Đang tải... (xem toàn văn)
VÒNG II Câu I: Chứng minh rằng: Câu III: 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2Ký hiệu [x] là phần nguyên của số xsố nguyên lớn nhất không vượt quá x.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên[r]
(1)Sở Giáo dục và đào tạo KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC Thừa Thiên Huế Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm) { Giải hệ phương trình: x 2+ y =8 y −2 x=8 Bài 2: (2 điểm) x m x m 0 Chứng minh phương trình: luôn có nghiệm x, x , x, x phân biệt với giá trị m x x22 x32 x42 x1 x2 x3 x4 11 Tìm giá trị m cho Bài 3: (3 điểm) Cho hình vuông cố định PQRS Xét điểm M thay đổi trên cạnh PQ (M P, M Q) Đường thẳng RM cắt đường chéo QS hình vuông PQRS E Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS F (F Q) Đường thẳng RF cắt cạnh SP hình vuông PQRS N Chứng tỏ rằng: ERF QRE + SRF Chứng minh M thay đổi trên cạnh PQ hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định Chứng minh rằng: MN = MQ + NS Bài 4: (2 điểm) Tìm tất các cặp số nguyên p, q cho đẳng thức sau đúng: √ p − 2+ √ q −3=√ pq −2 p −q+ Bài 5: (1 điểm) Chứng minh với số thực x, y, z luôn có: x y z y z x z x y x y z 2 x y z Hết (2) Sở Giáo dục và đào tạo Thừa Thiên Huế KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM BÀI B.1 NỘI DUNG { Điể m (2đ) x + y =8 y −2 x=8 x Ta có : y y x 0 0,25 0,25 x y x y 0 Hay + Nếu x y 0 , thay y x vào phương trình đầu thì: 0,25 x x 8 x x 0 Giải : x 4; x x; y 4; 0,25 0,25 x; y 2; ; Trường hợp này hệ có hai nghiệm : + Nếu x y 0 , thay y x vào phương trình đầu thì: x x 8 x x 0 0,25 0,25 Giải ra: x ; x Trường hợp này hệ có hai nghiệm: x; y B.2 5;1 ; x; y x m x m 0 5;1 0,25 (2đ) (1) 0,25 t m t m 0 t x Đặt : , ta có : (2) ( t 0 ) Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm : t1 t2 0,25 0,25 ' m m 3 4m với m Vậy (2) luôn có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 0,25 t1 t2 m4 với m t1 t2 2 m với m 0,25 Do đó phương trình (1) có nghiệm : t1 , t1 , t2 , t2 x12 x22 x32 x42 x1 x2 x3 x4 t1 2 2 t t t t t t t 2 1 2 0,25 2 t1 t2 t1 t2 x12 x22 x32 x42 x1 x2 x3 x4 4 m m m 4m 11 x12 x22 x32 x42 x1 x2 x3 x4 11 m 4m 11 11 m 4m2 0 m 0 0,25 0,25 (3) B.3 Câu3 3đ (1đ) R S 0,25 Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ có đường kính RM F N H E D P Hình vẽ đúng 0,25 F nằm đọan ES 0,25 90 QRE ERF FRS QRE SRF 450 Q M ERF MRF MQF 450 (3) Do đó : (4) 0,25 Từ (3) và (4) : ERF QRE SRF Câu3 (1đ) Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định P 0,25 Ta có : NSE 45 NRE Do đó N, S, R, E trên đường tròn đường kính NR 0,25 Ta có: FME 45 FNE Do đó N, F, E, M trên đường tròn đường kính 0,25 MN Do MPN 90 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF qua điểm P Câu3 0,25 (1đ) Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE Gọi H là giao điểm MF và 0,25 NE, ta có RH là đường cao thứ ba RH vuông góc với MN D Do đó : DRM ENM ENM EFM Ta có: EFM QFM QRM (do M, N, F, E trên đường tròn); 0,25 (do M, F, R, Q trên đường tròn) Suy ra: DRM QRM D nằm đọan MN B Hai tam giác vuông DRM và QRM nhau, suy : MQ = MD Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN nhau, suy : NS = ND Từ đó : MN = MQ+NS √ p − 2+ √ q −3=√ pq −2 p −q+ ( α ) Điều kiện: p 0, q 0, pq p q 0 (p, q là các số nguyên) 0,25 0,25 (2đ) 0,25 (4) Bình phưong hai vế ( α ) : p q pq p 2q Hay : ( p 2)(q 3) p q 3 p q 3 p 0,25 0,25 q 3 Tiếp tục bình phương : + Nếu p 2 thì ( α ) trở thành: √ + √ q −3 = √ q −3 , đúng với số nguyên q 3 tùy ý + Nếu q 3 thì ( α ) trở thành: √ p − + √ = √ p − ,đúng với số nguyên p 2 tùy ý 0,25 0,25 0,25 4 p q B.5 ( p, q là các số nguyên) + Xét p và q Ta có : Chỉ xảy các trường hơp : 1/ p 1, q 4 ; 2/ p 2, q 2 ; 3/ p 4, q 1 Ta có thêm các cặp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4) α Kiểm tra lại đẳng thức ( ): √ + √ = √ ; √ + √ = √ ; + = √ √ √ |x + y − z|+| y + z − x|+|z+ x − y|+|x+ y+ z|≥ 2(|x|+| y|+|z|) (*) 0,25 0,25 (1đ) Đặt: a x y z , b y z x, c z x y Trong ba số a, b, c có ít hai số cùng dấu, chẳng hạn: a b 0 0,25 Lúc này : |x + y − z| + | y + x − z| = |a| + |b| = |a+ b| = | y| Ta có : x y z a b c ; 2x a c ; 2z b c Do đó để chứng minh (*) 0,25 |a+ c| + |b+ c| (**) đúng đúng, cần chứng tỏ : |c| + |a+ b+c| a b với Ta có: 0,25 c a b c ab a c b c ca cb c ab ca cb c ab (**) (***) 0,25 B B Đặt: ca cb c A ; ab B , ta có (do a.b 0) ta có: (***) ⇔ | A| + |B| | A+ B| ⇔ | A| |B| AB ⇔ |AB| AB Dấu đẳng thức xảy trường hợp các số: a, b, c, a + b + c chia làm c a b c 0 cặp cùng dấu Ví dụ: ab 0 và Chú ý: Có thể chia các trường hợp tùy theo dấu a, b, c (có trường hợp) để chứng minh(*) (5) ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút NGÀY THỨ NHẤT Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình và phương trình sau a) x2 x x2 x x 1 xy ( x y ) 2 3 b) x y x y 4 Câu (3 điểm) a) Giả sử x1, x2 là nghiệm dương phương trình x2 – 4x + = Chứng minh x15 x25 là số nguyên b) Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + và b + 2007 chia hết cho Chứng minh 4a + a + b chia hết cho Câu (3 điểm) Cho M là trung điểm cung nhỏ AB đường tròn tâm O (AB không phải là đường kính) C và D là điểm phân biệt, thay đổi nằm A và B Các đường thẳng MC, MD cắt (O) tương ứng E, F khác M a) Chứng minh các điểm C, D, E, F nằm trên đường tròn b) Gọi O1 và O2 là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACE và BDF Chứng minh C và D thay đổi trên đoạn AB thì giao điểm hai đường thẳng AO1 và BO2 là điểm cố định Câu (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mản abc = Chứng minh rằng: a b c 2 a b c ab a 1 bc b 1 ca c 1 (6) bài a bài này đặt ẩn phụ là b đặt x+y=a xy=b ta có hệ ab=2 +a-3ab=4 thay ab=2 vào phương trình ta tính đc a= 2=> b=1 thay a và b ta tính đc x=y=1 a)đk Đặt phương trình trở thành: Đặt Câu a)PT có nghiệm Do đó b) và là số nguyên đpcm và a,b lẻ (2) (1) Từ(1)(2)=>đ.p.c.m - (7) ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN AB ( Chung cho các lớp Toán , Tin , Lý , Hoá , Sinh ) Thời gian làm bài : 150 phút x x m m ( m 1) 0 x Câu Cho phương trình : (1) a) Tìm m để x = -1 là nghiệm phương trình (1) b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm Câu a) Giải bất phương trình : ( x 3)( x 1) x x x y y x 3x x y x x y 3 y y b) Giải hệ phương trình : Câu a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện : a 3ab b a b a 2ab b 5a 7b 0 Chứng tỏ : ab 12a 15b 0 A b) Cho : ( x 2)( x x 1)( x 2) x x x( x x 1) Hãy tìm tất các giá trị x để A 0 o Câu Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và góc BAC 60 Gọi M , N , P là chân đường cao kẻ từ A , B , C tam giác ABC là I là trung điểm BC a) Chứng minh tam giác INP b) Gọi E và K là trung điểm PB và NC Chứng minh các điểm I , M , E và K cùng thuộc đường tròn c) Giả sử IA là phân giác góc NIP Hãy tính số đo góc BCP Câu Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm và bắt đầu thực công việc cùng lúc Nếu sau ngày , tổ A hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B Nếu tổ A hỗ trợ thêm 10 công nhân may từ đầu thì họ hoàn thành công việc sớm tổ B ngày Hãy xác định số công nhân ban đầu tổ Biết , công nhân may ngày 20 sản phẩm (8) HẾT Sở Giáo dục-đào tạo Thừa Thiên Huế KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Thành Phố Huế Khóa ngày 12.7.2007 Đề chính thức Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,75 điểm) a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức: B x x b) Rút gọn biểu thức x1 : x 1 x x 1 A x vµ 3 3 x 1 Bài 2: (2,25 điểm) B 4; C 1; và Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm C và song song với đường thẳng y 2 x Xác định tọa độ giao điểm A đường thẳng (d) với trục hoành Ox b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B và C Tính góc tạo đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút) c) Tính chu vi tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 3: (2 điểm) a) Tìm hai số u và v biết: u v 1, uv 42 và u v b) Khoảng cách hai bến sông A và B là 60 km Một xuồng máy xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút bến B quay trở lại ngược dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất là Tính vận tốc xuồng máy nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy là km/h Bài 4: (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax D và cắt By E a) Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông b) Chứng minh rằng: AD BE = R c) Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn (O) cho diện tích tứ giác ADEB nhỏ Bài 5: (1,5 điểm) Một cái xô dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy là 19 cm và cm, độ dài đường sinh l 26cm Trong xô đã chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy (xem hình vẽ) (9) a) Tính chiều cao cái xô Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước để đầy xô ? (10) Sở Giáo dục và đào tạo Thừa Thiên Huế Đề chính thức KỲ THI TUYẺN SINH LỚP 10 THPT TP Huế Môn: TOÁN - Khóa ngày: 12/7/2007 Đáp án và thang điểm (11) Bài ý Nội dung Điể m 1,75 1.a A + 3 3 3 3 0,25 3 3 3 3 0,25 + A 1 1.b Ta có: 0,25 + + A 3 2 x x 3 9 1 x 1 x x 1 + + x x 1 B + 1 x x 1 1 x x 1 x = x1 0,25 0,25 x1 x x 1 : x 1 0,25 x1 x 1 x 1 x 0,25 (vì x và x 1 ) 2,25 2.a + Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 2 x , nên phương 0,25 trình đường thẳng (d) có dạng y 2 x b (b 3) C 1; nên: b b 6 + Đường thẳng (d) qua điểm 0,25 Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là: y 2 x + Đường thẳng (d) cắt trục Ox điểm A( x ; 0) nên 2 x x 0,25 A ; 0 Suy ra: b B 4; C 1; + Đồ thị hàm số y ax b là đường thẳng qua và 4a b nên ta có hệ phương trình: 4 a b + Giải hệ phương trình ta được: 16 ; 5 a ; b 0,25 0,25 (12) (13) + Đường thẳng BC có hệ số góc a 0,8 , nên tang góc ' tg ' a 0,8 ' 380 40 ' 0,25 kề bù với góc tạo BC và trục Ox là: + Suy ra: Góc tạo đường thẳng BC và trục Ox là 0,25 1800 ' 1410 20' 2.c 2 2 + Theo định lí Py-ta-go, ta có: AC AH HC 2 2 +Tương tự: BC 41 Suy chu vi tam giác ABC là: AB BC CA 7 41 17,9 (cm) 3.a + u, v là hai nghiệm phương trình: x x 42 0 b + Giải phương trình ta có: x1 6; x2 7 + Theo giả thiết: u v , nên u 7; v + Gọi x (km/h) là vận tốc xuồng nước yên lặng Điều kiện: x > 0,25 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 60 (h) + Thời gian xuồng máy từ A đến B: x , thời gian xuồng ngược 25 (h) 0,25 dòng từ B C : x 60 25 8 0,25 + Theo giả thiết ta có phương trình : x x 2 + Hay 3x 34 x 11 0 x2 0,25 Giải phương trình trên, ta các nghiệm: x1 11 ; + Vì x > nên x = 11 Vậy vận tốc xuồng nước đứng yên là 0,25 11km/h 2,5 4.a + Hình vẽ đúng (câu a): 0,25 + Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt D, nên OD là tia phân giác góc AOM Tương tự: OE là tia phân 0,50 giác góc MOB + Mà AOM và MOB là hai góc kề bù, nên 0,50 DOE 900 Vậy tam giác DOE vuông O b + Tam giác DOE vuông O và OM DE nên theo hệ thức lượng 0,25 2 tam giác vuông, ta có: DM EM OM R (1) 0,25 + Mà DM = DA và EM = EB (định lí tiếp tuyến cắt nhau) (2) 0,25 + Từ (1) và (2) ta có: DA EB R (14) 4.c + Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích nó là: 1 S AB DA EB 2 R DM EM R DE 2 0,25 + S nhỏ và DE nhỏ Mà DE là đường xiên hay đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ DE = DH (DH vuông góc với By H) Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính nửa đường tròn (O) (hoặc OM AB) Giá trị nhỏ diện tích đó là: S0 2 R Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ diện tích cho điểm tối đa 0,25 1,5 5.a 0,25 0,25 b + Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục OO', ta hình thang cân AA’B’B Từ A hạ AH vuông góc với A’B’ H, ta có: 0,25 A'H O'A' OA 10 (cm) Suy ra: OO' AH AA'2 A'H 262 102 24 (cm) 0,25 + Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung là IJ, IJ cắt AH K Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = (cm) + Bán kính đáy trên khối nước xô là r1 O1I O1K KI 9 KI KI AK = KI 7,5 r1 16,5 (cm) HA' AH KI//A’H Thể tích khối nước cần đổ thêm để đầy xô là: 1 V h r rr1 r12 6 192 19 16,5 16,52 3 + 3 + V 5948, cm 5,9486 dm 5,9 lít Ghi chú: Học sinh làm cách khác đáp án đúng cho điểm tối đa Điểm toàn bài không làm tròn 0,25 0,25 (15) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÒNG I (150 PHÚT) Câu I Tính giá trị biểu thức: 3 P x y ( x y ) 2004 Biết rằng: 3 3 x 2 2 y 17 12 17 12 2 Rút gọn biểu thức sau: 1 1 P 5 9 13 2001 2005 Câu II Giải các phương trình sau: x x3 x 2004 2004 x x Câu III Giả sử tam giác ABC có diện tích 1, gọi a,b,c và h ❑a ,h ❑b ,h ❑c tương ứng là độ dài các cạnh và các đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: (a 2+b2+c2).(ha2 + hb2 +hc2) > 36 ❑ Câu IV Cho tam giác ABC, có A =600, AC = b, AB = c (với b > c) Đường kính EF đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC M Gọi I, J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường AB, AC, gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB, AC a) Chứng minh tứ giác AIEJ Và CMJE nội tiếp b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c d) Tính IH + JK theo b,c (16) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÒNG II (150 PHÚT) Câu V a) Tìm các giá trị tham số m để tập nghiệm phương trìng sau có đúng phần tử: 2 x 2m x 2m x 7x 7m 12 b) Giải hệ phương trình: x x y y x z z y 51 z 1 x y 771 16 z Câu VI Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P = x - y + 2004, đó các số thực x và y thỏa mãn các hệ thức: x y 36 16 Câu VII Chứng minh tồn các số tự nhiên a,b,c nghiệm đúng phương trình: x2 + y2 + z2 = 3xyz và thỏa mãn điều kiện: Min {a,b,c } > 2004 Câu VIII Cho ngũ giác ABCDE, Gọi M,P,N,Q là các trung điểm AB, BC, DE, EA Chứng minh MN qua trung điểm PQ và MN//CD Câu IX Cho đ[ngf thẳng xy và điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng Điểm M chuyển động trên xy, trên đoạn thẳng AM lấy điểm I cho: AI.AM = k2, đó k là số dương cho trước và k nhỏ khoảng cách từ A đến đường thẳng xy Dựng hình vuông AIJK, tìm tập hợp điểm I và tập hợp điểm K (17) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TĨNH Năm học: 2007 - 2008 Thời gian: 150' xy Bài 1: a) Giải phương trình: x4P - 2x3 + 4x2-3x - = 2 b)Tìm điểm M(x;y) trên thẳng y = x +1 có tọa độ thỏa mãn đẳng thức: x đường y y y x x Bài 2: Các số x, y, z khác thỏa mãn: xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức yz zx xy P 2 x y z Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 -xy + y2 = 2x - 3y - Bài 4: Tìm tất các ba số dương (x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình 2008 2x 2y 2z 2008 2008 2007 y z 2007 2007 x z 2006 2006 x y 2006 Bài 5: Từ điểm P ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PE và PF tới đường tròn( E, F là các tiếp điểm) Tia PO cắt đường tròn A và B cho A nằm P và O Kẻ EH vuông góc với FB ( H FB) Gọi I là trung điểm EH Tia BI cắt đường tròn M ( M # B), EF cắt AB N ❑ 2008 2007 2006 a) Chứng minh EMN x = 900.y z b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến2007 đường 2008 2006tròn qua ba điểm P, E, M 2y z x Bài 6: Ba số dương x, y, z thỏa x + y +2006 z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2008 mãn: 2007 2z x y 2 x y z P y z z x x y (18) ĐỀ DỰ THI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ( khối chuyên) MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút - Bài1: ( 1,5 điểm)Tìm x, y biết a) x2 -25 = y(y+6) b) 1+x + x2 +x3 = y3 x 1 x x 1 x 4( x 1) Bài 2: ( 1, điểm) Cho P = a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P x Bài3: ( 2,5 điểm)Cho Parabol (P) :y= và đường thẳng (D) qua điểm A và B trên (P) có hoành độ là -2 và a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đó b) Viết phương trình đường (D) c) Tìm vị trí điểm M trên cung AB (P) tương ứng hoành độ x [-2 , 4] cho AMB có diện tích lớn Bài 4: ( 3, điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt cạnh AD và BC E và F ( E,F không trùng các đỉnh hình vuông).Từ E và F vẽ các đường thẳng song song với BD và AC cắt I a) Tìm quỹ tích điểm I b) Từ I vẽ đường vuông góc với EF H.Chứng tỏ H thuộc đường tròn cố định và đường IH qua điểm cố định Bài 5: ( điểm) Chứng minh rằng: ( 1999 1997 1) ( 1998 1996 2) 500 HẾT (19) ĐÁP ÁN Bài 1: ( 1, điểm) ( x y ).( x y ) 16 a) x2 -25 = y(y+6) x2 – ( y +3) = 16 (1) x y 3 x y 3 x y 3 Và từ (1) Mặt khác và có cùng tính chất chẵn lẽ nghiệm là các số (4;-3) ; ( -4; -3) ; (5 ; 0) ; ( -5; ) ; ( 5; -6) ; ( -5; -6) b)Xét x = -1 ; x = y tương ứng Xét x 0 và x -1 =>x (x+1) >0 => x3 < y3 < (x+1)3 : Vô lý => Bộ số (x ,y) là (0 ; 1) ; ( -1; 0) Bài 2: ( 1, điểm) P x ( x 1)2 x 2 2 x P x x TXĐ x 2 ( x > 2) ( x < 2) Bài 3: ( 2, điểm) a) Khảo sát ( tự làm) b) A(-2;yA ) (P) ; B(a; yB) (P) => A( -2 ;1) B( ; 4) x2 Phương trình (D) : y = c) AMB có AB không đổi => SAMB max MH tiếp xúc (P) max ( MH AB) lúc đó M (d) //AB và 1 x k k x1 x2 1 (d) : y= 1 y M là tiếp điểm (d) với (P) => M( ; ) Bài : ( 3, điểm) a) Tìm quỹ tích Thuận: AEI vuông cân => AE = AI ; OCF =>AI = CF => FI //AB=> I AB ( cố định) * Giới hạn I AB và trừ điểm A và B * Đảo : Gọi I’ trên AB ( A , B ) Gọi điểm đối xứng I’ qua AC và BD =>OA là phân giác I ' OE ' ; OB là tia phân I ' OF ' => E 'OF' 180 => E’ ; O; F’ thẳng hàng * Kết luận : I AB ngoại trừ điểm A và B D C F H AOE = O E (d) A I B K E’, F’ là giác (20) 0 b)AEHI nội tiếp => AHI AEI 45 BIHF nội tiếp => BHI IFB 45 AHB 90 H đường tròn đường kính AB => KHA 45 => K chính cung AB ( cố định ) Bài 5: ( điểm) A 2000 A 2000 A ( 1999 1997 1) ( 1998 1996 ) Đặt vế trái A 2000 ( 1999 1997 1) Vận dụng n n 1 n 1 n 1999 1998 2000 1999 …… > ( luôn luôn đúng ) => BĐT đã chứng minh SỞ GD VÀ ĐT ĐẮC LẮC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2006-2007 MÔN : TOÁN (CHUYÊN) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1.5 điểm) Cho f(x)= -(Equation Chapter (Next) Section m +1)x+2(1+ )m+4+2 , m là tham số Định m để f(x) với x [1;2] Bài 2: (1.5 điểm) Cho x,y,z là các số nguyên khác đôi một.Chứng minh: ( x y )5 ( y z )5 ( z x)5 chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x) (21) 1 2 xy y =1 không có nghiệm nguyên dương Bài 3: (1.5 điểm) Chứng minh phương trình : x Bài 4: (1.5 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số thỏaa mãn các tính chất sau: Chữ số hàng nghìn và hàng trăm giống Chữ số hàng chục và hàng đơn vị giống Số đó có thể viết thành tích ba số, thừa số làsố có hai chữ số và chia hết cho 11 Bài 5: (2 điểm) Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) H là trực tâm ABC Tính ACB CH=CO Bài 6: ((2 điểm) Cho hình bình hành ABCD ( ABC tù),O là giao điểm hai đừơng chéo AC và BD Dựng DM AC (M AC), DN AB (N AB),DP BC (P BC) Chứng minh O nằm trên đường tròn ngoại tiếp MNP THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH Năm học 2002-2003 Câu 1(2 điểm): Cho đường thẳng có phương tr“nh 1) Xác định trường hợp sau: a/ (d) qua điểm b/ (d) cắt trục tung B có tung độ 2) T“m để đường thẳng xác định trên và đường thẳng Câu 2(1,5 điểm): CMR: Câu 3(2 điểm): đôi song song (22) Cho phương tr“nh: 1) Xác định giá trị để phương tr“nh (1) có nghiệm phân biệt 2) Với giá trị nào th“ phương tr“nh (1) có nghiệm ? T“m nghiệm Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm Giả sử là điểm trên cung nhỏ ( không trùng với và ), từ vuông góc với ( thuộc ) 1) CM tứ giác nội tiếp đường tròn 2) CM góc góc 3) CM thay đổi trên cung nhỏ th“ góc không đổi 4) CM song sonh với Câu 5(1 điểm): 1) CMR: Với , ta có: 2) CMR: TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH Năm học 2004-2005 Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức: a) Với giá trị nào th“ biểu thức có nghĩa? b) Rút gọn P r?#8220;i so sánh với Câu 2(2,0 điểm): Cho là ba số thực đôi khác thõa mãn: , đường cao hạ (23) CMR: Câu 3(2,0 điểm): CMR, và là các số nguyên tố th“ là số nguyên tố Câu 4(3,5 điểm): Cho đường tròn có đường kính cố định Điểm di động trên đường tròn là điểm cố định và (điểm không trùng với , không trùng với và không phải là trung điểm đoạn thẳng ) a) T“m vị trí điểm trên đường tròn cho độ dài lớn nhất? b) Gọi là điểm trên đường tròn cho vuông góc với Gọi là trung điểm CMR, điểm di động trên đường tròn th“ là số không đổi c) CMR, điểm di động trên đường tròn th“ điểm di động trên đường tròn cố định có tâm là trung điểm đoạn thẳng TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH Năm học 2005-2006 Ngày 1: Dành cho tất thí sinh Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức M b) T“m x để biểu thức M đạt GTNN? Câu 2(2,0 điểm): Cho phương tr“nh: (1), với m là tham số Xác định giá trị tham số m để: a) Phương tr“nh (1) có nghiệm b) Phương tr“nh (1) có hai nghiệm phân biệt thõa mãn Câu 3(1,0 điểm): T“m GTLN biểu thức: (x>0) Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường phân giác và ngoài góc A cắt BC D và E Tiếp tuyến (O) A cắt BC F a) CM tam giác FAD cân F (24) b) CM: c) Đặt AB=m, AC=n Tính tỷ số theo m và n Câu 5(1,0 điểm): Trong dãy số tự nhiên có thể t“m 2005 số liên tiếp mà không có số nào nguyên tố không? Ngày 2: Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên Câu 1(1,5 điểm): Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh hai số sau: và Câu 2(2,0 điểm): Giải phương tr“nh: Câu 3(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức: Câu 4(3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm A và B Từ C kẻ tia Cx vuông góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm E, F cho CE=CA và CF=CB Vẽ đường tròn tâm qua ba điểm A, C, E và đường tròn tâm qua ba điểm B, C, F, chúng cắt điểm thứ hai D a) CM ba điểm E, B, D thẳng hàng và ba điểm A, D, F thẳng hàng b) Khi C di động trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và C không trùng với B), chứng minh đường thẳng CD luôn luôn qua điểm cố định Câu 5(1,5 điểm): An hỏi B“nh: Bố bạn năm bao nhiêu tuổi? B“nh đáp: Năm 1986, tuổi bố m“nh là số có hai chữ số và bẳng tổng các chữ số năm sinh bố m“nh Hỏi bố B“nh sinh năm nào và năm 2005 này bố B“nh bao nhiêu tuổi? ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH Năm học 2006-2007 Ngày thứ Câu 1(1,5 điểm): T“m tất các giá trị x thõa mãn: [b]Câu 2(2,0 điểm):[/b] Cho phương tr“nh: (1) a) Giải phương tr“nh (1) m=-1 b) T“m tất các giá trị m để phương tr“nh (1) có nghiệm x=3 Câu 3(1,5 điểm): Giải hệ phương tr“nh: Câu 4(1,5 điểm): T“m GTNN biểu thức: Câu 5(3,5 điểm): Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định không qua tâm O Gọi A là điểm chính cung nhỏ BC Lấy điểm M trên cung nhỏ AC (điểm M không trùng với A và M không trùng với C), kẻ tia Bx vuông góc với tia MA I cắt tia CM D (25) a) CM: và MA là tia phân giác b) CMR điểm A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vị trí điểm M c) CM tích p=AE.AF không đổi điểm M di động Tính p theo bán kính R và góc ABC = Ngày thứ hai Câu 1(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức: Câu 2(1,5 điểm): Cho ba số thực a, b, c thõa mãn điều kiện abc=1 CMR: Câu 3(1,5 điểm): Tính giá trị biểu thức: Trong đó x, y, z là các số thực dương thõa mãn: Câu 4(1,5 điểm): Cả ba vòi nước cùng chảy vào bể Nếu vòi thứ và vòi thứ hai cùng chảy th“ đầy bể Nếu vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy th“ đầy bể Nếu vòi thứ ba và vòi thứ cung chảy th“ đầy bể Hỏi ba vòi cùng chảy th“ bao lâu bể đầy nước Câu 5(3,5 điểm): Cho hai đường tròn , cắt A và B cho hai điểm , nằm hai phía khác đ?#8220;i với đường thẳng AB Đường thẳng d quay quanh điểm B, cắt các đường tròn , C và D (C không trùng với A, B và D không trùng với A, B) a) CMR số đo các góc ACD, ADC và CAD không đổi b) Xác định vị trí đường thẳng d để đoạn thẳng CD có độ dài lớn c) Các điểm M, N chạy ngược chiều trên và cho các góc và CMR đường trung trực đoạn thẳng MN luôn luôn qua điểm cố định ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút Bài 01 :)( 1, điểm) a) Thực phép tính : A = 3 3 2 b) Giải phương trình : x 4x 4x 5 Bài 02 : ( 1, điểm) Cho phương trình : x2 – 2mx + m - = (1) a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m b Tìm m để phương trình có trái dấu và giá trị tuyệt đối c Đặt A = (x1-x2)2 – x1x2 - Tính A theo m (26) - Tìm m để A đạt GTNN và tính Min A Bài 03 :( 2,5 điểm) Hai bến sông A, B cách 96km, cùng lúc với canô xuôi từ bến A có bè trôi từ bến A với vận tốc 2km/h sau đến B, canô trở A và gặp bè đã trôi 24km Tính vận tốc riêng canô, biết vận tốc riêng canô là không đổi Bài 04 : ( 3, điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có đường cao AH Gọi I và K là hình chiếu A trên các tiếp tuyến (O) B và C a) Chứng minh các tứ giác AHBI và AHCK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AHI và AKH đồng dạng c) Gọi M, N là trung điểm AI, AK Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để AH = AM + AN Bài 05 : ( điểm) Có hay không các cặp số (x,y,z) thỏa mãn phương trình : x y z 2 x y z HẾT ĐÁP ÁN : Bài 01 : ( 1, điểm) a) A = 3 3 3 2 3 5 3 = | | | | 2.2 2 b) x 4x 4x 5 x (2x 1) 5 x | 2x 1|5 ĐK: x 5 2x 5 x | 2x 1|5 x 2x (5 x) | 2x 1|5 x 2x x 5 x 2 (nhaän) 2x x x 4(nhaän) Vậy phương trình có nghiệm x =2 x = - Bài 02 : ( 1, điểm) Cho phương trình : x2 – 2mx + m - = (1) ' m m (m ) 0m a Vậy phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m x1 x 2m x x m b Ap dụng đ/l Viet : Để phương trình có trái dấu và giá trị tuyệt đối (27) ' S 0 P0 ' (m) 2m 0 m 1 ' 0(m) m 0(thoûa) m 1 => Vậy m = thì phương trình có trái dấu và giá trị tuyệt đối c A = (x1-x2)2 – x1x2= x12 -2x1x2+x22 – x1x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 - 2x1x2 – x1x2 2 = (x1 + x2) –5x1x2 = 4m – 5m + 5 25 25 55 55 (2m )2 16 16 = (2m)2 – 2.2m + 16 16 55 5 Vậy AMin= 16 2m - = 0=> m = Bài 03 :( 2, điểm) Gọi vận tốc thực thuyền là x (lm/h) ( x > 2) Vận tốc dòng nước vận tốc bè trôi là 2km/h Vận tốc xuôi dòng : x + (km/h) Vận tốc ngược dòng : x - (km/h) 96 96 24 96 72 x x (h) Thời gian ca nô tới B quay lại gặp bè nứa : x x 24 Thời gian bè nứa trôi 24 km là : = 12 (h) Theo đề ta có phương trình : 96 72 x x = 12 96(x-2)+72(x+2) = 12(x2 – 4) 96x-192+72x+144 = 12x2 – 48 12x2 – 168x = x(12x – 168) = x 0(loại) x 14(thoûa) Vận tốc ca nô là 14km/h A Bài 04 : ( 3, điểm) a) Do I là hình chiếu A lên tiếp tuyến (O) B M => AHB 90 Mặt khác : AH BC 0 => AKC 90 I 1 1 Nên : AIB AHB 90 90 180 Vậy : tứ giác AIBH nội tiếp đường tròn Do K là hình chiếu A lên tiếp tuyến (O) C N O => AIB 90 0 Nên : AKC AHC 90 90 180 Vậy : tứ giác AKCH nội tiếp đường tròn B H K C (28) b) Do IAHB nội tiếp => B1 H1 (hai góc nội tiêp cùng chắn AI ) Mà B1 C1 (góc tạo tiếp tuyến - dây cung và góc nội tiếp cùng chắn AB ) => H1 C1 Mà C1 K1 (hai góc nội tiêp cùng chắn AH ) => H1 K1 (1) Chứng minh tương tự ta có :AIBH nội tiếp : IAH IBH 180 AHCK nội tiếp : AIBH nội tiếp : HAK KCH 180 IBH => IAH = HAK KCH 180 (2) IB cắt CK M mà IB và CK là hai tiếp tuyến => MB = MK => B2 C (3) HAK Từ (2) và (3) => IAH (4) Từ (1) và (4) => AHI ~ AKH c) Có AHI ~ AKH (cmt) AI AC => AH AB AK AB Và AKC~ AHB=> AH AC AI AK AC AB AI AK AC AB 2(AM AN) AC AB AH AH AB AC => AH AB AC => AH AB Mà AM +AN =AH AC AB 2 => AB AC AC AB AC AB 2 AB AC AB AC =2 Ta có AB AC 2 Mà AC AB Bất đẳng thức xẩy AB =AC Vậy ABC cân AH = AM + AN Bài 05 : ( 1, điểm) x y z 2 x y z => x y z 8 x y z => (x x 1) (y y 4) (z z 9) 0 => =0 ( x 1) ( y 2) ( z 3) 0 (29) ( x 1) 0x ( y 2) y Vì ( z 3) z Để ( x 1) ( y 2) ( z 3) 0 x 0 x 1 x 1 x 2 y 0 y 2 y 4 y 6 => z 0 => z 3 => z 9 => z 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH TRƯỜNG CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM Câu 1: a)cho x,y,z,t là các số thưc Cmr: dấu "="xảy nào? b) với a,b là số thực khác Câu 2:Tìm NN pt Câu 3: Cho hpt a) giải hpt m=24 b) tìm m để pt có nghiệm Câu 4:Cho Tính S=x+y Câu 5:Cho a,b là các số nguyên dương cho chung a và b cmr là các số nguyên Gọi d là ước số Câu 6:Cho tam giác ABC có góc nhọn và nội tiếp(O)(AB<AC) Các tiếp tuyến với(O) B và C cắt N Kẻ AM song song với BC MN cắt(O) M và P a) Cho Tính BC b) Cm c) Cm BC,ON,AP đồng quy (30) 1) a) Áp dụng : Bđt trên luôn đúng nên Dấu "=" xảy b) 2) Có : + thì vô lí + ( đề thiếu a và b cùng dấu) thì : 3) Đặt và Dễ thấy là nghiệm pt : a) m=24 thì b) kq: 4) Tương tự : 5) 6) a) b) Dễ thấy tứ giác c) I~ câu a) ko bàn là hình thang cân đpcm câu b) gọi K là giao điểm AP và BC ta Cm câu c) gọi K' là giao diểm ON và BC ta Cm NPK~ NKM (1) kẻ Mx là tiếp tuyến M của(O) ta có từ(1) và(2) A,K',P thẳng hàng (2) LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-THPT CHUYÊN THĂNG LONG, LÂM ĐỒNG (31) Câu 1: rút gọn M= Câu 2:cho phương trình -(m-1) +m-3=0 Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu 3:giải pt (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=120 Câu 4:giải hệ + =169;xy=60 Câu 5:cho vuông A với BC=y, chiều cao AH=x tính chu vi Câu 6: cho x;y là hai số thực thỏa mãn 9x+12y=1 cm +16 Câu 7: cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm AC và BD, = Cm S(ABCD)= Câu 8:cho các số thực a,b,c thỏa a+2b+3c=0 Cm +8 +27 =18abc Câu 9: Cm số tự nhiên biểu diễn dạng tổng số chính phương thì hai lần số đó biểu diễn dạng tổng hai số chính phương Câu 10:cho số dương x,y thỏa x+y=1 tìm GTNN N= Câu 11:hệ phương trình x-3y-3=0; + -2x-2y-9=0 có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2) tính giá trị P= Câu 12:cho nửa đường tròn đường kính AB, trên nửa mp chứa nửa đường tròn bờ AB, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By từ điểm J khác A và B trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By D,C gọi I là giao điểm AC, BD.Cm IJ song song với AD Câu 13: a, b là hai nghiệm pt +px+1=0 và b,c là hai nghiệm pt +qx+2=0.Cm (b-a) (b-c)=pq-6 Câu 14:Cm pt = +y+2+ không có nghiệm nguyên Câu 15:cho tam giác nhọn ABC, gọi AD, BE, CF là các đường cao tam giác.Cm tia DA là tia phân giác góc ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN LQĐ ĐÀ NẲNG 2007-2008 vòng (32) Bài 1,5 điểm Cho biểu thức P = 1a Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa.Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A b Tìm x để A+x-8=0 Bài 1,5 điểm Cho hệ phương trình (a+1)x-y=3 ax+y=a a là tham số a giải hệ a=-2 b xác định tất các giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 Bài :1 điểm Giải bất phương trình: >x-1 Bài 4: 2,5 điểm Cho phương trình mx^2-5x-(m+5) =0, đó m là tham số, x là ẩn số a.giải phương trình với m=5 b chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m c trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2, hãy tính theo m giá trị biểu thức B= Tìm m để B=0 Bài : 3,5 điểm Cho hình vuông ABCD có AB=1 cm Gọi M và N di động trên các cạnh BC và CD hình vuông, P là điểm nằm trên tia đối củatia BC cho BP=DN a c/m tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn b giá sử DN=x cm( x 1), tính theo x độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP c c/m =45 độ và MP=MN d M và N di động trên BC và CD cho MAN a) 3.đk: bất pt thức đúng với x Ta xét Kết hợp với đk: =45 độ, tìm và max diện tích (33) câu4 a) thay vào mà tính pt bậc b) => luôn có nghiệm với m câu c)B= theo vi ét thay vào mà tính bài đây Tìm min, max: (xin làm bài toán tổng quát lun) Đặt AB = BC = CD = DA = a Kẻ AH MN => AH = a S(DMN)max => (1/2.a.MN)max => MN max (*) Đặt BM = y; DN = x=> MC = a - y, CN = a - x và MN = x + y mà MC^2 + NC^2 = NM^2 => (a-y)^2 + (a-x)^2 = (x+y)^2 => 2a^2 - 2a(x+y) = 2xy => a^2 = xy + a(x+y) (1) mà (*) =>a(x+y) max => xy mà xy => xy = <=> x = y = hay x=a y=a thì ta có max, max đó là: a^2 = a(x+y) => a = (x+y) => S(DMN)max = a^2/2 Ta có: x + y (BĐT Cauchy) Dấu "=" <=> x = y => a(x+y) 2a mà (*) => a^2 = a(x+y) + xy 2a + xy => 2a^2 = (a+ )^2 => a = a + => a^2(3- ) xy => a^2 - xy a^2( ) mà (*) => a(x+y) 2a^2( - 1) => S(DMN) a^2( - 1} Vậy, S(DMN)min = a^2( ) Xảy và x=y hay ĐỀ TUYỂN SINH NĂM 2007- 2008 = = (34) Câu 1: 1) cho pt a) cmr(1) ko thể có nghiệm âm b) là nghiệm phân biệt của(1) cmr biểu thức thuộc vào m 2) giải hpt: ko phụ Câu 2:Cho tam gáic ABC ko cân Đường tròn nội típ tâm I t/xúc với BC,AB,AC theo thứ tự D,F,E Đường thẵng EF cắt AI J và BC K 1) cm tam giác IDA và IJD đồng dạng 2) cm KI vuông góc với AD Câu 3: cho góc xAy vuông và điểm B,C trên các tia Ax,Ay.Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc AB, N thuộc AC và P,Q thuộc BC 1) tính cạnh hình vuông MNPQ theo BC=a và đường cao AH=h tam gáic ABC 2)cho B và C thay đổi trên tia Ax và Ay cho các tích (k^2 ko đổi) tìm GTLN diện tích MNPQ Câu 4: số nguyên dương n gọi là số bạch kim n= tổng bình phươg các chữ số nó 1) cmr ko tồn số bạch kim có chữ số 2) tìm tất các số nguyên dương n là số bạch kim Câu 5: Trong giãi vô địch bóng đá có đội tham gia theo điều lệ giải, đội bất kì đấu với đúng trận, đội thắng đc đ~, đội hòa điểm và thua điểm Kết thúc, số điểm các đội là biết đội bống với số điểm thua đúng trận và Hãy tìm và Bài1: (35) a/ Xét không đồng thời thoả là b/ Dễ dàng suy cùng với Víet => => Từ Còn Mẫu => biều thức rẹt rẹt trên => dpcm Bài 2: 1.Dễ thấy nên dễ thấy mà => => Theo c/m câu a Lại có nội tiếp( => Từ trên suy nội tiếp => => => => ) Câu 3/ 1/ MN = 2/Ta có: S = = Mà BC.AH = AB.AC= =>S = = xảy BC=AH=k Câu4a/ Giả sử tồn thì có PT 1(vì có thể tách thành tổng các số chính phương vầy thôi) 2a-100= 100 hay 2a-100= 10 2b-10= 10 hay 2b-10= 100 2c-1=1 hay 2c-1=1 LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-THPT CHUYÊN THĂNG LONG, LÂM ĐỒNG (36) Câu 1: rút gọn M= Câu 2:cho phương trình -(m-1) +m-3=0 tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu 3:giải pt (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=120 Câu 4:giải hệ + =169;xy=60 Câu 5:cho vuông A với BC=y, chiều cao AH=x tính chu vi Câu 6: cho x;y là hai số thực thỏa mãn 9x+12y=1 cm +16 Câu 7: cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm AC và BD, = Cm S(ABCD)= Câu 8:cho các số thực a,b,c thỏa a+2b+3c=0 Cm +8 +27 =18abc Câu 9: Cm số tự nhiên biểu diễn dạng tổng số chính phương thì hai lần số đó biểu diễn dạng tổng hai số chính phương Câu 10:cho số dương x,y thỏa x+y=1 tìm GTNN N= Câu 11:hệ phương trình x-3y-3=0; + -2x-2y-9=0 có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2) tính giá trị P= Câu 12:cho nửa đường tròn đường kính AB, trên nửa mp chứa nửa đường tròn bờ AB, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By từ điểm J khác A và B trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By D,C gọi I là giao điểm AC, BD.Cm IJ song song với AD Câu 13: a, b là hai nghiệm pt +px+1=0 và b,c là hai nghiệm pt +qx+2=0.Cm (b-a) (b-c)=pq-6 Câu 14:Cm pt = +y+2+ không có nghiệm nguyên Câu 15:cho tam giác nhọn ABC, gọi AD, BE, CF là các đường cao tam giác.Cm tia DA là tia phân giác góc ĐỀ TUYểN SINH NĂM 2007 - 2008 (37) P x 1 x 3 x 4x Bài 1: Cho biểu thức Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa Rút gọn P Tìm tất giá trị x để Bài 2: Giải phương trình: P x x x 3x Trên mp toạ độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình y 2 x Tìm toạ độ các điểm M trên đường thẳng cho khoảng cách từ M đến Ox gấp lần khoảng cách từ M đến Oy Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, trên AB lấy điểm H cho và đường thẳng vuông góc với AB H cắt đường tròn (O) E và F Một đường thẳng quay quanh H cắt (O) M và N AM và AN cắt EF M’ và N’ Chứng minh: AM AM ' AE Chứng minh điểm M, M’, N, N’ cùng thuộc đường tròn (C) Đường tròn (C) cắt AB P, Q Tính theo R độ dài PQ Q x2 x x Bài 4: Tìm Min Với số dương a, b, c tuỳ ý, chứng minh: b a2 c b2 a c2 a b c Dấu bất đẳng thức xảy nào? ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PTTH CHUYÊN (38) LÊ HỒNG PHONG HẢI DƯƠNG Câu : (4 điểm) a) Thu gọn biểu thức A= b) Tìm giá trị nhỏ Câu : (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình : a) hệ (hic ko biết gõ latex mod nào chịu khó sử dùm) b) Câu : (2 điểm) Phân tích thành nhân tử : áp dụng : Giải phương trình : =5 Câu : (2 điểm) Cho hai phương trình : (1), a ≠ và (2), m ≠ Chứng minh ít hai phương trình trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm : Câu : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB điểm D, cắt AC điểm E (D và E khác điểm A) a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng b) Chứng minh và MA vuông góc với DE c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn tâm là O Tứ giác AMOH là hình gì ? d) Cho góc ACB = 30độ và AH = a Tính diện tích tam giác HEC theo a Câu : (2 điểm) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng cạnh đáy lớn AB Gọi M là trung điểm CD Cho biết Tính các góc hình thang ABCD ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM 1996-1997 (39) Bài 1: Cho x>0, hãy tìm giá trị nhỏ biêu thức: Bài 2:Giải hệ PT: 1/ + và 1/ + Bài 3: CM với số n nguyên ta có: +5n Bài 4: Cho a,b,c>0 CM: ab+bc+ca Bài 5: Cho HV ABCD cạnh a Gọi M,N,P,Q là các điểm bất kì nằm trên cạnh AB,BC,CD,DA a CM: b Giả sử m là điểm cố định cho trước trên AB Hãy x/đ vị trí điểm N,P,Q trên các cạnh BC,CD,DA cho MNPQ là HV Bài 3: (40) Có (xem sách cái này có nhiều ) (dĩ nhiên ) đpcm Bài 4: Chắc ý bạn muốn chứng minh: thì trước hết chứng minh: Xây dựng bất đẳng thức còn lại tương tự đpcm THI THỬ CHUYÊN TOÁN KHTN Vòng 1: (toán chung) (41) Bài 1,(2đ) Tính S= Bài 2,(2đ)Tìm nghiệm nguyên dương: Bài 3,(2đ)C/m nghiệm pt là nghiệm pt: Bài 4,(3đ)Cho hv ABCD, M di động trên BD (M khác B,D).Vẽ đường tròn tâm O1,O2 qua M và tiếp xúc với CB,CD B,D (O1) cắt (O2) N ( khác M) a,C/m C,M,N thẳng hàng b,C/m N đường tròn cố định c,Tìm M để đoạn O1O2 Bài 5,(1đ)Giả sử a,b,c là số thực dương thoả mãn ,c/m: ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1989-1990 Ngày thứ I : (42) Bài :Tìm tất các giá trị nguyên x để biểu thức là số nguyên Bài : Tìm Bài : a)Chứng minh với m nguyên dương ,biểu thức b)Chứng minh với m nguyên dương thì liên tiếp không phài là số chính phương không thể thành tích số tự nhiên Bài :Cho tam giác ABC vuông cân ,góc A=90 độ CM là trung tuyến (M nằm trên AB).Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC H.Tính tỉ số Bài :Có thành phố đó thành phố thì có ít thành phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói trên tồn thành phố liên lạc với ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1993-1994 Ngày thứ I : (43) Bài : a)Giải phương trình b)Giải hệ phương trình Bài : Tìm max và A= x,y thay đổi thỏa mãn ; Bài :Cho hình thoi ABCD Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp các :delta ABD,ABC và a là độ dài cạnh hình thoi CMR: Bài : Tìm tất các số nguyên dương a,b,c đôi khác cho nhận giá trị nguyên dương Ngày thứ II: Bài 1: Giải hệ phương trình : Bài 2:Có tồn hay không các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện : Bài 3: Số 1997 viết đước dạng tổng hợp số, không viết dạng tổng hợp số Hỏi bao nhiêu ? Bài 4: Xét tam giác ABC ngoại tiếp vòng tròn có bán kính Gọi là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới các cạnh đối diện Tìm giá trị lớn biểu thức : Bài 5: Trên đường tròn cho 16 điểm và màu : xanh, đỏ, vàng để tô các điểm này (mỗi điểm tô màu) Giữa cặp điểm nối đoạn thẳng tô màu tím màu nâu Chứng minh với cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng màu : xanh, đỏ, vàng) và cách tô trên đoạn thẳng nối hai cặp điểm (chỉ dùng màu : tím, nâu) ta tìm trên hình vẽ tam giác có đỉnh là các điểm đã cho mà các đỉnh tô cùng màu và các cạnh tô cùng màu (khác màu tô trên đỉnh) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1998-1999 Ngày thứ I: Bài 1: (44) a) Giải phương trình : b) Giải hệ phương trình : Bài 2:Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện Tính giá trị biểu thức Bài 3: Cho các số Chứng minh : Bài 4: Cho đường tròn (O) bán kính R A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB<2R) Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn AB đường tròn a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM I và cắt đường tròn (O) N Gọi J là trung điểm MN Chứng minh M thay đổi trên đường trỏn thì điểm I, J nằm trên đường tròn cố định b) Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMB lớn Bài 5: a) Tìm tất các số nguyên dương cho số và là lập phương số nguyên dương b) Cho các số thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức : Ngày thứ II: Bài 1: a) Giải hệ phương trình : b) Với giá trị nào câu a thì phương trình sau đây có nghiệm : (45) Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình : Bài 3: a) Cho a, b, c là các số thỏa mãn : i ii phương trình vô nghiệm Chứng minh : b) Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 4: Cho bảng ô vuông kích thước (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột ) Kí hiệu (m,n) là ô vuông nẳm giao hàng thứ m (tính từ trên xuống) và cột n ( tính từ trái sang phải ) Cho các số nguyên với và Tô màu các ô vuông bảng theo quy tắc : a) Lần thứ tô màu năm ô : b) Từ lần thứ hai trở đi, lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp cùng hàng cùng cột Hỏi cách đó ta có thể tô màu hết tất các ô vuông bảng hay không ? Giải thích ? Bài 5: Cho tam giác ABC Trong tam giác ABC, vẽ ba vòng tròn, có bán kính nhau, tiếp xúc ngoài lẫn và vòng tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác Gọi là vòng tròn tiếp xúc ngoài với bà vòng tròn Biết bán kính vòng tròn là , hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1999-2000 Ngày thứ I: (46) Bài 1: Cho các số thỏa mãn : Tính giá trị biểu thức Bài 2: a) Giải phương trình : b) Giải hệ phương trình : Bài 3: Tìm tất các số nguyên dương cho chia hết cho Bài 4: Cho đường tròn (O) và điểm I đường tròn Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN và EIF Gọi M', N', E', F' là các trung điểm IM, IN, IE, IF a) Chứng minh tứ giác M'E'N'F' nội tiếp b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi luôn vuông góc với Tìm vị trí các dây cung MIN và EIF cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn Bài 5: Các số dương thay đổi thỏa mãn Ngày thứ II: Bài 1: Giải phương trình : Tìm giá trị nhỏ biểu thức (47) Bài 2: Cho các số trị tổng xác định công thức với Tính giá Bài 3: Chứng minh tồn số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số số đó 1999 Bài 4: Cho vòng tròn tâm O bán kính R Giả sử A và B là hai điểm cố định trên vòng tròn với a) Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn AB đường tròn Vòng tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA E và tiếp xúc với MB F Chứng minh đường thẳng EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định M thay đổi b) Tìm tập hợp tất điểm P cho đường thẳng vuông góc với OP P cắt đoạn thẳng AB Bài 5:Cho hình tròn (O') bán kính Giả sử là điểm bất kì nằm hình tròn (kể trên biên) Chứng minh các điểm đã cho luôn tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2000-2001 Ngày thứ I: Bài 1: (48) a) Tính b) Giải hệ phương trình : Bài 2: a) Giải phương trình b) Tìm tất các giá trị a ( a R ) để phương trình : ngiệm nguyên có ít Bài 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với cạnh AB E và với cạnh CD F a) Chứng minh b) Cho biết , Tính diện tích hình thang ABCD Bài 4: Cho x, y là hai số thực bất kì khác không Chứng minh : Đẳng thức xảy nào ? Ngày thứ II: Bài 1: a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn : b) Cho cặp số thỏa mãn : , Chứng minh : , (49) Bài 2: a) Giải phương trình b) Cho là các số hữu tỉ có tính chất , , là các số hữu tỉ Chứng minh Bài 3: a) Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng, các góc B và D tứ giác là vuông tù thì b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam giác ABC là tam giác không tù và góc là góc bé tam giác ABC Bài 4: Trên mặt phẳng cho điểm cho không có điểm nào thẳng hàng và khoảng cách các cặp điểm là các số khác Ta nối cặp điểm đoạn thẳng Chứng minh rằng, các đoạn thẳng vừa thu có đoạn thẳng là cạnh bé tam giác có đỉnh là số điểm đã cho đồng thời là cạnh lớn tam giác khác có đỉnh là số điểm đã cho ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2005-2006 Vòng 2: Bài : Bài 2: Giải hệ phương trình (50) Bài 3: thỏa mãn a)CMR b)Tìm Bài 4: Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm :delta ABC a)Giả sử độ CMR: b)Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA M,N.Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm đoạn MN.Chứng minh P thay đổi :delta ,đường thẳng PQ luôn qua D Bài 5: a)Cho đa giác (H) có 14 đỉnh CMR đỉnh (H) luôn có đỉnh là các đỉnh hình thang b)Có bao nhiêu phân số tối giản (m,n là các số nguyên dương ) thỏa mãn ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN NĂM HỌC 2006-2007 VÒNG I Câu I: Giải PT: (51) Câu II: Với giá trị x thỏa mãn điều kiện Câu III: Tìm số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn đồng thời tính chất: (i) Khi chia số đó cho 100 ta số dư là (ii) Khi chia số đó cho 51 ta só dư là 17 Câu IV: Cho hình vuong ABCD có cạnh AB=a Trên các cạnh AB, BC,CD,DA láy các điểm M, N, P, Q cho: luôn là tổng bình phương đa thức bậc hai VÒNG II Câu I: Chứng minh rằng: Câu III: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2)Ký hiệu [x] là phần nguyên số x(số nguyên lớn không vượt quá x).Chứng minh với số tự nhiên n ta luôn có: Câu IV: Cho :delta ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là điểm nằm :delta ABC.Các đường thẳng AI,BI,CI cắt (O) A',B',C'(khác A,B,C).Dây cung B'C' cắt các cạnh AB,AC tương ứng các điểm M,N.Dây cung C'A' cắt các cạnh AB,BC tương ứng các điểm Q,P.Dây cung A'B' cắt các cạnh BC,CA tương ứng các điểm F,E 1.Giả sử AM=AN,BP=BQ,CE=CF xảy đ�ìng thời.Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp :delta ABC 2.Giả sử AM=AN=BP=BQ=CE=CF.Chứng minh điểm M,N,P,Q,E,F cùng nằm trên đường tròn Câu V: Chứng minh đa giác lồi có 2n cạnh(n N,n 2) luôn có ít n đường chéo không song song với cạnh nào đa giác đó Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1) Bài 1:a) GiảI phơng trình x x 1 x x y x y 8 2 y x xy y x 7 b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ Bài 2: Cho các số thực dơng a và b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 Bài 3: Cho ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần (52) Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn, có hai đờng chéo AC, BD vuông góc với H (H không trùng với tâm cảu đờng tròn ) Gọi M và N lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB và BC; P và Q lần lợt là các giao điểm các đờng thẳng MH và NH với các đờng thẳng CD và DA Chứng minh đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng đờng tròn x10 y10 Q ( ) ( x16 y16 ) (1 x y )2 y x Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP TOÁN 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN _ V I (3đ) 1,Giải hệ: 2,Giải pt: (53) II(3đ) 1)Tìm số có chữ số 2)Tìm t/m: để pt có nghiệm nguyên III(3đ) vuông A AH BC 1) C/m tâm đường tròn ngoại tiếp AMN trùng tâm đ/tròn nt ABC 2) d1,d2 là đt vuông với BC M,N C/m d1,d2 tiếp xúc đường tròn nt ABC IV(1đ) Giả sử a,b nguyên dương t/m Tìm max: P= Câu : Câu : 2) Đk cần là NX : Cách 2: là số cp > Đặt và Tách xong ta đc : cùng tính chẵn lẻ , từ đó làm nốt kết (54) ta có: Ta có nghiệm phương trình là Do chúng nguyên vậy, suy Do đó mãn cho phương trình trên có nghiệm nguyên Cách 3: Gọi và là nghiệm phương trình ( Theo hệ thức Viét : + , là các số nguyên ) = = và Vì , mặt khác 16072 không chia hết cho 16 không có p thỏa là các số nguyên nên là nguyên p lẻ là nguyên p chẵn VÔ LÝ Vậy không tồn p thỏa mãn Câu : 1) Gọi O là tâm nội tiếp 2) Kẻ CM đc O là trung trực AM , AN > O là tâm ngoại tiếp AMN > EF là đg kính > đpcm Câu : Ta có Do đó Giả sử và Do đó số Giả sử Xét , ta có có số nhỏ , xét ta có , lúc này ta có Mặt khác ta có Vậy Tóm lại đẳng thức xảy ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP TOÁN 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN _ V Câu 1.Giải hệ phương trình : Tìm giá trị lớn biều thức: với (55) Câu 2: 1.Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức: 2.Tìm số nguyên dương a,b,c cho là số nguyên Câu 3: Cho nột tiếp (O) Giả sử các tiếp tuyến với đường tròn (O) B và C cắt nhâu P nằm khác phía với A BC Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm K(K khác B và C) Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hai điểm Q khác A 1) Chứng minh các đường phân giác các góc PQ và qua cùng điểm trên đường thẳng 2)Giả sử đường thẳng AK qua trung điểm M cạnh BC Chứng minh AQ // BC Câu 4:Cho phương trình Trong đó các hệ số nhận ba giá trị (1) và Câu 1: <=> trừ vế theo vế dc <=> vì => ko thể thì thay vào bài toán thấy vô lý Chứng minh là nghiệm (1) thì (56) <=> thay ngược vào đề là Bài 4: -> (vì các a nhận giá trị 0-1) -> ( giả sử |x| ->|x|-1 ->đpcm ): ( 1-> VP ) < ( vô lí) ĐỀ THI VÀO 10 HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2004 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN(VÒNG 2) Bµi Bµi giảI phơng trình x x 2 ( x y )( x y ) 15 2 GiảI hệ phơng trình ( x y )( x y ) 3 ( x3 y ) ( x y ) P ( x 1)( y 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức với x, y là các số thực Bµi lớn (57) Bµi Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm hình vuông a) Tìm tất các vị trí M cho MAB = MBC = MCD = MDA b) Xét điểm M nằm trên đờng chéo AC Gọi N là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB OB và O là trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số CN có giá trị không đổi M di chuyển trên đờng chéo AC c) Với giả thiết M nằm trên đờng chéo AC, xét các đờng tròn (S) và (S’) có các đờng kính tơng ứng AM và CN Hai tiếp tuyến chung (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) P và Q Chứng minh đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S) Bài : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a là số nguyên lớn không vợt quá a n 1 n xn Hỏi và kí hiệu là [a] Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … đợc xác định công thức 200 số {x1, x2, …, x199} có bao nhiêu số khác ? (58)
