De KS HSG Toan 9 20152016

c Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O... aChứng minh AD..[r]

PHÒNG GD & ĐT NAM TRỰC TRƯỜNG THCS NAM TOÀN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2015 – 2016 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1: ( 1,5 điểm) A x2  x x2  x  x  x 1 x  x 1 Cho a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm GTNN biểu thức B Bài 2: (1,5 điểm) 3 a, Cho x 1   Chứng minh P x  3x  3x  là số chính phương b, Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + = Bài 3: (2 điểm) a) Tìm x, y biết : x b) Giải phương trình : Bài 4: (1,0 điểm) + + x+ y = y x2 x  x x  x 3  x y x2 y   3     y x Cho hai số thực x, y 0 CMR : y x Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,và K là trung điểm GC a) Chứng minh: AD DK b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 6: (2 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh : điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì ? c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O -Hết - ĐÁP ÁN- BIỂU ĐIỂM Bài 1: ( 1,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm a) ĐKXĐ: x 0   x x3  x2  x x2  x A    x  x 1 x  x 1 x  x 1 x      x   x 1 x x 1 x   x  x  x 1 x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1   x  x  x  x    x  x1   x   x  x  x  x  x  x x    b) B = A + x – 1= Dấu “=” xảy  x  0  x 1 ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 Bài 2: ( 1,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm a, Ta có: x 1     x   1     1  3     3 21 2.x  x 1    2  21 3 1 21 2.x x    3 2.x  21  x  1  2x x  3x  3x   P x  3x  3x  4 22 Vậy P là số chính phương 2 2 b, x – 5xy  6y    4x  20xy  24y  0 KQ:  (2x  5y)  y  0  (2x  5y)  y   (2x  6y)(2x  4y)   (x  3y)(x  2y)  (x; y)   ( 5;  2); (5; 2) Bài 3: (2 điểm) Mỗi ý đúng cho điểm b) a) ĐKXĐ: x  0; y  c) x +      x  y    0  x   y  y + x+ y =    x  x 0  x 1     y 1  y  0  y ( TM ĐKXĐ) Vậy (x;y)=(1;1) b) x2 x  x x  x 3  x   x  1  x   x  1  x 3     x  1  x  1    x 1 x 1   x 3 ĐKXĐ : x 1 x 3 (*) Nếu x 2 phương trình (*) x 3 x 3  x 1  x  x  2  16( x  1)  x  x   x  10 x  25 0  ( x  5)2 0  x 5 (TM) Nếu x  phương trình (*) x 3 x 3  x   1  x    2  x   x 1 2 ( TM)  x  1  x    Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5 Bài 4: (1 điểm)  x y x y x2 y x y2 (x  y  xy)(x  y)            0     y x2 y2 x x y2 y x  y x Bài 5: (2 điểm) Mỗi ý đúng cho điểm Hình vẽ: a)Chứng minh AD DK: 1 2 Ta có DG= AD= ×36=12(cm); BG= BE= ×15=10(cm) ; 2 GC= CF= ×39=26(cm) 3 1 DK là đường trung bình tam giác BGC nên: DK= BG= ×10=5(cm) 1 GK= GC= × 26=13 (cm) 2 Tam giác DGK có DK 2+ DG2=52+ 122=132=GK ⇒ Δ DGK vuông D ( định lý Pi ta go đảo) , hay AD DK b) Tính diện tích tam giác ABC: BG // DK, AD DK ⇒ AD BG 10 ×36 S ABD = BG × AD= =180(cm ) 2 S ABD =S ADC ⇒ S ABC=2 S ABD =2 ×180=360 (cm ) S ABC=S ABD + S ADC ; và Bài 6: ( điểm) a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường   kính) suy BEF KMF 90 EC CM  KF Gọi C là trung điểm KF ta có hay EC CM CK CF Suy điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn tâm C b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK EC là đường trung bình tam giác HKF nên EC  1  HF, mà EC= KF nên HF=KF I F C H M E K A O B K là trực tâm tam giác FAB nên FK  AB , mà   EAH AH  AB đó AH//KF suy KFE KEF HEA suy AH=KF Do đó AH=AK=KF=EH và AF  HK nên tứ giác AHFK là hình thoi c) Vì AHFK là hình thoi suy HF//AM, mà AM  BF nên HF  BF (1) Mặt khác HK là trung trực AF hay BH là trung trực AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) và (2) suy HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định HẾT