Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài O.. Bài 5: 3 điểm Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai [r]
(1)Sở Giáo dục & Đào tạo Bình Thuận Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4 Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho A = 1+ x ¿ ¿ 1−x ¿ ¿ √¿ √ 1− √1 − x ¿ ¿ Rút gọn A Tìm x biết A Bài 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình: ¿ xy=4( x+ y ) yz=6( y + z ) zx=8 (z+ x) ¿{{ ¿ Giải phương trình: x4 + = 5x(3 – x2) Bài 3: (4 điểm) Cho a, b > Chứng minh rằng: a+b ≥ √ ab 2 Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm lấy tích các số nhóm Gọi M là tổng hai tích số đó Tìm giá trị nhỏ M và ít cách chia cho M nhỏ Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi Ax, By là các tiếp tuyến A và B (O) Tiếp tuyến điểm M tuỳ ý (O) cắt Ax và By C và D Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD Cho AB = 8cm Tìm vị trí C để chu vi tứ giác ABDC 28cm, đó tính phần diện tích tứ giác nằm ngoài (O) Bài 5: (3 điểm) Tìm tất các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi HẾT - (2) HƯỚNG DẪN Bài 1: (4 điểm) A xác định khi: –1 x ( √ 1− x − √ 1+ x ) [ ( √ 1+ x + √ 1− x ) ( 2− √ − x ) ] A = √ 2− √1 − x ¿ √ x ≤ x ≤1 |√ 1− x − √1+ x| ( √1+ x + √1 − x ) = = − √ x −1 ≤ x ≤ √2 ¿{ A ¿ 1 Khi x thì √ x ≥ x ≥ √2 1 Khi –1 x thì − √ x ≥ x ≤ − √2 1 ≤ x≤1 Vậy A −1 ≤ x ≤− 2√2 √2 Bài 2: (4 điểm) Nhận xét: x = y = z = là nghiệm hệ Nếu x thì y và z 0, đó chia các vế phương trình cho xy; yz; zx, ta được: ¿ xy=4( x+ y ) yz=6( y + z ) zx=8 ( z+ x) ¿{{ ¿ ¿ 19 = 48 x 17 = 48 y 23 = 48 z ¿{{ ¿ ¿ 1 = + x y 1 = + y z 1 = + z x ¿{{ ¿ ¿ 48 x= 19 48 y= 17 48 z= 23 ¿{{ ¿ ¿ 1 = + x y 1 = + y z 1 = + z x 59 1 = + + 48 x y z ¿{{{ ¿ (3) Vì x = không phải là nghiệm nên chia vế phương trình cho x , ta được: 3 +5 x − +6=0 x x x=1 ¿ x + x − 3=0 x=−3 ¿ ¿ x 2+3 x −3=0 −3 x= ± √21 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x4 + = 5x(3 – x2) x − =−2 x ¿ x − =−3 x ¿ ¿ ¿ ¿ ( ) ( x− ) (có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa phương trình tích) Bài 3: (4 điểm) a, b > 0, ta có: ( √ a − √ b ) 2=a+b − √ab ≥ a+b ≥ √ ab 2 Gọi a và b là các tích số nhóm thì: ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 210.34.52.72 M = a + b √ ab = 2.25.32.5.7 = 20160 MinM = 20160 a = b = 10080 Và có ít cách chia sau: Nhóm Nhóm 2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14 8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12 2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12 2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; Bài 4: (5 điểm) OCD vuông O (OC và OD là phân giác góc kề bù) I là trung điểm CD thì IO = IC = ID và IO AB O Nên AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD (4) Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm) CABDC = AB + 2(AC + BD) x + y = 10 Mặt khác : OM2 = MC.MD xy = 16 Giải hệ: ¿ x+ y=10 xy=16 ¿{ ¿ ta ¿ x =2 y=8 ∨ ¿ x=8 y=2 ¿{ ¿ Vậy C cách A đoạn AC = 2cm và BD = 8cm AC = 8cm và BD = 2cm Cả trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích: S1 = 40 (cm2) Diện tích nửa hình tròn (O): S2 = 8 (cm2) Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn: S = S1 – S2 = 40 – 8 (cm2) Bài 5: (3 điểm) Gọi a, b, c là cạnh huyền và cạnh góc vuông vuông Khi đó: a, b, c N và a 5; b, c Ta có hệ phương trình: ¿ a2=b2+ c (1) bc=3 (a+b +c)(2) ¿{ ¿ (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) a2 + 6a + = (b + c)2 – 6(b + c) + (a + 3)2 = (b + c – 3)2 a+3=b+c–3 a=b+c–6 (2): bc = 3(b + c – + b + c) = 3(2b + 2c – 6) (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có các trường hợp sau: b – = và c – = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25 b – = và c – = thì b = 8; c = 15 và a = 17 b – = và c – = thì b = 9; c = 12 và a = 15 (5)