Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.. Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn.[r]
(1)KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012 -2013 §Ò chÝnh thøc ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có: 01 trang Câu (3 điểm) Cho đa thức f(x) = x + 6x +11x +6x a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử b) Chứng minh rằng với số nguyên x thì f(x) + luôn có giá trị là số chính phương Câu (4 điểm) æ A =ç xç ç è æx- 1 ö x - 1ö ÷ ç ÷ ÷ : ç ÷ ÷ x= ÷ç ÷ ÷ xø ç x x + x è ø Tính A 2+ a) Cho biểu thức b) Cho a, b, c là các số thực khác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Câu (4 điểm) Giải các phương trình sau: 3 x +( x - 1) = ( 2x - 1) a) b) x + - x - = Câu (7 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d và d' là các tiếp tuyến với đường tròn A và B Điểm C thuộc đường thẳng d (C khác A) Đường thẳng vuông góc với OC O cắt d và d' thứ tự M và D a) Chứng minh tam giác MCD cân và CD là tiếp tuyến đường tròn (O) b) Chứng minh rằng C di chuyển trên đường thẳng d thì tích AC.BD có giá trị không đổi c) Điểm C vị trí nào trên đường thẳng d thì diện tích tứ giác ABDC nhỏ ? Tính giá trị nhỏ đó theo R Câu (2 điểm) y + yz + z = 1- Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn giá trị lớn biểu thức P = x + y + z 3x 2 Tìm giá trị nhỏ và ……Hết…… Họ và tên thí sinh:……………………………….SBD:…… Cán coi thi không cần giải thích gì thêm./ Hướng dẫn chấm thi chọn HSG môn Toán lớp THCS, năm học 2012 - 2013 (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN Hướng dẫn chấm có: 03 trang A Một số chú ý chấm bài - Hướng dẫn chấm đây dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm thống cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm câu có thể chia nhỏ đến 0,25đ Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn B Đáp án và thang điểm Câu (3 điểm) Cho đa thức f(x) = x + 6x +11x +6x a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử b) Chứng minh rằng với số nguyên x thì f(x) + luôn có giá trị là số chính phương x ( x + 6x +11x + 6) = x é x + x ) +( 5x + 5x ) +( 6x + 6) ù ( ê ú ë û a) Ta có f(x) = = x ( x +1) ( x + 5x + 6) = x ( x +1) ( x + 2) ( x + 3) b) Ta có f(x) + = 1,5đ x ( x +1)( x + 2) ( x + 3) +1 = ( x + 3x )( x + 3x + 2) +1 = ( x + 3x ) + ( x + 3x ) +1 = ( x + 3x +1) 1,5đ ( x + 3x +1) có giá trị là số chính phương Vì x Î Z nên f(x) + = Câu (4 điểm) æ A =ç xç ç è æx- 1 ö x - 1ö ÷ ç ÷ ÷ : ç ÷ ÷ x= ÷ç ÷ ÷ ç xø è x x+ xø 2+ Tính A a) Cho biểu thức b) Cho a, b, c là các số thực khác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c a) ĐKXĐ: x > 0, x Ta có A = = Với x −1 : √x x= 1 0,5đ ( x√−1x ) : ( √ x√−x − √ x(√ x√−1x +1) ) x−√ x √ x ( √ x+ 1) ( x −1 √x = ) = x −1 x − 1− √ x +1 : √ x √ x (√ x+ 1) 1đ √ x+1 ¿2 √ x( √ x +1) ¿ = ¿ √ x ( √ x −1) 2- = = 4- = 4- 2+ ¿ ( ) 3- Þ x = 3- , ta có: Hướng dẫn chấm thi chọn HSG môn Toán lớp THCS, năm học 2012 - 2013 (3) A= 1 3 3 3 31 0,5đ 1 2 1 1 2 2 2 a b c ab bc ac b) Ta có a b c 1 1 1 1 2(a b c) 0 2 2 2 2 b c b c b c abc =a = a = a 0,5đ 1đ (vì a b c 0) 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c 0,5đ Câu (4 điểm) Giải các phương trình sau: 3 x +( x - 1) = ( 2x - 1) a) (1) b) x + - x - = a) Ta thấy x + (x - 1) = 2x - Đặt x - = y, phương trình (1) trở thành: x y3 x y 1đ x y3 x y3 3xy x y xy x y 0 x 0 y 0 x y 0 x 0 x 1 x 1 S 0;1; 2 Vậy, phương trình (1) có tập nghiệm là b) ĐKXĐ: x 4 0,75đ 0,25đ 0,25đ x + - x - =1 Û x + = x - +1 Û x + = x - + x - x x 9 x 13 (thỏa mãn) 1,5đ Vậy, nghiệm phương trình là x =13 0,25đ Câu (7 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d và d' là các tiếp tuyến với đường tròn A và B Điểm C thuộc đường thẳng d (C khác A) Đường thẳng vuông góc với OC O cắt d và d' thứ tự M và D a) Chứng minh tam giác MCD cân và CD là tiếp tuyến đường tròn (O) b) Chứng minh rằng C di chuyển trên đường thẳng d thì tích AC.BD có giá trị không đổi c) Điểm C vị trí nào trên đường thẳng d thì diện tích tứ giác ABDC nhỏ ? Tính giá trị nhỏ đó theo R Hướng dẫn chấm thi chọn HSG môn Toán lớp THCS, năm học 2012 - 2013 (4) AOM BOD g.c.g OM OD a) Chỉ AB d và AB d ' C/m CMD có CO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân C Kẻ OH CD , C/m OAM OHD (cạnh huyền - góc nhọn) OH = OA = R CD là tiếp tuyến đường tròn (O) AOM BOD g.c.g BD AM AC.BD AC.AM b) COM vuông O, có OA CM AC.AM OA R AC.BD R không đổi 1đ 0,5đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ c) Theo Bất đẳng thức Cô-si, ta có AC BD 2 AC.BD 2R AC BD 2R SABDC AB 2R 2R 2 Vì ABDC là hình thang vuông nên: Đẳng thức xảy AC = BD = R Vậy, Min ( SABCD ) = 2R C cách A khoảng bằng R 1đ 1đ Câu (2 điểm) y + yz + z = 1- Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn giá trị lớn biểu thức P = x + y + z y + yz + z = - 3x 2 Tìm giá trị nhỏ và 3x Û 3x + 2y + 2yz + 2z = 2 Ta có: x y z 2xy 2yz 2xz x y 2xy x z 2xz 2 2 1đ x y z x y x z 2 1 x y Vì 2 0, x z 0 x, y, z x y z nên từ (1) suy ra: 0,5đ 2 x y z 0,5đ Hướng dẫn chấm thi chọn HSG môn Toán lớp THCS, năm học 2012 - 2013 (5) Vậy, MinP = x y z ; MaxP = x y z Hướng dẫn chấm thi chọn HSG môn Toán lớp THCS, năm học 2012 - 2013 (6)