Đang tải... (xem toàn văn)
c Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O... aChứng minh AD..[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT NAM TRỰC TRƯỜNG THCS NAM TOÀN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2015 – 2016 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1: ( 1,5 điểm) A x2 x x2 x x x 1 x x 1 Cho a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm GTNN biểu thức B Bài 2: (1,5 điểm) 3 a, Cho x 1 Chứng minh P x 3x 3x là số chính phương b, Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + = Bài 3: (2 điểm) a) Tìm x, y biết : x b) Giải phương trình : Bài 4: (1,0 điểm) + + x+ y = y x2 x x x x 3 x y x2 y 3 y x Cho hai số thực x, y 0 CMR : y x Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,và K là trung điểm GC a) Chứng minh: AD DK b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 6: (2 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh : điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì ? c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O -Hết - (2) ĐÁP ÁN- BIỂU ĐIỂM Bài 1: ( 1,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm a) ĐKXĐ: x 0 x x3 x2 x x2 x A x x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x x x x x1 x x x x x x x x b) B = A + x – 1= Dấu “=” xảy x 0 x 1 ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 Bài 2: ( 1,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm a, Ta có: x 1 x 1 1 3 3 21 2.x x 1 2 21 3 1 21 2.x x 3 2.x 21 x 1 2x x 3x 3x P x 3x 3x 4 22 Vậy P là số chính phương 2 2 b, x – 5xy 6y 4x 20xy 24y 0 KQ: (2x 5y) y 0 (2x 5y) y (2x 6y)(2x 4y) (x 3y)(x 2y) (x; y) ( 5; 2); (5; 2) Bài 3: (2 điểm) Mỗi ý đúng cho điểm b) a) ĐKXĐ: x 0; y c) x + x y 0 x y y + x+ y = x x 0 x 1 y 1 y 0 y ( TM ĐKXĐ) Vậy (x;y)=(1;1) b) x2 x x x x 3 x x 1 x x 1 x 3 (3) x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 ĐKXĐ : x 1 x 3 (*) Nếu x 2 phương trình (*) x 3 x 3 x 1 x x 2 16( x 1) x x x 10 x 25 0 ( x 5)2 0 x 5 (TM) Nếu x phương trình (*) x 3 x 3 x 1 x 2 x x 1 2 ( TM) x 1 x Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5 Bài 4: (1 điểm) x y x y x2 y x y2 (x y xy)(x y) 0 y x2 y2 x x y2 y x y x Bài 5: (2 điểm) Mỗi ý đúng cho điểm Hình vẽ: a)Chứng minh AD DK: 1 2 Ta có DG= AD= ×36=12(cm); BG= BE= ×15=10(cm) ; 2 GC= CF= ×39=26(cm) 3 1 DK là đường trung bình tam giác BGC nên: DK= BG= ×10=5(cm) 1 GK= GC= × 26=13 (cm) 2 Tam giác DGK có DK 2+ DG2=52+ 122=132=GK ⇒ Δ DGK vuông D ( định lý Pi ta go đảo) , hay AD DK b) Tính diện tích tam giác ABC: BG // DK, AD DK ⇒ AD BG 10 ×36 S ABD = BG × AD= =180(cm ) 2 S ABD =S ADC ⇒ S ABC=2 S ABD =2 ×180=360 (cm ) S ABC=S ABD + S ADC ; và (4) Bài 6: ( điểm) a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường kính) suy BEF KMF 90 EC CM KF Gọi C là trung điểm KF ta có hay EC CM CK CF Suy điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn tâm C b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK EC là đường trung bình tam giác HKF nên EC 1 HF, mà EC= KF nên HF=KF I F C H M E K A O B K là trực tâm tam giác FAB nên FK AB , mà EAH AH AB đó AH//KF suy KFE KEF HEA suy AH=KF Do đó AH=AK=KF=EH và AF HK nên tứ giác AHFK là hình thoi c) Vì AHFK là hình thoi suy HF//AM, mà AM BF nên HF BF (1) Mặt khác HK là trung trực AF hay BH là trung trực AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) và (2) suy HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định HẾT (5)