Hai trong các góc của nó có Sin bằng nhau nhưng Cosin khác nhau , hơn nữa tứ giác này không nội tiếp được trong đường tròn.. Tính diện tích tứ giác đó.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC ĐT - DAK LAK TRƯỜNG THPT BUÔN MA THUỘT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 - 3013 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu : ( điểm ) Cho a , b là hai số thực dương Chứng minh : a2 b2 a b ab 1 2 a b Dấu xảy nào ? Mở rộng cho n số dương ( không chứng minh ) Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ 2 1 1 1 P a b c b c a Câu : ( điểm ) Giải hệ phương trình 2011 2011 Cotx Coty x y 2013 2012 x 2013 y 4024 y Câu : ( điểm ) Các cạnh tứ giác có độ dài là , , và ( theo thứ tự nào đó ) Hai các góc nó có Sin Cosin khác , tứ giác này không nội tiếp đường tròn Tính diện tích tứ giác đó Câu : ( điểm ) Các tâm các mặt hình lập phương nối với tạo thành hình bát diện Các tâm các mặt bát diện nối với tạo thành hình lập phương a/ Tính tỷ số hai cạnh hai hình lập phương nói trên b/ Gọi hình lập phương là hình lập phương thứ , quá trình này lặp lại tạo thành hình lập phương thứ , … Tính tỷ số các cạnh hình lập phương thứ 1930 và 2012 Câu : ( điểm ) Cho x , y là hai số nguyên dương f(x;y) xác định sau : f(x;1) = x f(x;y) = x < y f(x + 1; y) = y [ f(x;y) + f(x; y - 1) ] Tính f ( 2012 ; 2012 ) HẾT (2) ĐÁP ÁN Câu : ( đ) / Chứng minh BĐT 0,75 đ Mở rộng đúng 0,75 đ / ( đ) 1 1 2 a b c 1 c a * a b c b b c a 1 1 * 0,5 đ 3 a b c abc * = a + b + c 3 abc abc 0,5 đ Nên 1 + + a b c 2 0,5 đ 0,5 đ Do đó 3 6 75 P 3 Vậy Min P = 0,5 đ 75 a = b = c = 0,5 đ Câu : ( đ) * ĐK x , y ≠ k , k Z 0,5 đ 2011 * (1) Cotx - x = Coty - y2011 * Xét f(t) = Cot t - t2011 HS giảm , t D 0,5 đ Từ f(x) = f(y) x = y 0,5 đ 2013 * Thay vào (2) : x - 2012 x2 + 4024 x - 2013 = x2013 - 2012 (x-1)2 - = (3) * CM x : 2013 x = 2012 (x - 1)2 + , x R x 0,5 đ Xét g(x) = VT (3) g’(x) = 2013 x2012 - 4024 ( x - 1) g” (x) = 2013 2012 x2011 - 4024 > , x 0,5 đ g’(x) tăng [ 1; + ) 0,5 đ g’(x) g’(1) = 2013 > , x g(x) tăng [ 1; + ) Chứng tỏ (3) có nghiệm x = 0,5 đ Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm x = y = 0,5 đ Câu : (4 đ) (3) B A C D H E K * Hai góc có Sin , Cos khác nên chúng bù ( khác 900 ) 1,0 đ * Tứ giác không nội tiếp đường tròn nên chúng là hai góc kề Tứ giác là hình thang không cân ( hình vẽ trên ) 1,0 đ * Từ B dựng BE // AD BCE vuông B dt ( ADH) + dt(BKC) = dt(BCE) = = 1,0 đ 3.4 12 * BK EC = BE BC BK = = 0,5 đ 5 12 36 36 66 dt(AHKB) =3 = Vậy dt(ABCD) = +6= ( đvdt) 0,5 đ 5 5 Câu : ( đ ) B C S S A Q P M A1 N Q B1 M B' I N P J A' D C' S' D' a/ ( đ) Gọi a là cạnh Hlp ABCD A’B’C’D’ , c1 = A1 B1 là cạnh Hlp c 2 1 * Ta có : = c1 = IJ 0,5 đ * IJ = MP = a 0,5 đ IJ 3 2 c Nên c1 = a 0,5 đ Vậy = 0,5 đ a b/ ( đ) Gọi c1 , c2 , … , c2012 là độ dài cạnh hình lập phương thứ , thứ , … , thứ 2012 1 * Chứng minh c2 = c1 = a 0,5 đ 1930 * Tương tự : c1930 = 3 c2012 = 3 a 0,5 đ 2012 a 0,5 đ (4) c1930 = 382 0,5 đ c2012 Câu : ( đ) * f( 1; 1) = 0,5 đ * f( 2;2 ) = [f(1;2) + f(1;1)] = 2.1 = ! * f(3;3) = [ f(2;3) + f(2;2) ] = ! * Tương tự : f( 2012 ; 2012) = 2012 ! HẾT * Vậy 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ (5)