Đang tải... (xem toàn văn)
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội... Tìm lim vn.[r]
(1)http:://edufly.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/10/2013 2x Câu I:(THPT:4,0 điểm; GDTX: 4,0 điểm) Cho hàm số: y (1) x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A, B cho AB IB , với I (2, 2) Câu II:(THPT:5,0 điểm; GDTX: 6,0 điểm) x y 2x y Giải hệ phương trình: x y x y 3x y Giải phương trình: ( x, y ) sin 2x 3tan 2x sin x tan x sin x Câu III:(THPT:4,0 điểm; GDTX:4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y Đường thẳng qua D và trung điểm đoạn AB có phương trình: 3x y 23 Tìm tọa độ B và C , biết điểm B có hoành độ dương Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi P, Q là các điểm di động trên cung nhỏ AB , AC cho P, Q, O thẳng hàng Gọi D , E là hình chiếu vuông góc P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' là hình chiếu vuông góc Q lên các đường thẳng BC , AC Gọi K là giao điểm hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KDD ' (theo R ) Câu IV:(THPT:3,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và DB theo a Câu V:(THPT:2,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b c a 1 b 1 c 1 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 (2) http:://edufly.edu.vn u1 Câu VI:(THPT:2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định: 2013 u (2 9u ) 2u (2 5u ), n n 1 n 1 n n Xét dãy số u1 u u1 u2 un Tìm lim un HẾT - Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Lưu ý: Đối với thí sinh học các trung tâm GDTX thì không làm câu VI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: TOÁN Ngày thi: 03/10/2013 ĐỐI VỚI THÍ SINH THPT Lời giải Điểm 2x 2,0 Cho hàm số: y Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số x2 TXĐ: D R \ 2 0,25 phương trình đường TCN: y = lim y x lim y ;lim y x 2 y/ x 2 1 x 2 0,5 phương trình đường TCĐ: x = 0,5 x D Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên: 0,25 Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) 0,25 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 (3) http:://edufly.edu.vn Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 0,25 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A, B cho AB IB , với I(2;2) 2,0 x0 Gọi M x0 ; (C ) x 0,5 PTTT (C) M: y x0 x x02 x0 x0 Do AB IB và tam giác AIB vuông I IA = IB nên hệ số góc tiếp 1 tuyến k = k = -1 vì y / nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = x 2 -1 II 1 x0 1 x0 1 x0 0,5 0,5 có hai phương trình tiếp tuyến: y x ; y x 0,5 x y 2x 1 y 1 Giải hệ phương trình: x y x y 3x y 2,5 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội (1) x, y (2) hotline: 0987708400 (4) http:://edufly.edu.vn x Đk: y 0,5 x y 1 Pt(2) x y 3 x y y x y (loai) 1,0 Pt(1) x x y y 1 1,25 xy x y 2 xy x y xy x y xy xy 3 xy xy xy xy (loai ) (do x y xy xy 0) x x y x Hệ đã cho tương đương: 3 xy y y 2 3 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ; , ; 2 2 sin x 3tan x sin x 2 Giải phương trình: tan x sin x cos x Đk: (*) tan x sin x Pt tương đương: 3sin x tan x sin x 3sin x cos x sin x sin x cos x 0,75 2,5 0,5 0,75 cos x 1 sin x sin x x k cos x 1 cos x sin x x k sin x sin x cos x x k TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 0,75 hotline: 0987708400 (5) http:://edufly.edu.vn Nghiệm x Phương trình có họ nghiệm: x III 0,5 k thỏa mãn (*) k Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y Đường thẳng qua D và trung điểm đoạn AB có phương trình: 3x y 23 Tìm tọa độ B và C , biết điểm B có hoành độ dương Gọi C c; c d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm AC và d2: 3x – 4y – 23 = c 10 c 10 Ta có AIM đồng dạng CID CI AI CI IA I ; c 10 c 10 4 23 c Mà I d nên ta có: 3 Vậy C(1;5) 3t 3t 23 Ta có: M d M t; B 2t 5; 3t 3t 19 AB 2t 10; , CB 2t 6; t 1 Do AB.CB t t 3 3t 3t 19 29 t B(3; 3) (loai) 33 21 33 21 B ; B ; 5 5 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi P, Q là các điểm di động trên cung nhỏ AB , AC cho P, Q, O thẳng hàng Gọi D , E là hình chiếu vuông góc P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' là hình chiếu vuông góc Q lên các đường thẳng BC , AC Gọi K là giao điểm hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KDD ' (theo R ) TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 (6) http:://edufly.edu.vn IV Chứng minh góc DKD ' 900 Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có: DKH DKP ( KH / / PD) DKP PBA (tứ giác PEBD nội tiếp) Suy ra: DKH PBA sd PA Tương tự, ta chứng minh được: D ' KH sd AQ Vậy DKD ' DKH D ' KH sd PQ 900 (do PQ là đường kính) Chứng minh DD ' R : Thật vậy, xét hình thang vuông DPQD ' vuông D và D’ nên DD ' QP R , dấu “=” xảy PQ / / BC KD KD '2 DD '2 R Xét tam giác DKD ' Ta có: S KD.KD ' R2 4 Vậy diện tích lớn tam giác DKD ' R PQ / / BC Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 0,5 0,5 1,0 1,5 (7) http:://edufly.edu.vn H, M là trung điểm AB và CD SH AB Ta có: SH ABCD SAB ABCD a SH Góc (SCD) và mặt đáy là SMH 600 SH a Ta có HM tan 60 2 a a a3 VS ABCD 2 12 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và DB theo a Kẻ đường thẳng d qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng qua H , d và cắt d J, cắt BD I (SHI) kẻ HK vuông góc với SI K Khi đó: d BD ,SA d I ,( S ,d ) 2d H ,( S ,d ) 2d H ,( SBD ) HK 0,5 IH BH BH AD a IH AD BD BD 10 1 a HK Xét SHI vuông H, ta có: 2 HK HS HI a Vậy d BD ,SA Cho a, b, c là ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức: 0,5 Ta có BIH đồng dạng BAD V P a b2 c2 a b 1 2 c 1 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 0,5 1,5 0,5 0,5 2,0 a 1 b 1 c 1 1 2 a b c 1 a b c 1 2 2 3 a 1 b 1 c 1 a b c a 1 b 1 c 1 3 a b c 0,25 0,25 hotline: 0987708400 0,75 0,75 (8) http:://edufly.edu.vn Vậy P = f / (t ) t 0,75 54 a b c a b c 3 54 f (t ) t t 3 với t a b c (t 1) t 162 / ; f ( t ) t 1(loai) t t 2 f’(t) + 0,75 + - 1/4 f(t) VI a b c a b c 1 Vậy giá trị lớn P a b c c u1 2013 Cho dãy số (un ) đuợc xác định: u (2 9u ) 2u (2 5u ), n n 1 n 1 n n Xét dãy số u1 u u1 u2 un Tìm lim un Ta có un 0n 0,25 Khi đó: un2 9un1 2un1 5un 9 2,0 9un1 5un un1 un 10 un2 un un1 Đặt xn n Khi đó ta có dãy xn xác định bởi: un x1 2013 xn1 xn xn n Chứng minh xn là dãy tăng: 0,25 Xét hiệu: xn1 xn xn2 xn xn xn 3 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 (9) http:://edufly.edu.vn Do x1 2013 nên xn1 xn suy dãy xn là dãy tăng Chứng minh (xn) không bị chặn hay lim xn : Giả sử (xn) bị chặn, dãy tăng và bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn a, a 2013 0,5 Từ công thức truy hồi xn1 xn2 5xn Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a2 5a a (không thỏa mãn) Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn Ta có: 0,5 u u 1 2 n n u1 un x x 2 n 2 u u n Mà: 1 xn xn xn1 1 Do đó, ta có: 2 x1 xn1 2013 xn1 Mà lim xn nên lim 1005 0,5 Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì chấm điểm tối đa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: TOÁN Ngày thi: 03/10/2013 ĐỐI VỚI THÍ SINH HỌC TẠI CÁC TRUNG TÂM GDTX Lời giải 2x Cho hàm số: y Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm x2 số TXĐ: D R \ 2 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Điểm 2,0 0,25 hotline: 0987708400 (10) http:://edufly.edu.vn phương trình đường TCN: y = lim y x lim y ;lim y x 2 y/ x 2 1 x 2 phương trình đường TCĐ: x = 0,5 x D Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên: 0,5 0,25 Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 0,25 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A, B cho AB IB , với I(2;2) 2,0 x0 Gọi M x0 ; (C ) x0 0,5 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 0,25 hotline: 0987708400 (11) http:://edufly.edu.vn PTTT (C) M: y x0 x x02 x0 x0 Do AB IB và tam giác AIB vuông I IA = IB nên hệ số góc 1 tiếp tuyến k = k = -1 vì y / nên ta có hệ số góc tiếp x 2 tuyến k = -1 II 1 x0 1 x0 1 x0 0,5 0,5 có hai phương trình tiếp tuyến: y x ; y x 0,5 x y 2x 1 y 1 Giải hệ phương trình: x y x y 3x y 3,5 (1) x, y (2) x Đk: y 0,5 x y 1 Pt(2) x y 3 x y y x y (loai) 1,0 Pt(1) x x y y 1 1,25 xy x y 2 xy x y xy x y xy xy 3 xy xy xy xy (loai ) (do x y xy xy 0) x x y x Hệ đã cho tương đương: 3 xy y y 2 3 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ; , ; 2 2 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 0,75 (12) http:://edufly.edu.vn Giải phương trình: sin x 3tan x sin x 2 tan x sin x 2,5 cos x Đk: (*) tan x sin x Pt tương đương: 3sin x tan x sin x 3sin x cos x sin x sin x cos x 0,5 0,75 cos x 1 sin x sin x x k cos x 1 cos x sin x x k sin x sin x cos x x k Nghiệm x k thỏa mãn (*) Phương trình có họ nghiệm: x k 0,75 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y Đường thẳng qua D và trung điểm đoạn AB có phương trình: 3x y 23 Tìm tọa độ B và C , biết điểm B có hoành độ dương Gọi C c; c d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm AC và d2: 3x – 4y – 23 = Ta có AIM đồng dạng CID c 10 c 10 CI AI CI IA I ; c 10 c 10 4 23 c Mà I d nên ta có: 3 Vậy C(1;5) 3t 3t 23 Ta có: M d M t; B 2t 5; 3t 3t 19 AB 2t 10; , CB 2t 6; 2,0 0,5 III TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 0,5 0,5 0,5 (13) http:://edufly.edu.vn 0,5 t 1 Do AB.CB t t 3 3t 3t 19 29 t B(3; 3) (loai) 33 21 33 21 B ; B ; 5 5 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi P, Q là 2,0 các điểm di động trên cung nhỏ AB , AC cho P, Q, O thẳng hàng Gọi D , E là hình chiếu vuông góc P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' là hình chiếu vuông góc Q lên các đường thẳng BC , AC Gọi K là giao điểm hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KDD ' (theo R ) Chứng minh góc DKD ' 900 Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có: DKH DKP ( KH / / PD) DKP PBA (tứ giác PEBD nội tiếp) Suy ra: DKH PBA sd PA Tương tự, ta chứng minh được: D ' KH sd AQ Vậy DKD ' DKH D ' KH sd PQ 900 (do PQ là đường kính) Chứng minh DD ' R : TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 0,5 0,5 (14) http:://edufly.edu.vn IV Thật vậy, xét hình thang vuông DPQD ' vuông D và D’ nên DD ' QP R , dấu “=” xảy PQ / / BC Xét tam giác DKD ' Ta có: 1,0 2 2 KD KD ' DD ' 4R S KD.KD ' R2 4 Vậy diện tích lớn tam giác DKD ' R PQ / / BC Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB 1,5 cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a H, M là trung điểm AB và CD SH AB Ta có: SH ABCD SAB ABCD a SH Góc (SCD) và mặt đáy là SMH 600 SH a Ta có HM tan 60 2 a a a3 VS ABCD 2 12 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và DB theo a Kẻ đường thẳng d qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng qua H , d và cắt d J, cắt BD I (SHI) kẻ HK vuông góc với SI K Khi đó: d BD ,SA d I ,( S ,d ) 2d H ,( S ,d ) 2d H ,( SBD ) HK TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 0,5 0,25 0,25 0,5 1,5 0,5 (15) http:://edufly.edu.vn IH BH BH AD a IH AD BD BD 10 1 a HK Xét SHI vuông H, ta có: 2 HK HS HI a Vậy d BD ,SA Cho a, b, c là ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức: Ta có BIH đồng dạng BAD V P a b2 c2 a b 1 c 1 0,5 0,5 3,0 a 1 b 1 c 1 0,75 1 2 a b c a b c 2 2 3 0,75 a 1 b 1 c 1 a b c a 1 b 1 c 1 3 0,75 54 Vậy P a b c a b c 3 a b c 2 = f / (t ) t 54 f (t ) t t 3 với t a b c (t 1) t 162 / ; f ( t ) t 1(loai) t t 4 f’(t) + 0,75 + - 1/4 f(t) 0 a b c a b c 1 Vậy giá trị lớn P a b c c Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì chấm điểm tối đa TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA EDUFLY 130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội hotline: 0987708400 (16)