Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho.. Tìm phân số đó.[r]
(1)§Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x −17 x −21 x+ b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác và x + y + z =0 Tính giá trị biểu thức: A= yz xz xy + + 2 x + yz y +2 xz z +2 xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA ' HB' HC ' a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM c) Tam giác ABC nào thì biểu thức AB+ BC+CA ¿2 ¿ đạt giá trị nhỏ nhất? Ơ¿ ¿ (2) ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 điểm ) ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 c) 4x – 12.2x +32 = ( 0,25điểm ) ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) ( 0,25điểm ) ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 ( 0,25điểm ) ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x ( 0,25điểm ) (1 (1 = = = = Bài 2(1,5 điểm): 1 + + =0 x y z ⇒ ) x2+2yz = ( 0,25điểm ) Tương tự: ( 0,25điểm ) xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz x2+yz–xy–xz y2+2xz = = ⇒ yz = –xy–xz x(x–y)–z(x–y) (y–x)(y–z) ; z2+2xy ( 0,25điểm = (x–y)(x–z) = yz xz xy Do đó: A= ( x − y )(x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )(z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = điểm ) ( 0,5 Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d (0,25điểm) Ta có: abcd=k 2 (a+1)(b+ 3)( c+5)(d+ 3)=m abcd=k với k, m N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ N, 31<k <m<100 (0,25điểm) abcd +1353=m2 ⇔ ⇔ (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 (z–x)(z–y) ( k+m < 200 ) (3) m = 67 ⇔ m = 37 k = 56 k = (0,25điểm) Kết luận đúng = abcd 3136 (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) a) HA ' BC S HBC HA ' = = ; S ABC AA ' AA ' BC (0,25điểm) S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC (0,25điểm) HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM=BN IC AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 AB+ BC+CA ¿2 ¿ ⇔ Ơ¿ ¿ Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ Δ ABC (0,25điểm) ⇔ AB = AC =BC (4) Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài (4 điểm) Cho biểu thức A = ( 1− x 1−x −x : 1−x − x − x 2+ x ) với x khác -1 và a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x c, Tìm giá trị x để A < ¿ −1 (5) Bài (3 điểm) 2 a b b c c a Cho 4. a b c ab ac bc Chứng minh a=b=c Bài (3 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị thì phân số nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − a3 +3 a2 −4 a+5 Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a, Chứng minh OM = ON 1 b, Chứng minh AB + CD =MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 và thì : 0,5đ (1 − x )(1+ x) − x − x+ x : 1−x ( 1+ x )(1 − x+ x )− x (1+ x) (1− x)(1+ x + x − x) (1 − x )(1+ x) : = 1− x (1+ x )(1− x + x 2) = (1+x ): (1− x) = (1+ x 2)(1 − x) A= KL b, (1 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ (6) − ¿ 0,25đ Tại x = −1 = − thì A = 1+¿ − −(− ) [ ] ¿ 25 (1 )(1 ) = 34 272 ¿ = =10 27 27 0,25đ 0,5đ KL c, (1điểm) Với x khác -1 và thì A<0 và (1+ x 2)(1 − x)< (1) Vì 1+ x 2> với x nên (1) xảy và 1− x< ⇔ x >1 KL 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 2 2 0,5đ 2 2 a +b −2 ab+ b +c − bc+ c + a + 2ac=4 a + b + c − ab −4 ac − bc Biến đổi để có (a2 +b − 2ac )+(b2 + c2 −2 bc)+(a 2+ c2 −2 ac)=0 a − c ¿ =0 Biến đổi để có b −c ¿2 +¿ (*) a− b ¿ +¿ ¿ a −b ¿ ≥ b − c ¿2 ≥ ; a − c ¿2 ≥ ; với a, b, c Vì ; ¿ ¿ ¿ a −b ¿ 2=0 ; b − c ¿2=0 và a − c ¿2=0 ; nên (*) xảy và ¿ ¿ ¿ Từ đó suy a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần tìm là x+11 0,5đ x Phân số cần tìm là x +11 (x là số nguyên khác -11) x−7 Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số x +15 (x khác -15) 0,5đ Theo bài ta có phương trình x +11 = x − Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) 0,5đ x x +15 Từ đó tìm phân số − KL 1đ 0,5đ Bài (2 điểm) Biến đổi để có A= a2 (a2+ 2)−2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 a −1 ¿ +3 = (a2 +2)(a −2 a+1)+3=(a 2+ 2)¿ 0,5đ 0,5đ (7) Vì a +2>0 ∀a và a −1 ¿2 ≥0 ∀ a ¿ nên a −1 ¿2 ≥0 ∀ a (a 2+2)¿ 0,5đ đó a −1 ¿ +3 ≥ ∀ a ( a +2)¿ Dấu = xảy và a −1=0 KL 0,25đ 0,25đ ⇔ a=1 Bài (3 điểm) B N M A I D a,(1 điểm) C Chứng minh tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh AN=MI, từ đó suy tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ 0,5đ b,(2điểm) 0,5đ √3 √3 cm ; BD = 2AD = cm 3 √3 cm AM = BD=¿ √3 cm Tính NI = AM = √3 √3 DC=¿ cm , MN = cm DC = BC = 3 √3 cm Tính AI = Tính AD = 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (5 điểm) B A M a, (1,5 điểm) O N C D OM OD Lập luận để có AB = BD OD OC Lập luận để có DB =AC , ON OC = AB AC 0,5đ 0,5đ (8) OM ON = AB AB b, (1,5 điểm) ⇒ ⇒ OM DM OM AM = = Δ ADC để có (1), xét AB AD DC AD 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB + CD )=1 1 1 từ đó có (OM + ON) ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC = = =¿ ⇒ ⇒ , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC S AOB S DOC =S BOC S AOD Chứng minh S AOD =S BOC S AOD ¿ ⇒ S AOB S DOC =¿ Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Xét Δ ABD để có 0,5đ OM = ON (2) Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (9)