Hinh hoc khong gian luyen thi dai hoc

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b Tính thể tích của kh[r]

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG A TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC I Đại cương đường thẳng và mặt phẳng * Các khái niệm Mặt phẳng Mặt phẳng là khái niệm toán học (được thừa nhận không định nghĩa) Ví dụ: trang giấy, mặt bảng đen, mặt bàn, gương phẳng,… Người ta thường biểu diễn mặt phẳng hình bình hành và dùng chữ cái đặt dấu ngoặc để đặt tên cho mặt phẳng Điểm thuộc mặt phẳng Với điểm A và mặt phẳng (P), có hai khả xảy ra: - Hoặc điểm A thuộc mặt phẳng (P) Kí hiệu: A  (P) - Hoặc điểm A không thuộc mặt phẳng (P) hay điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P) Kí hiệu: A (P) Hình biểu diễn hình không gian Hình lập phương, hình tứ diện,… là hình nằm không gian Để dễ hình dung, người ta tìm cách vẽ chúng thành hình phẳng, gọi là hình biểu diễn các hình không gian đó Các quy tắc vẽ hình không gian - Đường thẳng biểu diễn đường thẳng, đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng - Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) - Dùng nét liền để biểu diễn đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị khuất * Các tính chất thừa nhận Có và đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Có và và mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tồn bốn điểm không cùng nằm trên mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì chúng có đường thẳng chung chứa tất các điểm chung hai mặt phẳng đó - Trong mặt phẳng, các kết đã biết hình học phẳng đúng - * Điều kiện xác định mặt phẳng - Qua điểm không thẳng hàng Qua đường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng đó Qua hai đường thẳng cắt Bổ sung: Qua hai đường thằng song song * Hình chóp, hình tứ diện Hình chóp Cho đa giác A1A2…An và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó Nối S với các đỉnh A1, A2, …, An để n tam giác: SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2…An gọi là hình chóp và kí hiệu là S.A1A2…An Điểm S gọi là đỉnh hình chóp Đa giác A1A2…An gọi là mặt đáy hình chóp Các cạnh mặt đáy gọi là các cạnh đáy hình chóp Các đoạn thẳng SA1, SA2, …, SAn gọi là các cạnh bên hình chóp Mỗi tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 gọi là mặt bên hình chóp Hình tứ diện Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là hình tứ diện và kí hiệu là ABCD Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh tứ diện Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh tứ diện Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt tứ diện Đỉnh không nằm trên mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó Chú ý: Hình tứ diện có thể coi là trường hợp đặc biệt hình chóp II Hai đường thẳng song song * Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt - Chéo nhau: Hai đường thẳng gọi là chéo chúng không đồng phẳng - Song song: Hai đường thẳng gọi là song song chúng đồng phẳng và không có điểm chung - Cắt nhau: Hai đường thẳng gọi là cắt chúng không đồng phẳng và có điểm chung * Các tính chất - Trong không gian, qua điểm nằm ngoài đường thẳng, có và đường thẳng song song với đường thẳng đó - Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với * Định lý giao tuyển ba mặt phẳng Nếu ba mặt hẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đồng quy đôi song song * Hệ Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song thì giao tuyển chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trung với hai đường thẳng đó) III Đường thẳng song song với mặt phẳng * Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) Có ba trường hợp sau đây xảy ra: - Đường thẳng a nằm trên mặt phẳng (P) - Đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) điểm A - Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) * Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P) * Tính chất - Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọt mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì nó song song với đường thẳng nào đó mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó Nếu a và b là hai đường thẳng chéo thì có mặt phẳng chứa a và song song với b IV Hai mặt phẳng song song * Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (Q) Có thể xảy hai trường hợp sau: - (P) và (Q) cắt theo đường thẳng - (P) và (Q) song song với * Điều kiện để hai mặt phẳng song song - Định lý: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q) - Tính chất 1: Qua điểm nằm ngoài mặt phẳng, có và mặt phẳng song song với mặt phẳng đó - Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến chúng song song * Định lý Ta-lét không gian: Ba mặt phẳng đôi song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Nghĩa là: Nếu ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ A, B, C và A’, B’, C’ thì AB BC CA   A' B' B' C ' C ' A' Định lý Ta-lét đảo: Cho hai đường thẳng chéo a và a’ Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’ trên a’ cho AB BC CA   Khi đó, ba A' B' B' C ' C ' A' đường thẳng AA’, BB’, CC’ nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với mặt phẳng * Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt - Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song - Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành - Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1 A2 An và mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2, ,SAn A1’, A2’, , An’ Hình hợp thiết diện A1’ A2’… An’ và đáy A1 A2 …An hình chóp cùng với các tứ giác A1’A2’A2 A1, A2’A3’A3 A2,… An’A1’A1 An là hình chóp cụt, kí hiệu là A1’A2’…An’ A1A2…An Đáy hình chóp gọi là đáy lớn hình chóp cụt, còn thiết diện A1’A2’…An’ gọi là đáy nhỏ hình chóp cụt Các tứ giác A1’A2’A2 A1, A2’A3’A3 A2,… An’A1’A1 An là các mặt bên hình chóp cụt Các đoạn thẳng A1 A1’, A2 A2’,… gọi là các cạnh bên hình chóp cụt Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,…, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,… V Phép chiếu song song * Định nghĩa Trong không gian cho mp(P) và đường thẳng l cắt mp(P) Với điểm M không gian vẽ đường thẳng qua M và song song trùng với l cắt mp(P) điểm M’ nào đó Phép đặt tương ứng điểm M không gian với điểm M’ mặt phẳng (P) trên gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l * Tính chất - Hình chiếu song song đường thẳng là đường thẳng - Hình chiếu song song đoạn thẳng là đoạn thẳng, tia là tia - Hình chiếu song song hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song trùng - Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) * Hình biểu diễn hình không gian Hình biểu diễn hình (H) không gian là hình chiếu song song hình (H) trên mặt phẳng hình đồng dạng với hình chiếu đó Quy tắc: Nếu trên hình (H) có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng biểu diễn hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số hai đoạn thẳng này còn phải tỉ số hai đoạn thẳng tương ứng trên hình (H) B HỆ THỐNG BÀI TẬP I Đại cương đường thẳng và mặt phẳng Dạng 1: Bài tập giúp củng cố các khái niệm, tính chất Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? a) Có mặt phẳng qua ba điểm cho trước ; b) Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ; c) Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc mặt phẳng Đáp án : b, c (BT tương tự) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? a) Có mặt phẳng qua điểm và đường thẳng cho trước ; b) Có mặt phẳng qua điểm và đường thẳng chứa điểm đó ; c) Có mặt phẳng qua điểm và đường thẳng không chứa điểm đó Đáp án : c (BT tương tự) Hãy tìm mệnh đề đúng các mệnh đề sau đây : a) Có mặt phẳng qua hai đường thẳng cho trước ; b) Có mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt cho trước ; c) Có mặt phẳng qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng đó nằm trên hai mặt phẳng cắt Đáp án : b Cho hai đường thẳng a và b cắt Một đường thẳng c cắt a và b Có thể kết luận ba đường thẳng a, b, c cùng nằm mặt phẳng hay không? Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm mặt phẳng cho chúng đôi cắt Chứng minh chúng đồng quy 10 Chú ý: bài tập chính là gợi ý cho bài tập Thiết diện hình tứ diện có thể là tam giác, tứ giác ngũ giác hay không? (BT thực tế) Dựa vào kiến thức toán học, em hãy giải thích câu tục ngữ: “Dù nói ngả nói nghiêng Lòng ta vững kiềng ba chân” Vì các đồ vật có bốn chân bàn, ghế, … thường dễ bị cập kênh? (BT thực tế) Với cái thước thẳng, làm nào để phát mặt bàn có phẳng hay không? Nói rõ vào đâu mà ta làm Dạng 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng đó Khi đó đường thẳng qua hai điểm vừa tìm chính là giao tuyến chúng Dạng 3: Tìm giao tuyến đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải: Để tìm giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm sau: Cách Bước 1: Chọn mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d; Bước 2: Tìm giao tuyến  (P) và (Q); Bước 3: Trong mặt phẳng (Q), tìm giao điểm I d và ; Bước 4: Kết luận I chính là giao điểm d và (P) Cách Tìm giao điểm  với đường thẳng d thuộc (P) Khi đó, giao điểm d với  là giao điểm  và (P) 11 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt theo giao tuyến  Trên (P) cho đường thẳng a và trên (Q) cho đường thẳng b Chứng minh a và b cắt thì giao điểm phải nằm trên  Gợi ý: Gọi M  a  b thì M  (P) và M  (Q) nên M  ( P)  (Q) hay M  10.Cho hình bình hành ABCD nằm mặt phẳng (P) và điểm S nằm ngoài mp(P) Gọi M là điểm nằm S và A, N là điểm nằm S và B, giao điểm hai đường thẳng AC và BD là O a) Tìm giao điểm mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (CMN) Gợi ý: a) Trên mặt phẳng (SAC) giả sử SO  CM  {I } Ta có:  I  SO   I  CM  I  SO   I  (CMN )  SO  (CMN )  {I } b) Trên mp(SBD) giả sử NI  SB  {P}  P  NI   P  SD  P  (CMN )   P  ( SAD )  P  (SAD)  (CMN ) Mà M  (SAD)  (CMN ) nên ta có  MP  (SAD)  (CMN ) 12 11 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và CD trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD a) Gọi E là giao điểm đường thẳng MP và đường thẳng BD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (PMN) và (BCD) b) Tìm giao điểm mặt phẳng (PMN) và BC Gợi ý: a) Chứng minh E, N là hai điểm chung mặt phẳng (PMN) và (BCD) b) EN ∩ BC = Q Chứng minh Q là điểm cần tìm 12.(BT tương tự) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N là trung điểm AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP=2PD a) Tìm giao điểm đường thẳng CD với mp(MNP) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) 13 (BT tương tự) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N là trung điểm AD và BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) và (NDA) b) Cho I, J là hai điểm nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) và (IJD) 14 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, K theo thứ tự là hai điểm các tam giác ABC và BCD Giả sử đường thẳng IK cắt mặt phẳng (ACD) J Hãy xác định giao điểm J đó Gợi ý: Ta chọn mặt phẳng chứa IK và tìm giao tuyến mặt phẳng này với mp(ACD) thì giao điểm giao tuyến đó với IK chính là điểm J cần tìm 15.Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm tam giác ABD, N là điểm nằm tam giác ACD Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau: a) (AMN) và (BCD) b) (DMN) và (ABC) Gợi ý: a) Gọi E là giao AM, BD; F là giao AN và CD 13 EF là giao tuyến cần tìm a) Gọi P là giao DM và AB; Q là giao DN và AC PQ là giao tuyến cần tìm 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d qua A và không song song với các cạnh hình bình hành, d cắt đoạn BC E Gọi C' là điểm nằm trên cạnh SC a) Tìm giao điểm M CD và mặt phẳng (C'AE) b) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (C'AE) Gợi ý: a) Trong (ABCD) gọi M = AE ∩ DC ta có M ∈ AE, mà AE ⊂ ( C'AE) nên M ∈ ( C'AE) Mà M ∈ CD suy M = DC ∩ (C'AE) b) Chứng minh M ∈ (SDC); Trong (SDC) : MC' ∩ SD = F Chứng minh thiết diện là AEC'F 17 Cho tứ diện ABCD Gọi E là điểm đối xứng A qua điểm C Xác định thiết diện hình tứ diện cắt mặt phẳng qua B, E và điểm F các trường hợp sau đây: a) F nằm trên đoạn CD và không trùng với C và D b) F nằm tam giác ACD c) F nằm đoạn thẳng DD’ (D’ là trọng tâm tam giác ABC) Gợi ý: a) Trong mp(ACD), kéo dài EF cắt AD K Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác BFK b) Trong mp(ACD), kéo dài EF cắt AD và DC tịa K và J Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác BKJ 14 c) Gọi I là giao điểm BD’ và AC (I là trung điểm AC) Xét mp(BDI) ta có đường thẳng BF cắ DI điểm J Khi đó J là điểm chung hai mặt phẳng (BEF) và (DAC) Vậy (BEF) cắt (DAC) theo đường thằng (Ẹ) Đường thẳng này cắt AD và DC M và N Thiết diện là tam giác BMN 18 (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi Mặt phẳng (P) qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) 19 (BT tương tự) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B a) Xác định thiết diện hình tứ diện cắt mp(IJK) b) Tính diện tích thiết diện xác định câu a) Gợi ý: 15 a) Nối I và J cắt AC tại, nối I và K cắt AB M Tam giác IMN là thiết diện cần tìm b) Dựa vào tính chất trọng tâm tam giác, tính AN, AM, MN Dùng công thức cosin tam giác tính IM, IN Sử dụng công thức Herong tính diện tích tam giác IMN Dạng 4: Chứng minh ba điểm thắng hàng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó thuộc giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, có hai cách: Cách Chứng minh chúng là giao tuyến ba mặt phẳng phân biệt Cách Chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng còn lại 20.(BT tương tự) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P) Chứng minh ba đường thẳng AB, BC, CA cắt mp(P) thì các giao điểm đó thẳng hàng 21.Cho ba tia Ox, Oy, Oz Trên các tia Ox, Oy, Oz lấy các cặp điểm A và A’, B và B’, C và C’ cho BC cắt B’C’ M, CA cắt C’A’ N và AB cắt A’B’ I Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng Gợi ý: Trong bài toán này, ta cần xét trường hợp: 16  Trường hợp Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Dễ thấy M, N, I là ba điểm chung hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng đó Vậy M, N, I thẳng hàng  Trường hợp Ox, Oy, Oz đồng phẳng Qua O ta dựng đường thẳng  không nằm trên mp(P) Trên  lấy các điểm O1, O2 Gọi A1 là giao điểm O1A với O2A’, B1 là giao điểm O1B với O2B’ Dễ chứng minh A1 B1, A’B’, AB đồng quy I Tương tự, ta dựng điểm C1 là giao điểm O1C với O2C’ Hai tam giác A1B1C1 và ABC không nằm mặt phẳng, nên theo câu a) ta ba điểm M, N, I thẳng hàng 22 Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) M, N, P Chứng mình ba điểm M, N, Q thẳng hàng 17 23.(BT tương tự) Cho tứ diện SABC Trên SA, SB, SC lấy các điểm D, E, F cho DE cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng 24.(BT tương tự) Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) cắt theo giao tuyến d Trong ( ) lấy hai điểm A và B cho AB cắt d I O là điểm nằm ngoài ( ) và (  ) cho OA và OB cắt (  ) A’ và B’ a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng b) Trong ( ) lấy điểm C cho A, B, C không thẳng hàng Giả sử OC cắt (  ) C’, BC cắt B’C’ J, CA cắt C’A’ K Chứng minh I, J, K thẳng hàng 25.(BT tương tự) Cho tứ diện SABC có D, E là trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( ) qua AC cắt SE, SB M, N Một mặt phẳng (  ) qua BC cắt SD và SA P và Q a) Gọi I là giao điểm AM và DN, J là giao điểm BP và EQ Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng b) Giả sử K là giao điểm AN và DM, L là giao điểm BQ và EP Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng Dạng 5: Bài tập quỹ tích giao điểm, giao tuyến, điểm cố định 26 Cho tứ diện ABCD Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh AB, AC cho Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD, BD E và F a) Chứng minh đường thẳng EF luôn qua điểm cố định b) Tìm tập hợp giao điểm I ME và NF c) Tìm tập hợp giao điểm J MF và NE Gợi ý: 18 a) Gọi K là giao điểm MN và BC Ta có K cố định và K là điểm chung mp(P) với mp(BCD) Mặt khác mpP mpBCD  EF Vậy K EF, chứng tỏ EF luôn qua điểm K cố định b) Gọi I  ME  NF Ta có I MCD, I NBD  I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (MCD) và (NBD)  I OD Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng OD c) J là giao điểm MF và NE Từ đó dễ thấy J thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) Vậy J phải thuộc giao tuyến AD (ABD) và (ACD) Tương tự câu a, ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm đoạn AD 27.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm SC, M là điểm di động trên cạnh SA Mặt phẳng (P) di động luôn qua 19 C’M và song song với BC a) Chứng minh (P) luôn chứa đường thẳng cố định b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp S.ABCD Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành c) Tìm tập hợp giao điểm hai cạnh đối diện thiết diện M di động trên SA Gợi ý: a) Do (P) // BC, gọi B’= (P) ∩ SB, đó ta có B'C' // BC ⇒ B’ là trung điểm SB Vậy (P) luôn chứa đường thẳng B’C’ cố định a) Vì B'C' // BC, BC // AD ⇒ AD // (P) Trong mp(SAD) kẻ MD' // AD (D ∈ SD) Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác B’C’D’M Để B’C’D’M là hình bình hành thì ta phải có và Đã có B'C' // MD vì B'C' // BC // AD // MD Do B'C' = BC = AD ⇒ MD' = AD ⇒ M là trung điểm SA 20 c) Khi M ≡ A thì D ≡ D' Gọi I = AB' ∩ DC' = MB' ∩ D'C' Khi M ≡ S ⇒ D' ≡ S nên S = MB' ∩ D'C' Vậy tập hợp giao điểm hai cạnh đối diện thiết diện M di động trên cạnh SA là đường thẳng SI, trừ khoảng SI 28.(BT tương tự) Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD Lấy E,F là các điểm nằm trên các cạnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm mặt phẳng (ABC) b) Khi EF và BC cắt I, chứng minh I là điểm chung hai mặt phẳng (BCD) và (DEF) 29.(BT tương tự) C Cho hai điểm A, B cố định nằm ngoài mp(P) cho AB luôn cắt (P) M là điểm di động không gian cho MA ∩ (P) = A', MB ∩ (P) = B'.Chứng minh A’B’ luôn qua điểm cố định Xét mp(P) và (ABM) có: B ' = (P ) ∩ M B A '=( P )∩M A ⇒ A ' B ' = (P ) ∩ (AMB) Gọi I = AB ∩ (P) ⇒ I A'B' Mà AB và (P) cố định ⇒ I cố định Vậy A’B’ luôn qua điểm I cố định 30.Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là hai điểm di động trên các cạnh AD, BC cho luôn có a) Chứng minh IJ luôn song song với mặt phẳng cố định b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước 21 Gợi ý a) Chứng minh IJ song song với mặt phẳng qua AB và song song với CD b) Tập hợp điểm M là đoạn EF, với E, F là các điểm chia đoạn AB, CD theo tỉ số k 31.Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC, với SI>IA, SJ < JC Một mp(P) quay quanh IJ và cắt SB, SD M, N a) Chứng minh IJ, MN, SO đồng quy ( O = AC ∩ BD) Suy cách dựng điểm N biết M b) AD∩ BC = E; JN ∩ MJ = F CMR S, E, F thẳng hàng c) I N ∩ A D = P , M J ∩ B C = Q CMR: PQ luôn qua điểm cố định Gợi ý a) Gọi K = IJ ∩ SO Chứng minh IJ, MN, SO đồng quy Từ đó N là giao điểm MK với SD b) Vì S, E, F cùng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) c) Gọi H là giao điểm IJ và AC Chứng minh PQ luôn qua điểm H cố định 32.Cho hình chóp S.ABCD (AB không song song với CD) Điểm M di động trên SA, (CMN) ∩ SB=N Chứng minh MN qua điểm cố định Gợi ý: Xét (SAB) và (MCD) Gọi M = (SAB) ∩ (MCD) , N = (SA) ∩ (MCD) Vậy MN = (SAB) ∩ (MCD) II Hai đường thẳng song song Dạng 1: Bài tập giúp củng cố các khái niệm, tính chất 33.Tìm mệnh đề đúng các mệnh đề sau đây: a) Hai đường thẳng chéo thì không có điểm chung 22 b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo c) Hai đường thẳng không song song thì chéo d) Hai đường thẳng phân biệt không cắt và không song song thì chéo Đáp án: a, d 34 (BT tương tự) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Có thể tìm hai đường thẳng song song cùng cắt hai đường thẳng chéo cho trước b) Có thể tìm hai đường thẳng cắt cùng cắt hai đường thẳng chéo cho trước c) Không thể tìm hai đường thẳng song song hai đường thẳng cắt cùng cắt hai đường thẳng chéo cho trước Đáp án: c Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải:  Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, áp dụng các phương pháp chứng minh song song hình học phẳng - Tính chất đường trung bình - Định lý đảo định lý Ta- let - Tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song (Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị nhau, hai góc so le nhau, hai góc cùng phía bù - Quan hệ tính vuông góc và song song  Chứng minh đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ  Áp dụng định lý giao tuyến hai mặt phẳng 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB là đáy lớn) Cho M, N là trung điểm SA, SB a Chứng minh MN //CD b SC cắt AND K , AN cắt DC I Chứng minh SI // AB //CD 23 Gợi ý: a) Dễ thấy MN là đường trung bình hình thang Trong SAB ta có MN / / AB Mà AB / /CD (vì ABCD là hình thang) nên MN / /CD b) Gọi E là giao điểm AD và BC  K là giao điểm NE và SC Theo giả thiết I  AN  I SAB I  DK  I SDC Suy SI  SABSCD Mà AB  SABCD  SCD Theo định lý giao tuyến ba mặt phẳng thì SI//AB // CD 36.Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC Biết AD=a, BC=b Gọi I, J là trọng tâm các tam giác SAĐ và SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC M, N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SB P, Q a) Chứng minh MN song song với PQ b) Giả sử AM cắt BP E; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN và PQ Tính EF theo a, b 37.Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm AB, AC Mặt phẳng P qua MN và cắt BD, CD H, K a) Chứng minh MN / / HK 24 b) Xác định vị trí H, K để MNKH là hình bình hành Gợi ý a) Mặt phẳng P và BCD chứa hai đường thẳng song song Mà HK PBCD b) H, K là trung điểm CD, BD 38.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng a) Chứng minh CE / / DF b) Gọi M, N là hai điểm trên AC, AD cho hai điểm trên BF, AF cho c) Cho AM AN  và H, K là AC AD FH FK  Chứng minh MN//HK FB FA AM FH  và  Chứng minh NK//CE AC FB Gợi ý: a) Chứng minh CDFE là hình bình hành b) Chứng minh MN / /CD, HK / AB c) Chứng minh AN AK  AD AF 39.Cho điểm O ngoài mặt phẳng hình bình hành ABCD Gọi I là điểm bất kì trên OA Mặt phẳng BIC  cắt OD M a) Chứng minh IM song song với AD và BC b) IB và MC cắt N Chứng minh rẳng ON song song với AB và CD Gợi ý a) IM là giao tuyến hai mặt phẳng OAD và BIC  chứa hai đường thẳng song song AD và BC b) ON là giao tuyến hai mặt phẳng OAB và OCD chứa hai đường thẳng song song AB và CD 40.Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành b) Gọi R, S là trung điểm AC, BD Tứ giác QRNS là hình gì? c) Chứng tỏ ba đoạn MP, NQ, RS đồng quy trung điểm chúng 25 Gợi ý a) Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác b) Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác Suy QRNS là hình bình hành c) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP, NQ cắt trung điểm Hình bình hành QRNS có hai đường chéo NQ, RS cắt trung điểm đường 41.Cho hai đường thẳng d  và d ' cắt A Gọi O là điểm cố định ngoài mặt phẳng xác định bới d và d ' Từ O vẽ đường thẳng  song song với d Gọi M, N là hai điểm di động trên  và d'sao cho OM  AN Từ M vẽ đường thẳng d '' song song với OA cắt d H a) Chứng minh NH song song với đường thẳng cố định b) Gọi I, J là trung điểm MN và MH Chứng minh IJ song song với đường thẳng cố định c) Gọi K là trung điểm OA Chứng minh IK song song với đường thẳng cố định Hướng dẫn a) Chứng minh AOMH là hình bình hành  AHN là tam giác cân A Từ đó suy NH song song với phân giác ngoài cố định Ax góc tạo d và d ' b) Chứng minh IJ // NH kết hợp kết câu a, suy IJ song song với đường thẳng cố định Ax c) Gọi G là trung điểm NH Chứng minh AKIG là hình bình hành Từ   đó suy IK song song với phân giác cố định Ay góc d, d ' 42.Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P, Q là các điểm thuộc cạnh BC, SC, SD, AD cho MN // SB, NP //CD, MQ//CD a) Chứng minh PQ //SA b) Cho MN cắt PQ K Chứng minh SK // AD // BC Gợi ý a) Chứng minh SP  SN , BM  SN , BM  AQ  SP  AQ  PQ / /SA SD SC BC SC 26 BC AD SD AD b) Xét hai mặt phẳng SAD và SBC chứa hai đường thẳng song song AD, BC Áp dụng định lí giao tuyến ta có đpcm c) OD  3OG2  GS  4GO Dạng 3: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải: Tìm điểm chung hai mặt phẳng Sau đó áp dụng định lí giao tuyến để tìm phương giao tuyến Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng  Cho hình bình hành ABCD; gọi S là điểm cố định ngoài mặt phẳng ABCD a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng SAD và SBC b) Gọi M là điểm trên SC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng MAB và SCD Gợi ý a) Hai mặt phẳng SAD và SBC có chung điểm S và chứa hai đường thẳng song song AD và BC Vậy giao tuyến chúng là đường thẳng a qua S và song song với AD và BC b) Hai mặt phẳng MAB và SCD có điểm chung M và chứa hai 27 đường thẳng song song AB và CD Vậy giao tuyến chúng là đường thẳng b qua M và song song với AB và CD 44.Cho hình chóp có đáy S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D với AD  CD và AB  2CD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAB và SCD  b) Gọi E là trung điểm AB Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng SAD và (SCE); SDE và SBC Gợi ý  a) Hai mặt phẳng SAB và SCD có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song AB và CD Vậy giao tuyến chúng là đường thẳng a qua S và song song với AB và CD b) Ta có: AE  AB  CD và AE / /CD nên AECD là hình bình hành Mặt khác AD = CD và A  D  900 nên AECD là hình vuông Do đó AD / / EC và DE  AC (1) Hai mặt phẳng (SAD) và (SCE) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song AD và EC Vậy giao tuyến chúng là đường thẳng b qua S và song song với AD và EC Ta có AE  EB  CE  AD nên tam giác ABC vuông C  BC  AC (2) Từ (1) và (2) ta có DE / / BC 28 Hai mặt phửng (SDE) và (SBC) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song DE và BC Vậy giao tuyến chúng là đường thẳng c qua S và song song với DE và BC 45.Cho tứ diện ABCD có các cạnh và 6a Gọi I, J là trung điểm AC, BC Gọi K là điểm trên cạnh BD với KB  2KD a) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng IJK Chứng minh thiết diện là hình thang cân b) Tính diện tích thiết diện theo a Giải a) Trong tam giác ABC có IA  IC; JB  JC   IJ là đường trung bình của tam giác ABC   IJ // AB  Mặt phẳng IJK  và ABD có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song IJ và AB  giao tuyến mặt phẳng IJK  và ABD là đường thẳng Kx qua K, song song với IJ và AB Gọi H là giao điểm Kx và AD Khi đó (IJK ABC   IJ; IJK ABD   KH   (IJK BCD  JK; IJK ACD  IH  Vậy thiết diện tứ diện với mặt phẳng IJK là hình thang IJKH IJ // HK 29 Xét AIH và BJK có: AI  BJ; AH  BK; A  B ACD  BJK  IH  JK Vậy IJKH là hình thang cân b) Ta có: IJ  AB  3a HK KD 1    HK  AB  2a Trong ABD có: AB BD 3 Trong BJK có: BJ  3a; BK  4a JK  BJ  BK  2.BJ BK cos BKJ  (3a)  (4a)  2.3a.4a cos 60  13a Trong hình thang IJKH, hạ đường cao KP ta có: a 51  JK  HK  KP  JK  PJ  JK     2   2 2 a 51 5a 51  Vậy S IJKH  (3a  2a) 2 46.Cho tứ diện ABCD; gọi I là trung điểm BC; M là điểm trên cạnh DC; mặt phẳng  qua M và song song với BC và AI Tìm giao tuyến hai mặt phẳng a)  và BCD b)  và AID Gợi ý a) Giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với BC b) Giao tuyến là đường thẳng qua N và song song với AI (BT tương tự) Cho lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' ; gọi M là điểm trên cạnh A 'C ' Tìm giao tuyến hai mặt phẳng MABvà A' B 'C '  48.Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AB; AC lấy các điểm M; N cho AM AN  Tìm giao tuyến hai mặt phẳng DBCvà DMN AB AC Gợi ý Chứng minh MN// BC 30 III Đường thẳng song song với mặt phẳng Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải:  Ta chứng minh đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung  Ta chứng minh đường thẳng đó không nằm mặt phẳng và song song với đường thẳng nằm mặt phẳng 49 Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy điểm M cho MB = 2MC Chứng minh MG// (ACD) Gợi ý: Gọi I là trung điểm AD (h.2.12) Trong tam giác CBI, ta có nên MG//CI Mà CI nằm mặt phẳng (ACD) Suy MG// (ACD) 50 (BT tương tự) Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 là trọng tâm các tam giác ACD và BCD Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) 51 (BT tương tự) Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi O là giao điểm AC và BD, O′ là giao điểm AE và BF a) Chứng minh OO′ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE) 31 b) Gọi M và N là trọng tâm các tam giác ABD và ABE Chứng minh MN // (CEF) 52 (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm AB Lấy điểm M đoạn AD cho AD = 3AM a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI N Chứng minh NG // (SCD) c) Chứng minh MG // (SCD) 53 (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC Gọi O là giao điểm AC và BD, G là trọng tâm tam giác SCD a) Chứng minh OG // (SBC) b) Cho M là trung điểm SD Chứng minh CM // (SAB) c) Giả sử điểm I nằm đoạn SC cho Chứng minh SA // (BID) Dạng 2: Dựng thiết diện song song với đường thẳng Phương pháp giải: Ta có thể dùng định lí sau: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d′ thì d′ song song với d 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm AC và BD, M là trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD (α) qua M và đồng thời song song với SC và AD 32 Gợi ý Vì (α) song song với AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD (h.2.13) Tương tụ (α) song song với SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo các giao tuyến song song với SC Gọi O =AC ∩ BD, ta có SC // MO (đường trung bình tam giác SAC) Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD Q và P Qua M, kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD N Theo nhận xét trên,ta có MN // PQ và NP// SC Vậy thiết diện là hình thang MNPQ Dạng 3: Bài toán quỹ tích điểm, điểm cố định Cho tứ diện ABCD Qua điểm M nằm trên AC ta dựng mặt phẳng (α) song song với AB và CD Mặt phẳng này cắt các cạnh BC, BD và AD N, P và Q a Tứ giác MNPQ là hình gì? b Gọi O là giao điểm hai đường chéo tứ giác MNPQ Tìm tập hợp các điểm O M di động trên đoạn AC 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD M là điểm di động trên đoạn AB Một mặt phẳng (α) qua M và song song với SA và BC; (α) cắt SB, SC và CD N, P và Q a Tứ giác MNPQ là hình gì? b Gọi I là giao điểm MN và PQ Chứng minh I nằm trên đường thẳng cố định 55 33 IV Hai mặt phẳng song song Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song với Phương pháp giải:   Ta có thể chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt cùng song song với mặt phẳng 57 Cho hình bình hành ABCD Từ các đỉnh A, B, C và D kẻ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz và Dt song song với và không nằm mặt phẳng (ABCD) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt) Gợi ý Ta có Cz//By nên Cz //(Ax, By) Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên CD//AB nên CD // (Ax, By) Mặt phẳng (Cz, Dt) chứa hai đường thẳng cắt Cz, CD cùng song song với (Ax, By) nên (Cz, Dt) // (Ax, By) 58 Từ bốn đỉnh hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên A', B', C' và D'.Chứng minh a) (Ax, By) // (Cz, Dt) và (Ax, Dt) // (By, Cĩ) b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ? 34 c) Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD' 59 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên các đường chéo AC và BF lấy các điểm M và N cho AM = BN Các đường thảng song song với AB vẽ từ M và N cắt AD và AF M' và N' Chứng minh: a) (ADF) // (BCE) b) M'N' // DF c) (DEF) // (MM'N'N) và MN // (DEF) Cho tứ diện ABCD Gọi G2, G3 là trọng tâm các tam giác ABC ACD, ABD Chứng minh ( ) // (BCD) Dạng 2: Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (α) với hình chóp cho biết (α) song song với mặt phẳng xác định nào đó Phương pháp giải: Áp dụng: (α) song song với mặt phẳng ( 𝜷 ) nào đó thì (α) song song với tất dường thẳng nằm ( 𝜷 ) Để xác định giao tuyến ( α) với các mặt hình chóp, ta làm sau : - Tìm đường thẳng d nằm ( 𝜷 ) Vì ( α) // d nên ( α) cắt mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d - 60 Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD cóAD//BC, AD=2BC Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm AC và BE I là điểm di động trên cạnh AC khác với A và C Qua I, ta vẽ mặt phẳng (α) song song vói (SBE).Tìm thiết diện tạo (α) và hình chóp S.ABCD Gợi ý: 35 Ta thấy tứ giác BEDC là hình bình hành vì: ED // BC,ED = BC= AD (h.2.17) Trường hợp 1.1 thuộc đoạn AO và I khác O Gọi vị trí này là (α) // BE và (α) // SO α // BE nên (α) cắt (ABE) theo giao tuyến • ( ) 𝜖 AB, ( • ( qua , (α) // (SBE) nên và // BE 𝜖 AE) (α) // SO nên (α) cắt (SAC) theo giao tuyến qua và song song với SO 𝜖 SA ) Ta có thiết diện là tam giác Trường hợp I thuộc đoạn OC và I khác O Gọi vị trí này là (α) // BE và (α) // SO (α) // BE nên (α) cắt (BEDC) theo giao tuyến (M2 𝜖 BC, N2 𝜖 ED) • • qua (α) // SO nên (α) cắt (SOC) theo giao tuyến Q 36 , (α) // (SBE) nên di qua và // BE và song song với SO (Q 𝜖 SC) Do (α) // CD (vì CD // BE) nên (α) cắt hai mặt phẳng (BEDC) và (SDC) theo hâi giao tuyến > PQ cùng song song với CD (P 𝜖 SD) Ta có thiết diện là hình thang PQ Trường hợp 3: I ≡ O Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE Khi đó, (SBE) = (α) (loại) 61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD dều Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = X (0 < X < a) Lấy (α) là mặt phẳng qua I và song song với mặt phẳng (SBD) a) Xác định thiết diện mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD b) Tim diện tích S thiết diện câu a) theo a,b, X.Tìm X để S lớn c) Dạng 3: Bài tập hình lăng trụ 62 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC' Gọi I và I' tương ứng là trung điểm hai cạnh BC và B’C' a) Chứng minh AI // A' I' b) Tim giao điểm IA' với mặt phẳng (AB'C) c) Tìm giao tuyến (AB'C) và (A'BC) 63 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi H là trung điểm A'B' a) Chứng minh CB'//(AHC) b) Tim giao tuyến d (AB'C') và (ABC) Dạng 4: Bài toán tập hợp điểm, mặt phẳng cố định 64 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng Gọi M và N là hai điểm di động tương ứng trên AD và BE cho AM BN  Chứng minh đường thẳng MN luôn luôn song song với BN NE mặt phẳng cố định Hãy mặt phẳng cố định đó 65 Cho ba mặt phẳng (α), (𝛽), (𝛾) song song với Hai đường thẳng a và a' cắt ba mặt phẳng theo thứ tự nói trên A, B, C và A', B, C' Cho AB = 5, 37 BC = 4, A'C’ = 18 Tính độ dài A'B, B'C' 66 Cho tứ diện ABCD Gọi / và J là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC cho IA JB Chứng minh IJ luôn song song với mặt  IB JC phẳng cố định 67 Cho hai tia Ax, By chéo Lấy M, N là các điểm di động trên Ax, By Gọi (α) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax Đường thẳng qua M và song song với AB cắt (α) M' a) Tìm tập hợp điểm M' b) Gọi I là trung điểm MN Tìm tập hợp các điểm I AM = BN V Phép chiếu song song Dạng 1: Vẽ hình chiếu hình không gian lên mặt phẳng theo phương chiếu cho trước Phương pháp giải: Gọi M là điểm bất kì H Dựng ảnh M ' M phép chiếu song song Tìm tập hợp H ' các điểm M’ 68 Gọi S là điểm ngoài mặt phẳng P chứa tam giác ABC G là trọng tâm tam giác SAB b) Tìm ảnh G phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương SC c) Gọi M, N, E là trung điểm SA, SB, SC Tìm ảnh MN và tam giác MNE phép chiếu song song câu a d) Tìm ảnh tam giác MNE phép chiếu song song trên P theo phương trung tuyến SI tam giác SAB Gợi ý 38 a) Gọi SI là trung tuyến tam giác SAB Từ G trên SI vẽ đường thẳng song song với SC cắt CI G’ Ta có IG '  IG IC IS Do đó G’ là trọng tâm tam giác ABC Vạy ảnh G phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương SC là trọng tâm G’ tam giác ABC b) Từ M và N vẽ các đường thẳng song song với SC cắt AC và BC M ' và N' AM  AM BN  BN     Ta có: AC AS BC BS Do đó M ' và N ' là trung điểm AC và BC Vậy ảnh MN phép chiếu song song trên P theo phương SC là đoạn M 'N ' nối trung điểm AC và BC Trong phép chiếu trên, E có ảnh trên P là C Vậy ảnh tam giác MNE phép chiếu song song trên (P) theo phương SC là tam giác M’N’C c) Từ M, N, E vẽ các đường song song với SI cắt AB H, K và cắt CI F AH AM BK BN CF CE       Ta có: AI AS BI BS CI CS Do đó H, K, F là trung điểm các đoạn thẳng AI, BI ,CI Vậy ảnh tam giác MNE phép chiếu song song trên P theo phương SI là tam giác HKF 69 Cho tứ diện ABCD Hình chiếu song song theo phương d ABCD lên 39 mặt phẳng Plà tứ giác lồi A ' B ' C ' D ' a Chứng minh hai mặt phẳng tia chiếu AC và BD cắt theo đường thẳng  song song với d b Gọi I và J là trung điểm AC và BD Cho phương d // IJ và P cắt IJ Chứng minh A ' B ' C ' D ' là hình bình hành Gợi ý a) Gọi O là giao điểm A'C' và B'D' Hai mặt phẳng tia chiếu A'CC'A' và BDD'B' chứa O song song với phương d  Vậy giao tuyến d ' chúng qua O và song song với d b) Khi d  song song với IJ và P cắt IJ , ta có hình chiếu song song theo phương d  hay phương IJ I và J trên P là điểm O Vì I và J là trung điểm AC và BD nên O là trung điểm A ' C ' và B ' D ' c) A ' B ' C ' D ' là hình bình hành 70 Vẽ hình chiếu tứ diện ABCD lên mặt phẳng P theo phương chiếu AB (AB không song song với mặt phẳng P) Gợi ý : Hình chiếu tứ diện ABCD lên mặt phẳng P theo phương chiếu AB là tam giác A 'C 'D ' đó AB P   A '  B '; C', D ' là giao điểm P với các đường thẳng qua C, D và song song với AB 40 71 Vẽ hình chiếu hình hộp ABCD A1 B 1C1 D1 lên mặt phẳng P theo phương chiếu AC1 (AC1 không song song với mặt phẳng P Gợi ý : Chọn mặt phẳng chiếu P qua C1 và không chứa A - Hình chiếu đoạn B1D là đoạn thẳng B'D' nhận C1 làm trung điểm - Hình chiếu đoạn CA1 là đoạn thẳng C'A' nhận C1 làm trung điểm - Hình chiếu đoạn BD1là đoạn thẳng B''D'' nhận C1 làm trung điểm 72 Vẽ hình biểu diễn tam giác vuông nội tiếp đường tròn Từ đó vẽ hình biểu diễn hình vuông nội tiếp đường tròn Gợi ý : Vẽ elip tâm O là hình biểu diễn đường tròn trên Khi đó tam giác ABC là hình biểu diễn tam giác vuông nội tiếp đường tròn Trong đó, B, C thuộc elip cho O, B , C thẳng hàng, A thuộc elip cho AB,C Qua A kẻ dây ME và NF elip cho ME // AC, NF // AB Khi đó tứ giác MNEF là hình biểu diễn hình vuông nội tiếp đường tròn 73 Cho hình bình hành ABCD mặt phẳng P Gọi E là điểm ngoài mặt phẳng (P) a) Tìm ảnh trọng tâm G tam giác EAB phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương EC b) Tìm trọng tâm G tam giác EAB phép chiếu song song trên mặt phẳng EDC theo phương BC c) Gọi M, N, H, K là trung điểm EA, EB, EC, ED Tìm ảnh đa giác MNHK phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương EC d) Tìm ảnh đa giác MNHK phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương SI với I là trung điểm AB Gợi ý a) G ' là trọng tâm tam giác ABC b) G1' là trọng tâm tam giác ECD c) M 'N 'C 'K ' với M ', N ', K ' là trung điểm AC , BC , CD d) JLRS với J, L, R, S là trung điểm IA, IB, IC, ID 41 74 Cho hai đường thẳng chéo d và  cắt mặt phẳng P A và B a) Tìm ảnh '  phép chiếu song song trên P theo phương d b) Tìm ảnh d ' d  phép chiếu song song trên P theo phương  c) Chứng minh '//d ' Gợi ý a) ' là giao tuyến mặt phẳng P và mặt phẳng Q b) d ' là giao tuyến mặt phẳng P và mặt phẳng R c) Chứng minh QR 75 Cho đường tròn C  tâm O nằm mặt phẳng P) a) Tìm ảnh (C’) (C) phép chiếu song song trên mặt phẳng (Q)//(P) theo phương d cắt (Q) b) Mặt phẳng (R) cắt (P) theo giao tuyến (Từ O vẽ OH vuông góc với , R vẽ đường vuông góc với  H và trên đường này lấy đoạn HO '  OH Tìm ảnh C'' C  phép chiếu song song trên mặt phẳng R theo phương OO' Gợi ý a) Vẽ OI d  cắt Q I C ' là đường tròn tâm I C b) C''là đường tròn tâm O ' C Dạng 2: Một số bài toán nâng cao 76 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' a) Hãy xác định đường thẳng d cắt hai đường thẳng AC ' và BA' đồng thời song song với B’D’ b) Gọi I, J là giao điểm  với AI AC ' và BA' Tính tỉ số AC ' Hướng dẫn a) Giả sử ta đã xác định đường thẳng d cắt hai đường thẳng AC ' và BA' I, J 42 Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABB’A’) theo phương chiếu D’B’ Khi đó hình chiếu ba điểm thẳng hàng A, I , C ' là ba điểm thẳng hàng A, J, K Mặt khác, J  BA' nên J chính là giao điểm AK và BA' Vậy ta có cách dựng đường thẳng d theo các bước sau đây: - Dựng điểm K là hình chiếu C ' (Theo phương chiếu D ' B ') - Lấy giao điểm J AK và BA' - Qua J dựng đường thẳng d / / C ' K (đã có C ' K / / B ' D' ) ta đường thẳng d cần tìm b) Ta có A'B '  B'K  A'K  2AB (do A 'B '  AB) Vì AB // A’K  Mà IJ // C’K  AJ AB   JK A' K AI AJ AI     IC ' JK AC ' 77 Cho hình bình hành ABCD tâm O ngoài mặt phẳng P và có BC // P Gọi A'B'C'D' là hình chiếu song song trên Pcủa ABCD theo phương  cắt P a) A'B'C'D' là hình gì? b) Cho biết phương  thay đổi và A'B'C’D' là hình thoi Tìm tập hợp các ảnh O' O phép chiếu trên c) Suy cách xác định phương  để A'B'C'D'là hình thoi Hướng dẫn a) O là trung điểm hai đường chéo AC và BD  hình chiếu O ' là trung điểm A ' C ' và B ' D '  A ' B ' C ' D' là hình bình hành b) Gọi E  AC  A 'C '; F  BD B 'D ' E, F  d là giao tuyến (P) và (ABCD) 43 78 Cho hai tia Ax và By chéo không gian Hai điểm M và N thay đổi trên Ax, By cho a b   với a, b là các số thực dương cho AM AN trước Chứng minh đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng cố định 79  Cho hai đường thẳng d và  chéo a) Chứng minh có hai mặt phẳng cố định P và Q song song chứa dvà ( b) Gọi d 'và ' là hình chiếu song song trên mặt phẳng R d và  theo phương d  Hãy chọn phương chiếu d  và R cho d ' // ' Hướng dẫn a) Dùng tính chất mặt phẳng song song b) d song song với P hay Q và không song song với dvà  R phải cắt P và Q 44 CHƯƠNG 2: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN TÓM TẮT LÍ THUYẾT Vectơ không gian: - Quy tắc điểm: −→ −−→ −→ AB+BC=AC - Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có : −→ −−→ −→ AB+AD=AC - Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 , ta có : −→ −−→ −−→0 −−→0 AB+AD+AA =AC → − − − - Điều kiện đồng phẳng vectơ không gian: → a , b ,→ c đồng phẳng ⇔ ∃ → − → − → − số (m, n) thỏa mãn: a =m b +n c Góc đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc: - Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a và b không gian là góc hai đường thẳng a0 và b0 cùng qua điểm O bất kì, song song với a và b - Chú ý: Với α là góc hai đường thẳng a và b thì ta luôn có α ≤ 90o Nếu ~u và ~v là vectơ phương hai đường thẳng a và b, (~u, ~v ) = α thì góc hai đường thẳng a và b α α ≤ 90o và 180o − α α > 90o - Hai đường thẳng gọi là vuông góc với góc chúng 90o Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: - Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nó vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng đó a ⊥ (α) ⇔ a ⊥ b; ∀b ⊂ (α) 45 - Định lý 1: Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt cùng thuộc mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng - Định lý 2: Nếu đường thẳng và mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với đường thẳng khác thì chúng song song với - Định lý (Định lý đường vuông góc): Cho đường thẳng b nằm mặt phẳng (α) Gọi a là đường thẳng không thuộc α đồng thời không vuông góc với α và a0 là hình chiếu vuông góc a trên (α) Khi đó b vuông góc với a và b vuông góc với a0 - Góc hai mặt phẳng: Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng (α) O và a không vuông góc với (α) Góc đường thẳng a và mặt phẳng (α) là góc tạo đường thẳng a và hình chiếu a0 a trên (α) 46 - Khi d vuông góc với (α) ta nói góc d và (α) 90o Hai mặt phẳng vuông góc: - Góc hai mặt phẳng: Cho (α) ∩ (β) = ∆ Gọi A là điểm tùy ý thuộc giao tuyến ∆ Tia Ax nằm mặt phẳng (α) và vuông góc với giao tuyến ∆ A Tia Ay nằm mặt phẳng (β) và vuông góc với giao tuyến ∆ A d Khi đó góc (α) với (β) là xAy - Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc chúng 90o - Định lý (Tiêu chuẩn vuông góc): Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc 47 với là mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với thì đường thằng a nào nằm (α), vuông góc với giao tuyến (α) và (β) vuông góc với mặt phẳng (β) - Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó - Định lý 4: Gọi S là diện tích đa giác H mặt phẳng (P ) và S là diện tích hình chiếu H H trên mặt phẳng (P ) Khi đó ta có công thức: S = S cos ψ Trong đó ψ là góc hai mặt phẳng (P ) và (P ) Khoảng cách: 48 - Định nghĩa1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ), kí hiệu là d(M, (P )) (hoặc đến đường thẳng d, kí hiệu là d(M, d)) là khoảng cách hai điểm M và H, với H là hình chiếu điểm M trên mặt phẳng (P ) (hoặc trên d) - Định nghĩa2: Cho hai đường thẳng chéo a và b Đường vuông góc chung chúng cắt a A, cắt b B Ta nói khoảng cách hai đường thẳng a và b là khoảng cách A và B Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng BÀI TẬP Vectơ không gian: Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ, ba vectơ đồng phẳng Ví dụ 1.Cho tứ diện ABCD, Gọi M và N là trung điểm AB và CD, G là trọng tâm tứ diện Chứng minh rằng: −−→ −−→ −−→ −→ −−→ a) M N = (AD + BC) = (AC + BD) 2 −→ −−→ −→ −−→ → − b) GA + GB + GC + GD = −→ −−→ −→ −−→ −→ c) ∀O, ta có: OA + OB + OC + OD = 4OG Lời giải: 49 a) Ta có: Hay −−→ −−→ −−→ M N = M G + GN −→ −−→ −→ −−→ = − (GA + GB) + (GC + GD) 2 −−→ −→ −→ −−→ = (GD − GA) + (GC − GB) 2 −−→ −−→ = AD + BC 2 −−→ −→ −−→ −−→ −−→ M N = (AC + CD) + (BD + DC) 2 −→ −−→ = (AC + BD) b) Ta có: −−→ −→ −−→ GA + GB = 2GM −→ −−→ −−→ GC + GD = 2GN −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ → − ⇒ GA + GB + GC + GD = 2(GM + GN ) = c) Ta có: −→ −−→ −→ −−→ → − GA + GB + GC + GD = −→ −−→ −→ −−→ −→ → − ⇒ OA + OB + OC + OD + 4GO = −→ −−→ −→ −−→ −→ ⇒ OA + OB + OC + OD = 4OG Ví dụ 2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD Chứng minh SA2 + SC = SB + SD2 Lời giải: 50 Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD −→ −−→ −→ −−→ Ta có: |OA| = |OB| = |OC| = |OD| −→2 −→ −→ −→ −→ −→ −→ SA = (SO + OA)2 = SO2 + OA2 + 2SO.OA −→2 −→ −→ −→ −→ −→ −→ SC = (SO + OC)2 = SO2 + OC + 2SO.OC −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ ⇒ SA2 + SC = 2SO2 + OA2 + OC + 2SO.(OA + OC) −→ −→ → −→ −→ −→ −→ −→ − Mà OA + OC = nên ⇒ SA2 + SC = 2SO2 + OA2 + OC −→ −→ −→ −−→ −−→ Tương tự ta có: ⇒ SB + SD2 = 2SO2 + OB + OD2 Từ đó suy ra: SA2 + SC = SB + SD2 m CA = Ví dụ 3.Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C cho CB n −→ n −→ m −→ Chứng minh với điểm S bất kì ta luôn có: SC = SA + SB m+n m+n Lời giải: CA m = CB n AC m Ta suy = AC + CB m+n −→ m m −→ ⇒ AC = (AC + CB) ⇒ AC = AB m+n m+n −→ −→ −→ −→ −→ −→ Vì ta có AC = SC − SA và AB = SB − SA nên: Theo giả thiết ta có: −→ −→ SC − SA = −→ −→ m −→ m −→ m −→ −→ (SB − SA) ⇒ SC = SA − SA + SB m+n m+n m+n −→ ⇒ SC = n −→ m −→ SA + SB m+n m+n 51 Ví dụ 4.Cho tứ diện ABCD, trên AD và BC lấy hai điểm M và N −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ cho: AM = 2M D, BN = 2N C Chứng minh rằng: AB, DC, M N đồng phẳng Lời giải: −−→ −−→ −→ −−→ Ta có: M N = M A + AB + BN (1) −−→ −−→ −−→ −−→ (2) Mặt khác: M N = M D + DC + CN Lấy 2.(2) + (1) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ ⇒ 3M N = (2M D + M A) + (2CN + BN ) + (2DC + AB) −−→ −→ −−→ ⇒ 3M N = 2DC + AB −−→ −−→ −→ ⇒ M N = DC + AB −−→ −→ −−→ Vậy AB, DC, M N đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng (α) cắt các tia SA, SB, SC, SG A0 , B , C , G0 Chứng minh rằng: SG SA SB SC = + + 0 SG SA SB SC Ví dụ Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA −−→ −−→ −−→ −−→ lấy điểm M cho M S = −2M A và trên đoạn BC lấy điểm N cho N B = − N C −→ −−→ −→ Chứng minh ba vectơ AB, M N , SC đồng phẳng −−→ −→ −→ HD: Chứng minh M N = AB + SC 3 Ví dụ Cho hình hộp ABCD.EF GH Gọi M, N, I, J, K, L là trung điểm các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, F G; P và Q làtrung điểm N G và JH 52 −−→ −−→ −→ a) Chứng minh ba vectơ M N , F H, P Q đồng phẳng − → −→ −−→ b) Chứng minh ba vectơ IL, JK, AH đồng phẳng HD: −−→ −−→ −→ a) M N , F H, P Qcó giá cùng song song với (ABCD) − → −→ −−→ b) IL, JK, AHcógiácùng song song với (BDG) Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K là trung điểm AE, EC, CD, BC, BE −→ −→ −−→ a) Chứng minh ba vectơ AJ, GI, HK đồng phẳng CN FM = = Các FA CE đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF cắt DF và EF P và −−→ −→ −→ Q Chứng minh ba vectơ M N , P Q, CF đồng phẳng b) Gọi M, N là hai điểm trên AF và CE cho Dạng 2: Ứng dụng tích vô hướng: Ví dụ 1.Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P ) Tìm M ∈ (P ) cho: A = −−→ −−→ −−→ −−→ 4|M A + M B + M C + M D| đạt giá trị nhỏ Lời giải: Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇒ M A + M B + M C + M D = 4M G −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇒ 4(M A + M B + M C + M D) = 16M G −−→ ⇒ A = 16|M G| −−→ Như vậy, A đạt giá trị nhỏ ⇔ |M G| đạt giá trị nhỏ ⇔ M là hình chiếu G trên (P ) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ a) Xác định góc các cặp vectơ: AB và A0 C , AB và A0 D0 , AC và BD −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ b) Tính các tích vô hướng các cặp vectơ: AB và A0 C , AB và A0 D0 , AC và BD Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD, đó AB ⊥ BD Gọi P và Q là các điểm lần −→ −−→ −→ −−→ lượt thuộc các đường thẳng AB và CD cho P A = k P B, QC = k QD(k 6= 1) Chứng −→ −→ minh AB ⊥ P Q Hai đường thẳng vuông góc: Dạng 1: Tính góc hai đường thẳng Phương pháp: 53 , b0 ) đó a0 , b0 là hai đường thẳng cắt và song song [ \ Cách 1: (a, b) = (a với a và b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt và song song với a và b , b0 ) đó b0 là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song với b [ \ Cách 2: (a, b) = (a Tức là chọn trên a (hoặc b) điểm A từ đó chọn đường thẳng qua A và song song với b (hoặc a) Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi I, J, H, K là trung điểm BC, AC, AD và BD Tính góc AB và CD các trường hợp sau: √ a) IJHK là hình thoi có đường chéo IH = 3IJ b) IJHK là hình chữ nhật Lời giải: Ta có: \ \ IJ//AB, IK//CD ⇒ (AB, CD) = (IJ, IK) √ a) Xét ∆IJH, có: IJ = JH, IH = 3IJ [ = 120o ⇒ IJH [ = 60o ⇒ JIK \ ⇒ (AB, CD) = 60o b) IJHK là hình chữ nhật [ = 90o ⇒ JIK \ ⇒ (AB, CD) = 90o 54 Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi M và N là trung điểm BC và AD √ a Tính góc AB và CD, biết AB = CD = a và M N = Lời giải: Gọi P là trung điểm BD ⇒ P N//AB và P M//CD \ ⇒ (AB, CD) = (P \ N, P M ) Ta có: a P N = AB = 2 a P M = CD = 2 √ a MN = P N2 + P M2 − MN2 \ Áp dụng định lý hàm số cos ⇒ cos M PN = = 120o 2P N.P M ⇒ (P \ N, P M ) = 180o − 120o = 60o \ Vậy (AB, CD) = 60o Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình √ thang vuông A và 2a D, AB = 2a, AD = DC = a, SA vuông góc với đáy và SA = Tính góc giữa: a) SB và DC b) SD và BC 55 Lời giải: a) Ta có: \ \ CD//AB ⇒ (SB, CD) = (SB, AB) √ [ = SA = Mà ∆SAB vuông A ⇒ tan SBA AB o [ ⇒ SBA = 30 \ ⇒ (SB, CD) = 30o b) Gọi I là trung điểm AB ⇒ Tứ giác AICD là hình vuông cạnh a và DI//BC \ \ ⇒ (SD, BC) = (SD, DI) Ta có: 2 [ = SD + DI − SI cos SDI 2SD.DI Mặt khác: √ DI = a r √ √ a 21 SI = SA2 + AI = a2 + a2 = 3√ r √ a 21 SD = SA2 + AD2 = a2 + a2 = 3 √ [ = 42 = cos α ⇒ cos SDI 14 \ [=α Do α < 90o nên (SD, DI) =√SDI 42 \ ) Vậy (SD, BC) = α(cos α = 14 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi M là trung điểm SD Tính góc giữa: 56 a) SB và CD b) SB và AM Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Ví dụ Cho tứ diện ABCD, đó AB ⊥ AC, AB ⊥ BD Gọi P, Q là trung điểm AB và CD Chứng minh rằng: AB ⊥ P Q Lời giải: Ta có: −→ −−→ −−→ −−→ P Q = P B + BD + DQ −→ −−→ −−→ = AB + BD + DC 2 −→ −−→ −−→ −→ = AB + BD + DA + AC 2 −−→ −−→ −→ = DB + BD + AC 2 −−→ −→ = BD + AC 2 Mặt khác: AB ⊥ AC và AB ⊥ BD nên ta có: −→ −→ → − −→ −−→ → − AB.AC = , AB.BD = Từ đó suy ra: −→ −→ → − AB.P Q = 57 Vậy AB ⊥ P Q [ = AOC [ = Ví dụ Cho tứ diện OABC, có: OA = OB = OC = a, AOB o \ = 90 Gọi I và J là trung điểm OA và BC Chứng minnh rằng: 60 , BOC o a) ∆ABC vuông b) OA ⊥ BC c) IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC Lời giải: a) Ta có: ∆OAC là tam giác cạnh a ⇒ AC = a ∆OAB là tam giác cạnh a ⇒ AB = a √ ∆OBC là tam giác vuông cân A ⇒ BC = a ⇒ AB + AC = a2 + a2 = 2a2 = BC ⇒ ∆ABC vuông A b) Ta có: −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ OA.BC = OA.(OC − OB) = OA.OC − OA.OB Mà: −→ −→ −→ −→ −→ −→ OA.OC = |OA|.|OC| cos(OA, OC) = a.a cos 60o = a2 −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ OA.OB = |OA|.|OB| cos(OA, OB) = a.a cos 60o = a2 −→ −−→ → − ⇒ OA.BC = Vậy OA ⊥ BC 58 c) Ta có: OJ = AJ(= BC) ⇒ ∆OJA cân J Mà IJ là trung tuyến cạnh OA ⇒ OA ⊥ IJ Chứng minh tương tự, ta có BC ⊥ IJ VậyIJ là đoạn vuông góc chung OA và BC Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 , gọi M, N, P là trung điểm BB , B C , A0 D0 a) Tính góc hai đường thẳng M N và AC, AC và BD b) Chứng minh rằng: CM ⊥ AP Lời giải: a) Ta có: , AC) \ AD0 //M N ⇒ (M\ N, AC) = (AD Mà: √ AC = AD0 = D0 C(= a 2) ⇒ ∆AD0 C là tam giác AC) = 60o ⇒ (M\ \ ⇒ (D N, AC) = 60o −−→ −−→ −→ −−→ −−→ Ta có: AC BD = (AC + AA0 ).BD Mà: BD ⊥ AC và AB ⊥ AA0 nên ta có: −−→ −→ → − −−→ −−→ → − BD.AC = , AA0 BD = 59 Từ đó suy ra: −−→0 −−→ → − AC BD = 0 , BD) = 90o \ ⇒ (AC b) Ta có: −−→ −−→ BN CM −−→ −−→ −−→ −−→ = (BB + B N )(CB + BM ) −−→ −−→ −−→ −−→ = BB BM + B N CB B B BC − =0 = 2 ⇒ BN ⊥ CM Mà: AP//BN ⇒ AP ⊥ CM Ví dụ Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối Trong (BCD) dựng tam giác P QR cho B, C, D là trung điểm các cạnh QR, RP và P Q Chứng minh rằng: AP, AQ, AR đôi vuông góc với Ví dụ Cho ba tia không đồng phẳng Ox, Oy, Oz Gọi Oa, Ob, Oc là d zOx, d xOy d Chứng minh rằng: Nếu Oa ⊥ Ob thì Ob ⊥ Oc và Oc ⊥ Oa phân giác yOz, Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Các điểm M, N chia các đoạn thẳng AD0 , DB theo cùng tỉ số k(k 6= 0, 1) Chứng minh: a) M N//(A0 BCD0 ) b) Nếu k = − thì M N//A0 C và M N ⊥ AD0 , M N ⊥ BD Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên (ABC) và (BCD) là các ∆ cân đáy BC, I là trung điểm BC a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (ADI) b) Gọi AH là đường cao ∆(ADI) Chứng minh rằng: AH ⊥ (BCD) Lời giải: 60 a) Ta có: ∆ABC cân, AI là trung tuyến ⇒ AI ⊥ BC ∆DBC cân, DI là trung tuyến ⇒ DI ⊥ BC Mặt khác, mặt phẳng (ADI), ta có: AI ∩ DI = {I} ⇒ BC ⊥ (ADI) b) Ta có: BC ⊥ (ADI), AH ⊂ (ADI) ⇒ BC ⊥ AH Mặt khác, ta có: DI ⊥ AH Trong mặt phẳng (BCD), BC ∩ DI = {I} ⇒ AH ⊥ (BCD) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc A lân SB, SC, SD a) Chứng minh rằng: BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh rằng: SC ⊥ (AHK) và I ∈ (AHK) c) Chứng minh rằng: HK ⊥ (SAC), từ đó suy HK ⊥ AI Lời giải: 61 a) Ta có: BD ⊥ AC, BD ⊥ SA Trong mặt phẳng (SAC), AC ∩ SA = {A} ⇒ BD ⊥ (SAC) b) Ta có: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH Mặt khác, SB ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC SA ⊥ DC, DA ⊥ DC ⇒ DC ⊥ (SAD) ⇒ DC ⊥ AK Mà, SD ⊥ AK ⇒ AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC Ta có: AH ⊥ SC, AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (AHK) Gọi I là chân đường cao A đến SC ⇒ SC ⊥ AI Mặt khác, SC ⊥ AI ⇒ I ≡ I c) Ta có: ∆SAD = ∆SAB Mà AH, AK là hai đường cao tương ứng ⇒ SH = SK Ta lại có HB = KD SK SH = ⇒ HK//BD ⇒ HB KD Mặt khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ HK ⊥ (SAC) Ví dụ Cho√hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều, SC = a 2, K là trung điểm AD Chứng minh rằng: a) AC ⊥ SK 62 b) CK ⊥ SD Lời giải: a) Ta có SB + BC = SC ⇒ ∆SBC vuông B ⇒ SB ⊥ BC mặt khác AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) Gọi I là trung điểm AB, Ta có ∆SAB ⇒ SI ⊥ AB Mà BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SI Trong (ABCD), AB ∩ BC = {B} ⇒ SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ AC Ta lại có, AC ⊥ IK(do IK//BD) Trong (SIK), SI ∩ IK = {I} ⇒ AC ⊥ (SIK) ⇒ AC ⊥ SH b) Nối D với I, ta có: ⇒ Mà, ⇒ ⇒ −→ −−→ DI.CK −−→ − → −−→ −−→ = (DA + AI)(CD + DK) −−→ −−→ − → −−→ = DA.DK + AI.CD a2 a2 − = = 2 DI ⊥ CK SI ⊥ CK (do SI ⊥ (ABCD) CK ⊥ (SDI) CK ⊥ SD 63 Ví dụ Cho tam diện vuông OABC đỉnh O, có OA = a, OB = b, OC = c Gọi H là trực tâm ∆ABC a) Chứng minh rằng: OH ⊥ (ABC) b) Tính độ dài đoạn OH và diện tích ∆ABC theo a, b, c c) Gọi α, β, γ là góc tạo OH với OA, OB, OC Chứng minh rằng: cos2 α+cos2 β + cos2 γ = d) Chứng minh rằng: a2 tan A = b2 tan B = c2 tan C Lời giải: a) Ta có: BC ⊥ AH, BC ⊥ OA ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ OH Chứng minh tương tự, ta có AC ⊥ OH Trong (ABC), AC ∩ BC = {C} ⇒ OH ⊥ (ABC) b) Ta có: ∆OBC vuông O 1 ⇒ = + 2 OH OA OA02 1 1 = + + ⇒ 2 OH OA OB OC 1 1 ⇒ = 2+ 2+ 2 OH a b c abc ⇒ OH = √ a2 + b + c 64 \ \ c) Ta có: α = (OH, OA) = AOH OH OH ⇒ cos2 α = ⇒ cos α = OA OA2 OH OH 2 và cos γ = OB OC 1 1 ⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = OH ( + + ) = OH = 2 OA OB OC OH Chứng minh tương tự, ta có: cos2 β = d) Trước hết, ta chứng minh rằng: a2 tan A = b2 tan B Đẳng thức trên tương đương với b2 sin B a2 sin A = cos A cos B a2 sin A cos A ⇔ = b sin B cos B (∗) Đẳng thức (*) đúng, vì: BC AC = sin B sin A √ sin A AC b2 + c ⇒ = =√ sin B BC a2 + c Áp dụng định lý hàm số sin, ta có: √ a2 b + c Như vậy, VT(∗) = √ b a2 + c Theo định lý hàm số cos, ta có: cos A = AB + AC − BC 2AB.AC 2a2 √ ⇒ cos A = √ a2 + b a2 + c 2b2 √ Chứng minh tương tự, ta có: cos B = √ a2 + b b + c √ a2 b + c Như vậy, VP(∗) = √ = VT(∗) b a2 + c Vậy đẳng thức (∗) đã chứng minh Chứng minh tương tự, ta có b2 tan B = c2 tan C Vậy a2 tan A = b2 tan B = c2 tan C Dạng 2: Góc đường thẳng với mặt phẳng Phương pháp: - Tìm I = (P ) ∩ d Tìm A thuộc d, kẻ AH vuông góc với (P ) [ (d, (P )) = AIH 65 Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có cạnh đáy a, cạnh bên b Gọi M là trung điểm AB, α là góc tạo M C và mặt phẳng (BCC B ) Hãy tính tan α ? Lời giải: Gọi K là trung điểm BC ⇒ AK ⊥ BC Gọi H là trung điểm BK ⇒ M H//AK ⇒ M H ⊥ BC Ta có CC ⊥ M H ⇒ M H ⊥ (BCC B ) ⇒ C H là hình chiếu C M lên (BCC B ) 0 0 \ Như vậy, góc tạo √ M C và mặt phẳng√(BCC B ) là M C H a a Ta có, AK = ⇒ M H = AK = 2 3a Lại có CH = CB = 4 r √ 9a2 2 ⇒ HC = CH + C C = + b2 16 √ a √ M H a \ Như vậy, tan α = tan M C 0H = =r =√ 2 HC 9a + 16b 9a2 + b2 16 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có cạnh đáy a, O là tâm đáy Gọi M và N là trung điểm SA và BC Biết góc cạnh M N với mặt phẳng (ABCD) 60o a) Tính M N, SO b) Tính góc cạnh M N với mặt phẳng (SAO) Lời giải: 66 a) Gọi H là trung điểm AO ⇒ M H//SO Mặt khác, SO ⊥ (ABCD) ⇒ M H ⊥ (ABCD) ⇒ HN là hình chiếu M N lên (ABCD) \ ⇒ Góc cạnh M N với mặt phẳng (ABCD) chính là M NH o \ M N H = 60 √ a 3a Ta có: N C = BC = , HC = AC = 2 4 √ q a 10 \ N C) = ⇒ HN = HC + N C − 2HC.N C cos(HC, √ √ HN a 10 a 10 ⇒ MN = = = cos 60o \ cos M NH √ √ a 10 a 30 o \ sin 60 = Ta lại có: M H = M N sin M NH = √ a 30 ⇒ SO = 2M H = b) Gọi K là trung điểm OC ⇒ KN//BD ⇒ KN ⊥ AC Mặt khác, SO ⊥ KN ⇒ KN ⊥ (SAC) Như vậy, M K là hình chiếu M N lên mặt phẳng (SAC) \ ⇒ Góc cạnh M N với √ mặt phẳng (SAO) chính là N M K a Ta có: KN = OB = √ √ KN a \ √ = ⇒ sin N MK = = MN 10 2.a 10 67 √ Vậy góc cạnh M N với mặt phẳng (SAO) là góc β (với sin β = ) 10 [ = α Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác cân đỉnh A, ABC Góc cạnh BC’ với mặt phẳng (ABC) β Gọi I là trung điểm AA0 Biết [ = 90o BIC a) Chứng minh rằng: ∆BIC vuông cân b) Chứng minh rằng: tan2 α + tan2 β = Lời giải: a) Ta có ∆ABI = ∆ACI ⇒ BI = CI ⇒ ∆BIC cân I [ = 90o ⇒ ∆BIC vuông cân I Mặt khác, BIC b) Đặt AB = a, BC = b, CC = c Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC b b2 2 2 Ta có: BM = BC = , AM = AB − M B = a − 2 2 AM 4a − b = ⇒ tan2 α = BM b2 c2 Ta lại có: tan2 β = b 4a2 − b2 + c2 Như vậy, tan2 α + tan2 β = (∗) b2 Mặt khác, ∆BIC vuông cân I 68 b ⇒ BI = √ 2 b − 2a2 ⇒ AI = ⇒ AA02 = 4AI ⇒ c2 = 2b2 − 4a2 ⇒ 2b2 = c2 + 4a2 Thay đẳng thức trên vào (∗), ta được: tan2 α + tan2 β = Ví dụ Trong mặt phẳng (P ) cho tam giác vuông ABC vuông C Dựng nửa đường thẳng Ax ⊥ (P ) Trên Ax lấy điểm S Gọi D và E là hình chiếu A lên SC, SB tương ứng a) Chứng minh rằng: SB ⊥ (ADE) b) Chứng minh rằng: SE.SB = SD.SC c) Cho S chạy trên Ax, hãy chứng minh rằng: i) Tồn điểm cố định cách A, B, C, D, E ii) Đường thẳng nối D, E luôn qua điểm cố định Lời giải: a) Ta có SA ⊥ (P ) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AC(gt) ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AD Lại có, AD ⊥ SC(gt) 69 ⇒ AD ⊥ (SBC) ⇒ AD ⊥ SB Mặt khác, SB ⊥ AE(gt) ⇒ SB ⊥ (ADE) ⇒ đpcm b) Vì SA ⊥ (ABC), mà BC ⊥ AC(gt) ⇒ BC ⊥ SC (định lý ba đường vuông góc) Theo câu a) thì SB ⊥ (ADE) ⇒ SB ⊥ DE Tứ giác DEBC có hai góc đối là vuông nên nó là tứ giác nội tiếp, vì theo hệ thức lượng đường tròn, ta có: SE.SB = SD.SC c.i) Gọi M là trung điểm AB, thì M cố định Trong tam giác vuông ABC và ABE ta có: M A = M B = M C; M A = M B = M E Theo câu a) ta có AD ⊥ (SBC) ⇒ AD ⊥ DB Trong tam giác vuông ADB, thì M A = M B = M D Kết hợp lại ta có: M A = M B = M C = M D = M E Vậy M là điểm cố định cách A, B, C, D, E c.ii) Giả sử DE ∩ BC = {I} Ta có, AI ∈ (P ), mà SA ⊥ (P ) ⇒ SA ⊥ AI Lại có AI ∈ (ADE), mà SB ⊥ (ADE) ⇒ SB ⊥ AI Vậy AI ⊥ (SAB) ⇒ AI ⊥ AB Gọi Ay (trong (P )) là đường thẳng vuông góc với AB, thì Ay cố định Ta có I = Ay ∩ BC ⇒ I cố định Mọi đường thẳng nối D, E luôn qua I cố định Hai mặt phẳng vuông góc: Dạng 1: Chứng minh mặt phẳng vuông góc Ví dụ Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a Độ a , SC ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: (SAB) ⊥ (SAD) dài đoạn BD = a, SC = Lời giải: 70 Trong (SAC), gọi H là chân đường cao hạ từ I xuống SA Ta có: BD ⊥ AC, BD ⊥ SC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA Lại có, IH ⊥ SA ⇒ SA ⊥ (BDH) Vì (SAD) ∩ (SAB) = SA, SA ⊥ (BHD) và (BHD) ∩ (SAB) = HB, (BHD) ∩ (SAD) = HD \ \ ⇒ ((SAB), (SAD)) = (BH, DH) Ta có: ∆AHI v ∆ACS(g.g) ⇒ ⇒ AH HI AI = = AS AC CS AI.CS HI = AS Mặt khác, BD = a ⇒ ∆ABD √ [ = 120o ⇒ AC = a Theo định lý hàm số cos ⇒ ABC √ a ⇒ AI = AC = 2 √ √ 3a Mà SC = SC + AC = a Từ đó suy HI = = BD 2 ⇒ ∆BHD vuông H \ = 90o ⇒ BHD Vậy (SAB) ⊥ (SAD) 71 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = 2DC, DC = AD, SA vuông góc với đáy và SA = AB a) Chứng minh rằng: ∆SBC vuông b) E là trung điểm SB, {F } = SC ∩ (ADE) Chứng minh rằng: (SCD) ⊥ (SAD), (SBC) ⊥ (ADE), AF ⊥ (SBC) c) Hãy xác định góc (ADF ) với (ABCD) Tính diện tích tứ giác AEF D theo a, biết AB = a Lời giải: a) Ta có ∆ABC vuông C ⇒ BC ⊥ AC Lại có, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC Vậy ∆SBC vuông C b) Trước hết, ta xác định điểm F là giao tuyến SC với (ADE) Trong (ABCD), gọi {O} = AC ∩ BD Trong (SBD), gọi {K} = SO ∩ DE Trong (SAC), gọi {F } = AK ∩ SC Vậy {F } = SC ∩ (ADE) Ta có: DC ⊥ DA, DC ⊥ SA ⇒ DC ⊥ (SAD) Lại có, DC ⊂ (SDC) ⇒ (SDC) ⊥ (SAD) 72 Ta có: AD ⊥ SA, AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SB Lại có, AE ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (ADE) Do SB ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (ADE) Ta có: ⇒ Mà Và ⇒ BC ⊥ (SAC), BC ⊂ (SBC) (SBC) ⊥ (SAC) (SBC) ⊥ (ADE) (SAC) ∩ (ADE) = AF AF ⊥ (SBC) c) Ta có: (ADF ) ∩ (ABCD) = AD, AD ⊥ (SAB) [ = 45o ⇒ Góc (ADF ) với (ABCD) chính là EAB Trong (ABCD), gọi {I} = AD ∩ BC ⇒ DC là đường trung bình ∆ABI ⇒ C là trung điểm BI ⇒ F là trọng tâm ∆SBI Do đó: CO SF = = CS CA ⇒ OF//SA Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ OF ⊥ (ABCD) Gọi H là trung điểm AB ⇒ EH ⊥ (ABCD) Từ đó ta có, AHOD là hình chiếu AEF D xuống mặt phẳng (ABCD) ⇒ Diện tích AEF D = Diện tích AHOD cos 45o Mà diện tích AHOD = 2.S∆AOD, a2 S∆AOD = S∆ACD = 12 a ⇒ Diện tích AHOD = √ a2 a2 o ⇒ Diện tích AEF D = cos 45 = 12 √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD = a Đáy là hình vuông cạnh 2a Chứng minh rằng: a) (SAC) ⊥ (SBD) 73 b) (SAB) ⊥ (SCD) Lời giải: a) Ta có: ⇒ Gọi O ⇒ ⇒ Mà ⇒ Do ⇒ SA = SB = SC = SD, đáy ABCD là hình vuông S.ABCD là hình chóp tứ giác là giao điểm AC và BD SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ BD AC ⊥ BD BD ⊥ (SAC) BD ⊂ (SBD) (SBD) ⊥ (SAC) b) Ta có: AB//CD AB ⊂ (SAB) CD ⊂ (SCD) ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d (với d là đường thẳng qua S và d//AB//CD) Gọi M và N là trung điểm AB và CD ⇒ SM ⊥ AB và SN ⊥ CD Mà d//AB//CD ⇒ d ⊥ SM và d ⊥ SN ⇒ d ⊥ (SM N ) Ta có: (SAB) ∩ (SCD) = d, d ⊥ (SM N ) Mà (SM N ) ∩ (SCD) = SN, (SM N ) ∩ (SAB) = SM \ ⇒ Góc hai mặt√phẳng (SAB) và √ (SCD) (SM, SN ) Mặt khác, SN = SM = SB − BM = a ⇒ SM + SN = 4a2 = M N ⇒ ∆SM N vuông cân S \ ⇒ (SM, SN ) = 90o ⇒ (SAB) ⊥ (SCD) Ví dụ Trong mặt phẳng (P ) cho hình vuông ABCD cạnh a Các tia Bx, Dy ⊥ (P ) và cùng chiều Các điểm M, N thay đổi trên Bx, Dy cho (M AC) ⊥ (N AC) Đặt BM = u, DN = v a) Chứng minh rằng: u.v = BM.DN không đổi b) Tìm giá trị nhỏ u + v c) Xác định đoạn vuông góc chung M N và AC Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó theo u, v d) Chứng minh (AM N ) ⊥ (CM N ) Lời giải: 74 a) Ta có ∆BM O v ∆DON ⇒ BM BO = DO DN ⇒ BM.DN = DO.BO = a2 Vậy u.v = BM.DN không đổi b) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: √ u + v > uv √ Từ câu a) suy u + v > a √ a Vậy giá trị nhỏ u + v là a ⇔ u = v = √ c) Từ Bx và Cy ⊥ (P ) ⇒ (DBM N ) ⊥ (ABCD) Do (DBM N ) ∩ (ABCD) = DB, mà AC ⊥ DB (do ABCD là hình vuông) ⇒ AC ⊥ (DBM N ) Trong (DBM N ) kẻ OK ⊥ M N Do AC ⊥ (DBM N ) ⇒ AC ⊥ OK Vậy OK chính là đoạn vuông góc chung AC và M N Ta có: (M AC) ∩ (N AC) = AC, AC ⊥ (DBM N ) Mà (DBM N ) ∩ (AM C) = OM, (DBM N ) ∩ (AN C) = ON \ ⇒ Góc (AN C) và (AM C) M ON = 90o Trong tam giác vuông M ON , theo hệ thức lượng ta có: 1 OM + ON = + = OK OM ON OM ON 75 a2 a2 )(u + ) OM ON 2 OK = = OM + ON v + u + a2 a2 a2 v u2 + (u2 + v ) + = 2 v +u +a ⇒ Thay uv = (v + a2 , ta có: ⇒ a2 (u + v + a2 ) a2 2 OK = = v + u + a2 √ a OK = d) Ta có CO ⊥ (DBM N ), mà OK ⊥ M N ⇒ CK ⊥ M N (theo định lý ba đường \ là góc tạo hai mặt vuông góc) Lập luận tương tự, ta có AK ⊥ M N ⇒ AKC phẳng (CM N ) và (AM N ) √ a \ = 90o Do OK = OA = OC = ⇔ AKC ⇒ (AM N ) ⊥ (CM N ) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), hai đường cao BE, DF ∆BCD giao O, DK ⊥ AC a) Chứng minh rằng: (ACD) ⊥ (ABE), (ACD) ⊥ (DF K) b) H là trực tâm ∆ACD Chứng minh rằng: OH ⊥ (ACD) Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông cạnh a, a đường cao AA0 = a Điểm M là trung điểm CC Xác định để (A0 BD) ⊥ (M BD) b Ví dụ Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Hai điểm M và N di động trên hai đoạn BC và CD Đặt BM = x, DN = y(0 < x, y < a) \ a) Chứng minh rằng: (SAM ) ⊥ (SM N ) ⇔ AM N = 90o Khi đó, hãy tìm hệ thức liên hệ x và y b) Tìm hệ thức x và y để góc hai mặt phẳng (SAM ) và (SAN ) 45o Dạng 2: Xác định chân đường vuông góc điểm xuống mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy a) Xác định chân đường vuông góc hạ từ M ∈ SA xuống (SBC) 76 b) Gọi O là giao điểm AC và BD, (α) qua O và song song với BC và SA Hãy xác định hình chiếu vuông góc điểm S đến (α) Lời giải: a) Ta có: BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) Trong (SAB), kẻ M H ⊥ SB Từ đó ta có BC ⊥ M H ⇒ M H ⊥ (SBC) Vậy H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA b) Trước hết, ta xác định (α), Ta có (α) qua O và song song với BC ⇒ (α) ∩ (ABCD) = EF (O ∈ EF, EF//BC) Mà (α)//SA ⇒ (α) ∩ (SAB) = F P (F P//SA) Từ P , kẻ P Q cho P Q//BC (Q ∈ SC) Vậy (α) là (EF P Q) Trong (SAB), kẻ SK ⊥ P F Vì BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SK ⇒ SK ⊥ (α) Vậy K là hình chiếu vuông góc điểm S đến (α) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhât, SA vuông góc với đáy, M di động trên SA a) Chứng minh rằng: (M CD) ⊥ (SAD) b) Tìm hình chiếu S S trên (M CD) Chứng minh rẳng S chạy trên cung tròn cố định 77 c) Tìm hình chiếu B trên (M CD) Lời giải: a) Ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) Mà CD ∈ (M CD) ⇒ (M CD) ⊥ (SAD) Vậy (M CD) ⊥ (SAD) b) Trong (SAD), hạ SS ⊥ M D Mặt khác, SS ⊥ CD ⇒ SS ⊥ (M CD) Vậy S là hình chiếu S trên (M CD) Ta có ∆SS D vuông S ⇒ S nằm trên đường tròn đường kính SD thuộc (SAD) Giới hạn: Khi M ≡ A ta có S ≡ A Khi M ≡ S ta có S ≡ S Vậy M chạy trên cung tròn _ SS A cố định c) Dựng (α) chứa BC và (α)//(SAD) Do (SAD) ⊥ (M CD) ⇒ (α) ⊥ (M CD) Vì (M CD)//AB ⇒ (M CD) ∩ (SAB) = M N (M N//AB, N ∈ BP ) Trong (α), kẻ BH ⊥ CN ⇒ BH ⊥ (M CD) Vậy H là hình chiếu B xuống mặt phẳng (M CD) Dạng 3: Xác định góc hai mặt phẳng 78 Phương pháp: * Tìm giao tuyến (P ) ∩ (Q) = ∆ Trong (P ) tìm a vuông góc với ∆, (Q) tìm b vuông góc với ∆ và a, b cắt I ((P ), (Q)) = (a, b) Chú ý: Trong số trường hợp yêu cầu tính góc hai mặt phẳng thì chúng ta có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính 0 Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A 2a Đáy là √ B C có độ dài cạnh bên tam giác vuông A có AB = a, AC = a Hình chiếu vuông góc A trên (ABC) là trung điểm BC Tính cos góc AA0 và B C Lời giải: Gọi H là trung điểm BC ⇒ A0 H ⊥ (ABC) Trong (ABC), kẻ đường thẳng d qua A và song song với BC A, BC) = (A A, d) \ Như vậy, (A\ Hạ A I ⊥ d(I ∈ d) Ta có: d ⊥ A0 I, d ⊥ A0 H ⇒ d ⊥ (A0 IH) ⇒ d ⊥ IH Trong (ABC), hạ AK ⊥ BC(K ∈ BC) ⇒ AIHK là hình chữ nhật Ta có: ⇒ 1 = + = 2 2 AK AB AC 3a √ a AK = 79 √ a ⇒ IH = √ a ⇒ AI = AH − IH = AI ⇒ cos(A0\ A, B C ) = = AA Ví dụ Cho tam giác ABC, có A ∈ (α) Gọi B , C là hình chiếu a B, C lên (α) cho tam giác AB B là tam giác cạnh a Giả sử CC = a, BB = Gọi I là giao điểm BC và B C Chứng minh rằng: a) IA ⊥ AC b) Tính góc (α) và (ABC) Lời giải: a) Ta có: BB là đường trung bình ∆ICC ⇒ B là trung điểm IC IC ⇒ IB = B C = 0 Mà AB = B C = a ⇒ AB = IC ⇒ ∆AIC vuông A ⇒ AI ⊥ AC Mà AI ⊥ CC ⇒ AI ⊥ (ACC ) ⇒ AI ⊥ AC √ √ b) Ta có: AI = a 3, AC = a Như vậy: √ a2 0 S∆AIC = AI.AC = 2 36 80 √ a2 S∆AIC = AI.IC = 2 Do CC ⊥ (α) và A, I ∈ (α) ⇒ ∆AIC là hình chiếu ∆AIC lên (α) √ S∆AIC = ⇒ cos((α),\ (ABC)) = S∆AIC ⇒ ((α),\ (ABC)) = 45◦ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông B, có AB = 2a, BC = a Trên hai tia Ax và Cy cùng vuông góc phía so với (ABC) lấy hai điểm A0 và C cho AA0 = 2a, CC = x BC = 90◦ \ a) Xác định x để A b) Với x = 4a Hãy chứng minh ∆A0 BC vuông c) Xác định cos γ với γ là góc hai mặt phẳng (ABC) và (A0 BC ) Lời giải: a) Ta có: BC ⊥ AB, BC ⊥ A0 B ⇒ BC ⊥ (AA0 B) ⇒ BC ⊥ A0 B TH1: Nếu x > ⇒ C 6= C Ta có: BC = 90◦ ⇔ A0 B ⊥ BC \ A Mặt khác: A0 B ⊥ BC 81 ⇒ A0 B ⊥ (BCC ) ⇒ A0 B ⊥ CC 0 B = 45◦ ) \ Do CC //AA0 ⇒ A0 B ⊥ AA0 (vô lí, vì AA TH2: Nếu x = ⇒ C ≡ C BC = 90◦ \ Khi đó, A0 B ⊥ BC hay A BC = 90◦ \ Vậy x = thì A b) Gọi D là trung điểm CC ⇒ A0 ACD là hình chữ nhật ⇒ A0 D = AC = √ √ AB + BC = a Và DC = CC = 2a √ ⇒ A0 C = A0 D2 + DC 02 = 3a √ √ Mặt khác: A0 B = 2a 2, BC = a 17 ⇒ A0 B + A0 C 02 = BC 02 (= 17a2 ) ⇒ ∆A0 BC vuông A0 Ta có: √ S∆A0 BC = A0 B.A0 C = 3a2 2 S∆ABC = AB.BC = a2 Do CC , AA0 ⊥ (ABC) ⇒ ∆ABC là hình chiếu ∆A0 BC lên (ABC) √ S∆ABC ), (ABC)) = \ ⇒ cos γ = cos((A0 B C = S∆A0 BC √ Vậy cos γ = Ví dụ Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Các mặt bên hợp với đáy góc và α(0◦ < α < 90◦ ) a) Chứng minh rằng: Hình chiếu H S trên (ABC) là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC b) Tính tổng diện tích bốn mặt tứ diện thao a và α Ví dụ√5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a Mặt phẳng (SAB)vuông góc với đáy, gọi M và N là trung điểm 82 AB và BC Tìm cos góc SM và DN Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D” cạnh a Điểm M thuộc BC , N thuộc đoạn AB Đường thẳng M N tạo với mặt (ABCD) góc α Chứng minh rằng: MN > √ a cos α + sin α Ví dụ Cho tứ diện SABC; SA, SB, SC vuông góc với đôi H là hình chiếu S lên (ABC);O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: OH +2= SH cos A cos B cos C Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), tam giác BCD vuông C Từ B \ = CBD \ = α Chứng minh rằng: hạ BH ⊥ AC, BK ⊥ AD Giả sử BKH CD2 BC − = BC AB Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, có AB = [ a, BAC = α, SA ⊥ (ABC), SA = a, góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là β r + cos2 α a) Chứng minh rằng: tan α tan β = cos α b) Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì để β = 60◦ Khoảng cách: Dạng 1: Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp: Cách 1: Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P ) theo giao tuyến ∆ Từ M hạ M H vuông góc với ∆(H ∈ ∆) M H = d(M, (P )) Cách 2: Kẻ ∆//(P ) Ta có: d(M, (P )) = d(∆, (P )) Chọn N ∈ ∆ Lúc đó, d(M, (P )) = d(∆, (P )) = d(N, (P )) Cách 3: Nếu M N ∩ (P ) = I Ta có: d(M, (P )) MI = d(N, (P )) NI MI Tính d(N, (P )) và NI MI d(M, (P )) = d(N, (P )) NI Chú ý: Điểm N đây ta phải chọn cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P ) dễ tìm khoảng cách từ M đến (P ) 83 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = 3a, BC = 4a √ [ = 30◦ Tính SH và d(B, (SAC)) Mặt phẳng (SBC) ⊥ (ABC), SB = 2a 3, SBC Lời giải: Hạ SH ⊥ BC Mà (SBC) ⊥ (ABC), (SBC) ∩ (ABC) = BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Trong (ABC), hạ HM ⊥ BC Mà SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SHM ) Trong (SHM ), hạ HK ⊥ SM Mà HK ⊥ AC ⇒ HK ⊥ (SAC) ⇒ HK = d(H,√ (SAC)) Ta có: SH = a 3, BH = 3a, HC = a HC = BC HM HC 3a Ta có: = = ⇒ HM = AB AC 5 ⇒ Ta có ∆SHM vuông H, HK ⊥ SM 1 = + 2 HK SH HM 28 ⇒ = 2 HK 9a ⇒ 84 √ 3a ⇒ HK = 14 d(B, (SAC)) BC Ta có: = =4 d(H, (SAC)) HC √ 6a ⇒ d(B, (SAC)) = Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi M, N, P là trung điểm AA0 , AD, CC Gọi O là tâm mặt ABCD Tính d(B, (M N P )), d(O, (M N P )) Lời giải: Kí hiệu (α) là mặt phẳng (M N P ) Trước hết ta xác định các giao điểm X, Y, Z (α) với các đường thẳng BC, BA, BB M N cắt DD0 R.P R cắt DC Q Khi đó X, Y là giao điểm N Q với BC, BA.Z là giao điểm XP với BB 3a 3a 3a Ta có: BX = , BY = , BZ = 2 Do đó theo ví dụ 3.1.4, tứ diện vuông BXY Z ta có: 1 1 = + + = d2 (B, (α)) BX BY BZ 3a2 √ a Do đó: d(B, (α)) = d(O, (α)) OK BO cắt N Q K Khi đó = = d(B, (α)) BK √ a Do đó d(O, (α)) = 85 Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C Đáy ABC là tam giác vuông [ = 60◦ , AB = 2a, AA0 = 3a, M là trung điểm B C Tính d(C, (A0 BM )) và A, ABC góc hai mặt phẳng (A0 BM ) và (ABC) Lời giải: Trong (BCC B ), gọi O là giao điểm B C và BM B0M B0O B0O = = ⇒ = ⇒ OC BC BC 0 0 c0 Ta có ∆A B C vuông A , B = 60◦ ⇒ A0 B = B C = B M = M C 0 c0 = 60◦ ∆M B A có A0 B = M B , B ⇒ ∆M B A0 ∆BM B = ∆BA0 B (c.g.c) ⇒ BM = BA0 ⇒ ∆BM A0 cân Gọi J là trung điểm M A0 ⇒ B J ⊥ M A0 (∆B M A0 ) BJ ⊥ M A0 (∆BM A0 cân B) ⇒ M A0 ⊥ (BJB ) Trong(BJB ), hạ BH ⊥ BJ Mà BH ⊥ M A0 ⇒ BH ⊥ (BM A0 ) ⇒ BH = d(B, (A0 BM )) √ Ta có B J là đường cao tam giác cạnh 2a ⇒ B J = a Xét tam giác vuông BB J, có B J ⊥ M A0 1 1 + = 2+ = 02 BB BJ 9a 3a 9a 3a ⇒ B0H = 3a ⇒ d(B, (A BM )) = ⇒ B0H = 86 Mà d(B, (A0 BM )) B0O = = ⇒ d(C, (A0 BM )) = 3a d(C, (A BM )) CO Ta có (ABC)//(A0 B C ) \ ⇒ ((A0 BM ), (ABC)) = ((A0 BM\ ), (A0 B C )) Mặt khác: (A0 BM ) ∩ (A0 M B ) = A0 M A0 M ⊥ (B JB) (B JB) ∩ (A0 B M ) = JB (B JB) ∩ (A0 M B) = JB \0 0 \0 ⇒ ((A0 BM √ ), (A 0B C )) = (JB, JB ) JB = a 3, BB = 3a BB √ \ ⇒ tan BJB = = JB \0 = 60◦ ⇒ BJB \ Vậy ((A0 BM ), (ABC)) = 60◦ Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = 2a, AA0 = \ = 60◦ 3a, BAD a) Chứng minh rằng: AB ⊥ BD0 b) Tính d(A0 , (ABD0 )) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông A và B, √ AB = BC = a, AD = 2a Cạnh SA vuông góc với (ABCD), SA = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB Tính d(H, (SCD)) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Lấy E ∈ AA0 , F ∈ BC a a cho: AE = , BF = Gọi O là tâm hình lập phương Tính d(B , (OEF )) [ \ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là √hình thang , ABC = BAD = 90 , BA = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi H là hình chiếu A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính d(H, (SCD)) ◦ Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C , đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA0 = 2a Gọi M là trung điểm A0 C , I là giao điểm AM và A0 C Tính d(A, (IBC)) Dạng 2: Xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: 87 Cách 1: Xác định đường thẳng vuông góc chung d và d0 Tính độ dài đoạn vuông góc chung Cách 2: Tìm mặt phẳng (P ) chứa d0 và song song với d Khi đó d(d, d0 ) = d(d, (P )) = d(A, (P )) với A là điểm thuộc d Chú ý: Mặt phẳng (P ) có thể có sẵn chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua điểm B ∈ d0 dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó (P ) ≡ (d0 , ∆)) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Tính d(AC, DC )) Lời giải: Gọi I là tâm hình vuông ADD0 A0 Vì AC song song với mặt phẳng (DC A0 ) nên d(AC, DC ) = d(A, (DC A0 )) Mặt khác: d(A, (DC A0 )) IA = = 0 d(D , (DC A )) ID0 Do đó d(A, (DC A0 )) = d(D0 , (DC A0 )) Trong tứ diện vuông D0 DC A0 ta có: d2 (D0 , (DC A0 )) = D0 A02 + D0 D2 + D0 C 02 = a2 a Do đó d(AC, DC ) = d(A, (DC A0 )) = d(D0 , (DC A0 )) = √ Ví dụ Cho lăng trụ ABC.A0 B C , cạnh đáy a M, N, I là \ trung điểm AA0 , AB, BC Biết ((C AI), (ABC)) = 60◦ Tính d(M N, AC ) Lời giải: 88 Cách 1: Ta có: ∆ABC đều, IB = IC → AI ⊥ BC Mà CC ⊥ AI ⇒ AI ⊥ (BCC B ) \ \ ⇒ ((C AI), (ABC)) = (CI, C I) IC = 60◦ [ ⇒C Mặt khác: (C AI) ⊥ (BCC B ), (C AI) ∩ (BCC B ) = CI ⇒ BH ⊥ (C IA) Gọi O là trung điểm AC , M là trung điểm AA0 1 ⇒ OM = A0 C = AC = IN 2 ⇒ OM N I là hình bình hành ⇒ M N//OI Mà OI ⊂ (C AI) ⇒ M N//(C AI) ⇒ d(M N, AC ) = d(M N, (C AI)) = d(N, (C AI)) = d(B, (C AI)) √ √ 1 a a = BH = BI sin 60◦ = = 2 2 Cách 2: Tính khoảng cách theo thể tích 1 a3 Ta có: VC AN I = SAIN CC = SABC CC = 3 32 89 √ SCIN a2 Lại có: SC AI = = cos 60◦ √ AIN 3V a C ⇒ d(N, (C AI)) = = SC AI Ví dụ Cho khối lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi K là trung điểm DD0 Tính khoảng cách CK và A0 D Lời giải: Gọi M là trung điểm BB Ta có A0 M//KC nên d(CK, A0 D) = d(CK, (A0 M D)) = d(K, (A0 M D)) Đặt d(CK, A0 D) = x ta có: VA0 M DK = VK.A0 M D = SA0 M D x (1) Mặt khác VA0 M DK = VM.A0 DK = SA0 KD d(M, (A0 KD)) 1
a3 = C a a a = (2) 2 12 a3 Từ (1) và (2) ⇒ SA0 M D x = (3) Hạ DI ⊥ A0 M ⇒ AI ⊥ A0 M ⇒ AI.A0 M = AA0 d(M, AA0 ) = a2 2a ⇒ AI = √ 90 4a2 9a2 3a = ⇒ DI = √ 5 √5 3a a (4) Vậy SA0 M D = DI.A0 M = √ 2 a Từ (3) và (4) ⇒ x = ⇒ DI = DA2 + AI = a2 + Ví dụ Cho tam giác ABC vuông B Từ A, B kẻ các đoạn thẳng AA0 , BB cùng vuông góc với (ABC); AA0 = BB ; A0 , B cùng phía so với (ABC) Dựng đường vuông góc chung A0 B và B C Lời giải: Kẻ B D//A0 B, B D cắt AB D Do tứ giác ABB A0 là hình chữ nhật nên AB = A0 B Mà tứ giác A0 BDB là hình bình hành ⇒ A0 B = BD ⇒ AB = BD Do CB ⊥ AB ⇒ ∆ACD cân C Từ B kẻ BK ⊥ CD Mà BB ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (BB K) Từ B kẻ BH ⊥ B K Do DC ⊥ (BKB ) ⇒ DC ⊥ BH ⇒ BH ⊥ (B DC) Từ H kẻ đường thẳng song song với A0 B, cắt B C J Từ J kẻ đường thẳng song song với BH, cắt A0 B I Khi đó BH ⊥ (B DC) nên BH ⊥ B C 91 Lại có BH ⊥ B D, B D//A0 B ⇒ BH ⊥ A0 B Do IJ//BH suy IJ là đường vuông góc chung B C và A0 B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác AB = BC = CD = a, cạnh SA = a, SA ⊥ (ABCD) Xác định đường vuông góc chung BD và SC Tính độ dài đường vuông góc chung đó Lời giải: Kẻ đường thẳng qua C song song với BD cắt AB K Kẻ BH ⊥ SK Từ H kẻ HJ//BD(J ∈ SC) Từ J kẻ JI//BH(I ∈ BD) Khi đó KC//BD ⇒ KC ⊥ AB Mà KC ⊥ SA ⇒ KC ⊥ (SAK) ⇒ KC ⊥ BH Ta có BH ⊥ SK, BH ⊥ KC ⇒ BH ⊥ (SKC) ⇒ BH ⊥ SC Mặt khác BH ⊥ SK, BH ⊥ KC( BH//IJ) ⇒ IJ ⊥ SC và IJ ⊥ BD ⇒ IJ là đường vuông góc chung SC√và BD \ = 60◦ ⇒ BK = a ; KC = a Ta có KBC 2 Do tứ giác SABH là tứ giác nội tiếp nên KH.KS = KB.KA r √ a 3a 9a2 a 13 = Mà KB = ; KA = KS = a + 2 92 a 3a √ KH 3a 13 2 ⇒ = Suy KH = √ = 26 KS 13 a 13 KH CJ CJ Do = ⇒ = KS SC SC 13 √ HJ SJ 10 10 5a Ta có = = ⇒ HJ = KC = KC SC 13 13 13 BI Do BI = HJ ⇒ = BD 13 BI Vậy I ∈ BD cho = BD 13 √ √ √ BH BK a 13 a 13 13 Khi đó = = ⇒ BH = ⇒ IJ = SA SK 13 13 13 Ví dụ Cho hai tia Ax, By chéo nhau, góc chúng 60◦ , nhận AB = a làm đường vuông góc chung Trên By lấy C cho BC = a Gọi D là hình chiếu C lên Ax a) Tính AD và tính khoảng cách từ C lên (ABD) b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách hai đường thẳng AC và BD Ví dụ Trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau(P ) và (Q), cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung đáy CD = 2x và các cạnh khác có độ dài a Gọi M, N là trung điểm AB và CD a) Chứng minh M N là đường vuông góc chung AB và CD b) Tính AB và M N theo a và x c) Xác định x để (ABC) và (ABD) vuông góc Khi đó tính AB, xác định điểm O cách bốn điểm A, B, C, D và tính độ dài OA Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N là trung điểm AE và BC Chứng minh rằng: M N ⊥ BD Tính d(M N, AC) Ví dụ 9.Cho hình lăng trụ√đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân B, BA = BC = a, AA0 = a Gọi M là trung điểm BC Tính d(AM, B C) Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N là trung điểm AB và AD, H là giao điểm CN và DM, SH ⊥ √ (ABCD), SH = a Tính d(DM, SC) 93 Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC N , góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60◦ Tính d(AB, SN ) 94 PHƢƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P) Phần mặt phẳng (P) nằm T giới hạn các giao tuyến sinh (P) cắt số mặt T gọi là thiết diện (mặt cắt) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng có song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng có song song với đường thẳng đó Các cách xác định mặt phẳng: + Biết ba điểm không thẳng hàng + Hai đường thẳng cắt + Một điểm nằm ngoài đường thẳng + Hai đường thẳng song song Một số lưu ý: - Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T - Dựng thiết diện là bài toán dựng hình cần nêu phần dựng và phần biện luận có - Đỉnh thiết diện là giao mặt phẳng (P) và các cạnh hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm (P) và các cạnh T - Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt T - Các phương pháp dựng thiết diện đưa tùy thuộc dạng giả thiết đầu bài - Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là: + Tính diện tích thiết diện + Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ + Thiết diện chia khối đa diện thành phần có tỉ số cho trước (hoặc tìm tỉ số phần) 95 B NỘI DUNG CHÍNH I Một số phƣơng pháp dựng thiết diện I.1 Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt m t điểm n m ngo i m t đường thẳng… Phƣơng pháp giải Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến (P) với mặt T (thường gọi là giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng này T ta tìm thêm giao điểm giao tuyến gốc và các cạnh T nhằm tạo thêm số điểm chung Lặp lại quá trình này với các mặt khác T tìm thiết diện Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD) Gọi I, J là trung điểm SB, SC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AIJ) Giải: Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm S không thẳng hàng A, I, J Có giao tuyến gốc là AI, IJ I Kéo dài AD cắt BC K, kéo dài IJ J cắt SK E ta có E là điểm chung E F A (AIJ) và (SAD) B Nối AE cắt SD F ta có AF, FJ là các đoạn giao tuyến Thiết diện D là tứ giác AIJF C K Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm các đoạn thẳng AD, AB Dựng thiết diện hình hộp và mặt phẳng (MNC’) Giải: Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc Ta tìm thêm giao điểm MN và các cạnh hình bình hành ABCD 96 Kéo dài MN cắt CB CD E, F ta có thêm giao điểm Nối C’E cắt BB’ I, nối C’F cắt DD’ J Ta thiết diện là ngũ giác MNIC’J E N A B M F C I D J A' B' D' C' Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm th y ngay, thì để dựng nó thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P là các điểm nằm các tam giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNP) Giải: D Chưa có giao tuyến gốc mặt phẳng cắt và tứ diện Mặt K phẳng(MNP) có điểm chung P với M mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm chung ta tìm giao điểm O MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB I N A C M1 P E B M1, kéo dài DN cắt BC N1 N1 F O Hình a mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O là giao điểm MN và M1N1  OP là giao tuyến gốc Nối OP cắt AB BC E, F 97 Tùy theo vị trí OP tam D giác ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK (hình a) tam giác I EFI (hình b) M N Khi MN // M1N1 thì giao tuyến gốc là đường thẳng qua P song A C song với M1N1 F E M1 P O N1 B Hình b Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm mặt phẳng (ABCD) cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA Hãy xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (M, d) các trường hợp: a Đường thẳng d không cắt cạnh nào đáy ABCD b Đường thẳng d qua điểm C Giải: a) d là giao tuyến gốc ta tìm S thêm giao điểm d với các cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F là giao điểm AB AC, AD M với d A Xét (M, d) và (SAB) có M, H Q N chung nối MH cắt SB N ta có đoạn giao tuyến MN Tương P B H D C E tự nối ME cắt SC P, nối MF cắt SD Q Thiết diện là tứ giác MNPQ 98 F b) Tương tự phần a lúc này S E  C thiết diện là tứ giác MNCQ M A Q N B D H F E≡C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi Gọi M, N là trọng tâm các tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNE) Giải: Gọi I là trung điểm SA S Ta có M thuộc BI, N thuộc DI Từ IM IN    MN / / BD IB ID Q Xét mặt phẳng (MNE) và mặt phẳng N P G M (ABCD) có E chung và MN // BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo giao tuyến I D A K F EF // BD (F  CD) B E C Ta có EF là giao tuyến gốc Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm chung (MNE) và (SAD) Nối GN cắt SD, SA P, Q, nối QM cắt SB K, nối KE, PF Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK I.2 Mặt phẳng (P) đƣợc cho các tính chất song song I.2.1 Mặt phẳng (P) qua d v song song với đường thẳng d, chéo với đường thẳng l 99 Phƣơng pháp Trên (P) có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ // l Cách dựng: Ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d cho giao điểm A d và (Q) dựng Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d đó (P) xác định hai đường thẳng cắt d và d’ Ví dụ Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh SC Dựng thiết diện hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD Giải: S Chọn mp (SBD) chứa BD Gọi O là giao điểm AC và BD Đường thẳng AH H cắt mặt (SBD) I là giao điểm AH N và SO Trong mp (SBD) kẻ qua I đường I thẳng song song với BD, gọi M, N là giao M D C điểm đường thẳng đó và SB SD Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN Thiết diện là tứ giác AMHN O A B Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh CD không trùng với C và D Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC a Hãy xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) b Xác định vị trí N trên CD cho thiết diện là hình bình hành Giải: a Chọn mặt phẳng (ABC)  BC ta có M là giao điểm MN và (ABC) Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định MN, ME 100 (P) và (BCD) có N chung và chứa A hai đường thẳng song song nên (P)  (BCD) theo giao tuyến NF // BC (F  BD), nối MF, EN M Thiết diện là tứ giác MENF b Theo cách dựng thiết diện phần F E D B a) thiết diện là hình thang MENF N (ME // NF) ta có ME  BC nên để C MENF là hình bình hành thì NF  BC hay N là trung điểm CD Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC Hãy dựng thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD Giải: A A F M M G B E J J F N I D G B K K D N I E C C H.1 H.2 Gọi I, J là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ Ta có mặt phẳng (IAD) chứa G và AD // (P)  (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và song song với AD cắt AI, ID M và N 101 Nối EM cắt AC F, nối EN cắt CD K E trùng với I thì thiết diện không tồn E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 H.2 I.2.2 Mặt phẳng (P) qua m t điểm M song song với hai đường thẳng chéo d và l Phƣơng pháp Ta xét mặt phẳng (M, d) và (M, l) mặt phẳng này chứa đường thẳng qua M song song với d và l Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng Ví dụ Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng tâm tam giác SBD Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với SB AC Giải: S Gọi O là giao điểm AC và BD Ta có trọng tâm M thuộc SO N Mặt phẳng (M,SB) là (SBD) mp này kẻ qua M đường thẳng song song với SB cắt SD, P D N, K Mặt phẳng (M, AC) là mặt I M C O F K A E phẳng (SAC) nên qua M kẻ B đường thẳng song song với AC cắt SA SC P, I (P) chứa NK, PI Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB BC E, F Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng 102 DB Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD Dựng thiết diện hình hộp cắt (P) qua M song song với BD và AC’ Giải: Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là F (ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’) B I khó xác định Vậy ta cần mặt phẳng (M, N A H M E BD) (P) cắt (ABCD) theo giao C D G tuyến qua M và song song với BD A' cắt AB CB CD N, F, E B' J (P) là mặt phẳng qua E, F và D' C' song song với AC’ (trở thành bài toán 1) EF cắt AC I nên (P)  (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó cắt CC’ J Nối JE cắt DD’ G, JF cắt BB’ H Thiết diện là ngũ giác MNHJG Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi là mặt phẳng (P) Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F là trung điểm OA OB OE, H là điểm thuộc AA’ cho AH = HA’ Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) các trường hợp: a Qua F song song với B’E và A’O b Qua M song song với A’E và OH Giải: a Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua F và song song với A’O khó xác định 103 Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ K (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O Kéo dài FK cắt OO’ I, đó ta OO '  2OI  A' J nên A ' JIO là hình bình hành Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ thì d cắt OA AA’ M, J là trung điểm OA AA ' Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’) Thiết diện là ngũ giác FKQJM (H1) O' O' A' A' Q K B' B' H H J L M O O M F E F A T E G A B B I H1 H2 b Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua M và song song với A’E khó xác định Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M đường thẳng song song với OH cắt AA’ L (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE) Khi đó T là điểm chung (P) và (OAB) Nối MT cắt AB G Thiết diện là tam giác MLG (H2) 104 I.2.3 Mặt phẳng (P) qua điểm M v song song với mặt phẳng (Q) Phƣơng pháp Dựa vào tính ch t: Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến chúng song song Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a Khi đó (P)  (R) = a’,a’ // a a’ qua M Ta tìm thêm giao điểm a’ với các cạnh đa giác (R) Tiếp tục quá trình với các giao điểm dựng thiết diện Ví dụ Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện là hình gì? Giải: Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD)  (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // AB (NAD) Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD)  (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến NE // SA (ESD) S Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB)  (SAB) = SB Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến E // SB (F SC) Nối EF, ta thiết diện MF F là tứ giác MNEF Ta có (P) và (SCD) có MN // CD // AB) mà (P)  (SCD) = EF B A N M Suy EF // MN D Thiết diện MNEF là hình thang 105 C (CD Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’ cho AM : MD  D’N : NC’ Dựng thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD) Giải: M A Theo giả thiết: AM D ' N AM MD AD     MD NC ' D ' N NC ' D ' C ' D E C B Theo định lý Talet đảo MN, AD’, J DC’ cùng song song với mặt phẳng (P) nên MN // (C’BD) Ta có (ABCD) chứa M và (ABCD)  (C’BD) = BD F B' D' A' N I C' Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến ME // BD (E AB) Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’)  (C’BD) = C’D nên (P) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’) Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’ Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’ Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’ Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ I.3 Mặt phẳng (P) cho các yếu tố vuông góc I.3.1 Mặt phẳng (P) qua m t điểm M v vuông góc với m t đường thẳng d Phƣơng pháp Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d đó (P) là mặt phẳng qua M song song với a và a’ (Dựa vào tính ch t: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng d thì a // (P) a  (P)) 106 Ví dụ Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam giác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB Giải: Gọi I là trung điểm AB ta có SI S  AB (do tam giác SAB đều), BC  AB suy (P) qua M song song với BC, SI Xét mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD) có M chung và cùng song song với BC nên  P    ABCD   EF với G H D A I B F M E C EF qua M và song song với BC cắt AB CD E, F Tương tự (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB H, (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC G Thiết diện là tứ giác EFGH Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy Dựng thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC Giải: Kẻ AH  SC ta có AH  (P) S Ta có: BD  AC , BD  SA H nên BD  SC N Vậy (P) chứa AH và song song BD E Gọi O là giao điểm AC và BD, E là M B giao điểm SO và AH C O A 107 D Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB M, N Ta thiết diện là tứ giác AMHN Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB = a AA’ = a , M là trung điểm CA Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B A' B' Giải: P Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân C' C nên AB = a Tứ giác ABB’A’ là hình vuông  AB’  A’B Gọi H là trung điểm AB  CH  AB N A  CH  (ABB’A’)  CH  A’B Q H B M Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’ C E Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB N thì  P    ABC   MN Tương tự mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt BB’ P Kéo dài MN cắt BC E, nối EP cắt CC’ Q, nối MQ thiết diện là tứ giác MNPQ I.3.2 Mặt phẳng (P) qua m t đường thẳng d v vuông góc với m t đường thẳng l Phƣơng pháp Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d điểm M Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l H đó mặt phẳng (P) là mặt phẳng (H, d) Ví dụ 108 Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác cạnh a Qua AB dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện theo a và h Giải: Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có S SO  ( ABC ) đó SO  AB , gọi M là trung điểm AB tam giác ABC nên H CM  AB AB  ( SMC ) Trong mp(SMC) kẻ MH  SC ta có mặt A C phẳng (AHB)  SC O M Thiết diện là tam giác AHB Ta có : SAHB  MH AB B Theo giả thiết AB = a ta có MC  a a , OC  , a2 SO = h, SC  SO  OC  h  a h 3ah  Ta có: MH.SC = SO.MC  MH  a 2 3h  a h2  3a h SAHB  MH AB  3h  a 2 2 I.3.3 Mặt phẳng (P) qua đường thẳng d v vuông góc với mặt phẳng (Q) đã cho (d xiên góc với (Q)) Phƣơng pháp Tìm đường thẳng a vuông góc (Q) đó (P) qua d và song song với a (Sử dụng tính ch t: mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc với (Q) thì (Q) // d (Q)  d) 109 Ví dụ Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên Gọi M, N là trung điểm AB AC Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Giải: Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm S SI Do hình chóp nên BC  (SAI)  BC  AH  = SA nên Mặt khác: AI  AB H N A Q M (P) qua MN và song song AH C F E tam giác SAI cân ta có AH  SI vì AH  (SBC) nên (P) // AH P D B Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E đường thẳng song song với AH cắt SI F, F là điểm chung (P) và (SBC) Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB SC Q, P Thiết diện là tứ giác MNPQ Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB = a AA’ = a , M, N, I, K là trung điểm CA CC’, AB BB’ Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (IKC) Giải: 110 Ta tìm đường thẳng vuông góc (IKC) Theo giả thiết: A' CI  AB  CI   ABB ' A '  CI  A ' B  CI  AA ' B' K C' N A Lại có: AA’ = AB = a nên ABB’A’ là hình vuông nên M I B E G C A' B  AB ', IK / / AB '  A' B  IK suy A’B  (IKC) Vậy (P) chứa MN và song song với A’B H Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ H, nối NH cắt CB E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Gọi F là trung điểm SA M là điểm trên AD (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) Giải: Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA  (ABCD) Ta có:  AB  AD  AB   SAD   AB  SA  Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song song với AB Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường thẳng và song song với AB cắt BC N (P)  (ABCD) = MN S E F M B A N D C Tương tự mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với AB cắt SB E Nối EN thiết diện là tứ giác MNEF 111 Nhận xét: Qua số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm cách dựng thiết diện Tuy nhiên đề dựng thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều II Các bài toán liên quan đến thiết diện II.1 Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ Một số lƣu ý: - Thiết diện là đa giác nằm mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết diện là tính diện tích đa giác mặt phẳng Vì ta có thể áp dụng tất các phương pháp đã biết tính diện tích đa giác mặt phẳng để tính - Công thức diện tích tam giác: 1 abc S  ah  ab sin C   pr  2 4R p  p  a  p  b  p  c  - Công thức diện tích tứ giác bất kì ABCD: S AC.BD.sin  ,  =  AC, BD  - Công thức diện tích đa giác hình chiếu: S’ = S.cos - Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích thiết diện ta áp dụng các phương pháp tìm cực trị đã biết dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacovxki …dùng đạo hàm sử dụng tính chất hình học… - Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm ai, i = 1,2,3… a1  a2   an n  a1a2 an , đẳng thức a1= a2 =…= an n Ví dụ Ví dụ 21: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B a Xác định thiết diện hình tứ diện cắt mặt phẳng (IJK) b Tính diện tích thiết diện xác định câu a Giải: a Mặt phẳng cắt trường hợp này qua ba điểm không thẳng hàng 112 Nối IJ cắt AC N, nối IK cắt AB M Tam giác IMN là thiết diện cần tìm b Ta có M, N là trọng tâm các tam A giác ADK, ADJ nên AN  2 AC  AB  AM 3 I M 2a Suy MN // BC và MN  BC  3 N H D Áp dụng định lí cosin cho tam giác AIM: B IM2 = IA2 + AM2 – 2IA.AMcos600 Nên IM  K C a 13  IN J Gọi H là trung điểm MN ta có IH  MN và IH = a Vậy SIMN = a2 IH MN  Ví dụ 22: Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB (P) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD a Xác định thiết diện với tứ diện cắt (P) b Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi c Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn 113 Giải: A a Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M và AC, qua M kẻ đường thẳng và song Q M song với AC cắt BC N Mặt phẳng (ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường D B thẳng và song song với BD cắt AD Q N tiếp tục quá trình giao tuyến NP, QP thiết diện là hình bình hành MNPQ P C b MNPQ là hình thoi và MN = MQ MN // AC nên MN MB AC   MN  MB AC AB AB MQ // BD nên MQ MA BD   MQ  MA BD AB AB  MN  MQ  AC BD MA AC MB  MA   *  AB AB MB BD Vậy MNPQ là hình thoi M thỏa mãn (*) c Do MN // AC, MQ // BD nên góc MN, MQ không đổi, giả sử là  SMNPQ = MN.MQ.sinα = BD.AC MA.MB.sinα AB2 Để diện tích thiết diện lớn thì tích MA.MB lớn Mà MA + MB = AB không đổi nên tích đó lớn MA = MB hay M là trung điểm AB Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông A M là điểm bất kì thuộc AD (khác A D) Xét mặt phẳng (P) qua M song song SA CD a Thiết diện cắt mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì? b Tính diện tích thiết diện theo a b với AB = a SA = b và M là trung điểm AB 114 Giải: S a Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung, (P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song Q song với SA cắt SD Q Tương tự qua M kẻ đường thẳng và song song với CD cắt BC P M N C A D N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD cắt SC P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ B Có MN //PQ // CD // AB MQ // SA SA  AB nên thiết diện là hình thang vuông M, Q 3ab a b SMNPQ = (MN + PQ).MQ có MN = a MQ = = PQ nên S MNPQ  2 Ví dụ 24: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ tam giác ABC Xét mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AA’ Đặt AM = x ( a a ) x a Xác định thiết diện hình chóp cắt (P) b Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x Tìm x để thiết diện đó lớn Giải:a Theo giả thiết M thuộc OA’ S Ta có SO  (ABC)  SO  AA’, tam giác ABC N nên BC  AA’ Vậy (P) qua M song G H song với SO và BC Xét (P) và (ABC) có M chung Do (P) // BC nên kẻ qua M A F O M đường thẳng song song với BC cắt AB, AC E, F E B Tương tự kẻ qua M đường thẳng 115 A' C song song với SO cắt SA’ N, qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC H, Q Ta có thiết diện là tứ giác EFGH b Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang cân đáy HG, EF Khi đó: SEFGH = (EF + GH).MN  HG SN OM 2x và    HG  x  a BC SA' OA' MN MA'   MN  3a  x SO OA' = (EF + GH).MN = x  3a 3a  x 3 Cauchy 1  3a  3a = x  3a 6a  x     3   Ta có MN =  SEFGH SEFGH S EFGH         3a 3a đạt giá trị lớn và x  3a 3a Vậy giá trị lớn diện tích thiết diện x  Ví dụ 25: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm điểm M thuộc AA’ cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ 116 Giải: A' D' Gọi O là tâm hình lập phương và E là tâm đáy ABCD Đặt AB = a Do các mặt đối diện hình lập B' phương song song nên (BD’M) cắt các F M C' O mặt bên theo các giao tuyến song song A N H D Thiết diện là hình bình hành BMD’N E Kẻ MH  BD’ Ta có: SBMD’N = 2SBMD’ = BD’.MH B C Có BD’ = a  Smin  MHmin Do BD’ và AA’ chéo nên MH ngắn và MH là đoạn vuông góc chung AA’ và BD’ Cách xác định MH: Ta có AE  (BB’D’D) nên AE  BD’, AA’  (ABCD) nên AA’  AE Từ O kẻ OF // AE (F  AA’) thì OF chính là đoạn vuông góc chung AA’ và BD’ Ta có MH  OF hay M là trung điểm AA’ Ví dụ 26: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B AB = c, BC = a cạnh bên AA’ = h đó h2 > a2 + c2 Một mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với CA’ a Xác định thiết diện lăng trụ cắt mp (P) b Tính diện tích thiết diện 117 Giải: A' C' a Kẻ AE  CA’ (E  CC’) E Do h2 > a2 + c2 nên E thuộc đoạn B' CC’ Kẻ BH  AC ta có BH  (ACC’A’)  BH  A’C Mp (P) chứa AE và song song với BH H A C F Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng qua A và song song với BH cắt BC I, nối B IE cắt BB’ F, nối AF ta có thiết diện I là tam giác AEF Gọi  là góc (AEF) và (ABC) Ta có ABC là hình chiếu vuông góc S AEF trên mp(ABC) Do vậy: S ABC  S AEF cos  S AEF  ABC cos Ta có   CAE ngoài CAE  CA' A (cùng phụ với góc A’CA) AA' h  cos   ac ; S = ABC A 'C a  c2  h2 ac Vậy SAEF = a  c  h2 2h Ví dụ 27: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A Lấy S’ đối xứng với S qua A gọi M là trung điểm SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (P) qua S’, M song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích thiết diện đó SA = a Giải: S + Dựng thiết diện: Trong tam giác SAC M nối S’M cắt AC N Q Do (P) // BC nên (P) cắt (ABC) theo A giao tuyến qua N và song song với BC N P cắt AB P Tương tự (P) cắt (SBC) B theo giao tuyến qua M và song song với S' 118 E C BC cắt SB Q Thiết diện là tứ giác MNPQ Do tam giác ABC vuông cân C nên BC  AC, BC  SA  BC  (SAC)   MQ / / NP BC  MN Ta có   MNPQ là hình thang vuông  MQ  MN + Tính diện tích thiết diện: S   MQ  NP  MN Xét tam giác SCS’ có S’M, CA là trung tuyến nên N là trọng tâm tam giác SCS’ Xét tam giác ACB vuông cân C suy AC  CB  a NP AN 1 a Từ NP // BC ta có    NP  BC  BC AC 3 Từ MQ // BC và M là trung điểm SC nên MQ SM 1 a    MQ  BC  BC SC 2  ME  AC  Gọi E là trung điểm AC ta có ME // SA   a  ME  SA   2 a a a a NE = EA – AN =    MN  ME  NE   a a  a 5a 10   Vậy S    2  36 Ví dụ 28: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a cạnh bên a Xét đường thẳng d qua A và song song với BD Gọi (P) là mặt phẳng qua d và C’ a Thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a b Tính góc (P ) và (ABCD) Giải: D' C' a Gọi I, J là giao điểm d và A' CD, BC, M  d  JC ', N  d  IC ' M Thiết diện là tứ giác AMC’N có tứ giác AMC’N là hình bình B' N D I C A 119 B J Ta hành và M, N là trung điểm BB’, DD’ Từ đó suy AN=NC’ kết hợp AMC’N là hình bình hành nên thiết diện là hình thoi S AMC ' N  AC '.MN , MN  a 2; AC '  AC  CC '2  2a 2 S AMC ' N  AC '.MN  2a b Ta có tứ giác ABCD là hình chiếu tứ giác AMC’N trên (ABCD) gọi  là góc (P) và (ABCD) theo công thức diện tích hình chiếu ta có: S ABCD  S AMC ' N cos Mà SABCD = a2, SAMC’N = 2a2  cos     600 Ví dụ 29: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a chiều cao SO = a Dựng thiết diện cắt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện vừa dựng Giải: S H N E M C B O A D  SO   ABCD   SO  BD  BD   SAC   BD  SC *) Ta có  AC  BD  (P) là mặt phẳng qua A và song song với BD 120 Trong tam giác SAC kẻ AH  SC, AH cắt SO E Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB M, N Nối AM, AN, MH, NH thiết diện là tứ giác AMHN *) Do BD  (SAC)  MN  (SAC)  MN  AH Ta có: SAMHN = MN.AH Ta có: SA  SO2  OA2  a nên tam giác SAC suy H là trung điểm SC và E là trọng tâm tam giác SAC  MN SE 2a    MN  BD SO 3 Mặt khác AH là đường cao tam giác cạnh a nên AH  a a 2a a Vậy SAMHN =  2 3 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a và chiều cao a a Dựng thiết diện lăng trụ tạo (P) qua B’ và vuông góc với A’C b Tính diện tích thiết diện nói trên Giải: a Gọi E là trung điểm AC ta có:  BE  AC  BE   ACC ' A'  BE  A'C  BE  CC '  M A E C N B (P) là mặt phẳng qua B’ và song song với BE O Gọi E’ là trung điểm A’C’ ta có (P)  (A’B’C’) = B’E’ Gọi M là trung điểm A' AE Ta chứng minh E’M vuông góc A’C E' Thật vậy: Gọi O là giao điểm EE’ và A’C B' Ta có EE’ = A’E’ = a OE’ = ME = a nên A ' E ' O  MEE ' (cgc) 121 C'   A ' E ' M  E ' ME Mà   E ' A ' O  A ' E ' M  900   E ' ME  ME ' E  90 Suy ra: E’M  A’C hay (P)  (AA’C’C) = E’M Qua M kẻ đường thẳng song song BE cắt AB N Thiết diện là hình thang MNB’E’ b Do BE  (ACC’A’)  NM  (ACC’A’)  MN  ME Suy MNB’E’ là hình thang vuông chiều cao ME’ SMNB ' E '  1 BE  MN  B ' E ' ME '    BE  ME '  BE.ME ' 2  2a  a (đường cao tam giác cạnh 2a) Ta có : BE = 3a 15 a2 a S  ME '  EE'  ME  a   2 II Tính tỉ số thể tích phần khối đa diện bị chia thiết diện tính thể tích m t khối đa diện tạo thiết diện Một mặt phẳng chia khối chóp T làm hai phần là T1, T2 Khi đó ta cần xác định tỉ số thể tích hai phần thì phải làm nào? Thể tích là vấn đề chương trình lớp 12 nên phần này tác giả giới thiệu số bài tập, để sâu vào vấn đề này tác giả viết đề tài khác Một số lƣu ý kiến thức liên quan: Giả sử mặt phẳng (P) chia khối đa diện T thành Bài toán đặt là cần tính V1, V2 T1, T2 tỉ số k  V1 V2 - Nếu khối đa diện (P) chia thành khối T1, T2 thì VT  VT  VT - Công thức: Thể tích khối chóp: V  B.h ; Thể tích khối lăng trụ: V = B.h 122 - Nếu cắt các cạnh SA SB SC hình chóp SABC mp(P) A’, B’, C’ thì ta có công thức : VSA' B 'C ' SA' SB ' SC '  VSABC SA SB SC - Một khối đa diện T1, T2 có thể có hình dạng phức tạp Để tính khối giả sử V1 ta thường là sau: + Bổ sung vào T1 số tứ diện để đa diện có thể tính thể tích Khi đó V1 là hiệu số thể tích đó và tổng các thể tích các tứ diện bổ sung cho T1 + Chia T1 thành các khối đơn giản tính thể tích khối cộng lại Ví dụ 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên các cạnh BB’, DD’ lấy các điểm M, N cho MB’ = ND’ = a Dựng thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (AMN) Tính thể tích phần hình lập phương bị chia thiết diện và tỉ số thể tích phần đó Giải: Gọi K  AM  A' B '; L  AN  A' D ' Đường thẳng KL cắt B’C’, C’D’ F, E Mặt phẳng (AMN) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác AMFEN Gọi V, V1, V2 là thể tích khối K lập phương, khối đa diện chứa AA’ và F B' khối đa diện còn lại (chứa CC’) E Ta có V = a3 M A' V1 = VAKLA’ – VMB’KF – VND’EL Do MB’ = ND’ = a nên ta tính KB’ = B’F = ED’ = D’L = Suy ra: C' D' L N B a C D A 3a VAKLA’ = AA' A ' K A ' L  ; 123 a a a a3 VMB’KF = VND’EL =  3 2 72 Vậy V1 = 3a 2a 25a 25a3 47a3 V1 25  ;    V2  V  V1  a   72 72 72 72 V2 47 Ví dụ 32: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy Cạnh SC lập với mặt phẳng (SAB) góc 300 và SC = a Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC chia hình chóp thành phần Tính tỉ số thể tích phần đó Giải: Cách dựng giống ví dụ 15 thiết diện nhận là tứ giác AMHN S  BC  AB Ta có   BC  ( SAB ) nên  BC  SA H góc SC và mặt phẳng (SAB) là góc N M E BSC theo giả thiết thì BSC = 30 B C đặt V = VSABCD = 2VSABC, V1 = VSAMHN = 2VSANH, O A D V2 = V – V1 Ta có: V1  SN SH V SB SC Trong tam giác vuông SBC có SB = SCcos300 = a ; a a ; AC = BC = 2 2 a a  SA2  SC  AC  a   2 BC = SCsin300 = SA2 SH SC SA2 Do AH là đường cao tam giác vuông SAC nên    SC SC SC 2 BC  AN  BC  (SAB)   AN  SB Do  AN  SC  Từ SN là đường cao tam giác SAB : 124 a2 SA2 a SN SN      SB a SB 3 V SN SH Từ đó suy ra:    V SB SC 3 V V Nên  hay  V V2 Ví dụ 33: (Dự bị khối D - 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a và điểm K thuộc CC’ cho CK  a Mặt phẳng (P) qua A K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện đó Giải + Dựng mặt cắt: gọi O, O’ là tâm B' C' hình vuông ABCD và A’B’C’D’ gọi I O' K là giao điểm OO’ và AK thì I là A' D' F G điểm chung (P) và (BDD’B’) B Qua I kẻ đường thẳng và song song với I C O E BD cắt DD’, BB’ E, F Thiết diện là tứ giác AEKF A D + Gọi V là thể tích hình lập phương, V = a3 V1 = VABCDEGF, V2 là thể tích phần còn lại Ta có OI  KC Gọi G là trung điểm CK thì EGF.DCB là hình lăng trụ đứng tam giác Ta có: V1 = VA.BDEF + VE.KGF + VBDC.FEG 1 a a a3 VA.BDEF = AO.BD.OI  a  3 125 VEKGF = 1 a a3 EG .FG.GK  a.a  18 Vtrụ = ED.SBDC = Suy V1 = a a a3  a3 a3 a3 a3 2a    ; V2  18 3 Ví dụ 34: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a và các mặt bên nghiêng trên đáy góc 600 Một mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia hình chóp thành phần Tính tỉ số thể tích phần đó Giải: + Dựng thiết diện: S Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M, N là trung điểm AD, BC K SMN là tam giác cân S có góc E I đáy là 600 và (SMN)  AD Kẻ F M A đường cao NK tam giác SMN ta có NK  (SAD) Mặt phẳng (P) D O B N chứa AC và song song NK C Kẻ OI // NK (I SM) nối AI cắt SD E Thiết diện chính là tam giác ACE + Tính tỉ số: Đặt V = VSABCD = 2VDACS, V1 = VDACE, V2 = V – V1 Ta có: V1 DE  V DS Kẻ MF // AE (F  SD) ta có DE DE EF DA IM   ES EF ES AM IS Mà OI là đường cao tam giác vuông SOM nên: IM  OM     cot 60  IS  OS  126 Suy ra: Từ đó Vậy DE DE DE  còn   ES DS DE  ES V1 DE    , V DS 5 V1 V1   V2 V  V1 Ví dụ 35: Cho khối chóp tam giác SABC Trên cạnh SA lấy điểm M trên cạnh SB lấy điểm N cho: SM SN  ,  Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia MA NB khối chóp thành phần Tính tỉ số phần đó Giải: + Dựng thiết diện: Kéo dài MN cắt AB S I Xét (P) và (SAC) có M chung, (P) // SC nên qua M kẻ đường thẳng và song M song với SC cắt AC D Nối DI cắt BC E Thiết diện là tứ giác MNED A D N + Ta có E VA.MDI AM AD AI 2 16    VA.SCB AS AC AB 3 27  VA MDI B I 16  VS ABC ( BI=MJ= AB ) 27 1 VI BNE IB IN IE 1 1  VI BNE  VA.MDI  VS ABC    16 27 VI AMD IA IM ID 2 16 Gọi V1 = VAMD.BNE, V2 là thể tích phần còn lại V1 = VA.MDI – VI.BNE = V 5 VS.ABC nên V2 = VS.ABC   9 V2 127 C Ví dụ 36: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Trên A’B’ kéo dài lấy điểm M cho B’M = A’B’ Gọi N, P là trung điểm A’C’ và B’B a Dựng thiết diện lăng trụ bị cắt mặt phẳng (MNP) b Chứng minh thiết diện chia lăng trụ thành phần có tỉ số thể tích 49 : 95 Giải: a Gọi K = MN  B’C’ B' A' Q = MP  AB; K C' E = MP  AA’ Nối NE cắt AC I, nối QI thiết P diện là ngũ giác NKPQI b Gọi V1 là thể tích phần chứa AA’, V2 là thể tích phần còn lại (chứa Q A B I CC’) V1 = VEMNA’ - VE.AIQ – VMB’KP C E Gọi V, a h là thể tích, cạnh đáy, chiều cao lăng trụ a 2h Ta có V = h Ta có: MB ' P  PBQ  QAE  AE=BP=B'M= ; AI EA a    AI  ; A ' N EA ' VEAIQ 1 a 2h V  EA.SQIA  EA AI AQ.sin 60   288 72 3a h 3V a 2h V ; VMB ' KP  PB '.SMB ' K  VEMNA'  EA'.SMNA'    32 192 48 V1 = 3V V V 49V    ; 72 48 144 128 M V2 = V – V1 = Suy Vậy 95V 144 V1 49V 144 49   V2 144 95V 95 V1 49  V2 95 129 Ví dụ 37: (Học viện ngân hàng năm 1999 khối D) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và mội điểm M trên AB AM = x (0 < x< a) Xét mặt phẳng (P) qua M và chứa đường chéo A’C’ hình vuông A’B’C’D’ a Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt (P) b Mặt phẳng (P) chia khối lập phương thành khối đa diện; hãy tìm x để thể tích khối đa diện đó gấp đôi thể tích khối đa diện Giải: A M O B J N D C A' B' O' D' C' a + Dựng thiết diện: Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC N nối A’M, C’N ta có thiết diện là hình thang A’C’NM + Tính diện tích thiết diện: Kí hiệu hình vẽ ta có O’J là đường cao hình thang A’C’NM Ta có MN = 2MJ = MB  a  x OJ AM x x2 Do MN // AC nên và O ' J  a    OJ  OB AB   x2 Vậy Std  a   a  x  a  2 b (P) chia khối lập phương thành phần có thể tích gấp đôi 130 a3  VA'C ' NMB  VLP  Ta có: VA'C ' NMB  VA' BMN  VA' B'C ' NB 3 1 Ta có: VA' BMN  AA '.S BMN  a  a  x  a  2a  x  1 VA' BB 'C ' N  A ' B '.S BB 'C ' N  a.a  a  a  x   6 a  VA'C ' NMB   x  3ax  3a  Theo giả thiết ta có phương trình: 3  a a3 x  3ax  3a    x  a      III Bài tập tƣơng tự: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B với AB = BC = a AD = 2a SA = 2a và vuông góc với đáy Gọi M là điểm trên cạnh AB; (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB Đặt x = AM (0< x < a) a Tìm thiết diện hình chóp cắt (P) Thiết diện là hình gì? b Tính diện tích thiết diện trên Hướng dẫn: 131 Bài 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác cạnh a SA = a và vuông góc với đáy (ABC) Tìm thiết diện tứ diện SABC và mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện các trường hợp sau: a (P) qua S và vuông góc với BC b (P) qua A và trung tuyến SI tam giác ABC c (P) qua trung điểm M SC và vuông góc với AB Bài 3: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B AB = a SA vuông góc (ABC) và SA = a M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB đặt AM = x (0 < x < a), (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB a Xác định thiết diện tứ diện tạo (P) b Tính diện tích thiết diện theo a và x Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; SA = a và vuông góc đáy Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) a Xác định (P) Mặt phẳng (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? b Tính diện tích thiết diện 132 Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B AB = a SA vuông góc (ABC) và SA = a Gọi E, F là trung điểm SC, SB M là điểm trên AB đặt AM = x (P) là mặt phẳng chứa EM và vuông góc (SAB) Mặt phẳng (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a và x Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cạnh a AA’ vuông góc (ABC) và AA’ = a Gọi M, N là trung điểm AB và A’C’ Xác định thiết diện lăng trụ và mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’) Tính diện tích thiết diện Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi E, F là trung điểm C’D’, C’B’ Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành phần Tính thể tích phần Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với (ABCD), SA = h Gọi I, J, K là trung điểm SA BC, CD Chứng minh mặt phẳng (IJK) chia hình chóp thành phần có thể tích Bài 9: Cho hình chóp SABCD cạnh đáy a Xét mặt phẳng (P) qua A song song với CD và vuông góc với mặt phẳng (SCD), chia tam giác SCD thành phần với tỉ số diện tích (phần thứ chứa đỉnh) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I là điểm thuộc AB; đặt AI = x (0 < x < a) a Khi góc hai đường thẳng AC’ và DI 600, hãy xác định vị trí I b Tính theo a và x diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (B’DI) Tìm x để diện tích nhỏ Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm SA, BC, CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Bµi 12: Cho h×nh chãp tø gi¸c SABCD víi AD kh«ng song song víi CB Gäi M, N lµ trung ®iÓm cña SB vµ SC T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (AMN) Bµi 13: Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD ba ®iÓm A’ ; B’ ; D’ n»m trªn ba c¹nh SA ; SB ; SD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (A’ B’ D’ ) 133 Bµi 14: Cho tø diÖn ABCD Gäi H, K lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC Trªn ®-êng th¼ng CD lÊy ®iÓm M cho KM kh«ng song song víi BD T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn ABCD víi mÆt ph¼ng (HKM) Bµi 15: Cho h×nh chãp SABCD trªn SA, SB lÊy hai ®iÓm M, N cho SM= 2MA , NB = 2SN và trên trung điểm DC lấy điểm Q Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mÆt ph¼ng (MNQ) Bµi 16: Cho tø diÖn ABCD gäi M lµ trung ®iÓm AB, N lµ ®iÓm trªn BC cho BN = 2NC, K là trọng tâm tam giác ACD Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MNK) Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD Trên SA lÊy ®iÓm M, SB lÊy ®iÓm N cho MN//AB Gäi O lµ ®iÓm bÊt kú n»m tam gi¸c SCD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNO) Bµi 18: Cho tø diÖn ABCD LÊy M, N trªn AC vµ AD cho AM = 3MC, AN =2ND, O lµ ®iÓm n»m trªn ®-êng trung tuyÕn BB’ cña BCD cho OB’ =2OB X¸c định thiết diện cắt mặt phẳng (MNO) với tứ diện Bài 19: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song Gọi M và P là trung điểm SA và BC G là trọng tâm tam giác SCD Xác định thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MPG) Bµi 20: Cho tø diÖn ABCD Gäi E, F ,M lµ trung ®iÓm cña BD , CD vµ BC Trªn AE, AF lấy hai điểm I , J cho AI = IE , AJ = 2JF Xác định thiết diện với tứ diện cắt mp(MIJ) Bµi 21: Cho h×nh chãp S.ABC gäi E,F lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c SBC, vµ SCD M là trung điểm SA Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MEF) Bµi 22: Cho tø diÖn ABCD , M lµ ®iÓm trªn c¹nh AB, N vµ P lÇn l-ît n»m tam giác BCD và tam giác ACD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng MNP Bµi 23: Cho h×nh chãp S.ABCD M lµ trung ®iÓm cña SA, N vµ P lÇn l-ît lµ träng t©m các tam giác SBC và tam giác ACD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt ph¼ng (MNP) Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD là hình bình hành Gọi H là giao điểm các đ-ờng chéo đáy Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua H và song song với mặt ph¼ng (SAB) c¾t h×nh chãp 134 Bµi 25: Cho tø diÖn ABCD gäi M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¹nh AB vµ CD , E lµ ®iÓm chia BC theo tØ sè BE:EC = : Trªn ®o¹n th¼ng AM lÊy ®iÓm H T×m thiÕt diÖn t¹o mặt phẳng qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, E lần l-ợt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC Trên đoạn AM lấy điểm K Xác định thiết diện tạo bëi mÆt ph¼ng ®i qua K song song víi (MNE) c¾t h×h chãp Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N lần l-ợt là trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AD Trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm K T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua K song song víi mp(AMN) c¾t h×nh chãp Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm SC, H là giao điểm các đ-ờng chéo đáy hình chóp Trên đoạn AH lấy điểm M Tìm thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua M song song víi mp(BDE) c¾t h×nh chãp Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm SC , M lµ mét ®iÓm di déng trªn c¹nh SA , () lµ mÆt ph¼ng lu«n ®i qua C’ M vµ song song với BC Xác định thiết diện mà () cắt hình chóp S.ABCD Khi nào thiết diện là hình b×nh hµnh ? Bµi 30: Cho tø diÖn ABCD gäi G1; G2 ; G3 lÇn l-ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, ACD, ADB T×m thiÐt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng G1G2G3 Bài 31: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Gọi E và F lần l-ợt là trọng tâm hai tam giác SAC và SAB Xác định thiết diện với h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD Bài 32 Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song.Gọi M và N là trung điểm SA và SC Xác định thiết diện với hình chóp cắt bëi mÆt ph¼ng chøa M,N vµ vu«ng gãc víi mp(SBD) Bµi 33: Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA mp(ABCD) gäi I lµ ®iÓm trªn ®o¹n SA cho 2AI = IS J là điểm trên đoạn DC cho DJ = JC Xác định thiết diện với hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng qua I,J vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBD) Bµi 34 : Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng vµ SA (ABCD) Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC Hái (P) cÊt h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× ? Bài 35: Cho hình chóp S.ABCD ABCD có ACBD = O, SO  mp(ABCD), gọi I là trung điểm SO Xác định thiết diệt hình chóp cắt mặt phẳng qua I và vu«ng gãc víi SA Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông A và AB//DC Có SA mp(ABCD) Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng () qua A và vuông gãc víi SC 135 CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN A.Kiến thức cần nhớ: Khối đa diện bao gồm hình đa diện và phần bên hình đa diện Ta đã quen thuộc với các hình đa diện như: Hình chóp, hình chóp cụt, hình hộp hình lăng trụ,…Và bài học này, chúng ta biết nào là khối chóp, khối chóp cụt, khối hộp, khối lăng trụ,… biết làm nào để tính thể tích khối đa diện Miền đa giác  Một đa giác phẳng chia mặt phẳng thành hai miền: miền và miền ngoài  Một đa giác cùng với miền nó hợp thành hình gọi là miền đa giác Hình đa diện Hình đa diện là hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:  Hai đa giác không có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác là cạnh chung đúng hai đa giác Khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia không gian làm thành hai phần: phần bên và phần bên ngoài  Hình đa diện và phần bên nó gọi là khối đa diện 4.Một số loại khối đa diện thường gặp: a) Khối chóp tam giác: + Đặc điểm: đỉnh, mặt và cạnh mặt bên là hình tam giác, mặt đáy là hình tam giác + Thể tích: Giả sử S là diện tích mặt đáy và h là chiều cao hình chóp tam giác Khi đó ta có công thức tính thể tích: V  S h b) Khối chóp tứ giác: + Đặc điểm: đỉnh, mặt và cạnh mặt bên là hình tam giác, mặt đáy là hình tứ giác + Thể tích: Giả sử S là diện tích mặt đáy và h là chiều cao hình chóp tam giác Khi đó ta có công thức tính thể tích: V  S h c) Khối chóp cụt + Đặc điểm: đáy là hình đa giác, các mặt bên là các hình thang 136 131 + Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy lớn và S’ là diện tích đáy nhỏ, h là chiều cao hình chóp cụt Khi đó ta có công thức tính thể tích: V  (S  S ' S.S ').h d) Khối lăng trụ tam giác: + đặc điểm: đáy là hình tam giác, các mặt bên là các hình bình hành +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h e) Khối lăng trụ tứ giác: + đặc điểm: đáy là hình tứ giác, các mặt bên là các hình bình hành +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h f) khối lăng trụ tam giác đứng: + đặc điểm: đáy là hình tam giác, các mặt bên là các hình chữ nhật +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h g) Khối lăng trụ tứ giác đứng + đặc điểm: đáy là hình tứ giác, các mặt bên là các hình chữ nhật +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h Các loại khối đa diện đều: a) Khối tứ diện đều: mặt là hình tam giác b) Khối lập phương: mặt là hình vuông c) Khối mặt đều: mặt là hình tam giác d) Khối 12 mặt đều: 12 mặt là hình ngũ giác e) Khối 20 mặt đều: 20 mặt là hình tam giác +Phép dời hình không gian là phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì + Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành chính nó và biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) là mặt phẳng tring trực đoạn thẳng MM’ Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép dời hình + Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng khối đa diện phép đối xứng qua (P) biến khối đa diện thành chính nó +Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm là phép dời hình + Hai hình đa diện gọi là có phép dời hình biến hình này thành hình +Hai hình tứ diện chúng có các cạnh tương ứng 137 + Phép vị tự tâm O tỉ số k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ M’ cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là phép biến hình biến điểm M thành điểm + Hình gọi là đồng dạng với hình có phép vị tự biến hình thành hình mà hình Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S Khi đó: VS ABC SA SB SC  VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' Chú ý: 9.1 Các hệ thức lượng tam giác vuông: +) a2  b2  c2 A +) b2  ab ', c2  a.c ' +) a.h  b.c   2S  b c +) 12  12  12 ma B H c b a +) sin B  cos C  ,sin C  cos B  C M b c a b c +) tan B  cot C  , tan C  cot B  c b 9.2 Hệ thức lượng tam giác thường a/ Định lí sin: a b c    2R sin A sin B sin C b/ Định lí cosin: a2  b2  c2  2bc sin A 9.3 Các công thức tính diện tích tam giác S 1 abc a.ha  ab.sin C   pr  2 4R p( p  a)( p  b)( p  c) 9.4 Cách xác định góc: a/ Giữa hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a, b không gian là góc hai đường thẳng a’, b’ cùng qua O a O và song song với a và b *) 00   a, b   900 a' b  a // b a  b *) (a, b)  00   *) (a, b)  900  a  b 138 b' b/ Giữa đường thẳng và mặt phẳng: a A (a,( P))  (a, a ') đó a’ là hình chiếu a lên (P) a' O H P c/ Giữa hai mặt phẳng - Gọi  là giao tuyến (P) và (Q) và I  I - đường thẳng a  ( P) và vuông góc với  I a - đường thẳng b  (Q) và vuông góc với  I P b Q Khi đó: (a,b) = ((P),(Q)) 9.5 Các cách xác định khoảng cách: a/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng b/ Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song c/ Khoảng cách hai mp song song d/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo Chú ý: (cách tính khoảng cách gián tiếp) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) I A Khi đó ta có: B I A1 B1 P 139 d ( A, ( P)) AI  d ( B, ( P)) BI B I Nội dung chính Thể tích khối chóp Dạng 1: Thể tích khối chóp và khối chóp có cạnh bên Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên là 45o.Tính thể tích hình chóp S.ABC Giải Gọi F là tâm tam giác ABC => d(S,(ABC)) = SF Gọi D là trung điểm CB => { Mà (SCB) (ABC) = BC => ((SBC),(ABC)) = (SD,AD) = ̂ Xét có , ̂ = 45o và SB = a => SD = BD = √ => FD = √ => SF = √ √ √ Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: V = = Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp S.ABC Giải Gọi F là tâm tam giác ABC => d(S,(ABC)) = SF Gọi D là trung điểm CB => { Mà (SCB) (ABC) = BC => ((SBC),(ABC)) = (SD,AD) = ̂ = 60o √ Tam giác ABC nên ta có FD = Tam giác SDF vuông F vì SF vuông góc với (ABC) 140 √ => SF = DF.tan ̂ = Vậy thể tích hình chóp S.ABC là:V = = √ Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc mặt bên với mặt đáy 600 Hãy xác định góc đó S Giải Gọi M là trung điểm BC Ta có : (SBC)  (ABCD) = BC (ABCD)  AM  BC A (SBC)  SM  BC ( vì AM  hc SM ) ( ABCD ) B 60 M O  (( SBC ),( ABCD))  (SM , AM )  SMA  60o C Bài 4:Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải * S.ABC là hình chóp tam giác Gọi M là trung điểm BC S  ABC cạnh a , tâm O SO  (ABC) , SA=SB=SC = 2a *  ABC cạnh a  AM = a 3  3a A C O M B 2 3a  AO= AM   a 3  SABC  1 3a AB AC.sin 600  a 3.a  2 *  SAO vuông A có SO  SA2  AO2  a 3 3a a3 a  4 * VS ABC  S ABC SA  141 Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD S Giải * S.ABCD là hình chóp tứ giác ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O SO  (ABCD) , SA=SB=SC =SD = a A * Diện tích hình vuông ABCD :  AC = 2a  AO=  SABCD   2a   4a AC 2a  a 2 B O D C *  SAO vuông O có SO  SA2  AO2  a * VS ABCD Bài 6: 1 4a  S ABCD SA  4a a  3 Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải A * ABCD là tứ diện cạnh a Gọi M là trung điểm CD Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a  BCD cạnh a, tâm O  AO  (BCD) D B O *  BCD cạnh a  BM = a M 2 a a  BO= BM   3  SBCD C a2  a 3 a *  AOB vuông O có AO  AB  BO   a        2 142 * VABCD  S BCD AO  a a  a 3 12 Bài tập tương tự Bài 1: Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o h3 Đs: V  Tính thể tích hình chóp Bài 2: Cho hình chóp tam giác có đường cao h và mặt bên có góc đỉnh h3 Đs: V  o 60 Tính thể tích hình chóp Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a và ASB  60o 1) Tính tổng diện tích các mặt bên hình chóp Đs: S  a2 3 2) Tính thể tích hình chóp Đs: V  a3 Bài 4: Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 2h3 Đs: V  o 60 Tính thể tích hình chóp Bài 5: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a Đs: V  Tính thể tích hình chóp 8a3 3 Bài 6: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o Đs: V  Tính thề tích hình chóp a3 12 Bài 7: Cho hình chóp SABCD có tất các cạnh Chứng minh SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp này thể tích nó V  9a3 Đs: AB = 3a Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có AB  a, SA  a a Tính VS.ABC (SBC) b/ Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng 143 Bài 9: Cho hình chóp S.ABC, có AB  a , góc SA với mặt đáy (SBC) 300 a/ Tính VS ABC b/ Tính khoảng cách SA và BC Bài 10: Cho hình chóp S.ABC, có AB  a Góc giữ (SBC) và (ABC) 300 Tính VS ABC Dạng 2: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a, ACB  600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC S Giải * Ta có :AB = a , AB là hình chiếu SB trên (ABC)  (SB,( ABC ))  ( SB, AB)  SBA  45o A *  ABC vuông B có AB = a, ACB  60  BC  60 45 C B AB a a   tan 60 3  SABC  1 a a2 BA.BC  a  2 *  SAB vuông A có AB= a, B  450  SA  AB.tan 45o  a * VS ABC  S ABC SA  a a  a 3 18 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD S Giải Xác định góc (SBC) và (ABC) Ta có : (SBC)  (ABC) = BC SM  BC, AM  BC  ((SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA A B 60 144 D C * Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , AC  hc SC  (SC,( ABCD))  ( SC, AC)  SCA 60o , ( ABCD ) SABCD  a *  SAC vuông A có AC= a , C  600  SA  AC.tan 60o  a * VS ABCD  S ABCD.SA  a2 a  a 3 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải * Ta có : AB = a , (SBC)  (ABC) = BC S AB  BC ( vì  ABC vuông B) SB  BC ( vì AB  hc SB ) ( ABC )  ((SBC ),( ABC ))  (SB, AB)  SBA  60o A C 60 B *  ABC vuông B có AB = a ,BC =a  SABC  1 a2 BA.BC  a 3.a  2 *  SAB vuông A có AB= a, B  600  SA  AB.tan 60o  3a a2 a3 3a  2 *: VS ABC  S ABC SA  Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, cạnh BC = a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải 145 140 S * Ta có : AB = a , (SBC)  (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC C 45 A AM  BC ( vì  ABC cân A) SM  BC ( vì AM  hc SM ( ABC ) M B  (( SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  45o *  ABC vuông cân A có ,BC = a  AB = BC = a và AM =  SABC a 2 1 a2  AB AC  a.a  2 *  SAM vuông A có AM= a , M  450  SA  AB.tan 45o  a 2 * VS ABC  S ABC SA  a a  a 3 2 12 Bài : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và góc SC với (ABCD) 450 Hãy xác định góc đó S Giải Ta có : AC  hc( ABCD )SC A  (SC,( ABCD))  (SC, AC)  SCA  45o B O D 45 C Bài Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a , AC = a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải S Ta có : AB = a , AC = a ,SB = a *  ABC vuông B nên BC  AC  AB2  a  SABC  1 a2 BA.BC  a 2.a  2 C A B 146 *  SAB vuông A có SA  SB2  AB2  a * VS ABC  S ABC SA  a a  a 3 Bài : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải S Ta có : AC = a , SB = a  ABC vuông, cân B nên BA  BC  AC a  SABC C A 1 a2  BA.BC  a.a  2 B  SAB vuông A có SA  SB2  AB  a a2 a3 a  * VS ABC  S ABC SA  Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= AC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải S Ta có : SA = AC = a * ABCD là hình vuông :AC = AB  AB  AC a A ; SABCD  a , SA = a * VS ABCD  S ABCD.SA  a2 a  a3 D 147 B C Bài : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải S *  ABC cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a  SABC  C A B 1 BA.BC.sin 600  2a.2a  a2 2 *  SAB vuông A có SA  SB2  AB2  a * VS ABC  S ABC SA  a2 3.a  a 3 3 Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a , BAC  1200 cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải *  ABC cân A, BAC  1200 , BC = 2a ,AB = AC = BC = 2a Xét  AMB vuông M có BM = a ,  = 600  AM = BM a  a tan 60  SABC  1 AM BC  a.2a  a , SA = a 2 * 1 a3  S ABC SA  a 3.a  3 VS ABC S C A M B Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD 148 Giải S Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , SC = a * SABCD   a   2a 2 * Ta có : AC = AB = a 2  2a A D B  SAC vuông A  SA  SC  AC  a * VS ABCD C 1 2a  S ABCD SA  2a a  3 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, SA  (ABC), SB  a a/ Tính VS.ABC (SBC) b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, SA  (ABC), (SBC) tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, góc ACB  300 , cạnh AC  a Góc SB với mặt đáy (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , đáy ABC là tam giác cân A, góc BAC  1200 , cạnh BC  2a Góc (SBC) và (ABC) 450 Tính VS ABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA  (ABCD), SC = a a/ Tính VS.ABCD b/ Tính khoảng cách BD với SC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA  (ABCD), Góc SC với mặt đáy (ABCD) 300 a/ Tính VS.ABCD b/ Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD) và AC  2a Góc (SCD) với mặt đáy (ABCD) 300 a/ Tính VS.ABCD (ABCD) b/ Tính tan góc SC với mặt đáy 149 Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn A 600 SA  ( ABCD) , khoảng cách từ A đến SC a Tính VS ABCD Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, có AB  BC  a, AD  2a Mặt phẳng (SCD) hợp với đáy góc 600 Tính VS ABCD Bài 10: (KB – 2006 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N là trung điểm AD và SC; I là giao điểm BM và AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB S M A D I B N A C M D I H B C Dạng 3: Thể tích hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy Bài 1: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác ,BCD là tam giác vuông cân D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Giải Gọi H là trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) A Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a & HD = AD.cot60o = a BCD  BC = 2HD = B H C a 3 60 o D 150 2a 3 suy V = 1 a3 SBCD AH  BC.HD.AH  3 Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, có BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại tạo với mặt đáy góc 450.Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC và tính thể tích khối chóp SABC Giải a) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC) S Gọi I, J là hình chiếu H trên AB và BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả thiết SIH  SJH  45o H A 45 C I J Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là đường phân giác ABC đó suy H là trung điểm AC a b) HI = HJ = SH = B a3 S SH   VSABC= ABC 12 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Giải 1) Gọi H là trung điểm AB S SAB  SH  AB mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) D A B Vậy H là chân đường cao khối chóp 2) Ta có tam giác SAB nên SA = H a C a3 suy V  SABCD SH  151 a Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, tam giác SAC cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) Tính VS.ABC các trường hợp: a/ SB = a b/ SB tạo với mặt đáy góc 300 Bài 2: Cho tứ diện ABCD có BCD vuông cân B, CD  a , ACD cân A và nằm mặt phẳng vuông góc với (BCD) Tính VABCD biết AB tạo với mạt phẳng (BCD) góc 600 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, BC  a Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, các mặt bên (SAB) và (SBC) cùng tạo với đáy góc 450 a/ Chứng minh chân đường cao khối chóp là trung điểm AC b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,  SAD cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy góc 300 Tính VS ABCD Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a Tam giác SAD cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính VS ABCD biết SB tạo vơi đáy góc 300 Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân A và BC  a , tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC), góc (SAC) với mặt đáy (ABC) 450 Tính VS ABC Bài 7: (KA – 2007 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP 152 S S M M A B H A D C P T H N D B HD: Chứng minh N P C HD: T là trung điểm HB thì MT  ( ABCD)  BP  ( SHC )  BP  ( AMN )  ( SHC ) //( AMN ) a3 VCMNP  MT SCNP  96  BP  AM Bài 8: (KB – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,SB = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN S A D H M B N C Bài 9: (KA – 2009 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 153 S A B I K D C Bài 10: (2011D): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA  3a, BC  4a , mặt phẳng (SBC) vuôn góc với mp(ABC) Biết SB  2a và SBC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến (SAC) theo a S 2a 300 B K 4a H C D 3a A Dạng : áp dụng tỷ số thể tích + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách o Xác định đa giác đáy o Tình các tỷ số độ dài đường cao (nếu cùng đa giác đáy) diện tích đáy (nếu cùng đường cao) khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích S khối đã cho + Cách 3: Dùng tỷ số thể tích M 154 A K n N C B Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc đỉnh S Ta có : VS MNK  SM SN SK VS ABC SA SB SC Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Gọi M,N là trung điểm AB và AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải Cách 1: (dùng công thức thể tích V  S h ) * Khối chóp S.AMN có : Đáy là tam giác AMN , đường cao là SA S *  AMN có  = 600 , AM=AN = a  SAMN  1 a2 AM AN sin 600  a.a  2 , SA = a a2 a3 a  4 N * VS AMN  S AMN SA  A M Cách : ( Dùng công thức tỷ số thể tích) B Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc đỉnh A Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có V VA.SMN AS AM AN 1  VS AMN  VA.SMN  VA.SBC  S ABC    4 VA.SBC AS AB AC 2 Ta có : VS ABC 1 4a  S ABC SA  a  a3 3 Vậy VS AMN VS ABC a3   4 Bài : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Gọi M, N là trung điểm SB và SC Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM Giải Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc đỉnh S Do đó theo công thức tỷ số thể tích ta có VS AMN SA SM SN 1    VS ABC SA SB SC 2 155 C S N  VS AMN  VS ABC a 3.a a3   4 3a  VA.BCNM  VS ABC  4 M C A B Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi I là trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải Gọi O là giao điểm AC và BD S Ta có : IO // SA và SA  (ABCD)  IO  (ABCD)  VI ABCD  S ABCD IO I A B O D C Mà : S ABCD  a , IO  Vậy : VI ABCD  a a  SA a a3 Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất các cạnh a a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C b) Mp qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC E,F Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE Giải a) Cách tính trực tiếp a a a  2 12 gọi H là trung điểm B1C1 suy Vtd= A1 H S BCB  156 A C K B C1 A1 H B1 Tương tự gọi K là trung điểm AB Cách VCA B C  V A ABC  VLT 1 1 3 Nên VBCA B1  VLT  a a2 a3  12 b) cách Tính trực tiếp gọi Q là trung điểm A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC  d và F=BC  d (CKQ) chính là mp trung trực AB,FE Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE CK  Ta có S CQG  Mặt khác a a a2 13 , GK   QG  KQ  KG  a   a 12 12 2 1 a a S CQK  CK QK  a  3 2.S CQG 2a 13 2a 13 S CQG  QG.d (C , QG)  d (C , QG)    QG 13 a 12 1 2a 13 3a 13 5a  VC FEA1B1  d (C , QG).S FEA1B1  (a  ).a  3 13 2 12 54 157 Cách dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích ) A E C C2 G K F B C1 A1 Q B1 VCFEA1B1  2VCGQB1  CG CF 2 1 a a a VCKQB1B   CK CB 3 2 54 Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a ,SA=2a và SA  ABCD, Một mp qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD H,I,K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Giải Cách tính trực tiếp Ta có AC  AD  CD  3a  a  4a  AC  2a Nên SAC  cân A mà AI  SC nên I là trung điểm SC 2a  a 2 BC  AB, BC  SA( SA  ABCD )  BC  SAB Mà AH  SC cho nên ABC 1 SA.BA 2a    AH   2 2 AH AB AS SA  AB AI=SI= SC  Trong tam giác vuông HAI có HI  AI  AH  2a  158 4a a  5 S I K H D A Tương tự ta có AK= B C a 14 1 1 VSAHIK  VSIHA  VSIKA  SI AH HI  SI AK KI  SI ( AH HI  AK KI ) 3 2a a 2a a 14 8a  VSAHIK  a (  ) 35 5 Cách tính gián tiếp Tương tự các ta lập luận AH  SB, AK  SD SH SI SA 4a 4a VSABC  VSABC  .2a.a  SB.SC SB 5a 35 4a Tương tự VSAIK  35 8a Do đó VSAHIK= 35 VSAHI  Bài tập áp dụng Bài 1:Cho hai đường thẳng chéo x và y lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y CMR VABCD không đổi Bài 2: Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với và nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung Các điểm M,N chuyển động trên Am,Bn cho MN=AM+BN a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu O trên MN CMR VHOAM MH  VHOBN NH Bài : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác cạnh a A1A =2a và A1A tạo với mpABC góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA 159 Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và  BSA=600,  ASC=1200,  CSB=900 Hãy tính thể tích chóp Bài :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b Gọi E,F là trung điểm B1C1 và C1D1 Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Bài Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P BC,BD,AC cho BC=4BM, BD=2BN,AC=3AP MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P thuộc các đoạn A1A,BC,CD cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần tính thể tích phần Bài (KD – 2006 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp S A.BCNM K H C A B Dạng : bài toán thể tích liên quan đến cực trị Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N,mpAMN cắt SC K Xác định M thuộc SB cho VSAMKN đạt giá trị lớn và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn và nhỏ đó 160 Giải S K M G N A D O B C Gọi O Là tâm hcn ABCD Ta có SG= SO và K=A G  SC và K là trung điểm SC VSMAK SM SA SK SM SM SM   VSMAK  VSBAC  VSABCD  a.b.c VSBAC SB SA SC SB SB 12 SB Tương tự VSNAK  Do đó VSAMKN SN a.b.c 12 SC SM SN (  ).a.b.c 12 SB SC S H M G N D O Trong (SBD) B S SMN SM SN S SMG  S SGN S S SG.SM SG.SN    SGM  SGN   S SBD SB SC 2S SBO 2S SBO 2S SOD 2.SO.SB 2.SO.SC  SM SN SM SN  (  ) SB.SC SB SC Do M,N nằm trên cạnh SB,SD nên SB SM  SM  SB   1 2 SB 161 Đặt t= SN SN SN t SM (  t  ) thì t  (t  )  SC SC SC 3t  SN Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN f(t)= Ta có f (t )   SM SN t với  t   t SB SC 3t  9t  6t  (3t  1) (3t  1) 2 Nên f (t )   t  , t  (loại) f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3 VSAMKN = VSAMKN = abc là GTLN M là trung điểm SB M trùng với B abc là GTNN MB chiếm phần SB Bài tập áp dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= , Cạnh BC=x, khoảng cách BC và AD y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min Baì Trong (P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC Lấy điểm M thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy cho mpBDM vuông góc với mpBDN a) Tính AM.CN theo a b) Xác định vị trí điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt 162 II Thể tích khối lăng trụ Dạng : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Bài Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Giải Ta có ABC vuông cân A nên AB = AC = a B’ ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA'  AB AA'B  AA'2  A'B2  AB2  8a2 3a C’  AA'  2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 C A’ B a√2 A Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này Giải Giải ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a ABCD là hình vuông  AB  C' D' A' 3a B' 4a 9a2 Suy B = SABCD = 5a C D A B Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a Bài 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác cạnh a = và biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi I là trung điểm BC Ta có ABC nên 163 C' A' B' AB AI   & AI  BC  A 'I  BC 2S SA'BC  BC.A'I  A'I  A'BC  BC A C I AA'  (ABC)  AA'  AI B A'AI  AA'  A'I2  AI2  Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Bài 4: Một bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này C' D' Giải Theo đề bài, ta có A' B' D AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có C AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm A B Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3 Bài 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp Giải Ta có tam giác ABD nên : BD = a và SABCD = 2SABD = a2 Theo đề bài BD' = AC = C' D' B' A' a a C D DD'B  DD'  BD'2  BD2  a a3 Vậy V = SABCD.DD' = A 164 60 B Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm AC và BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ Bài : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ Bài : Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE Bài 4: cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1, Bài 5: Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 6: (DB06) AB  AD  a, AA '= Cho hình a , BAD  60 Gọi a/ Chứng minh AC '  ( BDMN ) N A' hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ co các cạnh M, N là trung điểm A’D’ và A’B’ b/ Tính thể tích khối chóp A.BDMN B' E M D' C' I A B O D C Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a và đường chéo 165 5a Tính thể tích khối lăng trụ này Bài 8: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có khoảng cách AB và A1D Độ dài đường chéo mặt bên a/ Hạ AK  A1D Chứng minh AK = b/ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho Bài 9: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC  a và biết A ' B  3a Tính thể tích khối lăng trụ Bài 10: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC  600 , AC  BD ' Tính thể tích khối lăng trụ theo a Bài 11: Đáy hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi có đường chéo nhỏ là a và góc nhọn là 600 Diện tích mặt bên khối hộp là a 2 Tính thể tích khối hộp Bài 12: Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a Diện tích tam giác ABC’ là a Tính thể tích khối lăng trụ Dạng 2; Lăng trụ đứng có góc đường thẳng và mặt phẳng Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' Giải Ta có A'A  (ABC)  A'A  AB&AB là hình chiếu A'B trên đáy ABC B' Vậy góc[A'B,(ABC)]  ABA'  60o ABA'  AA'  AB.tan 600  a SABC = BA.BC  a C A 2 o 60 Vậy V = SABC.AA' = a B Bài 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' và thể tích lăng trụ 166 A' Giải C' B' 30 A ABC  AB  AC.tan60o  a o C a o 60 B Ta có: AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C) nên AC' là hình chiếu BC' trên (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o AB AC'B  AC'   3a t an30o V =B.h = SABC.AA' AA'C'  AA'  AC'2  A'C'2  2a a2 ABC là nửa tam giác nên SABC  Vậy V = a Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích các mặt bên lăng trụ Giải Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta A' D' có: DD'  (ABCD)  DD'  BD và BD là hình chiếu BD' trên ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD'  300 o C B a 30 BDD'  DD'  BD.tan 300  D A Vậy V = SABCD.DD' = a S = 4SADD'A' = 4a a 3 Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh C' B' a và BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp 167 Giải C' B' ABD cạnh a  SABD  A' D' A 60 C B o 30 o D a a2 a2 ABB' vuông tạiB  BB'  ABt an30o  a 3a3 Vậy V  B.h  SABCD BB'   SABCD  2SABD  Bài tập vận dụng Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông A,AC=a,  ACB=600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ Bài 2: Cho khối trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy là tam giác cạnh a, A1B tạo với mp đáy góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông A với AC = a, ACB  600 , biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' và thể tích lăng trụ Bài 4: Lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy là a đường chéo AC’ tạo với mặt bên BCC’B’ góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc hai mặt phẳng Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ Giải: A' C' Ta có A'A  (ABC)&BC  AB  BC  A'B B' A C o 60 B Vậy góc[(A'BC),(ABC)]  ABA'  60o ABA'  AA'  AB.tan 600  a SABC = BA.BC  a 2 Vậy V = SABC.AA' = a Bài 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác Mặt 168 (A’BC) tạo với đáy góc 300 và diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải: C' A' ABC  AI  BC mà AA'  (ABC) nên A'I  BC (đl  ) Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A'IA = 30o B' 2x  x Ta có Giả sử BI = x  AI  A' AI : A' I  AI : cos 30  30o A  2x 3  2x x Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x =  x  Do đó VABC.A’B’C’ = C B AI A’A = AI.tan 300 = x xI Bài 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật D' C' A' B' C D 60 O A B a Giải Gọi O là tâm ABCD Ta có ABCD là hình vuông nên OC  BD CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl  ) Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 a OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a Vậy V = Bài :Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Giải Ta có AA'  (ABCD)  AC là hình chiếu A'C trên (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA  30o 169 D' A' C' B' 2a D A o 60 o 30 C B BC  AB  BC  A'B (đl  ) Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A'BA  60o A'AC  AC = AA'.cot30o = 2a A'AB  AB = AA'.cot60o = 2a 3 4a ABC  BC  AC2  AB2  3 Vậy V = AB.BC.AA' = 16a Bài tập tương tự Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân A,góc A1A và BC1 300, khoảng cách chúng a Góc hai mặt bên qua A1A 600 hãy tính thể tích khối trụ Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân A, BC  2a , Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 a/ Chứng minh AB  ( ACC ' A ') b/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a c/ Tính khoảng cách từ A đến đến mp(A’BC) mp(BCC’B’) d/ Tính từ AA’ đến Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ , góc mặt phẳng (C’AB) với (ABC) 300 , khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) a Tính khoảng cách từ C đến mp(C’AB) và thể tích khối lăng trụ Bài 4: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, góc (B’AC) với mặt đáy (ABCD) 600 , khoảng cách từ B đến (B’AC) a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Bài 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a , biết cạnh bên là a và hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ 170 A' Giải Ta có C'H  (ABC)  CH là hình chiếu CC' trên (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)]  C'CH  60o 3a CHC'  C'H  CC'.sin 600  2 SABC =  a Vậy V = SABC.C'H = 3a C' B' C A B a o 60 H Bài 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ Giải 1) Ta có A'O  (ABC)  OA là hình chiếu AA' trên (ABC) Vậy góc[AA',(ABC)]  OAA'  60o B' Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên lăng trụ) o 60 AO  BC trung điểm H BC nên A C BC  A'H (đl  ) O  BC  (AA'H)  BC  AA' mà AA'//BB' a H nên BC  BB' Vậy BB'CC' là hình chữ nhật B 2) ABC nên AO  AH  a  a 3 3 AOA'  A'O  AOt an60o  a Vậy V = SABC.A'O = a Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = , A' C' AD = Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 và 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên 171 Giải Kẻ A’H  (ABCD ) ,HM  AB, HN  AD  A' M  AB, A' N  AD (đl  )  A'MH  45o ,A'NH  60o Đặt A’H = x Khi đó 2x A’N = x : sin 600 = 3  4x  HM AN = AA'  A' N  Mà HM = x.cot 450 = x 2  4x x Nghĩa là x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x 3 = 7 Bài tập tương tự Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 600 a/ Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật b/ Tính thể tích lăng trụ Bài 2: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a, biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm BC và AA' = a a/ Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ b/ Tính thể tích lăng trụ Bài 3: (NGT 2011) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông A, AB  a, AC  a 3, A ' A  A ' B  A ' C Mặt phẳng ( A ' AB) hợp với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ và cosin góc BC và AA’ 172 A' N I C B H M A Bài 4: (2011B) Cho lăng trụ ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD  a Hình chiếu vuông góc A1 lên mặt phẳng ABCD trùng vào giao điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng ( A1BD) theo a A1 B1 D1 C1 A E B H 600 O D C Bài 5: (2012D) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A ' C  a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Bài 6: (DTH 2011) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân A AB  2a, BAC  1200 Hình chiếu A’ lên đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết ta giác A’BC vuông A’ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho 173 Bài 7: (2010B) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  a , góc mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) 600 G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a 174 CHUYÊN ĐỀ: KHỐI TRÒN XOAY A Kiến thức cần nhớ I Định nghĩa Mặt tròn xoay Trong không gian cho hình H và đường thẳng ∆.Hình gồm tất các đường tròn (CM) với M thuộc H gọi là hình tròn xoay sinh H quay quanh ∆.Đường thẳng ∆ gọi là trục hình tròn xoay đó Khi hình H là đường thì hình tròn xoay sinh nó còn gọi là mặt tròn xoay II Mặt cầu, khối cầu Mặt cầu S(O; R) là tập hợp {M | OM = R} Khối cầu S(O; R) là tập hợp {M | OM ≤ R} Mặt cầu là hình tròn xoay sinh đường tròn quay quanh đường thẳng chứa đường kính đường tròn đó Khối cầu là hình tròn xoay sinh hình tròn quay quanh đường thằng chứa đường kính hình tròn đó Giao mặt cầu S(O; R) và mp(P) phụ thuộc vào R và khoảng cách d từ O đến (P) Giả sử H là hình chiếu O trên mp(P) Khi đó : - Nếu d < R thì giao là đường tròn nằm trên (P) có tâm H, bán kính r √ ; - Nếu d = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) H ; - Nếu d > R thì mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) Giao mặt cầu S(O; R) và đường thằng Δ phụ thuộc vào R và khoảng cách d từ O tới Δ Giả sử H là hình chiếu O trên Δ Khi đó : - Nếu d < R thì đường thẳng Δ cắt mặt cầu S(O; R) điểm phân biệt ; - Nếu d = R thì Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) H Các đường thằng tiếp xúc với mặt cầu H nằm trên tiếp diện mặt cầu H ; - Nếu d > R thì Δ không cắt mặt cầu S(O; R) Về các tiếp tuyến mặt cầu qua điểm A nằm ngoài mặt cầu : - Các đoạn thẳng nối A và các tiếp điểm - Tập hợp các tiếp điểm là đường tròn Hình cầu bán kính R có diện tích 4π và có thể tích π III Mặt trụ, hình trụ và khối trụ Mặt trụ là hình tròn xoay sinh đường thẳng l xoay quanh đường thẳng D song song và cách l khoảng R D gọi là trục, R gọi là bán kính, l gọi là đường sinh 175 Mặt trụ có trục Δ, bán kính R là tập hợp tất các điểm cách đường thẳng Δ khoảng R Định nghĩa khác, mặt trụ là tập hợp tất điểm cách đường thẳng D cố định khoảng R không đổi Hình trụ là phần mặt trụ nằm mặt phẳng phân biệt vuông góc với trục mặt trụ, cùng với hai hình tròn giới hạn đường tròn là giao tuyến mặt trụ với mặt phẳng nói trên Hình trụ là hình tròn xoay sinh bốn cạnh hình chữ nhật quay quanh đường trung bình hình chữ nhật đó Diện tích xung quanh hình trụ tích số chu vi đường tròn đáy và chiều cao Diện tích toàn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên hình trụ đó Khối trụ là hình tròn xoay sinh hình chữ nhật (kể các điểm nằm nó) quay quanh đường trung bình hình chữ nhật đó Thể tích khối trụ tích số diện tích đáy và chiều cao V  Bh   r 2h Sxq  2 rl Stp  S xq  2Sđáy 4.Tính chất + ếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) mp thì ta đường tròn có t m trên mặt trụ đó vuông góc với trục và có bán kính r với r c ng chính là bán kính + ếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) mp trục không vuông góc với cắt tất các đường sinh, ta giao tuyến là đường elíp có trụ nh 2r và trục lớn + Cho mp 2r , đó sin là góc trục và mp với 00 900 song song với trục mặt trụ tròn xoay và cách khoảng k 176 - ếu k r thì mp cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật - ếu k r thì mp tiếp x c với mặt trụ theo đường sinh - ếu k r thì mp không cắt mặt trụ IV Mặt nón, hình nón và khối nón Mặt nón là hình tròn xoay sinh đường thẳng l quay quanh đường thẳng Δ cắt l không vuông góc với l Mặt nón đỉnh O, trục Δ (O thuộc Δ), góc đỉnh 2α là hình gồm tất các đường thẳng qua O và tạo với Δ góc α ( ) Xét hai đường thẳng d và ∆ cắt O và tạo thành góc a với 00<a< 900 Mặt tròn xoay sinh đường thẳng d quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O Đường thẳng ∆ gọi là trục Đường thẳng d gọi là đường sinh Góc 2a gọi là góc đỉnh mặt nón Hình nón là hình tròn xoay sinh ba cạnh tam giác cân quay quanh trục đối xứng tam giác đó Diện tích xung quanh hình nón nửa tích số chu vi đáy và độ dài đường sinh Diện tích toàn phần hình nón tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy Phần mặt nón giới hạn mặt phẳng (P) vuông góc với trục tới đỉnh O gọi là hình nón Điểm O gọi là đỉnh hình nón Đường tròn (C) gọi là đường tròn đáy Hình tròn (C) gọi là đáy hình nón Khối nón là hình nón cùng với phần bên hình nón đó Khối nón là hình tròn xoay sinh tam giác vuông (kể phần trong) quay quanh đường thẳng chứa cạnh góc vuông Thể tích khối nón phần ba tích số diện tích đáy và chiều cao 1 V  Bh   r h 3 Sxq   rl Stp  S xq  Sđáy 177 4.Tính chất * ếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng i a nh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh Thiết diện là tam giác c n + Mặt phẳng tiếp x c với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện mặt nón * ếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng h ng i a nh thì có các trường hợp sau xảy ra: + ếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón giao tuyến là đường tròn + ếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón giao tuyến là nhánh hypebol + ếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón giao tuyến là đường parabol V Kiến thức mở rộng VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU R O R M M O R H H H M P P 178 O P - OH > R  Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không có điểm chung - OH = R  Mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc H Khi đó:  Mặt phẳng tiếp xúc gọi là tiếp diện, H gọi là tiếp điểm;  Tính chất : Tiếp diện vuông góc với bán kính tiếp điểm - OH < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm H và bán kính r  R2  OH - Nếu OH = (hay O  H): Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm O và bán kính R  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU (C) (C) O  H R O  P (C) O A  H B H Giả sử đường thẳng () không qua O Khi đó mp(O,)S(O,R) = C(O,R) Gọi OH là các khoảng cách từ O tới () - OH > R  () và (S) không có điểm chung - OH = R  () tiếp xúc với (S) H Khi đó:  () gọi là tiếp tuyến, H gọi là tiếp điểm  Tính chất: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tiếp điểm - OH < R  () cắt (S) điểm MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp 179 Hình a diện Tất các đỉnh hình đa diện nằm trên mặt cầu Tất các mặt hình đa diện tiếp xúc với mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy hình trụ nằm trên mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và đường sinh hình trụ Hình nón Mặt cầu qua đỉnh và đường tròn đáy hình nón Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và đường sinh hình nón XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN • Cách 1: Tìm điểm cách các đỉnh đa diện Xác định điểm O cách các đỉnh hình đa diện Khi đó O là t m mặt cầu ngoại tiếp (Thường tìm đỉnh cho từ (n – 2) đỉnh còn lại đa diện nhìn hai đỉnh đó góc vuông thì tâm mặt cầu là trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh đó) • Cách 2: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy B1 Dựng trục d qua t m I đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ABCD B2 Dựng mặt phẳng trung trực    cạnh bên SA Gọi d O là giao điểm d và    thì ta có:  O  d  OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC  OD  OS  O    OA  OS     B3 Kết luận : Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu là R = OA Đặc biệt: S M O D A I B C Hình chóp có đường thẳng d là trục đường tròn đáy  Tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm d và mặt phẳng trung trực cạnh bên (nếu có cạnh bên SA và d đồng phẳng thì dựng đường trung trực cạnh bên SA đó mp (d, SA) • Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ B1 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp; B2 Xác định toạ độ các điểm có liên quan; 180 B3 Sử dụng kiến thức toạ độ để giải yêu cầu bài toán B Hệ thống bài tập  Mặt Cầu, khối cầu Nhận xét: Các bài tập mặt cầu, khối cầu quan trọng là việc xác định mặt cầu, xác định tâm và bán kính mặt cầu đó Chính vì chúng ta tìm cách xác định mặt cầu, xác định tâm và bán kính mặt cầu PhÇn 1: MÆt cÇu ngo¹i tiÕp 1.MÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp a Trôc cña ®-êng trßn ( O; R ) : §-êng th¼ng d gäi lµ trôc cña ®-êng trßn (O; R) và d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đ-ờng tròn đó b MÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp : H×nh chãp S.A1A2 An néi tiÕp mÆt cÇu (S) vµ đáy nó là đa giác nội tiếp đ-ờng tròn MÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh l¨ng trô a Một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp và nó là hình lăng trụ đứng và đáy lµ mét ®a gi¸c néi tiÕp mét ®-êng trßn b Cũng t-ơng tự hình chóp ta còn tìm điểm O cách tất các đỉnh hình l¨ng trô Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác cạnh đáy a, góc mặt bên và đáy là φ Lêi gi¶i: S Gi¶ sö S.ABC lµ h×nh chãp tam gi¸c I cạnh đáy a Gọi M là trung điểm BC, O C G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó, A theo gi¶ thiÕt cña bµi to¸n th× SG chÝnh N lµ trôc cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c G M B 181 ABC vµ SMG = φ Gäi I lµ trung ®iÓm SA, kÎ ®-êng trung trùc cña SA c¾t SG t¹i O, ta cã : OS = OA = OB = OC, suy O chÝnh lµ t©m cña mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp, b¸n kÝnh OS.Ta cã AM = suy AG  AM  ta cã : AB  BM  a  a2 a  a a ; GM  AG  Trong tam gi¸c vu«ng SGM GM GM a , tam gi¸c vu«ng SGA:  cos  SG   SG cos 6cos Hai tam giác vuông SGA và SIO đồng dạng nên ta có SO SI , suy ra:  SA SG SA.SI SA2 a (1  4cos ) 3cos a(1  4cos )    VËy b¸n kÝnh cña mÆt cÇu (S) lµ SG 2SG 12cos a a(1  4cos ) R  SO  SO  Bài 2: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA vuông góc với đáy, SA = 2a, ABC là tam giác cạnh a Lêi gi¶i: Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, d lµ ®-êng th¼ng qua G vµ vu«ng gãc víi mặt phẳng (ABC) Khi đó, d chính là trục đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC I lµ trung ®iÓm SA suy SA // d Gäi I lµ trung ®iÓm SA, kÎ ®-êng trung trùc cña SA qua I cắt d O Khi đó, OS = OA = OB = OC, suy O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp SABC, 182 S b¸n kÝnh R = OS T-¬ng tù bµi ta cã AG  I a a , AI  OG  , O suy R  OA  OG  AG  C A a a a 21   G N Bài 3: ( Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy ) M B Cho tø diÖn ABCD cã AB = AC = a; BC = b Hai mÆt ph¼ng (BCD) vµ (ABC) vu«ng gãc víi nhau, gãc BDC b»ng 900 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b Lêi gi¶i: Gäi M lµ trung ®iÓm BC, hai mÆt ph¼ng A (ABC) vµ (BCD) vu«ng gãc víi nªn AM  (BCD), mÆt kh¸c, tam gi¸c BCD N vu«ng t¹i D nªn M chÝnh lµ t©m cña ®-êng O trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD, suy ra, AM B lµ trôc cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c M BCD Do vËy, t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD còng chÝnh C lµ t©m vµ b¸n kÝnh cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Tam gi¸c ABC cã AB = AC = a, BC = b suy b2 4a  b AM  AB  BM  a   2 2 vµ SABC= AM BC  D b 4a  b a.a.b a2  Do vËy, R  4S ABC 4a  b Bµi 4: ( Chøng minh c¸c ®iÓm cïng thuéc mét mÆt cÇu) 183 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, AB = c, AC = b, góc BAC = φ Gọi B1, C1 lần l-ợt là hình chiếu vuông góc A trên SB, SC Xác định tâm và bán kính mặt cầu ®i qua n¨m ®iÓm A, B, C, B1, C1 Lêi gi¶i : S Gäi AD lµ ®-êng kÝnh cña C1 ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Khi đó, vì BD  AB và BD  SA nên B1 BD  (SAB) suy BD  AB1 mµ AB1  SB (gi¶ thiÕt) nªn AB1  (SBD) A suy AB1  DB1 Chøng minh t-¬ng C φ tù ta còng cã AC1  DC1, nh- vËy B ®iÓm A, B, C, B1, C1 cïng nh×n AD D d-íi mét gãc 900 hay ®iÓm nµy n»m trªn mÆt cÇu ®-êng kÝnh AD Ta cã, SABC= R abc suy bc sin  = 4R a mà theo định lý côsin ta có 2sin  a = b2 + c2 – 2bc.cos φ, vËy R  b2  c  2bc.cos 2sin  Bài (Xác định tâm mặt cầu cách tìm điểm cách tất các đỉnh hình ®a diÖn) Tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh còn lại có độ dài a Xác định tâm và tính bán kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD Lêi gi¶i : Theo gi¶ thiÕt cña bµi to¸n ta cã hai tam gi¸c 184 ACD vµ BCD lÇn l-ît vu«ng t¹i A vµ B Gäi O là trung điểm CD suy ra, O cách tất A các đỉnh hình tứ diện Do vËy, O chÝnh lµ t©m cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu lµ: D B R CD a O Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD = 3; AC = BD = 5; AD = BC = Xác định tâm C vµ tÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn Lêi gi¶i : Gäi I, J lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD th× dÔ thÊy IJ  AB A vµ IJ  CD, bëi vËy: NÕu gäi O lµ trung ®iÓm cña IJ th× OA = OB, I OC = OD Ngoµi ra, v× AB = CD = nªn O hai tam gi¸c vu«ng OIB vµ OIC b»ng nhau, B đó OB = OC Vậy O cách bốn đỉnh D A, B, C, D MÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD cã t©m O vµ cã b¸n kÝnh R = OA Ta cã: OA2  OI  AI  C IJ AB IJ    4 2 V× CI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC nªn CI  2a  2b2  c 113  4 113 c 113     26 Suy IJ  CI  CJ  4 2 Nh- vËy : R  OA2  J 26  35 35  R 4 185 Bµi ( mét sè bµi to¸n vÒ h×nh l¨ng trô) Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1, đáy ABC là tam giác có góc BAC 1200 , AB = a, AC = 2a, đ-ờng chéo AB1 mặt bên ABB1A1 tạo với đáy góc 750 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Lêi gi¶i: E A M N Trong tam giác ABC theo định lý C B c«sin ta cã : BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos1200 = O a + 4a + 2a = 7a  BC  a 2 2 I mµ BC = 2Rsin1200 nªn b¸n kÝnh r A1 cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c E ABC b»ng : r C1 B1 BC a a 21 Theo gi¶ thiÕt   2sin120 3 AB1 tạo với đáy góc 750 nªn gãc BAB1 = 750 suy ra, tam gi¸c vu«ng ABB1 ta cã : BB1  AB.tan 750  a.tan(450  300 )  a.(2  3) Gäi E, E1 lÇn l-ît lµ t©m cña c¸c ®-êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ A 1B1C1 Khi đó, EE1 là trục các đ-ờng tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là trung điểm BB kÎ ®-êng trung trùc cña BB1 c¾t EE1 t¹i O suy OA = OB = OC = OA1 = OB1= OC1 hay O chÝnh lµ t©m cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh l¨ng trô b¸n kÝnh R = OB Ta có OI = EB = r , áp dụng định lý Pitago tam giác vuông OIB ta có: OB2 = OI2 + IB2 = 7a a (2  3) (49  12 3)a 49  12    R  a 12 12 186 [§¹i häc S- ph¹m Vinh 2000] Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA1B1C1D1 cã AB = p, AD = q, AA1 = r, < p < q < r Gäi I, J lÇn l-ît lµ trung ®iÓm AB, C 1D1, vµ M, N lµ c¸c ®iÓm tháa m·n AM  k.AD, BN  k.BB1,0  k  (1) a TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BDA1) b Chøng minh r»ng víi mçi k tháa m·n (1) th× I, M, J, N cïng thuéc mét mÆt ph¼ng Tìm k để MN vuông góc với IJ c.T×m t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diÖn ABDA1 vµ t©m H cña ®-êng trßn lµ giao cña mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (BDA1) Lêi gi¶i : Chọn hệ trục tọa độ nh- hình vẽ, với A(0 ; ; 0) , B(0 ; p ; 0) , D(q ; ; 0) , C(q ; p ; 0) , A1(0 ; ; r) B1(0 ; p ; r), C1(q ; p ; r), D1(q ; ; r) a MÆt ph¼ng (BDA1) cã ph-¬ng tr×nh : x y z   1 q p r Suy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA1) là: h  1   q2 p2 r pqr p q  q2r  r p2 2 z b Theo gi¶ thiÕt ta cã : A1 p p I (0; ;0); J (q; ; r ) ; M(kq ; ; 0) 2 N(0 ; p ; kr) suy : J D1 p p  IM  (kq;  ;0); IN  (0; ; kr ); IJ  (q;0; r ) 2 A I, M, J, N luôn đồng phẳng D MN  (kq; p; kr ); IJ MN  kq  kr  k (r  q ) , C1 2 x MN vu«ng gãc víi IJ vµ chØ 187 N y I M DÔ thÊy k IJ  IM  IN nªn bèn ®iÓm B1 B C IJ MN   k (r  q )   k  (v× r > q) T©m O cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABDA1 còng lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh hép, q p r tức là trung điểm đ-ờng chéo AC1,do đó O( ; ; ) và bán kính R  2 p2  q2  r Điểm H cần xác định chính là hình chiếu vuông góc O xuống mặt phẳng (BDA1) Mặt 1 q p r ph¼ng nµy cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn v  ( ; ; ) còng lµ vÐct¬ chØ ph-¬ng cña ®-êng th¼ng q   x   q t  p  OH suy ®-êng th¼ng nµy cã ph-¬ng tr×nh lµ:  y   t , t  R thay vµo ph-¬ng tr×nh p   r  z   t r  q 1 p 1 r 1 mặt phẳng (BDA1), ta đ-ợc : (  t )  (  t )  (  t )  suy H có tọa độ q q p p r r : x q3 ( p  r ) p (q  r ) r ( p2  q2 ) ; y  ; z  ; 2( p q  q r  r p ) 2( p q  q r  r p ) 2( p q  q r  r p ) Nhận xét : Đối với bài toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì việc xác định là khó khăn, nh-ng lại có đặc điểm thuận lợi là các tứ diện này th-ờng nằm hình hộp đặc biệt chẳng hạn nh- hình hộp chữ nhật hay hình lập ph-ơng Khi đó để giải bài toán ta th-ờng dùng ph-ơng pháp tọa độ Bµi tËp t-¬ng tù Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = b, ®-êng cao cña h×nh chãp lµ SA Gäi B1, C1, D1 lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SC, SD a Chøng minh r»ng A, B1, C1, D1 cïng thuéc mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi SC b Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu qua các điểm A, B, C, D, B1, C1, D1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông , SA vuông góc với đáy, (P) là mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC c¾t SB, SC, SD lÇn l-ît t¹i M, N, P a Chøng minh r»ng BD vu«ng gãc víi AN b Chøng minh r»ng S, A, M, N, P cïng thuéc mét mÆt cÇu 188 3.Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, trªn ®-êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) t¹i A lÊy ®iÓm S Gäi AD, AE lÇn l-ît lµ hai ®-êng cao cña c¸c tam gi¸c SAB, SAC Chứng minh A, B, C, D, E cùng nằm trên mặt cầu Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®-êng th¼ng d vµ ®iÓm A kh«ng thuéc d , gãc  xAy di động quanh A cắt d B và C Trên đ-ờng thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy ®iÓm S Gäi H, K lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SC a Chøng minh r»ng A, B, C, H, K cïng thuéc mét mÆt cÇu b TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu trªn AB = 2, AC = 3, gãc  BAC b»ng 600 Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thang c©n ABCD víi AB = 2a, BC = DC = DA = a Trên nửa đ-ờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) ta lấy điểm S di động Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB, SC, SD P, Q, R theo thứ tự đó a Chứng minh điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc mặt cầu cố định Tính diện tích mặt cầu đó b Chøng minh r»ng CDQR lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ ®-êng th¼ng ®i qua QR lu«n ®i qua điểm cố định S thay đổi trên Ax c Cho SA = a H·y tÝnh diÖn tÝch tø gi¸c APQR Cho h×nh chãp SABC cã ABC lµ tam gi¸c c©n AB =AC = a, hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC) vuông góc với và SA = SB = a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp h×nh chãp biÕt SC = x Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngo¹i tiÕp h×nh chãp Cho tø diÖn SABC cã gãc ASB b»ng 1200, gãc BSC b»ng 600, gãc CSA b»ng 900, x¸c định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Cho tø diÖn ABCD cã AB = BC = AC = BD = a, AD = b, hai mÆt ph¼ng (ACD) vµ (BCD) vuông góc với Xácđịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 10 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a 11 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình vuông cạnh 2a 189 12 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình thang cân nội tiếp đ-ờng tròn đ-ờng kính AD = 2a 13 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết ba góc đỉnh S b»ng 900 vµ SA = a, SB = b, SC = c 14 Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n c¹nh huyÒn AB = 2a Trªn ®-êng th¼ng d qua A vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm S kh¸c A Chứng minh hình chóp SABC có cặp cạnh đối diện vuông góc với Phần 2: Trong phần này chúng ta đề cập đến loại mặt cầu ít gặp đó là: mặt cÇu néi tiÕp Định nghĩa 1: mặt phẳng phân giác góc là mặt phẳng qua gốc và điềm nằm trên mặt phẳng cách tia cùa góc Tương tự ta c ng định nghĩa mặt phẳng phân giác góc nhị diện là tập hợp tất các điểm không gian cho khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng nhị diện là Định nghĩa 2: Mặt cầu nội tiếp đa diện là mặt cầu tiếp xúc tất các mặt đa diện Khi đó ta c ng nói đa diện ngoại tiếp mặt cầu Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp đa diện đến các mặt đa diện r n Do đó với n-diện bất kì có mặt cầu nội tiếp thì V   Si i 1 Trong đó Si là diện là diện tích mặt thứ i đa diện Từ đó bán kính mặt cầu nội tiếp đa diện tính theo công thức r 3V n S i 1 i Ví dụ a,Xác định tâm và bán kính tứ diện cạnh a, tứ diện có góc tam diện vuông cạnh a 190 b, Tính bán kính đường tròn nội tiếp tứ diện ABCD có AB=CD=a, BC=DA=b, BD=CA=c c Tính thể tích hình lăng trụ tam giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính R Giải a, A D I B H F E C Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm BC,CD {H }  BF DE 2 AH  AB  BH  AB  ( BF )2  AB  ( BC.sin 600 )  a 3 VABCD 1 a2 a3  S BCD AH  a  3 12 Từ đó r là độ dài bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD thì a3 3V 12  a r n  a Si  i 1 191 B D A C Ta có VABCD 2 a3 a ( a 2) a  , SBCD   S ABC  S ACD  S ABD  Bài này tương đối đơn giản Nếu r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD thì a3 3V a r n   a2 a2 3  S   i 2 i 1 b, A F B G D C E Qua các đỉnh B,C,D vẽ các đường thẳng song song với CD,BD,BC ch ng đôi cắt E,F,G hình vẽ 192 nhận AC=1/2GE  ∆AGE vuông A Tương tự ∆EAF, ∆GAF c ng vuông A Tức là góc tam diện đỉnh A vuông Ta có  AG  AE  AF  2(a  b  c )  AG  AE  4c  2 2   AE  2(a  b  c ) 2  AE  AF  4b   2 2  AF  AG  4a  AF  2(a  b  c )   AG  2(a  b  c )  1 VABCD  VAGEF  AG AE AF 24 Từ đó ta = 2(a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) 12 Nhận các mặt tứ diện là các tam giác và diện tích mặt là S (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c) Từ đ y ta bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đã cho là 2(a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) r n 4 (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c )  Si 3V i 1  2(a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c) c,Xét lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Sử dụng nhận xét “Một lăng trụ có mặt cầu nội tiếp và lăng trụ đó là lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác ngoại tiếp đường tròn và có chiều cao lần bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đáy.” Ta S(ABC)= 6R/  pR= a2 (a là độ dài cạnh ∆ABC) Suy a= 3R 193 Từ đó ta V=Sh= (2 3R) R  3R3 Ví dụ Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy góc 600 a) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón, suy thể tích khối cầu đó c) Một hình trụ gọi là nội tiếp hình nón đường tròn đáy nằm trên mặt xung quanh hình nón, đáy còn lại nằm trên mặt đáy hình nón Biết bán kính hình trụ nửa bán kính đáy hình nón Tính thể tích khối trụ Giải a) SAB  SA  2R, SO  R 1  R3 S xq  2 R.SA  2 R ; V   R SO  3 b) Tâm O’ mặt cầu thuộc SO Bán kính mặt cầu r = O’O R 4 3 R3 ; V=  r  r  SO  27 3 c) : trung điểm OB; ON: bán kính hình trụ ON=  NN '  IO  R R  R3 ; V=  ON IO  SO  2  Mặt nón, Khối nón Dạng bài tính thể tích hối nón và diện tích x ng anh mặt nón Ví dụ Cho mặt cầu đường kính AB =2R Gọi I là điểm trên AB cho AI=h Một mặt phẳng vuông góc với AB I cắt mặt cầu theo đường tròn (C) 194 +Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C) +Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn Giải Gọi EF là đường kính (C) ta có : O IE = IA.IB = h(2R  h) E I ⇒ R = IE = h(2R  h) Thể tích cần tính là: V= r h   V’= (4 Rh  3h2 ) , V’ =  h  h F (2r  h) với 0< h< 2R B 4R V đạt giá trị lớn và khi: h  R hay AI = 4R Ví dụ 2: Trong không gian cho tam giác vuông OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón A Giải a) * Sxq =  Rl =  OB.AB = 15  Tính: AB = (   AOB O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15  +  = 24  b) V = =12  O B 1 R h = .OB2 OA = .32.4 = 3 Ví dụ 3: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón 195 b) Tính thể tích khối nón Giải a) * Sxq =  Rl =  OB.SB =  a2 * Stp = Sxq + Sđáy =  a2 +  a2 = 23  a2 S 1 R h = .OB2 SO = 3 a .a a  3 b) V = 2a A 2a  a (vì SO là đường cao  SAB cạnh 2a) B O Tính: SO = Ví dụ 4: Một hình nón có chiều cao a và thiết diện qua trục là tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Giải : a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông   cân S nên A = B = 450 S * Sxq =  Rl =  OA.SA =  a 2 Tính: SA = a ; OA = a (   SOA O) (1 + * Stp = Sxq + Sđáy =  a2 +  a2 = )  a2 1 R h = .OA SO = 3 a .a a  3 b) V = 196 A 45 O B Ví dụ Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc đường sinh và đáy là  a) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình nón b) Một mặt phẳng hợp với đáy góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ t m đáy hình nón đến mặt phẳng này Giải S Tính V và Sxq SAO vuông O : SO = a.sin  , AO = a.cos  1  AO SO   a cos  sin  V= Sxq =  AO.SA   a cos  a) * Tính SSAB : Kẻ OH  AB  SH  AB , đó SHO  600  vuông SOH : SH  SO sin 60  a A 2a.sin  K O H , B a 3.sin  OH = SO.cot60 =  AOH vuông H: 2 2 AH = AO – OH = a cos  3a sin  a  AH  3cos   sin  2a sin  3cos   sin  AB.SH  Vậy SSAB = * Tính d(O,(SAB)) : Kẻ OK  SH  OK  (SAB) a sin  OKH vuông K : OK = OH.sin 60 =  a.sin  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O là tâm ABCD và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh O và đáy (C) Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh đáy a và chiều cao Baøi 197 2a Biết O là tâm ABC và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích khối nón có đỉnh O và đáy (C) Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C) Baøi Trong khoâng gian cho tam giaùc OIM vuoâng taïi I, goùc IOM baèng 30 vaø caïnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI taïo thaønh moät hình noùn troøn xoay a) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn troøn xoay taïo thaønh b) Tính theå tích cuûa khoái noùn troøn xoay taïo thaønh Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón Baøi b) Tính thể tích khối nón tương ứng c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết dieän naøy Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ điểm O đến AB a và SAO  300 , SAB=6 00 Tính độ dài đường sinh hình nón theo a Baøi Thieát dieän qua truïc cuûa moät khoái noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh huyền a Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh hình nón đã cho Baøi Cho hình laäp phöông ABCD A’B’C’D’ caïnh a Tính dieän tích xung quanh cuûa hình nón có đỉnh là tâm O hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuoâng A’B’C’D’ Bài Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện là tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình vaø theå tích cuûa khoái noùn Bài 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a và góc các mặt bên và mặt đáy là  Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC, Hãy tính diện tích xung quanh hình nón này theo a và  Bài 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SO = h và SAB   (  > 45 ) Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuoâng ABCD Baøi 198 Bài 12 Một hình nón có độ dài đường sinh và góc đường sinh và đáy là  a) Tình dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa khoái noùn b) Gọi I là điểm trên đường cao SO hình nón cho SI  k 0  k  1 Tính SO diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục Bài 13: Hãy tìm: a) Giao hình nón và mặt phẳng qua trục nó b) Giao hình nón và mặt phẳng vuông góc với trục nó Bài 14.Cho hai điểm A, B cố định Một đường thẳng d di động luôn luôn qua A và cách B đoạn không đổi a = AB/2 Chứng minh d luôn luôn nằm trên mặt nón tròn xoay Bài 15: Trong mặt phẳng α cho góc ∠xOy = 2φ Một mặt phẳng β thay đổi luôn vuông góc với đường ph n giác góc xOy cắt Ox, Oy A và B Trong mặt phẳng β lấy điểm M nhìn đoạn AB góc vuông Chứng minh các điểm M luôn nằm trên mặt nón xác định  Mặt trụ, hối trụ Dạng bài tính diện tích x ng anh và thể tích mặt trụ, hối trụ Ví dụ Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên B O Giải I r ’ a) OA = 5cm; AA = 7cm A Sxq =  Rl =  OA.AA’ =  5.7 = 70  (cm2) l Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  = 120  (cm2) h b) V = R h = .OA OO =  = 175  (cm ) c) Gọi I là trung điểm AB  OI = 3cm O' B' OAI vuông I : AI = 4(cm) AB = 2AI = 2.4 = 8; AA’ = 7; A' SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) Ví dụ 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách hai đáy 7cm 2 199 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên Giải a) * Sxq =  Rl =  OA.AA’ =  5.7 = 70  (cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm B O * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  = r I A =120  (cm ) l h b) * V = R h = .OA2 OO =  52.7 = = 175  (cm3) O' c) Gọi I là trung điểm AB  OI = 3cm B' A' * SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = * Tính: AI = 4(cm) (   OAI I) Ví dụ 3: Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ.Tính thể tích khối trụ B Giải O * Sxq =  Rl =  OA.AA’ =  R.2R =  R2 A h l * OA =R; AA’ = 2R B' * Stp = Sxq + 2Sđáy =  R2 +  R2 =  R2 A' * V = R h = .OA2 OO = .R2 2R  2R3 200 O' BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Hãy tìm hình tạo giao mặt phẳng (P) song song với trục hình trụ Từ đó, xác định vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện nó có diện tích lớn Bài Cho đường tròn (O;R) nằm mặt phẳng (P) Tìm tập hợp các điểm M không gian cho hình chiếu ch ng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho Bài 3: Cho hai điểm A, B cố định, AB = a Tìm tập hợp điểm M không gian cho diện tích tam giác MAB S không đổi Bài 4: Cho mặt phẳng α, điểm A nằm trên α, điểm B nằm ngoài α cho hình chiếu vuông góc H B trên α không trùng với A Một điểm M chạy α cho luôn luôn có ∠ABM = ∠BMH Tìm tập hợp điểm M Bài Cho hình trụ có bán kinh R và chiều cao c ng R Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD là d y cung hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh hình tròn Tính cạnh hình vuông đó Bài 6: Cho đường tròn (O; R) nằm mặt phẳng (P) Tìm tập hợp các điểm M không gian cho hình chiếu ch ng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho Bài 7: Cho điểm A cố định và nằm ngoài đường thẳng d cố định Một đường thẳng a thay đổi luôn vuông góc với d và cắt d Tìm tập hợp các điểm M là hình chiếu A lên a Bài 8: Trên hai đáy hình trụ có đường cao gấp đôi bán kính đáy, ta lấy hai bán kính chéo nhau, đôngt hời tạo với góc là 300 Biết đoạn thẳng nối hai đầu m t hai bán kính không qua t m đường tròn có độ dài là a Tính tan góc hợp trục và đoạn thẳng qua m t đó Bài 9.Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B cho AB = cm Biết thể tích tứ diện OOAB cm3 Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ Bài 10.Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A cho AO hợp với mặt phẳng đáy góc 600 Tính chieàu cao hình truï vaø theå tích khoái truï Bài 11.Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OOAB Bài 12.Một khối trụ có chiều cao 20 cm và có bán kính đáy 10 cm Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ trên hai đáy cho chúng hợp với góc 300 Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ khối trụ đó Hãy tính diện tích thiết diện 201 Bài 13.Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách hai đáy h = 56 cm Một thiết diện song song với trục là hình vuông Tính khoảng cách từ trục đến mặt phaúng thieát dieän Bài 14.Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn đáy cho độ dài AB = a không đổi  h  a  h2  4R2  a) Chứng minh góc hai đường thẳng AB và OO’ không đổi b) Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng AB và OO’ không đổi BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tính diện tích toàn phần hình nón có đường sinh l và đường sinh hợp đáy góc  Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm M trên nửa đường tròn đó Chiếu vuông góc M xuống AB thành H , đặt AH = x a Tính theo R và x thể tích V hình nón tạo thành cho tam giác AMH quay quanh AB b Tìm giá trị lớn V Bài 3: Trong không gian cho tam giác vuông cân A (AB = AC) , có cạnh BC = 60 cm a Tình diện tích xung quanh hình nón tròn xoay quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh AB Tính góc đỉnh hình nón đó b Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích mặt cầu tạo nên cho đường tròn (C) quay quanh trục là đường thẳng BC và thể tích khối cầu đó Bài 4: Trong không gian cho hình vuông ABCD có cạnh a a Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay quay đường gấp khúc BCDA xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh AB b Tính diện tích mặt cầu chứa hai đường tròn đáy hình trụ nói trên và thể tích khối cầu tương ứng Bài : a Cho mặt cầu t m I bán kính r gười ta có thể xem đó là mặt cầu tròn xoay cách nào ? b Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R = a Khi quay hình vuông xung quanh trục là đường thẳng chứa đoạn BD thì đoạn thẳng AB tạo nên mặt xung quanh hình nón tròn xoay và đường tròn tâm O nói trên tạo nên mặt cầu Hãy tính diện tích xung quanh hình nón đó và diện tích mặt cầu 202 Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) , AC = a, ABC  900 và SA = 2a Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA   ABCD  Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó biết SA  AB  AD  3a Bài 8: Tìm tâm G và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cạnh a Bài 9: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a; DA = 2a và DA   ABC  Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân B với AB = 2a Từ trung điểm M AB ta dựng đường thẳng vuông góc với (ABC) và chọn trên đó điểm S để tam giác SAB Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi H là trung điểm Ab và SH = a là độ dài đường cao hình chóp Xác định tâm và bán kính mặt càu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 12 : Bên hình trụ tròn xoay có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai dỉnh liên tếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ hình trụ , hai đỉnh còn lại nằm tren đường tròn đáy thứ hai cảu hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy cảu hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó Bài 13: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a Tính diện tích xung quanh , diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó Bài 14: Tính thể tích lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R Bài 15: Thiết diện qua trục hình nón là ta giác cân có cạnh góc vuông a a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b Tính thể tích khối nón tương ứng 203 Bài 20: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh đáy a và đường cao h.Tính diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ Bài 21: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông Đường chéo d và tạo với mặt bên hình hộp góc 30 Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình hộp Bài 22: Một mặt phẳng α tạo với mặt đáy hình trụ góc 60 độ, α cắt đáy hai dây cung AB = CD.Hình chiếu C và D trên đáy hình trụ là C’, D’ và ABC’D’ tạo thành hình vuông có cạnh a Tính thể tích hình trụ Bài 23: Cho hình lập phương có cạnh 2cm gười ta khoét rỗng khối lập phương khối trụ nội tiếp khối lập phương ếu đem sơn phần khoét rỗng (khối trụ) và hình lập phương thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu? Bài 24: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất các cạnh nhau, trung tuyến hai đáy có độ dài m Tính thể tích khối tròn xoay nội tiếp lăng trụ Bài 25: Tính thể tích hình nón các trường hợp sau: a) Đường sinh là l và góc hợp đường sinh và đáy là α b) Bán kính đáy là R, góc đường sinh và trục hình nón là β c) Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có diện tích là S Bài 26: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn t m O và O’, bán kinh R, chiều cao hình trụ là RÖ2 Trên hai đường tròn O và O’ có hai điểm di động A, B cho (OA,O’B) = α không đổi a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tương ứng Bài 27: Một hình trụ nội tiếp hình nón, có diện tích toàn phần S, có thiết diện qua trục là hình vuông.Hình nón ngoại tiếp hình trụ nói trên có diện tích xung quanh là bao nhiêu, góc đường sinh và trục hình nón 450 ? Bài 28: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S(O; R) Hình trụ nào có diện tích xung quanh S lớn Bài 29 Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S(O; R) Hình trụ nào có thể tích lớn Bài 30 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O là tâm tam giác BCD, dựng mp(P) vuông góc với AO điểm I thuộc đoạn AO, (P) cắt AB, AC, AD 204 M, N và P Cho hình trụ có đáy là hình tròn (I) nội tiếp tam giác M P và đáy nằm trên (BCD) Xác định vị trí I trên AO để khối trụ có thể tích lớn Bài 31 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp c) Tính diện tính xung quanh hình nón và thể tích khối nón nội tiếp hình chóp Bài 32 Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón đó b) Một mp (P) qua đỉnh khối nón và có khoảng cách tới tâm O đáy là 12cm Hãy xác định thiết diện khối nón cắt (P) và tính diện tích thiết diện Bài 33 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = a√ ; bán kính đáy r = a√ a) Tính diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón b) Một thiết diện qua đỉnh hình nón và tạo với đáy góc diện tích thiết diện Tính Bài 34 Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó ta thiết diện là tam giác cạnh 2a Tính diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón Bài 35 Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục nó ta thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền a√ a) Tính diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón b) Đoạn MN là dây cung đường tròn đáy cho (SM ) tạo với đáy góc Tính diện tích tam giác SMN Bài 36 Cho hình nón đỉnh S Đường cao SO Gọi A, B là điểm trên đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến AB a và ̂ = và ̂ = Tính diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón Bài 37 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, góc ̂ = Một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc đường sinh và đáy hình nón là φ 205 a) Tính diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón b) Tính diện tích toàn phần khối chóp và thể tích khối chóp S.ABC Bài 38 Cho từ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với (ABC), BD vuông góc với BC, biết AD = AB = a a) Chứng minh các mặt tứ diện là các tam giác vuông b) Tính diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón tạo thành quay quanh tam giác ABD quanh AB Bài 39 Cho hình trụ có bán kính đáy r, đường cao h = r√ a) Tính diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ b) Cho điểm A, B nằm trên đường tròn đáy cho góc AB và trục hình trụ Tính khoảng cách AB và trục hình trụ Tính diện tích thiết diện qua AB và song song với trục hình trụ Tính góc bán kính đáy qua A và qua B Bài 40 Một hình trụ có đáy là (O; r) và ( ; r) khoảng cách hai đáy Một hình nón có đỉnh là đáy (O; r) = r√ a) Gọi là diện tích xung quanh hình trụ và là diện tích xung quanh hình nón Tính tỉ số b) Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành phần Tính tỉ số thể tích phần đó 206 BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N là trung điểm AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP=2PD a) Tìm giao điểm đường thẳng CD với mp(MNP) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N là trung điểm AD và BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) và (NDA) b) Cho I, J là hai điểm nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) và (IJD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi Mặt phẳng (P) qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P) Chứng minh ba đường thẳng AB, BC, CA cắt mp(P) thì các giao điểm đó thẳng hàng Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) M, N, P Chứng mình ba điểm M, N, Q thẳng hàng Cho tứ diện SABC Trên SA, SB, SC lấy các điểm D, E, F cho DE cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) cắt theo giao tuyến d Trong ( ) lấy hai điểm A và B cho AB cắt d I O là điểm nằm ngoài ( ) và (  ) cho OA và OB cắt (  ) A’ và B’ a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng b) Trong ( ) lấy điểm C cho A, B, C không thẳng hàng Giả sử OC cắt (  ) C’, BC cắt B’C’ J, CA cắt C’A’ K Chứng minh I, J, K thẳng hàng Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD Lấy E,F là các điểm nằm trên các cạnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm mặt phẳng (ABC) b) Khi EF và BC cắt I, chứng minh I là điểm chung hai mặt phẳng (BCD) và (DEF) Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC Biết AD=a, BC=b Gọi I, J là trọng tâm các tam giác SAĐ và SBC Mặt 207 phẳng (ADJ) cắt SB, SC M, N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SB P, Q a) Chứng minh MN song song với PQ b) Giả sử AM cắt BP E; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN và PQ Tính EF theo a, b 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành b) Gọi R, S là trung điểm AC, BD Tứ giác QRNS là hình gì? c) Chứng tỏ ba đoạn MP, NQ, RS đồng quy trung điểm chúng  Cho lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' ; gọi M là điểm trên cạnh A 'C ' Tìm giao tuyến hai mặt phẳng MABvà A' B 'C ' 12 Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AB; AC lấy các điểm M; N cho AM AN  Tìm giao tuyến hai mặt phẳng DBCvà DMN AB AC 13 Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 là trọng tâm các tam giác ACD và BCD Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) 14 Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi O là giao điểm AC và BD, O′ là giao điểm AE và BF a) Chứng minh OO′ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE) b) Gọi M và N là trọng tâm các tam giác ABD và ABE Chứng minh MN // (CEF) 15 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC' Gọi I và I' tương ứng là trung điểm hai cạnh BC và B’C' a) Chứng minh AI // A' I' b) Tim giao điểm IA' với mặt phẳng (AB'C) c) Tìm giao tuyến (AB'C) và (A'BC) 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi H là trung điểm A'B' a) Chứng minh CB'//(AHC) b) Tìm giao tuyến d (AB'C') và (ABC) 17.Cho ba mặt phẳng (α), (𝛽), (𝛾) song song với Hai đường thẳng a và a' cắt ba mặt phẳng theo thứ tự nói trên A, B, C và A', B, C' Cho AB = 5, BC = 4, A'C’ = 18 Tính độ dài A'B, B'C' 18.Cho đường tròn C  tâm O nằm mặt phẳng P) a) Tìm ảnh (C’) (C) phép chiếu song song trên mặt phẳng (Q)//(P) theo phương d cắt (Q) b) Mặt phẳng (R) cắt (P) theo giao tuyến (Từ O vẽ OH vuông góc với , R vẽ đường vuông góc với  H và trên đường này lấy đoạn HO '  OH Tìm ảnh C'' C  phép chiếu song song trên mặt phẳng R theo phương OO' 208 19 Cho hai tia Ax và By chéo không gian Hai điểm M và N thay đổi trên Ax, By cho a b   với a, b là các số thực dương cho AM AN trước Chứng minh đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng cố định 20 Vẽ hình chiếu hình hộp ABCD A1 B 1C1 D1 lên mặt phẳng P theo phương chiếu AC1 (AC1 không song song với mặt phẳng P 21 Cho hình bình hành ABCD mặt phẳng P Gọi E là điểm ngoài mặt phẳng (P) a) Tìm ảnh trọng tâm G tam giác EAB phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương EC b) Tìm trọng tâm G tam giác EAB phép chiếu song song trên mặt phẳng EDC theo phương BC c) Gọi M, N, H, K là trung điểm EA, EB, EC, ED Tìm ảnh đa giác MNHK phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương EC d) Tìm ảnh đa giác MNHK phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương SI với I là trung điểm AB 22 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Tính bán kính R góc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC) b»ng 300 23.Cho ®-êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, xÐt c¸c h×nh chãp S.ABCD cã SA vu«ng gãc với đáy ( S, A cố định ), SA = h cho tr-ớc, ABCD là tứ giác tùy ý nội tiếp đ-ờng tròn đã cho mà AC vuông góc với BD a TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp b Tứ giác ABCD là hình gì để thể tích hình chóp S.ABCD lớn ? 24 Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®-êng trßn ®-êng kÝnh AB = 2R, M lµ mét ®iÓm chuyển động trên đ-ờng tròn , MH vuông góc với AB H cho AH = x, 25.0< x < 2R Dựng đ-ờng thẳng vuông góc với (P) M trên đó lấy điểm S cho MS = MH Xác định tâm và tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM Tìm x để r lớn 26 Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác c¸c tr-êng hîp sau: a Hình chóp có cạnh đáy a, cạnh bên b b Hình chóp có cạnh đáy a, góc cạnh bên và đáy φ c Hình chóp có cạnh bên a, góc cạnh bên và đáy φ d Hình chóp có cạnh bên a, góc mặt bên và đáy φ e Hình chóp có cạnh đáy a, chiều cao h f Hình chóp có cạnh đáy a, góc hai mặt bên φ g H×nh chãp cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a 27 Hoàn toàn t-ơng tự ta có các câu hỏi trên thay hình chóp tam giác hình chóp tứ giác 209 28 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi E, K lần l-ợt là trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BC TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.EBK 29.Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ c¹nh lµ 1, 2, Gäi M lµ ®iÓm trªn ®o¹n AC cho AM = 2MC; N lµ ®iÓm trªn ®o¹n BA’ cho NA’ = 2NB TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn AMNA’ 30 Một hình nón có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là tam giác Gọi A là điểm cố định trên đường tròn đáy (O), M là điểm di động trên (O).Đặt Gọi H là hình chiếu vuông góc O trên (SAM) Tính OH theo R và a 31 Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định Xét đường thẳng l thay đổi luôn luôn qua O và hợp với (P) góc không đổi Chứng minh l luôn luôn nằm trên mặt nón 32 Cho mặt cầu S(O; R) và A nằm ngoài mặt cầu Chứng minh các đường d qua A và tiếp xúc với S(O; R) nằm trên mặt nón 33 Chứng minh mạt nón, góc đỉnh lớn hay góc nào hai đường sinh tạo nên 34 Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính SSBC 35 Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I và H là trung điểm các cạnh AB và CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta hình trụ tròn xoay a.Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay tạo nên b.Tính thể tích khối trụ tròn xoay tạo nên hình trụ tròn xoay đó 36 Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là 4oat hình vuông a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b.Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ đã cho 37 Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy cho góc hợp AB và trục hình trụ là 300 a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b.Tính khoảng cách AB và trục hình trụ 38 Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h Gọi A và B là hai điểm 4oat trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O, R) cho OA và OB hợp với 210 5oat góc x và và hai đường thẳng AB, OO hợp với 5oat góc baèng y a.Tính baùn kính R theo h, x, y b.Tính Sxq, Stp vaø theå tích V cuûa hình truï theo h, x, y 39 Cho hình trụ bán kính đáy a và trục OO’ = 2a OA và OB’ là hai bán kính hai đường tròn đáy (O), (O’) cho góc OA và OB’ 300 a.Tính độ dài đoạn thẳng AB’ b.Tính tang góc AB’ và OO’ c.Tính khoảng cách AB’ và OO’ 40 Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao h  R Gọi A là 5oat điểm trên đường tròn tâm O và B là 5oat điểm trên đường tròn tâm O’ cho OA vuông góc với O’B a.Chứng minh các mặt bên tứ diện OABO’ là tam giác vuông Tính tỉ số thể tích khối tứ diện OABO’ và khối trụ b.Gọi   là mặt phẳng qua AB và song song với OO’ Tính khoảng cách trục OO’ và mặt phẳng   c.Chứng minh   là tiếp diện mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy R 41.Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O ’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ 42 Cho hình chóp tam giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và tính thể tích khối cầu tương ứng 43.Cho hình chóp S.ABC có đáy a, mặt bên hợp với đáy góc  Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho 44.Cho lục giác ABCDEF cạnh a Tính thể tích hình tròn xoay sinh lục giác đó quay quanh: a) Đường thẳng AD b) Đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB và DE 45.Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tương ứng 211 46.Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (BMN) 47.Cho h×nh chãp SABCD AD kh«ng song song víi BC Gäi trung ®iÓm SC lµ M , trên SB lấy điểm N cho 3SN = 2NB Xác định thiết diện với hình chóp SABC c¾t bëi mÆt ph¼ng (DMN) 48.Cho h×nh chãp S.ABCD M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh SC, N vµ P lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD T×m thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) 49.Cho tứ diện ABCD cạnh a Trên BC và BD kéo dài lấy E và F cho CE=DF=a Gäi M lµ trung ®iÓm AB T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(MEF) vµ tÝnh tØ sè diÖn tÝch thiÕt diÖn víi BCD 50.Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp c¾t bëi mÆt ph¼ng (BCN) 51.Cho h×nh chãp S.ABCD Trªn AD vµ SC lÊy hai ®iÓm E vµ F cho AE = 3ED ; SF = 2SC Gọi K là trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (EFK) 52.Cho h×nh chãp S.ABCD Trªn c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ SC lÊy hai ®iÓm E vµ F Gäi K lµ ®iÓm bÊt kú n»m tam gi¸c SAB thuéc mÆt ph¼ng (SAB) X¸c định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (EFK) 53.Cho tø diÖn ABCD gäi M vµ N lµ hai ®iÓm trªn c¹nh BC vµ CD E lµ ®iÓm bÊt kỳ tam giác ABD xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (EMN) 54.Cho tø diÖn ABCD Gäi E, F, G lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BD, BC, CD Trªn AE, AF, AG lÊy c¸c ®iÓm M,N,P cho mÆt ph¼ng (MNP) kh«ng song song víi mặt phẳng (BCD) Xác định thiết diện với tứ diện cắt mặt phẳng (MNP) 55.Cho h×nh chãp S.ABCD Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lÊy c¸c điểm M, N, P nằm tam giác tạo ba đỉnh t-ơng ứng các mặt cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) Tuú theo vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm M,N,P biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n 56.Cho h×nh chãp S.ABCD Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lÊy c¸c điểm M,N,P nằm tam giác tạo ba đỉnh t-ơng ứng Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với cạnh nào hình chóp Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n 57.Cho h×nh chãp S.ABCD Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lÊy c¸c điểm M,N,P nằm tam giác tạo ba đỉnh t-ơng ứng Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với cạnh nào hình chóp Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n 58.Cho h×nh chãp S.ABCD trªn mp(SAB), mp(SCD) lÊy c¸c ®iÓm M,N n»m tam giác tạo ba đỉnh t-ơng ứng và lấy điểm P nằm đoạn BC Xác định thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) 59.Cho h×nh chãp S.ABCD , tø gi¸c ABCD cã AB kh«ng song song víi CD Gäi G là trọng tâm ABD, I là trung điểm SG Xác định thiết diện với chóp cắt bëi mÆt ph¼ng (CDI) 212 60.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi I = AC  BD, O là trung điểm SI, gọi M và N lần l-ợt là trung điểm BC và CD xác định thiết diÖn c¾t bëi h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNO) 61.Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ trung ®iÓm cña AG, M và N lần l-ợt là trung điểm BC và BD Xác định thiết diện tứ diện cắt bëi mÆt ph¼ng (MNI) 62.Cho Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ ®iÓm trªn ®o¹n AG cho 2AI = IG, M và N lần l-ợt là trung điểm CD và AD Xác định thiÕt diÖn cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 63.Cho Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ ®iÓm trªn ®o¹n AG cho AI = 2IG, M vµ N lÇn l-ît lµ c¸c ®iÓm trªn AB vµ CD cho MB = 2AM, DN = 3NC Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNI) 64.Cho h×nh chãp S.ABCD Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm SG Gọi M và N là trung điểm AB và BC Xác định thiết diện hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 65.Cho h×nh chãp S.ABCD Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm SG Gọi M và N là trung điểm BC và CD Xác định thiết diện hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 66.Cho h×nh chãp S.ABCD Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm SG Gọi M và N là trung điểm AB và CD Xác định thiết diện hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 67.Cho h×nh chãp S.ABCD Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm SG Gọi M và N là trung điểm SA và BC Xác định thiết diện hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 68.Cho h×nh chãp S.ABCD Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm SG Gọi M và N là trung điểm SA và SC Xác định thiết diện hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 69.Cho h×nh chãp S.ABCD M vµ N lµ hai ®iÓm trªn AB vµ CD,  lµ mÆt ph¼ng qua MN và song song với SA Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng  70.Cho h×nh chãp S.ABCD M vµ N lµ hai ®iÓm bÊt kú trªn SB vµ CD,  lµ mÆt phẳng qua MN và song song với SC Xác định thiết diện hình chóp với mặt ph¼ng () 71.Cho tø diÖn ABCD cã AB = a, CD = b §o¹n IJ nèi trung ®iÓm I cña AB vµ trung ®iÓm J cña CD Gi¶ sö AB  CD , mp() qua diÓm M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD Xác định thiết diện ABCD với mặt phẳng () Thiết diện là hình gì ? 72.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O M là trung điểm SB Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng () hai tr-êng hîp sau a) () qua M vµ song song víi SO vµ AD b) () qua O vµ song song víi AM vµ SC 213 73.Cho h×nh chãp SABC Gäi M,N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB vµ SC Trªn ®o¹n BM lÊy ®iÓm H, mÆt ph¼ng (P) qua H vµ song song víi CM vµ BN c¾t h×nh chóp theo thiết diện Tìm thiết diện đó 74.Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi H là giao điểm các đ-ờng chéo đáy I là điểm trên đoạn AH Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (P) ®i qua I vµ song song víi c¸c ®-êng th¼ng SA vµ BD c¾t h×nh chãp 75.Cho h×nh chãp SABC gäi M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña SB vµ SC; E lµ ®iÓm tuú ý trªn AB T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng () ®i qua E vµ song song víi c¸c ®-êng AM vµ BN c¾t h×nh chãp 76.Cho h×nh chãp SABC Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm c¹nh SB Trªn ®o¹n th¼ng SM lÊy ®iÓm E MÆt ph¼ng () ®i qua E vµ song song víi c¸c ®-êng th¼ng AM, SG T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mp() c¾t h×nh chãp 77.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi H là giao điểm hai đ-ờng chéo đáy Tìm thiết diện tạo mp(P) qua H, song song với AB và SC c¾t h×nh chãp 78.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam gi¸c SBC, M lµ ®iÓm trªn ®o¹n AC MÆt ph¼ng P ®i qua M song song víi c¸c đ-ờng thẳng AG và BD cắt hình chóp theo thiết diện Tìm thiết diện đó 79.Cho h×nh chãp SABC Gäi M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, SC Trªn ®o¹n AM ta lÊy ®iÓm H MÆt ph¼ng (P) ®i qua H song song víi CM vµ BN cắt hình chóp theo thiết diện Hãy tìm thiết diện đó 80.Cho tø diÖn ABCD cã AB  AD, AB  AC, AD  AC, gäi G lµ träng t©m t©m tam giác BCD Xác định thiết diện tứ diện cắt mp(P) qua G và vuông gãc víi AD 81.Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác có SA (ABC) Gọi () là mặt phẳng qua C và vuông góc với SB Xác định thiết diện hình chóp với mp() 82.Cho tứ diện SABC có tam giác ABC nhọn và SA  (ABC) Xác định thiết diện cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng qua S vµ vu«ng gãc víi BC 83.Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng vµ SA (ABCD) Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SB Hái (P) cÊt h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× ? 84.Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua A,B và vuông góc víi mÆt ph¼ng (SCD) 85.Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Gọi E và F lần l-ợt là trọng tâm hai tam giác SBC và SAB Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD 86.Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Gọi E và F lần l-ợt là trọng tâm hai tam giác SBC và SAD Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD 87.Một khối trụ có chiều cao 20cm và bán kính đáy là 10cm Người ta kẻ bán kính OA và nằm trên hai đáy cho chúng hợp với góc 214 Cắt khối trụ mặt phẳng chứa và song song với trục khối trụ đó Tính diện tích thiết diện 88.Một khối trụ có bán kính đáy là r và thiết diện qua trục là hình vuông a) Tính diện tích xung quanh hình trụ đó b) Tính thể tích lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ 89.Một hình trụ bán kính 5cm và có khoảng cách đáy là 7cm a) Tính diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ tạo nên b) Cắt khối trụ mp song song và cách trục 3cm Tính diện tích thiết diện tạo nên 90.Cho hình lập phương ABCD cạnh a Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu các trường hợp a) Ngoại tiếp hình lập phương b) Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c) Tiếp xúc với mặt hình lập phương 91.Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 92.Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện 93.Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và đường cao = h Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 94.Cho tứ diện ABCD cạnh a, đường cao AH Gọi O là trung điểm AH Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD 95.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D AB = BC = a, AD = 2a, cạnh bên SA a vuông góc với đáy Gọi E là trung điểm AD Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE 96.Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A với OA = 2R qua A kể tiếp tuyến với (S) B và cát tuyến với mặt cầu C và D Cho CD = R√ a) Tính độ dài đoạn AB b) Tính khoảng cách từ O đến CD 97.Trong mp (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với (P) lấy điểm S tùy ý Dựng mp (Q) qua A và vuông góc với SC Mp (Q) cắt SB, SC, SD a) Chứng minh A, B, C, D, luôn thuộc mặt cầu cố định b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó 98.Cho hình cầu tâm O bán kính R Lấy điểm A trên mặt cầu và gọi (P) là mp qua A cho góc OA và (P) = a) Tính diện tích thiết diện hình cầu cắt (P) b) Đường thẳng (d) qua A và vuông góc với mp (P) cắt mặt cầu B Tính độ dài AB 99.Cho lăng trụ tam giác ABC có cạnh đáy a và đường cao h 215 a) Tính diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ trên b) Gọi I là trung điểm BC Đoạn thẳng cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo đoạn thẳng Tính độ dài đoạn thằng đó 100 Cho hình lập phương ABCD cạnh a a) Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lập phương b) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương c) Tính diện tích xung quanh hình nón có trục là và đường sinh là AB 101 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và đường cao có độ dài độ dài đường cao tứ diện 102 Chi hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD Chứng minh A, B, C, D, cùng thuộc mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó 103 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền AB = 2a, SA vuông góc với đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết góc mp (SAB) và (ABC) 104 Cho hình lập phương ABCD cạnh a Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón có đỉnh là tâm O hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông 105 Cho hình nón (H) có bán kính đáy R, đường cao SO Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với SO O’ cắt hình nón (H) theo đường tròn có bán kính R’ Mặt phẳng (Q) thay đổi vuông góc với SO điểm O” ( O” nằm O và O’) cắt hình nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính x Hãy tính x theo R và R’ để (Q) chia phần hình nón nằm (P) và đáy hình nón thành hai phần có thể tích 106 Cho khối cầu có bán kính R Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu (hai đường tron đáy khối trụ thuộc mặt cầu) có thể tích lớn Tính thể tích khối trụ đó 107 Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông là AB = 3, AC = 4, quay quanh đường thẳng chứa cạnh BC hình tròn xoay Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình tròn xoay đó 108 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông đỉnh A Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ 109 Cho tứ diện ABCD Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt tứ diện Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, Stp là tổng diện tích mặt tứ diện, r là bán kính mặt cầu (S) Chứng minh V  r.Stp 110 Cho tứ diện ABCD Gọi hA , hB , hC , hD là độ dài đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C, D tứ diện ABCD, r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh : 216 1 1     r hA hB hC hD 111 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Goi B’ , C’, D’ là hình chiếu vuông góc A trên SB, SC, SD Chứng minh : a Các điểm A, B’ , C’ , D’ đồng phẳng b điểm ABCD B’C’D’ cùng nằm trên mặt cầu 112 Hình nón đỉnh S ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy là hình thang có BAD  600 , đáy nhỏ BC = 3a, đáy lớn AD = 8a, đường cao hình chóp 7a Tính bán kính và đường sinh hình nón 113 Cho hình chóp S.ABCD có SA = a đáy là hình thang vuông A và B AB = BC = a, AD = 2a Gọi E là trung điểm AD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE 114 Chứng minh hình chóp có các cạnh bên thì có mặt cầu ngoại tiếp 115 Cho tứ diện S.ABC có SBC và ABC là tam giác cạnh là a, SA = a a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC b Gọi O là trung điển BC Kéo dài AO đoạn OD cho OD = OA Tính các cạnh tứ diện S.BCD 116 Cho tam giác ABC, biết AB= 5a, BC = 4a, CA = 3a a Chứng minh các điểm chung hai mặt cầu S(A ; 3a) và S’(B ; 4a) nằm trên đường tròn b Xác định tâm và bán kính đường tròn đó 117 Cho tứ diện S.ABC với SA vuông góc với mp(ABC) và SA = a, AB = b, AC = c Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện các trường hợp sau: a BAC  900 b BAC  600 , b  c c BAC  1200 , b  c 118 (KTQD 97): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = và đáy ABC có cạnh Điểm M, N là trung điểm cạnh AC, AB tương ứng Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó 119 (CĐKT 06): Cho hình nón có đường cao h Một mặt phẳng (P) qua đỉnh S hình nón tạo với mặt đáy hình nón góc 60 0, qua hai đường sinh SA, SB hình nón và cắt mặt đáy cảu hình nón theo dây cung AB , cung AB có số đo 600 Tính diện tích thiết diện SAB 120 (CĐSPTP.HCM 06): Tính thể tích khối nón tròn xoay biết khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh và thiết diện qua trục là tam giác 121 Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R Gọi M là điểm trên đoạn OS, đặt OM = x (0<x<h) 217 1/Tính S thiết diện () vuông góc với trục M 2/ Tính V khối nón đỉnh O và đáy () theo R ,h và x Xác định x cho V đạt giá trị lớn 122 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có ABCD là hình vuông tâm O, khoảng cách từ O đến (SCD) a, góc (SCD) với mặt đáy 600 Tính VS ABCD 123 (KB – 2004 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) Tình VS.ABCD theo a S B C M A D 124 (NN I – 2000 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với (SCD) cắt SC và SD C’ và D’ a/ Tính SABC’D’ b/ Tính VABCDD’C’ S C' B C D' O A D (KTQD – 2001) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2a, BC  a Các cạnh bên và cùng a 125 218 a/ Tính VS.ABCD theo a b/ Gọi M, N là trung điểm AB và CD, K là điểm trên cạnh AD cho AK = a Tính khoảng cách hai đường thẳng MN và SK theo a S A I M B K H O D N 126 C Cho tứ diện S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH a/ Chứng minh SA  BC b/ Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần tứ diện c/ Gọi O là trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đôi vuông góc với 127 Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy a a/ Tính thể tích khối chóp b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 128 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 và cạnh đáy a a/ Tính VS ABCD b/ Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt (P) 129 Cho hình chóp S.ABCD có khoảng cách từ tâm O đáy đến mặt bên là a, góc mặt bên và đường cao 300 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD b/ Gọi E, F là trung điểm các cạnh SB, SC M là điểm trên cạn SD cho MS  2MD Mặt phẳng (MEF) cắt SA N Tính thể tích khối chóp S.EFMN 130 Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA  2a, AB  a Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên trên SC Chứng minh SC  ( ABH ) Tính thể tích khối chóp S.ABH 219 S H C A O D B 131 Cho hình chóp S.ABCD có AB  a, SA  a Gọi M, N và P là trung điểm SA, SB, CD Chứng minh MN  SP Tính thể tích khối tư diện AMNP S M N A D P O B C 132 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a Gọi H là chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh S và H cách các đỉnh A, B, C Khoảng cách từ H đến (SBC) a a/ Chứng minh S.ABC là khối chóp 133 b/ Tính VS.ABC Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại a a/ C/m AB  CD Xác định đường vuông góc chung AB và CD b/ Tình VABCD c/ Nhận dạng tam giác ACD và BCD Từ đó tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD 134 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có AB  a, SA  a a/ Tính VS ABCD đến mặt phẳng (SCD) b/ Tính khoảng cách từ tâm ABCD 220 135 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có AB  a , góc SC với mặt đáy 600 b/ Tính khoảng BD và SC a/ Tính VS ABCD 136 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có SA  a , góc (SCD) với mặt đáy 600 b/ Tính khoảng SA và CD a/ Tính VS ABCD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  ( ABCD) AB  a, SA  a Gọi H, K là hình chiếu A trên SB và SD Chứng minh SC  ( AHK ) Tính thể tích khối tứ diện S.AHK 138 (2011A) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB  BC  2a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc (SBC) với (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a 137 S K H N A C M B (08CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD  ABC  900 , AB  BC  a, AD  2a , SA  ( ABCD) Gọi M, N là trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a 139 HD: Dùng tỉ số thể tích 221 S N M A B D C 140 (2010 CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc SC với mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD S A D H 450 B C Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, (SAB)   ABCD  Góc (SAD) và (ABCD) 600 M, N là trung điểm BC và CD Tính VS AMCN 142 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB  a 3, AD  a,(SAC )  ( ABCD), SA  a tam giác SAC vuông S Tính VS ABCD 143 Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)  ( ABCD) , tam giác SAB cân S, M là trung điểm CD, mặt phẳng (SBM) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 600 Tính VS ABCD 141 144 (KD – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M là trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C 222 A' HD: Dùng tỉ số khoảng cách C' B' H I A C M B 145 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích là a Tính thể tích khối lăng trụ Cho trụ đứng ABC A1B1C1 có đáy là tam giác vuông AB  AC  a, AA1  a Gọi M, N là trung điểm AA1 , BC1 Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung AA1 và BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 147 (KD – 2009 ).Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) 146 lăng M A' C' B' I 3a 2a K A C H a B 223 148 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông Gọi O là tâm ABCD và OA '  a Tính thể tích khối hộp khi: a/ Cạnh đáy và cạnh bên lăng trụ b/ OA' hợp với đáy ABCD góc 60o c/ A'B hợp với (AA'CC') góc 300 d/ Diên tích tam giác BDA’ 2a 149 Cho lăn trụ đứng ABC A1B1C1 đáy là tam giác Mặt phẳng ( A1BC ) tạo với đáy (ABC) góc 300 và tam giác A1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ 150 Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có chiều cao a Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ 224 ĐÁNH GIÁ ĐỀ THI ĐẠI HỌC TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY KB - 2011 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Lời giải Ta có : OI = a , OIA1 là nửa tam giác  A1I = 2OI = a 3a a = VABCD.A1B1C1D1 = a.a 2 Gọi B2 là điểm chiếu B1 xuống mặt phẳng ABCD Vậy d (B1, A1BD) chính là đường cao vẽ từ B2 OB2B S(OBB2 )  1 a2 = OB.B2 H a a  2  B2H = a2 a  a Đánh giá : - Bài toán hay phù hợp với trình độ học sinh khá, đa số học sinh có thể làm Bài toán không đánh đố học sinh, nhiên cần chú ý tính toán KD - 2011 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a và SBC = 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Lời giải 225 S Gọi H là hình chiếu S xuống BC B H C Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC) Ta có SH = a Thể tích khối (SABC) = I J S ABC 1 SH  ( 3a.4a).a  2a 3 A Ta có : Tam giác SAC vuông S vì SA = a 21 ; SC = 2a; AC = 5a Diện tích (SAC) = a 21 d(B,(SAC)) = 3.2a 3 6a 3VSABC =  S SAC a 21 Đánh giá: - Bài toán hay, đa số học sinh có thể làm -Bài toán không đánh đố học sinh -Việc tính thể tích đơn giản, học sinh có thể làm dễ dàng -Cách tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích khá hay, hợp lí và tối ưu với bài toán này (ĐH Khối A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 60° Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a Giải 226 Góc SCH là góc SC và mặt phẳng (ABC) S  góc SCH = 60° Gọi D là trung điểm cạnh AB K Suy DA = DB = a/2 Mặt khác HA = 2HB A  HA = 2a/3 và HB = a/3 N H Do đó HD = a/2 – a/3 = a/6 B AB (do ΔABC đều) CD CD = C D a ; CH = CD2  HD2  SH = CH.tan 60° = VS.ABC = SH.SABC  a (0,25đ) a 21 a 21 a a  3 12 (0,25đ) Qua A kẻ đường thẳng d // BC; kẻ HN vuông góc với d N; kẻ HK vuông góc với SN K Khi đó AN vuông góc với HN, SA  AN (SHN)  AN Suy HK HK (SAN) Do BC // (SAN)  d(BC, SA) = d(B, (SAN)) = AB d(H, (SAN)) = (3/2).HK AH Ta có HN = AH sin HAN = (2a/3).sin 60° = 227 a 3 (0,25đ) SH.HN  HK = SH  HN Vậy d(BC, SA) =  a 42 a 42 12 (0,25đ) Đánh giá: - Phần thể tích không khó, đa số học sinh có thể làm - Phần tính khoảng cách cần dựng thêm mặt phẳng qua SA và song song với BC Đây là cách dựng khá phổ biến Tuy S nhiên, tính khoảng cách từ BC đến mp(SAN) cần phải thông qua khoảng cách H từ điểm H đến mp(SAN) - Đây là đề bài khá hay, phù hợp với đề thi khối A, không quá khó hay đánh đố học sinh A C D O (ĐH Khối B-2012) Cho hình chóp tam giác B S.ABC có SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Giải: Gọi O là trọng tâm ΔABC; D là trung điểm cạnh AB Ta có SO mà AB (ABC) suy SO AB CD ΔABC Suy AB (SCD) nên AB mà AH SC Vậy SC (ABH) (0,25 đ) SC (0,25đ) Mặt khác SA = SB = SC = 2a CD = a a ; OC = → SO = SC2  OC2  228 a 33 DH = SO.CD / SC = a 11 ; a 11 AB.HD   SABH = (0,25đ) CH = CD2  HD2 = a/4; SH = SC – CH = 7a/4 VS.ABH = SH.SABN  7a 11 96 (0,25đ) Đánh giá: - Để chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH), điều khó khăn là cần chứng minh SC vuông góc với AB Do đó lấy thêm các điểm D, O Học sinh cần nắm vững tính chất hình chóp đều, các tính chất vuông góc - Phần tính toán thể tích dễ cần học sinh cẩn thận tính toán - Đây là đề bài hay, độ khó tương đương đề khối A cùng năm (ĐH Khối D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Giải: A’C = a và ΔA’AC vuông cân  A’A = AC = a D’ C’ 2 A’ B’  BB’ = a Mà ΔABC vuông cân  AB = BC = a/2 Suy B’C’ = a/2 (0,25đ) SΔBB’C’ = (1/2).BB’.B’C’ = a2 D C H Vậy VABB’C’ = (1/3).AB.SΔBB’C’ = a 48 (0,25đ) A 229 B Dựng AH vuông góc với A’B H Ta có BC vuông góc với AB, A’A  BC (ABA’)  BC AH Nên AH (BCD’)  d(A, (BCD’)) = AH (0,25đ) 1/AH² = 1/A’A² + 1/AB² = 6/a² Vậy d(A, (BCD’)) = AH = a (0,25đ) Đánh giá: - Phần tính thể tích thiên tính toán nhiều, học sinh cần cẩn thận tính các cạnh - Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đơn giản, học sinh nắm vững lý thuyết là có thể làm - Đề thi phù hợp cho học sinh thi khối D, dễ so với đề khối A, B cùng năm ĐH- A - 2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, góc ABC = 30° SBC là tam giác cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Lời giải S Gọi H, I là trung điểm BC, AB → SH vuông góc với BC; mà (SBC) vuông góc với đáy B I A 230 H C → SH vuông góc với đáy Ta có BC = a, suy SH = AB = BCcos 30° = a ; AC = BC.sin 30° = a/2 a → VS.ABC = (1/3)SH.SΔABC = (1/6).SH.AB.AC = a³/16 ΔABC vuông A nên AH = HB → SA = SB = a → SI vuông góc với AB SI = SA  AI2  a  3a a 13  16 3V a 39 3a SΔSAB = SI.AB  → d(C; (SAB)) = S.ACB  16 SΔSAB 39 Đánh giá: - Phần tính thể tích không quá khó, phù hợp với trình độ học sinh khá cần chú ý đến công thức sin và cos vì dễ nhầm lẫn - Phần tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích Đây là cách làm có thể coi là tối ưu với bài toán này - Bài này chúng ta có thể tính khoảng cách từ C đến (SAB) thông qua H Cách này khá phổ biến với học sinh khá ĐH Khối B 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng S (SCD) Lời giải I Gọi H, K là trung điểm AB và CD Vẽ HI vuông góc với SK I ΔSAB nên SH vuông góc với AB Mà mặt 231 A D H B K C phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD) Suy SH vuông góc với (ABCD) SH = a a3 ; VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = CD vuông góc với SH, HK → CD vuông góc với (SHK) → CD vuông góc với HI Mà HI vuông góc với SK Suy HI vuông góc với (SCD) Mặt khác AB // (SCD) nên d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HI 1/HI² = 1/SH² + 1/HK² = 4/(3a²) + 1/a² = 7/(3a²) Vậy khoảng cách từ A đến (SCD) là d(A, (SCD)) = HI = a 21 Đánh giá: - Độ khó bài ít so với đề khối A và phù hợp với trình độ học sinh khá - Bài toán không quá khó, học sinh cần nắm vững kiến thức thể tích và cách tính khảng cách là làm ĐH Khối D 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc BAD = 120°, M là trung điểm cạnh BC và góc SMA = 45° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách S từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Lời giải Ta có: góc ABC = 180° – góc BAD = 60° Suy ΔABC H A D 232 B M C → AM = a a2 ; SABCD = AM.BC = 2 ΔSAM vuông cân A nên SA = AM = a VS.ABCD = (1/3).SA.SABCD = a³/12 Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SM BC vuông góc với AM, SA → BC vuông góc với (SAM) → BC vuông góc với SM → AH vuông góc với (SBC) Do AD // (SBC) nên d(D, (SBC)) = d(A, (SBC)) = AH Mặt khác ΔSAM vuông cân A → AH = Vậy d(D, (SBC)) = AM a  a Đánh giá - Bài toán không quá khó, học sinh nắm vững kiến thức là làm được, nhiên cần cẩn thận tính toán -Bài toán có cách làm giống đề khối B năm 2013 có phần khó khăn việc tính toán so với khối B ĐH Khối A năm 2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) → H là trung điểm cạnh AB 233 HD² = AH² + AD² = 5a²/4 → HD = a SH vuông góc với (ABCD) → SH vuông góc với HD SH² = SD² – HD² = 9a²/4 – 5a²/4 = a² → SH = a VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = (1/3).a.a² = a³/3 (đvtt) S Gọi E là hình chiếu vuông góc H lên BD; F là hình chiếu vuông góc H lên SE BD vuông góc với SH và HE nên BD vuông góc với mặt phẳng (SHE) → BD vuông góc với HF Nên HF vuông góc với mặt phẳng (SBD) H → d(A; (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HF F E Mặt khác BHE là Δ vuông cân H → HE = BE = D A B C HB a  ta có SE² = SH² + HE² = a² + a²/8 = 9a²/8 → SE = 3a = 3HE HF = SH.HE / SE = a/3 Vậy d(A; (SBD)) = 2a/3 Đánh giá -Bài toán phù hợp với trình độ học sinh khá, cách làm truyền thống và không xa lạ với học sinh - Phần tính khoảng cách đây đã sử dụng phương pháp chuyển từ việc tính khoảng cách từ A đến (SBD) sang việc tính khoảng cách từ B đến (SBD) Đây là cách làm không phải là với học sinh khá nó là cách tối ưu với bài toán Tuy nhiên cần thận trọng tính toán vì dễ xảy sai sót ĐH Khối B năm 2014 234 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB; góc đường thẳng A’C và mặt đáy là 60° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng đáy → H là trung điểm AB A’ C’ và góc A’CH = góc A’C tạo với đáy = 60° B’ CH = a → A’H = CH.tan 60° = 3a/2 và SABC = a² → VS.ABC = A’H.SABC = K M A H 3a 3 B Gọi M là hình chiếu vuông góc H trên AC → HM vuông góc với AC và A’H vuông góc với AC → AC vuông góc với (A’MH) Vẽ đường cao HK ΔA’MH → AC vuông góc với HK và HK vuông góc với A’M → HK vuông góc với (ACC’A’) → HK = d(H; (ACC’A’)) HM = AH sin BAC = (a/2)sin 60° = a A’M = A 'H  HM  C 9a 3a a 39  = 16 235 → HK = A’H.HM / A’M = 3a 13 H là trung điểm AB → d(B; (ACC’A’)) = 2HK = 3a 13 Đánh giá - Đề phù hợp và không quá khó với học sinh -Cách làm giống hoàn toàn với đề khối A năm 2014 -Việc tính khoảng cách dựa trên sở là chuyển từ điểm cần tính chân đường vuông góc với mặt đáy -Cần chú ý mặt tính toán ĐH Khối D 2014 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A; mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai S đường thẳng SA, BC Lời giải Từ S kẻ SH vuông góc với BC H → SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SH = a K Tam giác ABC vuông cân A có AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao → AH vuông góc với BC và AH = BC/2 = a/2 Ta có: BC vuông góc với SH; BC vuông góc với AH Nên BC vuông góc với (SAH) Từ H kẻ HK vuông góc với SA K 236 B A H C Khi đó HK là đường vuông góc chung SA và BC Tam giác SHA vuông H HK  SH  HA  d(SA, BC) = HK = 3a  a  16 3a a Đánh giá - Đề phù hợp với học sinh khối D - Bài toán không quá khó, việc tính thể tích hay tính khoảng cách tương đối dễ, cách làm là phổ biến, học sinh cần nắm vững kiến thức là làm -Cần thận trọng tính toán ĐH – 2015: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SB, AC S Lời giải Do góc SCA = 45o nên tam giác K SAC vuông cân A A Ta có AS = AC = = a  V  a a  a3 H C B Gọi M cho ABMC là hình bình hành Vẽ AH vuông góc với BM H, AK vuông góc SH K Suy ra, AK vuông góc (SBM) Ta có: D 1 1  2  2 2 2 AK SA AH 2a 2a 2a 237 M Vì AC song song (SBM) suy d(AC, SB) = d(A; (SBM)) = AK = a Đánh giá: - Đề phù hợp với học sinh khá, nắm vững kiến thức học sinh làm -Việc tính thể tích hay khoảng cách tự nhiên, cách làm không quá khó, đó là cách làm phổ thông và đơn giản -Cần thận trọng việc tính toán vì dễ xảy nhầm lần 238 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG I Tóm tắt lý thuyết II Hệ thống bài tập 10 Đại cƣơng đƣờng thẳng và mặt phẳng 10 a) Bài tập củng cố lý thuyết 10 b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 11 c) Tìm giao tuyến đƣờng thẳng và mặt phẳng 11 d) Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy 16 e) Quỹ tích giao điểm, giao tuyến, điểm cố định 18 Hai đƣờng thẳng song song 22 a) Bài tập củng cố lý thuyết 22 b) Chứng minh hai đƣờng thẳng song song 23 c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 27 Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng 31 a) Chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng 31 b) Dựng thiết diện qua điểm và song song với đƣờng thẳng 32 c) Quỹ tích điểm, điểm cố định 33 Hai mặt phẳng song song 34 a) Chứng minh hai mặt phẳng song song 34 b) Xác định thiết diện song song với mặt phẳng 35 c) Bài tập lăng trụ 37 d) Quỹ tích điểm, mặt phẳng cố định 37 Phép chiếu song song 38 a) Vẽ hình chiếu hình không gian lên mặt phẳng theo phƣơng chiếu cho trƣớc 38 b) Các bài toán nâng cao 42 B VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC 45 I Tóm tắt lý thuyết 45 II Hệ thống bài tập 49 Vectơ không gian 49 a) Chứng minh các đẳng thức vectơ, ba vectơ đồng phẳng 49 b) Ứng dụng tích vô hƣớng 53 Hai đƣờng thẳng vuông góc 53 a) Tính góc hai đƣờng thẳng 53 b) Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc 57 Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng 60 a) Chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng 60 b) Góc đƣờng thẳng và mặt phẳng 65 Hai mặt phẳng vuông góc 70 a) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 70 b) Xác định chân đƣờng vuông góc điểm xuống mặt phẳng 78 c) Xác định góc hai mặt phẳng 78 Khoảng cách 83 a) Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 83 b) Xác định khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo 87 C CHUYÊN ĐỀ THIẾT DIỆN 95 239 Tóm tắt lí thuyết 95 Hệ thống bài tập 96 Một số phƣơng pháp dựng thiết diện 96 a) Mặt phẳng (P) cho dạng tƣờng minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đƣờng thẳng cắt nhau, điểm nằm ngoài đƣờng thẳng 96 b) Mặt phẳng (P) đƣợc cho các tính chất song song 99 i Mặt phẳng (P) qua đƣờng thẳng d, song song với đƣờng thẳng l 99 ii Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với hai đƣờng thẳng chéo d và l 102 iii Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) 103 c) Mặt phẳng (P) đƣợc cho các yếu tố vuông góc 106 i Mặt phẳng (P) qua điểm và vuông góc với đƣờng thẳng 106 ii Mặt phẳng (P) qua đƣờng thẳng d và vuông góc với đƣờng thẳng l 108 iii Mặt phẳng (P) qua đƣờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) đã cho (d xiên góc với (Q)) 109 Các bài toán liên quan đến thiết diện 112 a) Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ 112 b) Tính tỉ số thể tích phần khối đa diện bị chia thiết diện tính thể tích khối đa diện đƣợc tạo thiết diện 122 D CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN 136 I Tóm tắt lí thuyết 136 II Hệ thống bài tập 140 Tính thể tích khối chóp 140 a) Thể tích khối chóp và khối chóp có cạnh bên 140 b) Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 144 c) Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy 150 d) Áp dụng tỉ số thể tích 154 e) Bài toán thể tích liên quan đến cực trị 160 Thể tích khối lăng trụ 163 a) Khối lăng trụ đứng biết chiều cao hay cạnh đáy 163 b) Khối lăng trụ đứng biết góc đƣờng thẳng và mặt phẳng 166 c) Khối lăng trụ đứng biết góc hai mặt phẳng 168 d) Khối lăng trụ xiên 170 E CHUYÊN ĐỀ KHỐI TRÕN XOAY 175 I Tóm tắt lí thuyết 175 II Hệ thống bài tập 181 Măt cầu, khối cầu 181 a) Mặt cầu ngoại tiếp 181 b) Mặt cầu nội tiếp 190 Mặt nón, khối nón 194 Mặt trụ, khối trụ 199 F BÀI TẬP TỔNG HỢP 202 G ĐÁNH GIÁ ĐỀ THI ĐẠI HỌC TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY 225 I II 240