8516 cm Tính góc B, đường cao AH và phân giác CI Tính AH AB B 36O 44 '25, 64" B BC Giải: Tính AH sin B AH sin 36O 44 ' 25, 64" 4, 6892 2,80503779cm BH Tính CI Góc C 90o 36o 44 ' 25, 64" CI AB Bài Cho ABC vuông B Với AB = 15 AC = 26 Kẻ p/ giác CI Tính IA C IA CA IA CA AB 26 262 152 IA 13, 46721403 IB IA AB CA IB AB CA 15 26 I IA IB IA CA CA AB IB AB B Giải: 2 Ta cú : BC 26 15 AI Tính tỉ số DI Sử dụng tính chất đường phân giác AC AB BC AC BD 4,386226425 DC 6,593773585 AC AB AB AC a) IA AB AC 3, 458553792 BC b) ID A Bài Cho tam giác ABC có BC = 11,34; AC = 24,05; AB = 15,17 và phõn giỏc AD Tính độ dài BD và DC.Tia phân giác góc B cắt AD I Bài 8: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDE theo tỷ số đồng dạng k=1,3 Tính diện tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC là 112 cm2? S ABC 112 k 1,32 Giải: Ta có SCDE thay số vào ta SCDE → SCDE = 66,2722 cm2 Bài 9: Một tam giác vuông cân có cạnh a=12,122008 cm Được quay đỉnh góc vuông góc 30 Gọi diện tích phần chung hai tam giác đó là S a, Lập công thức tính S b, Tính S ( Với chữ số thập phân ) (3) a, Lập công thức tính diện tích chung HD: S a 2 Kẻ EH AB, AG BC , Đặt EH=x suy AH=a-x=x x a 2 a ; EG BG BE a x 2 2 1 S 2S AED 2 AG.EG a 2 b, S 39,3733 Bài 10:Cho tam giác ABC có ∠ =1200, AB = 4, AC = M là trung điểm BC Tính độ dài H A đoạn thẳng AM chính xác đến 0,0001 HD: Vẽ BH AC và MK AC Áp dụng định lí Pi ta go K cho tam giác vuông ABH: BH2 = AB2 - AH2 BH = cm AB AH M B AB 2 ∠ ∠ Do A=1200 nên HAB=600 và suy AH = Suy BH = AB 2 1 Do MK là đường trung bình tam giác BHC nên HK = HC = (AC + AH) = Suy AK = HK – AH = – = Lại có MK = BH = C nên AM2 =AK2 + MK2 =4 + =7AM = Tính AM 2,6458 Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A Đường phân giác gócA B cắt AC D Biết BD = 7, x D CD = 15 Tính độ dài đoạn thẳng AD H 15 y K y x x C E B Vẽ DE BC và lấy K đối xứng với D qua H là giao điểm AE và BD Do ABD = EBD (BD chung, ∠ ABD= ∠ EBD nên DA = DE, BA = BE Suy tứ giác AKED là hình thoi Đặt KE = ED = AD = AK = x, HD = HK = y Từ tam giác vuông EBD: ED2 = DH.DB hay x2 = 7y (1) EK BK x 2y Do EK //AC nên ta có: CD BD 15 (2)Từ (1) và (2) suy 30x2 + 49x – 735 = (3) K Giải phương trình (3) cho x = ; x = -5 (loại x > 0).Nên AD = 4.2 Bài 12:Cho tam giác ABC có ∠ A=1350, BC = 5, đường cao AH = Tính độ dài ycác cạnh AB A và AC (chính xác đến 0,0001) Vẽ CK AB ta có ∠ CAK=1800 -1350 = 450 y x B H C (4) nên tam giác CAK vuông cân K Đặt AB = x > 0, AK = CK = y > HBA x AH AB xy 5 y KC BC đồng dạng với KBC (gg) nên (1) Áp dụng pitago cho tam giác vuông BKC: BK2 + KC2 = BC2 (x + y)2 + y2 = 25 x2 + 2xy + 2y2 = 25 (2) 10 10 ; 5; Từ (1) và (2) tìm (x ;y) = (x ; y) = Từ đó suy AB = 2,2361; AC= 10 3,1623 AB= 10 3,1623; AC= 2,2361 Bài 13:Tam giác ABC nội tiếp đường tròn Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo là x + 750, 2x + 250, 3x – 220 Tính các góc tam giác ABC Các cung nhỏ AB, BC, CA tạo thành đường tròn, đó: 0 ∠ A x 25 59 30' (x + 750) + (2x + 250) + (3x – 220) = 3600 x = 470 Do đó suy ra: x 220 59030' C x 750 610 B 2 Bài 14 Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 2), B(3; 4), C (0; 5) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S 10, r S 1.2079 p AB 2 10; AC 10; BC 5 2; p 8.2790 Ta có d/tích ∆ABC là: abc abc S R 3.5355 (cm) 4R 4S Ta có công thức: Bài 15: Cho tam giác AHM vuông H Kẻ phân giác MN (N AH) Vẽ tia AE MN E.AE cắt MH B Biết AM = p ,AN = q a/ Tính S ABM ; S ABH theo p,q b/ áp dụng:p=10,05 cm ;q=4,12 cm.Tính S ABM ; S ABH HD: a/ Ta có: AME BME BAC và EA = EB ; MA = MB Ta có : AHB đồng dạng với AEN (g.g) AH AB AB AB AH AE AE AN AN 2q AB BH AB AB BH AE MA EA MA p Ta lại có : AHB đồng dạng với MEA (g.g) p 2q2 AB p q2 Xét tam giác ABH vuông H ta có: AB2 = AH2+BH2 (5) p2q 2q p p q S AH MB ABM 2 2 p q (ĐVDT) Vậy: AH = p q ; BH = p q Do đó: p q SABH AH BH 2 ( p q ) (ĐVDT) b/ Với p =10,05 cm ;q =4,12 cm thì ta có: Bài 15: Cho hình thang ABCD (AB < CD, AB //CD) E và F là trung điểm AD, BC Gọi giao điểm AD và BC là K , giao điểm AC và BD là O, giao điểm KO với CD là H, giao điểm KO với AB là I Cho biết EF = 12,1234 (cm), tính tổng các độ dài các đoạn thẳng K IA và DH (chính xác đến 0,0001) IA IB I Theo định lí Ta let: HD HC (1) B A Do tam giác IOA đồng dạng với O IA OI tam giác HOC nên: HC OH (2) Tam giác IOB đồng dạng với H D C IB OI IA IB HD OH HC HD (4) tam giác HOD nên: (3) Từ (2) và (3) suy HC HD Chia vế (1) và (4) : HD HC hay HC2 = HD2 HC = HD (5) Từ (1) và (5) suy IA = IB (6) Từ (5) và (6) và tính chất đường trung bình hình thang suy IA + DH = (AB + CD) = EF = 12,1234 3,1817 0 Bài 16: Cho hình thang ABCD có AB//CD; AB =3,767; CD = 7,668; Cˆ 29 15 ; Dˆ 60 45 Hãy tính các cạnh: AD, BC; Đường cao hình thang; Đường chéo hình thang Giải: Ta có: AH = BK; DH = cot60 45’.AH; KC = cot29015’.BK; Suy ra: DH + KC = DC – AB = AH(cot60045’ + cot29015’) DC AB 3,901 <=> AH = cot60 45’ cot29 15’ 2,34566 A B => AH = 1,663075 AH 1, 663075 1,90612 Khi đó: AD = sin 60 45 0,8725 ; BK 1, 663075 3, 403608 BC = sin 29 15 0, 48862 Ta có: KC = = 60045' D 29015' H K BC BK 2,96963 => HC = KC + HK = 2,96963 + 3,767 = 6,73663 AH HC 6,93888; DH AHA2 AH 0,93138 2 => DK = DH + HK = 4,69838 => BD = BK DK 4,98403 Vậy AD = 1,90612; BC = 3,403608; AH = BK = 1,663075; AC = 6,93888; BD = 4,98403 C Suy ra: AC (6) ˆ ˆ ˆ Bài 17.Cho hình thang ABCD cú A B 90 , D 60 , AB = 3cm, BC = 4cm Tính chu vi và diện tích hình thang ABCD B C 60 A D H Ta kẻ CH vuông góc với AD H Khi đó góc DCH = 300 Xột tam giỏc CHD đặt HD = a CD = 2a ( cạnh đối diện với góc 300).CH2 + HD2 = CD2 a2 = hay a = cm 32 + a2 = 4a2 Suy CD = cm và AD = 4+ cm Vậy chu vi C = + + +(4+ ) = 11+ 3 cm Diện tích S = (4+4+ ).3/2 = (8+ )3/2 cm2 Bài 18: Cho hình thang ABCD ( AB//CD) , AB 10, 2008 cm, CD 12, 2008 cm.Gọi M và N là hai MA điểm thuộc AD và BC cho MD và MN//CD.Tính MN (Với7chữ số thậpphân ) E A B M N D C F Qua M kẻ EF //BC suy MNCF là hbh suy MN=FC , DF=DC-FC=DC-MN Mặt khác EBNM là hbh suy EB=MN, EA=EB-AB=MN-AB Xét tam giác AME có DF//AE suy EA MA MN AB AB CD MN 3,3834879 DF MD CD MN 1 Bài 19:Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc Đáy nhỏ dài 13,724 (cm) Cạnh bên dài 21,867 (cm) Tính diện tích hình thang đó Giải A I C B Cách 1: D ¿ AB 2=AI2+IB2 2 ⇒ AB + DC =2 AD DC2=DI2 +IC2 } ¿ ⇒ DC = √ AD2 − AB AB+ CD AB+CD ×h= S= 2 ( S= ( AB+ √ AD2 − AB ) 2 ) (*) Với AB = 13,724; AD = 21,867 thay vào ( * ) KQ : S = 429,2461 (cm2) Cách Lời giải: Vì ABCD là hình thang cân → OA = OB = a; OC = OD = b Trong tam giác vuông AOB: 2a2 = 13,7242 → a2 = 13,7242 : a 13,7242 : (7) Trong tam giác vuông BOC: b 21,867 a 21,867 13,7242 : S d1d 2 Diện tích hình thang có đường chéo d1, d2 vuông góc là 1 S ( a b) S 2 Mà ABCD cân nên d1 = d2 = a+b → ; 13,7242 : 21,867 13,724 : Xây dựng quy trình bấm máy để có kq chính xác nhất: 13,7242 : → A ; A X; 21,867 A →B ; X+B→C C2 : = (Kết là 429,2460871) Bài 20 Hình thang ABCD ( AB// CD) có đường chéo BD hợp với tia BC góc DAB Biết AB = 12,5 cm, DC = 28,5 cm a) Tính độ dài x đường cheo BD ( tính chính xác đến hai chữ số thập phân) b) Tính tỉ số phần trăm diện tích Giải: 12,5 A ABD S ABD và diện tích BDC SBDC B x D a) 28,5 C Ta có ABD BDC ( so le trong) DAB DBC ( BD AB ABD BDC BD DC AB DC BD gt) S ABD BD k DC Ta có: SBDC b Bài 21 Cho hình bình hành ABCD có góc ổ đỉnh A là góc tù Kẻ hai đường cao AH và AK (AH BC; AK DC) Biết HAK 45 38' 25" và độ dài hai cạch hình bình hành AB = 29,1945 cm; AD=198,2001cm a) Tính AH và AK b.Tính tỉ số diện tích S ABCD hình bình hành ABCD và diện tích SHAK tam giác HAK c.Tính diện tích phần còn lại S hình bình hành khoét tam giác B A Giải Do B C 180 1800 HAK HAK C B 45038'25" 20,87302678cm AH AB.sin B 141, 7060061cm D AK AD.sin B 198, 2001.sin 45038' 25" b) S ABCD BC AH 198, 2001 AB.sin 45 38' 25" 4137, 035996cm K H 1 S HAK AH AK sin HAK AH AK sin 450 038' 25" 2 S AB AB.sin B ABCD 3,91256184 1 S HAK AD.sin B sin B AB.sin B AB AD sin B sin B 2 C (8) S S ABCD S HAK S ABCD sin B S ABCD sin B sin B S ab ABCD 1 sin B 2 c) Bài 22: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=20,345 cm và AD=15,567 cm Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật Kẻ AH vuông góc với DB; kéo dài AH cắt CD E 1)Tính OH và AE 2)Tính diện tích tứ giác OHEC Nhớ AB và A; AD vào B 1/Tính BD định lý Pitgago tìm OB và HB DH Đsố: DB=25,61738695 nhớ vào C AH=12,36311165 nhớ vào D DH=9,459649007 nhớ vào E HO=OD-DH=3,349044467 -Tính AE:AD2=AH.AE Nên AE=19,6011729 nhớ vào F AD ´ DC DH ´ HE SOHEC = SDOCD - SDDHE = ´ 2 2/ Diện tích OHEC: =44,9428943 Bài 23: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm đường chéo BD, F là điểm thuộc DA cho 3DF = DA Tìm tỉ số diện tích tam giác DFE và tứ giác ABEF A B E F 1D 1C BD Do DE = nên SDEA = SDBA Do DF = AD nên SDEF = SDEA SDEF 1 S Từ đó suy SDEF = SDBA Suy SABEF = SDBA Vậy ABEF Bài 24 Một miếng giấy hình chữ nhật có chiều dài 5cm Miếng giấy gấp lại cho hai đỉnh đối diện nó trùng Nếu chiều dài nếp gấp là cm thì chiều rộng hình chữ nhật là bao nhiêu ? (tính chính xác đến 0,0001) D F a A G 5-x C O a E x B Giả sử hình chữ nhật ABCD gấp cho nếp gấp dọc theo EF và A trùng C (xem hình vẽ) Gọi a là chiều rộng hình chữ nhật Đặt BE = x thì AE = EC = – x (vì AE trùng với CE gấp) Trong tam giác vuông BCE: a2 = (5 – x)2 – x2 = 25 – 10x (1) Vì EF là trung trực AC nên EF phải qua tâm O hình chữ nhật Theo tính chất đối xứng thì DF = BE = x Kẻ FG AB thì FG = a và GE = AE – AG = – x – x = – 2x Từ tam giác vuông EFG: a2 = – (5 – 2x)2 = 20x – 19 – 4x2 (2) (9) 11 Từ (1) và (2): 4x2 – 30x + 44 = x = hay x = Vậy a2 = 25 – 10x = 25 – 10.2 = a = 2,2361 (cm) 11 a2 = 25 – 10x = 25 – 10 = - 30 < (loại) (10)