*Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa..[r]
(1)UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) A ĐỀ BÀI Bài ( điểm ): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - )2 - 36x b) Dựa vào kết trên hãy chứng minh: A= n3(n2 - )2 - 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Bài ( điểm ): Cho biểu thức A = ( 1− x 1−x −x : 1−x 1− x −x +x ) với x khác -1 và a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x ¿ −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004 2004a b c Tính : M = ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c Bài (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh cm Gọi M, N là trung điểm AB , BC Gọi P giao điểm AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông b) Tính diện tích tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân Bài ( điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương cho : x2 = y2 + 2y + 13 - HẾT (2) UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài Đáp án a) x (x - ) - 36x = x[( x - 7x) - 36] = x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + ) = x[x(x - )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - )( x + 1) - 6( x- 1)] = x(x + )(x2 - x - 6)(x - )( x2 + x - ) = x(x + )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - )( x2 +3x - 2x - ) = x(x + )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - )( x2 + 3x - 2x - ) = x(x + )( x - )[(x(x - ) + 2( x - )][(x(x + ) - 2( x + )] = x(x + )( x - ) (x - )(x + ) ( x - )( x + ) b) Theo phần a ta có : A = n3(n2 - )2 - 36n = n(n + )( n - ) (n - )(n + ) ( n - )( n + ) Đây là tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có : - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên tố cùng nên: A ( 2.3.5.7 ) Hay A 210 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Với x khác -1 và thì : (1 − x )(1+ x) − x − x+ x : 1−x (1+ x )(1 − x+ x )− x (1+ x) (1− x)(1+ x + x − x) (1 − x )(1+ x) : 1− x (1+ x )(1− x + x 2) = (1+ x ) : = (1+ x 2)(1 − x) (1− x) A= b) Tại x = −1 = (1 = − = 0,25 0,25 − ¿ thì Acó giá trị là 25 )(1 ) ¿ 34 =272 =10 27 27 1+¿ − −(− ) ¿ [ 0,25 ] 0,25 c) Với x khác -1 và thì A< và (1+ x 2)(1 − x)< (1) Vì 1+ x 2> với x nên (1) xảy và 1− x< KL Thay 2004 = abc vào M ta có : a 2bc b c ab a bc abc bc b abc ac c a 2bc b c ab(1 ac c) b(c ac) ac c ac c ac c c ac ac c ac c 1 ac c M ⇔ x >1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) Vẽ hình đúng cho phần a A 1 M 0,25 B P I N H D C a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc ) => 0,75 A D 1 0,25 Mà D1 M 90 ( ∆ADM vuông A ) 0,25 Do đó: A1 M 90 => APM 90 Hay ∆APM vuông P (cm) b) Tính : AP = 5 (cm) AM = (cm ) SAPM = 0, 0,25 c) Gọi I là trung điểm AD Nối C với I; CI cắt DM H Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành => AN // CI mà AN DM nên CI DM Hay CH là đường cao ∆CPD (1) Vận dụng định lý đường trung bình ∆ADP chứng minh H là trung điểm DP => CH là trung tuyến ∆CPD (2) Từ (1) và (2) suy ∆CPD cân C Biến đổi đẳng thức đã cho dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12 Lập luận để có x + y + 1> x - y - và x + y + 1; x - y - là các ước dương 12 từ đó có các trường hợp : x+y+1 x-y-1 12 x 13 y 0,5 4 1 Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1) KL *Chú ý: Ở phần, học sinh làm đúng theo cách khác cho điểm tối đa 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4)