Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của 1 hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.[r]
(1)Chuyên đề
CĂN THỨC
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
Kiến thức bổ sung :1 Bất đẳng thức Côsi :
a Với a > 0, b > < (dấu “=” xảy a = b) b Với a > 0, b > 0, c > o >
c Với n số khơng âm a1,a2, ,an >
(dấu “=” xảy a1 = a2= =an) 2
Bất đẳng thức BuNhia-Cơpxki :
a Mỗi có hai số (a1,a2), (b1,b2)
(a1b1+a2b2)2 < (a12 + a22)( b12 + b22)
b Mỗi có n số (a1,a2, .,an), (b1,b2, .,bn)
(a1b1+a2b2+ +anbn)2 < (a12 + a22+ + an2)( b12 + b22+ +bn2)
(dấu “=” xảy = = =
Quy ước : Nếu mẫu tử
A / CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI – HẰNG ĐẲNG THỨC =
Bài : Tìm x để biểu thức sau có nghĩa :
a / b / c / d /
Bài : Cho A = +
B = +
a / Tìm x để A, B có nghĩa b / Rút gọn A, B c / Giải phương trình A + B = 5x
(2)a / Tìm điều kiện xác định A b / Rút gọn A
Gợi ý giải :
a / Biến đổi A =
Điều kiện để A có nghĩa :x > x – x xx x 2Neáux 22Neáux 2
x >
b / Nếu x > A = =
Nếu < x < A = =
Bài : Cho a, b số dương thỏa điều kiện : a2 = b + 3992 x, y, z số
dương thỏa :
Chứng minh giá trị biểu thức P sau không phụ thuộc vào x, y, z
P = x + y + z
Hướng dẫn :
Đặt a = (x + y + z)2
a = (x2 + y 2 + x2 )+ (xy + yz + zx) = b + 2(xy + yz + zx)
Do : xy + yz + zx =
Nên xy + yz + zx = 1996
Ta có : 1996 + x2 = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z)
(3)Do : P = x + y + z
P = x(y + z) + y(x + z) + z(x + y) = (xy + yz + xz) = 3992
Bài :
a / Cho a, b, c số hữu tỉ khác a = b + c
Chứng minh : số hữu tỉ
b / Cho a, b, c số hữu tỉ khác đôi
Chứng minh : A = số hữu tỉ
Giải : a / Ta có : + + = (––)2 + 2(+–) = (––)2 + = (––)2 (vì a = c + b)
=
Do a, b, c số hữu tỉ khác nên số hữu tỉ
b / Tương tự câu a
Bài : Rút gọn biểu thức :
M =
Giải :
Điều kiện xác định : –1 < x <
Áp dụng cơng thức phức tạp ta tính
= +
(4)(1 + x)3 – (1 – x)3 = (1 + x – – x )(2 + – x2 )
Vậy : M =
M = ((1 + x) – (1 – x)) = x
B / GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ :
Một số phép biến đổi tương đương :
Định lí : = g(x) tương đương với hệ
Định lí : = f(x) f(x) = g2k + 1 (x)
Định lí : =
Định lí : = f(x) = g(x) Một số phương pháp giải :
1 / Phương pháp lũy thừa : VD1 : Giải phương trình :
=– (1) Giải : x >
Khi : (1) + =
Hai vế khơng âm nên ta bình phương = – 2x
Khi x > vế phải phương trình âm nên phương trình vơ nghiệm VD2 : Giải phương trình
+ =
(5)x + + + + x + = 2x + 11 (+ ) =
Đáp số : x = – ; x = – ; x = – / Phương pháp đặt ẩn số phụ : VD1 : Giải phương trình
2x – x2 + = ()
Giải :
Đặt t = t > t2 = 6x2 – 12x +
() t2 – 6t – = t = , t = –1 (loại)
Vậy = x2 – 2x – =
x = – x = + VD2 : Giải phương trình
5,(7x – 3) 3 + 5, (3 – 7x)3 = ()
Đặt t = Khi : =
() t –= t = –1 t = t = –1 x =
t = x =
Vậy x = x =
3 / Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : VD : Giải phương trình
+ = Giải :
Điều kiện : x > + =
(6)Nếu x > + – =
= x = (không thuộc khoảng xét) Nếu < x < + – + =
Vô số nghiệm :1 < x <
Kết luận : < x < vô số nghiệm / Phương pháp bất đẳng thức :
a / Chứng tỏ tập giá trị vế khác phương trình vơ nghiệm : VD : Giải phương trình
– = () Giải : x >
Với điều kiện ta có : < nên < 5x Do : <
Nên vế trái () số âm , lại có : > nên 2x >
Do : 2x – > nên vế phải () số khơng âm Vậy phương trình vơ nghiệm b / Sử dụng tính đối nghịch hai vế :
VD : Giải phương trình + = x2 – 6x + 11
Giải :
Điều kiện :
Ta ln có : x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + > 2
Áp dụng bất đẳng thức : >
Vào vế trái ta : + < (dấu “=” xảy x – = – x x =
Vậy vế x = , nên x = nghiệm phương trình c / Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức
VD : Giải phương trình
(7)Điều kiện : x + > x > () Ta có bất đẳng thức :
a,b + b,a > với a, b > (dấu “=” xảy a = b Do phương trình tương đương : = x
Điều kiện : x > () bình phương hai vế ta có : x + = x2 x2 – x – =
Kết hợp điều kiện () () phương trình cho có nghiệm x = BÀI TẬP : Giải phương trình
1 –=
2 + = – 2x – x2
3 + =
4 + + = – 2x + =
6 + + =
C / VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI TÌM CỰC TRỊ :
Chúng ta biết với a > , b > a + b > (1) (dấu “=” xảy a = b) (BĐT Côsi)
Bất đẳng thức Côsi mở rộng n số không âm :
Với a1, a2, , an > a1, + a2 + + an > n (dấu “=” xảy a1 = a2 = = an)
Với số dương a, b từ bất đẳng thức (1) suy :
Nếu ab = k (khơng đổi) Min (a + b) = (khi a = b)
Nếu a + b = k (khơng đổi) Max (ab) = (khi a = b)
Kết mở rộng n số không âm
Nếu a1.a2 an = k (khơng đổi) Min (a1, + a2 + + an) = n
(khi a1 = a2 = = an)
Nếu a1, + a2 + + an = k (khơng đổi) Max (a1.a2 an) = ()n
(khi a1 = a2 = = an)
(8) Biện pháp : Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức
VD : Tìm giá trị lớn biểu thức : A = +
Giải : Điều kiện xác định : < x <
A2 = (3x – 5) + (7 – 3x) +
A2 < + (3x – + – 3x) = (dấu “=” xảy 3x – = – 3x x = 2)
Vậy A2 = Max A = (khi x = 2)
Biện pháp : Nhân chia biểu thức với biểu thức khác VD : Tìm giá trị lớn A =
Giải :
Điều kiện xác định : x > A = = < = =
(dấu “=” xảy = x = 18)
Vậy Max A = 1,3 (khi x = 18)
Biện pháp : Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số
1 Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử : VD : Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = Giải :
A = 3x + = x + x + x + >
A > = (dấu “=” xảy x = x = 2) Vậy Min A = (khi x = )
2 Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho Có thể sai khác số
(9)Giải : A = + + A > + =
(dấu “=” xảy = x = ) Vậy Min A = (khi x = )
Biện pháp : Thêm hạng tử vào biểu thức cho
VD : Cho số dương x, y, z thoả điều kiện : x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
P = + +
Giải : Vận dụng BĐT Côsi số dương : Ta + > = x
Tương tự : + > y + > z
Vậy : ( + + )+ > x + y + z
P > x + y + z – = ( dấu “=” xảy x = y = z =) Vậy Min P =1 (khi x = y = z =)
BÀI TẬP :
1 Cho x, y, z số dương thỏa điều kiện : x + y + z > 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
P = + + Giải :
P2 = + + + + +
Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta : + + + z > = 4x
+ + + x > = 4y + + + y > = 4z
(10)P2 > 12 = 36 (dấu “=” xảy x = y = z = 4)
Vậy : Min P = (khi x = y = z = 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (1 +) (1 +) (1 +) Cho
Với x, y, z số dương thỏa điều kiện : x + y + z = a
3 Cho a, b, c số dương thỏa điều kiện : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
E =
BÀI TẬP :
Dạng : CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI Bài : Rút gọn biểu thức : a / A =
b / B =
Với : i / x > ii / < x < Giải :
a / Ta có : A = = = =
b / B = = = =
i / Với x > 2x – > Khi B =
ii / Với < x < < Khi B = Bài : Rút gọn biểu thức :
a / A = + Với < x <
b / B = (–)(++ ) x, y > x y Giải :
a / Cách : Tính A = +
(11)= +
= + + –= A =
Cách : Tính A2
A2 = 2x + + + 2x –
= 4x + = 4x + = 4x + = 4x = 2(1 – 2x) = (vì 2x – < 0)
Vì A > nên A =
b / Ta có : C = (–)() = (–)() = = + Bài : Tính tổng : A = + + + Từ suy : B = + + + > 86 Giải :
Nhân lượng liên hợp để khử mẫu ta : A = + + + +
= (– ) +(– ) + ( –) + +(– ) =– Suy :
B = + + + > + + + = 2A B > (– 1) > (44 – ) = 86 Bài tập tự giải : Rút gọn biểu thức Bài : Rút gọn biểu thức
a / A =–
b / B = (++) : (– +) Kết :
(12)B = (0 < x 4)
Bài : Cho M = – Hãy rút gọn A = – ( < x < 1) Hướng dẫn :
Chú ý : x2 –= (– ) = (– 1) (x + + )
x2 + = ( + ) = ( +1) (x –+ )
A = = ( +1) (x –+ )
Dạng : CĂN BẬC BA – CĂN BẬC N Bài : Chứng minh :
+ = a (1) Thì : + = Giải :
Đặt = b = c (b, c > 0)
Khi : x2 = b3 y2 = c3
Thay vào (1) ta : + = a
+ = a
b + c = a (b + c) = a = a b + c =
+ = (đpcm)
Bài : Chứng minh
ax3 = by3 = cz3 + + = = + +
Giải :
Đặt ax3 = by3 = cz3 = t ()
Khi = = = (1)
Từ () suy : x = ; y = ; z = Do : + + = + + = (+ + ) = (2)
(13)1 A = + Giải :1 Ta có : =
= = = –
2 Áp dụng công thức (x +y) 3 = x3 + y3 + xy (x + y)
Ta có :A3 = (+ )3 = + + + –= – A
A3 + A – = A3 – + 3A – = 0 (A – 1) (A2 + A + 1) + (A – 1) =
(A – 1) (A2 + A + 4) = 0
A = (vì A2 + A + 0) Vậy : + =
Bài tập tự giải :
Bài : Cho x =; y = Tính A = xy3 – x3y
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/