Đang tải... (xem toàn văn)
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN * Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa... số lớn hơn..[r]
(1)UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Ngày thi 06 tháng 12 năm 2012 Câu ( 2,0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau : A 3 4 1 5 B x x x 28 x x a) b) Câu ( 2,5 điểm ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau : x x 8 x 1 x 2x x y 3x y x y b) 2(2 x y ) x y a) x x 3 Câu ( 1,5 điểm ) Chứng minh các số nguyên a,b,c thỏa mãn b2 - 4ac và b2 + 4ac đồng thời là các số chính phương thì a.b.c 30 Câu ( 3,0 điểm ) Cho đường tròn (O; R ) AB và CD là hai đường kính cố định (O) vuông góc với M là điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K và H là hình chiếu M trên CD và AB a Tính sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC b Chứng minh: OK AH (2 R AH ) c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Câu ( 1,0 điểm ) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y x2 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = xy -Hết Họ và tên thí sinh : .Số báo danh : Chữ ký giám thị : Chữ ký giám thị : (2) HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN TOÁN * Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa * Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm CÂU a) 1a (1,0đ) A = (3 4)(2 1) 11 = 22 11 11 b) (1,0đ) 2a B ĐIỂM 3 34 1 5 ( 4)(5 3) 13 26 13 13 = 2 3 0,25 x x x 28 x x x x 8 x 1 x 0,25 2 1 ( 4 42 3) ( ( 1) 2 = = [ ( 1)] = = 1b THANG NỘI DUNG ( 1) ) x x x 28 x x 16 x x x x 4x x ( x 1)( x 4) = = ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 1)( x 4) ( x 1)( x 4) = = x1 x x 3 0,25 ( x 0, x 16) x x x 28 x x 8 x 1 x = ( x 1)( x 4) x x x 28 ( x 4) ( x 8)( x 1) ( x 1)( x 4) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐK : x -3 (1,0đ) 0,5 (3) x x 3 x x 0 x x 0 x 3 2 x x 1 1 ( x 1) 0 x 3 2 x x 1 (1) x 0 1 0 (2) 3 x x x 3 2 0,25 0,25 Ta có : a + a +1 = (a + ) + > với a 3 nên x x > với x => vế trái (2) luôn dương => (2) vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình là x = 2b (1,5đ) 2x x y 3x y x y 2(2 x y ) x y ĐK : x 3; x 0; y (1) (2) kx y kx 2 y k x Đặt Phương trình (1) trở thành : 0,25 2x x kx 2 3x 3k x 2x k x2 k2 k 1 2 3k x k x x (k 2) 3k (k 1) (k 2) (k k 1) 0 k 2 Với k = có y = 4x2 ( x > ; y > ) Phương trình (2) trở thành : 0,25 x x x 16 2x2 4x Đặt t x 3 1 x 3 2t 4t x 2 x x t 2t 4t x x 0; t Ta có hệ : Giải hệ t = x ( x > và t 1 ) 0,25 (4) x x 3 x x 0 17 13 17 y 17 13 17 ; Vậy hệ có nghiệm 0,5 x + Chứng minh : Mọi số có dạng 3k 2, 5k không phải số chính phương + Nếu b chẵn thì abc Nếu b lẻ thì b2 = 8k + ( k Z ) => b2 4ac là số chính phương lẻ Đặt b2 4ac = 8m + ( m Z ) => 4ac => ac => abc (1) + Nếu b => abc 3 Nếu b không chia hết cho thì b2 chia dư Khi đó ac (1,5đ) không chia hết cho thì b2 4ac có dạng 3p không là số chính phương => ac => abc (2) + Nếu b thì abc Nếu b không chia hết cho thì b2 chia dư Khi đó ac không chia hết cho thì b2 4ac có dạng 5q không là số chính phương => ac => abc ( 3) Từ (1) (2) (3) và vì (2,3,5) = nên abc 30 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (3,0đ) a) Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông M nên: sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC = 2 2 (sin MBA cos MBA) (sin MCD cos MCD) = + = 1,0 b) Chứng minh: OK AH (2 R AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 0,5 0,5 (5) c) P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) 0,25 0,25 OH MH OM R 2 (Pitago) Mà OH.MH R2 P 4 R 2 R Vậy đẳng thức xẩy MH = OH 0,25 R OH = x2 y2 M = xy với x, y là các số dương và x 2y x 4y x y 3y x(2y) 2 2 2 Ta có M 2(x y ) 4(x y ) 4(x y ) (Bất đẳng thức (1,0đ) 0,25 0,25 Cauchy) 3y 3y2 2 2 = 4(x y ) 4(4y y ) 20 (Thay mẫu số số lớn hơn) Suy Max M x = 2y, đó giá trị nhỏ M = đạt x = 2y 0,25 0,25 0,25 (6)