ôn thi học sinh giỏi toán a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 a7 + a5 a4 + + a3 a+ 1 ) (1®) 2) ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) ( x + 100 )( + ) = 0 (0,25®) V×: + 0 Do ®ã : x + 100 = 0 x = 100 VËy ph¬¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 100 (0,25®) Bµi 2 (2®): P = (0,5®) x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn hay 2x 1 lµ íc nguyªn cña 5 (0,5®) => 2x 1 = 1 => x = 1 2x 1 = 1 => x = 0 2x 1 = 5 => x = 3 2x 1 = 5 => x = 2
Tuyn thi HSG Toỏn Đề Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: a) Rót gän biĨu thøc: 1 x2 + x − x − x − 18 x + yz xz xy b) Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) TÝnh + + x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia ®èi cđa c¸c tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đờng thẳmg cắt AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK Bµi (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Đáp án Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Râ rµng kÕt chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) 3 x – 4x – 18 x + = x – 7x + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) => (x+3)(x-2) ( x − 2) x2 + x − = (x+3)(x -7x +3) = x -7x +3 Víi ®iỊu kiÖn x ≠ -1 ; x2 -7x x − x − 18 x + +3 ≠ b) (1,5đ) Vì Tuyn thi HSG Toán 1 1 1 1 + + = ⇒ = − + ÷ x y z z x y 1 1 1 1 1 1 ⇒ = − + ÷ ⇒ = − + + + ÷ z z x y x y y x y x ⇒ 1 1 1 1 1 1 + + = −3 + ÷⇒ + + = 3 x y z x y x y x y z xyz Do ®ã : xyz( xyz xyz xyz yz zx xy 1 ⇔ + + =3⇔ + + =3 + + )= y x y z x y z x z Bài : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM §Ĩ chøng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c A K B C =E CBE cân C => B góc C1 góc tam giác BCE => =B +E ⇒B µ = 1C µ C 1 1 BM (ta E D mµ AC // vÏ) M => µ = CBM · µ = CBM · à C B nên BO tia phân giác CBM Hoàn toàn t1 ơng tự ta có CD tia phân giác góc BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB à à Mà : BAC hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // , BMC với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A song song với OK => K,O,M thẳng hàng ả = BMC à ả M ả = ảA mà (cmt ); àA = M Ta lại có : M 1 2 ảA = K (hai góc đồng vị) ả =M ả CKM cân C => CK = CM KÕt hỵp AB = CM => AB = => K 1 CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Tuyn tập đề thi HSG Toán Ta cã M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + V× (2x + 1)2 ≥ =>(2x + 1)2 + ≥ M Vậy giá trị nhỏ M = x = - đề Câu Tìm số cã ch÷ sè: a1a a tho· mÃn điều kiện a b sau: a) a1a 2a = ( a a ) b) ( a a 5a a a = a a ) C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + ( mn 2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phơng trình: 1 + + + 2005 2006 2007 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đờng kẻ từ A B lần lợt song song với BC AD cắt đờng chéo BD AC tơng ứng F E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diƯn tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Đáp án Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 Tuyển tập đề thi HSG Toán b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => sè ®ã 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mÃn câu Đặt m = 3k + r víi ≤ r ≤ n = 3t + s víi 0≤s≤2 xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) víi ≤ r ; s ≤ r = vµ s =1 => m = 3k + vµ n = 3t + r = vµ s = m = 3k + vµ n = 3t + 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn 2) Điều phải chứng minh áp dông: m = 7; n = => mn – = 12 ( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1) ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + Câu Giải PT: 1 + + + x = (1.2 + 2.3 + + 2006.2007 ) 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 Nh©n vÕ víi ta ®ỵc: 2 3 + + + x = 2[ (1.2( − 0) + 2.3( − 1) + + 2006.2007( 2008 − 2005) ) ] 2005.2006.2007 1`.2.3 2.3.4 1 1 3 − + − +− x 2006.2007 1.2 2.3 2.3 3.4 = (1.2.3 + 2.3.4 −1.2.3 + + 2006.2007.2008 − 2005.2006.2007 ) 1003.1004.669 ⇔ 3 − x = 2.2006.2007.2008 ⇔ x = 5.100.651 1.2 2006.2007 C©u a) Do AE// BC => OE OA = OB OC A B O K E F H Tuyển tập đề thi HSG Toán O F OB = OA OD BF// AD MặT khác AB// CD ta l¹i cã D OA OB = OC OD b) AB nªn OE OF = OB OA => EF // AB ABCA ABB1D hình bình hành => A 1C = DB1 = V× EF // AB // CD nªn c) Ta cã: A1B1 S1 = EF AB = AB DC AH.OB; => AB = EF.CD CK.OD; S3 = AH OD S3 = = AH CK S2 CK OD => S2 = AH.OD; S4 = OK.OD AH OB S1 AH = = => ; S4 CK OB CK S1 S3 = => S1.S2 = S4 S2 S3.S4 C©u A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + ≥ Giá trị nhỏ A = Khi: y- = => =1 x- y- = x=7 đề Câu 1: a Rút gọn biÓu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 C©u 2: a Cho x y z + + = (1) a b c Tính giá trị biểu thøc A= b Biết a + b + c = TÝnh : B = a b c + + = (2) x y z x2 y z + + a b2 c ab bc ca + + 2 2 a +b −c b +c −a c + a − b2 Câu 3: Tìm x , biết : xÃ1 x − 10 x − 19 + + = (1) 2006 1997 1988 y Tuyển tập đề thi HSG Toỏn Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a.BM EF b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dơng Tìm giá trị nhỏ a b c P= (a+ b+ c) ( + + ) Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta cã: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iĨm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 – 16 z2 (*) V× x2=y2 + z2 ⇒ (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 C©u 2: ( 1,25 ®iĨm) a Tõ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0 ab ac bc abz + acy + bcx x2 y z x2 y z = Tõ (2) ⇒ + + + 2 + + = ⇒ + + = − 2 a b c xy xz yz a b c xyz b ( 1,25 ®iĨm) Tõ a + b + c = ⇒ a + b = - c ⇒ a2 + b2 –c2 = - 2ab T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac ⇒B= ab bc ca + + =− − 2ab − 2bc 2ca Câu 3: ( 1,25 điểm) (1) ⇔ x·−2007 x − 2007 x − 2007 + + =0 2006 1997 1988 ⇒ x= 2007 A C©u 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K giao điểm CB với EM; H giao điểm EF BM ⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg) ⇒ Gãc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF E K B M Tuyển tập đề thi HSG Tốn b ( 1,25 ®iĨm) ∆ ADF = H T¬ng tù: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE đờng cao BEF ®pcm C©u 5: ( 1,5 ®iĨm) Ta cã: P=1+ ∆BAE (cgc) D ⇒AF F ⊥ BE C a a b b c c a b a c b c + + +1+ + + +1 = + + + + + + b c a c a b b a c a c b x y Mặt khác y + x víi mäi x, y d¬ng ⇒ P / 3+2+2+2 =9 VËy P = a=b=c đề Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phơng trình: x + x + x +6 x +8 + = + 98 96 94 92 Bài (2đ): Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P = x + 3x + có giá trị 2x nguyên Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lÊy ®iĨm K cho BK = AC Gäi E trung điểm BC; F trung điểm cđa AK Chøng minh r»ng: EF song song víi tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x − x + 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x Đáp án Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) Tuyển tập đề thi HSG Toán b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) x +2 x + x +6 x +8 + = + 98 96 94 92 x+2 x+4 x+6 x +8 ⇔( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 98 96 94 92 1 1 ⇔ ( x + 100 )( + )=0 (0,25®) 98 96 94 92 1 1 ≠ V×: + 98 96 94 92 Do ®ã : x + 100 = x = -100 Vậy phơng trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài (2đ): x + x + ( x − x ) + (4 x − 2) + 5 = = x+2+ P= 2x − 2x − 2x (0,5đ) x nguyên x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên phải nguyên hay 2x - ớc 2x nguyên (0,5đ) => * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5®) Vậy x = {1;0;3;2} P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AB AM AMN đồng dạng ABC = AC AN Tuyển tập đề thi HSG Toán ⇒ ∠ AMN = ABC ( hai góc tơng ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25®) ∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH) mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( Ax tia phân giác) (0,5đ) Suy ra: CHA = CAH nên CAH cân C ®ã : CH = CA => CH = BK CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đờng trung bình tam giác KHA Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)(0,5®) Bµi (1®): 2007 x − x.2007 + 2007 x − x.2007 + 2007 2006 x A= = + 2007 x 2007 x 2007 x ( x − 2007) 2006 2006 + ≥ 2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5đ) 2007 = Câu ( -®Ị ®iÓm ) Cho biÓu thøc A = x2 10 − x + + : x − + x + − x x + x − x a, Tìm điều kiện x để A xác ®Þnh b, Rót gän biĨu thøc A c, Tìm giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x − 4x + x − 5x + +2=− x +1 2x + C©u ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chøng minh ∆ AQR vµ ∆ APS lµ tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trực AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Tuyn thi HSG Toỏn Câu ( điểm): x + 3x + Cho biÓu thøc A = 2x + Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu ( ®iĨm) a, Chøng minh r»ng x + y + z = ( x + y ) − 3xy.( x + y ) + z 1 + + = x y z b, Cho TÝnh A= yz xz xy + + x2 y2 z2 Đáp án Câu a, x # , x # -2 , x # x + + : x −4 2− x x + 2 x + x − 2( x + ) + x − = ( x − 2)( x + 2) : x + b, A= = −6 x+2 = ( x − 2)( x + 2) − x >0 ⇔ 2−x >0 ⇔ x < 2−x x ≠ −1; x ≠ − c, Để A > Câu PT ⇔ §KX§ : x − 4x + x − 5x + x − 3x + x − 3x + +1+ +1 = ⇔ + =0 x +1 2x + x +1 2x + 1 ⇔ ( x − x + ) + = ⇔ ( x − x + )( x + 2) = ⇔ ( x − 1)( x − )( x + ) = x + 2x + 1 ⇔ x =1 ; x = ; x = - 2/ Cả giá trị ®Ịu tháa m·n §KX§ 2 3 VËy PT ®· cho cã tËp nghiƯm S = 1;2;− Câu 3: 1, ADQ = ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tỵng tù ta cã: ∆ ARP= ∆ ADS AP = AS APS tam giác cân A 10 Tuyn thi HSG Toỏn = x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25đ Bài 2: (2.5đ) Câu a: 1® x ( x + 3) 6x + − : ( x + 9)( x + 3) x + x − ( x − 3)( x + 9) P= x+3 x + − 6x : = x + ( x − 3) x + = = ( x + ( x − 3) ( x x2 +9 0.25® 0.25® ) + 9) 0.25® ( x 3) x+3 x3 0.25đ Câu b: (0.75®) P= x+3 ⇔ Px - 3P = x + x −3 0.25® (P – 1)x = 3(P + 1) x= Ta cã: x > ⇔ x = 3( P + 1) P −1 3( P + 1) P +1 >0⇒ >0 P −1 P −1 P + > P − > P > ⇒ ⇒ P + < P < P − < Vậy không nhận giá trị từ -1 đến Câu c: 0.75đ P= 0.25đ ĐKXĐ: x x+3 x −3+6 = 1+ = x−3 x −3 x3 0.25đ P nhận giá trị nguyên x - 30 Ư (6) = Từ tìm đợc x { 4;2;5;1;6;0;9;3} { 1;2;3;6} 0.25đ Kết hợp với Đ/C x ; x z ta đợc x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9} 0.25® VËy x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9} P nguyên Bài 3: Giải phơng trình (1.5đ) 120 Tuyn thi HSG Toỏn Câu a: (0.75đ) - Đa đợc dạng tích: (x + 1)(x - 2)2 = 0.50® x =1 ⇒ x = Vậy phơng trình có nghiệm: x = 1; x = ĐK: x N*n Câu b: (0.75đ) - Đa dạng 0.25đ 2 ( x + 1) 31 = 1.3 2.4 3.5 x ( x + 2) 16 ⇔ 0.25® 2( x + 1) 31 = x+2 16 0.25® (t/m x N*) Từ tìm đợc x = 30 Vậy phơng trình có nghiệm: x = 30 0.25đ Bài 4: (1đ) Giả sử a(2 b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > ⇒ abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > (1) 0.25đ < a < nên – a > Do a + (2 – a) = không đổi, suy a(2 a) lín nhÊt ⇔ a=2–a ⇔ a=1 T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt ⇔ b = c(2 – c) lín nhÊt ⇔ c = VËy a (2 - a) b(2 – b) c(2 – c) ≤ 1.1.1 = (2) Dấu = xảy a = b = c =1 0.25đ (1)và (2) mâu thuÈn Do ®ã sè a(2 – b); b(2 c); c(2 a) đồng thời lớn 0.25đ C Bài 5: (3.5đ) K H M O A B 121 Tuyển tập đề thi HSG Toán Câu a: (1đ) Chứng minh: B0H C0A (g.g) 0.5® 0B 0H = ⇔ 0A.0B = 0C.0H 0C A 0.25đ Câu b: (1.25đ) 0B 0H = 0C A ⇒ (suy tõ ∆ B0H ∆ C0A) A 0H = 0C B 0.25® - Chøng minh ∆ 0HA ⇒ OHA = OBC ∆ 0BC (c.g.c) 0.25đ (không đổi) Câu c: (1.25đ) Vẽ MK BC - ∆ BKM ∆ BHC (g.g) ⇒ BM BK = BC BH ⇒ BM.BH = BC.BK (1) 0.5® ∆ CKM ⇒ ∆ CAB (g.g) 0.25® CM CK = ⇒ CM.CA = BC.CK CB CA (2) 0.25® - Céng tõng vế (1) (2) ta đợc: - BM BH + CM CA = BC BK + BC CK = BC (BK + CK) = BC (không đổi) 0.25đ THI S 46 Cõu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 122 Tuyển tập đề thi HSG Toán A =( +x x2 −x x −3 x − − ):( ) −x x −4 + x x −x d) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị x để A > 0? f) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z + + = + + = d) Cho x y z Chứng minh : + + = a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD d) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? e) Chứng minh : CH.CD = CB.CK f) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : 123 Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 1,0 Tuyển tập đề thi HSG Toán 2 − x ≠ x ≠ x − ≠ ⇔ x ≠ ±2 2 + x ≠ x − 3x ≠ x ≠ x − x3 ≠ + x x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( ) = = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x) x ( x − 3) x2 + 8x x (2 − x ) = (2 − x )(2 + x) x − 0,5 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 1,0 0,25 4x x −3 0,25 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x −3 > ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x −3 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔ x − = −4 x = 11(TMDKXD ) ⇔ x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 124 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán x2 y2 z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b · · Ta có: ·ABC = ·ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ b, CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK ⇒ = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ THI SỐ 47 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 125 Tuyển tập đề thi HSG Toán x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 tâm a) Tính tổng ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )(z − y) 126 ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Tuyển tập đề thi HSG Tốn Tính A = ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ (0,25điểm) Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) abcd = k ⇔ ⇔ abcd + 1353 = m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123hoặc m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) • Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) 127 (0,25điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu Bµi 1: (6 điểm) Giải phơng trình sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = b, ĐỀ THI SỐ 48 2x − +2= x −1 1− x c, |x - 4| + |x - 9| = Bài 2: (4 điểm) Giải bất phơng trình x + x −1 x +1 < − (m − 2) x víi m lµ h»ng sè m m Bµi 3: (3 ®iĨm) 128 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm 8cm Một đờng cao có độ dài 5cm Tính độ dài đờng cao thứ hai Bài 4: (3 điểm) Một vòi nớc chảy vào bể nớc Cùng lúc vòi nớc khác chảy từ bể Mỗi lợng nớc chảy vào Sau nớc bể đạt tới lợng nớc chảy dung tích bể Hỏi bể nớc mà mở vòi chảy vào bể đầy? Bài 5: (4 điểm) = 2B Gọi BC = a, AC = b, AB = c Chøng minh Cho tam gi¸c ABC cã A 2 hƯ thøc a = b + bc P N Bài Sơ lợc lời giải Điể m Bài a, Đa phơng trình tích (6 Giải đợc x = -5 x = điểm b, ĐKXĐ: x 0,5 ) Víi x ≠ ta cã − 2x +2= ⇔ + 2( x − 1) = − x ⇔ x = ⇔ x = x −1 x −1 0,5 Ta thấy x = không thỏa mÃn ĐKXĐ Vậy phơng trình vô nghiệm c, Nhận xét |x - 4| = x − ví i x ≥ 9 − x ví i x m - > Khi (1) x < m( m − 1) - NÕu m = m - = Khi (1) 0x < (luôn với x) KÕt ln: - Víi m < vµ m ≠ tập nghiệm S = x | x > m(m − 1) 0,5 0,5 0,25 - Víi m = th× biĨu thøc v« nghÜa - Víi m > tập nghiệm S = x | x < m(m − 1) Bµi (3 ®iĨm ) 0,5 0,5 0,25 - Víi m = th× S = R - VÏ h×nh: A 0,5 B 8cm 6cm K D C H Gi¶ sư ABCD hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm có đờng cao dài 5cm Vì < < nên xảy hai trờng hợp: AH = 5cm Khi S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20 (cm) AK = 5cm Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 15 (cm) VËy ®êng cao thø hai có độ dài 1 0,5 20 15 cm cm Bài Gọi thời gian vòi nớc chảy đầy bể x(giờ) ĐK: x > (3 Khi vòi chảy đợc bể x điểm ) vòi khác chảy lỵng níc b»ng bĨ 5x 1 Theo đề ta có phơng trình ữ.5 = x 5x Giải phơng trình tìm đợc x = (TMĐK x>0) Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể 130 0,5 0,5 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán Bài - Vẽ hình (4 E điểm ) 0,5 HÖ thøc a = b + bc a = 0,25 b (b + c) 2 Trªn tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm0,25 E cho AE = c, suy CE = b + c c A c b B a · µ (do tam giác ABE Khi ABE =E 0,5 cân A) à à (góc tam giác) BAC = ABE +E 0,5 = 2E nên A = ABC · µ = 2B µ VËy E Theo giả thiết A Chứng minh đợc BCE (g.g) C suy ∆ ACB BC CE = ⇒ BC2 = AC.CE AC BC 0,25 0,25 hay a2 = b (b + c) ĐỀ THI SỐ 49 Baøi 1: ( điểm ) Rút gọn biểu thức A= x− y 3x + y y − x − g xy + y x − xy x + y Bài 2: ( điểm ) Giải phương trình 3x x 3x + + =0 x − − x ( x − 2) ( x − 5) Baøi 3: ( điểm ) Tìm giá trị ngun x để phân thức có giá trị số nguyên A= x − x − 11x + x −5 Bài 4: ( điểm ) Số học sinh tiên tiến hai khối 270 học sinh Biết số học sinh tiên tiến khối 60% số học sinh tiên tiến khối Tính số học sinh tiên tiến khối? Bài 5: ( điểm ) Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AD, AF, EF, ED a/ Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình chử nhật? 131 Tuyển tập đề thi HSG Toán c/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình thoi? Bài 6: ( điểm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao 12(m), AC ⊥ BD, BD=15(m) a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Chứng minh BD = DE.DH Từ tính độ dài DE b/ Tính diện tích hình thang ABCD Ba øi (3 đ) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Đáp án x− y 3x + y y − x − g xy + y x − xy x + y * Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y A= A= = x− y 3x + y y − x x− y 3x + y x − y − g = + g xy + y x − xy x + y y ( x + y ) x ( x − y ) x + y ( x − y ) x + ( 3x + y ) y x− y 3x + y + = y ( x + y) x ( x + y) xy ( x + y ) ( x + y) = ( x + y) x − xy + xy + y = = xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy 2 (3 đ) Ñie åm 2 3x x 3x + + =0 x − − x ( x − 2) ( x − 5) * Tập xác định: x ≠ 2; x ≠ 3x x 3x 3x x 3x + + = 0⇔ − + =0 x − 5− x ( x − 2) ( x − 5) x − x − ( x − 2) ( x − 5) ⇔ 3x( x − 5) − x( x − 2) + 3x = ⇔ 3x2 − 15x − x2 + 2x + 3x = x = 0∈ TXÑ ⇔ 2x2 − 10x = ⇔ 2x( x − 5) = ⇔ x − = ⇔ x = 5∉ TXĐ Vậy S = { 0} (3 đ) 1 0,5 1 0,5 1 0,5 0,5 132 Tuyển tập đề thi HSG Toán x − 3x − 11x + A= = x2 + 2x −1+ x−5 x −5 A∈ Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x − = ±1; ± x −5 *x − = ±1 ⇔ x ∈ { 6; 4} *x − = ±3 ⇔ x ∈ { 8; 2} x ∈ { 2; 4;6;8} (3 đ) Gọi số học sinh tiên tiến khối x (học sinh) (x > 0) số học sinh tiên tiến khối 270 - x (học sinh) 0,25 0,25 Ta có phương trình: 60 3 x = 270 − x) ⇔ x = ( 270 − x) ( 100 810 − 3x ⇔ x = ⇔ 15x = 3240 − 12x ⇔ 27x = 3240 ⇔ x = 120 (Nhaä n) 0,25 0,25 Vaäy số học sinh khối 120 học sinh, khối 270 – 120 = 150 học sinh (4 ñ) a/ DF ⇒ MN / / PQ; MN = PQ Vậy MNPQlà PQ / / DF ; PQ = DF MN / / DF ; MN = hình bình hành b/ Giả sử MNPQ hình chử nhật MP = NQ Mà AC ⇒ AC = AB AB NQ = AD = MP = AF = 0,5 Vậy tam giác ABC cân A MNPQ hình chử nhật 133 Tuyển tập đề thi HSG Tốn ** Hoặc: MN ⊥ MQ MN / / BC ⇒ AE ⊥ BC; đồ ngthờ i EB = EC MQ / / AE Neâ ntamgiá c ABC câ ntại A c/ Giả sử MNPQ hình thoi MN = MQ BC AE MN = MQ ⇔ = ⇔ AE = BC 2 0,5 Vậy tam giác ABC vuông A MNPQ hình thoi MP ⊥ NQ ⇔ AC ⊥ AB ** Hoặc: Vậ ytamgiá c ABC vuô ngtại A (4 đ a/ Kẻ BH ⊥ DC DH = BD2 − BH = 152 − 122 = 92 ⇒ DH = 9( m) Xeùt tam giác BDH tam giác EDB · · BHD = DBE = 1v ⇒ ∆BDH # ∆EDB · BDE chung BD DH BD2 ⇒ = ⇔ DE = = 25( m) DE BD DH 1 b/ ( AB + DC ) BH 1 = ×DE ×BH = ×25×12 = 150( m) 2 SABCD = 0,5 0,5 134 ... giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tợng tự ta có: ARP= ADS AP = AS APS tam giác cân A 10 Tuyn tập đề thi HSG... Do a không nguyên 0.5 điểm Bài 4:(3,5 điểm) Vẽ hình, viết giả thi? ??t - kết luận điểm 0.5 b n m c a p q d 47 Tuyển tập đề thi HSG Toán a) Chøng minh MNPQ hình bình hành điểm b) MNPQ hình vuông AC... tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR Trong tam giác vuông RCQ CM trung tuyến nên CM = QR MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông SCP,