ly thuyet luong giac 11 va cac dang toan

PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1.. Kiểm tra điều kiện :..[r]

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN Phương pháp giải các phương trình lượng giác A LÝ THUYẾT B BÀI TẬP I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài Giải các phương trình sau :   2sin x  cosx  2sin x    s inx  b  x x   sin  cos   3cosx=2 2 a  s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin x   d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 c Giải x x  cos x   sin  cos   cos x 2   sin x  cos x 2  sin x  2 2 a       x    k 2 x   k 2      6  sin  x   sin    kZ 3   x   5  k 2  x   k 2      x   k 2   7 s inx    x   k 2  s inx 1    2sin x  cosx     x   k 2  2sin x    s inx    b Điều kiện :   2sin x  cosx  2sin x    s inx  Khi đó :    cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin x     2cos  2x-   2cos  x   4 4      x   k 2  x   k 2  2   x k k Z k 2   x  x   k 2   cosx-sinx=sin2x+cos2x    2x    2x     c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin x   s inx+ sin3x+sinx 3sinx-sin3x  3cos3x=2cos4x+ 2  3s inx  sin x  3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x sin x  cos3x=cos4x 2     x 3x   k 2 x   k 2     6  cos4x=cos  3x+     kZ 6   x  x    k 2  x    k 2   42 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  3cos5x-  sin5x+sinx   s inx=0  2sin x  3cos3x=4cos4x  d  3cos5x-sin5x=2sinx  cos5x- sin x s inx 2     cos  5x+  s inx=cos   6  2    k   x    x  k 2 x     18 x     kZ   x    x    k 2  x    k   6 Bài Giải các phương trình sau : a  sin x  cos x   sin x 2 c cos x  sin x   s inx+cosx  b 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x 4 d sin x  cos x 2 s inxcosx+1 Giải    sin x  cos x   sin x 2    sin 2 x   sin x 2   a     2sin 2 x   sin x 2  cos4x+ sin x  1  2  cos4x+ sin x   cos  4x-   cos 2 3   2  k    x    k 2  x 4    kZ  x    2  k 2  x    k  3 12  2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x  sin x  2cos x 3  cos2x  b  sin x    cos2x  3  cos2x  Ta có :   1 5  2,  6   36  a  b 2   11      2 sin x  c2    2   cos2x=3-  11  2 32   c  a  b Do đó : Phương trình vô nghiệm   cos x  sin x   s inx+cosx   cos2x- sin x 2sin  x   4  c        cos2xsin x sin  x    sin  x   sin  x   2 4 6 4      5    x   x   k 2  x  12  k 2   kZ  x    3  x  k 2  x 11  k 2  36  4 d sin x  cos x 2 s inxcosx+1  cos2x+ sin x     2  cos2x+ sin x   cos  2x-  cos  x    k 2  x   k 2 3 3  Bài Giải các phương trình sau :     2  4    4sin x sin   x  sin   x   3cosx cos  x   cos  x     3  3    a  sin x cos x  sin x b 2sin x 16sin x.cosx  3cos x 5 c Giải    4sin x sin   x  sin   3  3 a 2   x   3cosx.cos  x    4    cos  x       2     2  2sin x  cos2x-cos   3cosx  cos  x  2   cos      1  2sin xcos2x+2sinx  3cosx.cos2x-2 3cosx  2  sin 3x  s inx+sinx   cos3x+cosx  - 3cosx   sin x  3cos3x=         sin 3x  cos3x=  cos  3x-  cos 2 6   k 2   x  36    kZ  x    k 2  36 3 b 2sin x  16sin x.cosx  3cos x 5 Ta có : 16sin xcosx 4 cos x  3sin x  sin 3x  6sin x  2.2sin x.cosx =6sin2x-2  sin4x+sin2x  4sin x  2sin x Cho nên (1) : 2sin x  4sin x  2sin x+3cos2x=5  4sin2x.+3cos2x=5   sin x  cos2x=1  cos  2x-  1  x   k 2  x   k  k  Z  5 cos = ;sin   5 Và :  sin x cos x  sin x c 3   cos4x  sin x  cos x 1  sin 2 x 1      cos4x 4   8 Do :    sin x   cos4x  cos4x-sin4x=1  2cos  4x+  1 8 4  Cho nên (c) trở thành : k     x 4x+   k 2      4  cos  4x+   cos    k Z  k    4   x    4x+   k 2   4 Bài Giải các phương trình sau : a sin x  cos6x=  sin x  cos8x  b c 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x cos7x-sin5x=  cos5x-sin7x  d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải sin x  cos6x= sin x  cos8x  sin x    a Chia hai vế ơhw[ng trình cho ta có : 3cos8x= sin x  cos6x 3     sin x  cos8x= sin x  cos6x  sin  8x-  sin  x   2 2 3 6           x  6 x   k 2  x   k 2  x   k    kZ  x    x  5  k 2  14 x  7  k 2  x    k    12 cos7x-sin5x=  cos5x-sin7x   cos7x+ sin x  3cos5x+sin5x  b Chia hai vế phương trình cho ta có kết : 3     cos7x+ sin x  cos5x+ sin5x  cos  7x+  cos  5x-  2 2 3 6           x  5 x   k 2  x   k 2  x   k    k Z  x    x    k 2  12 x    k 2  x    k    72 6 c 3sin x  3cos9x=1+4sin 3x   Từ công thức nhân ba : sin x 3sin x  4sin 3x cho nên phương trình (c) viết lại : sin x  cos9x= 2   k 2   k 2 x   18  kZ   k 2    k 2 x    27 3sin x  4sin 3x  3cos9x=1  sin x  3cos9x=1    9x     cos  9x-  = cos   6   9x-   d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0    5x    5x     cos5x+ sin5x=cos2x  cos  5x-  cos2x 2 6     k 2    k 2 x    30   k Z    k     k 2 x   10 II PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Giải các phương trình sau : cos3x+sin3x    s inx+  3  cos2x 2  2sin x  a  b cos 3x.cos2x-cos x 0     cos x  sin x  cos  x-  sin  3x    0 4  4  c d 4.s inxcosx+3sin x 6sin x Giải cos3x+sin3x    s inx+ sin x   3  cos2x  2sin x  (*) a  Điều kiện : Phương trình (a) trở thành :  s inx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x   s inx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x   5  3  cos2x    3  cos2x  2sin x  2sin x     s inx+cosx+sin3x  s inx+sin3x   cosx 2sin x.cosx+cosx cosx  1+2sin2x      cosx  2sin x  2sin x  2sin x  2sin x  cosx= 2   5cos x 2  2cos x  cos x  5cos x  0    cosx=2>1 Cho nên (a)    x   k 2 cos x     x    k 2  Vậy : Kiểm tra điều kiện :  2   2sin   4k   2  2 0 x   k 2   Cho nên nghiệm phương trình là  2   1 2sin    4k   2     0    2 Vi phạm điều kiện , cho nên loại  x   k 2 Tóm lại phương trình có họ nghiệm : 1+cos2x cos x.cos2x-cos x 0  cos x.cos2x0 b  cos 3x.cos2x-  1+cos2x  0  cos2x  1+cos6x    cos2x=0  cos6x.cos2x=1  cos4x=1  cos8x+cos4x=2  cos x  cos4x-3=0    cos4x=-    k cos x 1  x k 2  x   k  Z  Do đó : c  1       cos x  sin x  cos  x-  sin  3x    0   sin 2 x   sin  x    sin x   0 4 2 2  2  4   1   sin 2 x    cos4x  sin x   0   sin 2 x      2sin 2 x   sin x   0 2  sin2x=1    sin 2 x  sin 2x-2=0    sin x 1  x   k 2  x   k  k  Z   sin2x=-2<-1  s inx=0 4.s inxcosx+3sin x 6sin x  s inx  4cosx+3sinx-6  0    4cosx+3sinx=6 d  x k k  Z   - Với sinx =0 2 - Do :  25  36 Cho nên phương trình 4cosx+3sinx=6 vô nghiệm Bài Giải các phương trình sau  2 x x sin    tan x  cos2 0 2 4 b 2 2 a sin 3x  cos x sin x  cos x     tan   x   tan  x   2 2 2   c d 5.s inx-2=3  1-sinx  tan x Giải 2 2 a sin 3x  cos x sin x  cos x   cos6x  cos8x  cos10x  cos12x     2 2  cos8x+cos6x   cos10x+cos12x     x   k    x   k    cosx=0 k  2cos7xcosx 2cos11xcosx    11x 7 x  k 2   x  kZ   cos11x=cos7x  11x  x  k 2    x  k   x x  sin    tan x  cos 0 2 4 b Điều kiện : cosx khác không Khi đó phương trình trở thành :    cos  x-  2  s inx    cos x   cosx   sin x  cosx    0   0 cos x 2   sin x     cosx    cosx    cosx 0   cosx    cosx   1 0   2   sin x     s inx    x   k 2  cosx=-1   t anx    x    k  k  Z    s inx  s inx           x k  k  Z  tan   x   tan  x   2  2 2   c Điều kiện : sin x 0 cosx 0 cosx 2cos2x cos x  cos2x  cot x  cot x 2   2  2 sinx sin x s inx.cosx Phương trình (c)   cos x  cos2x sin x    cos2x   cos2x=sin2x  sin2x=1  x=  k  k  Z   cosx    cosx-sinx      0     s inx    cosx=-1  sinx+cosx=   Nghiệm này thỏa mãn điều kiện  cos x 0  x   k  k  Z  d Điều kiện : 2 sin x   s inx  sin x 3sin x 3sin x  5.s inx-2=3  1-sinx     5.s inx-2= cos x  sin x  s inx  s inx d  s inx=2    5.s inx-2    s inx  =3sin x  2sin x  3sin x  0    s inx=2>1   x   k 2  sin x    k Z  x  7  k 2  Vậy phương trình có nghiệm : ( Thỏa mãn diều kiện ) 5.s inx-2=3  1-sinx  tan x Bài Giải các phương trình sau :   cosx 2sinx+3  cos x  1 2sin 3x  2 cos x  1 s inx cosx  sin x a b x x x 3x cos x.cos cos  s inx.sin sin  2 2 d cos3 x  sin x 8cos x c Giải s inx 0  1  x k  k  Z   2 cos x  s inx cosx Điều kiện : cosx 0 a 1 2sin x.s inx-1 cos3 x.cosx 1 2sin x  2cos3 x    s inx cosx s inx cosx Khi đó : cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x 1 cos2x-2cos x cos2x+2cos 2 x     s inx cosx s inx cosx cosx-sinx-2cos2x  cosx-sinx  0  1-2cos2 x 1+2cos2 x   cos2x     c os2x cosx  sinx.cosx  s inx 2sin 3x    cos2x=0  1-2cos2x    cos2x  cosx-sinx    0   tanx=1   sinx.cosx    cos2x=   k   x 4   k    x 4    x   k   kZ   x   k    x   k  Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện   cosx 2sinx+3  2cos x  1  sin x b  1   sin x 1  x   k  k  Z  Điều kiện : (*) cosx 2sinx+3  cos x  1  sin x Khi đó : 1  sin x +3 2cosx  2cos x  1  sin x  2   cosx=  cos x  2cosx  0    cosx=  x   k 2 2  cosx=   x   k 2 Nhưng điều kiện (*) Ta có nghiệm : , thỏa mãn Đó là nghiệm x 3x x 3x cos x.cos cos  s inx.sin sin   cosx  cos2x+cosx   s inx  cosx-cos2x  1 2 2 c  cos2x  cosx+sinx   cos x  sin xcosx 1  cos2x  cosx+sinx   s inxcosx-sin x 0  cos2x  cosx+sinx   s inx  cosx+sinx  0   cosx+sinx   cos2x-sinx  0   x   k   t anx=-1    cosx+sinx  0  k 2     x  kZ     cos2x=sinx=cos   x     cos2x-sinx  0   2   x    k 2  d   cos3 x  sin x 8cos x  cos x cos x  s inx-4 0  cosx=0   cos x 0  cosx=0     sinx= 2   2sin x  s inx+2=0    sin x   s inx-4=0   s inx=     x   k  cosx=0      x   k 2  k  Z   sinx=     x  3  k 2  Do đó Phương trình có nghiệm : Bài Giải các phương trình sau :     a cos  x    cos  2x-   4sin x 2    s inx  4 4   b   3cot x  2 sin x   cosx 4sin 2 x  6sin x   3cos x 0 cosx c f ( x) s inx+ sin x  sin x d Cho : Hãy giải phương trình : f'(x)=0 Giải        cos  x    cos  2x-   4sin x 2    s inx  4 4     cos x.cos  4sin x 2    s inx  a  x   k 2 2+  sin x  2   s inx= sin    kZ 4  x     k 2     3cot x  2 sin x   cosx b Điều kiện : sin x 0  x k Chia hai vế phương trình cho : sin x 0 Khi đó phương trình có dạng :  cosx   cosx   3cot x  2 sin x   cosx     2      sin x   sin x  t  cosx t   3t   t  2 0    t 2 sin x  Đặt :        cosx=-      cosx= sin x c osx=  2cos x  cosx- 0       cosx= sin x cos x  3cos x      cosx=    cosx=-2<-1   cosx=    cosx=    x   k 2  cosx=    kZ    x   k 2  cosx=  Do đó phương trình có nghiệm : 4sin 2 x  6sin x   3cos x  0 cosx 0  x   k  k  Z  cosx c Điều kiện : 4sin 2 x  6sin x   3cos x 0    cos 2 x     cos2x    3cos x 0 c osx Khi đó : t cos2x; t 1  t  t cos2x; t 1   t   4cos x  cos x  0       t  t  t        t     cos2x   x   k    cos2x    x   k x   k   Nhưng nghiệm : vi phạm điều kiện  x   k 2  k  Z  Vậy phương trình có nghiệm : f ( x) s inx+ sin x  sin x d Cho : Hãy giải phương trình : f'(x)=0 f '  x  cosx+cos3x+2cos5x=0   cos5x+cosx    coss5x+cos3x  0 Ta có : t cosx; t 1   cos 3xcos2x  cos x cos x 0   2    4t  3t   2t  1  t   2t  1  1 0  t 0  cosx 0 t cosx; t 1 t cosx; t 1      17   t   2cos x 9  17 16t  18t  4t 0 2t  8t  9t   0   16  cosx 0  cosx 0     cos2x   17   cos2x   17  1  17 8     x   k - Trường hợp : cosx=0  1- 17   cos x=  +k  cos2x=   2x=  +k2    kZ  1+ 17  2x=   k 2  x=   k cos  cos2x=   - Trường hợp : Bài Giải các phương trình sau : a c sin 5x x 5cos x.sin 2 cos b 6x x 1 3cos 5 sin x  cot x  tan x  4 cos x   tan  x   t anx-1 4  d Giải 5x x sin 5cos2 x.sin 2 a x t   x 2t 2 Đặt : Khi đó phương trình trở thành : sin 5t 5cos 2t sin t (2) Nhan hai vế với 2cost ta :  2sin 5t.cost=5cos 2t.2cost.sint  sin6t+sin4t=5cos2 2t.sin 2t 5  sin6t+sin4t= cos2t.2 cos 2t sin 2t  sin 4t.cos2t 2  3sin 2t  4sin 2t  2sin 2t.cos2t- 5cos 2t.sin2t=0    sin 2t   4sin 2t  2.cos2t- 5cos 2t  =0  sin 2t    cos 2t   2.cos2t- 5cos 2t =0  sin2t=0  sin 2t   2.cos2t+cos 2t  =0     cos2t=1 sin x  cot x  tan x  4 cos x  2t k 2  2t k 2  x 2k  b sin t 0  Điều kiện : cos2t 0 Khi đó phương trình trở thành :  cosx sin x   cos xcos2x+sin2x.sinx  2  sin x    4 cos x  sin x   4cos x sinxcos2x  sinx cos2x     cosx   2   2sin x.cosx    0  4 cos x  2cos x   sinxcos2x   cos2x     2cos x=0  x   k   k Z  cos2x=   x   k   Các nghiệm thỏa mãn điều kiện 6x x x 1 3cos t   x 5t 5 Đặt : c Khi đó phương trình có dạng :  cos 6t 1 3cos t   cos12t=3cost  3cost-cos12t=2 t k 2 cost=1 t k 2     l  cos12t=1 12t l 2 t  Chỉ xảy : Nếu phương trình có nghiệm thì tồn cos k,l thuộc Z cho hệ có nghiệm chung Có nghĩa là : l 12k k 2   k , l  Z   12k l  x  2k   tan  x   t anx-1 4  d    cos  x-  0  *   4 cosx 0  Điều kiện : k 2  l  k,l  Z   6 Khi đó phương trình trở thành :  t anx-1  tanx-1   t anx-1 0   tanx-1    0      tanx+1  tanx+1   t anx.tan   x =  k    x=k Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) tan x  tan  t anx=1  tanx=0  Bài Giải các phương trình sau : sin x  cos x cos 4 x     tan   x  tan   x  4  4  a b 48     cot x.cot x  0 cos x sin x sin x  cos8 x 2  sin10 x  cos10 x   cos2x c cos2x cot x    sin x  sin x 1+tanx d Giải 4 sin x  cos x cos 4 x     tan   x  tan   x  4  4  a         tan   x  tan   x  tan   x  cot   x  1 4  4  4  4  Do : Cho nên mẫu số khác không sin x cos 4 x Phương trình trở thành : t 1 t cos x.0 t 1      cos x  2cos x    2t  t  0 t   k t 1  cos x 1  sin x 0  x  Vậy :     tan   x  va tan   x  4  4  có nghĩa thì ta phải bỏ các nghiệm Đối chiếu với điều kiện để sin x  cos x cos 4 x        k 2n   x   n  cos   x  0         k 2n   x   n  cos   x  0 4  ứng với k là lẻ :  Do đó phương trình có n  nZ  nghiệm ứng với k là chẵn : x= cosx 0   x k  48    cot x cot x    (*) cos x sin x b Điều kiện : sinx 0 Phương trình  48   cos2 x cos x   1  0 cos x sin x  sin2x s inx   sin x s inx  cos2 x cos x  cosx   0   0  48  4 cos x sin x  sin2x s inx  cos x sin x 2sin x.cosx 1  48   0  48sin x cos x  sin x  cos x 0 4 cos x sin x  t  0 t sin x;0 t 1     3sin x    sin x  0      6t  t  0  t 1   k sin 2 x    2sin 2 x 0  cos4x=0  x=  Thỏa mãn điều kiện (*) Do đó :  sin x  cos8 x 2  sin10 x  cos10 x   cos2x   sin x  2sin10 x    cos8 x  cos10 x   cos2x=0 c  sin x   2sin x   cos8 x   cos x   cos2x=0 5   sin xcos2x-cos8 xcos2x  cos2x=0  cos2x  sin x  cos8 x   0 4   k cos x 0  x   - Trường hợp : sin x  cos8 x    sin x  cos x   sin x  cos x   0 - Trường hợp :  48        sin x  cos x    sin 2 x   0   4cos2x   sin 2 x   0       4cos2x+2cos2x   cos x   0  2cos3 2x+2cos2x+5 0 Đặt : t cos2x  t   -1;1  VT  f (t ) 2t  2t   f '(t ) 6t    t   1;1 Chứng tỏ f(t) đồng biến Khi đó f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với Vậy phương trình vô nghiệm t   1;1  f (t )  cosx 0 cos2x  *  cot x    sin x  sin x 1+tanx d Điều kiện :  tanx -1 cos x cos x  sin x   1  sin x  s inx  cosx  sinx s inx 1+ cosx Phương trình trở thành :  tan   t anx=1    cos x  s inx.cosx=0  cosx  cosx-sinx  0  t anx=-1  x=-  k  k  Z  Do cosx 0  Phương trình có nghiệm :     cosx  sin x    cosx  sin x  0   s inx  Bài Giải các phương trình sau : cot x  t anx+4sin2x= a sin x  tan x 3 b  t anx    sin x  1  t anx c  d sin x t anx sin2x Giải a sin x  tan x 3 Điều kiện : cosx 0 Khi đó phương trình viết lại : t t anx tan x   tan x 3     t  1  2t  t   0  t 1 2  tan x 2t  3t  4t  0  t 1  t anx=1  x=  k  k  Z  Vậy phương trình có nghiệm là : s inx 0  x m  m  Z   *  cot x  t anx+4sin2x= cosx   sin2x b Điều kiện : cos x sinx 2cos x   +4sin2x=   4sin x  s inx cosx sin2x sin x sin x Phương trình  cos2x  2sin 2 x 2  cos2x=2  1-sin 2 x   cos 2 x  cos2x=0  cos2x=0    cos2x=       x   k  sin x sin   k  1 0        x   2k  k   x 4    x   k  Thỏa mãn (*)  t anx    sin x  1  t anx c  Điều kiện : cosx 0 t anx      t anx    1  t anx   1+tan x  Khi đó phương trình trở thành :    t anx    t anx    tan x   tan x   t anx   t anx     t anx 0       1+tan x  tan x   tan x     x   k  k  Z    x k Thỏa mãn điều kiện (*) sin x  t anx c osx 0 (*) d Điều kiện :  t anx=1    tanx=0 Có phương pháp giải : Cách sin x t anx  sin x  sinx  2sin x.cosx=2sinx  sin5x+sin3x=2sinx cosx   sin5x-sinx  +  sin3x-sinx  0  cos x sin x  cos x sin x 0  2sin x  cos4x+cos2x+cos2x  0  2sin x  cos 2x+2cos2x-1 0   s inx=0   s inx=0  x k  s inx=0 -1-       cos2x=   1 kZ  3 1   x   k 2cos x  cos x   cos2x=     2  cos2x=    s inx=0 sinx  2sin xcos2x   s inx  4cos2x.cos x  1 0   cosx  2cos2x(1+cos2x)-1=0 Cách  s inx=0  s inx=0    cos2x=   2cos 2x+2cos2x-1=0  ( Như kết trên ) Bài Giải các phương trình sau :     sin x  sin  x    sin  x    4 4   a  c cos x  sin x 8cos x  s inx  cos x  2sin x   sin x b d cos 1 4x cos x Giải a 2             cos  2x+     cos  2x-      2  2    4 4 sin x  sin  x    sin  x     8sin x     9  4 4 2                    cos2 x    sin x   8      9  sin x    cos x  2sin x  9 2        -2- 1  sin2x= 2   2cos x  4sin x  0  2sin x  4sin x  0    2  sin x     x   k  6 2 sin x  sin    k Z  x      k  2 Vậy phương trình có nghiệm :   cos2x  8   s inx  cos x  2sin x  1  sin x b Phương trình trở thành :  1 Điều kiện : sin2x khác (*)   s inx  cos x  2sin x  1  sin x  s inx  sin x  2sin x  1  sin x    x   k 2  s inx=  2sin x  s inx  0    s inx=  kZ 3  x   k 2  s inx=      x   k  sin x sin   k 2  1 2  Đối chiếu với điều kiện (*) thì với vi phậm điều kiện Cho nên phương trình còn nghiệm : c x 3  k 2   4cos x  sin x 8cos x  cos x 2cos x  s inx-4 0  cosx=0  cos x    sin x   s inx-4  0    2sin x  s inx+2=0  cosx=0    x   k  2   sinx=  k Z   x   k 2  x  3  k 2  4  s inx=    2x   cos3    2x 4x 2x t   x  t     cos cos x  cos2     3    cos 2t 1  cos3t d Do đó : u cost   cos t  1 1  cos t  3cos t     u  1  4u  4u  3 0 4u  4u  3u  0   u 1    u  1 0    u        4u  4u  3 0  u    cost=1    cost=  Bài Giải các phương trình sau :   sin x  sin  x   0 4  a c 3cos x  cos 3x 1  t k 2  x 3k   k Z  t   k 2  x   3k   cos 3x 4x  3cos 5 b d 3tan2x-4tan3x= tan x.tan x Giải   sin x  sin  x   0  sin x  s inx-cosx=0 4  a    1   t=sinx-cosx; t   sin x 1  t  sin  x    4          1   t 1  t  t 0  t  t  0  t   sin  x     2 4       1  3  sin  x    k 2  x     k 2  sin  x     2     kZ     1  x     k 2  x  3    k 2  sin  x    sin   4 2   3x 4x 6x 4x  2x   2x  2cos  3cos   cos 1 3cos  cos3    3cos   5 5     b  2x t   x  t   cos3 t  3cos t   cos t  1  0  cos3t  3cos 2t u cost   u-1  4u  2u   0  x 5k  cost=1 t  k      1- 21     121  cost= x  arxcos    5k  t   k 2      3cos x  cos x 1  3cos 2.2 x    cos6x   0  u 1    u 1  21  u 1  21   4 c t cos2x   cos 2 x  1   cos3 x  3cos x   0      t  1  4t  2t   0 4t  6t   0  t 1    21   21 t   t 1  4  t 1    t 1  21   cos2x=1    cos2x= 1- 21   x k   x arccos  1- 21   k       d 3tan2x-4tan3x= tan 3x.tan x cos2x 0  *  cos3x   Điều kiện : Phương trình trở thành :  tan x  tan x tan x.tan x   tan x  tan x  tan x  tan x.tan x  1   tan x  tan x   tan x   tan x tan 3x  tan x   tan x  t anx  0  tan 3x.tan x 1 sin x sin x sin x 4sin x cos x cos x  0   0 cosx cos3x.cosx cosx cos3x.cosx cos x    cos3x+2cos2x.cosx   2s inx    0  2s inx   0 cosx.cos3x  cosx cos3x     x k  x k  s inx=0    3  cos3x+cos3x+cosx=0   cos x  3cos x   cosx=0  8cos x  5cos x 0    x k  x k      cosx=0   x=  k     cosx= cos  x= arccos  k 2   Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm 2     x   k  cos3x=cos   3k  0   Vi phạm điều kiện , nên bị loại  x k  k Z  x= arccos  k 2  Vậy phương trình còn có nghiệm là : Bài 10 Giải các phương trình sau :  3 x    x  sin     sin    10   10   b 13 cos x  sin x  cos 2 x a 6 cos x  sin x  tan x 2 c cos x  sin x 2 2 d cos x  cos x  cos x  cos x 2 Giải 13 13   cos4x  13   cos4x  cos x  sin x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x    8 a   k  16    cos4x  13   cos4x   cos x   cos4x=-  x  arccos      7  3 x    3x   3 x    3x  sin     sin     2sin    sin     10   10   10   10  b  3x   3    3   y     y  3 x x 3 10  10  10 y     y  10 2 10 3   x   y  * Đặt : 2sin y sin    y  sin y 3sin y  4sin y Do đó phương trình đã cho trở thành :  sin y 0   cos y   3  x   2k   3    y k  y k  x   2k         x   4k      y   k 2  y   k 15  x  3 2  4k      x 19  4k  15 6  k cos x  sin x  tan x cos2x 0  x   kZ 2 c cos x  sin x Điều kiện :  sin x t sin x sin x    3sin 2 x sin x   cos2x cos2x 3t  t  0 Khi đó PTd/ trở thành :  sin y 0  4sin y  sin y 0    4sin y     t 1   t 1   t     d  sin y 0    c os2y       sin x 1  cos2x=0  x    cos x  cos 2 x  cos 3x  cos x 2  Phương trình vô nghiệm  cos2x  cos4x  cos6x  cos8x    2 2 2   cos8x+cos2x    cos6x+cos4x  0  cos x.cos3x+2cos5xcosx=0  k   x 10    cos5x=0  k  2cos x  cos3x+cosx  0    x  kZ  cos3x=-cosx=cos  -x      x    k  III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX Bài Giải các phương trình sau : sin x  cos x   sin x b  cot x  cosx    t anx-sinx  2 a s inx+sin x  cos x 0 c  s inx+cosx  t anx+cotx d Giải a s inx+sin x  cos x 0  s inx+sin x  cos3 x 0  s inx   s inx   cosx   sin x  0    s inx   s inx+cosx  1-sinx    t      l     t    s inx=1 0     sinx+cosx-sinxcosx=0   x   k 2    t  2t  0   21   sin  x      sin  x    sin  4 4      x    k 2 k Z   x  3    k 2 Do đó :  sin x  cos3 x   sin x   s inx+cosx    s inxcosx   3sin xcosx b (1)  t2  1  t2  1   t    t  1 t s inx+cosx; t    1  t    1     t        Đặt :  t    t  3t  3t  0   t  1  t  4t  1 0   t      l    t   Do đó phương trình :       sin  x     x k 2  x   k 2        3  x     k 2  x  3    k 2 sin   sin  x     4 4   s inx 0   x k  *   s inx+cosx  t anx+cotx Điều kiện : cosx 0 Khi đó phương trình     sin  x   1         sin  x     4   c (c) trở thành :   s inx+cosx   sinx cosx +   cosx sinx sinx.cosx  s inx+cosx  s inxcosx=1 t s inx+cosx  t    t2  s inxcosx= Đặt :  Thay vào phương trình ta :  t  1 3  2t   1  2t  2t  0  t  t  0  t  t  2t  0     t 2        sin  x     sin  x   1  x   k 2  k  Z  4 4   Thỏa mãn điều kiện s inx 0   x k  *  cot x  cosx    t anx-sinx  2 d  Điều kiện : cosx 0  cos x sin x     3   s inx-cosx  2  2sin x   1  s inx cosx   cosx  Khi đó :   cosx+ s inx    cosx    s inx+cosx-sinxcosx    cosx-sinx     2  s inx    1 2   cosx  s inxcosx   cosx       cosx+s inx-sinxcosx   s inx+cosx-sinxcosx    cosx-sinx     2  0 s inxcosx cosx      cosx+sinx-sinxcosx    cosx-sinx    0   cosx+sinx-sinxcosx=0     cosx sinx     cosx-sinx  0  cosx-sinx=0  tanx=1  x=  k  k  Z  Trường hợp : Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 t s inx+cosx  t    t2  s inxcosx= Đặt :  Cho nên phương trình :  t      l  t2   t 0  t  2t  0     t     x    k 2   21   sin  x    sin    k Z 4   x  3    k 2  Bài Giải các phương trình sau : a tan x  t anx+  1+sinx   x 8cos    cos x  2   sin  x     4  3 b 2sin x  s inx=2cos x  cosx+cos2x 4 c sin x  sin x  sin x  sin x cosx+cos x  cos x  cos x Giải 1+sinx   x 2 a tan x  t anx+ trình trở thành : 8cos      Điều kiện : cosx khác Khi đó phương  1+sinx   sin x      t anx   1 + 4   cos   x   4   s inx  2    cos x    s inx    cosx  cos x   cos x    cos2 x  3-4  1-sin x   t anx     s inx  0  t anx  0 + + 2   s inx   cos x    s inx   cos x      cos2x  0   t anx    cos x        2  cos x  s inx   s inx-sin x  cos x 0   cos2x=-      s inx  0    sinx+cosx-sinxcosx  0  Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện Do đó  cos2x=      sinx+cosx-sinxcosx  0    x   k    sinx+cosx-sinxcosx  0 Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 t s inx+cosx  t    t2  s inxcosx= Đặt :  Cho nên phương trình :  t      l  t2     t 0  t  2t  0    sin  x     4   t     x    k 2   21   sin  x    sin    kZ 4   x  3    k 2     x    k 2   x  3    k 2  k  Z     x   k Vậy nghiệm phương trình là :  b 2sin x  s inx=2cos3 x  cosx+cos2x   sin x  cos3 x    s inx-cosx    cos x  sin x  0  s inx=cosx   s inx-cosx     s inxcosx    cosx  sin x   0    sinx+cosx+sinxcosx+1=0  sin x cosx  tanx=1  x=  k  k  Z  Trường hợp :  t2  t s inx+cosx; t   s inxcosx=  t  t   0  t  2t   t  1 0  Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0   x   k 2     t 1  cos  x-   cos  k Z   4  x k 2 Do đó phương trình có nghiệm : 4 c sin x  sin x  sin x  sin x cosx+cos x  cos x  cos x   cosx-sinx    cos x  sin x    cos3 x  sin x    cos x  sin x  0   cosx-sinx     cosx+sinx     s inxcosx   cosx+sinx  0  t anx=1  t anx=1   t   2t+  0  t  4t  0     x   k    x   k     x   k 2 k Z  cos  x-    cos  3          x   k 2  4    ( Đã bỏ nghiệm t=-3 <- )  cosx-sinx=0     sinx+cosx   s inxcosx+2=0 Bài Giải các phương trình sau : a tan x   sin x   cos3 x  0 c Cho phương trình : b 2sin x  cot x 2sin x  m  s inx+cosx+1 1  sin x    Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn  Giải a tan x   sin x   cos x  0 0;  2 Điều kiện : cosx 0 Khi đó phương trình trở thành :   sin x  sin x   cos x  0  cos x   cosx    cosx    s inx    s inx+sin x    cosx-1   cosx+cos x  0   s inx    s inx     cosx    s inx+sin x      cosx      cosx+cos2 x   0   s inx      sin x  cos x   s inxcosx  cosx-sinx    0    cosx   1+sinx    x k 2  cosx=1 s inx+cosx-sinxcosx    cosx   s inx-cosx  0    kZ  x   k   s inx  sinx=cosx   t2  t=sinx+cosx; t  2,s inxcosx=  sin x  cosx-sinxcosx=0   t  t  0  t  2t 1  t  1 0  Còn trường hợp :   x   k 2       t 1  2cos  x-  1  cos  x-   cos  kZ   4  4  x k 2 Do đó : b 2sin x  cot x 2 sin x  Điều kiện : sinx khác Khi đó phương trình trở thành : cosx  1-4sin x  cos x  2sin x    4sin xcosx 0   2sin x  1  0 s inx s inx   x   k 2    cosx  2sinx+1   s inx=   2sin x  1 1   kZ  0   5 s inx    x   k 2  s inx-cosx-sin2x=0  * Trường hợp : sinx-cosx-sin2x=0  1 t  1  t  1  1(l ) t     x     k 2  1   1  t  sin  x    sin    kZ 4 2   x  5    k 2  Với : m  s inx+cosx+1 1  sin x  m  s inx+cosx   s inx+cosx   t=sinx-cosx; t   sin x t    2 t   t  1 0  t  t  0 c Cho phương trình :     0;  Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn t s inx+cosx  t   sin x t  Giải Đặt : Thay vào phương trình ta : s inx+cosx=0   mt 1  t  t    sinx+cosx=m    3      x   0;   s inx,cosx   0;1 ; x    ;   sin  x     0;  4  4  2  Nếu :     s inx+cosx= sin  x     0; 2   0;  m   ; 2 4  Hay : Để phương trình có nghiệm   thì 3 Bài Cho phương trình : cos x  sin x m sin x cos x a Giải phương trình m= b Tìm m để phương trình có nghiệm Giải a Giải phương trình m= :  cos3 x  sin x  sin x cos x   s inx+cosx    s inxcosx   s inxcosx  t2  t  s inx+cosx; t   s inxcosx=     2 t   t     t   0  t  t  2t  0            t    t     2(l )   t         cos  x-  1  x   k 2     1    ; k  Z   cos =     1  x    k 2    cos  x-     4  Do đó :    t2  t  s inx+cosx; t   s inxcosx=    2 t   t    m  t   0   t  3t m(*)t    2;           t2   b/ Xét hàm số :    t  3t 2t t  1 t2   f (t )   t   f '(t )      0t    2;  2   t  1  t 1 t 1 t      Do để phương trình có nghiệm thì :   f  m  f  2   m   m    2;  1 1  m  s inx+cosx     t anx+cotx+   0 2 sinx cosx  Bài Cho phương trình : a Giải phương trình với m=1/2    0;  b Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng   Giải a Giải phương trình với m=1/2 Khi đó phương trình trở thành :  s inx cosx 1   m  s inx+cosx     + +   0  cosx sinx sinx cosx  1 sinx+cosx   m  s inx+cosx     +  0  cosxsinx sinxcosx   m sin x  s inx+cosx   sin x   s inx+cosx 0   s inx+cosx   m sin x  1   sin x  1 0   s inx+cosx   m sin x 1   s inx+cosx  0  * t s inx+cosx; t   sin x t   t 0    1  t  t  1 0    2 t   t  1  1     t  1  0  t       Khi m=   x   k          sin  x   0  sin  x   0           x   k 2  k  Z          x   k 2  sin  x     sin  x    4 4          3      x   0;   x    ;   sin  x    2;1  s inx+cosx  4  4  2  b/ Từ (*) Nếu :     Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm  t  m  t  1  1  t 0  t  m  t  1  t  1   t  0  t  t  1  m  t  1  1 0  2;  2; - Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm câu a - Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) Cho nên ta xét f (t )  1 m  f '(t )  0 t1  t  1 hàm số nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì : f F(t) đồng biến , cho nên phương trình có    m  f      m    m    ;  1 cos 2 x  sinx+cosx  3sin x  m   Bài Cho f(x)= a Giải phương trình f(x)=0 m=-3 b Tìm GTLN và GTNN f(x) theo m Tìm m để Giải a Giải phương trình f(x)=0 m=-3 Phương trình :  f ( x )  36x  R 3  cos 2 x   sinx+cosx   3sin x  m 0   sin 2 x   s inx+cosx     sin x   m  0  1 t s inx+cosx; t   sin x t     t  t  1 0  Khi m=-3 Đặt : 0 2 cos 2 x  cosx-sinx   cosx+sinx   t 0  t   Chú ý : 2 cos 2 x   s inx+cosx   cosx+sinx    cosx-sinx    sinx+cosx      Cho nên :  cosx+sinx  1  sin x   sinx+cosx   Vậy : f(x)= 3 cos 2 x   sinx+cosx   3sin x  m cos 2 x   sinx+cosx     sin x   m   f ( x)  cosx+sinx  1  sin x   s inx+cosx   3  m     f ( x)  cosx+sinx      sin x    s inx+cosx  1  m   .Do :  sin x  sinx+cosx  Cho nên f(x) viết lại thành : 2  f ( x )   s inx+cosx   s inx+cosx-1  m   s inx+cosx=0 f ( x) 0    s inx+cosx   s inx+cosx-1 0    sinx+cosx=1 - Khi m=-3 thì   x   k  t anx=-1   t anx=-1        x k 2 kZ  sin  x    1  sin  x+    sin         4 4   x   k 2  t s inx+cosx; t  2,sin x t   g '(t )  2t  2t  3t  1 0   2  f ( x ) g (t )  t  t  1  m  - Đặt :   t 0   t 1  t   Ta có bảng biến thiên : t g'(t) - + - + - m+3 g(t) m+32   1 m+3 m+3-2 m+3- 16  Từ bảng biến thiên ta có maxf(x)=m+3 và f(x)=m+3  m   f ( x ) 36    f ( x) 6x    m  6 Do đó :    21  21  21 2   92   2  m 3 Bài Giải các phương trình : 3 cos x  2   cosx   s inx-cosx  a b cos x  sin x cos2x 2 c tan x  tan x  cot x  3cot x  0 2 3 d tan x  cot x  tan x  cot x  tan x  cot x 6 Giải a cos x  2   cosx   s inx-cosx     cosx   s inx-cosx    sin x  cos x   0   s inx-cosx    cos x   sin x  cosx    0   s inx-cosx     sin x  cosx    0  s inx-cosx=1   s inx-cosx    sin x  cosx   0    sinx-cosx=-5<-  l  sin x  cosx=1  Vậy : b   x   k 2       sin  x   1  sin  x    sin  k Z  4 4    x   k 2 cos3 x  sin x cos2x   cosx+sinx  1  s inxcosx-  cosx-sinx   0  cosx+sinx=0    cosx-sinx+sinxcosx-1=0    t anx=-1 x   k     t+ 1-t  0  t cosx-sinx    t  1 0  Do :  x k 2       t   sin  x     sin  x    sin      kZ  x  3  k 2 4 4    4  s inx 0  x k  k  Z   2 cosx  tan x  tan x  cot x  3cot x    c Điều kiện : Phương trình viết lại :  tan x  cot x    t anx+cotx   0  1  t 2  *  tan x  cot x t  sin2x Đặt : Thay vào (1)     t   sin x  sin x 2     t    4t  0  3t  4t  0     t 2   2  sin x 3  1(l )   sin x t t anx+cotx=     x   k 2 x   k      12 sin x sin       k Z  6  x  5  k 2  x  5  k   12 Vậy : s inx 0  x k  k  Z   2 3 cosx  tan x  cot x  tan x  cot x  tan x  cot x   d Điều kiện : t anx+cotx    tan x  cot x    tan x  cot x   0  1  Phương trình viết lại : t anx+cotx  Vì :  tan x  cot x  tan x cot x  t anx+cotx   t tan x  cot x  3.1.t  tan x  cot x t  3t Cho nên phương trình trở thành :  t   t     t  3t   0     t    t  3t   0  t 2  2  sin x 1  x   k 2  x   k  k  Z  sin x 3 Bài Cho phương trình : cos x  sin x m a Giải phương trình với m=1      ;  b Tìm m cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn Giải a Giải phương trình với m=1  1-t t  c osx-sinx; t   s inxcosx=    cos3 x  sin x  cosx-sinx    s inxcosx  t    t  m      Đặt :    t   t  3t f (t ) t    f '(t )   t  1 0  t 1   2  Xét :  t  3t 1  t  3t  0   t  1  t  t   0  a/ Nếu m=1 Phương trình là :   x   k 2      sin  x    sin  kZ  4   x   k 2 Với t=-2 (loại ) đó t=1  t 1  t        ;  b/ Nếu phương trình có đúng nghiệm thuộc , ta tìm điều kiện cho t :        x     x  0   sin  x   0   t 0 4 4  - Từ :     ;  Do đó phương trình có đúng nghiệm x thuộc  4  , thì phương trình :  t  3t  t  3t f (t )  m f (t )  2 có ngiệm , hay đường thẳng d: y=m cắt đồ thị (C) :   2;0    hai điểm với t thuộc Ta có : f '(t ) 3   t  0  t 1 t - Lập bảng biến thiên : -1 f'(t) f(t) - + 0 - Qua bảng ta thấy : với - <m<1 thì d cắt f(t) điểm , và phương trình có nghiệm      ;  thuộc Bài Cho phương trình : cos x  sin x cos x  s inxcos x m  s inx+cosx  a Giải phương trình với m=2    0;  b Tìm m để phương trình có ít nghiệm thuộc đoạn Giải Phương trình viết lại :   cos x  sin x   sin x cos x  s inx  cosx  m  s inx+cosx   cosx+sinx=0   s inx  cosx    cos x  sin x   sin x cos x  m  0    cosx-sinx+sinxcosx-m=0 (*) 1-t t cosx-sinx; t   s inxcosx= a Giải phương trình với m=2 Đặt :  cosx+sinx=0    cosx-sinx+sinxcosx-2=0  t anx=-1    t+ 1-t  0  Vậy phương trình có nghiệm nhât : x     x   k    t  2t  0   x   k     t  1  2   k    0;  b/ Từ (*) ta thấy : sinx+cosx=0 không có nghiệm x thuộc , cho nên để phương   1-t t+ m  0;  trình có ít nghiệm x thuộc , thì phương trình có ít nghiệm 1-t 2 t+    t  2t  1  1;   Hay đường thẳng d : y=m cắt f(t)= 2 t thuộc  ít điểm        x    x    sin  x   1 4 4  Với    sin  x     t  4  Hay :  cot x  m  t anx+cotx   0 Bài 10 Cho phương trình : cos x a Giải phương trình với m= b Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Phương trình :  tan  cot x  m  t anx+cotx   0  t 2  tan x  cot x t  sin2x Đặt : t= Cho nên phương trình trở thành 1 t  t  mt  0  f (t )   t 2  t  t  5  t  t  0    t    2(l ) 2  a/ Giải phương trình với m=   t     sin x   x   k 2  x   k  k  Z  sin x Do đó : tanx+cotx= b/ Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng d: y=m cắt đồ thị hàm số : 1 t2 t f(t)=   1 t t 2   f '(t )  0  t 1 t Ta có bảng biến thiên : t f'(t) f(t) -2 - - - -1 + - + - 3  m    m   Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm  Bài 11 Giải các phương trình sau :   sin x  sin  x   1 4  b sinx+cosx 1 d sin x 1 3 a sin x  cos x s inx-cosx c sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 Giải a 3 sin x  cos x s inx-cosx   sinx-cosx   s inxcosx  0   x   k  t anx=1   k Z   sin2x=0     x  k    sin x  sin  x   1  sin x   s inx-cosx  1  s inx-cosx-  1-sin2x  0 4  b  s inx=cosx  1   sin x 0 2   s inx-cosx    s inx-cosx     x   k  t anx=1   s inx-cosx=0    0        x   k 2 sin x  sinx-cosx=1     x   k 2   c sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 Đặt : t s inx-cosx; t  2;  sin x 1  t   2 1  t  12t  12 0  t  12t  13 0  t 1   t  13   2(l )   x   k 2       sin  x   1  sin  x     kZ  4 4    x   k 2 Khi t=1 sinx+cosx  1 sin x   x   k  * d sin x 1 Điều kiện : Khi đó phương trình trở thành  x k 2 sinx+cosx    1  1  s inx+cosx=1  sin  x+     x   k 2 s inx+cosx 4   s inx+cosx   Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Bài 12 Giải các phương trình sau :  cos2x  cos3 x  s inx+cosx   sin x  cos3x=2   sin x  a  cos2x  sin x b  2 c sin x cos x  cos2x+sinx=cos x sin x  cosx d 4sin x  3sin x  3cos3x Giải    x   k   x   k   cos2x  cos x  x   k 2   a  cos2x  sin x Điều kiện : (*)  cosx    cosx    cosx    cosx+cos x   2sin x  cos x     cos x  sin x   s inx    s inx    s inx    s inx+sin x  cos2x -1   sinx 1 Phương trình :  cosx    cosx+cos x    cosx     0     s inx    s inx+sin x    s inx      cosx=1  x k 2    sinx=cosx   x   k 2  sinx+cosx+sinxcosx=0    cosx   cosx-sinx   cosx+sinx+sinxcosx  0     s inx   1+sinx+sin x    s inx  s inx+cosx+sinxcosx=0  t+ Trường hợp : t2  0  t  2t  0    x     k 2   21  t    sin  x    sin    4   x  3    k 2  Khi  t      l    t     21 ; k  Z   sin     b  s inx+cosx   sin x  cos3x=2   sin x    cosx+sinx    cosx+sinx    cos3 x  sin x  2   sin x    cosx+sinx      s inxcosx   2   sin x    cosx+sinx    sin x     sin x      0  cosx+sinx=  sin  x   1  x   k 2 4  2 sin x cos x  cos2x+sinx=cos x sin x  cosx  sinxcosx  cosx-sinx    cosx-sinx  0    sin x    cosx+sinx   c  cosx-sinx=0  t anx=1    cosx-sinx   sinxcosx  1 0     x   k  sin x  0  sin2x=-2<-1(l) 2 3 d 4sin x  3sin x  3cos3x Từ công thức : sin 3x 3sin x  4sin x , cho nên phương trình trở thành : -1 sin3xcos3x= 2   k 2    k 2 x    kZ 7 11 k 2    k 2 x   18  3sin x  4sin x  3cos3x  sin3x- 3cos3x=-1    3x          sin  x   sin      3   6  3x    3  tan x m  t anx+cotx   sin x Bài 13 Cho phương trình : a Giải phương trình với m=4 b Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Phương trình :    cot x   tan x m  t anx+cotx     tan  cot x   m  t anx+cotx   0 (1) t t anx+cotx=  t 2  tan x  cot x t  sin2x Đặt : Thay vào (1) ta có : 2   t    mt  0  3t  mt  0 (2)   10 2 t  3t  4t  0     10 2 t   a/ Với m=4 (2) trở thành : Cho nên phương trình vô nghiệm  3t  2 m  f (t ) 3t  m  f '(t ) 3    t  R t t t b/ Phương trình (2) Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến Với f(-2)=-5 ; f(2)=5 Vậy phương trình có nghiệm  m   và :  m 5 VI PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX Bài Giải các phương trình sau : 3 2 a sin x  3cos x s inxcos x  sin x cos x b sin x  t anx+1 3sin x  cosx-sinx   Giải 3 2 a sin x  3cos x s inxcos x  sin x cos x Có cách giải : Cách Chia vế phương trình cho cos x 0 , ta có phương trình : sin x  tan x  t an x-tanx- 0 cos x   x   k   t anx=- 3  t anx+  tan x  1 0     k Z    x   k  t anx= 1   sin x  cos3 x 3   s inx  cosx Cách  sin x  s inxcos x  sin x cos x  3cos3 x 0    s inx  sin x  cos x   3cosx  sin x  cos x  0   sin x  cos x  s inx+ 3cosx 0  sin x  cos x 0    s inx+ 3cosx=0   cos2x=0    tanx=-   k    x   k  x 4    kZ  x    k  x    k  3   sinx  sin x  +1 3sin x  cosx-sinx   cosx   b Với điều kiện : cosx 0 , ta chia vế phương trình cho cos x 0 Khi đó phương trình trở thanh:  sin x sin x  cosx-sinx  tanx+1 3    cos x cosx  cosx  cos x  tan x  tanx+1 3 t anx   t anx     tan x   t anx=-1   tanx+1  tan x  3 0     tanx=     x   k   k Z   x   k  Bài Giải các phương trình sau :  3 8cos  x   cos3x 3  a 2 c cos x  sin x 1  sin x b sin x  cosx-4sin x 0 3 d cos x  4sin x  3cos x sin x  s inx=0 Giải         8cos3  x   cos3x   cos3  x+   3cos  x    cos3x 3 3      a         -cos3x  3cos  x    cos3x  3cos  x   3cos 3x  3        x x   k 2 x   k       cos3x=cos  x+     k Z 3   x  x    k 2  x    k   12 b sin x  cosx-4sin x 0 Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác Chia vế phương trình cho cos x 0 , ta có phương trinh : sin x cosx sin x  -4 0  t anx  1+tan x     tan x  -4tan x 0 cosx cos x cos3 x cos x  t anx  1+tan x     tan x  -4tan x 0   t anx-1  tan x  tan x  1 0   tan x 1  x   k  k  Z  Suy : cos x  sin x 1  sin x   cos x  sin x   c sin x 1  cos2x- sin x 1  x k 2  x k      cos2xsin x   cos  2x+  cos   k Z 2   x    k 2 3 x   k 2  3   3 d cos x  4sin x  3cos x sin x  s inx=0 Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác Chia vế phương trình cho cos3 x 0 , ta có phương trinh : cos3 x sin x cos x sin x s inx  4 3  =0   tan x  tan x  t anx  1+tan x  =0 3 2 cos x cos x cosx cos x cosx cos x    t anx=-1 x   k   tan x  tan x  t anx-1=0   tanx+1  tan x  1 0     tanx=   x   k   Bài Giải các phương trình sau : 2 a 3cos x  4sin x cos x  sin x 0 b sin x sin x  sin x 6 cos x cos2x cot x    sin x  sin x 1+tanx c d sin3x +cos3x +2cosx=0 Giải sin x sin x 3cos x  4sin x cos x  sin x 0    0  tan x  tan x  0 cos x cos x a    x   k  t an x=1  t anx= 1    kZ  tanx=  tan x=3    x   k  3 b sin x sin x  sin x 6 cos x Có cách giải 2 Cách 1 cos3x+3cosx   cosx-cos3x   sin 3x 6    cosx-cos3x+2sin3x=3cos3x+9cosx   1  2sin3x-4cos3x=8cosx  sin 3x  cos3x=cosx Giải theo phương trình :  a.sinx+bcosx=c , ta tìm đượcnghiệm Cách Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác Chia vế phương trình cho cos3 x 0 , ta có phương trinh : 2 sin xcosx sin x sin x   6  tan x  tan x   tan x   tan x  0 3 cos x cos x cos x  t anx=2  tan x  tan x  tan x  0   t anx-2    tan x  0     tanx=  3 s inx 0  cosx 0   tanx -1   x arctan2+k   x=   k     x k  *    x   k  cos2x cot x    sin x  sin x 1+tanx c Điều kiện : cos x cos2x   1  sin x  sin xcosx sinx s inx 1+ cosx Khi đó : hoctoancapba.com cos x  s inx  cosx-sinx   cosx+sinx     sin x  sin x  cosx  sinx+cosx s inx cosx  cosx=sinx  cosx-sinx=0     cosx-sinx    cosx-sin x  0      s inx   1-sinxcosx-sin x 0  cosx  cosx-sinx  0   cosx=sinx  tanx=1  x=  k Thỏa mãn điều kiện 3 d sin3x +cos3x +2cosx=0  3sin x  4sin x  cos x  3cos x  cos x 0  3sin x  4sin x  cos3 x  cos x 0 Chia hai vế phương trình cho cos3 x 0 Ta : sin x sin x cos x  4 0  tan x   tan x   tan x     tan x  0 3 cos x cos x cos x   x   k  t anx=-1   tan x  tan x  tan x  0   t anx+1  tan x   0     x   k  tanx=   3 Bài Giải các phương trình sau : a c 6sin x  2cos3 x  5sin x.cosx 2cos x b s inx-4sin x  cosx=0 tan x sin x  2sin x 3  cos2x+sinxcosx  Giải 6sin x  2cos3 x  5sin x.cosx  k cos2x 0  x    * cos x Điều kiện : a Khi đó phương trình trở thành 5.2sin x.cos2xcosx 5sin x.cosx  6sin x  cos3 x 5sin x.cosx cos x sin x sin x  3sin x  cos3 x 5sin x.cos x   5  tan x   tan x   5 tan x cos x cosx  3tan x   tan x   5 tan x  3tan x  tan x  0   t anx-1  tan x  tan x 1 0  6sin x  cos3 x   tan x 1  x   k Suy : k Z b s inx sin x cosx -4  =0  tanx  1+tan x   tan x    tan x  0 3 cos x cos x cos x  tanx  1+tan x   tan x    tan x  0  tan x  tan x  t anx-1=0 s inx-4sin x  cosx=0     t anx   3tan x  tan x 1 0  t anx=1  x= tan x sin x  2sin x 3  cos2x+sinxcosx  c Phương trình   k k Z Điều kiện : cos x 0  tan x sin x  2sin x 3  cos2x+sinxcosx  3   2sin x  s inxcosx  3  6sin x  3sin x cos x  tan x sin x  2sin x 3  6sin x  3sin x cos x  tan x sin x  4sin x  3sin x cos x  0 sin x sin x sin x  tan x  3  0  tan x  tan x  3tan x    tan x  0 2 cos x cos x cosx cos x  tan x  tan x  3tan x    tan x  0  tan x  tan x   t anx+1 0  t anx=-1   t anx+1  tan x  3 0     tanx=     x   k  kZ  x   k  * Chú ý : Bài này ta còn có thể sử dụng các công thức sau : - cos x  tan x  tanx ;s inxcosx= ;sin x 1  cos x 1  2 tan x  1+tan x  tan x  1 t2  t   t    +   t   t 3   t  t      2   1 t    t 1+t  - Sau đó đặt t=tanx  t    t   t 3   t  t   t  t   t  1 0   t  1  t  3 0    t  Bài Cho phương trình :   6m  sin x   2m  1 s inx+2  m-2  sin x cos x   4m  3 cosx=0 a Giải phương trình với m=2    0;  b Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn   Giải  6m sin x  2m  s inx+2 m-2 sin x cos x   4m   cosx=0      Phương trình :  Nhận xét : Nếu cosx=0 thì sinx= 1 , phương trình có dạng :  0   6m   6m  3 0    12m 0     12m 0   m 12   m   12 Xét cosx 0 , chia vế cho cos3 x 0 Khi đó phương trình trở thành :    6m  sin x s inx sin x cosx  m  +2 m-2   4m  3 =0     3 cos x cos x cos x cos3 x Đặt : t=tanx , ta có    6m  t   2m  1 t   t  +2  m-2  t   4m  3   t  =0  t 1   t  1  t   2m  t    0   t    2m  t  2  t 1   t   2m  ** t  Phương trình luôn    x    0;    , Cho nên để phương trình có nghiệm thì (**) vô có nghiệm nghiệm Bằng cách tính đạo hàm và xét dấu , ta thấy : hoctoancapba.com 1  t  2  m(t ) 2  0t   0;1     maxf(t)=f(0)=  F'(t)= Bài Giải các phương trình sau : a cos x  s inx-3sin x cos x 0   2m   m    2m 2 b  t anx=2 s inx Giải t t anx  2 1+t  1+t   3t 0 a   2t  t  0   t  1  2t  2t  1 0  t 1  t anx=1  x=  k  k  Z  sinx  t anx=2 s inx  1+  2 s inx=0  cosx+sinx-2 s inxcosx=0 cosx b s inx sin x cos x  s inx-3sin x cos x 0   -3 0  cos3 x cos x 5  x   k 2     12    sin  x    t s inx+cosx; t  2;sin x t  t      x 11  k 2      2     12  t   t  1 0  2t  t  0  t    sin  x   1 4    x   k  Bài Giải các phương trình sau : sin x   t anx  3sin x  cosx-sinx   3 a sin x  cos x s inx-cosx b 2 c sin x  sin x cos x  3sin x cos x  3cos x 0 2 d tan x  tan x  cot x  3cot x  0 Giải a sin x  cos3 x s inx-cosx  sin x sinx cosx 1   t  t   t  -   t  3 cos x cos x cos x  t  t   t  -   t   t  t  0 Phương trình vô nghiệm sin x   t anx  3sin x  cosx-sinx   3  s inxcosx-sin x 1 3  s inxcosx+cos x  b  sin x   sin x   t anx  3cos x  s inx+cosx    s inx+cosx    3cos x  0  cosx    x   k  t anx=-1 s inx+cosx=0       k Z  x   k  sin x  3cos x 0  tanx=   3 2 c sin x  sin x cos x  3sin x cos x  3cos x 0  sin x sin x cos x sin x cos x    0  t  t  3t  0 3 cos x cos x cos x   x   k   t 1  t anx=1 2  t  t  1   t  1 0   t  1  t  3 0      kZ  t  tanx=     x   k  2 2 tan x  tan x  cot x  3cot x  0   tan x  cot x    t anx+cotx   0 d   2 2 t t anx+cotx= sin2x  t 2; tan x  cot x t   sin x   sin x     2 2  sin x 3  1(l )  3  t    4t  0  3t  4t  0  t  2, t      sin x Đặt     sin x   x   k 2  x   k  k  Z  Vậy : V PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC A TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM Bài Giải các phương trình sau : 2 a 4sin x  t anx+3tan x  4sin x  0 2 c cos x  tan x  3cosx+2 t anx+4=0 Giải 2 b tan x  tan x  cot 3x 1 d a 4sin x  t anx+3tan x  4sin x  0   2sin x  1  sin x  sin y  sin  x  y     t anx+1 0   x   k 2     s inx= 2sin x  0  5      x   k 2   t anx+1=0  t anx=-      x   k  Bằng cách biểu diễn các nghiệm trên 5 x   k 2 đường tròn đơn vị ta thấy có nghiệm chung là : thỏa mãn 2 b tan x  tan x  cot 3x 1  t anxtan2x cot x cot  x  x    t anxcot3x+tan2xcot3x+tanxtan2x=1 t anx+tan2x Do : 2  t anx-tan2x    tan x  cot 3x    cot 3x  t anx  0 Cho nên phương trình có dạng :  t anx=tan2x=cot3x  x   Phương trình vô nghiệm c  cos x  3tan x  3cosx+2 t anx+4=0  2cosx-    t anx+1 0   x   k 2     cosx=       x   k 2  t anx=-      x   l  Khi biểu diễn nghiệm trên vòng tròn đơn vị ta thấy  x   k 2  k  Z  nghiệm chung là :  cos2x  cos2y  cos2  x+y  sin x  sin y  sin  x  y       2 d   cos2x+cos2y+cos2  x+y    0  2.2 cos  x  y  cos  x-y  +2  2cos  x  y   1  0  cos  x  y   2.2 cos  x  y  cos  x-y   0 sin  x  y 0   1    cos  x  y   cos  x  y    sin  x  y  0   cos  x+y   cos  x-y     - Xét : x  y k  y x  k , thay vào (2) 2  cos2x=-  k 2n   cos  x  k   cosk    cos2x=  k 2n      x   n  n, k  Z    y    m  k   Giải ta tìm :    x    y     n  m, k  Z    m  k  Bài Giải các phương trình sau : sin x  sin x s inx.sin x a 2 b 3cot x  cos x  cot x  4cos x  0 c 8cos x.cos x   cos3x  0 d sin x  sin x cos3xsin x  sin x cos3 x  s inxsin x  3sin x Giải a 1 1  sin x  sin 3x s inx.sin 3x  sin x  s inxsin x  sin x  sin x  sin 3x 0 4 4 2 1       sinx- sin x   sin 3x   sin x  0   sinx- sin x   sin xcos x 0 2      x k   x k    s inx=0      x k     x=k    x   l 2 sin3x=0          s inx= sin 3x         x   l 2 5    x   l 2   s inx= sin 3x.cos x 0  s inx=       5    x   l 2  cos3x=0  sin 3x=1   x   k      2 b 3cot x  4cos x  cot x  cos x  0    cot x  x   k      3  cot x    2cos x  1 0     x   m2  m  Z  cosx=  x   l 2   2 8cos x.cos x   cos3x  0  cos x   cos4x    cos3x  0   c  cos4x=  2cos4x+1   cos3x 0   2 cos3x=1  k   x   2  x   m 2  m  Z    x  l 2  sin x sin x  cos3xsin x  sin 3x cos3 x  s inxsin 3x  3sin x d *Nhận xét : sin 3x sin x 3  s in x  4cos3 x  3cos x   cos3x  3sinx-4sin x    c os3xsin x  sin x cos x     3sin x 3sin x  2 sin x  sin x sin x 1  3sin x cos x  cos x  sin x    sin x.cos2x= sin x  sin x  3sin x 3sin x sin x 4  Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải B PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ Dạng Bài Giải các phương trình sau : a cos3x+ 2-cos x 2   sin 2 x  3 b sin x  cos x 2  sin x   tan x  cot x 2sin  x   4  d c  cosx  cosx+1 2 Giải cos3x+ 2-cos x 2   sin x  a Ta có :  VT  1.cos3x+1 2-cos x    1  cos x   cos x  4  VT 2  VP=  Cho nên phương trình có nghiệm hai vế xáy dấu đẳng thức :  sin 2 x 2    cos3x=  cos x cos x 1    cos3x    cos x   sin x 0 sin x 0 sin x 0  cos6x=1  sin2x=0 k  x  6 x k 2     x l  x  l  Nếu phương trình có nghiệm thì tồn k,l thuộc Z cho hai k l   k l 2 nghiệm : chọn : l=2n n  n  Z  Khi đó phương trình có nghiệm là : x= 3 b sin x  cos x 2  sin x 3 2 VT= sin x  cos x sin x  cos x 1 4 VP=  sin x 2  1 ( Do sin x 1 ) Do đó phương trình xảy : sin x sin x   cos3 x cos x  sin x 1  sin x   s inx  0  cos x   cosx  0   sin x 1 s inx=1   x   k 2  cosx=0 c  cosx  cosx+1 2 Ta có  VT   cosx  cosx+1    1   cosx+cosx+1 4  VT 2 1    cosx cosx+1 Chỉ xáy :   tan x  cot x 2sin  x   4  d 2  cosx  cosx+1  cosx=1  x=k2 hoctoancapba.com VT tan x  cot x 2 tan x cot x 2     2sin  x   2  sin  x   1 4  Do đó phương trình có nghiệm và :   VP=  tan x cot x      sin x      4    sin x cos x cos2x=0  cos x  sin x       sin x+       sin x   4  1     4 Bài Giải các phương trình sau : 13 14 a cos x  sin x 1    x   k   x   l 2   x   l 2  2 b cos x  cos x  x sin x  x  0 Giải 13 14 a cos x  sin x 1  cosx 1 cos13 x cos x   14  cos13 x  sin14 x cos x  sin x 1  s inx 1 sin x sin x Do :  Vậy :  cosx=0 11   12  cos13 x cos x cos x  cos x  1 0  sin x=1    14     cosx=1 12 sin x sin x sin x  sin x  1 0   sinx=0 b     x=  k    x   k   x=   k       x l 2   x=k2   x=k  2  cos x  x sin x  x 0   cosx-1   x  s inx  0 cosx-1=0 cosx=1      x-sinx=0  x=sinx  x k 2  x k 2   x 0   2 x  c os x  sin x  x    Dạng Bài Giải các phương trình sau : tan x  tan x  a cos x  cos x  cos4x=1 b 2 c cos x cos x  cos x 0 cos4x-cos2x  d  0 s inxcos2xcos3x 5  sin 3x Giải a 4cos x  2cos x  cos4x=1  4cosx=1+cos4x+2cos2x  4cosx=2cos x  2cos x 1  1  2cosx+ =cos 2 x  cos x   2cosx+  cos2x+  4  2 2  1  1  VP  cos2x+       2  2  cos2x=1   x k  x m 2 m  Z       cosx=1 x  l  1   VT=2cosx+ 2    4 0 s inxcos2xcos3x b   x k s inx 0      cos2x     x   k  * cos3x 0       x   k Điều kiện : Khi đó phương trình trở thành : tan x  tan x  sin x sin x sin xcos3x+sin3x.cos2x   0   0 cos2x cos3x s inxcos2xcos3x cos2xcos3x s inxcos2xcos3x sin x sin x.s inx+1   0  0  sin x.s inx+1=0 cos2xcos3x sinxcos2xcos3x s inxcos2xcos3x   l x=  cos4x=-1  cos4x-cos6x  +1=0  cos4x-cos6x=-2    cos6x=0  x=   m  12  l  m    Nếu phương trình có nghiệm thì tồn m,l thuộc Z cho : 12 3l  l   3l 1  2m  m  l   2 Chọn l=2n , thì m=3n+1  l  x     n  n  Z  4 Suy phương trình có nghiệm : Nhưng lại vi phạm điều  kiện làm cho cos2x=0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  cos2x 0  2cos x cos x   cos2x=0 c cos8x=1  cos2x  cos x  1 1  cos2x.cos6x=1  cos8x+cos4x=2   cos4x=1 cos x cos x  cos x 0  cos x cos x  k  x  8x=k2   : k , l  Z  k  l  k 2l  x l  l  Z     2 4x=l2  x  l  l x lZ Nghiệm phương trình là : d  cos4x-cos2x  5  sin 3x VT  cos4x-cos2x   Ta có : VP=  sin 3x 5  4 Cho nên suy xảy : 4sin x sin x 4  k 2  x    sin x  sin x  sin x       2 c osx=0   sin x.sin x 1 sin x 1  x   l  Phương trình có nghiệm tồn k,l thuộc Z cho :   k 2   3l l    l    4k 3  6l  k  1  l  2  x   n 2 Chọn l=2n thì k=3n+1 , đó phương trình có nghiệm :  nZ  Bài Giải các phương trình sau " a sin x  cosx=   sin 3x  b tanx+tan2x=-sin3xcos2x   c sin4xcos16x=1 d 2sin  x   t anx+cotx 4  Giải a sin x  cosx=   sin 3x  VT s inx+cosx  s inx+cosx=    VP    sin x      sin x   2.1 sin x 1 Nhận xét :       x   k 2  s in x+ =1   l 2        : k , l  Z   k 2     24k 2  8l 4   sin 3x 1  x   l 2     12k  4l   Vô nghiệm vì : VT là số chẵn với k,l thuộc Z còn vế phải là số lẻ với k,l Vậy phương trình vô nghiệm cosx 0  *  b tanx+tan2x=-sin3xcos2x Điều kiện : cos2x 0 s inx sin x    sin 3x.cos2x cosx cos2x Phương trình trở thành : s inxcos2x+sin2x.cosx sin3x   sin x.cos2x   sin x.cos2x=0 cosxcos2x cosxcos2x  sin3x=0  1+cosx.cos 2 x   sin x  =0     cosxcos2x   1+cosx.cos x 0 k kZ - Trường hợp : là họ nghiệm , thỏa mãn điều kiện (*) c osx  1+cos4x  0   cosx+ cos5x+cos3x 0 1+cosx.cos 2 x 0   2 - Trường hợp : cos3x=-1  cos x  3cos x  1 1  cosx=-1    2cosx+cos5x+cos3x 0  cos5x=-1  cos5x=-1   cos5x=-1 cosx=-1  cosx=-1      x= +l2  m2     m2  : l , m  Z  +   2l 5  x= + ( Do thay (3) vào (1) thỏa mãn ) sin x 0  x  10l   2m 5 10l  m  5l   x   l 2 Vậy phương trình có thêm nghiệm là : lZ x   l 2 hoctoancapba.com lZ sin 20 x 1  sin 20 x  sin12 x 2    sin12 x   k   x  40  10   x    l  24 c sin4xcos16x=1 Nếu phương trình có nghiệm thì tồn k,l thuộc Z cho :  4k  4l   5l l     4k  5   4l  1  12k  20l   k   2l  40 24 3   3m    7 m l  3m  l 3m   x      mZ  24 24 Đặt : 7 m x   mZ  24 Vậy phương trình có nghiệm : s inx 0    * 2sin  x   t anx+cotx  4  d Điều kiện : cosx 0 Phương trình đã cho trở thành :    s inx cosx   2sin  x    +   cosx sinx sin x , cho nên ta có nhận xét sau :   VP  sin x 2      VT 2sin  x   2 4   sin x 1      sin x      4    x   l 2 Vậy phương trình có nghiệm là :    x   k   x   l 2   x   l 2  lZ lZ Bài Giải các phương trình sau : 2       sin x   12  sin y  cos x   cos x   sin x  a  2      3x    81 x  sin     cos    cos x x x sin   cos3   2  2 b  Giải 2       sin x   12  sin y  cos x   cos x   sin x  a  Ta có : 2           2   1  sin x  sin x    1  cos x  cos x     1   sin x  sin x    cos x  cos x               2      1  25 2  VT   sin x     cos x         4    sin x   cos x    sin x  2   1 25 12  sin y 12   2 VP= Suy : 1  2 cos x sin x cos2x=0 sin x  cos x     sin x cos x   siny=1 sin y    sin y 1  k   x     y   l 2  2      3x   x  81   cos3   sin     cos x x x sin   cos3   2  2 b  Ta có : 2      3x    x x x 1   cos3  sin  cos   4  sin    sin x   cos3 x  2 sin x cos x  2  2 2 VT=      x 64 x x  64   6x    sin  cos6      sin  cos        2   26 sin x cos6 x  2   sin x     2  x x x x x x   64  4    sin  cos   3sin cos  sin  cos      2 2 2    sin x    64  81    3 4    sin x     4       64      sin x   4 sin x 1  sin x 1 c os x    x   81 c os x   cos x 1   VP Suy ta có hệ :  Phương trình vô nghiệm MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài Giải các phương trình lượng giác sau: 3x − 2=0 c) √ 1+ sin x + √ 1− sin x=2 cos x a) cos x+ cos b) sin4 x +cos x = (tan x+cot x ) sin x Giải 3x 3x cos x  cos  0  cos x  cos 2  4 cos2x=1    3x cos 1 a) Phương trình có nghiệm tồn k,l thuộc Z cho : k 8n l 8 3k k  l     x 8n  n  Z  l 3n Vậy phương trình có nghiệm là :  x=k   l 8  x  x 8n  n  Z  s inx 0 sin4 x +cos x  *  = ( tan x+cot x ) cosx   b) sin x Điều kiện : Suy :  sin x  cos x sin x cos x  (  )  sin x  cos x 1 sin x cosx s inx sin x  1 sin x 1  sin x 0 Nhưng lại vi phạm điều kiện Vậy phương trình vô nghiệm c) √ 1+ sin x + √ 1− sin x=2 cos x Ta có :  VT   sin x   sin x   1   s inx+1-sinx  2.2  VT 2 VP=2cosx 2   s inx   s inx s inx=0   x k 2  cosx=1 c osx=1   Cho nên :  kZ Bài Giải các phương trình sau tan x − + =0 cos x c) (4 −6 m) sin x+ 3(2 m−1)sin x +2( m−2)sin x cos x −( m− 3)cos x=0 (Biện luận theo 2 a) sin x cos x − sin x=4 sin ( π4 − 2x ) − 72 b) m) Giải 1-cos4x   x   sin x cos x  sin 2 x 4sin      s inxcos4x2 1  cos   x     2 2   a) 2s inxcos4x 1-cos4x   s inx      cos4x  2s inx+1   2sin x 1 0 2 2   x   k 2    2s inx+1  cos4x+2  0  s inx=-   k Z   x   k 2  cosx 0  * b) tan x − cos x + =0 Điều kiện : Suy phương trình trở thành : sin x    0  s inx-4+5cosx=0  sinx+5cosx=4 cosx cos x Ta thấy : a  b 1  25 26  c 42 16 Ta chia vế phương trình cho 26  x     k 2 sinx+ cosx=  sin  x    sin    26 26 26  x         k 2  sin   26 ; cos = 26  sin   ; k  Z  26 Với :   c) (4 −6 m) sin x+ 3(2 m−1)sin x +2( m−2)sin x cos x −( m− 3)cos x=0 Chia vế phương trình cho cos x 0 , ta có : sin x sin x sin x  (4  6m)  3(2m  1)  2( m  2)  (4m  3) 0 2 cos x cosx cos x cos x cos x  (4  6m) tan x  3(2m  1) t anx  1+tan x   2(m  2) tan x  (4m  3)   tan x  0  tan x  (4  6m)  6m  3  3(2m  1) t anx  tan x  2m   m    (4m  3) 0  tan x- tan x  2m  1  3(2m  1) t anx  (4m  3) 0 t t anx  t 1   2  t  2mt  4m  0  t-1  t  2mt  4m   0   '    m   ptvon   m 1  t0 m 1  ' m  4m     ' 0    m 3  t0 3     '   m   m   t t1  t t2 Ta có : f(1;m)=2m-2 Như ta có biện luận sau :   x   k - Nếu : 1<m<3 Phương trình có nghiệm : tanx=1   x   k - Nếu m=1 Phương trình có nghiệm kép : tanx=1    t anx=1  x   k  tanx=3     x arxtan3+k - Nếu m=3 Phương trình có nghiệm :  t anx=1   tanx=m- m  4m   t anx=m+ m  4m  m   m  - Nếu : phương trình có nghiệm :  Bài Giải các phương trình sau a) 1− tan x=2 tan x tan x b) sin x=2cos x −1 d) 1+cos x+sin x=2cos c) cos x −cos x=1 x Giải cosx 0  *  cos2x   a) Điều kiện : Khi đó phương trình trở thành sin x sin x sin x cos2x sin x sin x  1 2  2  cos 2x 2sin xcosxsin2x=sin 2x 2 cos x cosx cos2x cos x cosx cos2x  k  cos 2 x  sin 2 x 0  cos4x=0  x=  1− tan x=2 tan x tan x   k  cos2x=cos   k   0  x   2 thỏa mãn điều kiện (*) 4 Ta có :  cos2x=0 sin x 2 cos x   2sin xcos2x cos2x  cos2x  2sin2x-1 0    sin2x=  b)     k  2x=  k  x=        2x=  k 2   x=  k kZ   12    x  5  k 2  x  5  k   12   cos2x  2 8cos x  cos x 1    2 cos x   2cos x  cos x cos x   c) 2   cos2x=-  x   k 2  x   k  k  Z  3 x  cos x  sin x 2cos  cos2x  s inx=cosx  cos x  s in x=cosx-sinx d)   x   k  t anx=1    cosx=sinx    cosx-sinx   cosx+sinx-1 0    k Z     x k 2    cosx+sinx=1  sin  x+  sin   4    x   k 2  Bài Giải các phương trình sau c) tan x − cot x=4 (sin x+ √3 cos x ) 2 a) sin x +sin x= b) tan x +tan x=sin x cos x d) sin x+ cos3 x=cos x Giải sin 2 x  sin x    cos4x+2sin x  0    cos x   cos4x-2=0 a)  k  x   cos4x=0   2cos x  cos4x=0    k Z  cos4x=-  x   k   cosx 0  *  tan x +tan x=sin x cos x cos2x   b) Điều kiện : Khi đó phương trình trở thành sin x sin x sin 3x  sin 3x cos x  sin x cos x  sin x   cos x cos x  0 cosx cos2x cosxcos2x  sin 3x 0  sin x 0  sin x 0  sin 3x 0    cos2x  1+cos2x    2  1  cos x  cos2x-2=0  cos2x=1   cos x cos x 0   k  x  x k      x k 2 x  k   c) kZ Đối chiếu với điều kiện , thì các nghiệm thỏa mãn tan x − cot x=4 (sin x+ √3 cos x ) thành :  s inx 0  *  cosx   Điều kiện : Khi đó phương trình trở sin x 3cos x  4(sin x  cos x)  cosx s inx  (sin x  cos x) 0    s inx+ 3cosx-4sinxcosx=0   x= k      x   k 2    x  2  k 2   k Z sin x   3cosx s inxcosx  t anx=-   1 s inx+ c osx=sin2x  2   4(sin x  cos x) 0  t anx=-   sin x sin  x       3    sin x  cos3 x cos x   s inx+cosx    sin x  cos x  sin x   d)  s inx+cosx=0  t anx=-1      s inx+cosx   cosx-sinx-1+ sin x  0    cosx-sinx-1+ sin x  t+   t   0       x   k      x   k     x   k  x   k        x =  k 2 k  Z    2      t  1 0  x   k 2  cosx-sinx 1  sin  x-  =sin   4   Bài Giải các phương trình sau a) sin x=tan x c) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 b) sin x − sin x −(cos x − cos x)=1 d) cos x − √ 3sin x=− √ Giải s inx sin5x+sin3x sin x tan x  sin x   sin x.cosx=sinx  s inx cosx a)  sin5x+sin3x 2s inx   sin5x-sinx    sin x  s inx  0  cos x sin x  2cos2x.sinx=0  s inx=0  sinx=0  2s inx  cos xcosx  cos2x. =0     cos4x+2cos2x=0  2cos x  cos x  0   s inx=0   x k   s inx=0 -1- 3  1    cos2x=   1(l )     k  Z ; cos =    x   k  cos2x=cos 2      cos2x=  cos  sin x  4sin x  (cos x  cos x) 1   sin x  cos4x-1   cosx-sinx  0 b)   sin x cos x  cos 2 x    cosx-sinx  0  cos2x  sin2x-cos2x    cosx-sinx  0  cosx=sinx   cosx-sinx    cosx+sinx   sin x  cos2x   2 0    2sin  x+   sin  x     0  4  4    x   k   t anx=1  t anx=1           cos  x-     x   k 2  k  Z      cos  x-   cos3x=-2    2    2  k  cos3x=1 x   s inx 0  *  3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 cosx   c) Điều kiện : Suy :  3(cot x  cos x)  5(tan x  sin x) 2  3(cot x  cos x)  3(tan x  sin x) 2  2(tan x  sin x) s inx  cos x s inx   cosx+sinx-sinxcosx   3(   cos x  s inx)  2  2(  sin x) 2   cosx cosx  s inx cosx    cosx+ s inx-sinxcosx  cosx+sinx    cos x  s inx    1 2( ) cosx  s inxcosx      cos x  s inx    cosx+sinx   s inxcosx     0  s inxcosx cosx    t anx=1   x=  k   cos x  s inx  0    t2     cosx+sinx   s inxcosx   t0   t 1   t 1   1 l     3cosx-sin2x=0   cosx 0  s inx=  1 l   c osx 3-2sinx          x   k x   k   4     1    x      k 2  x  3    k 2  sin  x    sin   4    Do điều kiện : cosx 0 Còn các nghiệm trên thỏa mãn điều kiện d) cos x  sin x    3  cos x  sin x   cos  7x+  cos 2 6   3  k 2      x    k 2  x 14  7 x   k       x    3  k 2  x    k 2  x    k 2   7 Bài Giải các phương trình sau a) tan x − √2 sin x=1 kZ b) cos3 x=sin x 1+cos x 1− sin x 6 4 sin x+ cos x= (sin x +cos x ) c) tan x= d) Giải a) tan x − √2 sin x=1 Điều kiện : cos x 0 Phương trình :  t  t s inx-cosx; t      2 t    t  0  t   2(l )         sin  x     sin  x     x    k 2  x   k 2 4 4 4   Do đó :  x   k 2  k  Z  Vậy nghiệm phương trình là : sin x   2 sin x 1  s inx-cosx- sin x 0  cosx 3 b) 2cos x sin x  cos x  3sin x  4sin x 0 Vì cosx=0 không là nghiệm , cho nên ta chia hai vế phương trình cho cos x 0 , suy : sin x sin x  2 4 0  tan x  tan x   tan x   0 3 cos x cos x  t anx=1  tan x  3tan x  0   t anx-1  tan x  t anx-2  0     tanx=2    x   k   x arxtan2+k 1+cos x tan x= 1− sin x Điều kiện : c) cosx 0   x   k 2  *  sinx 1 Phương trình : sin x  cos x   cos x    cosx    cos x    cosx-sinx     1 0      0 cos x  sin x   sin x   1+sinx    sin x   1+sinx   x k 2  cosx=1  cosx=1    k Z   cosx+sinx=0  tanx=-1  x   k   Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) 5  sin x  cos6 x  (sin x  cos x)   sin 2 x    sin 2 x  6  d) 1  k  3     sin 2 x    sin 2 x   2sin 2 x 1  cos4x=0  x=  6  12   k x=  k Z Vậy phương trình có nghiệm là : Bài Giải các phương trình sau sin x+ cos4 x =cos 4 x π π a) tan − x tan + x 4 c) cos x+ sin x +2 cos x+ 1=0 ( sin x+ cos6 x =− π π b) tan − x tan + x 4 ) ( ) ( ) ( ) Giải 4 sin x+ cos x =cos 4 x π π a) tan − x tan + x 4 (  ) ( )     tan   x  tan   x  0  * 4  4  Điều kiện : sin x  cos x cos 4 x  sin x  cos x cos 4 x   sin x   sin x      cot   x  tan   x  4  4  t sin x; t   0;1 k  t sin x; t   0;1    t 0  sin x 0  x  2t  3t 0 1  t t  2t   Kiểm tra điều kiện (*)  n - Nếu k=2n thì x=  x  x   n     n     tan  x   tan    1 0 4 4  4   2n 1    n  x 4 - Nếu k=2n+1 không xác định cho nên với k lẻ thì loại    n     n     tan  x   tan    2 4   2 , n x  Tóm lại phương trình có nghiệm là :  nZ  6     sin x+ cos x tan   x  tan   x  0  * =− Điều kiện : 4  4  b) tan π − x tan π + x 4 ( ) ( ) kZ sin x  cos x 1    sin x  cos x    sin 2 x  4 4     cot   x  tan   x  4  4   cos4x   sin 2 x  3  cos4x=-   1 loai  4 Vậy phương trình vô nghiệm c) cos x+ sin2 x +2 cos x+ 1=0 t cosx; t 1  cos x   cos x  cos x 0    t   cosx=-1  x= +k2 t  2t  0 x   k 2 Do đó phương trình có nghiệm là : Bài Giải các phương trình lượng giác sau: a) − tan x =1+sin x 1+tan x kZ b) √ sin ( π4 + x )=cos1 x + sin1x d) cos x − cos x ¿ =6 +2sin x c) sin x+ cos x − 3sin x+ cos x=8 ¿ Giải a)  − tan x tan x   x   l  * =1+sin x Điều kiện : Khi đó : 1+tan x t t anx  t anx    tan x tan x  1      t  t  t   0  t 0 2  tan x  tan x  tan x  1-t    t    t  tan x 0  x k  k  Z  Vậy phương trình có nghiệm là :   sin  x   1 4     s inx+cosx  2 sin   x     2 sin   x    s inx cos x 4  cos x sin x 4  s inx cos x b)      x   k   k     sin  x   0    sin   x     x    0    s inx cos x  4   x   k   sin x 1   k x  k Z Vậy phương trình có nghiệm : , thỏa mãn điều kiện (*) c) 9sin x  cos x  3sin x  cos x 8  2cos x  6cosx  sinx-1   sinx-1 0  s inx=1     sinx-1  2s inx+6cosx-7  0    x   k 2  2s inx+6cosx=7 2 Vì : 2s inx+6cosx=7 có : a  b 4  36 40  c 49  k Z d) cos x − cos x ¿ =6 +2sin x ¿ VT (cos x  cos x) 4sin x sin x 4 VP 6  2sin x 6  4  k 2  x    sin x  sin x      cosx 0 sin x 1  x   l  Suy : Để phương trình có nghiệm thì ,tồn  k 2      l    4k 3  6l   2k  3l  2 k,l thuộc Z cho : k  3l l 1  l   2 l 2n   x   n2  n  Z   k 3n  Vậy phương trình có nghiệm : Bài Giải các phương trình lượng giác sau: sin x =1 c) Cho phương trình: sin x sin x −cos x=sin (10 ,5 π +10 x) π Tìm các nghiệm thuộc khoảng ; a) ( ) Giải sin x a) sin x =1 Điều kiện : s inx 0  * Khi đó phương trình trở thành :  sin x 5sin x  sin x  s inx=4sinx  2cos3xsin2x-4sinx=0 cos4x+cos2x  4sin x  cos3xcosx-1 =0   cos3xcosx-1 0  1  cos 2 x  cos2x-3=0  cos2x=1   cos2x=1  x=k  cos2x=-  Nhưng lại vi phạm điều kiện làm cho sinx=0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm c/ sin x  cos x sin(10, 5 10 x)   cos8x-  1+cos12x    sin  10 x  2     cos12x+cos8x   2cos10x  2cos10x.cos2x-2cos10x=0  2cos10x  cos2x-1 0  k     10 x   k   x  20  10  k  Z     x k 2  x k  3 5 7 9   x   0;   x  ; x  ; x  ; x  ; x  20 20 20 20 20 Tất có nghiệm  2 Với :  cos10x=0    cos2x=1 Bài 10 Giải các phương trình lượng giác sau: 8 10 10 a) sin x+ cos x=2(sin x+ cos x )+ cos x 2 c) sin x+sin x+ sin x= b) √ sin2 x − 2cos x =2 √ 2+2 cos x d) √ sin x +cos x= cos x Giải 5   sin x  2sin x  1  cos8 x  2cos x  1  cos2x=0  cos2x  sin x  cos8 x   0 4  a)  cos2x=0  cos2x=0      cos x  sin x    sin 2 x     cos x  sin x   cos x  sin x        cos2x=0  cos2x=0  cos2x=0     5     2  cos2x   sin x    cos2x     cos x     2cos x  cos x  0        k  x   k Z Trường hợp : cos2x=0 Trường hợp : cos x  cos x  0 Đặt : t=cos2x ,  t 1  f (t ) 2t  2t   f '(t ) 6t   0t    1;1 Nhưng : f(-1)=-9, và f(1)=-1 đó f(t) luôn âm với x thuộc [-1;1] Phương trình vô  k x  k Z nghiệm Vậy nghiệm phương trình là : b) √ sin2 x − 2cos x =2 √ 2+2 cos x Vì :  cos x    cos2x   2.2 cos x 2 cosx Cho nên phương trình trở thành : s inx- cosx=1 2 +/ Nếu cosx>0 :   2    2   s in  x-  =1  x=   k 2   k 2 cos   k 2     6   Hay : Nhưng 2 x   k 2  k  Z  Cho nên : Loại sin x  2cos x 4 cos x  s inx-cosx=2  s inx- cosx=-1 2 +/ Nếu cosx<0 :         s in  x-  =-1  x=-   k 2   k 2 cos   k 2     6 3  Hay : Nhưng  x   k 2  k  Z  Cho nên : Loại sin x  cos x  4cos x  s inx-cosx=-2  +/ Cosx=0 Đương nhiên là nghiệm phương trình  x   k  k  Z  Vậy nghiệm : sin x  sin 2 x  sin 3x     cos2x     cos4x     cos6x  3 c)   cos6x+cos2x  +cos4x=0  2cos4xcos2x+cos4x=0  cos4x  2cos2x+1 0    k   x=   4x=  k   kZ  x=   k  2x= 2  k 2   3 d) √ sin x +cos x= Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm , cho nên chia vế cos x cos x 0  t anx+1=1+tan x  t anx tanx- 0  cos4x=0    cos2x=-   phương trình cho  t anx=0    tanx=  x k   x   k    k Z * Chú ý: Ta còn có cách :  sin xcosx  cos x 1   s inx=0  s inx=0 sin xcosx=1  cos x sin x     3cosx=sinx  tanx= Bài 11 Giải các phương trình lượng giác sau: a) cot 2x =tan 2x +2 tan x+1 b) cos x+ √ sin 10 x=3 √ 2+2 cos 28 x sin x c) sin x +2 cos x=1+sin x − cos x d) sin x +2 tan x=3 Giải x x a) cot =tan +2 tan x+1 Đặt x y 2   x log y  * Phương trình trở thành : tan y  tan y tan y  cot y tan y  tan y   tan y    tan y  tan y tan y  tan y   tan y 2 tan y  tan y  tan y  0    tan y  4 tan y    2   tan y  tan y  tan y  tan y  0  tan y    tan y 1    tan y    Ta tìm các giá trị sau :  và  tan y 1   tan y       arctan -1-   y arctan -1-  k Vì : 2          x log  arctan -1+  k   y arctan -1+  k       y arctan 1-  k  x log  arctan 1-  k         x log  arctan 1+  k   y arctan 1+  k    Tương tự ta tìm được: b)  cos x  sin10 x 3  cos 28 x sin x  cos x  2cos 28 x sin x 3  sin10 x         - VT  cos x  cos 28 x sin x    cos 28 x   cos x  sin x    cos 28 x  4  8 Cho nên suy : VT  - VP 3  sin10 x 3  2 Do đó phương trình có thể xảy :    x   k  k  x  28   l   x  20   Hệ có nghiệm tồn k.l   4l  28 5  6l   2l  l k  4l k      k 20 28 20 cho : 20 28  5n n  2l 5n  l  1  2n  2 Lại đặt : n=2m suy : l=1-5m và k=11-20m Đặt : k   11  20m  11 5m x     mZ  28 28 28 Do đó hệ có nghiệm : cos 28 x   cosx  s inx cosx s inx    cos 28 x 1  sin 28 x 0  sin10 x 1  sin10 x 1   c) sin x  cos x 1  sin x  cos x  sin x    2sin  1  s inx-4cosx cos x 0  * d) sin x +2 tan x=3 Điều kiện : Khi đó phương trình trở thành :  tan x  tan x  tan x  0  tan x  tan x   sin x  tan x 3    tan x   s inx-cosx 2   s inx-cosx     t anx-1 1  sin x cosx   t anx-1  tan x  tan x   0  t anx=1     s inxcosx+cos x    0  s inx-cosx    s inx-cosx   cosx   s inx-cosx   0  cosx    Trên đây tạm trình bày cách giải  1 - Trường hợp giải theo cách :  tan x 1  x   k  k  Z  Ta có nghiệm phương trình là : - Trường hợp giải theo cách 2:   s inx-cosx  0     s inxcosx+cos x  t anx=1  t anx=1    t anx=1  c os2x  2- sin x  0  cos2x-sin2x=-5  2 Vì : cos2x-sin2x=-5 vô nghiệm * Chú ý : Ngoài cách trên , ta còn quan niệm đây là phương trình đẳng cấp bậc cao sinx và cosx , cho nên ta chia vế phương trình cho cos x 0 sin x sin x cos x sin x cos x 3  2sin x cos x  2sin x 3cos x  2 3 3 cosx cos x cos x cos3 x  t anx  t anx  1+tan x  3  1+tan x   tan x  tan x  tan x  0  sin x  Như (1) Bài 12 Giải các phương trình lượng giác sau: a) ( √ 1− cos x+ √cos x) cos x = sin x c) sin ( π4 + x )=√ sin x b) √2(cos x −sin x ) = tan x +cot x cot x −1 d) √ 2cos x +2 √ 2sin x sin3 x −6 √ 2cos x − 1=0 Giải  (  cos x  cos x ) cos x  sin x sin x.cos2x a)  cos2x=0  cos2x  (  cos x  cos x )  sin x  0     cos x  cos x sin x  k cos2x=0  x=   k Z - Trương hợp : Là nghiệm phương trình - Trường hợp :  cos x  cos x sin x  VT   cos x  cos x   1   cosx+cosx  2   VT  Ta có : VP=sin2x thuộc [0;1] Nếu cosx=0 , thì phương trình trở thành : 1=0 vô lý Cho nên cosx=0 không là nghiệm Nếu cosx=1 , thì phương trình trở thành : 1=0 vô lý Cho nên cosx=1 không là nghiệm    cosx  cosx  cosx=  x   k 2  cosx 0  Nếu VT= (1)    sin x  sin  x   k 2  x   k 4 Khi đó VP= (2) Từ (1) và (2) phương trình vô nghiệm Vậy trường hợp này phương trình vô nghiệm  t anx+cot2x 0 2(cos x −sin x ) √  *  = b) tan x +cot x cot x −1 Điều kiện : cotx 1 Phương trình :  2(cos x  sin x) cosx.sin2x 2(cos x  sin x)s inx    s inx cos x cos x s inxsin2x+cosxcos2x cos x  s inx  1 cosx sin x s inx cosx.sin2x 2(cos x  sin x)s inx   sin x  s inx  cosx cos x  s inx Vì sinx khác không cho nên   cos x   cosx=  x   k 2 chia vế phương trình cho sinx :   x   k  cot x 1 x   k 4 Nhưng với , vi phậm điều kiện , cho nên còn :  x   k  k  Z  Vậy phương trình có nghiệm là :   π y   x  x  y   * sin + x =√ sin x 4 c) Đặt : Do đó phương trình :  ( )    sin y  sin  y   sin y  cosy  siny  1-sin y   cosy=0  sin ycos y  cosy=0 4      y   k x   k   cosy=0   k  cosy  sin ycosy  1 =0      x   k Z  sin2y=0  y  k  x    k   d) √ 2cos x +2 √ 2sin x sin3 x −6 √ 2cos x − 1=0  cos6 x  2 sin x  3sin x  4sin x   cos x  0   cos6 x  sin    sin x  cos x  1   cos x  sin x   cos x  sin x  sin xcos x    sin x  cos x  1    2cos2x   sin 2 x   2cos2x 1  2cos2x-2 sin 2 xcos2x  cos2x=1    2cos2x-2 sin 2 xcos2x=1  2cos2x  1-sin 2 x  1  cos x   2  cos2x= 2     x   k 2  x   k 4 k Z Bài 13 Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos3 x +sin x=sin x +sin x +cos x b) −4 cos2 x=sin x (2 sin x +1) c) √3 sin x cos x cos x=sin x d) tan x cot 2 x cot x=tan x −cot2 x +cot x Giải a) cos3 x  sin x sin x  sin x  cos x   cosx  cos3 x    s inx-sin x   sin x 0  cosx  1-cos x   s inx  1-sin x   sin x 0  cosx.sin x  s inxcos x  2sin xcosx=0  sin x 0 k  s inxcosx  cosx+sinx+2  0    sin x 0  x   k  Z   cosx+sinx+2=0 2 Còn : cosx+sinx+2=0 vô nghiệm vì a  b 2  c 4 * Chú ý : Đây là phw[ng trình đối xứng sinx,cosx Ta có thể đặt : Biến đổi phương trình theo t  cos x sin x(2sin x  1)     sin x  s inx  2sinx+1 b) t s inx+cosx; t  2;sin x t   4sin x   s inx  2sinx+1 0   2sinx+1  2sin x   s inx  0  s inx=   2   s inx=-1  5   x   k 2 ; x   k 2   x    k 2  2 kZ tan x cot x cot x=tan x −cot x +cot x d) Điều kiện : cot x  tan x cot 2 x  1 tan x  cot 2 x  cot x   cot 3x  cosx 0  sin2x 0  * sin3x 0  Phương trình : tan x  cot x tan x cot 2 x   tan x  cot x   tan x  cot x   tan x cot x 1  tan x cot x  1 (1) 1 tan2x  t anxtan2x-1    cot x t anx+tan2x tan x     tanx 1 tan2x Nhưng :  tan x  cot x   t anx+ tan2x  t anxtan2x+1   cot x  tan x cot x  1 tanx   t anx-tan2x  tan   x  tan2x Tương tự :  k  x    cot 3x 0  cos3x=0  cot 3x cot x.cot x     kZ cot x  cotx=1     x   k  Do đó (1) t anx-  tan x  cot x   tan x cot x  1 Bài 14 Giải các phương trình lượng giác sau: 4x − cos2 x a) =0 √ 1− tan2 x π π sin x − =sin x sin + x 4 c) sin x+ cos x=cos x cos ( ) b) ( ) Giải cosx 0 4x  cos − cos x  1-tan x   =0 Điều kiện : a) √ 1− tan2 x cosx 0  *    t anx<1 Khi đó phương trình :  cos 4x 4x  cos2x 4x  2x   cos x 0  cos  0  2cos   cos3   0 3   y Đặt : 2x 3y  x   y 2  ** Thay vào phương trình ta :  2cos2y   cos3y 0   cos y  1    cos3 y  3cos y  0  4t  4t  3t  0  4t  t  1   t  1 0   t  1  4t  1 0 2 Đặt : t=cosy , suy :  t 1   t     cosy=0   4cos y     cosy=0   1+cos2y       3   x    k       3    x     k  2  Thay vào (**) ta :   cosy=0    cos2y=-  3 3k  x     x   3k  2    y   k   y   k  Kiểm tra diều kiện (*) 3   x   3n     3    cos    3n  0; tan   3n  1      x   3n   - Nếu k là chẵn : k=2n Phương trình đã cho vô nghiệm 9  x   3n  3 3  2n  1 3 3   x   x    3n      x   3n   3  2n  1  x   3  3n  x 2  3n  x    2   - Nếu k là lẻ : k=2n+1 9   x   3n   x   3n  x 2  3n  Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình :    π π y   x  x y   * sin x − =sin x sin + x 4 b) Đặt Khi đó phương trình : 4 ( ) ( )          sin   y     sin  y   sin y  sin  y    sin  y   sin y  4 4 2       sin y  cos2y sin y  4sin y  3sin y  sin y   2sin y  0  2sin y  2sin y 0  y k  sin y 0  2sin y  sin y  1 0     y   k  c osy=0   Thay vào (*) ta tìm các nghiệm      x   k  x   k    k  x      k  x    k  x   k Z   4 Thu gọn nghiệm ta :  cosx+sinx=0 sin x  cos x cos x cos x  sin x   cosx+sinx   cosx-sinx-1 0    cosx-sinx=1 c)  t anx=-1    2sin  x-   =1   4    x   k  k Z   x   k 2  x   k 2  Bài 15 Giải các phương trình lượng giác sau: a) 9cot x + 3cot x −2=0 b) cos x+ sin x+1=0 c) sin x+2 cos x − 2=0 d) sin x −sin x +sin x =0 Giải a) cot x cot x 3 t 3cot x   0    t  t  0  t 1 cot x  t   0(loai )  t 1  1 3   cot x 0  x   k  k  Z  Vậy nghiệm phương trình :  t=sinx; t 1 cos x  sin x  0   sin x  s inx+1=0    t  t     b) Vậy phương trình có nghiệm :  s inx=-1  x=-  t   t 2  1(l )    k 2  k  Z  t s inx; t 1 sin 3x  2cos x  0  3sin x  4sin x    2sin x   0    4t  4t  3t 0 c)    x k  t 0 s inx=0     t 0      t    1(l )    x   k 2 k Z   sinx=    4t  4t  0    5  x   k 2 t    sin 3x  sin x  sin x 0  cos x sin x  2sin x cos x 0  2sin x  cos2x+cosx  0 d)  x k  x k  x k   s inx=0  k      x   x  k 2   x      x   k 2 cos2x=-cosx=cos  -x 3      3   x  x    k 2  x    k 2  k Z  Bài 16 Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos x+3 cos x+2=0 b) cos x −2 cos x=1 c) 1+3 cos x+ cos x =cos x+ 2sin x sin2 x d) tan x +tan x=−sin x cos x Giải  x   k 2  cosx=-1  cos x  3cos x  0  cos x  3cos x  0   k Z  x 2  k 2  cosx=-   a) b) 3cos x  cos 3x 1  3cos x    cos6x  1   cos 2 x  1   cos3 x  3cos x   0   t 1  t cos2x; t 1  21 t cos2x; t 1     t   2  t  1  4t  2t   0 4t  6t  3t  0   t 1  21  1(l )   t 1   t 1  21   cos2x=1  x k 2   x k 2 1- 21       k  Z ; cos =    121   cos2x=  x   k   cos  x   k 2   c)  3cos x  cos x cos 3x  2sin x sin x   3cos x  cos x  cos3x+cosx-cos3x   x   k  cosx=0   cos x  cos x 0    kZ  cosx=-1  x   k 2  cosx 0  *  tan x +tan x=−sin x cos x cos2x   d) Điều kiện : Khi đó phương trình : sin x sin x s inxcos2x+sin2xcosx   sin x cos x   sin x cos x 0 cosx cos2x cosxcos2x  sin x 0   cosx.cos 2 x  sin x    sin x cos x 0  sin x   cos3x+cosx   0    cos2x  cosxcos2x c osx.cos2x    0      sin x 0  sin 3x 0     cos5x+cosx + cos3x+cosx =0  c os2xcos3x+cos2xcosx=0   2 k  x   sin x 0   x   k 2  cos5x=-1    sin x 0 k 5       x  cos3x=-1    l 2   cos5x+cos3x+2cosx=0 x     3  cosx=-1   x   n 2    kZ Do hệ trên vô nghiệm ( Kiểm tra phương pháp tìm nghiệm nguyên hay biểu diến trên đường tròn đơn vị ) Bài 17 Giải các phương trình lượng giác sau: 1+ cos x cos x c) tan x +cot x=2(sin x+ cos x ) √ 2( sin x +cos x )cos x =3+cos x a) tan x= 3 b) 1+sin x +cos x= sin x d) Giải 1+ cos x Bài này đã giải cos x  sin x  cos3 x  sin x   sin x   cos 2 x   cos2x  1-sin 2 x  3sin x cos x b)    sin x  cos2x   sin x cos x  sin x  cos2 x  3sin x cos x a) tan x=    sin x  cos2x    sin x cos x  3sin x cos x Đặt : t sin x  cos2x; t   t2  1 t2   1 t 1    t   t  3  t  1  t  3t  3t  0  2    t  t   t      t  1  t  2t   0     t        t  2t  0  t    t        1    sin  x    sin  x       sin x  cos2x  4 4           61   sin x  cos2x   sin   sin  x     sin  x     4 4          5    x   k  x   k  x    k 2  x    k 2   k Z  x     k  x  3    k  x     k 2  x       k 2   8 4 s inx 0  *  tan x +cot x=2(sin x+ cos x ) c) Điều kiện : cosx 0 Khi đó phương trình trở thành sin x cos x  2(sin x  cos x)  2(sin x  cos x)  sin 2 x  sin x.cos2x cosx s inx sin x  cos2x=0  k   sin 2 x sin x.cos2x  cos2x  1-sin2x  0    x  kZ  sin2x=1  Nghiệm này thỏa mãn diều kiện (*) d) 2(sin x  cos x) cos x 3  cos x  2 s inxcosx+2 2cos x 3  cos x  s in2x+   cos2x  3  cos x  s in2x+    cos2x 3  Nhận xét : hoctoancapba.com  2  a  b2  c      3  4   32  Vậy phương trình vô nghiệm Bài 18 Giải các phương trình lượng giác sau: π π 4 c) cos x +sin x −3 sin x cos x=0 4 a) sin x +sin ( x − )+sin ( x + )= π π 36   a  b2  c sin x +2cos x =0 1+sin x d) sin3 x +cos x=sin x b) Giải ( Bài này đã giải ) s inx 0 sin x  *  +2cos x =0 sinx  -1  b) 1+sin x Điều kiện : Khi đó phương trình trở thành : 4 a) sin x +sin ( x − )+sin ( x + )=    sin x  cos x   s inx  0  2sin x  cos x 0  sin x  cosx=-sin   x  2      x   k 2 x  x   k 2     2  sin x sin  x      2   x   k 2  x     x  k 2      k 2 Ta thấy : Với x= , vi phạm điều kiện làm cho cosx=0 ( loại )   2n  k 3n   loai   k 2  x    7  2n  k 3n  1 chon   Còn nghiệm : 7 x=  n2  n  Z  Vậy nghiệm : c) cos3 x +sin x −3 sin x cos x=0 Do cosx=0 không là nghiệm , cho nên chia vế phương trình cho cos x 0 , ta phương trình : t t anx t t anx t t anx sin x sin x cos x  1  0   3  2 3 cos x cos x  t -3t +t+1=0 1+t  1+t   3t  t-1  t -2t-1 =0   x   k   t 1  t anx 1   t 1      t 1    t anx 1    x arctan   k  k  Z    t  2t  0  t 1   t anx 1   x arctan   k    2sin x  cos x sin x  cos2x=sinx  1-2sin x  s inx.cos2x  cos2x  sinx-1 0 d)   k   x   k x    cos2x=0      k Z  sinx=1  x   k 2  x   k 2   Bài 19 Giải các phương trình lượng giác sau: a) √ 3− cos x − √ 1+ cos x=2 b) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2 c) cos x cos x cos x cos x= d) sin2 x+sin x=cos 2 x+ cos2 x 16 Giải  cos x   cos x 2     cosx    cosx  4    cosx    cosx  1 a) t cosx; t 1 t 1     cosx    cosx  1     t 1  t  2t  0 t 1   1(l )   Vậy : b)  cosx=1- cos  x=  +k2    k  Z;cos =1-  sin x cos x  2sin x  cos x 2  sin x cos x   sin x  cos x  2 t2  t s inx+cosx; t  2;s inxcosx= Thay vào phương trình , ta : Đặt :  t 1 t2      2t 2  t  4t  0    t 1  sin  x   1 4   t    2(l )    x    k 2  x k 2     4  sin  x    sin    kZ     4 x   k    x    k 2   4 cos x cos x cos x cos8 x   16sin xcosxcos2xcos4xcos8x=sinx 16 c)  8sin xcos2xcos4xcos8x=sinx  4sin xcos4xcos8x=sinx  2sin xcos8x=sinx  k2  x= 15  16x=x+k2  sin16 x =sinx    k Z  16x= -x+k2  x=  + k2  17 17  cos2x  cos6x  cos4x  cos8x sin x  sin 3x cos 2 x  cos x     2 2 d)   cos8x+cos2x    cos6x+cos4x  0  cos x cos 3x  2cos5xcosx=0  k  x     10  x   k   cos5x=0   k  cos x  cos3x+cosx  0     x   x  k 2   x   x    cos3x=-cosx=cos   -x   x  x    k 2     x   k   Bài 20 Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin x(cos x − 2sin x)+cos x (1+sin x − cos x )=0 b) tan x − tan x+ 3( 1+ sin x ) π x −8 cos − =0 cos x ( ) Giải a) sin x(cos x − 2sin x)+cos x (1+sin x − cos x )=0   sin xcosx  cos x s inx  -2  sin 3x+cos x  +cos3x 0  k   x    sin x 1 4 x   k 2   sin x  cos3x=2     cos3x=1 3 x l 2  x l 2  Nếu phương trình có nghiệm thì tồn k,l cho :  k l 2 k 2l 3k  4l        12k  16l 3   6k  8l  3 Phương trình vô nghiệm ví : Vế trái là số chẵn , còn vế phải là số lẻ 3( 1+ sin x ) π x −8 cos − cos x 3(1  sin x)    tan x  tan x     cos    sin x 2  b) tan x − tan x+ ( )=0 Điều kiện : cos x 0  * Phương trình :  x   0     cos x   cos x   4cos x  sin x     sin x    t anx   1  0  t anx  0    sin x  sin x cos x  cos x        cos2x  0  cos2x=2   t anx    4cos x    0      cos x  sin x   sinx+cosx+sinxcosx=0  t anx+1+sinx=0  t2  t s inx+cosx; t  2;s inxcosx=     t  t  0  t  2t  0   t     2(l )   t      sin  x     4      x    k 2 x    k 2       4  sin  x    sin     kZ 4   x       k 2  x  3    k 2   4 Bài 21 Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos3 x=sin x b) cos x − √ sin x − √3 sin x − cos x+ 4=0 c) cos x=cos x √ 1+ tan x d) cot x +2 √ 2sin x=(2+3 √ 2) cos x Giải 3sin x sin x 2cos x 3sin x  4sin x     tan x  tan x   tan x   0 3 c os x c os x a)  t 1  tan x  tan x  0   t  1  t  t   0   t  1  t   0    t 2   x   k  t anx 1    kZ   t anx 2  x arctan2+k b) cos x − √ sin x − √3 sin x − cos x+ 4=0 Chia vế cho ta :        cos x  sin x   sin x  cos x   0  sin  x    sin  x    2 2 3 6        sin  x         sin  x        6      x   k  x     k 2     12    x       l 2  x    l 2     6 Phương trình có nghiệm    k   l 2   12k   24l  12k  24l  : 12 Vô nghiệm với k,l thuộc Z ví Vt là số chẵn , còn VP là số lẻ cosx 0  *  cos x=cos x √ 1+ tan x tanx  -1  c) Điều kiện : Khi đó phương trình trở thành : t t anx 0  0 t 1  1  t  1 t2  1 t      t     t    t   1 0 2    1 t    t  1  t 2 1 t 1  t     t    t    t  t  t  0   t  1  t  1 0  t 1  t anx=1  x=  k 2  d) cot x +2 √ 2sin x=(2+3 √ 2) cos x Điều kiện : sinx Khi đó phương trình là :      1  2 sin x (2  2) cos x   2 sin x  (2  2) cos x sin x  sin x    2 sin x  3sin x (2  2) cos x sin x     cos x   2 1  cos x   3 (2  2) cos x   cos x  t cosx  t 1  2 2t   t   t   t  2 0 t cosx  t 1    1  1 2  t  t     t  t    0              1  2 u t  t  t  t u    2  u     u   0  1  2 u t  t  t  t u   2 2u   u  0    2 2   u1  2     2.3         3   u2   Ta có :    22 22   t  t   t  2t  0   1 t   t     2  t  2t  0  t    t     1(loai )  t    t  22   cos  x   k 2  22   cosx    , cos =  1  k  Z , cos =  x   k 2    cosx=  cos         Bài 22 Giải các phương trình sau: =0 b) (sin x − cos x )=5(sin x −1) cos x c) cos x +sin x cos x +sin x cos2 x=2(sin x+ cos x) ( a) tan x − sin x −cos x +2 cos x − ) Giải =0 Điều kiện : cos x 0 Phương trình : cos x  cos x     cos2 x   cos2 x   sin x   sin x  cos x     s inx  cos x       0 cosx  cosx   cosx   cosx  cos2x s inx   cos2x     s inx  0  cos2x   1   cos x   0 cosx cosx   cosx   cosx   k   x   k x   cos2x=0  k      kZ  x    2 2  sinx+cosx=2  a  b 1  c  x  ( a) tan x − sin x −cos x +2 cos x − b) ) 4(sin 3x  cos x) 5(sin x  1)   3sin x  4sin x   sin x  5  s inx-1  16sin x  8sin x  sin x  0   s inx-1  16sin x  8sin x 1 0   x   k 2   s inx=1  s inx=1  s inx=1  1        x   k 2 k  Z , cos =-    sinx=4   4sinx+1 0  16sin x  8sin x  0  x     k 2     2 c/ cos x +sin x cos x +sin x cos x=2(sin x+ cos x)   cos x  sin x   sin x cos x  cosx+sinx   2(sin x  cos x) 0  cosx+sinx=0   cosx+sinx    cos x  sin x   sin x cos x   0   1-t   t+  0   cosx+sinx=0   t -2t-3=0    x   k  t anx==-1  t anx=-1       cosx-sinx=-1    x=  k 2  k  Z      cos  x+  =  cosx-sinx=3> 2(loai )   x    k 2       Bài 23 Giải các phương trình sau: a) tan x sin x −2 sin2 x=3(cos x+ sin x cos x ) c) 48 − − (1+cot x cot x)=0 cos x sin x b) sin x (cot x + tan2 x)=4 cos x d) sin x+ cos6 x=cos x f) 2+cos x=2 tan e) cos3 x +cos2 x+ 2sin x − 2=0 x Giải a) tan x sin x −2 sin x=3(cos x+ sin x cos x ) Điều kiện : cos x 0 Phương trình : 2  t anx sin x  2sin x 3cos x  3sin x  3sin xx cos x  cosx+sinx   t anx sin x  sin x 3cos x  3sin x cos x  sin x    3cos x  cosx+sinx  0  cosx   cosx+sinx=0  t anx=-1  cosx+sinx=0  sin x     cosx+sinx    3cos x  0      sin x  3  cosx   sin x  3cos x 0  tanx=   cos x    x=-  k   x=   k   k Z  s inx 0 s inx 0   *  sin2x  cosx    b) Điều kiện : cos x s in2 x  2sin xcosx(  )  4cos x 0 s inx cos2x Khi đó phương trình trở thành : 2 s in x s in x 2 2  2sin x  cos2x   2cos x+  cos x 0   cos x 0  cos x   0 cos2x cos2x cos2x   sin x (cot x + tan2 x)=4 cos x   cos2x-cos2x=0  cos2x=    x   k 2  x   k  k  Z  ( Vì cosx khác và hai nghiệm trên thỏa mãn điều kiện (*) ) s inx 0  *  48 − − (1+cot x cot x)=0 cosx   cos x sin x c) Điều kiện : Khi đó : co x cos x cos x  (1  ) 0  48   ( ) 0 4 cos x sin x sin x.s inx cos x sin x 2sin x.cosx 1  48   0  cos x  sin x  48sin x cos x 0   sin 2 x  3sin x 0 4 cos x sin x  t t sin 2 x  t 1   k    sin 2 x   cos4x=0  x=  kZ 6t  t  0  t   0(loai)   48  3   cos4x   3cos x sin x cos4x  cos4x=1-   4   d) k  8cos x 5  3cos x  cos4x=1  4x=k2  x=  k Z cos3 x  cos x  2sin x  0  cos x  cosx-1   s inx-1 0 sin x  cos x cos x   e)    sin x   cosx-1   s inx-1 0    s inx     s inx   cosx-1   0  s inx=1  s inx=1   s inx=0  s inx=1    1-t   t   0  cosx-sinx+sinxcosx-2=0  '=1-3=-2<0  t  2t  0   s inx=1    s inx=1  x=  k 2  k  Z   x  x x cos 0  x   k 2  * 2+cos x=2 tan f) Khi đó phương trình : Điều kiện : x x  sin    1  cos x  sin x 0  cos x 2  x x 2  cos  cos  2   x x  x x x x  x x x    cos  sin  0   cos  sin    cos  sin cos  0  cos  sin   x 2   cos 2 2  2 2     x  tan 1 x x   cosx x      sin x  0     k  cos  sin     2  2    s inx+cosx+5=0  x   k 2  k  Z  { Vì : Phương trình : s inx+cosx+5=0 vô nghiệm ) sin     Bài 24 Giải các phương trình sau: a) cos x+ √2 − cos2 x=2(1+ sin2 x) c) cot x − tan x=sin x+ cos x b) sin x+ sin2 x +sin x=0 d) sin x+cos x=1+2 sin x cos x Giải a) cos x+ √2 − cos x=2(1+ sin x) Ta có nhận xét sau :  VT  cos 3x   cos 3x   1  cos 3x   cos x  4  VT 2 VP 2(1  sin 2 x) 2 cos3x= 2-cos 3x cos 3x 1    sin x 0 sin x 0  k  x    1  cos6x=-1    sin2x=0  x l     Vậy xảy : Nếu phương trình có nghiệm thì tồn k,l thuộc Z cho :  k l 3l  l 1       2k 3l  k  l  2 Để k là nguyên thì ta chọn : l  2n  l 2n  Thay vào (2) nghiêm : b) x  2n  1     n  nZ  sin x  sin x  sin 3x 0   sin 3x  s inx   sin x 0  2sin x cos x  sin x 0  x k 2  x k   kZ  x 2  k 2  x 2  k 2 3   s inx 0  *  cot x − tan x=sin x+ cos x cosx   c) Điều kiện : Khi dó phương trình : 2 cos x sin x cos x  sin x   sin x  cos x    s inx+cosx  0 s inx cosx s inxcosx  t anx=-1  s inx+cosx=0  cosx  sin x    s inx+cosx    1 0     1 t2 t  cosx-sinx-sinxcosx=0 0  s inxcosx     t anx=-1  t anx=-1  t anx=-1     t     2(loai )    2cos  x+      t  2t  0 t   4         t anx=-1 x=-  k x=-  k     1 4     k  Z ; cos =  2 1      cos  x+       x+   k 2 x    k 2  4    d) sin 3x  cos x 1  2sin x cos x  sin 3x  cos2x=1+sin3x-sinx  1-cos2x-sinx=0  sin x 0  sin x  cos x  1 0     cosx=-   sinx=0  2sin x-sinx=0     sinx=  2  x k  k Z  x   k 2  x  5  k 2 6  Bài 25 Giải các phương trình sau: a) cos x −8 cos x +7= cos x b) c) sin x+ cos x − 3sin x+ cos x=8 3 cos x cos x −sin x sin x=cos x + d) sin x cos x +cos x sin3 x=sin x Giải a) cos x −8 cos x +7= Điều kiện : cosx 0 Khi đó phương trình trở thành : cos x  cos x  8cos x    cos3 x  8cos x  5cosx-1 0 cos x  cosx=1  cosx=1   cosx-1  cos x  4cos x  1 0    2   cos x  1 0   cos x  cos x  1 0  cosx=1    cosx=  b)  x k 2   x   k 2  kZ cos 3x cos3 x  sin x sin x cos3 x   cos x 4cos3 x  sin x 4sin x 4 cos x   cos x  cos3x+3cosx   sin 3x  3sin x  sin x  4 cos x    cos 3x  sin 3x    cos 3x cos x  sin x sin x  4 cos x   cos4x=0   3cos4x 4 cos x   cos4x  4cos x   0      1+cos8x  3  cos4x=0   cos8x=      k  4x=  k  x=    kZ  8x=   k 2  x=    k   24 9sin x  cos x  3sin x  cos x 8   sin x    cos x  6sin xcosx   cos x 0 c)   sin x  1  cos x   sin x   cos x 0   sin x  1  cos x   sin x     sin x  0  s inx=1    sin x  1   cos x    sin x   0    sinx=1  x= +k2  k  Z   6cosx+2sinx=-11 2 2 a  b 36  40; c   11 121  a  b  c 6cosx+2sinx=-11 Vì : vô nghiêm d) sin x cos x +cos x sin3 x=sin x  4sin x cos x  cos x sin x 4sin x   3sin x  sin x  cos x   cos3x+3cosx  sin x 4sin x   sin xcos3x+cosx sin 3x  4sin x  3sin x 4sin x  sin x  sin x   0  sin x 0  sin x    cos8x   3 0     cos8x=  k  x   x    k  24 kZ Bài 26 Giải các phương trình sau: a) sin x+ sin2 x +sin x+ sin x=cos x +cos x +cos x +cos x b) sin2 x −sin x cos x −cos x=− c) sin 2 x +cos x −1 =0 √ sin x cos x Giải a) sin x+ sin x +sin x+ sin x=cos x +cos x +cos x +cos x cos x  s inx  cos x  sin x  cos3 x  sin x  cos4 x  sin x 0  cosx-sinx=0   sinx+cosx   s inxcosx+1=0  cos x  s inx   cos x  sin x 1  s inx cos x  cos x  sin x  0    t anx=1    2t+ t   1=0   t anx=1    t  4t  0  t anx=1    t=-2+  t       t anx=1   sin  x       4     x=    t anx=1   x=  x     k 2  k  Z ;sin            3   sin x      x     k 2     4   x  3    k 2  2 b) sin x −sin x cos x −cos x=− 3 cos x  sin x  10 10 10       cos = ; x   k      x     k 2 10  k  Z;    cos  x     cos     10   x     k 2  x     k    cos = 10       sin 2 x +cos x −1 =0 Điều kiện : s inxcosx>0  sin2x>0  0<2x<  0<x<  * c) sin x cos x    cos2x   sin x    cos2x    3cos x  sin x 3  √  sin 2 x  cos x  0   k sin x  0  sin x 0  x  Khi biểu diễn nghiệm trên tren vòng tròn đơn vị Ta thấy có đỉnh cung thỏa mãn   x   2n   3 ;    nZ  4  x  3  2n  điều kiện là : Bài 27 Giải các phương trình sau: a) sin3 x −cos x+ cos x=0 b) 1+cos3 x − sin x =sin x c) 1+cos x +cos x+ cos x =0 d) cos x +cos x+ cos x+cos x=0 e) cos x+ sin x +cos x =0 f) cos x sin x +¿ cos x +sin x∨¿ Giải a) 2sin x  cos x  cos x 0  2s in 3x-  1-2sin x   cosx=0  2s in 3x-2sin x  cosx-1=0  2s in x  sinx-1 x    cosx  =0    cos x   sinx-1 x    cosx  =0  cosx=1  cosx=1    cosx     cosx   sinx-1  1 =0     2t   1-t  -3=0   sinx-cosx  +sin2x-3=0  cosx=1  cosx=1    cosx=1  x=k2  k  Z    ' 1    t  2t  2=0  cos3 x  sin x sin x    sin x    cosx-sinx    s inxcosx  0 b)   cosx  sin x    cosx-sinx    s inxcosx  0   cosx  sin x    cosx-sinx     s inxcosx   0  cosx-sinx=0    cosx-sinx+sinxcosx+1=0  t anx=1    t+ 1-t  0   t anx=1  t anx=1    t=-1    t -2t-3=0  t=3>       x=  k  x=  k  t anx=1          x    k 2   x   k 2     sin  x      4 4   x   k 2      x    k 2  4    cos x  cos x  cos 3x 0    cos2x    cos3x+cosx  0  t anx=1   sin  x      4  k Z c)  cosx=0  cos x  cos x cos x 0  cos x  cosx+cos2x  0    cos2x=-cosx=cos    x     x   k    x   k    k 2   2x=  x  k 2   x=  k Z   3  x  x    k 2  x    k 2     cos x  cos x  cos 3x  cos x 0   cos3x+cosx    cos4x+cos2x  0 d)  cosx=0  cos x cos x  cos x cos x 0  cos x  cos2x+cos3x  0    cos3x=-cos2x=cos   -2x       x=  k x=  k      k 2   3x=  x  k 2   x=  k Z   5  x 2 x    k 2  x    k 2     e) cos2 x  sin x  cos x 0  cosx  cosx+1  s inx  1-cos x  0  cosx=-1   t- t  =0   cosx=-1      1 2 sin  x    cos   4  cosx+1=0   cosx+1  cosx  s inx  1-cosx   0     sinx+cosx-sinxcosx=0  cosx=-1   t -2t-1=0   cosx=-1    t=1-  t=1+    cosx=-1   sin  x    1   4     x=- +k2  x=- +k2       x    k 2   x    k 2   4    5  x      k 2  x     k 2   f) cos x sin x +¿ cos x +sin x∨¿ Đặt : kZ t  s inx+cosx ;0 t   *  t 1  2sin xcosx  sinxcosx= t2   t 1  t   0(loai)  t 1        1    x   k 2  x   k 2  sin  x     sin  x          s inx+cosx 1            x k 2  x   k 2  sin  x   1  sin  x     4 4     k  x kZ Thu gọn nghiệm trên ta : là nghiệm phương trình  t2   t  0  t  2t  0  Bài 28 Giải các phương trình sau: a) 2+cos x=−5 sin x c) sin2 x=cos2 x +cos x b) sin x+ cos3 x=2(sin x+ cos5 x) ( π3 )=cos x d) cos x+ Giải t s inx; t 1  cos x  5sin x    2sin x  5sin x    2t  5t  0 a)   t    t 3  1   cosx=-  x   k 2  k  Z  Vậy phương trình có nghiệm : sin x  cos3 x 2(sin x  cos5 x)  sin   2s in x  cos x  2cos x  1 b)  cos2x=0  cos2x  sin x  cos x  0      sinx-cosx    s inxcosx  0 3  cos2x=0  tanx=1    sin2x=-2  cos2x=0  tanx=1      k  2x=  k  x=     k  x=   k  x=   k x  k Z   4 Thu gọn nghiệm trên ta :       8cos3  x   cos 3x   cos  3x+   3cos  x    cos3x 3     d)         2cos3x+6 cos  x   cos3x  2cos  x   cos3x y  x   x  y   * 3 3   3 Đặt :   cos y cos3  y-  cos  3y-  cos   -3y   cos3y  3 Thay vào ta có :  cosy=0 2cos y  cos y  3cos y 0  cosy  4cos y   0     1+cos2y   0 Do đó :    x=  k          cosy=0  x=   k  y=  k  y=  k          x=-  k   cos2y=  x=     k  2y=   k 2  y=   k   6     x    k  (k  Z ) Bài 29 Giải các phương trình sau: a) ¿ sin x − cos x∨+¿ sin x+ cos x∨¿ 6 c) cos x − sin x= 13 cos 2 x b) sin x +cot x=2 sin x +1 d) 1+3 tan x=2 sin x Giải a) ¿ sin x − cos x∨+¿ sin x+ cos x∨¿ Bình phương vế :ta     s inx-cosx   s inx+cosx  2  cos2x 0  cos2x=0  x=  cosx  2sin x  cot x 2sin x 1   2s inx-1    4sin xcosx  0  sinx  b)  k  k Z   4sin x   cosx   2sinx-1  cosx    2sin x   0  0   2s inx-1 1   sinx   sinx   s inx=   s inx=  2sin x 1  s inx-cosx-sin2x     2s inx-1    0   s inx-cosx-sin2x=0    t  s inx  t   0  t  2t  0  1   s inx= s inx=    s inx= 2       sin  x       sin  x      sin   t    t           4 4    5    x=  k 2  x   k 2  kZ  x     k 2  x  3    k 2  4 13 13 cos6 x  sin x  cos 2 x   cos x  sin x   sin x  cos x  sin x cos x   cos 2 x 8 c) 13   13    cos2x   sin 2 x   cos2 x  cos2x   sin 2 x  cos2x  0      cos2x=0  k  x   cos2x=0   c os2x=0     cos2x=   k Z  cos2x=   x   k  2cos x  13cos x  0  cos2x=6>1    d) 1+3 tan x=2 sin x Điều kiện : cos x 0 Khi đó phương trình trở thành : sin x  1 4sin xcosx  cosx+3sinx=4sinxcos x cosx Chia vế phương trình cho cos x 0  Ta : t t anx sinx sinx +3 =4   2 1+t  t  t  t  cos x cos x cosx    t t anx    t+1  3t  2t  1 0  t  0    3t  2t  0 t t anx  3t  t  t  0  t     ' 1     t anx=-1  x=-  k  Bài 30 Giải các phương trình sau: a) sin x=cos x cos x (tan x + tan2 x) b) 9sin x +9cos x =10 c) cos3 x+3 √ sin x=8 cos x d) 1− 2 x2 =cos x sin x sin x = f) ( π4 )=√ sin x e) sin x + Giải a) sin x=cos x cos x (tan x + tan2 x) cosx 0  *  cos2x   Điều kiện : Khi đó phương trình : sin x sin x cos2x.sin x sin 3x cos x cos x  cos x cos x   cosxsin2x cos x cos2x cosx cos2x.sin x cos2x.sin x sin x  s inx sin 3x   cosxsin2x=  cosx cosx 2 sin x cos x t 9cos x  t 9  * b) +9 =10 Đặt : Khi đó phương trình trở thành :    9cos x 1  cos x 0 x   k  t 1  cosx=0    t 10  t  10t  0       2  t  t 9  9cos x 9  sinx=0  cos x 1  x k c) cos x+3 √ sin x=8 cos x  x   k Nhận xét : cosx=0 là nghiệm phương trình đó pt có nghiệm : 2 Khi cosx 0 Ta chia vé phương trình cho cos x 0 , ta phương trình :  cos x  sin x 8    sin x   sin x 8  4sin x  sin x  0 t s inx; t 1 t s inx; t 1     s inx=  2  t  1 t  4t  2t  0  1  x 0  x 0 x2 x2 cos x   cosx=    x 0 2 cosx=1  x=k2 d) Phương trình có nghiệm : x=0  π e)  x   k 2 k Z 3 x   k 2 ( 4) sin x + =√ sin x Đặt : y x   x y    * Thay vào phương trình ta có :    sin y  sin  y   sin y  cosy  siny  sin y  1  cosy=0   sinycos y  cosy=0 4   cosy=0    cosy  1-sinycosy  =0    cosy=0  y=  k  x   k  k  Z   sin2y=2>1 sin 3x sin x   5sin x 3sin x  2sin x 3  sin x  sin x  f)  2sin x 3.2cos x sin x   3sin x  4sin x   6s inxcos4x=0  sinx  6-4sin x  cos x  0  s inx=0  s inx=0  s inx=0    2  cos2x=1  cos2x=- 6-2 1-cos2x  cos x     12cos x -cos2x-10=0      -Trường hợp : s inx=0  x=k - Trường hợp : cos2x=1  2x=k2  x=k  cos2x=- cos  2x=  +k2  x=   k - Trường hợp :  x k 5   k  Z ; cos =-     x   k  6 Tóm lại phương trình có nghiệm là : 