Luan VanSKKN 52

Tuy nhiên do HS mất căn bản ở một số kiến thức trước đây, thời gian áp dụng các biện pháp tương đối ngắn 2 tháng nên khả năng chứng minh các bài toán hình học của các em còn hạn chế, các[r]

1 MỤC LỤC trang Lời cam đoan Lời cảm ơn .2 Mục lục Danh mục các cụm từ viết tắt MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Bố cục 10 NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1.Chương I - Tứ Giác (SGK Toán tập 1) 11 1.1.1 Mục tiêu .11 1.1.2 Vị trí .13 1.1.3 Những nội dung chủ yếu chương 13 1.1.4 Những lưu ý phương pháp dạy chương Tứ Giác .14 1.2 Năng lực giải toán 14 1.2.1 Khái niệm lực 14 1.2.2 Năng lực toán học 15 1.2.3 Năng lực giải toán 15 1.2.4 Các lực giải toán 15 1.2.4.1 Năng lực phân tích và tổng hợp .15 1.2.4.2 Năng lực khái quát hóa 17 1.2.4.3 Năng lực trừu tượng hóa và cụ thể hóa 18 1.2.4.4 Năng lực tưởng tượng 20 1.2.4.5 Năng lực khai thác bài toán 21 1.3 Chứng minh hình học 22 1.3.1 Nhận thức luận hình học 22 1.3.2 Định lí hình học và bài tập chứng minh là gì? .22 1.3.3 Những điểm cần chú ý chứng minh .23 1.4 Thực trạng dạy phân môn hình học 23 1.4.1 Phương pháp dạy học giáo viên và phương pháp học học sinh 24 1.4.2 Thực trạng dạy chứng minh hình học 26 CHƯƠNG CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH 2.1 Cơ sở khoa học các biện pháp 28 2.2 Nguyên tắc xây dựng các biện pháp .29 2.3 Các biện pháp 30 2.3.1 Biện pháp 1: Gợi động chứng minh cho học sinh 30 2.3.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ đọc hiểu và vẽ hình định lí, bài toán 32 2.3.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ 39 2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ vận dụng các kiến thức đã biết để giải bài toán 45 2.3.5 Biện pháp 5: Rèn luyện khả phân tích, tổng hợp vào giải toán chứng minh 48 2.3.6 Biện pháp 6: Chú trọng câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm hướng giải bài toán chứng minh .53 2.3.7 Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ suy xuôi, suy ngược để chứng minh .58 2.3.8 Biện pháp 8: Rèn luyện kỹ trình bày logic lời giải bài toán 63 2.3.9 Biện pháp 9: Rèn luyện cho học sinh kỹ giải bài toán nhiều cách 68 2.3.10 Biện pháp 10: Giúp học sinh thấy sai lầm dễ mắc phải quá trình chứng minh 76 2.3.11 Biện pháp 11: Rèn luyện cho học sinh kỹ sáng tạo bài toán từ bài toán đã cho 78 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm 83 3.2 Nội dung thực nghiệm 83 3.3 Kết thực nghiệm .84 3.4 Kết luận sư phạm 86 KẾT LUẬN Các kết đạt 88 Hạn chế đề tài 88 Hướng phát triển đề tài 88 Tài liệu tham khảo 90 DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT GV Giáo viên HS Học sinh PP Phương pháp PPDH Phương pháp dạy học SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách bài tập NXB Nhà xuất NXBGD Nhà xuất giáo dục gt giả thiết cmt chứng minh trên GT Giả thiết KL Kết luận Y/c Yêu cầu ĐH Đại học đpcm điều phải chứng minh KHGD Khoa học giáo dục THCS Trung học sở MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thực tiễn sống, toán học giữ vị trí quan trọng Những tri thức và kĩ toán học cùng với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn học khác nhà trường; là công cụ nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để tiến hành hoạt động đời sống thực tế Vì toán học là thành phần không thể thiếu văn hóa phổ thông người Từ thuở xa xưa, người ta đã biết vận dụng toán học để xây dựng công trình lớn như: Kim Tự Tháp, vườn treo Babilon, … Người Ai Cập cổ đại đã biết tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, thì tam giác đó là tam giác vuông và định lí này áp dụng rộng rãi việc xây dựng nhà cửa Ngày với phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật ta càng thấy tầm quan trọng toán học, có thể nói nó là móng cho nhiều ngành khoa học khác Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ngoài môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách người, có tác dụng góp phần phát triển lực, trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, … rèn luyện đức tính phẩm chất người lao động tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Ngay từ cấp tiểu học, các em đã làm quen nhiều hình học, đã biết số hình như: tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, … học sinh đã biết phân biệt, biết vẽ và nhận dạng các hình đó Đến cấp Trung học Cơ sở lần các em lại tìm hiểu nó và đặc biệt chương trình toán đã dành riêng cho các em chương để tìm hiểu kỹ đó là chương I - Tứ Giác với nội dung và kiến thức mở rộng, nâng cao là vấn đề giải toán chứng minh Mặt khác môn hình học thì vấn đề dạy cho học sinh biết chứng minh số bài tập, định lí và tự chứng minh bài tập cho thật tốt lại là vấn đề không đơn giản các em Thế thì làm học sinh có thể giải tốt bài tập, học tốt môn này, … nhiều vấn đề đặt Là người trực tiếp giảng dạy cho các em, chúng tôi phải nghiên cứu, đào sâu kiến thức, tìm phương pháp thích hợp để giúp cho các em đạt hiệu tối ưu học tập, đồng thời phải đổi phương pháp dạy học hướng vào học sinh, biết thiết kế, tổ chức hướng dẫn các hoạt động giúp học sinh tự phát và giải vấn đề, tìm lời giải nhanh gọn, hợp lí, đúng, khoa học Chính vì mà chúng tôi đặc biệt quan tâm và định chọn đề tài “Bồi dưỡng lực chứng minh hình học cho học sinh THCS thông qua dạy chương I - Tứ Giác (Toán 8) ” để nghiên cứu Đề tài này nhằm giúp học sinh vững vàng phát và giải toán chứng minh giai đoạn khởi đầu Qua đó nhằm nâng cao chất lượng dạy và học nhà trường để tạo hệ trẻ động, sáng tạo, hội tụ đầy đủ lực và phẩm chất góp phần đưa đất nước lên, mặt đem lại niềm vui hứng thú học tập, giúp các em yêu thích môn học này Mục đích nghiên cứu Làm rõ lực chứng minh các bài toán hình học học sinh, từ đó đưa số biện pháp bồi dưỡng lực chứng minh cho các em, giúp các em biết giải và trình bày chặt chẽ, logic bài toán hình học, kích thích tinh thần hăng say, ham học cho các em môn học này Nhiệm vụ nghiên cứu  Hệ thống lại các dạng toán hình học và các kỹ cần thiết để giải các dạng toán này  Đề xuất số biện pháp giúp bồi dưỡng lực chứng minh cho học sinh  Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu các biện pháp đề Đối tượng nghiên cứu Năng lực chứng minh hình học lớp Phạm vi nghiên cứu Chương I - Tứ Giác lớp tập Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp và các tài liệu liên quan khác phục vụ cho đề tài  Phương pháp quan sát điều tra: Qua các tiết dự giáo viên dạy, trao đổi với đồng nghiệp dạy Toán 8, tìm hiểu tình hình học tập học sinh  Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn và các thành viên nhóm  Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thông qua các buổi báo cáo chuyên đề các tiết dạy tự chọn trên lớp Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất các biện pháp nâng cao lực chứng minh hình học cho học sinh THCS qua dạy học chương Tứ giác Toán thì giúp các em hệ thống phương pháp giải các dạng toán tương tự, tự mình định hình cách giải và đưa nhiều cách giải cho bài toán Từ đó nâng cao lực tự học học sinh, giúp các em biết vận dụng phương pháp cụ thể vào dạng toán có liên quan, vì các em nhớ phương pháp giải và có kiến thức khá ổn định Bên cạnh đó, các em hình thành cho mình các kỹ giải toán, từ đó nâng cao chất lượng học toán học sinh Bố cục: Khóa luận gồm có phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận - Mở đầu: + Lý chọn đề tài + Mục đích nghiên cứu + Nhiệm vụ nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu + Phạm vi nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu + Giả thiết khoa Học + Bố cục - Nội dung: + Chương - Cơ sở lí luận và thực tiễn + Chương - Các biện pháp bồi dưỡng lực giải toán chứng minh cho học sinh + Chương - Thực nghiệm sư phạm - Kết luận + Các kết đạt + Hạn chế đề tài + Hướng phát triển đề tài NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Chương I Tứ Giác (SGK Toán tập 1) 1.1.1 Mục tiêu 1.1.1.1 Kiến thức Sau học xong chương tứ giác, HS phải nhận biết và hiểu rõ nội dung kiến thức sau đây: - Khái niệm tứ giác lồi, tổng các góc tứ giác lồi 360 0, hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song, hình thang vuông là hình thang có cạnh bên vuông góc với hai đáy, hình thang cân là hình thang có hai góc kề cạnh đáy nhau, tính chất hình thang cân, dấu hiệu nhận biết hình thang cân - Đường trung bình tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh tam giác Đường trung bình hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh bên hình thang (một tam giác có ba đường trung bình, hình thang không phải là hình bình hành thì có đường trung bình) Các tính chất và dấu hiệu nhận biết đường trung bình tam giác, hình thang - Các khái niệm đối xứng tâm, đối xứng trục, các định nghĩa hình có trục đối xứng, tính chất hai hình có đối xứng tâm và đối xứng trục Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua đường thẳng (hoặc qua điểm) thì chúng - Hình bình hành là tứ giác có các các cạnh đối song song; tính chất và dấu hiệu nhận biết hình bình hành - Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông, tính chất hình chữ nhật (gồm các tính chất hình bình hành và tính chất riêng là hai đường chéo hình chữ nhật nhau), các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật 10 - Áp dụng vào tam giác: Trong tam giác, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền; tam giác có trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh thì tam giác đó là tam giác vuông - Định nghĩa khoảng cách hai đường thẳng song song và tính chất đường thẳng song song với đường thẳng cho trước - Khái niệm hình thoi: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh nhau, tính chất hình thoi (gồm tất các tính chất hình bình hành và tính chất riêng là hình thoi hai đường chéo là đường phân giác các góc hình thoi), các dấu hiệu nhận biết hình thoi - Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh nhau, tính chất hình vuông (gồm tất các tính chất hình chữ nhật và hình thoi), các dấu hiệu nhận biết hình vuông 1.1.1.2 Kỹ - Tính góc tứ giác biết ba góc còn lại; tính các góc ngoài tứ giác; vẽ tứ giác biết độ dài bốn cạnh và đường chéo góc - Nhận biết hình thang, hình thang vuông, hình thang cân qua các dấu hiệu nhận biết chúng (qua các bài toán chứng minh nhận dạng) Dùng thước thẳng, êke vẽ hình trên giấy kẻ ôli Vận dụng tính chất đường trung bình hình thang, tam giác vào việc chứng minh các đoạn thẳng nhau, tính khoảng cách, độ dài các đoạn thẳng - Sử dụng compa và thước thẳng thực các bài toán dựng hình - Vẽ các đoạn thẳng, tam giác đối xứng qua tâm,qua trục, nhận biết số hình quen thuộc có tâm đối xứng, có trục đối xứng - Thông qua các dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông và vẽ chúng thông qua các dấu hiệu đặc biệt loại hình 11 - Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận các bài toán hình học, giải số bài đơn giản bài có mức độ tương đương 1.1.1.3 Thái độ Bước đầu rèn luyện cho HS thao tác tư như: quan sát và dự đoán giải toán, phân tích tìm tòi cách giải và trình bày lời giải bài toán, nhận biết các quan hệ hình học các vật thể xung quanh và bước đầu vận dụng kiến thức hình học đã học vào thực tiễn 1.1.2 Vị trí Chương I hình học có vị trí quan trọng toàn chương trình hình học bậc THCS Bắt đầu từ đây HS luyện tập nhiều chứng minh định lí, thường xuyên làm quen với các định lí thuận-đảo, bắt đầu chính thức học dựng hình thước và compa Các kiến thức hình học, các kỹ vẽ hình, đo đạc, tính toán, các thao tác tư như: quan sát, dự đoán, phân tích, tổng hợp,… rèn luyện nhiều chương, tạo điều kiện thuận lợi cho HS học các chương sau 1.1.3 Những nội dung chủ yếu chương * Chủ đề 1: Tứ giác, các tứ giác đặc biệt Tứ giác nghiên cứu chương I là tứ giác lồi Các tứ giác đặc biệt nghiên cứu là hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông (bao gồm định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết các tứ giác ấy) Các hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông định nghĩa từ tứ giác cho quán với các định nghĩa tiểu học Sách giáo khoa rõ quan hệ bao hàm các hình: hình bình hành là hình thang đặc biệt; hình chữ nhật là hình bình hành đặc biệt, là hình thang cân đặc biệt; hình thoi là hình bình hành đặc biệt; hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt, là hình thoi đặc biệt Nhờ đó, việc nêu tính chất các hình đơn giản * Chủ đề 2: Bổ sung số kiến thức tam giác chương gồm: 12 đường trung bình, tính chất đường trung tuyến Các kiến thức này có thể chứng minh với kiến thức hình học 7, chúng đặt chương I hình học với mục đích giảm bớt khối lượng kiến thức lớp HS chưa thành thạo chứng minh hình học * Chủ đề 3: Đối xứng trục, đối xứng tâm Đây là nội dung có nhiều ứng dụng thực tiễn đời sống Trong chủ đề này, HS biết định nghĩa hai điểm; hai hình đối xứng qua đường thẳng, qua điểm; hình có trục đối xứng (trong đó có hình thang cân); hình có tâm đối xứng (trong đó có hình bình hành) 1.1.4 Những lưu ý phương pháp dạy chứng minh tứ giác - Chúng ta cần chuẩn bị cho HS tiếp cận kiến thức cách cho HS vẽ hình, đo đạc có gấp hình, quan sát, dự đoán, … - Không lạm dụng quá nhiều các hoạt động thực nghiệm, cần tăng dần các suy luận logic, là chứng minh định lí Chương này góp phần rèn luyện cho HS biết tìm cách chứng minh và trình bày chứng minh định lí Không bắt buộc HS trình bày chứng minh theo khuôn mẫu định mà nên tận dụng các chứng minh mang tính “làm mẫu” để HS tham khảo, để hướng dẫn HS cách trình bày bài toán chứng minh hình học - Chú trọng khâu luyện tập thực hành các tiết lí thuyết Ngoài các củng cố có ghi sách giáo khoa thông qua các “câu hỏi chừng” thì có thể chọn câu hỏi, bài tập đơn giản khác sách giáo khoa để củng cố kiến thức cho phù hợp với đối tượng HS mình - Coi trọng yếu tố trực quan, chú trọng sử dụng các đồ dùng dạy học, là dạy đối xứng trục, đối xứng tâm, … 1.2 Năng lực giải toán 1.2.1 Khái niệm lực Theo tâm lí học, lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo cá nhân phù hợp với yêu cầu hoạt động định, đảm bảo cho hoạt động đó đạt kết 13 1.2.2 Năng lực toán học Năng lực toán học hiểu là đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu hoạt đông toán học, biểu số mặt: - Năng lực thực các thao tác tư - Năng lực rút gọn quá trình lập luận toán học và hệ thống các phép tính - Sự linh hoạt quá trình tư - Khuynh hướng rõ ràng, đơn giản và tiết kiệm lời giải các bài toán - Năng lực chuyển dễ dàng từ tư thuận sang tư nghịch - Trí nhớ các sơ đồ tư khái quát, các quan hệ khái quát lĩnh vực số và dấu 1.2.3 Năng lực giải toán Năng lực giải toán là thể độc đáo các phẩm chất riêng biệt nhằm đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học có hiệu 1.2.4 Các lực giải toán 1.2.4.1 Năng lực phân tích và tổng hợp Theo tâm lí học, phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể thành phần, tách thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm cái toàn thể đó Ngược lại với phân tích thì tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần cái toàn thể, kết hợp lại thuộc tính hay khía cạnh khác nằm cái toàn thể Phân tích và tổng hợp là thao tác tư Vì để phát triển trí tuệ học sinh, cần phải coi trọng việc rèn luyện cho HS lực phân tích và tổng hợp Trong hoạt động giải toán, trước tiên phải nhìn nhận bao quát đề toán cách tổng hợp, xem bài toán đó thuộc loại nào, phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm mối liên hệ cái đã cho và cái phải tìm Việc giải nhiều bài toán đòi hỏi HS phải biết phân tích bài toán thành số bài toán 14 đơn giản hơn, chia các trường hợp khác nhau, giải các bài toán đơn giản đó, tổng hợp lại để lời giải bài toán đã cho Chẳng hạn, để chứng minh “Tứ giác có các cạnh đối là hình bình hành” ta làm sau: Hình 1.1 Sơ đồ phân tích và tổng hợp bài toán trên có thể ghi sau: ABCD là hình bình hành AB CD, AD  BC Aˆ1 Cˆ1 , Aˆ Cˆ SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH SƠ ĐỒ TỔNG HỢP ABC CDA AB CD, AD BC , AC cạnh chung HƯỚNG CHỨNG MINH 15 Trong chứng minh trên, ABCD là hình bình hành chứng minh theo định nghĩa Khi kẻ đường chéo AC để tạo hai tam giác ABC và CDA và chứng minh chúng Ở đây ta đã thực nhiều thao tác phân tích và tổng hợp Vì AC đây hiểu nhiều khía cạnh khác nhau, lần ta tách (phân tích) tính chất AC hệ thống (tổng hợp) mối liên hệ các hình sau: 1.2.4.2 Năng lực khái quát hóa Khái quát hóa là dùng trí óc tách cái chung các đối tượng, kiện tượng Muốn khái quát ta thường so sánh nhiều đối tượng, tượng, kiện với Để bồi dưỡng cho HS lực khái quát hóa đúng đắn thì cần luyện tập cho HS biết cách phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm cái chung ẩn náo các tượng, nhìn thấy cái chính, cái bản, cái chung cái khác bên ngoài Để làm điều này thì giáo viên phải biết phối hợp biến thiên 16 dấu hiệu chất các khái niệm, tượng mình nghiên cứu Khi khái quát hóa, ta có cái nhìn bao quát hơn, thấy cái chung nhiều cái riêng Đây là đường phát minh sáng tạo Khái quát hóa có thể đúng, có thể sai, đó ta cần chứng minh Chẳng hạn, chứng minh định lí “Tổng các góc tứ giác 3600” Đầu tiên HS quan sát tứ giác thì nhìn thấy có bốn cạnh, nên có thể tạo thành hai tam giác Do dó HS có thể dự đoán từ việc đã biết “Tổng các góc tam giác 1800” Trên sở đó có thể dự đoán và chứng minh “Tổng các góc tứ giác 360 0” Về vấn đề này thì ta có thể khái quát lên để tìm tổng số đo các góc đa giác bất kì Đối với định nghĩa, đường trung bình tam giác: “Đường trung bình tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác” Ta có thể khái quát lên để tìm đường trung bình hình thang “Đường trung bình hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang” Ở đây GV cần làm rõ dấu hiệu chất và dấu hiệu không chất định nghĩa trên thì: - Dấu hiệu chất: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh - Dấu hiệu không chất đối với: + Tam giác là “hai cạnh bất kì” + Hình thang là “ hai cạnh bên” 1.2.4.3 Năng lực trừu tượng hóa và cụ thể hóa Trừu tượng hóa, là suy nghĩ nhằm tách số tính chất chung các đối tượng (quan hệ) khỏi tính chất khác chúng để đồng chúng mục đích nghiên cứu định Cụ thể hóa là tìm ví dụ minh họa cho cái chung đó, tức là tìm cái riêng mà cái riêng này thỏa mãn tính chất cái chung đã xác định Trừu tượng hóa và cụ thể hóa liên hệ mật thiết với Đó là ý nghĩ cái riêng, mà cái riêng này tương ứng với cái chung định Có thể 17 nói: Cụ thể hóa là quá trình minh họa hay giải thích khái niệm, định luật khái quát, trừu tượng các ví dụ Việc bồi dưỡng cho HS lực trừu tượng hóa có ý nghĩa quan trọng Vì cần nắm vững mối quan hệ qua lại chặt chẽ tư cụ thể và tư trừu tượng theo đường biện chứng để nhận thức chân lí: “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ đó trở thực tiễn” hình thành và củng cố các kiến thức toán học cho HS Ví dụ dạy định nghĩa hình thang, GV có thể đặt vấn đề: Chúng ta phải nghiên cứu cùng lúc hình như: Hình 1.6 Ta phải tìm tính chất chung chúng, muốn phải tìm hình “đại diện” cho chúng để nghiên cứu hình “đại diện” ấy, là hình có tính chất mà hình đã cho có Khi đó HS quan sát và tước bỏ đặc điểm riêng, giữ lại hai tính chất chung: “là tứ giác”, “có hai cạnh song song”, vì tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang (theo định nghĩa) và nghiên 18 cứu tiếp hình thang, tính chất mà hình thang có là tính chất chung các hình đã cho ban đầu Để củng cố cho phần định nghĩa hình thang Cho HS trả lời bài tập: “hình là hình vẽ thang Trên hình vẽ có bao nhiêu hình thang?” 1.2.4.4 Năng lực tưởng tượng Theo tâm lí học, tưởng tượng là quá trình tâm lí phản ánh cái chưa có kinh nghiệm cá nhân cách xây dựng hình ảnh trên sở biểu tượng đã có Tưởng tượng cần thiết cho nhiều hoạt động Nó cho phép hình dung kết quả, cách thức đến sản phẩm và ảnh hưởng rõ rệt đến việc học tập, tiếp thu và thể tri thức HS Để phát triển lực tưởng tượng cho HS, GV cần tập cho HS khả hình dung đối tượng quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên liệu lời hay hình phẳng, từ biểu tượng đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo hình ảnh đối tượng chưa biết Trong toán học việc nhận thức HS cần tưởng tượng, đặc biệt là hình học Ví dụ, định nghĩa “Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh nhau”, hình thoi theo định nghĩa này là hình thoi trừu tượng, ta không thể vẽ nó.Vì ta vẽ trên trang giấy thì đó là hình thoi cụ thể theo kích thước định cạnh Còn hình thoi trừu tượng 19 là hình thoi không có các tính chất nào khác ngoài các tính chất “là tứ giác”, “có bốn cạnh nhau” (theo định nghĩa) Có HS tránh sai lầm mà HS hay gặp ngộ nhận tính chất hình cụ thể (hình vẽ để làm toán) là tính chất hình cần nghiên cứu (hình trừu tượng) Từ đây HS có thể nhận thấy các sắt cửa xếp (hình 99 SGK trang 104) tạo thành hình thoi (là hình ảnh cụ thể) 1.2.4.5 Năng lực khai thác bài toán Khai thác bài toán là nghiên cứu sâu vào bài toán để có thể tìm cách giải khác và sáng tạo, mở bài toán Khi giải xong bài toán GV cần làm cho HS nắm và thấy cách giải vừa tìm được, phân tích lại kết và đường đã để có thể củng cố kiến thức và phát khả giải toán, từ đó phát cách giải khác Khi hiểu rõ vấn đề bài toán thì có khả khai thác tìm bài toán dựa trên bài toán ban đầu Muốn khai thác bài toán trước hết phải nắm đặc điểm và chất bài toán đó Do đó người giải toán phải phân tích kỹ các yếu tố cấu tạo nên bài toán Như thấy mối liên hệ các bài toán cùng loại và các bài toán khác Bài toán có thể là bài toán hoàn toàn có thể là mở rộng đào sâu bài toán đã biết, có thể là bài toán tương tự với bài toán ban đầu thể với cách hỏi khác Do đó việc tổng kết các đường dẫn đến bài toán từ bài toán ban đầu đã biết có SGK có tầm quan trọng to lớn Có thể nói, có năm đường tạo bài toán từ bài toán ban đầu sau: - Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu - Lập bài toán đảo bài toán ban đầu - Thêm vào bài toán ban đầu số yếu tố Đặc biệt hóa bài toán ban đầu 20 - Bớt số yếu tố bài toán ban đầu Khái quát hóa bài toán ban đầu - Thay đổi số yếu tố bài toán ban đầu 1.3 Chứng minh hình học 1.3.1 Nhận thức luận hình học Hình học là ngành toán học, nghiên cứu hình dạng, kích thước và vị trí các hình không gian Là môn khoa học dùng lí luận để suy diễn và dựa vào quy tắc suy diễn logic để tìm hiểu tính chất chung không gian Có nghĩa là câu nói phải có lí xác đáng Mỗi lí phải có nguyên nhân sinh nó Tầm quan trọng và hấp dẫn Hình học có liên quan đến nhiều hoạt động người Hình học cung cấp ý tưởng cho mô hình các tượng (Thiên văn, Vật lí, Hóa học, Sinh học, …) và dạng các vật thể sống Trong hình học tính logic chặt chẽ kết hợp với các biểu tượng trực quan sinh động, là đường từ logic đến thực tiễn 1.3.2 Định lí hình học và bài tập chứng minh là gì? Mỗi mệnh đề dùng để biểu thị tính chất các hình, mà tính chất chân thực đã chứng minh gọi là định lí hình học Trong hình học hệ coi là định lí (là điều có thể suy từ định lí, còn gọi là định lí phụ thuộc) Trong hình học, có nhiều mệnh đề cần chứng minh và ta thường gọi là bài tập (thực là định lí) Những định lí có ghi lại rõ ràng và chứng minh đầy đủ, dựa vào đó để chứng minh định lí và bài tập khác thì gọi là định lí còn định lí mà chứng minh các định lí và bài tập khác mà ít dùng đến, dùng để luyện tập thêm thì gọi là bài tập - Định lí đã chứng minh xong và không cần dùng đến để làm chứng minh cho định lí khác thì coi bài tập Đôi định lí quan trọng có xếp vào bài tập Tóm lại: định lí, hệ quả, bài tập coi là định lí cả, ta gọi chung 21 là định lí Quá trình và các bước chứng minh bài tập là quá trình và các bước chứng minh định lí 1.3.3.Những điểm cần chú ý chứng minh Nguyên nhân làm cho HS thấy Hình học khó Đại số là HS chưa chuẩn bị đầy đủ trước chứng minh và thường bỏ qua điểm cần chú ý như: - Hình học là môn học suy diễn lí luận chặt chẽ Mỗi câu nói lúc chứng minh thường có lí xác đáng không qua loa Với bài chứng minh thường chia làm hai phần: bên trái là lời chứng minh, bên phải là lí do, nhằm giúp HS nhớ các định lí, tiên đề đã học.Với lí làm cho phần chứng minh như: + Giả thiết bài + Những định nghĩa đã học + Những tiền đề đã học + Những định lí đã chứng minh (đã học) Khi chứng minh ta không dùng lầm quan hệ mà giả thiết định lí không cho, điều chưa học đến hay sách không nói đến để làm cho chứng minh - Khi chứng minh thường vẽ thêm đường phụ giúp cho việc chứng minh thuận lợi và thường ghi vào đầu bài làm, đồng thời nêu rõ cách vẽ đường đó nào - Sau chứng minh điều gì rồi, mà có điều khác cần chứng minh tương tự thì có thể giảm bớt phần chứng minh điều sau, viết lại kết - Thường dùng các hệ thức thay cho lời nói trường hợp có thể chứng minh, làm cho bài chứng minh rõ ràng thêm Lời chứng minh cần đơn giản, gọn, đừng dài dòng không thiếu hay bỏ sót 1.4 Thực trạng dạy phân môn hình học 22 Trước tiến hành làm đề tài này chúng tôi đã tiến hành điều tra phương pháp dạy GV, phương pháp học HS phân môn Hình học các hình thức: dự tiết dạy GV; lấy ý kiến đồng nghiệp thực trạng dạy, học Hình học; thu thập thông tin quá trình giảng dạy; … Chúng tôi nhận thấy thực trạng dạy, học phân môn Hình học sau: 1.4.1 Phương pháp dạy học giáo viên và phương pháp học tập học sinh * Phương pháp dạy học giáo viên Trong quá trình giảng dạy phân môn Hình học, ta thấy hấp dẫn và tầm quan trọng Hình học là có liên quan nhiều đến nhiều lĩnh vực hoạt động người Nhất là bài tập mang tính thực tiễn như: đo đạc, xây dựng, … hình hình học và đo lường kỹ thuật là cần thiết để hoạch định công việc và mô tả kết Vì trước vận dụng các PPDH là hầu hết GV chúng ta điều nắm mục tiêu đề dạy học Nội dung chương trình toán THCS và vận dụng các PPDH theo hướng đổi Mặt khác GV chúng ta phải hiểu và nắm rõ tâm sinh lí HS lứa tuổi này để đạt kết cao việc truyền thụ tri thức cho HS Qua đó, thời gian giảng dạy trường đã phần nào nắm lực học toán HS Từ đây điều chỉnh PPDH cho phù hợp để đạt mục tiêu dạy học Trong thực PPDH thì GV điều đã nghiên cứu kỹ tài liệu, chuẩn bị nội dung dạy học thật tốt trước lên lớp truyền thụ kiến thức cho HS Đồng thời phải tìm tòi, định hướng, xác định các tình sư phạm có thể diễn tiết dạy Hệ thống chặt chẽ câu hỏi, chuẩn bị nội dung bài tập bản, điển hình để dẫn dắt HS lĩnh hội kiến thức Ngoài còn bổ sung thêm câu hỏi, bài tập mang tính thực tế nhiều để kích thích tính hứng thú học tập và rèn luyện thêm lực tư duy, suy nghĩ, sáng tạo Đồng thời phối hợp tốt các hình thức tổ chức dạy học trên lớp như: lên bảng giải, bài tập, thảo luận nhóm, … Bên cạnh đó cần động viên, biểu dương, khen ngợi em HS học tốt, kích thích HS 23 học yếu vươn lên Tạo không khí lớp học thêm sinh động, sôi Song song đó GV còn kết hợp thực tốt quy chế kiểm tra, đánh giá, chấm bài, xếp loại đúng kết học tập đối tượng HS Mặc dù đã có vận dụng PPDH theo hướng đổi chương trình, đặc điểm tình hình HS trường còn chưa đồng nhận thức học tập nên chưa thực PPDH theo hướng đổi cách có hiệu như: vấn đề thời gian hướng dẫn các em tự học, tự giải bài tập nhà, kiểm tra phần chuẩn bị HS cho tiết học mới, … Hơn nữa, cấu trúc bài học số bài học chương khá dài nên thời gian hướng dẫn bài tập cho các em còn hạn chế Từ đó phần nào ảnh hưởng đến việc học tập HS Do GV cần phải tìm biện pháp thật cụ thể, tối ưu để khắc phục tình trạng đó Vì vấn đề bồi dưỡng giải toán cho HS thật là cần thiết *Phương pháp học tập học sinh Trong thời gian giảng dạy và tìm hiểu nhiều phía HS, điều mà ta nhận thấy HS là Hình học là môn học khó, có tính trừu tượng cao Đối với HS khá giỏi thì việc tích cực độc lập học tập, biết tự phát vấn đề và giải vấn đề thể cao như: hứng thú các em học, say mê giải bài tập, lĩnh hội kiến thức cách nhanh chóng, biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập đơn giản, bồi dưỡng dần mức độ hiểu biết cao gợi ý GV các em phát huy tích cực Bên cạnh đó, còn không ít HS còn thụ động học tập, chưa thật quan tâm đến vấn đề đọc sách, theo dõi GV hướng dẫn, học cách trình bày lời giải bài tập mẫu GV, … chưa các em làm tốt Sự kết hợp các hoạt động như: Nghe nhìn, vẽ hình, ghi chép, đọc, phát biểu ý kiến, thảo luận, … chưa thực đạt kết dẫn đến không theo kịp các tiến trình hoạt động bài học trên lớp Thường thì em đó “nói chung” có ý thức học tập chưa cao, có thói quen trông chờ, ỷ lại Do đó đòi hỏi GV cần có nhiều kinh nghiệm, tác động tích cực, càng nhiều càng tốt, tác động nhiều đến các 24 đối tượng này học, nhằm giúp các em có phương pháp học tập tốt 1.4.2 Thực trạng dạy chứng minh hình học Qua thực tế giảng dạy nhiều năm qua, nhận thức môn Hình học thấy yêu cầu chứng minh hình học bậc THCS ta là tương đối cao phía HS Vì vậy, nhận thức đại đa số HS ta thấy các em còn gặp số khó khăn như: - Khi học các định nghĩa, khái niệm, định lí, … đôi học sinh còn học vẹt nên khả vận dụng kiến thức đã học vào chứng minh chưa linh hoạt - HS chưa tổng hợp loại bài tập và vận dụng kiến thức nào để giải cho dạng đó - Bài tập mẫu SGK còn ít, hướng dẫn và gợi ý chưa nhiều nên gây không ít khó khăn cho việc tiếp thu và nghiên cứu HS - Chưa xác định kiến thức và phương pháp chứng minh bài toán hình học - Khả hệ thống hay tóm tắt bài, chương, … để vận dụng kiến thức trọng tâm vào việc chứng minh bài toán chưa cao - Chưa nắm vững trình tự vẽ các yếu tố hình học theo yêu cầu bài toán và chưa liên tưởng việc vẽ thêm đường phụ cần thiết Từ khó khăn vậy, ta thấy việc tiếp thu điều gì hình học thì là hình thức nên HS ít hứng thú môn học này Đôi phải thừa nhận môn hình học đã phần nào gây không ít khó khăn cho HS Trong đó có nhiều nguyên nhân khác nhau, nguyên nhân chủ quan và nguyên nhân khách quan Một nguyên nhân đó là: - Do kiến thức từ các lớp dưới, khả nắm các phương pháp suy luận để giải bài toán chứng minh chưa tốt 25 - Chưa có cố gắng học tập, còn ỷ lại nhiều vào sách giải, bạn bè, … - Khả tiếp thu kiến thức và kỹ làm bài sau tiết học còn hạn chế - Do gia đình còn gặp khó khăn nhiều lĩnh vực đời sống nên có em chưa có nhiều thời gian cho việc học nhà và nghiên cứu - Các em chưa thấy ứng dụng Hình học vào thực tế đời sống, đôi số em còn ham thích lĩnh vực nào khác nên chưa yêu thích môn học này - Hình học là môn học khá trừu tượng đại đa số HS - SGK quá ngắn gọn, tâp trung vào suy luận và chứng minh, ít hình vẽ, ít tranh ảnh, mô hình vật lí các khái niệm và tính chất hình học Bởi thế, để việc dạy học Hình học ngày càng tốt hơn, khắc phục khó khăn cho HS thì GV cần giúp các em nghe giảng, luyện tập nhiều quá trình học, áp dụng không máy móc vào việc chứng minh hình học Do đó cần đặc biệt chú nhiều cho HS khâu thực hành kết hợp rèn luyện bước để nắm vững phương pháp giải bài tập và tư khái niệm (quan sát, thực nghiệm tìm tòi, dự đoán, …), cho HS luyện tập giải bài tập nhiều và tập cho HS lập luận có quá tình chứng minh bài toán hình học thì đó chính là điều cần thiết để học Hình học 26 CHƯƠNG CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH 2.1 Cơ sở khoa học các biện pháp 2.1.1 Cơ sở triết học Toán học là môn học có tính trừu tượng cao Nó có nguồn gốc từ thực tiễn và phục vụ lại cho nhu cầu thực tiễn Trong toán học luôn đảm bảo thống cụ thể và trừu tượng 2.1.2 Cơ sở tâm lý Lứa tuổi HS THCS là lứa tuổi có nhiều thay đổi đột ngột thể chất, tâm sinh lý Các em tự cho mình là người đã trưởng thành và thích làm việc giống người trưởng thành Ở giai đoạn này các em có thay đổi ghi nhớ, tư duy, chú ý, - Về ghi nhớ: HS đã biết tổ chức hoạt động tư duy, biết tiến hành các thao tác so sánh, hệ thống hóa, phân loại nhằm ghi nhớ tài liệu Kỹ nắm vững phương tiện ghi nhớ HS phát triển mức độ cao, các em bắt đầu sử dụng các phương tiện đặc biệt để ghi nhớ và nhớ lại Tốc độ ghi nhớ và khối lượng ghi nhớ tăng lên Ghi nhớ máy móc ngày càng nhường chỗ cho ghi nhớ logic, ghi nhớ ý nghĩa Các em thường phản đối các yêu cầu GV bắt học thuộc lòng câu, chữ và có khuynh hướng muốn tái lời nói mình - Về tư duy: + Tư nói chung và tư trừu tượng nói riêng phát triển mạnh Nhưng thành phần tư hình tượng - cụ thể tiếp tục phát triển, nó giữ vai trò quan trọng cấu trúc tư + Các em hiểu các dấu hiệu chất đối tượng không phải phân biệt dấu hiệu đó trường hợp Khi 27 nắm khái niệm các em có thu hẹp mở rộng khái niệm không đúng mức + Ở tuổi thiếu niên tính phê phán tư phát triển, các em biết lập luận giải vấn đề cách có Các em đã biết vận dụng lí luận vào thực tiễn, biết lấy điều quan sát được, kinh nghiệm riêng mình để minh họa kiến thức - Về chú ý: Ở lứa tuổi này khả chú ý HS phát triển Các em đã có chú ý so với lứa tuổi tiểu học Tuy nhiên khả chú ý các em chưa thể phát triển người đã trưởng thành Sẽ có lúc HS thiếu tập trung học tập Cùng với thay đổi thể chất, tâm sinh lý, trên, GV cần phải có phương pháp dạy học phù hợp nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo HS việc làm cụ thể sau: - Dạy học phương pháp ghi nhớ logic - Cần giải thích cho các em rõ cần thiết phải ghi nhớ chính xác định nghĩa, quy luật Ở đây phải rõ cho các em thấy, ghi nhớ thiếu từ nào đó thì ý nghĩa nó không chính xác - Chỉ cho các em, kiểm tra ghi nhớ phải tái biết hiệu ghi nhớ - Cần hướng dẫn cho HS vận dụng hai cách ghi nhớ máy móc và ghi nhớ ý nghĩa cách hợp lý - Phát triển tư trừu tượng cho các em để làm sở cho việc lĩnh hội khái niệm khoa học chương trình học tập - Chỉ dẫn cho các em biện pháp để rèn luyện kỹ suy nghĩ có phê phán độc lập - Tổ chức các hoạt động học tập hợp lý để tất các em tập trung hoạt động học tập nhằm thu hút chú ý các em 2.2 Nguyên tắc xây dựng các biện pháp - Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng và thực tiễn 28 - Nguyên tắc 2: Đảm bảo thống cụ thể và trừu tượng - Nguyên tắc 3: Đảm bảo thống tính đồng loạt và tính phân hóa - Nguyên tắc 4: Đảm bảo thống tính vừa sức và yêu cầu phát triển - Nguyên tắc 5: Đảm bảo tính thống hoạt động dạy học thầy và hoạt động trò 2.3 Các biện pháp 2.3.1 Biện pháp 1: Gợi động chứng minh cho học sinh 2.3.1.1 Cơ sở xác định biện pháp Mỗi người muốn làm việc gì cần có động cụ thể thì có kết tốt Phải tự đặt cho mình câu hỏi: Tại phải làm việc ấy? Làm việc nhằm mục đích gì? Có làm việc ta dốc sức toàn tâm, toàn ý mà làm Đối với việc dạy chứng minh định lí, bài toán việc hình thành động chứng minh cho HS có vai trò quan trọng Nó phát huy tính tự giác, tích cực học tập HS Ở bậc THCS bài toán chứng minh đầu tiên HS thường chưa thấy rõ cần thiết chứng minh mệnh đề toán học Dần dần HS quen với yêu cầu chứng minh, không phải tất các em hiểu rõ cách chính xác lý việc làm này, nhiều người không hết băn khoăn phải tốn công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ hiển nhiên qua nhiều lần thực hành Để khắc phục tình hình này cần vận dụng hội khác để gợi động cho hoạt động chứng minh định lí 2.3.1.2 Nội dung biện pháp Để gợi động chứng minh định lí, bài toán cho HS thì GV có thể làm sau: - Cần cho HS thấy điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật là hình vẽ Nếu ta chịu khó thử thì là số hữu hạn hình vẽ 29 - GV cần cho HS hiểu kết luận rút từ thực hành (đo góc, đo độ dài, ) là kết luận rút từ số hữu hạn lần thực hành và chưa nó đúng trường hợp - Vấn đề đặt đây là mệnh đề tổng quát gọi là đúng thì phải đúng cho trường hợp Do đó ta không thể quan sát thực hành trực tiếp trên vô số trường hợp mà phải chứng minh nó đúng cho trường hợp 2.3.1.3 Yêu cầu biện pháp HS cần biết: - Quan sát trên hình vẽ hay thực hành để rút nhận xét thì chưa chắn đó là nhận xét đúng - Một mệnh đề toán học gọi là đúng thì phải đúng với trường hợp - Để chứng minh định lí thì ta phải chứng minh cách tổng quát, chứng minh nó đúng cho trường hợp - Chứng minh định lí giúp các em nhớ kỹ nội dung định lí và là sở để các em hình thành kỹ chứng minh bài toán sau này 2.3.1.4 Ví dụ Chứng minh định lí: "Trong hình thang cân thì hai cạnh bên nhau" * Nhận xét: Để gợi động chứng minh cho HS thì GV có thể làm theo cách sau: - Yêu cầu HS vẽ hình thang cân A B D C Hình 2.1 + Đo độ dài hai cạnh bên và so sánh chúng + Rút nhận xét gì hai cạnh bên hình thang cân 30 - HS thực hành vẽ hình thang cân và đo độ dài hai cạnh bên, rút nhận xét: Hai cạnh bên hình thang cân - GV khẳng định: Chúng ta vừa thực hành và rút nhận xét: Trong hình thang cân hai cạnh bên Nhưng khẳng định này chưa đúng vì ta thực hành số hình vẽ Khẳng định trên gọi là đúng nó đúng cho trường hợp Tức là hình thang cân có hai cạnh bên Vậy ta phải tìm cách chứng minh khẳng định trên thì có tính thuyết phục GTABCD là hình thang cân KLAD = BC * Lời giải: Ta xét hai trường hợp: + Trường hợp 1: AD và BC cắt O (giả sử AB < CD)   ; D  =C Vì ABCD là hình thang nên: A = B 1:  ODC cân O O  OD = OC (1) A  nên A = B  Ta có: A = B 2  OAB cân O B D C  OA = OB (2) Hình 2.2 Từ (1) và (2)  OD − OA = OC − OB Hay AD = BC + Trường hợp 2: AD//BC Kẻ đường chéo BD Xét hai tam giác ABD và CBD có: A B D C BD là cạnh chung  ABD = CDB (vì AB//DC) ADC CBD  = (vì AD//BC) Hình 2.3 31 Do đó ABD = CDB (g-c-g)  AD = BC 2.3.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ đọc hiểu và vẽ hình định lí, bài toán 2.3.2.1.Cơ sở các biện pháp - Tìm hiểu nội dung bài toán quan trọng Để giải bài toán trước hết phải hiểu đề bài, đồng thời còn phải hứng thú bài toán đó Vì người GV còn chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò hứng thú HS và giúp các em hiểu bài toán phải giải Phải tìm hiểu bài toán cách tổng thể để bước đầu tìm hiểu bài toán tránh vội vàng vào chi tiết Phải biết bài toán cái gì đã cho, cái gì chưa biết? Có mối liên hệ nào cái phải tìm và cái đã cho? Trong quá trình tìm hiểu bài toán nên sử dụng lời khuyên có ích nhà giáo tiếng “Hãy thay cái định nghĩa cái định nghĩa” Chẳng hạn bài toán cho ta tam giác ABC cân   A thì điều đó có nghĩa là AB = AC A C AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung trực, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC Trong tất hiểu biết ta lựa thông tin có ích, tức là thông tin gần gũi với KL giúp ta đường ngắn từ GT đến KL Biểu đầu tiên việc hiểu rõ bài toán là tóm tắt đầu bài thông qua việc viết đúng GT, KL Biểu thứ hai việc hiểu rõ đầu bài là biết vẽ hình đúng chính xác - Đối với bài toán hình học thì việc vẽ hình đặc biệt quan trọng Nói chung muốn chứng minh bài toán hình học thì cần phải có hình vẽ Hình vẽ giúp HS hiểu rõ bài toán hơn, các em dễ tìm thấy mối liên hệ cái đã cho và cái phải tìm Những bài toán cho lời văn, vấn đề quan trọng trước hết là hình vẽ, hình vẽ phải chính xác, có tính chất tổng quát và dễ hình dung theo yêu cầu đề bài Vẽ hình đúng theo yêu cầu đề bài đòi hỏi phải hiểu đúng đề bài và nắm vững khái niệm liên quan Vẽ hình sai thì không nói đến việc giải bài toán đã cho Nếu HS rèn luyện tốt kỹ vẽ hình thì đó là thuận lợi ban đầu quan trọng để giải bài toán 32 2.3.2.2 Nội dung biện pháp Để rèn luyện kỹ đọc hiểu và vẽ hình định lí, bài toán hình học GV cần lưu ý HS điểm sau: - Yêu cầu HS trước giải bài toán phải đọc đi, đọc lại nhiều lần để biết nội dung bài toán Biết đề bài đã cho cái gì? Ta cần chứng minh cái gì? - GV phải rèn luyện cho HS các kỹ vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông, vẽ không dùng dụng cụ (chỉ dùng viết), vẽ hình dùng dụng cụ (thước thẳng, êke, compa, …) + Trên giấy kẻ ô vuông GV có thể cho HS thực hành vẽ đường thẳng qua hai đỉnh ô vuông, góc có đỉnh đỉnh ô vuông, đa giác có các đỉnh đỉnh ô vuông, vẽ góc (vuông, nhọn, tù), vẽ hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, vẽ tam giác (vuông, cân, đều), vẽ tứ giác có hai đường chéo vuông góc, vẽ hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, … Thực hành trên giúp HS vận dụng, củng cố khái niệm tính chất các hình + Cùng với việc vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông GV cần rèn luyện cho HS kỹ vẽ hình không dùng dụng cụ để các em có hình vẽ bài toán cách nhanh chóng Bởi vì có bài toán các em không vẽ phác trước đến thực vẽ trên bài làm (đòi hỏi chính xác) thì các em gặp khó khăn Để vẽ phác hình tương đối chính xác các em phải biết ước lượng: độ dài đoạn thẳng, số đo góc, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, … GV có thể rèn luyện cho HS vẽ phác đoạn thẳng có độ dài cho trước, vẽ trung điểm đoạn thẳng có độ dài cho trước, vẽ góc có số đo cho trước và vẽ tia phân giác góc đó, vẽ hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, vẽ tam giác xác định trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, … để các em hình thành kỹ vẽ phác hình bài toán 33 + Bên cạnh hai kỹ trên thì vẽ hình dụng cụ (thước thẳng, compa, êke, …) lại càng quan trọng Trong bài toán hình học, có hình vẽ chính xác góp phần giúp HS thấy mối liên hệ cái đã cho và cái cần tìm, các em có thể thấy hướng giải bài toán từ hình vẽ Hơn nữa, trình bày lời giải bài toán hình học cần có hình vẽ chính xác Để có hình vẽ có độ chính xác cao thì HS cần sử dụng dụng cụ để vẽ Do đó GV cần rèn luyện cho HS kỹ vẽ hình dụng cụ, kỹ này cần rèn luyện thường xuyên và có tính chất lâu dài Trong quá trình dạy GV có thể rèn luyện cho HS dùng dụng cụ để vẽ các hình tương tự phần vẽ phác 2.3.2.3 Yêu cầu biện pháp - HS cần phải tích cực thực yêu cầu GV việc làm cụ thể sau: + Phải đọc kỹ đề bài lượt, phải hiểu rõ các định nghĩa, tất các danh từ bài nhằm hoàn toàn hiểu ý bài toán đó + Phân biệt cho GT, KL bài toán sau đó dựa vào điều đã cho GT, KL để vẽ hình; dùng chữ để ký hiệu đường, điểm, các giao điểm, … + Dựa vào bài toán và ký hiệu hình vẽ để viết GT và KL, thay danh từ toán học bài các ký hiệu + Kỹ vẽ hình phải rèn luyện thường xuyên và lâu dài - Khi vẽ hình cần lưu ý: + Hình vẽ phải mang tính chất tổng quát không nên vẽ hình trường hợp đặc biệt + Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn thấy quan hệ và tính chất hình học + Hình vẽ cần giữ đúng điều kiện mà giả thiết cho, không nên bỏ sót điều gì 34 - Khi bắt đầu học hình học thì cần vẽ hình dụng cụ, tập vẽ phác Cần phải vẽ phác hình vẽ trước vẽ hình chính xác - Khi làm bài cần phải dùng dụng cụ để có hình vẽ chính xác - Khi ký hiệu hình vẽ phải có nội dung dễ nhớ, các ký hiệu (dùng chữ) phải tuân theo thứ tự đề bài, tránh lẫn lộn - Đa số các bài toán hình học thì hình vẽ vẽ bước theo thứ tự đề bài cho Tuy nhiên có bài toán ta thực các bước vẽ không tuân theo thứ tự (những yếu tố cho trước vẽ sau) thì việc vẽ hình trở nên đơn giản Do đó cần phân biệt đường nào cần vẽ trước, đường nào cần vẽ sau 2.3.2.4 Ví dụ Để minh họa cho các khẳng định trên ta xét các ví dụ sau:  Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BAC 600 Dựng phía ngoài tam giác ABC hai tam giác ABD và ACE Lấy AD, AE làm hai cạnh dựng hình bình hành ADFE Chứng minh FBC là tam giác * Nhận xét: - Trước tiên HS cần phải đọc kỹ đề bài, nắm các khái niệm (tam giác, tam giác đều, hai đường thẳng song song, hình bình hành và cách vẽ), xác định GT và KL - Hình vẽ phải mang tính chất tổng quát, không nên vẽ tam giác ABC có dạng đặc biệt (cân, hay vuông) - Đối với bài toán này HS có thể thực các bước vẽ theo thứ tự bài toán cho - Từ kiện đề bài ta có GT, KL và trình tự cách vẽ hình bài toán sau: GT có 600 và là tam giác ADFE là hình bình hành KL là tam giác Dữ kiện bài toán Các bước vẽ 35  1) Cho tam giác ABC có BAC 600  1) Vẽ tam giác ABC có BAC 600 và không vẽ tam giác ABC là tam giác cân, tam giác hay tam giác 2) Phía ngoài tam giác ABC có tam vuông 2) Vẽ cung tròn tâm A và cung tròn giác ABD tâm B có cùng bán kính AB Hai cung tròn cắt D và D nằm khác phía với C so với đường thẳng AB Nối D và A, D và B ta có tam 3) Phía ngoài tam giác ABC có tam giác ABD 3) Tam giác ACE dựng tương tự tam giác ACE 4) Lấy AD, AE làm hai cạnh dựng giác ABD 4) Qua E vẽ đường thẳng d1 song hình bình hành ADFE song với AD, qua D vẽ đường thẳng d song song với AE, d1 và d cắt F Ta có hình bình hành ADFE cần vẽ F E Hình vẽ: D A C B Hình 2.4 Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông * Nhận xét: 36 - HS cần đọc kỹ đề bài, xác định GT và KL, đồng thời phải hiểu kiện đề bài cho (khái niệm tứ giác, đường chéo tứ giác, …) GTTứ giác ABCD, AC BD và AC = BD M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA KLTứ giác MNPQ là hình vuông - Để vẽ hình bài toán này các em vẽ tứ giác ABCD trước và vẽ AC, BD sau thì việc vẽ hình gặp khó khăn vẽ AC  BD và AC = BD Thậm chí có không vẽ hình Do để việc vẽ hình dễ dàng thì ta thực trình tự và cách vẽ sau: Dữ kiện bài toán Cách vẽ 1) Tứ giác ABCD có hai đường chéo 1) + Vẽ hai đoạn thẳng AC và BD vuông góc và cho AC  BD và AC = BD + Nối A với B, B với C, C với D và D với A ta có tứ giác ABCD cần vẽ 2) M, N, P, Q là trung điểm 2) Vẽ các trung điểm M, N, P, Q của AB, BC, CD, DA Hình vẽ: các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA B N M A C Q P D Hình 2.5 2.3.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ 37 2.3.3.1 Cơ sở xác định biện pháp Theo tâm lý học, kết tư thể phán đoán Nhờ phán đoán người ta phát cái Nếu ta nhìn lại quá trình hình thành toán học ta thấy dãy các dự đoán Nếu không có dự đoán thì không có chứng minh vì dự đoán cho ta điều mà ta muốn chứng minh Hơn nữa, mục đích dạy học là giúp cho HS tự xây dựng kiến thức học tập và xa là đào tạo người biết phát vấn đề thực tiễn hoạt động mình Việc dạy học phải tiến tới phản ánh mức độ nào đó quá trình hình thành các khái niệm không đơn trình bày lại chúng chúng đã hoàn chỉnh Qua nội dung nói trên ta thấy dạy toán chứng minh định lí, bài toán hình học thì kỹ dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ là cần thiết Các em có thể dựa vào hình vẽ rút dự đoán mối liên hệ cái đã cho và cái cần tìm cách trực tiếp thông qua đối tượng khác Khi các em có dự đoán đúng thì dự đoán có thể là nội dung định lí dự đoán vạch đường cho HS chứng minh bài toán Song GV phải rèn luyện kỹ tưởng tượng dựa vào hình vẽ cho HS Hình vẽ là cái cụ thể, dựa vào cái cụ thể để thấy chất cái trừu tượng Điều này giúp HS tránh sai lầm nghiên cứu đối tượng có hình dạng thay đổi tính chất không thay đổi Cụ thể, HS học "Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh nhau" Theo định nghĩa này ta thấy định nghĩa hình thoi là định nghĩa trừu tượng, ta không thể vẽ tất các hình thoi mà vẽ số hữu hạn hình thoi Để hiểu định nghĩa trên thì HS cần dựa vào hình cụ thể tưởng tượng chất hình thoi "là tứ giác" và "có bốn cạnh nhau" 2.3.3.2 Nội dung biện pháp - Để dạy cho HS biết dự đoán, cần tập luyện cho HS các phương tiện dự đoán, đó là các thao tác tư (phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, …) 38 - GV cần khai thác nội dung SGK, tận dụng các hội thích hợp để dạy dự đoán định lí trước chứng minh nó Và trước chứng minh hãy tiến hành dạy HS tìm đường lối chứng minh - Trong việc dạy học giải bài tập chú trọng sưu tầm các bài toán thuộc loại tìm tòi - Trong việc dạy học định lí chú trọng kỹ quan sát hình vẽ vì HS có thể dựa vào hình vẽ để rút dự đoán - Để rèn luyện kỹ tưởng tượng cho HS thì GV nên tận dụng hội giúp HS thấy tính chất tổng quát đối tượng nghiên cứu Những đối tượng đó chính là đối tượng có hình dạng thay đổi 2.3.3.3 Yêu cầu biện pháp Để rèn luyện kỹ trên vào giải toán HS cần: - Đọc kỹ đề, hiểu chất khái niệm mà đề bài cho - Vẽ hình bài toán thật chính xác và tổng quát - Tập trung quan sát vẽ hình nhiều góc độ để thấy mối liên hệ cái đã cho và cái phải tìm cách trực tiếp trên hình thông qua đối tượng khác - Cần tập trung tìm các dấu hiệu chất, loại bỏ dấu hiệu ngẫu nhiên không chất - Thực vẽ hình bước bài toán có nhiều phần nhằm hạn chế phân tán HS quan sát hình vẽ 2.3.3.4 Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AD a) Tứ giác DBCE là hình gì? Vì sao? b) Các điểm D, E vị trí nào thì BD = DE = EC? A * Nhận xét: - GV có thể yêu cầu HS vẽ hình và viết GT,KL: D B E C 39 GT cân A, DAB, EAC, AE = AD KLa) Tứ giác DBCE là hình gì? Vì sao? b) Các điểm D, E vị trí nào thì BD = DE = EC? Hình 2.6 - Đối với câu a), hình vẽ này quan sát, HS dự đoán DE//BC HS nhận tứ giác DBCE có DE//BC thì tứ giác DBCE là hình thang   Theo đề bài ta có tam giác ABC cân A nên B C Với yếu tố trên HS có thể dự đoán tứ giác DBCE là hình thang cân và tìm cách chứng minh dự đoán này  Bằng trực quan HS có thể dự đoán BDE và         CED Nếu BDE = CED thì BDE + CED + DBC + ECD = 2( BDE +      DBC ) = 3600 tức là BDE + DBC = 1800 Theo hình vẽ thì BDE và DBC là cặp góc cùng phía, nên: DE//BC - Đối với câu b), các em phải tìm vị trí điểm D, E cho BD = DE = EC Ở đây các em thấy thỏa BD = DE = EC thì tam giác DBE và tam giác EDC phải là hai tam giác cân Do đó các em vẽ hình vẽ sau: A D E 1 B 2 Hình 2.7 C 40 - Sau vẽ hình các em có thể thấy tam giác DBE cân thì     DBE DEB và theo GT trên ta lại có DE//BC, tức là DEB EBC Từ đó các   em có thể thấy DBE EBC hay BE là tia phân giác góc ABC Tương tự thì CD là tia phân giác góc ACB - Đối vói hình vẽ này HS đã tưởng tượng dấu hiệu chất   DEB chỗ: Tam giác DBE có kích thước thay đổi DBE là không thay đổi, … - Để rèn luyện kỹ dự đoán, tưởng tượng cho HS, GV có thể cho các em làm bài tập tương tự trên HS dựa vào hình vẽ rút dự đoán (trong đó có tưởng tượng) đối tượng mà các em nghiên cứu và tìm cách chứng minh * Lời giải: a) Theo đề bài ta có: AD = AE  ADE cân A  ADE AED (góc đáy tam giác cân)   DEC  EDB (1) (kề bù với hai góc nhau) Theo đề bài ta lại có ABC cân A, nên: ABC ACB   hay DBC ECB (2)     Mà BDE + CED + DBC + ECB = 3600 (3) (tổng các góc tứ giác)   Từ (1), (2) và (3)  2( BDE + DBC ) = 3600    BDE + DBC = 1800   Ta lại có: BDE và DBC là cặp góc cùng phía  DE//BC (4) Từ (2) và (4)  Tứ giác DBCE là hình thang cân  = B  b) Ta có DE//BC  E 41   Ta thấy BD = DE  B = E     B = B (vì E = B 2)   Tương tự ta DE = EC  C = C Vậy BE, CD là các đường phân giác tam giác ABC thì BD = DE = EC Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là các trung điểm AB, AC, DC, BD Tìm điều kiện để tứ giác EFGH là: a) Hình chữ nhật; b) Hình thoi; c) Hình vuông * Nhận xét: - Đối với bài toán này HS có thể vẽ hình và viết GT, KL sau: GT Tứ giác ABCD EA = EB, GC = GD HB = HD, FA = FC KL Tìm điều kiện để: Tứ giác EFGH là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông A E F H D B G C Hình 2.8 - Dựa vào hình vẽ HS có thể dự đoán tứ giác EFGH là hình bình hành và tìm cách chứng minh Bằng quan sát các em nhận thấy EF là đường trung bình tam giác ABC; GH là đường trung bình tam giác DBC - Bằng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông các em có thể tưởng tượng tìm điều kiện để hình bình hành EFGH là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông * Lời giải: Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành: Ta có: EF là đường trung bình tam giác ABC 42 Nên EF = BC và EF//BC (1) GH là đường trung bình tam giác DBC Nên GH = BC và GH//BC (2) Từ (1) và (2)  EF = GH và EF//GH Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (3) a) Từ (3) ta có: EFGH là hình chữ nhật  EH  EF  AD  BC Vậy AD  BC thì tứ giác EFGH là hình chữ nhật A E B F H C G D Hình 2.9 b) Từ (3) ta có: EFGH là hình thoi  EH = EF  AD = BC Vậy AD = BC thì tứ giác EFGH là hình thoi H D B E A F G C Hình 2.10 c) Từ (3) ta có: EFGH là hình vuông  EH  EF và EH = EF  AD  BC và AD = BC Vậy AD  BC và AD = BC thì tứ giác EFGH là hình vuông 43 A B E H D F C G Hình 2.11 2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ vận dụng các kiến thức đã biết để giải bài toán 2.3.4.1 Cơ sở xác định biện pháp Để giải vấn đề đòi hỏi người cần phải có kiến thức Đối với việc giải toán vậy, muốn giải bài toán, đặc biệt là các bài toán chứng minh hình học thì điều quan trọng là HS phải nắm vững các kiến thức các khái niệm, định lí, định nghĩa, tính chất liên quan đến bài toán Bên cạnh đó HS còn phải có kỹ vận dụng kiến thức này để giải bài toán Khi dạy HS chứng minh bài toán hình học, GV cung cấp các kiến thức cho HS thì các em khó giải bài toán vì các em không biết vận dụng các kiến thức này nào Chính vì việc rèn luyện cho HS kỹ vận dụng các kiến thức đã biết để giải bài toán là việc làm quan trọng người GV toán 2.3.4.2 Nội dung biện pháp Trước tiên GV cần cung cấp kiến thức cho HS Trong chương Tứ giác thì các kiến thức gồm: Định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, định lí tổng các góc tứ giác Định nghĩa hình thang, hình thang vuông Định nghĩa hình thang cân và các tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang cân Định lí, định nghĩa đường trung bình tam giác, hình thang Định nghĩa hai điểm đối xứng, hai hình đối xứng Định nghĩa hình bình hành, tính chất, dấu hiệu nhận biết 44 Định nghĩa hình chữ nhật, tính chất, dấu hiệu nhận biết Định nghĩa hình thoi, tính chất, dấu hiệu nhận biết Định nghĩa hình vuông, tính chất, dấu hiệu nhận biết Sau GV cung cấp cho HS kiến thức thì GV phải hướng dẫn HS áp dụng các kiến thức để giải toán Khi đọc bài toán ta cần xác định xem bài toán đã cho liên quan đến kiến thức nào Không phải bài toán nào sử dụng tất cảc các kiến thức liên quan đến nó, mà bài toán sử dụng số kiến thức định Do đó HS cần phải biết vận dụng linh hoạt, khéo léo các kiến thức để giải bài toán Bên cạnh rèn luyện kỹ vận dụng tri thức giải toán, GV cần rèn luyện cho HS kỹ vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác và kỹ vận dụng tri thức toán học vào đời sống 2.3.4.3 Yêu cầu biện pháp - HS cần nắm vững các kiến thức mà GV truyền đạt - HS cần kiên trì luyện tập các thao tác nhận dạng và thể sau học xong định nghĩa, khái niệm, định lí "Nhận dạng khái niệm là phát xem đối tượng cho trước có các đặc trưng khái niệm đó không Thể khái niệm là tạo đối tượng có các đặc trưng khái niệm đó Nhận dạng định lí là phát xem tình cho trước có ăn khớp với định lí đó không Thể định lí là xây dựng tình ăn khớp với định lí đó." (theo [4]) - HS cần rèn luyện thực hành giải nhiều bài toán vì kỹ là thuộc phạm vi hành động, thuộc khả biết làm 2.3.4.4 Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm AB, AC và BC Chứng minh tứ giác DEMH là hình thang cân GT A , AH BC D, E, M là trung điểm AB, AC, BC KL E D Tứ giác DEMH là hình thang cân B C H M 45 * Lời giải: Ta có ED là đường trung bình ABC Hình 2.12  ED  BC và ED//BC  ED//MH  Tứ giác EDMH là hình thang Xét tam giác vuông AHC có: HE là đường trung tuyến  HE  AC (1) DM  AC Mặt khác ta có: (tính chất đường trung bình) (2) Từ (1) và (2)  HE = DM  Hình thang EDMH là hình thang cân vì có hai cạnh bên * Nhận xét: Để giải bài toán trên HS cần nắm vững các kiến thức:định nghĩa đường cao tam giác, trung điểm đoạn thẳng, định nghĩa hình thang, dấu hiệu nhận biết hình thang cân, đường trung bình tam giác, tính chất trung tuyến tam giác vuông Tuy nhiên không phải vận dụng tất các kiến thức trên để giải bài toán vừa nêu mà GV cần hướng dẫn HS vận dụng linh hoạt, xét xem các kiến thức liên quan nào giúp cho việc giải bài toán nhanh chóng, ngắn gọn và chính xác Chẳng hạn, để chứng minh tứ giác EDMH là hình thang cân có nhiều dấu hiệu để nhận biết hình thang là hình thang cân, nhiên bài toán trên để dễ dàng tìm lời giải ta nên sử dụngE dấu hiệu hình thang có hai cạnh bên thay vì dùng dấu hiệu hình thang có hai góc đáy Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCDF có A = α >A900 Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác ADF, ABE B D C 46 a) Tính góc EAF; b) Chứng minh tam giác CEF là tam giác GT ABCD là hình bình hành, = α > 900 ADF, ABE là tam giác KLa) Tính b) Tam giác CEF là tam giác * Lời giải: Ta có:  FAD = 600 ( vì FAD là tam giác đều) Hình 2.13  EAB = 600 ( vì EBA là tam giác đều)    EAF = 3600 – FAD – EAB –α = 3600 – 600 – 600 – α = 2400 – α  Ta có : FAD = 600 ( vì FAD là tam giác đều) ADC = 1800 – α ( hai góc cùng phía, AB//CD)     FDC = FDA + ADC = 600 + 1800 – α = 2400 – α    EAF = FDC Xét tam giác AEF và tam giác DCF có: FD = FA ( vì FAD là tam giác ) DC = AE ( DC = AB mà AB = AE )   EAF = FDC (chứng minh trên) Vậy AEF = DCF (c-g-c)  EF = FC Chứng minh tương tự ta được: BEC = DCF (c-g-c)  EC = FC Xét CEF có: CF = EF = EC nên CEF là tam giác 47 * Nhận xét: Để giải bài toán trên HS cần nắm vững các kiến thức: - Định nghĩa hình bình hành, tính chất - Định nghĩa tam giác đều, tính chất - Các trường hợp tam giác 2.3.5 Biện pháp 5: Rèn luyện khả phân tích, tổng hợp vào giải toán chứng minh 2.3.5.1 Cơ sở xác định biện pháp - Việc học toán, làm toán thì phân tích và tổng hợp luôn gắn liền với nhau, hỗ trợ cho Việc giải bài toán chứng minh không phải đơn giản HS, có bài toán đòi hỏi tính trừu tượng cao không phải lúc nào HS nhìn vào là tìm hướng giải, các yếu tố đề bài cho có thể làm HS bị rối lên Các em có tư tưởng: Tại lại cho nhiều vậy? Cho nhiều điều kiện khó lắm? dẫn đến HS định hướng, không giải Muốn giải toán chứng minh các em cần phải có khả phân tích, tổng hợp cái đề bài cho, cái cần tìm Các em phải biết cái đã cho suy điều gì? Cái cần tìm muốn có cần điều kiện nào? Điều này giúp các em tìm mối liên kết cái đã cho và cái phải tìm để tìm hướng giải Bên cạnh đó, phân tích và tổng hợp còn rèn luyện cho HS đức tính cần cù, siêng năng, tìm tòi lời giải học toán Đặc biệt nó còn hỗ trợ cho các em tìm nhiều cách giải bài toán 2.3.5.2 Nội dung biện pháp Để rèn luyện khả phân tích, tổng hợp GV có thể hướng dẫn HS: - Phải đọc kỹ đề toán nhiều lần để xác định cái đề cho, cái phải suy từ đó vẽ hình và tóm tắt bài toán GT, KL - Phải biết cái đề bài cho ta suy điều gì? Những điều ta suy có liên kết nào với điều phải chứng minh Để suy luận diễn thuận lợi các em phải quan sát hình vẽ, không bỏ 48 sót chi tiết nào đề bài cho Từ đó tổng hợp điều suy từ cái đã cho để chứng minh bài toán Cụ thể GV có thể hướng dẫn HS theo sơ đồ sau: A  A1  A2  …  An  X Trong đó A là cái đã biết, X là cái cần tìm (hoặc điều phải chứng minh), A  A1 nghĩa là có A thì có A1 - Những bài toán dạng chứng minh hình học thường là bài toán suy luận ngược Do đó HS cần tập trung vào cái phải tìm (cái cần chứng minh) Phải biết muốn có cái cần tìm phải có điều kiện nào? Trong điều kiện đó điều kiện nào đề toán đã cho và điều kiện nào cần phải chứng minh Muốn chứng minh phải có điều kiện nào? Quá trình suy ngược lặp lại giống trên và lưu ý phải loại bỏ điều kiện không xảy Cụ thể ta có sơ đồ phân tích: X  An  …  A2  A1  A Trong đó X là cái cần tìm (chứng minh), A là cái đã biết, X  An nghĩa là có X có An 2.3.5.3 Yêu cầu biện pháp - HS phải đọc đề bài thật kỹ và ghi GT, KL bài toán - HS thực phân tích tổng hợp theo hướng dẫn GV - HS cần có kiên trì rèn luyện kỹ phân tích, tổng hợp bài toán để giải 2.3.5.4 Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy E và K cho BE = DK a) Chứng minh tứ giác AKCE là hình bình hành; b) Hình bình hành ABCD có điều kiện gì để AKCE là hình thoi; c) Gọi M là giao điểm AK và CD Xác định vị trí điểm K để M là trung điểm CD * GV yêu cầu HS đọc kỹ đề toán sau đó vẽ hình và viết GT, KL GTABCD là hình bình hành BE = DK M = AKDC KLa) AKCE là hình bình hành b) Tìm điều kiện để AKCE là hình thoi c) Tìm vị trí K để M là trung điểm CD 49 B A E O K D M C Hình 2.14 * Nhận xét: Đối với bài toán này suy luận theo chiều thuận (phương pháp tổng hợp) gặp nhiều khó khăn chí không tìm hướng giải Do đó, GV có thể hướng dẫn HS phân tích bài toán theo hướng sau: Gọi O là giao điểm AC và BD a) Để tứ giác AKCE là hình bình hành ta cần điều kiện sau: OK = OE và OA = OC (1) AK = EC và AK//EC (2) AE = KC và AE//KC (3) AK = EC và AE = KC (4) AK//EC và AE//KC (5) - Muốn chứng minh (1) ta cần chứng minh OK = OE Do BE = DK và OB = OD nên dễ dàng có được: OK = OE - Muốn chứng minh (2) ta cần có: ADK CBE Để chứng minh ADK CBE ta cần xét các trường hợp: Cạnh - cạnh - cạnh (loại); cạnh góc - cạnh; góc - cạnh - góc (loại) Dễ dàng thấy AD = BC, ADK =  CBE , DK = EB nên ADK CBE (c-g-c) 50 - Tương tự, muốn chứng minh (3) ta cần chứng minh ABE CDK (c-g-c) - Muốn chứng minh (4) và (5) ta cần chứng minh ADK CBE và ABE CDK b) Muốn chứng minh AKCE là hình thoi ta cần chứng minh điều kiện sau: KE  AC  BD  AC (i) AK = AE (ii) - Muốn chứng minh (i) ABCD là hình thoi - Muốn chứng minh (ii) AKO AEO Muốn có AKO AEO AOK  AOE = 900  KE  AC  BD  AC  ABCD là hình thoi c) Để M là trung điểm CD thì M phải thỏa các điều kiện sau: MC = MD (*) MC = DC (**) (loại vì phức tạp) - Để có (*) thì AM là đường trung tuyến ADC Để M là đường trung tuyến ADC thì K phải là trọng tâm ADC K là trọng tâm ADC DK = OD = BD GV có thể hướng dẫn HS phân tích bài toán theo sơ đồ sau: a) Tứ giác ABCD là hình bình hành và DK = BE  DK = BE; OD = OB và OA = OC  OK = OE và OA = OC  Tứ giác AKCE là hình bình hành 51 b) ABCD là hình thoi  BD  AC  KE  AC  AKCE là hình thoi c) DK = OD = BD  K là trọng tâm ADC  AM là đường trung tuyến ADC  MD = MC  M là trung điểm ADC * Lời giải: a) Gọi O là giao điểm AC và BD Theo đề bài, tứ giác ABCD là hình bình hành nên OA = OC và OB = OD Mà DK = BE  OK = OE Do đó tứ giác AKCE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) b) Hình bình hành AKCE là hình thoi  KE  AC  BD  AC  ABCD là hình thoi Vậy ABCD là hình thoi thì AKCE là hình thoi c) M là trung điểm DC  AM là đường trung tuyến ADC 52  K là trọng tâm ADC (vì OD là đường trung tuyến ADC )  DK = OD  DK = BD Vậy K là điểm trên BD cho DK = BD thì M là trung điểm DC 2.3.6 Biện pháp 6: Chú trọng câu hỏi gợi ý giúp HS tìm hướng giải bài toán chứng minh 2.3.6.1 Cơ sở xác định biện pháp Đối với PPDH nay, HS là trung tâm, là chủ thể quá trình học tập, GV giữ vai trò là người hướng dẫn, vạch đường cho HS tự phát và chiếm lĩnh tri thức Trong quá trình giảng dạy khái niệm, định nghĩa hay chứng minh bài toán hình học có nhiều tình xảy ra: HS có thể tự đọc tài liệu chiếm lĩnh tri thức, HS hiểu phần, HS không hiểu, … Tình đặt đây là HS bế tắc trước bài toán chứng minh hình học Lúc này vai trò người thầy quan trọng, GV có thể hướng dẫn HS chứng minh bài toán nhiều hình thức khác việc GV đặt câu hỏi gợi ý là điều không thể thiếu quá trình hướng dẫn Hơn nữa, GV gợi ý hệ thống câu hỏi thì việc giải vấn đề bế tắc HS sáng sủa hơn, các em tìm hướng giải bài toán thông qua việc trả lời các câu hỏi gợi ý GV Bên cạnh đó, câu hỏi gợi ý GV còn có tác dụng tập trung chú ý HS, kích thích các em tư quá trình học Tuy nhiên hệ thống câu hỏi gợi ý GV phải nào để kích thích suy nghĩ HS, HS tìm hướng giải sau trả lời là vấn đề không đơn giản 2.3.6.2 Nội dung biện pháp Các câu hỏi gợi ý GV có thể là câu hỏi có nội dung sau: - Câu hỏi mang tính đại trà, câu hỏi đặt cho lớp suy nghĩ nhằm tập trung chú ý HS đồng thời kích thích tư cho các em 53 - Câu hỏi đặt có mức độ từ đơn giản đến phức tạp - Câu hỏi phải có từ ngữ rõ ràng, chính xác, dễ hiểu - Câu hỏi đặt phải có liên quan đến kiến thức trước mà HS đã biết - Câu hỏi cần phù hợp với đối tượng HS (HS trung bình, yếu đặt câu hỏi mức độ thấp; HS khá giỏi đặt câu hỏi mức độ cao), GV không nên nhắm vào vài HS mà đặt câu hỏi - Hạn chế đặt câu hỏi có dạng: Có hay không? Phải hay không? Vì đôi HS trả lời theo cảm tính mà không suy nghĩ - Khi HS bế tắc việc giải toán, GV cần linh hoạt gợi ý HS hệ thống câu hỏi có nội dung trên GV nên đặt câu hỏi gợi ý HS không tìm hướng giải bài toán, tránh trường hợp bài toán nào GV gợi ý Vì làm HS ỷ lại, dựa dẫm vào GV mà không tích cực suy nghĩ để tìm tòi hướng giải Ngoài ra, GV cần phải biết khéo léo các tình lên lớp: khen ngợi HS tìm hướng giải bài toán khó, HS trả lời đúng câu hỏi GV; động viên HS trả lời sai mặc dù các em cố gắng; … GV cần phải biết đặt câu hỏi gợi ý phù hợp với bài toán, có bài toán GV đặt câu hỏi gợi ý GT, nhiên có bài toán GV phải đặt câu hỏi gợi ý KL thì việc hướng dẫn HS giải toán thuận lợi 2.3.6.3 Yêu cầu biện pháp Đối với HS cần: - HS phải có vốn kiến thức để có thể trả lời câu hỏi gợi ý GV - HS phải có tinh thần hăng say học tập, tích cực trả lời câu hỏi gợi ý GV - HS phải đọc kỹ đề bài toán để biết điều đã cho, điều phải suy là gì? Để các em biết điều đã cho ta có thể suy điều gì? Muốn có điều phải suy ta cần gì? 54 2.3.6.4 Ví dụ Cho tam giác ABC và O là điểm thuộc miền tam giác Gọi M, N, P là trung điểm BC, AC và AB; E, F là điểm đối xứng O qua M và N; G là điểm đối xứng F qua M và N là điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh H đối xứng với O qua P b) Chứng minh ABEF là hình bình hành c) Chứng minh các đoạn thẳng AE, BF, CH đồng quy điểm * Nhận xét: GV có thể hướng dẫn HS giải bài toán này câu hỏi gợi ý sau: 1) Hãy đọc kỹ đề bài và cho biết: Bài toán đã cho gì? Yêu cầu chứng minh điều gì? Qua đó hãy vẽ hình và viết GT, KL A H F N P GTO nằm MB = MC, NA = NC, PA = PB, NF = NO, ME = MO, MG = MF, BH = BG KLa) H đối xứng với O qua P b) ABEF là hình bình hành c) AE, BF, CH đồng quy điểm B O C M E G Hình 2.15 2) Đối với câu a) bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? (H đối xứng với O qua P) 3) Muốn chứng minh H đối xứng với O qua P thì ta cần có điều gì? (P là trung điểm HO; P là tâm hình bình hành AOBH; ba điểm H, P, O thẳng hàng và HP, PO cùng đoạn thẳng thứ ba; …) 4) Ta đã có P là trung điểm AB, muốn có P là trung điểm OH thì tứ giác AOPH phải là hình gì? (Tứ giác AOPH phải là hình bình hành) 5) Vậy để chứng minh H và O đối xứng với qua P thì ta phải chứng minh tứ giác AOBH là hình gì? (Tứ giác AOBH phải là hình bình hành) 55 6) Để chứng minh tứ giác là hình bình hành ta có thể vận dụng kiến thức nào? (Tứ giác có các điều kiện sau: có hai đường chéo cắt trung điểm đường, có hai cạnh đối song song và nhau, có hai cặp cạnh đối nhau, có hai cặp cạnh đối song song, có các góc đối nhau) 7) Em có nhận xét gì tứ giác AOCF? (Tứ giác AOCF có hai đường chéo cắt trung điểm nên là hình bình hành) 8) Tứ giác AOCF là hình bình hành thì ta suy điều gì? (Các cạnh đối song song nhau, các góc đối nhau) 9) Vậy ta rút kết luận gì cạnh OA và FC? (OA//FC và OA = FC) (1) 10) Tương tự thì tứ giác BGCF là hình gì? (Tứ giác BGCF là hình bình hành) 11) Tương tự tứ giác BGCF là hình bình hành thì ta suy điều gì? (BG//CF và BG = CF) (2) 12) Vậy các em có nhận xét gì hai đoạn thẳng HB và FC (HB//FC và HB = FC) (3) 13) Từ (1), (2), (3) các em rút kết luận gì đoạn thẳng HB và AO? (HB//AO và HB = AO) 14) Vậy tứ giác HBOA là hình gì? Vì sao? (Tứ giác HBOA là hình bình hành vì có hai cạnh đối song song và nhau) 15) Đối với câu b) đề bài yêu cầu chứng minh điều gì? (Tứ giác ABEF là hình bình hành) 16) Các em có nhận xét gì tứ giác BOCE? (Tứ giác BOCE là hình bình hành) 17) Hai tứ giác AOCF và BOCE là hình bình hành thì ta rút nhận xét gì hai đoạn thẳng AF và BE? (AF//BE và AF = BE) 18) Vậy tứ giác ABEF là hình gì? (Tứ giác ABEF là hình bình hành) 56 19) Đối với câu c) đề bài yêu cầu chứng minh điều gì? (AE, BF, CH đồng quy điểm) 20) Muốn chứng minh ba đoạn thẳng đồng quy ta có thể chứng minh nào? (Muốn chứng minh ba đoạn thẳng đồng quy ta có thể chứng minh: Ba đoạn thẳng là ba đường trung tuyến, ba đường cao, ba đường phân giác, ba đường trung trực tam giác hay hai số ba đoạn thẳng cắt điểm và đoạn thẳng còn lại qua giao điểm ấy) 21) Đối với bài toán này ta nên chứng minh ba đoạn thẳng đồng quy theo cách nào? (Chứng minh hai số ba đoạn thẳng cắt điểm và đoạn thẳng còn lại qua giao điểm ấy) 22) Tứ giác ABEF là hình bình hành thì hai đoạn thẳng AE và BF có mối liên hệ nào? (Hai đoạn thẳng AE và BF cắt trung điểm đường) 23) Theo câu a) thì tứ giác HBCF là hình gì? Có nhận xét gì BF và HC? (Tứ giác HBCF là hình bình hành nên BF và HC cắt trung điểm) 24) Vậy ta rút kết luận gì ba đoạn thẳng AE, BF, CH? (AE, BF, CH đồng quy điểm) 25) Giao điểm chính là gì ba đoạn thẳng trên? (Giao điểm là trung điểm ba đoạn thẳng nói trên) * Lời giải: NO NF ( gt )   NA NC ( gt )  a) Ta có: Tứ giác AOCF là hình bình hành  AO//CF và AO = CF (1) Mặt khác ta có: MF MG ( gt )   MB MC ( gt )  Tứ giác BGCF là hình bình hành  BG//CF và BG = CF (2) Mà HB = BG và H, B, G thẳng hàng (3) Từ (1), (2) và (3)  AO//BH và AO = BH 57 Do đó tứ giác AOBH là hình bình hành Vậy H và O đối xứng với qua P b) Ta có: MO ME ( gt )   MB MC ( gt )  Tứ giác BOCF là hình bình hành  OC//BE và OC = BE (1) Mà tứ giác AOCF là hình bình hành (cmt)  AF//OC và AF = OC (2) Từ (1) và (2)  AF//BE và AF = BE Vậy tứ giác ABEF là hình bình hành c) Tứ giác ABEF là hình bình hành nên hai đường chéo AE và BF cắt trung điểm đường (1) Tương tự HBCF là hình bình hành nên hai đường chéo HC và BF cắt trung điểm đường (2) Từ (1) và (2)  AE, BF, CH đồng quy điểm 2.3.7 Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ suy xuôi, suy ngược để chứng minh 2.3.7.1 Cơ sở xác định biện pháp Một nhân tố góp phần quan trọng việc giải bài toán chứng minh là HS cần phải có phương pháp suy luận logic Một số HS gặp bài toán chứng minh thường chú trọng đến kiện bài toán đã cho mà quên từ kiện đó ta có kiện nào và kiện này mang lai lợi ích gì cho việc chứng minh bài toán Do để chứng minh bài toán thì HS phải biết từ giả thiết đã cho ta suy luận điều gì và điều đó có mối liên hệ nào với kết luận để từ đó tìm hướng chứng minh bài toán theo đường từ giả thiết đến kết luận Tuy nhiên, có số bài toán chứng minh không phải dễ dàng giải từ việc suy luận kiện đề toán đã cho mà bắt buộc phải suy luận từ kết luận lên giả thiết bài toán Vì GV cần rèn luyện cho HS kỹ suy xuôi, suy ngược để dễ dàng tìm hướng giải bài toán chứng minh 58 2.3.7.2 Nội dung biện pháp Để rèn luyện kỹ suy xuôi, suy ngược cho HS, GV có thể hướng dẫn HS làm sau: - Trước tiên HS cần đọc kỹ bài toán và xác định bài toán cho gì? Yêu cầu làm gì? Sau đó vẽ hình chính xác - Đối với phép suy xuôi, GV hướng dẫn HS suy luận từ kiện mà bài toán đã cho ta có kiện nào và kiện đó kiện nào phục vụ cho việc chứng minh bài toán Cứ tiếp tục suy luận để đến kết luận GV có thể vẽ cho HS sơ đồ suy xuôi sau: A = A0 A1 Bước Bước An = B Bước n Trong đó A là định nghĩa, tiên đề mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh - Đối với phép suy ngược, GV yêu cầu HS tập trung vào điều cần chứng minh bài toán Từ điều cần chứng minh bài toán ta có điều gì và suy ngược lên giả thiết Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ sau: B = B0 B1 Bn = A (suy ngược tiến) Bước Bước Bước n B = B0 B1 Bn = A (suy ngược lùi) Bước Bước Bước n 2.3.7.3 Yêu cầu biện pháp - HS biết giả thiết, kết luận bài toán - Phải vẽ hình chính xác - Phải hiểu và nắm các khái niệm, định lí, định nghĩa liên quan đến bài toán - Có phương pháp suy luận chặt chẽ, cần xác định từ giả thiết và kết luận bài toán ta nên suy luận theo hướng nào 2.3.7.4 Ví dụ Phép suy xuôi 59  Cho hình vuông ABCD Vẽ điểm E hình vuông cho EDC =  ECD = 150   a) Vẽ điểm F hình vuông cho FAD = FDA = 150 Chứng minh tam giác DEF là tam giác b) Chứng minh tam giác ABE là tam giác GTABCD là hình vuông A B = = 150 KL F a) F ABCD, =150 E Chứng minh là tam giác D b) Chứng minh là tam giác C Hình 2.16 * Nhận xét: Để giải bài toán này, GV yêu cầu HS nêu GT, KL, vẽ hình chính xác và hướng dẫn HS suy luận sau: a) Vì = = 150 (gt) = = 150 (giả thiết) = DF = ED AD = CD (ABCD là hình vuông) cân D và = 600 b) Vì = = 150 (giả thiết) = 1500 = 600 (chứng minh trên) = 1500 Suy tương minh tự ta được: BC=(2) FD = luận FE (chứng trên) BE= =AE AD (1) Từ (1) và (2) suy tam giác ABE là tam giác * Lời giải :     a) Xét hai tam giác AFD và DEC có : FAD = FDA = EDC = ECD = 150 (giả thiết) 60 AD = CD ( tính chất hình vuông) Vậy AFD = CED (c-g-c)  DF = ED  EDF cân D (1)    Mặt khác ta có: FDE = ADC − ( ADF + EDC ) = 900 – (150 + 150) = 600 (2) Từ (1) và (2)  EDF là tam giác b) Xét tam giác AFD có : AFD = 1800 − ( FAD   + FDA ) = 1800 − (150 + 150) = 1500  Ta có : DFE = 600 ( vì EDF là tam giác đều) AFE = 3600 − ( AFD + DFE  ) = 3600 − (1500 + 600) = 1500 Xét hai tam giác ADF và AEF có : AFD = AFE = 1500 (chứng minh trên) DF = EF (do EDF là tam giác đều) AF cạnh chung Vậy ADF = AEF (c-g-c)  AD = AE Chứng minh tương tự ta được: BE = BC Mà AD = BC = AB (tính chất hình vuông)  AE = BC = AB  ABE là tam giác Phép suy ngược :   Cho hình vuông ABCD Vẽ điểm E hình vuông cho EDC = ECD 61 = 150 Chứng minh tam giác ABE là tam giác A B GTABCD là hình vuông = = 150 KL Tam giác ABE E D * Nhận xét: C Hình 2.17 Đối với bài toán trên sử dụng phép suy xuôi thì khó tìm cách chứng minh bài toán, đó GV hướng dẫn HS suy ngược sau: Giả sử đã có điều phải chứng minh tức là tam giác ABE là tam giác  AB = AE = BE  AB = AE = BE = AD = BC  AEB = EAB   = ABE = 600  DAE = EBC = 300   cân ADE =  cân BEC (c-g-c)  ED = EC   EDC cân E   ADE = AED = BEC = BCE = 750  Lời giải:   EDC = ECD = 150 * Lời giải :   Giả sử tam giác ABE là tam giác đều, ta chứng minh: EDC = ECD = 150 Vì ABE nên: AB = AE = BE AEB = EAB  = ABE = 600 Xét hai tam giác ADE và BEC có: AD = BC (tính chất hình vuông) AE = BE (do ABE đều)      DAE = EBC = 300 ( DAE = DAB − EAB = 900 − 600 = 300;   EBC = ABC − ABE = 900 − 600 = 300) Do đó ADE BCE (c-g-c)  ED = EC   EDC cân E Mặt khác ta có: ADE là tam giác cân A (do AD = AE = AB) 62  1800  DAE 1800  300  ADE = AED = 2 = 750     ECD = EDC = ADC − ADE = 900 − 750 = 150 Kết luận:   Vì điểm E nằm hình vuông ABCD và EDC = ECD = 150 nên  điểm E tồn để tam giác ABE là tam giác Do đó EDC =  ECD = 150 thì tam giác ABE là tam giác 2.3.8 Biện pháp 8: Rèn luyện kỹ trình bày logic lời giải bài toán 2.3.8.1 Cơ sở xác định biện pháp Đối với bài toán chứng minh đã tìm lời giải thì điều quan trọng cần làm sau đó là trình bày lời giải bài toán Lời giải chính là kết bài toán chứng minh, thông qua trình bày lời giải để GV đánh giá lực chứng minh HS Tuy nhiên đa số HS và GV thường chú trọng đến việc tìm cách chứng minh mà không quan tâm phải trình bày lời giải đó nào Học sinh lớp chưa làm quen nhiều với các bài toán chứng minh nên kém việc trình bày lời giải, lời giải các em thường thiếu chặt chẽ, lập luận không có chính xác, dài dòng, không logic, Chính vì để khắc phục tình trạng trên, GV cần rèn luyện cho HS kỹ trình bày logic lời giải bài toán 2.3.8.2 Nội dung biện pháp Để rèn luyện cho HS kỹ trình bày logic lời giải bài toán cho HS, GV cần làm việc sau: - Hướng dẫn HS lập luận có chính xác Yêu cầu này đòi hỏi bước biến đổi lời giải phải có sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, đã học; đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu giả thiết định lí Để làm điều này GV nên hướng dẫn HS chú thích từ đâu mà có kiện đưa lời giải, đồng thời phải nắm vững các định nghĩa, định lí, quy tắc, 63 - Hướng dẫn HS trình bày lời giải đầy đủ Điều này có nghĩa là không bỏ sót trường hợp, khả năng, chi tiết nào Nó có nghĩa là lời giải vừa không thừa, vừa không thiếu Muốn vậy, GV cần chú ý tập cho HS quá trình giải toán phải luôn luôn suy nghĩ và tự trả lời các câu hỏi như: Ta phải xét xem cái gì? Như đã đủ chưa? Còn trường hợp nào không? Đã đủ trường hợp đặc biệt chưa? - GV cần rèn luyện cho HS thói quen kiểm tra lại kết bài toán và lời giải mình - Hướng dẫn HS trình bày lời giải logic, chặt chẽ Để thực điều này GV yêu cầu HS dựa vào giả thiết và kết luận bài toán để xét xem ta nên trình bày vấn đề nào trước, vấn đề nào sau Trong quá trình chứng minh bài toán có số vấn đề chứng minh tương tự phần trên thì ta nên ghi lại kết và chú thích: chứng minh tương tự, tránh tình trạng trình bày lại bước chứng minh vì làm lời giải bài toán dài dòng và không logic 2.3.8.3 Yêu cầu biện pháp Đối với HS để rèn luyện kỹ trình bày lời giải logic, chặt chẽ, lập luận có thì HS cần: - Nắm vững và vận dụng linh hoạt các khái niệm, định lí, định nghĩa, quy tắc - Hiểu rõ đề bài toán và biết giả thiết, kết luận - Rèn luyện thói quen kiểm tra lại lời giải Phải xem lời giải đã đủ sở lí luận chưa, lập luận đã chặt chẽ chưa, có thừa hay thiếu sót điều gì không 2.3.8.4 Ví dụ Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? GTTứ giác ABCD, AC BD AE = BE, BF = CF, DG = CG, = AH KL Tứ giác EFGH là hình gì? DH 64 * Lời giải HS: B Ta có: EF//AC E HG//AC  EF//HG Ta lại có: EH//BD FG//BD F A C H G D  EH//FG Hình 2.18  Tứ giác EFGH là hình bình hành EH//BD BD  AC  EH  AC AC//HG  EH  HG  Tứ giác EFGH là hình chữ nhật * Nhận xét: Ở lời giải trên HS lập luận chưa chặt chẽ, không có chính xác Đối với vấn đề đưa chưa giải thích vì lại có điều đó, lời giải còn dài dòng Đây là lỗi hay mắc phải HS * Lời giải đúng: Xét ABC có: AE = BE (gt) CF = BF (gt)  EF//AC (tính chất đường trung bình tam giác) Chứng minh tương tự ta được: HG//AC  EF//HG (1) Chứng minh tương tự ta được: EH//FG (2) 65 Từ (1) và (2)  Tứ giác EFGH là hình bình hành (3) Mặt khác ta có: EF//AC (cmt) Mà AC  BD (gt)  EF  BD Ta lại có: EH//BD (cmt)  EF  EH   HEF = 900 (4) Từ (3) và (4)  Tứ giác EFGH là hình chữ nhật Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, dựng phía ngoài hai tam giác ABE và ACF Dựng hình bình hành AEDF Chứng minh tam giác DBC là tam giác D GT và AEDF là hình bình hành KL F E A2 * Lời giải HS: Ta có: C B AE = AB = BE = DF (gt) Hình 2.19 AC = AF = FC = DE (gt) A + A = 2400  + E  + A = 2400 E 2  + E  = A  E Vậy DEB = CAB (c-g-c)  BD = BC Tương tự: DC = BC  DBC là tam giác * Nhận xét: Lời giải trên ngắn gọn chưa đầy đủ, lập luận chưa thuyết phục mặc dù các vấn đề đưa có chú thích rõ ràng 66 * Lời giải đầy đủ: Ta có: AE = AB = BE (vì ABE đều) Mà AE = DF (do AEDF là hình bình hành)  AE = AB = BE = DF Tương tự ta được: AC = AF = FC = DE Vì ABE và ACF là tam giác  = 600 Nên: A = A = E  A + A = 3600 − ( A + A 4) = 3600 − 1200 = 2400 (1)  + A = 1800 (vì ADEF là hình bình hành) Mặt khác ta có: E 2  = 600 (cmt) E  + E  + A = 2400 (2)  E 2  + E  = A Từ (1) và (2)  E Xét hai tam giác DEB và CAB có: DE = AC (cmt) AB = EB (cmt)   DEB = BAC (cmt) Do đó DEB = CAB (c-g-c)  DB = BC (3) Chứng minh tương tự ta được: BC = DC (4) Từ (3) và (4)  DB = BC = DC  DBC là tam giác 2.3.9 Biện pháp 9: Rèn luyện cho HS kỹ giải bài toán nhiều cách 2.3.9.1 Cơ sở xác định biện pháp Mỗi bài toán thông thường có nhiều cách giải khác Rèn luyện cho HS kỹ giải toán nhiều cách là góp phần phát triển lực sáng tạo, khả tư cho HS, giúp HS nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng khác để từ đó so sánh tìm hướng giải tốt 67 Ngoài ra, giải bài toán nhiều cách giúp HS thấy cái độc đáo, phong phú toán học từ đó thêm say mê yêu thích toán học 2.3.9.2 Nội dung biện pháp Nhiệm vụ GV rèn luyện cho HS kỹ giải toán nhiều cách là khuyến khích, định hướng cho HS tìm nhiều lời giải khác GV cần khuyến khích HS không nên dừng lại tìm cách giải mà tiếp tục phân tích tìm cách giải Khi đã tìm nhiều cách giải cho bài toán GV hướng dẫn HS lựa chọn cách giải tối ưu 2.3.9.3 Yêu cầu biện pháp - HS phải hiểu rõ các kiện bài toán đã cho, phải phân tích bài toán để tìm nhiều hướng chứng minh - Nhìn nhận bài toán theo nhiều hướng khác - Dựa vào số đặc điểm bài toán tìm nhiều cách giải - Lựa chọn cách giải tối ưu 2.3.9.4 Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến CD Trên tia đối CD  CK tia BA lấy điểm K cho BK = BA Chứng minh GT cân A AD = BD, BK = BA KL * Nhận xét 1: CD  CK Để chứng minh ta chứng minh CD đoạn thẳng CK nào đó mà đoạn thẳng này lại * Dựa vào nhận xét ta có các cách sau: Cách 1: 68 Gọi E là trung điểm AC BE  CK Vì BE là đường trung bình ACK nên (1) Xét BDC và CEB có: A 1 BD  AB CE  AC 2 BD = CE (vì ; mà AB = AC) E D BC cạnh chung B C   DBC = ECB ( vì ABC cân A) Do đó BDC = CEB (c-g-c)  CD = BE (2) K CD  CK Từ (1) và (2)  Hình 2.20 Cách 2: A Gọi H là trung điểm CK Ta có BH là đường trung bình ACK D BH  AC  B C Xét BDC và BHC có: BD  AB BD = BH (vì ; BH  AC mà AB = AC) H K Hình 2.21       HBC = DBC (vì DBC = ACB mà ACB = HBC sole trong) BC cạnh chung Do đó BDC = BHC (c-g-c)  CH = DC (1) Mà H là trung điểm CK CH  CK Nên (2) 69 CD  CK Từ (1) và (2)  Cách 3: Gọi P, Q là trung điểm BC và BK Vì DP là đường trung bình tam giác ABC 1 DP  AC  AB  BK QB 2 Nên A    DP // AC  DPB = ACP ( cùng bù với DPC )   Ta có: ABC  ACB ( ABC cân A) D    DPB = DBP B P   Mà QBP = 1800 − DBP   DPC = 1800 − DPB Q K    QBP = DPC Xét QBP và DPC có: Hình 2.22 QB = DP (chứng minh trên)   QBP = DPC (chứng minh trên) BP = CP (cùng BC) Do đó QBP = DPC (c-g-c)  DC = QP (1) QP  CK Mặt khác QP là đường trung bình KBC nên (2) CD  CK Từ (1) và (2)  Cách 4: Gọi E, O là trung điểm AC và CK Vì OE là đường trung bình ACK C 70 OE  AK Nên Mà AK = 2AB = 2AC A  OE = AB = AC AD = CE (cùng AC) B OE = CA (chứng minh trên)   DAC = CEO (đồng vị, OE//AD) E D Xét CDA và OCE có: C O K Do đó CDA = OCE (c-g-c) Hình 2.23  OC = CD (1) OC  CK Mặt khác O là trung điểm CK nên (2) CD  CK Từ (1) và (2)  Cách 5: Gọi P, O là trung điểm BC và CK Vì DP là đường trung bình ABC A DP  AC Nên: D OP là đường trung bình BCK B OP  BK Nên: P O Theo đề bài ta có: BK = AC nên DP = OP   OPB = DBP (sole trong, OP//DB)   DBP = ACP (do ABC cân A)   Và ACP = DPB (đồng vị, DP // AC)      OPB  OPC = DPB = DPC K Hình 2.24 C 71 Xét DPC và OPC có: DP = OP (chứng minh trên)   OPC = DPC (chứng minh trên) Cạnh PC chung Do đó DPC = OPC (c-g-c)  OC = CD OC  CK Mà CD  CK  Cách 6: Từ B kẻ đường thẳng song song với CK cắt AC O Từ C kẻ đường thẳng song song với BK cắt BO kéo dài R Xét BRC và CKB có: A Cạnh BC chung D   RBC = BCK (sole BO//CK) B   KBC = BCR (sole BK//CR) R O C Vậy BRC = CKB (g-c-g)  CR = BK = AB; BR = CK Xét ROC và BOA có:   CRO = ABO (sole CR//AB) CR = AB (chứng minh trên)   RCO = BAO (sole CR//AB) Do đó ROC = BOA (g-c-g) 1  OA OC  AC  AB 2 ; OB = OR 1 OR  BR  CK  2 (1) K Hình 2.25 72 Xét ADC và COR có: AD = OC (cùng AB)   RCO = DAO (sole CR//AB) CR = AC (cùng AB) Do đó ADC = COR (c-g-c)  OR = CD (2) CD  CK Từ (1) và (2)  Cách 7: Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho: BF = BC Nối F và K Gọi I là trung điểm FK A Xét FBK và CBA có: D FB = CB   FBK = CBA (hai góc đối đỉnh) B F AB = BK (giả thiết) Do đó FBK = CBA (c-g-c)  FK = AC Mà AB = AC 1 FK  AB  FK = AB  2  FI = BD Theo đề bài ta có: ACB ABC =   Mà ACB = BFI ( FBK CBA )     BFI = ABC = DBC Xét FBI và BCD có: FB = BC I K Hình 2.26 C 73   BFI = DBC ( chứng minh trên) FI = BD (chứng minh trên) Do đó FBI = BCD (c-g-c)  BI = CD (1) Mặt khác I, B là trung điểm FK và FC  IB là đường trung bình tam giác KFC BI  CK  (2) CD  CK Từ (1) và (2)  * Nhận xét 2: CD  CK Để chứng minh ta có thể chứng minh CK đoạn thẳng nào đó mà đoạn thẳng này gấp lần đoạn thẳng CD Cách 8: Trên tia đối tia CA lấy điểm M cho: CA = CM A Vì CD là đường trung bình tam giác ABM CD  BM Nên (1) D B Xét KBC và MBC có: C Cạnh BC chung    KBC = MCB (cùng bù với ABC ) K M KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC) Do đó KBC và MCB (c-g-c)  CK = MB (2) CD  CK Từ (1) và (2)  Cách 9: Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho: CB = CN Hình 2.27 74 Vì CD là đường trung bình tam giác ABN CD  AN Nên (1) Xét KBC và ACN có: A BC = CN     KBC = ACN (vì KBC = 1800 − ABC ; D ACN    = 1800 − ACB mà ABC = ACB ) C B N KB = AC (cùng AB) Do đó KBC và ACN (c-g-c)  CK = AN (2) K CD  CK Từ (1) và (2)  Hình 2.28 Cách 10: Trên tia đối tia DC lấy điểm F cho: DF = DC Xét BDF và ADC có: A F DF = DC D DA = DB B   FDB = CDA (đối đỉnh) Do đó BDF = ADC (c-g-c)  BF = AC K Mà AC = BK nên BF = BK Mặt khác ta có:  FBC  ACB = 1800 (hai góc cùng phía bù BF//AC)  KBC  ABC = 1800 (hai góc kề bù)   Mà ABC = ACB    KBC = FBC Hình 2.29 C 75 Xét KBC và FBC có: KB = FB (chứng minh trên)   KBC = FBC (chứng minh trên) BC cạnh chung Do đó KBC = FBC (c-g-c)  FC = CK  2CD = CK CD  CK  2.3.10 Biện pháp 10: Giúp học sinh thấy sai lầm dễ mắc phải quá trình chứng minh 2.3.10.1 Cơ sở xác định biện pháp Khi giải bài toán chứng minh, HS thường không tránh khỏi số sai lầm Các sai lầm mà HS thường mắc phải: sai sót kiến thức toán học, phương pháp suy luận, kỹ tính toán, kí hiệu, hình vẽ, lập luận không chặt chẽ, lời giải chưa thuyết phục, không xét đầy đủ các trường hợp, các khả xảy tình huống, Để khắc phục sai lầm trên thì điều cần thiết là sai lầm lời giải HS, song điều quan trọng là phân tích nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó quá trình chứng minh Nguyên nhân chủ yếu mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là HS không nắm các định nghĩa, định lí, quy tắc, vận dụng chúng cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện áp dụng 2.3.10.2 Nội dung biện pháp - Trước hết GV yêu cầu HS đọc kỹ đề bài toán, phân biệt đâu là giả thiết và kết luận để tránh nhầm lẫn giả thiết và kết luận dẫn đến lời giải sai - Yêu cầu HS nắm vững các định nghĩa, định lí, tính chất, vận dụng linh hoạt khéo léo để chứng minh bài toán 76 - Rèn luyện cho HS thói quen kiểm tra lại kết và lời giải bài toán, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm công việc - Bên cạnh đó GV cần phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm có thể mắc phải cho HS thấy giải bài toán chứng minh, nhấn mạnh sai lầm này để HS nhớ và không lặp lại sai lầm lần 2.3.10.3 Yêu cầu biện pháp - HS cần đọc kỹ đề bài, phân biệt giả thiết và kết luận - Nắm vững các định nghĩa, định lí, quy tắc - Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải bài toán - Cần có thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán 2.3.10.4 Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh BC Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC Chứng minh E và F đối xứng với qua điểm A B D E A GT vuông A, DBC E đối xứng với D qua AB F đối xứng với D qua AC KLE và F đối xứng với qua A * Lời giải: Vì E đối xứng với D qua AB Nên AB là đường trung trực ED  AE = AD (1) Chứng minh tương tự ta được: AD = AF (2) C F Hình 2.30 77 Từ (1) và (2)  AE = AF  E và F đối xứng với qua A * Nhận xét: Lời giải trên sai chỗ đã thừa nhận ba điểm A, E, F thẳng hàng Điều này chúng ta chưa có mà cần phải chứng minh Sai lầm này HS dễ mắc phải các em nhìn vào hình thấy A, E, F thẳng hàng và thừa nhận điều này * Lời giải đúng: Vì E đối xứng với D qua AB Nên AB là đường trung trực ED  AE = AD (1)  AED cân A  AB là đường phân giác góc A  A = A Chứng minh tương tự ta được: AD = AF (2) và A = A Từ (1) và (2)  AE = AF (3)    DAF Ta có: DAE = 2( A + A 3) = 900 ( ABC vuông A) = 1800  A, E, F thẳng hàng (4) Từ (3) và (4)  E và F đối xứng với qua A 2.3.11 Biện pháp 11: Rèn luyện cho học sinh kỹ sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho 2.3.11.1 Cơ sở xác định biện pháp Để rèn luyện lực tư duy, sáng tạo, giúp HS phát nhiều vấn đề thì việc rèn luyện cho HS kỹ sáng tạo bài toán từ bài toán đã cho là việc làm cần thiết đặc biệt HS khá giỏi Những HS khá giỏi dừng lại đến việc giải xong bài toán thì không thể khai thác, phát triển tối đa lực tư các em Do đó sau giải xong bài toán, GV cần tiếp tục khuyến khích HS suy nghĩ, xuất phát từ bài toán ban đầu dựa vào việc 78 phân tích cái đã cho và cái cần tìm bài toán để khai thác thành nhiều bài toán 2.3.11.2 Nội dung biện pháp Đối với biện pháp này GV cần: - Khuyến khích HS tìm bài toán từ bài toán đã cho - Quan tâm, hướng dẫn HS nên tập trung vào số kiện có thể khai thác bài toán - Gợi ý cho HS số cách khác để tạo bài toán như: thay cái đã cho cái cần tìm, thay đổi điều kiện bài toán, thay đổi số liệu bài toán, 2.3.11.3 Yêu cầu biện pháp HS cần khai thác khía cạnh bài toán đặc biệt tập trung vào nội dung có thể khai thác và sử dụng số cách tạo bài toán mà GV hướng dẫn để thực 2.3.11.4 Ví dụ Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD, dựng phía ngoài hình vuông ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH Chứng minh rằng: AC = HF F GTABCD là hình vuông ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLAC = HF H A E B * Lời giải: Ta có: AH = AD (ADGH là hình vuông) Mà AD = BC (ABCD là hình vuông)  AH = BC Xét hai tam giác ABC và HAF có: AF = AB (ABEF là hình vuông) G D Hình 2.31 C 79 ABC HAF =  = 900 (gt) AH = BC (cmt) Do đó ABC = HAF (c-g-c)  AC = HF * Nhận xét: Từ bài toán trên GV hướng dẫn HS tập trung vào kiện ABCD là hình vuông để khai thác tạo bài toán GV có thể gợi ý HS thay "hình vuông ABCD" "hình chữ nhật ABCD" và xét xem AC có HF không? Khi đó HS phát bài toán tương tự sau: Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD, dựng phía ngoài hình chữ nhật đã cho các hình vuông ABEF và ADGH Chứng minh rằng: AC = HF F E GTABCD là hình chữ nhật ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLAC = HF H G A D B C Hình 2.32 * Lời giải: HS dễ dàng nhận việc chứng minh bài toán giống cách chứng minh bài toán 1, ta có AC = HF * Nhận xét: HS tiếp tục thay "hình chữ nhật ABCD" bài toán thành "hình thoi ABCD" và thiết lập bài toán tương tự thì có bài toán sau: Bài toán 3: 80 Cho hình thoi ABCD, dựng phía ngoài hình thoiABCD các hình vuông ABEF và ADGH So sánh độ dài hai đoạn thẳng AC và HF GTABCD là hình thoi ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLSo sánh AC và HF * Lời giải: E Ta có: AH = AD (ADGH là hình vuông) F Mà: AD = BC (ABCD là hình thoi) B  AH = BC C A Mặt khác ta có: D     HAF + BAD = 1800 (vì FAB = HAD = 900) H ABC BAD +  = 1800 (tính chất hình thoi) G    HAF = ABC Hình 2.33 Xét hai tam giác ABC và HAF có: AB = AF (ABEF là hình vuông)   AH = BC (cmt); HAF = ABC (cmt) Do đó ABC = HAF (c-g-c)  AC = HF * Nhận xét: HS tiếp tục thay "hình thoi ABCD" bài toán thành "hình bình hành ABCD" và thiết lập bài toán tương tự thì có bài toán sau: Bài toán 4: Cho hình bình hành ABCD, dựng phía ngoài hình bình hành ABCD E các hình vuông ABEF và ADGH So sánh độ dài hai đoạn thẳng AC và HF F GTABCD là hình bình hành ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLSo sánh AC và HF B H A C G D 81 * Lời giải: Việc chứng minh bài toán thực tương tự bài toán Hình 2.34 * Nhận xét: Đối với bài toán HS chú ý đến kiện ban đầu ABCD là hình vuông và thay hình vuông các hình: hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, đồng thời thiết lập bài toán đã nói trên thì luôn chứng minh AC = HF Như từ bài toán ban đầu ta khai thác và nhiều bài toán tương tự 82 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm Chúng tôi tiến hành thực nghiệm nhằm kiểm tra tính khả thi các biện pháp sư phạm đã nêu, biết ưu điểm hạn chế các biện pháp Từ đó rút kinh nghiệm giảng dạy cho thân và đề xuất thêm biện pháp để bồi dưỡng lực chứng minh hình học cho HS 3.2 Nội dung thực nghiệm Trong năm học 2010-2011, nhóm GV chúng tôi công tác trường THCS Liêu Tú (Trần Văn Tươi, Trần Thanh Hà) và trường THCS Liêu Tú (Liễu Ngọc Tiền) thuộc huyện Trần Đề, tỉnh Sóc Trăng Trong số đó có thành viên nhóm (Trần Văn Tươi) phân công giảng dạy môn Toán lớp 8A1và 8A2, đây là thuận lợi để chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm biện pháp đã nêu chương Trước thực nghiệm chúng tôi đã khảo sát lực chứng minh hình học HS lớp 8A1 và 8A2 hình thức kiểm tra viết 15 phút (đề và đáp án ghi phần phụ lục)để phần nào biết lực chứng minh bài toán hình học HS hai lớp trên Sau khảo sát chúng tôi tiến hành áp dụng biện pháp bồi dưỡng lực chứng minh hình học đã nêu chương vào thực nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dạy tự chọn Đặc biệt chúng tôi còn lấy ý kiến đồng nghiệp qua tiết dự giờ, cho HS làm bài kiểm tra sau tiết dạy, điều tra suy nghĩ HS môn Hình học - Đối với tiết học trên lớp, dạy HS giải các bài toán chứng minh chúng tôi yêu cầu HS thực các bước sau: 83 + Đọc thật kỹ đề toán, phải hiểu các khái niệm, định nghĩa,… bài toán đưa + Vẽ hình và tóm tắt bài toán cách ghi GT, KL + Phân tích bài toán để tìm hướng giải + Tiến hành giải và trình bày lời giải bài toán cách chặt chẽ, logic + Kiểm tra lại lời giải + Tìm cách giải hay, ngắn gọn (nếu có) - Đối với tiết dạy tự chọn, nội dung chủ yếu là: + Củng cố kiến thức chương 1- Tứ giác + Hướng dẫn HS giải bài toán chứng minh giống tiết học trên lớp Tuy nhiên tiết học này GV có thể yêu cầu cao HS như: chứng minh bài toán có mức độ khó cao hơn, đưa nhiều cách giải cho bài toán (nếu có), đề xuất bài toán từ bài toán đã cho, … - Sau tiết dạy tự chọn chúng tôi đưa bài kiểm tra nhỏ (đề và đáp án ghi phần phụ lục) để khảo sát HS, từ đó thống kê kết đạt và so sánh kết ban đầu nhằm biết tính khả thi các biện pháp mà chúng tôi đề Đề kiểm tra chúng tôi đưa có nội dung sau: - Việc lấy ý kiến đồng nghiệp chúng tôi thực cách: trao đổi biện pháp mà chúng tôi đưa để đồng nghiệp đóng góp ý kiến; dạy cho GV dự từ đó rút nhận xét tiết dạy - Việc điều tra sở thích HS môn Hình học, chúng tôi cho HS làm phiếu trắc nghiệm (ghi phần phụ lục) để phần nào biết các em có nắm các bước tiến hành giải bài toán hình học hay không 3.3 Kết thực nghiệm Qua nội dung thực nghiệm đã nêu trên, chúng tôi thu kết phản hồi sau: * Phía GV: GV trường đã nhận xét biện pháp mà chúng tôi đưa sau: - Ưu điểm: 84 + Nhóm chúng tôi đã có cố gắng để đề số biện pháp bồi dưỡng lực chứng minh hình học cho HS trường + Các biện pháp mà chúng tôi đề có tính khả thi, nhìn chung tương đối đầy đủ nội dung để GV hướng dẫn HS chứng minh bài toán hình học + Các ví dụ minh họa cho các biện pháp đa dạng và gần gũi với các em Để giải các ví dụ phải sử dụng toàn kiến thức chương Tứ giác - Khuyết điểm: + Do điều kiện khách quan nên chưa áp dụng tất các biện pháp vào thực nghiệm + Một số ví dụ minh họa cho các biện pháp còn tương đối khó HS * Qua tiết dạy tự chọn trên, GV có nhận xét tiết dạy sau: - Ưu điểm: + GV có ôn lại kiến thức trọng tâm và nhắc lại các bước chứng minh bài toán hình học trước luyện tập + Có áp dụng linh hoạt các biện pháp đề vào tiết dạy + Nội dung các bài tập chính xác, phong phú nhằm củng cố khắc sâu kiến thức hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, đối xứng tâm, đối xứng trục, + Không khí học tập sinh động, thầy trò tích cực hoạt động dạy và học - Khuyết điểm: Vẫn còn số học sinh chưa tích cực hoạt động nhóm * Phía HS: - Khi cho HS làm phiếu trắc nghiệm có nội dung trên, chúng tôi thu kết ghi bảng sau: Tổng số HS 71 Câu Chọn (a) 21 Chọn (b) 35 Chọn (c) 15 42 17 12 85 40 18 50 21 50 18 30 35 52 17 41 23 35 20 10 61 10 11 47 469 24 238 Tổng 13 16 74 Nhận xét: Kết bảng trên cho thấy hầu hết tất HS nắm các bước chứng minh bài toán hình học, các em có hứng thú học Hình học - Khi cho HS làm kiểm tra viết chúng tôi thu kết bảng sau: Biết hướng Tổng số HS 71 Lần kiểm tra Lần Lần Chứng minh chứng minh không trình bày Tổng Phần số trăm 12,7% 5,6% chưa chặt chẽ Tổng Phần số 21 trăm 29,5% 11,3% Chứng minh đúng trình bày chặt chẽ Tổng Phần số 41 59 trăm 57,8% 83,1% Nhận xét: Qua kết trên cho thấy sau thời gian áp dụng các biện pháp thì lực chứng minh các bài toán hình học HS đã tốt trước Phần lớn HS đã chứng minh và biết cách trình bày bài toán chứng minh 3.4 Kết luận sư phạm 86 Qua thời gian áp dụng số biện pháp bồi dưỡng lực chứng minh các bài toán hình học sinh chúng tôi nhận thấy các em đã suy nghĩ thoáng môn Hình học các em không còn cảm giác thiếu tự tin hay sợ khi tiếp xúc với các bài toán hình học trước đây nữa, phần lớn HS đã nắm các bước tiến hành chứng minh bài toán Hình học Đối với HS khá, giỏi các em đã biết cách phân tích bài toán để có hướng giải hợp lý; biết cách trình bày bài toán lời giải bài toán chặt chẽ, logic; tránh sai lầm ngộ nhận giải Đặc biệt HS còn hứng thú bài toán giải nhiều cách, các em đã có tìm tòi để lời giải hay Đối với HS trung bình, yếu các em thích môn học trước và đã có nhiều tiến giải các bài toán hình học Tuy nhiên HS số kiến thức trước đây, thời gian áp dụng các biện pháp tương đối ngắn (2 tháng) nên khả chứng minh các bài toán hình học các em còn hạn chế, các em làm phần bài toán, đôi các em biết hướng chứng minh trình bày lời giải còn sai sót, lập luận chưa chặt chẽ, … Do đó để HS chứng minh tốt các bài toán hình học, chúng tôi đưa biện pháp nêu trên vào thực nghiệm từ đó rút kinh nghiệm và đề xuất thêm biện pháp để bồi dưỡng lực chứng minh các bài toán hình học cho các em 87 KẾT LUẬN Hình học là môn học có tính trừu tượng cao, muốn học tốt Hình học đòi hỏi nhiều yếu tố: số thông minh, PP học, chuyên cần, môi trường học, PP dạy GV, … Trong số đó PP dạy GV góp phần tích cực giúp người học học tốt Là người hướng dẫn HS học môn Hình học, chúng tôi đã nghiên cứu và viết đề tài "Bồi dưỡng lực chứng minh hình học cho học sinh THCS thông qua dạy học chương I - Tứ giác (Toán 8)" đồng thời đã áp dụng vài biện pháp trên vào thực nghiệm nhằm để bồi dưỡng lực chứng minh dạng toán hình học cho HS Đối với đề tài này chúng tôi rút số nội dung sau: Kết đạt - Đã đề số biện pháp bồi dưỡng lực chứng minh các bài toán hình học cho HS, hệ thống số dạng toán chứng minh chương I lớp - HS thích thú môn Hình học, các em đã có kỹ cần thiết chứng minh bài toán hình học - Kết học tập HS có nhiều chuyển biến theo chiều hướng tốt Hạn chế đề tài - Đề tài đề xuất số biện pháp bồi dưỡng lực chứng minh hình học cho HS lớp - Đề tài khảo sát số dạng toán chứng minh hình học lớp Chương I - Phạm vi thực nghiệm có hai lớp, thời gian thực nghiệm ít nên kết có mang tính chất tương đối Hướng phát triển đề tài 88 - Tiếp tục đưa các biện pháp bồi dưỡng lực chứng minh hình học cho HS vào thực nghiệm trên lớp, có kết tốt áp dụng các biện pháp trên phạm vi rộng - Qua thực nghiệm để chúng tôi rút kinh nghiệm và đề xuất thêm vài biện pháp để giúp HS chứng minh các bài toán hình học tốt - Nghiên cứu cách tỉ mỉ các dạng toán chứng minh hình học lớp Đề tài mà chúng tôi đưa là dựa vào kinh nghiệm giảng dạy thân, đây là suy nghĩ chúng tôi nên có thiếu sót mà chúng tôi chưa phát được, mong độc giả chân thành góp ý để đề tài chúng tôi hoàn thiện Xin chân thành cám ơn! 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính, (2008), Sách giáo khoa Toán tập I, NXBGD [2] Phan Đức Chính, (2008), Sách giáo viên Toán tập I, NXBGD [3] Đậu Thế Cấp – Phan Văn Đức, (2009), 500 bài toán chọn lọc, NXB [4] Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Quang Hanh – Ngô Long Hậu, (2010), 500 bài toán chọn lọc 8, NXB Đại học sư phạm [5] Phan Gia Đức – Nguyễn Mạnh Cảng – Bùi Huy Ngọc – Vũ Dương Thụy, (1999), Phương pháp dạy học môn Toán tập II, NXBGD [6] Phan Gia Đức – Nguyễn Mạnh Cảng – Bùi Huy Ngọc – Vũ Dương Thụy, (2001), Phương pháp dạy học môn Toán tập I, NXBGD [7] [Phạm Gia Đức – Phạm Đức Quang, (2002), Hoạt động hình học trường THCS, NXB giáo dục [8] G PÔLIA, (1979), Giải bài toán thế nào, NXBGD – Nguyễn Duy Thuận, (2008), Sách bài tập Toán tập I, NXBGD [9] Nguyễn Bá Kim, (2000), Phương pháp dạy học môn Toán, NXBGD 11] Định lý hình học và các phương pháp chứng minh, (1976), NXBGD [10] Minh Trí –Tôn Thân – Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Phạm Gia Đức – Nguyễn Duy Thuận, (2008), Sách bài tập Toán tập I, NXBGD [12] Hoàng Chúng, (2000), Phương pháp dạy học toán trường THCS, NXBGD [13] Tôn Thân-Viện KHGD Việt Nam (2000), Huấn luyện nghiệp vụ sư phạm, Dự án Việt-Bỉ-“ Hổ trợ học từ xa”