Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau... Viết số hạng thứ n của dãy trên với n là số thứ tự..[r]
(1)Phòng GD-ĐT Hưng Hà Trường THCS Lê Quý Đôn ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Vòng Môn Toán lớp (Thời gian làm bài 120ph) ==***== Bài 1(3 điểm) a Trong hệ thập phân số A viết 100 chữ số 3, số B viết 100 chữ số Hãy tính A.B b Tính tổng A = 1.2 + 2.3 +3.4 + + 2013 2014 Bài (3,5 điểm) Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 123456… a Hỏi chữ số hàng đơn vị số 2014 đứng hàng thứ bao nhiêu? b Chữ số thứ 2014 là chữ số nào? Cho a1 +a 2+ a3 + +a 101 = và a1 +a = a3 + a4 = = a99 +a 100 =-1.Tìm a ❑101 ? Bài (7,5 điểm) Cho dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; … a Tìm số thứ 2014 dãy trên? b Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên dãy trên? c Viết số hạng thứ n dãy trên ( với n là số thứ tự) d Các số -5007; 38946 có mặt dãy trên không? Tìm số nguyên n,m, biết: a mn-5m-3n = -8 b n ❑2 +2n-7 chia hết cho n+2 Bài (4 điểm) a Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số mà chia cho 75 có thương và số dư −9+ n ⏟ b Cho B= 888 với n N ❑ Chứng minh B chia hết cho ❑ 2111 .1 ⏟ ⏟ c Chứng tỏ với số tự nhiên n khác thì số 111 là hợp số ❑ ❑ Bài (2 điểm): Cho AB=2 ❑2014 cm Gọi C ❑1 là trung điểm AB; Gọi C ❑2 là trung điểm A C ❑1 ; Gọi C ❑3 là trung điểm AC ❑2 ;…; Gọi C ❑2014 là trung điểm AC ❑2013 Tính C ❑1 C ❑2014 …Hết… (2) Phòng GD-ĐT Hưng Hà ĐÁP ÁN KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Trường THCS Lê Quý Đôn Vòng Môn Toán lớp (Thời gian làm bài 120ph) ==***== Bài Bài (3 điểm) Đáp án a Trong hệ thập phân số A viết 100 chữ số 3, số B viết 100 chữ số Hãy tính A.B 333 .3 666 ⏟ ⏟ A.B= 100 chusô 999 ⏟ = =(1 b Bài (3,5đ) b 100 chuso 000 ⏟ 100 chuso 222 .2 ⏟ 0.5đ 100 chusô 0.25đ 100 chusô -1) 222 .2 ⏟ 222 .2 000 − ⏟ ⏟ = 222 .2 777 .7 ⏟ ⏟ 99chusô 100 chusô 222 .2 ⏟ = 100 chusô 333 .3 ⏟ = 100chusô Điểm 100chuso 0.25đ 100 chusô 222 .2 ⏟ 0.25đ 100 chusô 0.25đ 99chuso Tính tổng A = 1.2 + 2.3 +3.4 + + 2013 2014 3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+…+2013.2014.3 3A=1.2+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+…+2013.2014.(2015-2012) 3A=1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+…+2013.2014.2015-2012.2013.2014 3A=2013.2014.2015->A=2723058910 Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 123456… a Hỏi chữ số hàng đơn vị số 2014 đứng hàng thứ bao nhiêu? Từ đến có số có chữ số Từ 10 đến 99 có 90 số có chữ số Từ 100 đến 999 có 900 số có chữ số Từ 1000 đến 2014 có 1015 số có chữ số Vậy, chữ số hàng đơn vị số 2014 đứng hàng thứ: 9.1+90.2+900.3+1015.4=6949 Chữ số thứ 2014 là chữ số nào? Từ đến có số có chữ số Từ 10 đến 99 có 90 số có chữ số Số các chữ số còn lại là: 2014-90.2-9.1=1825(chữ số để viết các số có chữ số) 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ (3) Bài (7,5 điểm) a Số các số có chữ số là: 1825:3=608(dư1) => Số thứ 609 kể từ số 100 là số (609-1)+100=708 Vậy chữ số thứ 2014 là chữ số số 708 Cho a1 +a 2+ a3 + +a 101 = và a1 +a = a3 + a4 = = a99 +a 100 =-1.Tìm a ❑101 ? Ta có a1 +a = a3 + a4 = = a99 +a 100 =-1 => a ❑101 =50 Cho dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; … a Tìm số thứ 2014 dãy trên? b Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên dãy trên? c Viết số hạng thứ n dãy trên ( với n là số thứ tự) d Các số -5007; 38946 có mặt dãy trên không? 0.25đ 0,5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ Tìm số thứ 2014 dãy trên? Dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; … ¿ Gọi số hạng thứ 2014 dãy trên có giá trị tuyện đối là x ( x N ∗ ) ¿ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b Ta có:( x-7):5+1=2014 x=10072 Mà số hạng dãy trên đứng thứ tự lẻ mang dấu “+”, số đứng thứ tự chẵn mang dấu “-” Vậy số hạng thứ 2014 dãy trên là -10072 Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên dãy trên? 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ c Tổng 2014 số hạng đầu tiên dãy trên là 7+(-12)+17+(-22)+27+…+(-10072) =[7+(-12)]+[17+(-22)]+…+[10067+(-10072)](có 2014:2=1007 nhóm) =-5.1007 =-5035 Viết số hạng thứ n dãy trên ( với n là số thứ tự) 0.25đ d Ta thấy: Mỗi số dãy trên chia dư 2, số hạng đứng thứ tự lẻ mang dấu “+”, số đứng thứ tự chẵn mang dấu “-” Công thức tổng quát số hạng thứ n là: (-1) ❑n+1 (5n+2) Các số -5007; 38946 có mặt dãy trên không? Ta thấy -5007: 5( dư 2), 38946:5( dư 1) Vậy -5007 có mặt dãy trên còn 38946 không cố mặt dãy trên 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ (4) a b Bài (4,5 điểm) Tìm số nguyên n,m, biết: mn-5m-3n = -8 mn-5m-3n = -8 (mn-5m)-3n = -8 m(n-5)-3n+15=7 (n-5)(m-3)=7 =>(n-5),(m-3) Ư(7) Mà Ư(7)={-7;-1;1;7} n-5 -7 -1 m-3 -1 -7 n -2 12 m -4 10 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy các cặp số nguyên (n,m)cần tìm là (-2;2), (4;-4), (6;10), (12;4) n ❑2 +2n-7 chia hết cho n+2 Ta có n ❑2 +2n-7 =( n ❑2 +2n)-7 =n(n+2)-7 Để n ❑2 +2n-7 chia hết cho n+2 thì n(n+2)-7 chia hết cho n+2 =>7 chia hết cho n+2 => n+2 là ước Mà Ư(7)={-7;-1;1;7} Ta có bảng n+2 -7 -1 n -9 -3 -1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy, với n { −9 ; − 3; − 1; } thì n ❑ +2n-7 chia hết cho n+2 a Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số mà chia cho 75 có thương và số dư Gọi thương và số dư phép chia đó là a (0< a <75) Ta có số cần tìm có dạng 75.a+a=76a (1) Mà số cần tìm là số tự nhiên lớn có ba chữ số (2) Từ (1), (2) số cần tìm là 988 b Cho B= 888 −9+ n ⏟ nchuso với n N ❑ Chứng minh B chia hết cho 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ (5) B= 888 −9+ n ⏟ nchuso = 888 +111 .1 −111 .1 − 9+n ⏟ ⏟ ⏟ = (999 −9)+(n −111 ) ⏟ ⏟ nchuso nchuso nchuso =9 0.5đ nchuso 0.25đ nchuso 111 ⏟ nchuso + (n −111 .1 ) ⏟ 0.25đ nchuso Vì n chính là tổng các chữ số 111 ⏟ (n −111 .1 ) ⏟ nên nchuso nchuso chia hết cho Vậy B chia hết cho c 0.25đ 0.25đ 111 2111 .1 ⏟ ⏟ Chứng tỏ với số tự nhiên n khác thì số nchuso nchuso là hợp số Ta có 111 2111 .1 ⏟ ⏟ nchuso nchuso = 111 000 +111 ⏟ ⏟ ⏟ = 111 ⏟ n+1 chuso n+1 chuso nchuso .( 0.5đ n+1 chuso 000 .0 + 1¿ ⏟ nchuso chia hết cho Vậy với số tự nhiên n khác thì số Bài (2 điểm): 111 ⏟ n+1 chuso và lớn 111 2111 .1 ⏟ ⏟ nchuso nchuso 111 ⏟ 0.5đ n+1 chuso là hợp số 0.25đ Cho AB=2 ❑2014 cm Gọi C ❑1 là trung điểm AB; Gọi C ❑2 là trung điểm A C ❑1 ; Gọi C ❑3 là trung điểm AC ❑2 ;…; Gọi C ❑2014 là trung điểm AC ❑2013 Tính C ❑1 C ❑2014 Vì C ❑1 là trung điểm AB nên AC ❑1 =AB/2 (1) Vì C ❑2 là trung điểm A C ❑1 nên AC ❑2 = AC ❑1 /2=AB/2 ❑2 (2) Vì C ❑3 à trung điểm A C ❑2 nên AC ❑3 = AC ❑2 /2=AB/2 ❑3 (3) … VÌ C ❑2014 là trung điểm AC ❑2013 nên AC ❑2014 = AB/2 ❑2014 =1 (2014) TỪ (1), (2),(3),…,(2014) suy C ❑2014 nằm A và C ❑1 Do đó AC ❑2014 + C ❑1 C ❑2014 =AC ❑1 Vậy C ❑1 C ❑2014 =2 ❑2013 -1 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ (6)