SỞ GD&ĐT ĐAK LAK Trường THPT BUÔN MA THUỘT KÌ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2013 – 2014 * MÔN: TOÁN THPT Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề này có 04 trang) Điểm bài thi Họ và tên giám khảo Số phách (do Chủ tịch hội đồng chấm thi ghi) Bằng số Bằng chữ Giám khảo 1 Giám khảo 2 Quy ước: - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này; - Các bài toán có yêu cầu trình bày lời giải thì chỉ trình bày tóm tắt cách giải và công thức áp dụng (không viết tràn ra ngoài ô quy định); - Các kết quả gần đúng thì lấy đến 4 chữ số thập phân sau dấu phảy. Câu 1 (5 điểm). 1. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 3 5cos2y x x= + trên đoạn [ ] 0; π ? 2. Tìm tổng của các hệ số của các số hạng chứa 5 10 ,x x trong khai triển 30 3 2 x x + ÷ . Cách giải Kết quả ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 2 (5 điểm). Cho hàm số 4 2 4 1y x x= − + . Tính chu vi tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Cách giải Kết quả Câu 3 (5 điểm). Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 3 3 2 2 6 5 x y xy x y x y + = + + + + = Cách giải Kết quả Câu 4 (5 điểm). Cho hai đường tròn 2 2 ( ) : 2 2 4 0C x y x y+ − − − = và 2 2 ( ') : ( 2) 6.C x y− + = a) Tìm tọa độ giao điểm của ( )C với ( ').C b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các giao điểm của ( )C và ( ').C Cách giải Kết quả Bài 5: Cho phương ( ) ( ) 6 log 47 6 1+ − = x x m a) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 0,4287 b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm Cách giải Kết quả Câu 6 (5 điểm). Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 3cm, bán kính miệng cốc là 4cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình. Cách giải Kết quả Hết Ghi chú: - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài. KÌ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2013 - 2014 (HD này có 04 trang) Quy ước chấm: - Các kết quả có đơn vị đi kèm thì trừ 0,5 đ với một kết quả thiếu đơn vị (chỉ trừ nếu thí sinh không ghi đơn vị ở ô bên phải). - Với các kết quả gần đúng, trừ nửa số điểm của kết quả đó nếu thí sinh sai đúng một chữ số cuối cùng (trường hợp sai các chữ số khác thì không cho điểm kết quả đó). - Các kết quả xấp xỉ , bằng mà thí sinh không dùng đúng dấu “ ≈, = ” thì trừ 0,5 đ / một lỗi. - Nếu kết quả đúng mà lời giải sai thì không cho điểm toàn bộ phần đó. Ghi chú: Nếu thí sinh giải bài theo cách khác thì cho điểm theo các phần đúng tương ứng, nhưng phải đảm bảo tỉ lệ giữa cách giải và đáp án. Câu 1 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 3 5cos2y x x= + trên đoạn [ ] 0; π ? 2. Tìm tổng của các hệ số của các số hạng chứa 5 10 ,x x trong khai triển 30 3 2 x x + ÷ . Cách giải Kết quả 1. Đạo hàm ( ) 3 10sin 2f x x ′ = − ; ( ) 3 3 0 sin 2 2 arcsin 2 10 10 f x x x k π ′ = ⇔ = ⇒ = + hoặc 3 2 arcsin 2 10 x k π π = − + Hay 1 3 1 3 arcsin ; arcsin 2 10 2 2 10 x k x k π π π = + = − + Bấm máy tìm giá trị x thuộc [ ] 0; π : 1 2,989246x ≈ , 2 0,152346x ≈ • Nhập ( ) 3 5cos2f x x x= + . Tính ( ) ( ) 0 5; 14,424778f f π = ≈ ( ) ( ) 1 2 ; 13,73743; 5,22673f x f x≈ ≈ • Kết luận: 2. Số hạng tổng quát của khai triển: ( ) 30 30 2 3 30 30 3 2 . 2 . . k k k k k k k C x C x x − − − = ÷ 90 5 6 30 2 . k k k C x − = Với 5 x : 90 5 5 12 6 k k − = ⇔ = Với 10 x : 90 5 10 6 6 k k − = ⇔ = Vậy các hệ số cần tìm là: 12 12 30 2 . 354276249600C = ; 6 6 30 2 . 38001600C = . Tổng của chúng bằng: [ ] ( ) ( ) 0; max 14,424778f x f π π = ≈ [ ] ( ) ( ) 0; min 0 5f x f π = = 354314251200 Câu 2 (5 điểm). Cho hàm số 4 2 4 1y x x= − + . Tính chu vi tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Cách giải Kết quả y’ = 4x 3 – 8x, y’ = 0 khi x = 0 và 2.x = ± (1 đ) Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số: (0;1), ( 2; 3), ( 2; 3)A B C− − + − (1 đ) 2 18 2 2. ABC C AB BC CA ∆ = + + = + (1 đ) C ∆ ABC ≈ 11,3137 (2 đ) Câu 3 (5 điểm). Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 3 3 2 2 6 5 x y xy x y x y + = + + + + = Cách giải Kết quả 3 3 2 2 6 5 x y xy x y x y + = + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 6 2 5 x y x y xy xy x y xy x y + + − = + ⇔ + − + + = Đặt ;S x y P xy= + = ta có hệ 3 2 3 6 2 5 S PS P S S P − = + + − = 2 2 3 5 5 3 6 2 2 S S S S S S + − + − ⇒ − = + 3 2 4 14 7 0S S S⇔ + − + = Giải được: 1 2 3 6,37022; 1,73795; 0,632275S S S≈ − ≈ ≈ Ba nghiệm tương ứng của P là: 1 14,60474P ≈ , 2 3 0,12079; 1,983977P P≈ − ≈ − • Giải phương trình 2 0t St P− + = ứng với các cặp ( ) ; j j S P trên ta được các nghiệm của hệ 1,80487 0,06692 x y ≈ ≈ − 0,06692 1,80487 x y ≈ − ≈ 1,12744 1,75972 x y ≈ − ≈ 1,75972 1,12744 x y ≈ ≈ − Câu 4 (5 điểm). Cho hai đường tròn 2 2 ( ) : 2 2 4 0C x y x y+ − − − = và 2 2 ( ') : ( 2) 6.C x y− + = a) Tìm tọa độ giao điểm của ( )C với ( ').C b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các giao điểm của ( )C và ( ').C Cách giải Kết quả a) Tọa độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 11 2 1 11 1 2 2 4 0 2 . 2 2 5 0 4 2 0 3 11 2 1 11 2 x y x y x y x y y y x y x x y − = − = = + + − − − = ⇔ ⇔ − − = + − − = + = + = (2 đ) b) Tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x = y + 1. Do đó phương trình AB là x – y + 1 = 0. (1 đ) A(-0,1583; -1,1583) (1 đ) B(3,1583; 2,1583) (1 đ) Bài 5: (5 điểm). Cho phương ( ) ( ) 6 log 47 6 1+ − = x x m c) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 0,4287 d) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm Cách giải Kết quả Điểm a) Đặt ( ) 6 0 = > x X X Quy về: 2 47 6 0− + = m X X (2) Giải ra được: 1 2 46,9541; 0,04591≈ ≈X X b) (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm X > 0 Lập bảng biến thiên suy ra 2 47 6 3,523910966 4 ≤ ⇔ ≤ m m a) 1 2 2,4183; 1,7196≈ ≈ −x x b) m = 3 1 2 2 Câu 6 (5 điểm). Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 3cm, bán kính miệng cốc là 4cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình. Cách giải Kết quả Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, α là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ " 4BB b π = và cung lớn " 4AA a π = . (1 đ) 47,2714l cm≈ (2 đ) Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: 2 2 " 2 . ".cos 2 (1).l BO OA BO OA α = + − 2 2 " " ( ) .B A AB a b h= = − + (1 đ) ¼ ¼ 4 ( ") . 1 1 2 4 2 (AA") a a l BB OA OB AB AB AB b b b OB OB b l π α π π π α + = = = = = + = + 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ). ( ) a b a b a AB a b h π π α − − ⇒ = = − + (1 đ) 2 2 ( ) 1 ( ) b a b h AB a a b OB b OB b b a b − + − = − = ⇒ = − . 2 2 2 2 ( ) " ( ) ( ). b a b h OA OB BA a b h c a b − + = + = + − + − Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được .l (1 đ) Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung ¼ "BB tại điểm nào khác B, tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của ¼ "BB tại B. Điều này tương đương với 1 2 os ( ). b c a α − < Tuy nhiên, trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó). Hết . GD&ĐT ĐAK LAK Trường THPT BUÔN MA THUỘT KÌ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2013 – 2014 * MÔN: TOÁN THPT Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề này có 04 trang) . trong khi làm bài. KÌ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2013 - 2014 (HD này có 04 trang) Quy ước chấm: - Các kết quả có đơn vị đi kèm thì trừ 0,5 đ với một kết quả thi u đơn vị (chỉ trừ. Điểm bài thi Họ và tên giám khảo Số phách (do Chủ tịch hội đồng chấm thi ghi) Bằng số Bằng chữ Giám khảo 1 Giám khảo 2 Quy ước: - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này; - Các bài toán có