1 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG (1)

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức cạnh đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A , đường cao AH , ta có: 1) a2 = b2 + c2 2) b2 = ab ';c2 = ac ' 3) h2 = b'.c ' 4) a.h = bc 5) 1 = + h2 b2 c2 b' b2 6) = a a2 Chú ý: Diện tích tam giác vng: S = ab Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB : AC = 3: AB + AC = 21cm a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH , BH ,CH http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Giải: a) Theo giả thiết: AB : AC = 3: , suy AB AC AB + AC = = = Do AB = 3.3 = ( cm) ; 3+ AC = 3.4 = 12( cm) Tam giác ABC vuông A , theo định lý Pythagore ta có: BC = AB + AC = 92 + 122 = 225 , suy BC = 15cm b) Tam giác ABC vuông A , ta có AH BC = AB.AC , suy AH = AB AC 9.12 = = 7,2( cm) BC 15 AH = BH HC Đặt BH = x ( < x < 9) HC = 15 - x , ta có: ( 7,2) = x ( 15 - x) � x - 15x + 51,84 = � x ( x - 5,4) = 9,6( x � ( x - 5,4) ( x - 9,6) = � x = 5,4 x = 9,6 (loại) Vậy BH = 5,4cm Từ HC = BC - BH = 9,6( cm) Chú ý: Có thể tính BH sau: AB = BH BC suy BH = AB 92 = = 5,4( cm) BC 15 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 5,4) = Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên b( b > a) a) Tính diện tích tam giác ABC b) Dựng BK ^ AC Tính tỷ số AK AC Giải: a) Gọi H trung điểm BC Theo định lý Pitago ta có: AH = AC - HC = b2 - a2 1 Suy SABC = BC AH = a b2 - a2 2 � AH = b2 - a2 b) Ta có 1 BC AH = BK AC = SABC 2 BC AH 2a = b - a2 Áp dụng định lý Pitago AC b tam giác vng AK B ta có: Suy BK = ( ) b2 - 2a2 4a2 2 2 2 Suy AK = AB - BK = b - b - a = b b ( AK = b2 - 2a2 b ) b2 - 2a2 AK = AC b2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a,b,c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 �4 3S Giải: a) Ta giả sử góc A góc lớn tam giác ABC � B,C góc nhọn Suy chân đường cao hạ từ A lên BC điểm H thuộc cạnh BC Ta có: BC = BH + HC Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vng AHB, AHC ta có: AB = AH + HB 2, AC = AH + HC Trừ hai đẳng thức ta có: c2 - b2 = HB - HC = ( HB + HC ) ( HB - HC ) = a.( HB - HC ) � HB - HC = c2 - b2 ta có: a a2 + c2 - b2 Áp dụng định lý Pitago cho HB + HC = a � BH = 2a tam giác vuông � � a2 + c2 - b2 � � a2 + c2 - b2 � a2 + c2 - b2 � � � � � � � � � � AHB � AH = c - � = c c+ � � � � � � � � � � � � 2a � � a a � � � 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2� � �2 b - ( a - c) � ( a + b + c) ( a + c - b) ( b + a - c) ( b + c - a) � �� (�a + c) - b2 � � � = � = � 2a �� 2a � 4a2 � � � � � �� � Đặt 2p = a + b + c AH = 16p( p - a) ( p - b) ( p - c) 4a2 � AH = p( p - a) ( p - b) ( p - c) a Từ tính S = BC AH = p( p - a) ( p - b) ( p - c) b) Từ câu a) ta có: S = p( p - a) ( p - b) ( p - c) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: � � p3 p - a + p - b + p - c� � Suy = � ( p - a) ( p - b) ( p - c) �� � � � � � 27 p3 p2 ( a + b + c) Mặt khác ta dễ chứng S � p = Hay S � 27 3 12 ( ) minh được: ( a + b + c) �3 a2 + b2 + c2 suy S� ( a2 + b2 + c2 12 ) �a + b2 + c2 �4 3S Dấu xảy hki tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho � AMB = 900 S, S1, S2 theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC ABH Chứng minh S = S1.S2 Giải: Tam giác AMB vng M có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word MK ^ AB nên MK = AK BK (1) D AHK : D CBK có � H = CK � B = 900 ; K �AH = K �CB AK � ) Suy AK = HK , (cùng phụ với ABC CK BK AK K B = CK K H (2) Từ (1) (2) suy MK = CK HK nên MK = CK HK ; 1 1 SAMB = AB.MK = AB CK HK = AB CK AB HK = S1S2 2 2 Vậy S = S1.S2 Ví dụ Cho hình thang ABCD có � =D � = 900, B � = 600,CD = 30cm,CA ^ CB Tính diện tích A hình thang Giải: � = ABC � = 600 (cùng phụ với CAB � ), tam Ta có CAD giác vng ACD ta có AC = 2AD Theo định lý Pythagore thì: AC = AD + DC hay ( 2AD ) = AD + 302 Suy 3AD = 900 � AD = 300 nên AD = 10 ( cm) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Kẻ CH ^ AB Tứ giác AHCD hình chữ nhật có �=D �=H � = 900 , suy AH = CD = 30cm;CH = AD = 10 3( cm) A Tam giác ACB vuông C , ta có: CH = HA.HB , suy HB = CH = HA ( ) 10 30 = 300 , = 10( cm) 30 AB = AH + HB = 30 + 10 = 40( cm) 1 SABCD = CH ( AB + CD ) 10 3.( 40 + 30) = 350 cm2 2 ( ) Vậy diện tích hình thang ABCD 350 3cm2 Tỉ số lượng giác góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN Các tỉ số lượng giác góc nhọn a (hình) định nghĩa sau: sin a = AB AC AB AC ;cosa = ;tan a = ;cot a = BC BC AC AB + Nếu a góc nhọn < sin a < 1;0 < cosa < 1; tan a > 0;cot a > Với hai góc a, b mà a + b = 900 , ta có: sin a = cosb;cosa = sin b;tan a = cot b;cot a = tan b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Nếu hai góc nhọn a b có sin a = sin b cosa = cosb a = b sin2 a + cos2 a = 1;tga.cot ga = Với số góc đặc biệt ta có: sin300 = cos600 = ;sin450 = cos450 = 2 cos300 = sin600 = ;cot 600 = tan300 = tan450 = cot 450 = 1;cot 300 = tan600 = Ví dụ Biết sin a = Tính cosa, tan a cot a 13 Giải: Cách Xét D ABC vuông A � = a Ta có: sin a = AC = Đặt B BC 13 suy AC BC = = k , 13 AC = 5k, BC = 13k Tam giác ABC vuông A nên: 2 AB = BC - AC = ( 13k) - ( 5k) = 144k2 , suy AB = 12k Vậy cosa = cot a = AB 12k 12 AC 5k = = ; tan a = = = ; BC 13k 13 AB 12k 12 AB 12k 12 = = AC 5k http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Cách Ta có sin a = 25 suy sin2 a = , mà 13 169 2 sin2 a + cos2 a = 1, cos a = 1- sin a = 1- cosa = 25 144 , suy = 169 169 12 13 tan a = sin a 12 13 = : = = ; cosa 13 13 13 12 12 cot a = cosa 12 12 13 12 = : = = sin a 13 13 13 5 Ở cách giải thứ ta biểu thị độ dài cạnh tam giác ABC theo đại lượng k sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để tính cosa,tan a,cot a Ở cách giải để tính sin2 a tính 13 cosa từ sin2 a + cos2 a = Sau ta tính tana cot a qua sina cosa thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin a = Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD BE cắt H Biết HD : HA = 1: Chứng minh tgB tgC = Giải: Ta có: tgB = AD AD ;tgC = BD CD Suy tan B tanC = AD BDCD (1) � = CAD � � ); HDB � = ADC � = 900 (cùng phụ với ACB HBD http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word DH BD , = DC AD BD.DC = DH AD (2) Từ (1) (2) suy Do D BDH : D ADC (g.g), suy tan B tanC = AD AD = DH AD DH (3) Theo giả thiết HD = suy AH HD HD = hay = , suy AD = 3HD Thay vào AH + HD 2+1 AD (3) ta được: tan B tanC = 3HD = DH Ví dụ Biết sin a.cosa = 12 Tính sin a,cosa 25 Giải: 12 Để tính sin a,cosa ta cần tính sin a + cosa 25 giải phương trình với ẩn sina cosa Biết sin a.cosa = Ta có: ( sin a + cosa ) = sin2 a + cos2 a + 2sin a.cosa = 1+ sin a + cosa = 12 49 Suy = 25 25 7 nên sin a = - cosa Từ ta có: 5 � � 12 7 12 � � cosa � cos a = � cosa - cos2 a = � � � � 5 25 � � 25 � 25cos2 a - 35cosa + 12 = � 5cosa ( 5cosa - 4) - 3( 5cosa - 4) = � ( 5cosa - 4) ( 5cosa - 3) = Suy cosa = + Nếu cosa = cosa = 5 12 sin a = : = 25 5 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word + Nếu cosa = Vậy sin a = 12 sin a = : = 25 5 4 , cosa = sin a = ,cosa = 5 5 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tan góc đối hay nhân với cot góc kề b = a.sin B = a cosC ;c = a.sinC = a.cosB;b = ctgB = c.cot gC ; c = btgC = b.cot gC Giải tam giác vng tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng � = 600 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 16, AC = 14 B a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC Giải: a) Kẻ đường cao AH Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB cosB = AB.cos600 = 16 = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word = Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vng AHC ta có: AH = AB sin B = AB sin600 = 16 ( ) HC = AC - AH = 142 - = 196 - 192 = Suy HC = Vậy BC = CH + HB = + = 10 1 b) Cách SABC = BC AH = 10.8 = 40 (đvdt) 2 1 Cách S = BC BA.sin B = 10.16 = 40 (đvdt) ABC 2 � = 450, ACB � = 600 Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R Giải: Giả thiết có góc có số đo đặc biệt , tam giác ABC tam giác thường nên ta tạo tam giác vuông cách Dựng đường thẳng qua C , B vng góc với AC , AB Gọi D giao điểm hai đường thẳng Khi tam giác ABD ACD tam giác vuông điểm A, B,C , D nằm đường trịn đường kính AD = 2R Ta có: AB = AD.sin600 = AD = R Kẻ đường cao AH suy H �BC Tức là: BC = BH + CH Tam giác AHB vng góc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word H nên AH = BH = AB.sin450 = AB = AD = R 2 2 Mặt khác tam giác ACH vuông H nên AC = AH + CH � CH = diện tích S = ( R � BC = ( ) Từ tính R 1+ 2 ) R2 3+ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a,b,c Chứng minh rằng: a) a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b) Gọi D chân đường phân giác góc A Chứng � A� � 2bc.cos� �� � � minh: �2 � � AD = b+c Giải: a) Dựng đường cao BH tam giác ABC ta có: Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC Ta có: AC = AH + HC Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vng AHB, BHC ta có: AB = AH + HB 2, BC = BH + HC http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Trừ hai đẳng thức ta có: c2 - a2 = HA2 - HC = ( HA + HC ) ( HA - HC ) = b.( HA - HC ) c2 - a2 ta có: � HA - HC = b HA + HC = b � AH = có: cosA = b2 + c2 - a2 Xét tam giác vuông AHB ta 2b AH b2 + c2 - a2 = � a2 = b2 + c2 - 2bc cosA AB 2bc Cách 2: Xét tam giác vng CHB ta có: BC = BH + HC = BH + ( AC - AH ) = BH + AH + AC - 2AC AH Ta có: AH = CB.cosA suy BC = BH + AH + AC - 2AC CB cosA hay � BC = BA + +AC - 2AC CB cosA � a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b) Để chứng minh toán ta cần kết sau: + sin2a = 2sin a.cosa + S = absinC � = 900 , gọi M trung *) Thật xét tam giác vuông ABC , A điểm BC , dựng đường cao AH Đặt � = a � AMB � ACB = 2a Ta có sin a = sinC = cosa = cosC = AH h = AC b AC b = BC a http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word AH h 2h � sin2a = sin AMH = = = AM a a Từ ta suy ra: sin2a = 2sin a.cosa *) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có: 1 SABC = BE AC = BE b (1) 2 Mặt khác tam giác vuông AEB ta có: sin A = BE � BE = c.sin A AB thay vào (1) Ta có: S = absinC Trở lại toán: � 1 A� � �� Ta có SABD = AD.AB sin A1 = AD.c.sin� � � � 2 �2� � 1 A� � SACD = AD.AC sin A2 = AD.b.sin� �� � � 2 �2 � � Suy SABC = SACD + SABD = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word � A� � � � = AD sin � c + b� � Mặt khác SABC = bc sin A � � � � � � �2� � A� � � AD sin� c + b� = bc sin A � AD = �� � � � � � �� bc sin A = � � A � � � ( b + c) sin� � � �2 � � A c +b 2bc cos Chú ý rằng: Ta chứng minh kết sau: cos2a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a � = 900 , gọi M trung Thật xét tam giác vuông ABC , A điểm BC , dựng đường cao AH Đặt � = a � AMB � ACB = 2a Ta có : cosa = cosC = sin a = sinC = AC b = BC a AB c = , BC a AM + MB - AB � cos2a = cosAMH = 2AM MB 2 a a 2 + - c2 �� �� a2 - 2c2 c� a2 - b2 b� 4 � � �= 1- �- = = = 1- 2� = 2� � � � � a a a� a� a2 a2 �� �� 2 Từ suy cos2a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a � 2A 2 2 2 2cos � Áp dụng a = b + c - 2bc cosA � a = b + c - 2bc � � � � � 1� � � � ( b + c) - a2 Thay vào b2 + c2 - a2 2A 2A � 2cos = + � cos = 2bc 4bc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word công thức đường phân giác ta có: b + c) - a2 ( A 2bc 2bc cos bc ( b + c - a) ( b + c + a) 4bc 2= AD = = c +b b +c b +c Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: b+c bc -=‫�ޣ‬ AD 2p = a + b + c ( b + c - a) ( b + c + a) p(p a) với Áp dụng công thức: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Ta chứng minh hệ thức quan trọng hình học phẳng ( Định lý Stewart) là: ‘’Cho điểm D nằm cạnh BC tam giác ABC ( ) 2 ta có: AB CD + AC BD = BC AB + BD.DC ’’ + Thật :Ta giả kẻ AH ^ BC khơng tính tổng qt, ta giả sử D nằm đoạn HC Khi ta có: � = AD + BD - 2DB DH (1) AB = AD + BD - 2AD.BD.cosADB Tương tự ta có: AC = AD + DC + 2DH DC (2) Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD cộng lại theo vế ta có: ( AB 2.CD + AC 2.BD = BC AB + BD.DC ) Ví dụ Khơng dùng máy tính bảng số chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word sin750 = + Giải: Vẽ tam giác ABC vuông A với BC = 2a ( a độ dài tùy ý) � = 750 , C� = 150 , suy B Gọi I trung điểm BC , ta có � góc ngồi đỉnh I tam IA = IB = IC = a Vì AIB � = 2C� = 300 Kẻ AH ^ BC giác cân IAC nên AIB IH = AI cos300 = a a 3; AH = AI cos300 = ; 2 CH = CI + IH = a + ( ) a a 2+ = 2 Tam giác AHC vuông H , theo định lý Pythagore, ta có: AC = CH + AH = = ( ) ( sin750 = sin B = ) a2 a + + + + = 4 ) = a ( + 3) , suy AC = a 4a2 + ( a2 + 2+ AC a 2+ 2+ 4+2 = = = BC 2a 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word = ( ) +1 2 = +1 2 = ( )= +1 2 6+ Vậy sin750 = + http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... sin2 a + cos2 a = 1, cos a = 1- sin a = 1- cosa = 25 14 4 , suy = 16 9 16 9 12 13 tan a = sin a 12 13 = : = = ; cosa 13 13 13 12 12 cot a = cosa 12 12 13 12 = : = = sin a 13 13 13 5 Ở cách giải... 13 Giải: Cách Xét D ABC vuông A � = a Ta có: sin a = AC = Đặt B BC 13 suy AC BC = = k , 13 AC = 5k, BC = 13 k Tam giác ABC vuông A nên: 2 AB = BC - AC = ( 13 k) - ( 5k) = 14 4k2 , suy AB = 12 k... btgC = b.cot gC Giải tam giác vuông tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng � = 600 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 16 , AC = 14 B a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC Giải: a)