Download Một số bài toán Hình học không gian luyện thi đại học

Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. HD:[r]

ONTHIONLINE.NET

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC-HÌNH HỌC ( có giải chi tiết )

B06 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD =a 2, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

HD: Cách 1: Dễ thấy I trọng tâm ABD  BI = BM3 =

a

3 AI =

1AC a 3 

ABI có BI2 + AI2 =

2

2 2a 3a a AB

3   

 BI AI BI  SA  BI(SAC) (SMB)  (SAC)

Khối tứ diện SABC có thể chia làm tứ diện: SABN ; CNBI ; ANIB

Gọi V = VSABC; V1 = VSABN; V2 = VCNBI Ta có :

1

V V SN.SA.SB CN.CI.CB V  V SC.SA.SB SC.CA.CB

1

V V 1 1 5. V 2 3 

    

 VANIB = SABC

1V 1 BA.BC.SA 6

= 361 a.a 2.a  VANIB = a

36 C2:

Xét ABM BCA vuông đồng dạng ?

    

ABM +BAC =BCA+ BAC =90  AIB90  MB AC (1)

SA (ABCD) SA  MB (2).

Từ (1) (2) MB  (SAC)  (SMB)  (SAC).

Gọi H trung điểm AC NH đường trung bình  SAC NH = SA/2= a/2 NH//SA nên NH  (ABI), đó V ANIB =

3

1 .

3 ABI 36

a

NH S 

A06 Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O' , bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB= 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB

Kẻ đường sinh AA' Gọi D điểm đối xứng với A ' qua O' H hình chiếu B đường thẳng A'D

Do BH  A'D BH  AA' nên BH  (AOO'A')

VOO’AB = (1/3)BH.SAOO’

Ta có: A'B2 = AB2 - A'A2 = 3a2 BD2 = A'D2 - A'B2 = a2 ,suy BO'D BH= ?

Vì AOO' tam giác vng cân cạnh bên a nên: SAOO' = a2 /2

Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là:

2

1 3 2

a a

V  

y z

x B

S

C D A N

M I a

a a 2

C

I H

M N

D A

B

C E

O A

O'

A' D

C B

D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM

HD:

3

1

3

S ABC ABC

a

V  SA S 

(đvtt)

+ SAB vuông A có AM đường cao  SM.SB = SA2

2

4

SM SA

SB SB 

+ SAC vuông A có AN đường cao  SN.SC = SA2

2

4

SN SA

SC SC 

16 16

25 25

SAMN

SAMN SABC SABC

V SA SM SN

V V

V SA SB SC   

 VABCMN = VSABC – VSAMN =

3

9 3

25 SBAC 50

a

V 

(đvtt)

A07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP

HD:

Gọi H trung điểm AD Do SAD nên SH  AD

Do (SAD)  (ABCD) nên

SH (ABCD)  SH  BP (1)

Xét hình vng ABCD ta có

CDH = BCP

CH  BP (2)

Từ (1) (2)  BP (SHC)

Vì MN//SC AN // CH (AMN) // (SHC)

Do đó: BP(AMN)  BP AM

Kẻ MK  (ABCD) , Ta có: VCMNP = (1/3)MK.SCNP

2

1 3; . ;

2 CNP CMNP 96

a a a

MK SH  S  CN CP V 

-B07 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC

HD:

A

B

C S

M N

K M

P

N H

D

A B

Gọi H tâm ABCD SH (ABCD)

Từ BH  AC BH  SH suy BH  (SAC)

Và Gọi I, K trung điểm SA AB : IH// BE MK// BE nên IH//MK MK//IH (1) KN//AC (2) 1(1) (2)  (MKN) // (SAC)

(MKN)  BD MN  BD

Khoảng cách MN AC

bằng khoảng cách từ H đến (KMN) = HQ/2

D07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, góc ABC= BAD= 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

HD:

Kẻ CE vng góc AD, tứ giác OBCE hình vng nên CE=AE=ED=a Sử dụng định lý Pitago ta có: CD2 =2a2 ,SC2 = 4a2 ,SD2 = 6a2 ;

SD2 =SC2 + SD2

 ∆ SCD vuông C

b) Gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz:

A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, 2a, 0); S(0, 0, a) Hạ HI vuông góc với AB, HK vuông góc SA

Ta có

2

3; ;

3

a

SB a AI  AK a

Pt mp(SCD): x y  2z 2a0



a d(H;(SCD))=

3

A08 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C'

HD:

Gọi H trung điểm BC Suy A'H (ABC) AH = 

2

1 3

2BC2 a  a a

Do đó : A'H =A'A2 – AH2 = 3a2 A'H =

 a

Vậy

3 ' ' 3 2

A ABC ABC

a

V  A H S 

Trong tam giác vuông A'B'H có: HB'2= A'B' 2 + A'H2 =4a2 nên tam giác B'BH cân B' Đặt  góc hai đường thẳng AA' B'C'    = B'BH

' ;cos =BH/2

BB' 2.2

a B BH

a

   

B08 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm

H

A C

B

C' B'

A'

I

N K

H

D A

B C

S E

M

A

C

E S

K

D I

cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN

Gọi H hình chiếu S AB, suy SH  (ABCD) Do đó SH đường cao hình

chóp S.BMDN.Ta có: SA2 + SB2 = AB2 nên tam giác SAB vuông S, suy SM = AB/2 Do đó tam giác SAM đều, suy SH =a 3/2 Diện tích tứ giác BMDN

SBMDN=SABCD/2 = 2a2 Thể tích khối chóp S.BMDN VSBMDN= 3

3

a

(đvtt)



Kẻ ME//DN Đặt  góc hai đường thẳng SM DN Ta có (SM,ME) =  

Theo định lý ba đường vuông góc ta có SA  AE

SE2 = SA2 + AE2 = 5a2/4 ; ME2= AM2 + AE2 = 5a2 /4 Suy tam giác SME cân E nên và

 ;cos =ME/2 /

SM /

a SME

a

    

-D08 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C

HD:

Từ giả thiết suy tam giác ABC vuông cân B Thể tích khối lăng trụ VABC.A'B'C' = AA’.SABC =

3

1

2

2

a

a a 

(đvtt)

Gọi E trung điểm BB’.Khi đó mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách hai đường thẳng AM,B’C khoảng cách B’C mặt phẳng (AME) Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) khoảng cách từ C đến mp(AME) Gọi h khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME)

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi vuông góc nên suy đường cao :

2 2

1 1

7

a h h BE BA BM  

Khoảng cách hai đường thẳng B’C AM

N M

D A

B C

S

H

E E

M

A B

C

A' B'