hình bình hành => MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường.. đpcm Kẻ OE vuông góc với BC.[r]
(1)UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) x 2014 x 2013 2) x( x 2)( x x 2) Câu (4 điểm) 1) Tìm a, b biết 2a 3b 3a 15 23 a 20 2 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y xy x y 2013 Câu (4 điểm) 2014 1) Cho a1 , a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng 2013 3 Chứng minh rằng: B a1 a2 a2013 chia hết cho 2 2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a a 3b b Chứng minh rằng: a b và 3a 3b là các số chính phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I là điểm di chuyển trên cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O là trung điểm AI Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a b c d và x (a b)(c d ), y (a c)(b d ), z (a d )(b c) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z Hết Họ và tên thí sinh: , Số báo danh: (2) UBND HUYỆN LONG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM PHÚ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ MÔN: TOÁN LỚP ĐÀO TẠO (Đáp án - thang điểm gồm trang) ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn bản, bài làm học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác đúng cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung Điểm x 2014 x 2013 = 0.5 x 2013x x 2013 = x ( x 2013) ( x 2013) = ( x 1)( x 2013) 0.5 x( x 2)( x x 2) 2 ( x x)( x x 2) ( x x) 2( x x) = ( x x 1) ( x 1) 2a 3a 20 có Từ 15 2 20(1 2a ) 15(7 3a) => a 1 Thay a 1 vào tỉ lệ 1 2a 3b 23 a thức 15 ta 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2.1 3b 15 23 7.1 Suy b 2 Vậy a 1 , b 2 Ta có 0.5 0.5 A x y xy x y 2013 x x( y 1) y y y y 2003 (3) ( x y 1)2 ( y 3)2 2003 0.5 Nhận thấy với x,y ta có ( x y 1) 0;( y 3)2 0 0.5 .Suy A 2003 Dấu “=” xảy x 4, y 3 Vậy Giá trị nhỏ A là 2003 đạt 0.5 x 4, y 3 Dễ thấy a a a (a 1)(a 1) là 0.5 tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Xét hiệu B (a1 a2 a2013 ) (a13 a23 a2013 ) (a1 a2 3 2013 (a a1 ) ( a a2 ) (a 0.5 a2013 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng 0.5 2014 2013 3 Do B chia hết cho 2 Từ 2a a 3b b có (a b)(3a 3b 1) a 0.5 0.5 Cũng có ( a b)(2 a 2b 1) b Suy 0.5 (a b)2 (2a 2b 1)(3a 3b 1) (ab) Gọi (2a 2b 1,3a 3b 1) d Chứng minh d=1 0.5 (4) => 3a 3b là số chính phương => a b 0.5 là số chính phương (đpcm) A M O N B H D E I K Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN là hình bình hành => MN cắt AI trung điểm đường Mà O là trung điểm AI => M, O, N thẳng hàng (đpcm) Kẻ OE vuông góc với BC Chứng minh MHKN là hình thang 0.5 0.5 0.5 vuông Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy OE là đường trung bình hình 0.5 thang vuông MNKH nên MH + NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O là 0.5 C (5) trung điểm AI và OE//AD Suy OE là đường trung bình ΔADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) và (2) ta có MH + NK = AD 0.5 (đpcm) Ta có MN // BC và MN là đường trung bình ABC 0.5 (Do O là trung điểm AI) I là trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC Xét hiệu 0.5 0.5 x y (a b)(c d ) (a c)(b d ) (d a)(b c) Vì d a, b c nên (d a )(b c) Suy 0.5 x y (1) Xét hiệu 0.5 y z ( a c)(b d ) ( a d )(b c) ( a b)(d c) Vì b a, c d nên (a a)( d c) Suy y z (2) Từ (1) và (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần là zyx 0.5 (6)