Vậy phương trình không có nghiệm nguyên 0,25đ Bài 5 1,5điểm lập luận diện tích tam giác PBC bằng nửa diện tích hbh ABCD 0,25đ Lập luận diện tích tứ giác AMKD bằng diện tích tứ giác CKMB [r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN TIÊN PHƯỚC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học : 2007 – 2008 Môn thi : TOÁN - Lớp Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐỀ BÀI: Bài : ( 1,5 điểm ) a) b) Bài : ( 2,0 điểm ) Rút gọn biểu thức A = √3+2 √ 2− √ 57+40 √ B= √ − √3 − √29 −6 √ 20 √ x5 x3 x a) Chứng minh biểu thức M = luôn nhận giá trị nguyên với x Z − + 30 15 b) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết nó là số chính phương ; chia hết cho và d là số nguyên tố Bài : ( 1, điểm ) Với a , b R Chứng minh : 2 a+b a +b ≤ a) 2 2 b) a + b + ≥ ab + a + b Bài : ( 2,0 điểm ) a) Tìm giá trị lớn biểu thức N = x+ √ − x b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) Bài : ( 1,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD , trên cạnh AB và CD lấy các điểm M , K cho AM = CK Lấy điểm P nằm trên cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ) Nối PB , PC cắt MK E , F Chứng minh S PEF=SBME + SCKF Bài : ( 1,5 điểm ) Cho hình thoi ABCD có B ^ A D=1200 Tia Ax tạo với tia AB góc B ^ A x=15 và cắt 3 = + cạnh BC M , cắt đường thẳng CD N Chứng minh 2 AB AM AN ( ) (2) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP – KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Bài ( 1,5điểm) Rút gọn biểu thức 1+ √ ¿2 ¿ 5+4 √2 ¿2 A = √3+2 √ 2− √ 57+40 √ = ( 0,25đ) ¿ ¿ √¿ = ( 1+ √ ) − ( 5+ √ ) ( 0,25đ) = +4 √ −5 − √ 2=− √ −3 ¿ ¿ ¿ B= √ − √3 − √29 −6 √20 = (0,25đ) −√ ¿ ( 0,25đ) √ √5 −√¿ √¿ = √ − √3 −(2 √5 −3) = √ √ − √ − √ (0,25đ ) = √ √ − √5+1 =1 (0,25đ) Bài (2,0điểm) Câu a : 1,0 điểm 2 x (x − x − x + 4) x x 2x x −5 x 3+ x M= = = (0,25đ) − + 30 15 30 30 2 x ( x − )( x −1) x (x −1)( x+1)(x − 2)( x +2) = (0,25đ) = 30 30 Hiểu và lập luận x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 với x Z , M luôn nhận giá trị nguyên với x (0,5đ) Câu b : 1.0 điểm */ Lập luận d = (0,25đ) ,thấy 1002 > abcd suy abcd = x 2(0,25đ) Vì abcd chia hết cho => x chia hết cho => x chia hết cho (0,25đ) Suy x+5 = ; ; 12 => x = ; ; Kiểm tra 152, 452, 752 => kquả (0,25đ) a+b a2 +b2 2 ≤ Bài (1,5điểm) Câu a (0.75đ) : ⇔ ( a+b ) ≤2 a +2 b (0,25đ) 2 ( đúng hiển nhiên – đpcm) (0,5đ) ⇔ ( a− b ) ≥0 2 2 Câu b : (0,75điểm) a + b + ≥ ab + a + b ⇔ a +b +1− ab − a− b ≥ 2 2 (0,5đ) ⇔ a +2 b +2 −2 ab −2 a −2 b ≥ (0,25đ) ⇔ ( a− b ) + ( a −1 ) + ( b − ) ≥ Bài (2,0điểm) Câu a (1,0đ) Điều kiện x ≤ Đặt √ 2− x= y ≥ ta có y = – x (0,25đ) 9 y− ¿ + ≤ N = – y2 + y = (0,5đ) 4 (0,25đ) Max N = 9/4 y = 1/2 x = 7/4 −¿ Câu b (1,0đ) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) ⇔ 5x2 + 9y2 – 12xy + +24x – 48y +72 = (0,25đ) 4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = ( 2x – 3y + )2 + ( x – )2 = (0,5đ) suy x – = và 2x – 3y + = =>x =4 và y = 16/ Vậy phương trình không có nghiệm nguyên (0,25đ) Bài (1,5điểm) lập luận diện tích tam giác PBC nửa diện tích hbh ABCD (0,25đ) Lập luận diện tích tứ giác AMKD diện tích tứ giác CKMB và M A B nửa diện tích hbh ABCD (0,5đ) E P Suy diện tích tam giác PBC diện tích CKMB (0,25đ) Loại trừ diện tích phần chung , suy kết (0,5đ) F D √ ( ) K C (3) Bài ( 1,5điểm) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ax , cắt cạnh DC K => D ^ A K =150 (0,25đ) Chứng minh hai tam giác DAK , BAM => AK = AM (0,5đ) Thấy AH là đường cao M 1 = + Δ AKN vuông A , suy (0,25đ) 2 AH AK AN √ , vào, suy kquả (0,5đ) K C H mà AH= NAD.Sin600 = AB Lưu ý : Nếu bài giải theo các cách khác mà đúng thì điểm tối đa (dựa vào đáp án t/ phần) A D B (4)